Ü B U N G M A S C H I N E N E L E M E N T E

Transkript

1 Ü B U N G M A S C H I N E N E L E M E N T E Stephan Voigt, M.Eng.

2 Agenda 1. Versagen von Maschinenelementen 2. Tragfähigkeitsnachweis hinsichtlich zulässiger Spannungen 2.1 Beanspruchung 2.2 Beanspruchbarkeit 2.3 Festigkeitsmindernde Einflüsse 2.4 Festigkeitsnachweis 3. Tragfähigkeitsnachweis hinsichtlich zulässiger Verformungen Stephan Voigt, M.Eng. 2

3 1. Versagen von Maschinenelementen Ursache des Versagens (1): zu hohe (äußere) Belastungen Begriffe: Belastung, Beanspruchung, Beanspruchbarkeit Sprödbruch Dauerbruch unzul. Verformung Fazit: Beanspruchbarkeit < Beanspruchung Stephan Voigt, M.Eng. 3

4 Ursache des Versagens (2): Anforderungen, Anwendung Verschleiß Ursache des Versagens (3): Korrosion Stephan Voigt, M.Eng. 4

5 2. Tragfähigkeitsnachweis hinsichtlich zulässiger Spannungen 2.1 Beanspruchung Definition Unter der Beanspruchung eines Bauteils bzw. einer Baugruppe versteht man die Wirkung einer äußeren Belastung. Diese führt zur Ausbildung von mechanischen Spannungen im Bauteil bzw. in der Baugruppe. Man unterscheidet: Nennspannungen / Nennspannungskonzept Bezug auf einen definierten Querschnitt (stab- und flächenförmige Bauteile) Berücksichtigung von geometrischen Kerben mittels experimentell ermittelten Faktoren σσ nn = MM bb /WW bb σσ = αα σσ nn Stephan Voigt, M.Eng. 5

6 Örtliche Spannungen / Örtliches Konzept (Kerbgrundspannungskonzept) Ermittlung der tatsächlichen Spannungen mittels numerischer Methoden (z.b. Finite-Elemente- Methode) oder experimenteller Spannungsermittlung (z.b. Dehnungsmessstreifen) Stephan Voigt, M.Eng. 6

7 Beanspruchungsarten / Spannungsarten Stephan Voigt, M.Eng. 7

8 Beanspruchungs-Zeit-Funktionen Stephan Voigt, M.Eng. 8

9 Beispiele dynamischer Belastungen technischer Systeme (Quelle: Buxbaum) Stephan Voigt, M.Eng. 9

10 Festigkeitshypothesen Notwendige Umrechnung: komplexe (d.h. in der Regel mehrachsige) Beanspruchung äquivalente einachsige Beanspruchung Motiv: Werte der Beanspruchbarkeit (Vergleichswerte) beziehen sich (fast) immer auf eine einachsige Beanspruchung, während reale Beanspruchungen (fast) nie einachsig sind! Spezialfall: gleichgerichtete Beanspruchungskomponenten, z.b. biegebelastete Achse unter Zug σσ max = σσ z + σσ b,max σσ min = σσ z σσ b,min Stephan Voigt, M.Eng. 10

11 Beispiel für eine zusammengesetzte Beanspruchung: Zahnfussspannungen Stephan Voigt, M.Eng. 11

12 Normalspannungshypothese (NH) nach Rankine Anwendung, wenn das Bauteil aufgrund der größten Normalspannung σσ 1 versagt Spröde Werkstoffe (z.b. Grauguss) Schweißkonstruktionen (Spannungsversprödung) Typische Beanspruchung: Zug Charakteristik: Trennbruch, kaum Fließen Versagen wird ausgeschlossen, wenn σσ vnh = σσ max = σσ 1 < σσ zul Bei spröden Werkstoffen unter Druckbeanspruchung gilt σσ vnh = σσ 3 < σσ zuld mit σσ zuld σσ zulz Stephan Voigt, M.Eng. 12

13 Schubspannungshypothese (SH) nach Tresca Anwendung, wenn der Werkstoff infolge der größten Hauptspannungsdifferenz d.h. infolge der größten Schubspannung versagt Duktile Werkstoffe (meist unter statischer Belastung und Druckbeanspruchung) Häufig auch anstelle von NH, aufgrund einfacherer Formeln Versagen wird ausgeschlossen, wenn: σσ vsh = max( σσ 1 σσ 2, σσ 2 σσ 3, σσ 3 σσ 1 ) = σσ max σσ min < σσ zul Stephan Voigt, M.Eng. 13

14 Beim einachsigen Spannungszustand gilt: σσ vsh = σσ 1 = 2 ττ max Beim ebenen Spannungszustand gilt: σσ vsh = σσ 1 σσ 2 = σσ x + σσ y 2 + σσ x σσ y ττ2 xy σσ x + σσ y 2 σσ x σσ y ττ2 xy 2 = σσ x σσ y + 4ττxy 2 Stephan Voigt, M.Eng. 14

15 Gestaltänderungsenergiehypothese (GEH) nach von Mises Anwendung bei mehrachsig beanspruchten, duktilen Werkstoffen (sehr gute Übereinstimmung mit experimentellen Ergebnissen) Versagen wird ausgeschlossen, wenn: σσ vgeh = 1 2 σσ 1 σσ σσ 2 σσ σσ 3 σσ 1 2 < σσ zul Beim ebenen Spannungszustand mit σσ 3 = 0 folgt: σσ vgeh = σσ σσ 2 2 σσ 1 σσ 2 = σσ x 2 + σσ y 2 σσ x σσ y + 3 ττ 2 Häufig: biegebeanspruchte Welle mit σσ x = 0, σσ y = σσ b und ττ = ττ t : σσ vgeh = σσ b ττ t 2 Stephan Voigt, M.Eng. 15

16 2.2 Beanspruchbarkeit Beanspruchbarkeit bei statischer Belastung Spannungs-Dehnungs-Kurve, Zugversuch Stephan Voigt, M.Eng. 16

17 Spannungs-Dehnungs-Kurven verschiedener Stahlwerkstoffe Stephan Voigt, M.Eng. 17

18 Werkstoffkennwerte bei Raumtemperatur Belastung Bezeichnung Zeichen Ersatzwert bei Stahlwerkstoffen Berechnung gegen Streckgrenze (Fließgrenze) RR e - Verformung Zug 0,2%-Dehngrenze RR p0,2 - Verformung Zugfestigkeit RR m - Bruch Druckfließgrenze RR ed = RR e Verformung Druck 0,2%-Stauchgrenze σσ d0,2 = RR p0,2 Verformung Druckfestigkeit σσ db = RR m Bruch Biegefließgrenze σσ bf RR e Verformung Biegung 0,2%-Biegedehngrenze σσ b0,2 RR p0,2 Verformung Biegefestigkeit σσ bb RR m Bruch Torsionsfließgrenze ττ tf RR e / 3 Verformung Torsion 0,4%-Torsionsdehngrenze ττ t0,4 RR p0,2 / 3 Verformung Torsionsfestigkeit ττ tb RR m Bruch Abscherung Scherfließgrenze ττ sf RR e / 3 Verformung Scherfestigkeit ττ sb RR m / 3 Bruch Stephan Voigt, M.Eng. 18

19 Werkstoffkennwerte bei hohen Temperaturen Werkstoffspezifische Kristallerholungstemperatur stellt Höchstgrenze der Anwendbarkeit dar. Unlegierte Stähle: ca. 400 C Legierte Stähle: ca C Hochlegierte, warmfeste Stähle: C Kennwerte bei erhöhten Temperaturen: Zeitdehngrenze RR p1/10 5 /ϑ Zeitstandfestigkeit RR m/10 5 /ϑ Warmstreckgrenze RR p0,2/ϑ Stephan Voigt, M.Eng. 19

20 Werkstoffkennwerte bei tiefen Temperaturen Konkrete Festigkeitswerte liegen meist nicht vor, jedoch nimmt mit fallender Temperatur der Formänderungswiderstand zu und das Formänderungsvermögen von Metallen mit krz-gitter ab Sprödbruchgefahr Kritische Übergangstemperatur wird mittels Kerbschlagbiegeversuch ermittelt Schlagarbeit als Maß für die Zähigkeit Stephan Voigt, M.Eng. 20

21 Beanspruchbarkeit bei dynamischer Belastung Kenngrößen eines Schwingspiels Bezeichnung Gleichung Mittelspannung σσ m = σσ o + σσ u 2 Ausschlagsspannung, Spannungsamplitude Oberspannung σσ a = σσ o σσ u 2 σσ o = σσ m + σσ a Unterspannung σσ u = σσ m σσ a κκ = sgn σσ oo sgn σσ uu min( σσ oo, σσ uu ) max( σσ oo, σσ uu ) Spannungsverhältnis Funktionale Darstellung RR = σσ u σσ o σσ tt = σσ m + σσ a sin(ωωωω) Stephan Voigt, M.Eng. 21

22 Belastungsfälle nach von Bach Fall 1: ruhende Belastung Fall 2: rein schwellende Belastung Fall 3: wechselnde Belastung (allg. wenn σσ_u<0) Stephan Voigt, M.Eng. 22

23 Dauerfestigkeitsschaubild nach Wöhler (Wöhler-Diagramm) Wöhler-Versuche für alle Belastungsarten meist mit σσ m = 0 Kein Bruch bis Lastwechsel Dauerfestigkeit bzw. Wechselfestigkeit σσ D, σσ W bzw. ττ D, ττ W Rein schwellende Belastung Schwellfestigkeit σσ Sch bzw. ττ Sch Stephan Voigt, M.Eng. 23

24 Lastwechselzahlen und Festigkeit NN < statische Festigkeit < NN < Kurzzeitfestigkeit (LCF, low cycle fatigue) 10 3 < NN < Zeitfestigkeit (HCF, high cycle fatigue) NN > Dauerfestigkeit Stephan Voigt, M.Eng. 24

25 Arten der Dauerfestigkeit in Abhängigkeit Beanspruchung und Belastungsart (nach von Bach) Spannungsart Beanspruchung Belastungsart Stephan Voigt, M.Eng. 25

26 Einflussgrößen (1) Werkstoff und Werkstoffzustand Probengeometrie und Probenoberfläche Stephan Voigt, M.Eng. 26

27 Einflussgrößen (2) Beanspruchung Umgebungsbedingungen Stephan Voigt, M.Eng. 27

28 Dauerfestigkeitsschaubild nach Smith (Smith-Diagramm) Darstellung des Mittelspannungseinflusses auf die Dauerfestigkeit Stephan Voigt, M.Eng. 28

29 Beispiele und Einflussgrößen Stephan Voigt, M.Eng. 29

30 Dauerfestigkeitsschaubild nach Haigh Punkte mit RR = const liegen auf einer Gerade durch den Ursprung mit der Steigung tan αα = σσ A = 1 RR σσ m 1 + RR Bereich I: obere Dauerfestigkeitsgrenze Theoretische Begrenzung durch RR m Praktische Begrenzung durch RR p0,2 Abszisse: statische Beanspruchung Bereich II: Schwellbereich Bereich III: Wechselbereich Erweiterung in den Druckbereich möglich Stephan Voigt, M.Eng. 30

31 Dauerfestigkeitsschaubild nach Moore-Kommers-Jasper Oberspannung über dem Spannungsverhältnis Statische Beanspruchung bei RR=1 Anwendung vorwiegend bei dynamisch beanspruchten Schweißverbindungen Dauerfestigkeitsschaubild nach Goodman Abgewandeltes Smith-Diagramm Abszisse: σσ u anstatt σσ m Anwendung vorwiegend bei Federn Stephan Voigt, M.Eng. 31

32 2.3 Festigkeitsmindernde Einflüsse Kerbwirkung Stephan Voigt, M.Eng. 32

33 Kerbformzahl Die Kerbformzahl ist das Verhältnis aus tatsächlicher Spannung zu Nennspannung im Kerbgrund bei statischer Belastung in Abhängigkeit von Kerbform und Beanspruchung. Kerbformzahl = wirkliche Spannung Nennspannung Anwendung des Kraftflussmodells Kerbformzahl ist unabhängig von Werkstoff und Größe der elastischen Beanspruchung Stephan Voigt, M.Eng. 33

34 Je nach Beanspruchung gilt demnach: αα σz = σσ zmax σσ zn αα σb = σσ bmax σσ bn αα ττt = ττ tmax ττ tn Stephan Voigt, M.Eng. 34

35 Kerbformabhängigkeit Ermittlung von Kerbformzahlen Experimentell z.b. mittels DMS, Spannungsoptik Numerisch z.b. mittels FEM Für immer wiederkehrende Bauteile (z.b. Wellen) können z.b. DIN-Vorschriften herangezogen werden Stephan Voigt, M.Eng. 35

36 Beispiele für Kerbformzahlen aus DIN 743 (Tragfähigkeitsnachweis von Achsen und Wellen) Nennspannung im Kerbgrund σσ n = 4 FF ππ dd 2 Kerbformzahl αα σ = ,22 rr tt + 2,74 rr dd rr dd 2 Tatsächliche bzw. maximale Spannung σσ max = αα σ σσ n Stephan Voigt, M.Eng. 36

37 Kerbwirkungszahl Die Kerbwirkungszahl ist das Verhältnis aus der Dauerfestigkeit des glatten (kerbfreien) Probenkörpers zur Dauerfestigkeit des gekerbten Stabes. ββ σ = σσ D σσ DK ββ τ = ττ D ττ DK Einflussgrößen Form und Größe der Kerbe Beanspruchungsart Werkstoffeigenschaften (Zustand, Oberfläche etc.) Es gilt immer: 1 ββ αα Die Kerbwirkung bei dynamischer Beanspruchung ist immer geringer als bei statischer! Kerbformzahl ist obere Schranke der Kerbwirkungszahl Stephan Voigt, M.Eng. 37

38 Ermittlung von Kerbwirkungszahlen Experimentell kosten- und zeitintensive Dauerschwingversuche Numerisch über die Formzahl: ββ = ff(αα) Beispiel: Keil- (1) und Zahnwelle (2) Für dd BK = 29 mm Stephan Voigt, M.Eng. 38

39 Weitere festigkeitsmindernde Einflüsse Werkstofffestigkeit Umgebungsbedingungen (Temperatur, korrosive Medien etc.) Bauteiloberfläche (Rauheit bzw. Rautiefe, Fertigung) Bauteilgröße Statistischer Größeneinfluss Geometrischer Größeneinfluss Technologischer Größeneinfluss Oberflächentechnischer Größeneinfluss Stephan Voigt, M.Eng. 39

40 2.4 Festigkeitsnachweis Grundlegender Ablauf Ermittlung der (Nenn-)Beanspruchung (Schnittgrößen) in Abhängigkeit der äußeren Belastungen Festlegen der versagenskritischen Querschnitt bzw. der kritischen konstruktiven Details Beispiel: Welle Ermittlung der Beanspruchbarkeit aus Festigkeitskennwerten, Betriebsbedingungen und Einflussfaktoren Stephan Voigt, M.Eng. 40

41 Beanspruchung vs. Beanspruchbarkeit nach Nennspannungskonzept σσ vorhanden σσ zulässig = σσ Gestaltfestigkeit SS erf σσ Gestaltfestigkeit σσ vorhanden SS erf > 1 Stephan Voigt, M.Eng. 41

42 Sicherheitszahlen Schadensbild Bezugsgröße Sicherheitszahl Gewaltbruch Bruchfestigkeit SS B = 2,0 4,0 Ermüdungsbruch Dauerfestigkeit SS D = 1,5 2,5 Fließen Fließgrenze SS F = 1,2 2,0 Knicken, Beulen Knickspannung SS K = 3,0 5,0 Verzahnungsschäden Grübchenbildung Grübchendauerfestigkeit SS Hmin 1,1 Ermüdungsbruch Biegedauerfestigkeit SS Fmin 1,2 Fressen Fressintegraltemperatur SS Bmin 1,0 3,0 Seilbruch Aufzüge mit Treibscheibenantrieb Rechnerische Seilbruchkraft νν = 14 Kranseile Rechnerische Seilbruchkraft νν = 3 12 Stephan Voigt, M.Eng. 42

43 Schadenswahrscheinlichkeit Problem: Sicherheitszahl verknüpft zwei voneinander unabhängige Gruppen von Einflussgrößen unterschiedliche statistische Verteilungen, d.h. geringe Korrelation Möglichkeiten zur Verkleinerung des Schädigungsbereiches Vergrößerung von BB grenz Verringerung der Streubreite von BB grenz Gütekontrolle (Qualitätssicherung) Durchführung von Prüfungen Einbau von Belastungsbegrenzungen H(B grenz ) B grenz Stephan Voigt, M.Eng. 43

44 3. Tragfähigkeitsnachweis hinsichtlich zulässiger Verformungen Auswirkungen unzulässiger Verformungen Stephan Voigt, M.Eng. 44

45 Beispiel: Wälzlagerungen Größere Schiefstellungen infolge Wellendurchbiegung können nur durch Tonnen- und Pendelrollenlager ausgeglichen werden! Stephan Voigt, M.Eng. 45

46 Zulässige Verformungen: Ausgewählte Beispiele Durchbiegung von Wellen und Achsen im allg. Maschinenbau ff max = 0,33 mm/m (bezogen auf Stützlänge) Durchbiegung von Wellen und Achsen im Werkzeugmaschinenbau ff max = 0,2 mm/m (bezogen auf Stützlänge) Neigung von Gleitlagern (nicht einstellbar) tan ββ max (ββ max 1 ) Neigung von Rillenkugellagern tan ββ max (ββ max 3 ) Neigung von Zylinderrollenlagern tan ββ max (ββ max 0,6 ) Neigung von Pendelrollenlagern ββ max 2 Durchbiegung von Wellen mit Zahnrad (Eingriffsstelle) ff max = 0,005 mm n Neigung von Wellen mit gehärtetem Zahnrad (Eingriffsstelle) tan ββ max (ββ max 0,3 ) Durchbiegung von Schneckenwellen (Eingriffsstelle) ff max = 0,001 dd m Stephan Voigt, M.Eng. 46