Vorlesung 7b1. Der Zentrale Grenzwertsatz. Einführung und Erlebnis

Transkript

1 Vorlesung 7b1 Der Zentrale Grenzwertsatz Einführung und Erlebnis

2 Die Normalverteilung

3 Dichte ϕ der Standardnormalverteilung ϕ(x) x

4 ϕ(x) Die Gaußsche Glocke x

5 Die Standardnormalverteilung

6 Die Standardnormalverteilung Dichte:

7 Die Standardnormalverteilung Dichte: ϕ(x) := 1 2π e x2 /2

8 Die Standardnormalverteilung Dichte: ϕ(x) := 1 2π e x2 /2 Verteilungsfunktion:

9 Die Standardnormalverteilung Dichte: ϕ(x) := 1 2π e x2 /2 Verteilungsfunktion: Φ(a) := 1 2π a e x2 /2 dx

10 Die Standardnormalverteilung Dichte: ϕ(x) := 1 2π e x2 /2 Verteilungsfunktion: Φ(a) := 1 2π a e x2 /2 dx Z standardnormalverteilt:

11 Die Standardnormalverteilung Dichte: ϕ(x) := 1 2π e x2 /2 Verteilungsfunktion: Φ(a) := 1 2π a e x2 /2 dx Z standardnormalverteilt: P( Z < a ) = Φ(a)

12 Die Standardnormalverteilung EZ = 0 σ Z = 1

13 Die Standardnormalverteilung EZ = 0 σ Z = 1 Die allgemeine Normalverteilung N = µ + τz

14 Die Standardnormalverteilung EZ = 0 σ Z = 1 Die allgemeine Normalverteilung N = µ + τz EN = µ σ N = τ

15 Die Standardnormalverteilung EZ = 0 σ Z = 1 Die allgemeine Normalverteilung N = µ + τz EN = µ σ N = τ

16 Dichte ϕ der Standardnormalverteilung ϕ(x) x

17 ϕ(x) P( Z < 1) x

18 ϕ(x) Φ(1) Φ( 1) x

19 ϕ(x) P( Z < 2 ) x

20 Und für allgemeine normalverteilte Zufallsgrößen N? ϕ(x) x

21 ϕ(x) Dasselbe in grün x

22 P( N EN < σ N ) 0.68 ϕ(z) z = (x EN)/σ(N)

23 P( N EN < 2σ N ) 0.95 ϕ(z) z = (x EN)/σ N

24 Der Zentrale Grenzwertsatz

25 Die Summe von vielen kleinen, unabhängigen Summanden

26 Die Summe von vielen kleinen, unabhängigen Summanden ist annähernd normalverteilt.

27 DER ZENTRALE GRENZWERTSATZ

28 DER ZENTRALE GRENZWERTSATZ Seien X 1, X 2,... unabhängige, identisch verteilte Zufallsgrößen.

29 DER ZENTRALE GRENZWERTSATZ Seien X 1, X 2,... unabhängige, identisch verteilte Zufallsgrößen. Sei S n := X X n

30 DER ZENTRALE GRENZWERTSATZ Seien X 1, X 2,... unabhängige, identisch verteilte Zufallsgrößen. Sei S n := X X n und Z n := (S n ES n ) / σ Sn.

31 DER ZENTRALE GRENZWERTSATZ Seien X 1, X 2,... unabhängige, identisch verteilte Zufallsgrößen. Sei S n := X X n und Z n := (S n ES n ) / σ Sn. ( EZ n = 0 σ Zn = 1. )

32 Dann gilt: Z n ist asymptotsich standardnormalverteilt.

33 Dann gilt: Z n ist asymptotsich standardnormalverteilt. Das heißt: P( Z n < a ) Φ(a).

34 Geschichte des Zentralen Grenzwertsatzes

35 Abraham de Moivre

36 Der faire Münzwurf (1733)

37 Pierre-Simon Laplace

38 Allgemeine binomiale Zufallsgrößen (1812)

39 Pafnuty Lvovich Chebyshev

40 P( X EX > kσ ) 1 k 2 (1846)

41 Andrei Andreyevich Markov

42 Allgemeiner zentraler Grenzwertsatz

43 Aleksandr Mikhailovich Lyapunov

44 Noch allgemeiner (1906)

45 Nehmen wir an, diese Herren hätten sich auf ihre vielen anderen Interessen beschränkt.

46 Nehmen wir an, diese Herren hätten sich auf ihre vielen anderen Interessen beschränkt. ZENTRALER GRENZWERTSATZ Unbekannt Könnten wir ihn entdecken? Wie kämen wir auf e x2 /2?

47 Nehmen wir an, diese Herren hätten sich auf ihre vielen anderen Interessen beschränkt. ZENTRALER GRENZWERTSATZ Unbekannt.

48 Nehmen wir an, diese Herren hätten sich auf ihre vielen anderen Interessen beschränkt. ZENTRALER GRENZWERTSATZ Unbekannt. Könnten wir ihn entdecken?

49 Nehmen wir an, diese Herren hätten sich auf ihre vielen anderen Interessen beschränkt. ZENTRALER GRENZWERTSATZ Unbekannt. Könnten wir ihn entdecken? Wie kämen wir auf ϕ?

50 Nehmen wir an, diese Herren hätten sich auf ihre vielen anderen Interessen beschränkt. ZENTRALER GRENZWERTSATZ Unbekannt. Könnten wir ihn entdecken? Wie kämen wir auf ϕ? Warum gerade e x2 /2?

51 BEISPIEL

52 BEISPIEL Rundungsfehler bei Addition

53 In Wirklichkeit π =

54 In Wirklichkeit π = Im Rechner

55 In Wirklichkeit π = Im Rechner π

56 MODELL

57 MODELL Zahl = Rechnerdarstellung + Rundungsfehler.

58 MODELL Zahl = Rechnerdarstellung + Rundungsfehler. a = a [R] + εx ε = 10 15

59 MODELL Zahl = Rechnerdarstellung + Rundungsfehler. a = a [R] + εx ε = X uniformverteilt auf [ 0.5, 0.5].

60 MODELL Zahl = Rechnerdarstellung + Rundungsfehler. a = a [R] + εx ε = X uniformverteilt auf [ 0.5, 0.5]. n1 a i =?

61 MODELL Zahl = Rechnerdarstellung + Rundungsfehler. a = a [R] + εx ε = X uniformverteilt auf [ 0.5, 0.5]. n1 a i =? n1 a i = n 1 a [R] i + ε n 1 X i

62 MODELL Zahl = Rechnerdarstellung + Rundungsfehler. a = a [R] + εx ε = X uniformverteilt auf [ 0.5, 0.5]. n1 a i =? n1 a i = n 1 a [R] i + ε n 1 X i Wie groß ist der Fehler?

63 MODELL Zahl = Rechnerdarstellung + Rundungsfehler. a = a [R] + εx ε = X uniformverteilt auf [ 0.5, 0.5]. n1 a i =? n1 a i = n 1 a [R] i + ε n 1 X i Wie groß ist der Fehler? n1 X i?

64 Empirische Verteilung von S n := X X n

65 Empirische Verteilung von S n := X X n Simulationen

66 Empirische Verteilung von S n := X X n Simulationen n = 1, 2,..., 10

67 Empirische Verteilung von S n := X X n Simulationen n = 1, 2,..., 10 n = 15, 20,..., 100

68 f X (x) Dichte f X der Verteilung von X x

69 Dichte f X der Verteilung von X f X (x) EX = x

70 Dichte f X der Verteilung von X f X (x) EX = xf X (x)dx EX = x

71 Dichte f X der Verteilung von X f X (x) EX = xdx EX = x

72 Dichte f X der Verteilung von X f X (x) EX = 1 2 x EX = x

73 Dichte f X der Verteilung von X f X (x) EX = 0 EX = x

74 Dichte f X der Verteilung von X f X (x) σ EX = 0 σ = x

75 Dichte f X der Verteilung von X f X (x) σ σ 2 = E(X EX) 2 EX = 0 σ = x

76 Dichte f X der Verteilung von X f X (x) σ σ 2 = EX 2 EX = 0 σ = x

77 Dichte f X der Verteilung von X f X (x) σ σ 2 = x 2 f X (x)dx EX = 0 σ = x

78 Dichte f X der Verteilung von X f X (x) σ σ 2 = x2 dx EX = 0 σ = x

79 Dichte f X der Verteilung von X f X (x) σ σ 2 = 1 3 x EX = 0 σ = x

80 Dichte f X der Verteilung von X f X (x) σ σ 2 = 1 12 EX = 0 σ = x

81 Dichte f X der Verteilung von X f X (x) σ EX σ x

82 Dichte f X der Verteilung von X f X (x) Aus dieser Verteilung wird eine Stichprobe von gezogen. σ EX σ x

83 Anzahl Simulationen (aus ) Verteilung von Sn (n = 1) Sn

93 Anzahl Simulationen (aus ) Bisher: dynamische Skalierung Sn

94 Anzahl Simulationen (aus ) Jetzt: feste Skalierung Sn

113 Standardisierung: Z n := (S n ES n )/σ Sn Frequency S n

114 z Anzahl Simulationen (aus ) Standardisierung: Zn := (Sn ESn)/σ S n (n = 1)

123 z Anzahl Simulationen (aus ) Standardisierung: Zn := (Sn ESn)/σ S n (n = 10)123456

142 Die Verteilung von Z n scheint zu konvergieren.

143 Die Verteilung von Z n scheint zu konvergieren. Welche Form hat die Grenzverteilung?

144 Die Verteilung von Z 100 ist glockenförmig.

145 Die Verteilung von Z 100 ist glockenförmig. Welche Glocke?

146 Glücklicher Einfall:

147 Glücklicher Einfall: Zwei unabhängige Kopien (U, V) = (Z 100, Z 100 )

148 Glücklicher Einfall: Zwei unabhängige Kopien (U, V) = (Z 100, Z 100 ) Wie sieht die gemeinsame Verteilung von U und V aus?

149 Simulationen V = Z U = Z 100

160 Die Verteilung von (U, V) ist rotationssymmetrisch! V = Z U = Z 100

161 Was lernen wir daraus?

162 Was lernen wir daraus? Wir wissen:

163 Was lernen wir daraus? Wir wissen: U und V unabhängig

164 Was lernen wir daraus? Wir wissen: U und V unabhängig Verteilung von (U, V) rotationssymmetrisch

165 Was lernen wir daraus? Wir wissen: U und V unabhängig Verteilung von (U, V) rotationssymmetrisch Daraus folgt schon, dass U und V normalverteilt sind:

166 Was lernen wir daraus? Wir wissen: U und V unabhängig Verteilung von (U, V) rotationssymmetrisch Daraus folgt schon, dass U und V normalverteilt sind: f U (x) = f V (x) = 1 σ 2π e x2 /(2σ 2 )

167 Wieso?

168 Wieso? unabhängig:

169 Wieso? unabhängig: f (U,V) (a, b) = f U (a)f V (b)

170 Wieso? unabhängig: f (U,V) (a, b) = f U (a)f V (b) rotationssymmetrisch:

171 Wieso? unabhängig: f (U,V) (a, b) = f U (a)f V (b) rotationssymmetrisch: f (U,V) (a, b) = g(r) r := a 2 + b 2

172 Wieso? unabhängig: f (U,V) (a, b) = f U (a)f V (b) rotationssymmetrisch: f (U,V) (a, b) = g(r) r := f U = f V =: h a 2 + b 2

173 Wieso? unabhängig: f (U,V) (a, b) = f U (a)f V (b) rotationssymmetrisch: f (U,V) (a, b) = g(r) r := f U = f V =: h g(r) = h(a)h(b) a 2 + b 2

174 g(r) = h(a)h(b)

175 g(r) = h(a)h(b) g(r) = ch(r) (c = h(0)))

176 g(r) = h(a)h(b) g(r) = ch(r) (c = h(0))) ch( a 2 + b 2 ) = h(a)h(b)

177 g(r) = h(a)h(b) g(r) = ch(r) (c = h(0))) ch( a 2 + b 2 ) = h(a)h(b) Eine Lösung:

178 g(r) = h(a)h(b) g(r) = ch(r) (c = h(0))) ch( a 2 + b 2 ) = h(a)h(b) Eine Lösung: h(x) = e x2

179 g(r) = h(a)h(b) g(r) = ch(r) (c = h(0))) ch( a 2 + b 2 ) = h(a)h(b) Eine Lösung: h(x) = e x2 e (a2 +b 2) = e a2 e b2

180 Allgemeine Lösung

181 Allgemeine Lösung (logarithmieren; nach a ableiten)

182 Allgemeine Lösung (logarithmieren; nach a ableiten) h(x) = k 1 e k 2x 2

183 Allgemeine Lösung (logarithmieren; nach a ableiten) h(x) = k 1 e k 2x 2 Nebenbedingungen:

184 Allgemeine Lösung (logarithmieren; nach a ableiten) h(x) = k 1 e k 2x 2 Nebenbedingungen: P{ U < } = h(x)dx = 1

185 Allgemeine Lösung (logarithmieren; nach a ableiten) h(x) = k 1 e k 2x 2 Nebenbedingungen: P{ U < } = h(x)dx = 1 σ 2 (U) = x 2 h(x)dx = 1

186 Allgemeine Lösung (logarithmieren; nach a ableiten) h(x) = k 1 e k 2x 2 Nebenbedingungen: P{ U < } = h(x)dx = 1 σ 2 (U) = x 2 h(x)dx = 1 h(x) = 1 2π e x2 /2

187 FAZIT

188 FAZIT Der Zentrale Grenzwertsatz lässt sich erraten

189 FAZIT Der Zentrale Grenzwertsatz lässt sich erraten (in konkreten Fällen,

190 FAZIT Der Zentrale Grenzwertsatz lässt sich erraten (in konkreten Fällen, mit etwas Glück).

191 ENDE