Elektrotechnik I WS 03/04 Prof. Dr.-Ing. W. Schwarz Mitschrift. Fabian Kurz

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1 Elektrotechnik WS 03/04 Prof. Dr.-ng. W. Schwarz Mitschrift Fabian Kurz Letzte Aktualisierung: 8. September 2004

2 nhaltsverzeichnis 0 Physikalische Größen und Einheiten 1 1 Grundbegriffe Ladung Elektrischer Strom Definition Kennzeichen des Stroms Grundeigenschaft des Stromes: Kontinuität Messung des Stromes Elektrische Spannung Definition Kennzeichen der Spannung Grundeigenschaften der Spannung Messung der Spannung Energie und Leistung Grundbeziehungen Leistungsumsatz Messung der elektrischen Leistung Die Elektrischen Grundgrößen Resistive Zweipole Grundbegriffe Messung (Aufnahme) der Kennlinie Beispiele Kennlinienaufnahme mit dem Oszilloskop Leistung am Zweipol Leistungsumsatz Aktive und passive Zweipole Zählpfeilsystem Strom und Spannungsquellen Kurzschluss Spannungsquelle Leerlauf

3 2.3.4 Stromquelle Anwendungen Der linear resistive Zweipol (Widerstand, Resistor) Ohmsches Gesetz Widerstand und Leitwert (Definitionsgleichungen) Bemessungsgleichungen Temperaturabhängigkeit Experiment: Temperaturabhängigkeit d. Widerstandes Schaltungen mit Zweipolen Grundschaltungen Scherung von Kennlinien Schaltungen mit Strom und Spannungsquellen nzulässige Zusammenschaltungen Schaltungen mit Widerständen Reihen Parallelschaltungen Strom und Spannungsteiler Überlagerungssatz Lineare Überlagerung von rsachen und Wirkungen Einführungsbeispiel Netzwerkanalyse mit Überlagerungsverfahren Zweipoltheorie Aktive lineare Zweipole Kennfunktion Spannungsquellenersatzschaltung Stromquellenersatzschaltung Beispiele und Anwendungen Netzwerkanalyse mit Zweipoltheorie Äquivalente aktive Zweipole Verfahren Grundstromkreis Strom und Spannung Leistungsumsatz Leistungen nformationstechnische Aufgabe Energietechnische Aufgabe Nichtlinearer aktiver Zweipol: Solarzelle Gesteuerte Quellen Einführungsbeispiel: Optokoppler Arten gesteuerter Quellen Spannungsgesteuerte Spannungsquelle

4 6.2.2 Stromgesteuerte Spannungsquelle Stromgesteuerte Stromquelle Spannungsgesteuerte Stromquelle Anwendungen und Beispiele Gegengekoppelter Verstärker Bipolartransistor Fremderregte Gleichstrommaschine Methoden der Netzwerkanalyse Netzwerkbeschreibung Grundaufgabe der Netzwerkanalyse Analyse mit dem vollst. Kirchhoffschen Gleichungssystem Methode des vollständigen Baumes Kennzeichnungs oder Auftrennmethode Fenstermaschenmethode Allgemeiner Zweig in einem lin. resistiven Netzwerk Beispielnetzwerk Knotenspannungsanalyse (Node analysis) Knotenspannungen (Knotenpotentiale) Verfahren Knotenspannungsanalyse mit gesteuerten Quellen Knotenspannungsanalyse mit Spannungsquellen Maschenstromanalyse (mesh/loop analysis) Maschenströme Verfahren Anwendungen und Beispiele Elektrothermische Analogien Thermischer Leistungsfluß und Temperaturdifferenz Thermischer Leistungsfluß (Wärmestrom) Temperaturdifferenz Thermischer Widerstand Definitionsgleichung Wärmetransportmechanismen, Bemessungsgleichnungen Beispiele Thermische Ersatzschaltung

5 Kapitel 0 Physikalische Größen und Einheiten ˆ kennzeichnen physikalische Erscheinungen ˆ dienen zur quantitativen Beschreibung physikalischer Zusammenhänge ˆ Grund-Basisgrößen Mechanik: Weg s, Zeit t, Masse m Elektrotechnik: Ladung Q ˆ Definitionsgleichungen: definieren abgeleitete Größen aus Basisgrößen (subjektiv, aber zweckmäßig), müssen gelernt werden! Geschwindigkeit: v = s t Energie: W = F s Widerstand: R = Leitwert: G = ˆ Naturgesetze: geben objektive funktionelle Zusammenhänge physikalischer Größen an; werden durch Erkenntnis (Messen etc.) diktiert, müssen verstanden werden! Beispiele: m F = k 1 m 2 n r m 1 F 1 F 2 2 m 2 Gravitationsgesetz r Naturgesetz F 1 Q 1 Q 2 F F = k Q el 1 Q 2 r 2 2 Coloumbsches Gesetz r Naturgesetz 1

6 Struktur einer physikalischen Größe Größe = Zahlenwert } {{ } Quantität Beispiel s = 5 1 m = 5 m Maßeinheit } {{ } Qualität Zahlenwert und Maßeinheit sind mathematische Faktoren. Daher sind mformungen einer physikalischen Größe möglich: s s = 5 1 m 1 m = 5 s } {{ } 5 = 1 m } {{ } s gemessen in m ist 5 s durch 5 ergibt 1 m Darstellungsformen physikalischer Gleichungen Größengleichungen verbinden physikalische Größen Beispiel: Wieviele Meter legt ein Kraftfahrzeug bei einer Geschwindigkeit von 120 km h in 3 Sekunden zurück? s = vt = 120 km h 3 s = m 3600 s 3 s = 100 m Kennzeichen: Es wird ein konkreter Wert einer physikalischen Größe bestimmt. Zugeschnittene Größengleichungen Beispiel: Gesucht ist der Weg s (in Metern), den ein Fahrzeug mit der Geschwindigkeit v (in km h ) in einer Zeit t (in Sekunden) zurücklegt. s = vt = v km h km h t s s = v t 10 3 m km s h 3600 s s = 1 3,6 v t km s h Dimension und Maßeinheiten Die eckige Klammer [X] gibt die Dimension der physikalischen Größe X an. Sie kann auch zur Angabe der Maßeinheit verwendet werden. Beispiel: Beschleunigung a [a] = [s] Dimensionsangabe [t] 2 [a] = m s 2 Angabe einer Maßeinheit Es gilt [] = V, aber [V] hat keinen Sinn. 2

7 Kapitel 1 Grundbegriffe 1.1 Ladung Die Ladung ist die Grundgröße der Elektrotechnik. Sie dient zur Beschreibung von Kraftwirkungen, die mechanisch nicht erklärt werden können. Eigenschaften: ˆ Es gibt positive und negative Ladungen ˆ Gleichnamige Ladungen stoßen einander ab, ungleiche Ladungen ziehen sich an ˆ Die Ladung ist gequantelt. Die kleinste bekannte Ladung ist die Elementarladung e = 1, C. Eine beliebige Ladung kann nur ganzzahliges Vielfaches dieser Elementarladung sein. Q = ne n N ˆ Ladung ist stets an Ladungsträger gebunden (onen, Elektronen). ˆ Die Ladung ist eine Erhaltungsgröße. n einem abgeschlossenen Volumen V (ohne Wechselwirkung mit der Außenwelt) ist die Ladungsmenge konstant. Ladungen können innerhalb von V nur paarweise entstehen (Ladungstrennung, Generation) oder verschwinden (Rekombination). 1.2 Elektrischer Strom Definition Strom (Fluß) ist gerichtete Bewegung einer Quantität. Elektrischer Strom ist die gerichtete Bewegung von Ladungen (Konvektionsstrom). = dq dt in dt durch den Leiterquerschnitt bewegte Ladung = dt 3

8 [] = [Q] [t] = C s = 1 A (Ampere) = Grundeinheit der Elektrotechnik Beispiel: Q(t) Q 0 T 3T Q(t) : die bis t durch den Leiterquerschnitt geströmte Ladung Gesucht: (t) 1. Aufstellung der Beziehung für Q(t): Q(t) = Q 0 t T Q 0 3T t 2T 0 t T 0 sonst T t 3T 2. Bestimmung von (t): (t) Q 0 T Q 0 2T Q 0 Q 0 T 3T (t) = dq dt = Q 0 T Q 0 2T 0 t T 0 sonst T t 3T mkehrung (t) gegeben, Q(t) gesucht (t) dq dt = (t) Differenzialgleichung t 0 t 1 Q(t 1 ) Q(t 0 ) t 1 = (t)dt t 0 4

9 [ ] Q(t1 ) Q(t 1 ) Q(t 0 ) = Q = Q(t 0 ) t 1 t 0 (t)dt Q(t 1 ) = Q(t 0 ) + t 1 t 0 (t)dt Verallgemeinerung: Die ntegrationsgrenze t 1 wird in t umbenannt, daher muß die ntegrationsvariable in t umbenannt werden. NB: t Q(t) = Q(t 0 ) + (t )dt t 0 (t)dt ist zur Beschreibung von Naturvorgängen nicht geeignet! Beispiel: Parabelförmiger Stromimpuls (t) gesucht: Q(t) 0 T 2 T t (t) = { a + bt + ct 2 0 t T 0 sonst Zur Bestimmung der Gleichung für die Parabel werden 3 Punkte benötigt (3 Gleichungen, 3 nbekannte). (0) = 0 a = 0 (T ) = 0 0 = bt + ct 2 ( T 2 ) = 0 0 = b T 2 + c T 2 4 b = ct 0 = c T c T 2 4 = c T 2 4 c = 4 0 T 2 b = 4 0 T ( ) t (t) = 4 0 T ( t T )2 5

10 Einsetzen in die Differentialgleichung: t t t ( ) t Q(t) = Q(t 0 ) + (t )dt = (t )dt = 4 0 T ( t 2 T 2 ) dt t } {{ } t 0 =0; Q(t 0 )=Q(0)=0 [ ] t 2 t [ = 4 0 2T t 3 t 2 3T 2 = ] 2T t3 3T 2 Berechnung von Q(0), Q( T 2 ) und Q(T ): ( ) T Q(0) = 0 Q = 0T 2 3 Q(t) [ ] t 2 = 4 0 T 2T 2 t3 3T 3 (für 0 t T ) Q(T ) = 2 0T T 3 0 T 3 T 2 T t Q(t) = 2 0T 3 für T t Kennzeichen des Stroms 1. Magnetische Wirkung: Ein elektrischer Strom ist immer von einem Magnetfeld begleitet (Ampere sches Gesetz) nützlich Elektromagnet Wellenausbreitung störend Störfelder Elektrosmog 2. Thermische Wirkung: Ein Strom kann eine Erwärmung des Leiters bewirken. nützlich elektrische Heizung elektrisches Schmelzen störend Leitungsverluste 3. Chemische Wirkung: Ein Strom kann Stoffumwandlungen und Stofftransport bewirken. nützlich Galvanotechnik elektrolytische Verfahren Akkumulatoren störend elektrokorrision 6

11 1.2.3 Grundeigenschaft des Stromes: Kontinuität ab Die Ladung Q in einem abgeschlossenem Volumen ist konstant. V Hülle Q zu dq dt = 0 Der Gesamtstrom durch eine geschlossene Hülle H ist Null. = zu ab = 0 Der elektrische Strom verhält sich wie eine inkompressible Flüssigkeit. Spezialfall: Strom in konzentrischen Leitern = 0 Summe der zufließenden Ströme Schnittmenge = 0 Summe der abfließenden Ströme Die Gesamtsumme der in ein/aus einem geschlossenes Volumen hinein/herausfliessenden Ströme ist Null (Schnittmengengesetz der Netzwerktheorie). Beispiele: 1. Elektrisches Netzwerk = 0 Ein Strom ergibt sich jeweils aus den beiden anderen 2. Bipolartransistor: C B E B c + E = 0 E = B + C 7

12 Kirchhoff sches Stromgesetz (Knoten(punkt)-Satz) (Kirchhoffs Current Law KCL) Hinfließender Strom: m = m Abfließender Strom: n = n Die Gesamtsumme aller dem/vom Knoten zu-/weg-fließenden Ströme ist Null Messung des Stromes Grundregel: Strom wird immer durch einen Querschnitt gemessen. Punkt im elektrischen Netzwerk 1. Durch Magnetfeledmessung (a) Kraftwirkungen (z.b. Drehspul-/Dreheiseninstrument) (b) Messung der magnetischen Flußdichte 2. Strommessung durch Messung des Spannungsabfalls an einem Messwiderstand 3. Auswertung der Wärmeentwicklung (a) Hitzdraht-Messwerk (b) Bimetall-Messwerk 4. Auswertung der chemischen Wirkung historisch die Ampere- Definition 1.3 Elektrische Spannung Definition W A Q W A W B Ladungstransport ist mit Energietransport verbunden. Ladungsträger sind Energieträger. AB = W A W B Q A V AB B Definition der elektrischen Spannung Spannungsrichtung: vom höheren (+) zum niedrigeren ( ) Energieniveau [] = [W ] [Q] = J C = Ws As = W A = 1 V (Volt) 8

13 Prof. Dr. ng. W. Schwarz: Für Plus wird die Farbe blau häufig (malt ein rotes Plus) und für Minus die Farbe Minus verwendet Kennzeichen der Spannung allgemein: Spannung kennzeichnet die Tendenz zum Ladungsausgleich. Stromantrieb: Eine an einen Leiter angelegte Spannung treibt einen Strom durch den Leiter. Mechanische Kräfte: solierte Leiter, zwischen denen eine Spannung liegt ziehen einander an. F F + Erzeugung: 1. Grenzschichteffekte (a) Metall Elektrolyt (z.b. Batterien) (b) Metall Metall (z.b. Thermoelemente) (c) Halbleiter Halbleiter (Photodiode) 2. nduktionswirkung Generatoren Grundeigenschaften der Spannung 3 4 Masche: geschlossener mlauf in einem elektrischen Netzwerk. Eine Ladung Q läuft auf dem Weg Q Sie hat 5 + im Zielpunkt 0 die gleiche + Energie wie beim Start W = W 01 + W 12 + W 23 + W 34 + W 45 + W 50 = 0 W Q = W 01 Q + W 12 Q + W 23 Q + W 34 Q + W 45 Q + W 50 Q = 0 = = 0 9

14 Kirchhoff sches Spannungsgesetz (Maschensatz) (Kirchhoff s Voltage Law) Bei mlauf in einer Masche ist die Summe aller in mlaufrichtung gezählter Spannungen Null. Beispiele und Anwendungen ν = 0 R1 D1 q1 D2 1 3 R2 q2 2 1 : D1 R1 + q1 D2 = 0 2 : D2 + q2 R2 = 0 3 : D1 R1 + q1 + q2 R2 = 0 3 = 1+ 2 Nur zwei Maschengleichungen sind voneinander abhängig! Problem: Möglichst genaue Messung von Spannungen in einem engen Bereich u < < o. u o = 0 = u 1 0 = u 1 u = 1 V 1 10

15 1.3.4 Messung der Spannung Spannung wird zwischen zwei Punkten gemessen. 1. Durch Auswertung des Stromantriebs (Kraftwirkung im magnetischen Feld). (Stromführender Spannungsmesser) A B Anzeige m 2. Durch Auswertung der Kraftwirkung im elektrischen Feld k F = kα = f(α) α α = f()/k 1.4 Energie und Leistung Mechanik: W = F s = s 2 s 1 F (s)ds [W ] = Nm = J (Joule) P = dw dt [P ] = J s = W (Watt) Grundbeziehungen A = dq dt B = W Q W = Q W = Q gilt, wenn sich die Spannung nicht ändert 11

16 Beispiel: KFZ-Akku (12V, 56 Ah). Gespeicherte Energie: W = Q = 56 Ah 12 V = As 12 V = Ws W = 2,42 MWs Wieviele l Wasser können damit von 20 C auf 100 C erhitzt werden? Spezifisches Wärmeäquivalent für Wasser: w w = W w mϑ = 4,19 kws kg K (1 kcal) m = W w w w ϑ = W Akku w w ϑ 2,42 MWs kg K = = 7,2 kg 4,19 kws 80 K Allgemeiner Fall: Spannung ändert sich dw = dq = dw dt = P = dq dt = = P dt W (t) W (t 0 ) dw = t t P (t ) dt W (t) W (t 0 ) = P (t ) dt t 0 t 0 t W (t) = W (t 0 ) + t 0 P (t ) dt P (t ) = (t ) (t ) Beispiel: Entladekurve des Lithium-onen-Akkus ( 0 = 100 ma) (t) V Gesucht: W (t) : 0 t 4h P (t) = (t) (t) = 0 ( 0 at) (t) = 0 at und (t) = t h 0 = 4 V, a = 1 V 5 h = 0,2 V h t 0 = 0; W (t 0 ) = 0 W (t) = t 0 P (t ) dt = 0 t 0 [ ( 0 at ) dt = 0 0 t a ] t 2 t

17 = 0 ( t a 2 t2 ) = 0,4 Wh ( t h ) 0,01 Wh h ( ) t 2 h ( ) ( W (t) t t Wh = 0,4 0,01 h h ) 2 P (t) W 1,6 1,44 W (4h) = 1,6 Wh 0,16 Wh = 1,44 Wh Gestrichelte Linie: Energieverlauf bei konstanter Spannung 4 t h Leistungsumsatz + + P P ˆ und sind gleichsinnig ˆ von + nach - ˆ Elektrische Leistung P = wird in nichtelektrische Leistung umgewandelt ˆ und sind gegensinnig ˆ von - nach + ˆ Nichtelektrische Leistung wird in elektrische Leistung umgewandelt 13

18 1.4.3 Messung der elektrischen Leistung Ein Leistungsmesser muß gleichzeitig in den Stromkreis geschaltet und an der Spannungsquelle angeschlossen werden. 10,23 W Experiment zum Leistungsumsatz A V W + Netzteil Netzgerät ausgeschaltet: Batterie liefert eine Leistung von 10 W, die Glühbirne leuchtet Netzteil angeschaltet: Mit steigendem Strom sinkt die von der Batterie abgegebene Leistung, ab einer bestimmten Stromstärke nimmt die Leistung einen negativen Wert an, d.h. die Batterie wird geladen. Die Helligkeit der Glühbirne bleibt unverändert. 1.5 Die Elektrischen Grundgrößen Ladung Q Spannung = W Q Energie W el. Strom = dq dt el. Leistung P = Leistung P = dw dt 14

19 Kapitel 2 Resistive Zweipole 2.1 Grundbegriffe Zweipol (Eintor, Oneport): Abgeschlossenes elektrisches Objekt mit zwei Anschlußstellen (Klemmen). Bei einem resisitven Zweipol besteht zu jedem Zeitpunkt der gleiche - Zusammenhang. Das Klemmenverhalten eines resistiven Zweipols: Zusammenhang von Strom und Spannung wird durch die - Relation beschrieben. f(, ) = 0 graphische Darstellung: Kennlinie = Y () = Z() - Kennlinie Y - Kennlinie Z Spannung treibt einen Strom durch den Zweipol Strom erzeugt Spannung 15

20 Die beiden Funktionen Y und Z müssen nicht existieren! z.b.: Tunneldiode: ist keine Funktion von z.b.: Lichtbogen: ist keine Funktion von Messung (Aufnahme) der Kennlinie A V + A + V Stromrichtig Spannungsrichtig Beispiele Glühbirne Metallfadenlampe Kohlefadenlampe (Halbleiter) Hg-Lampe Glimm-Stabilisator 16

21 2.1.3 Kennlinienaufnahme mit dem Oszilloskop Stromrichtig (Bedingung: ) s + X Y = R Spannungsrichtig (Bedingung: g ) s g X Y = g R = g R (für g ) Beispielaufnahmen Widerstand Diode Kondensator keine Kennlinie! 17

22 2.2 Leistung am Zweipol Leistungsumsatz + P P = : in den Zweipol hineinströmende Leistung Linien gleicher Leistung P = = konstant = P P P P P V P, : Zweipol nimmt Leistung auf (Verbraucher) P,V : Zweipol gibt Leistung ab (Erzeuger) Leistungshyperbeln Beispiele: Ein Zweipol nimmt ständig eine Leistung von 10 W auf. Wie sieht seine Kennlinie aus? Alle Punkte / der Leistungshyperbel haben das Produkt P = 10W /A /V /A 1 P 2 2 P 1 /V m Diagramm stellen wir Ströme und Spannungen als Strecken, Leistungen als Flächen dar. 18

23 Verlauf der Leistung in Abhängigkeit der Spannung. Oberhalb der Achse: Verbraucher, unterhalb der Achse: Erzeuger P Aktive und passive Zweipole passiver Zweipol: nimmt immer Leistung auf. Kennlinie liegt ausschliesslich im ersten und dritten Quadranten (und muß durch den rsprung gehen). aktiver Zweipol: kann Leistung liefern. Kennlinie verläuft ganz oder teilweise im zweiten und/oder vierten Quadranten Beispiel: Wie sieht die Kennlinie eines Zweipols aus, der immer Leistung liefert? ( negativer Widerstand ) 19

24 2.2.3 Zählpfeilsystem nach DN 5489 Verbraucher-Zählpfeilsystem Erzeuger-Zählpfeilsystem Aufgenommene Leistung P auf = P > 0 Verbraucher P < 0 Erzeuger Abgegebene Leistung P ab = Aufgenommene Leistung P auf = P > 0 Verbraucher P < 0 Erzeuger Abgegebene Leistung P ab = Verbraucht Leistung im ersten und dritten Quadranten, erzeugt Leistung im zweiten und vierten Quadranten. Erzeugt Leistung im ersten und dritten Quadranten, verbraucht Leistung im zweiten und vierten Quadranten. Beispiel für das Zählpfeilsystem: KFZ-Bordnetz R G G G G B B M M Erzeugerpfeilsystem Verbraucherpfeilsystem 20

25 2.3 Strom und Spannungsquellen Kurzschluss = Z() 0 = Y () existiert nicht! Spannungsquelle 0 = Z() = 0 = Y () existiert nicht! Kurzschluss: Spezialfall der Spannungsquelle 0 Beispiel einer Spannungsquelle: Autobatterie (nicht ideal, da R i > 0) V /A 0 = 13 V R i = 1 V = 50 mω 20 A i = i R i = 260 A Leerlauf = Y () = 0 = Z() existiert nicht! 21

26 2.3.4 Stromquelle 0 = Y () = 0 = Z() existiert nicht! Anwendungen Labornetzgerät: V 0 0 /A Bis < 0 verhält sich das Labornetzteil wie eine ideale Spannungsquelle, bei 0 tritt die Strombegrenzung in Kraft und das Netzteil verhält sich wie eine Stromquelle. Direktanzeigender Widerstandsmesser: 0 V Durch den konstanten Strom entsteht eine proportionale Abhängigkeit von und R. = R 0 R Daher kann der Widerstand am (auf Ohm geeichten) Voltmeter direkt abgelesen werden. 2.4 Der linear resistive Zweipol (Widerstand, Resistor) Ohmsches Gesetz 0 Bei einem Widerstand sind Strom und Spannung proportional. Ohmsches Gesetz 22

27 2.4.2 Widerstand und Leitwert (Definitionsgleichungen) Widerstand (Resistance) Leitwert (Conductance) β α R = tan α G = tan β Bei nichtlinearen Zweipolen β α differenzieller Widerstand differenzieller Leitwert r = d d tan α g = d d tan β Maßeinheiten [R] = [r] = [] [] = V = 1Ω (Ohm) A [G] = [g] = [] [] = A V = 1S (Siemens) = 1 (Mho) Bemessungsgleichungen l A experimentell: R l, R 1 A R = ϱ l A ϱ : spezifischer Widerstand R = l κa κ = 1 ϱ : Leitwert [ϱ] = [R][A] [l] = [R][l][l] [l] = [R][l] = Ωm analog: [κ] = S m auch üblich: [ϱ] = Ωmm2 m = 10 9 Ωm [κ] = S cm = 100 S m 23

28 2.4.4 Temperaturabhängigkeit Die Temperaturabhängigkeit ist durch die Änderung von ϱ begründet. R Kaltleiter: α>0 R 0 R Heißeiter: α<0 273 T 0 T 0 ϑ 0 ϑ Bezugstemperatur: T 0 = 293 K ϑ 0 = 20 C Celsius Skala: ϑ/ C = T/K 273 T/K ϑ/c Tangente im Punkt T 0, R 0 R(T ) = R(T 0 ) } {{ } T 0 : Bezugstemperatur R 0 : Widerstand bei T 0 R 0 + dr (T T dt 0 ) } T0 {{ } R R(T ) = R 0 + R R 0 = R(T 0 ) R = dr dt Temperaturkoeffizient ( R(T ) = R R ) ( = R ) dr T R 0 R 0 dt } {{ } konst. α T T0 α = dr R 0 dt = T0 rel. Widerstandsänderung bei Temperaturänderung dt dt R = R 0 (1 + α T ) [α] = 1 K 24

29 Temperaturkoeffizient des Leitwertes G = G 0 (1 + α G T ) = 1 R 0 (1 + α T ) 1 (1 + α T ) 1 R }{{} 0 G 0 Approximation von x n x n 1 + n(x 1) für x 1 1 x = 1 + ε (1 + ε) n 1 + nε für ε 1 G G 0 (1 α T ) ε = (1 + ε) 1 1 ε α α R Beispiel α = 1 R 0 dr dt = 1 T0 l ϱ 0 A Metalle ϱ(t ) = ϱ M ( T θ a ) ( ) l d ϱ 0 A = dt T0 1 dϱ ϱ 0 dt } {{ T0 } Temp.koeff. d. spez. Widerstandes a 0,15 θ (linear über sehr weite Temperaturbereiche) Debye-Temperatur z.b. Cu = 333 K, Al = 393 K, Ag=215 K α = 1 ϱ(t 0 ) dϱ(t) dt = T0 1 ϱ m ( T0 θ ) ϱ m a θ = 1 T 0 aθ Cu bei 293 K: θ = 333 K α 20 = K 0, K = K 1 25

30 2.4.5 Experiment: Temperaturabhängigkeit des Widerstandes Beispiel 1 Der Widerstand einer Kupferspule, einer Konstantanspule, eines Heißleiters sowie eines Kaltleiters wird jeweils bei mgebungstemperatur ϑ 1 = 20 C und bei ϑ 2 = 97 C gemessen. Die Meßergebnisse sind tabellarisch dargestellt. Da beim Heiß /Kaltleiter kein linearer Zusammenhang zwischen der Temperatur und dem Widerstand besteht kann hier kein α angegeben werden. Material/Werte R(ϑ 1 ) R(ϑ 2 ) R α (= R R 0 T ) Kupfer 9,73 Ω 12,52 Ω 2,79 Ω 0,0037 K 1 Konstantan 16,56 Ω 16,36 Ω 0,20 Ω 0,00013 K 1 Heißleiter 25,00 Ω 4,10 Ω 20,90 Ω Kaltleiter 100,00 Ω 876,00 Ω 776,00 Ω Beispiel 2: Halogenlampe (24 V, 100 W) T Kennlinie R Widerstand als Funktion der Temperatur T T P Leistung als Funktion der Temperatur (linearer Maßstab) P Leistung als Funktion der Temperatur (Doppeltlogarithmischer Maßstab) Wärmestrahlung 26

31 2.5 Schaltungen mit Zweipolen Grundschaltungen Serienschaltung 1 =Z 1 () 2 =Z 1 () 1 2 Parallelschaltung 1 1 =Y 1 () 2 2 =Y 2 () = = Z() = Z 1 () + Z 2 () = = Y () = Y 1 () + Y 2 () Z 2 Y 2 Z 1 Y Addition der Spannungswerte bei jeweils gleichen Stromwerten. Addition der Stromwerte bei jeweils gleichen Spannungswerten. Widerstand / Leitwert = = = R = R 1 + R 2 = R = 1 R R 2 1 G = 1 G G 2 G = G 1 + G 2 Das selbe gilt für den differentiellen Widerstand und Leitwert. 27

32 Beispiele und Anwendungen 1. Antiparallele Dioden 1 2 ( ) D = S e D T 1 ( ) ) = = S e T 1 S (e T 1 = S ( e T e T ) = 2 s sinh T (da ex x x 2 = sinh x) Kennlinie zweier antiparalleler Dioden. Praktische Anwendung: Spannungsbegrenzung Scherung von Kennlinien Z Diode und Widerstand in Serienschaltung Gemeinsame Kennlinie: Addition der Spannungen R D 28

33 Z Diode und Widerstand in Parallelschaltung Gemeinsame Kennlinie: Addition der Ströme R D Schaltungen mit Strom und Spannungsquellen 0 = Spannungsquelle: Bei jedem Spannungswert die Ströme addieren Die Parallelschaltung hat keinen Einfluß auf das Klemmenverhalten. Zweipol 0 Spannungs quelle Stromquelle: Bei jedem Stromwert die Spannungen addieren Zweipol hat keinen Einfluß auf das Klemmenverhalten Stromquelle 0 0 = 0 Zweipol 29

34 0 0 Verschiebung der Kennlinie in Richtung 0 0 Verschiebung der Kennlinie in Richtung nzulässige Zusammenschaltungen Widerspricht dem Maschensatz! Widerspricht dem Knotensatz! 30

35 2.6 Schaltungen mit Widerständen Reihen Parallelschaltungen Reihen Parallelschaltungen lassen sich auf Reihen und Parallelschaltungen zurückführen. Beispiel: Abzweigschaltung A R 1 R 3 R 5 B R 2 R 4 R 6 R AB = R 1 + Gegenbeispiel: Brückenschaltung R R R 4 R 5 +R 6 n der Brückenschaltung gibt es keine zwei Widerstände, die in Reihe oder parallel geschaltet sind. 31

36 2.6.2 Strom und Spannungsteiler Spannungsteiler 0 Stromteiler 0 R 1 = G 1 G 2 R 2 2 = 0 R 1 + R 2 = 0 G 1 + G 2 2 = R 2 2 = G = R 2 R 1 + R 2 = G 1 G 1 + G = G 2 G 1 + G 2 = R 1 R 1 + R 2 Teilspannung Gesamtspannung = Teilwiderstand Gesamtwiderstand Teilstrom Gesamtstrom = Teilleitwert Gesamtleitwert = nicht durchflossener Widerstand Ringwiderstand der Masche Beispiele 1. Wheatstonesche Brücke gesucht: = 0 R 1 0 R 3 2 R 2 4 R 4 = = R 2 R 1 + R 2 0 = R 4 4 = 0 R 3 + R 4 R 2 0 R ( 4 R 2 0 = R ) 4 R 1 + R 2 R 3 + R 4 R 1 + R 2 R 3 + R

37 Abgleichbedingung: = 0 R 2 R 1 + R 2 = R 4 R 3 + R 4 R 1 R 2 + R 2 R 2 = R 3 R 4 + R 4 R 4 2. Mehrfacher Stromteiler R 1 R 2 = R 3 R 4 0 G 1 G G 3 G 4 4 = Gesucht: 4 G 4 G 3 + G = G 234 G 2 + G 3 + G 4 0 G 234 = 1 1 G G 3 +G 4 4 = = G 4 G 3 + G G 2 G 3 +G G G 2 G 3 +G 4 G 2 G 4 G 1 G 2 + G 1 G 3 + G 1 G 4 + G 2 G 3 + G 2 G

38 Kapitel 3 Überlagerungssatz 3.1 Lineare Überlagerung von rsachen und Wirkungen Einführungsbeispiel 1 R 1 K 2 0 M R 2 0 M: R R 2 = 0 K: = 0 in M: 0 +( 2 0 ) R R 2 = 0 aus K: 1 = (R 1 + R 2 ) = R 1 2 = 1 R 1 + R R 1 R 1 + R 2 0 = g } {{ } 0 + α } {{ } : Wirkung von 0 (bei 0 = 0) 20 : Wirkung von 0 (bei 0 = 0) 1 R 1 R R 2 20 R

39 allgemein: z 1 N R-Netzwerk 1 M N M z = g n n + α m M n=1 m=1 g n = z n alle anderen Quellen Null α m = z m alle anderen Quellen Null n einem linearen Netzwerk überlagern sich die Wirkungen aller erregenden Quellen. 3.2 Netzwerkanalyse mit Überlagerungsverfahren Problem: gegeben: lineares Netzwerk nit mehreren unabhängigen Quellen gesucht: Zweigstrom oder Spannung in/über einem Zweig. Lösungsalgorithmus: 1. Quelle auswählen 2. andere Quellen deaktivieren ˆ Spannungsquellen durch Kurzschluss, ˆ Stromquellen durch Leerlauf ersetzen 3. Teilwirkung verursacht durch Quelle Q berechnen 4. von Punkt 1 wiederholen bis alle Quellen erfasst sind 5. Teilwirkungen der Quellen überlagern (vorzeichenrichtig addieren) Experiment: A + Q 1 Q 2 + = 25 ma Q 1 kurzgeschlossen: = 15 ma Q 2 kurzgeschlossen: = 10 ma 35

40 Beispiel: Belasteter Spannungsteiler 2 = L R 1 0 L 20 = R 2 R 1 + R 2 0 (Leerlauf) R L = R 1 R 2 R 1 + R 2 L (nur 0 ) 2 = R 2 R 1 + R 2 0 } {{ } Leerlaufspannung R 1 R 2 R 1 + R 2 L } {{ } Abweichung durch 0 Wie groß darf L sein, damit 2 vom unbelasteten Zustand ( L = 0) höchstens 10 % abweicht? absoluter Fehler: relativer Fehler: δ = 2 20 = R 1 R 2 R 1 + R 2 L ɛ = δ 20 = R 1 L 0 0,1 ( =10 %) L 0,1 0 R 1 36

41 Kapitel 4 Zweipoltheorie 4.1 Aktive lineare Zweipole Kennfunktion aktiver linearer ZP L K L : Leerlaufspannung K : Kurzschlussstrom Achsenabschnittsgleichung: L + K = 1 (*) Problem: Konstruktion eines elektrischen Netzwerkes mit gleichem Klemmenverhalten (Ersatzschaltung) Spannungsquellenersatzschaltung (Thevenin Equivalent Circuit) (*) nach auflösen: = L L K = L R i R i = L K : nnenwiderstand 37

42 Deutung: Maschensatz R i R i L Ein aktiver linearer Zweipol kann durch eine Spannungsquelle in Reihe mit einem nnenwiderstand nachgebildet / modelliert werden. (Satz von Helmholtz, Thevenin Theorem) Stromquellenersatzschaltung (Norton Equivalent Circuit) (*) nach auflösen: = K K L = K G i G i = K L = 1 R i K K G i G i Ein aktiver linearer Zweipol kann durch die Parallelschaltung einer Stromquelle mit einem Widerstand modelliert werden. (Satz von Mayer, Norton Theorem) Beispiele und Anwendungen 1. Experimentelle Bestimmung der Ersatzschaltung (a) Messung von L und K R i = L K (b) Messung zweier geordneter Paare ( 1, 1 ), ( 2, 2 ). L 1 = L R i } 1 = L R i 1 = 2 Gl. für 2 = L R i L und R i = R i ( 1 2 ) K Gemessen an einer Monozelle: R i = 1 2 2, L = = 1,59 V 2 = 1,36 V 1 = 0,00 A 2 = 1,10 A R i = 1,59 V 1,36 V 1,10 A 0,22 Ω R i = L K K = L R i 7,23 A 38

43 Daher läßt sich die Monozelle durch folgende Ersatzschaltbilder darstellen: 1,59 V 0,22 Ω 7,23 A 0,22 Ω 2. Zweipol mit mehreren Quellen R 2 A gesucht: L, K, R i 0 0 R 1 B L = R 1 R 1 + R R 1R 2 R 1 + R 2 0 R R 1 A K B Kurzschluss: R 1 wird wirkungslos, da parallel zum Kurzschluss K = 0 R R i = L K = R 1 R 2 = R 1 R 2 R 1 + R Netzwerkanalyse mit Zweipoltheorie Äquivalente aktive Zweipole R i R i L K K G i Gi K = L R i L = K R i 39

44 Beispiel R 1 L R 2 R 3 q R 1 R 1 R 2 R R 1 R 2 q R 1 R 1 R 2 R 3 3 R 2 R 1 +R 2 3 = q = R 1 R 2 + R 3 q R 2 R 1 R 2 + R 1 R 3 + R 2 R Verfahren Problem: gegeben: Netzwerk gesucht: Strom oder Spannung über einem Zweig (hier: 3 ) R 1 A R 3 B R 2 Lösungsalgorithmus 1. Abtrennen des Zweiges mit der gesuchten Größe R 1 A 2 1 R 3 R 2 B 40

45 2. Bestimmung der Ersatzparameter des aktiven Zweipols (a) L = AB 3 =0 oder K = 3 AB =0 R R 2 A B Beispiel: K = 1 R (b) R i = R AB bei deaktivierten, unabhängigen Quellen, d.h. Spannungsquellen werden kurzgeschlossen, Stromquellen im Leerlauf R 1 R 2 A B Beispiel: R i = R 1 R 2 R 1 +R 2 3. Ersetzen des aktiven Zweipols durch seine Ersatzschaltung K A R i R 3 B 3 4. Berechnung der gesuchten Größe 3 = = R i R i + R 3 K = 1 R 3 1 R R 1 1 R i + 1 K = R 3 R 1 R 2 + R 1 R 3 + R 2 R 3 R 1 R 2 ( R 1 +R 2 1 R 1 R 2 + ) 2 R 1 +R 2 R 3 R 1 R 2 41

46 Kapitel 5 Grundstromkreis 5.1 Strom und Spannung aktiv passiv aktiv passiv R i L R a K R i Ra Spannungsquelle Stromquelle = L R i aktiver Zweipol = K R i = R a passiver Zweipol = R a L akt. ZP A pass. ZP K Zusammenschaltung: Beide Gleichungen müssen erfüllt sein A Arbeitspunkt (Schnittpunkt der Kennlinien) L = K = R a R i + R a = R i R i + R a = 42 R a R i 1 + Ra R i = 1 = 1 + Ra R i R i R a R i R a 1 + R i R a

47 L 1 K L 0,5 Anpassung Leerlauf K 1 Ra R Kurzschluss i L 1 K K Anpassung 0,5 Kurzschluss L 1 R i Ra Leerlauf 5.2 Leistungsumsatz Leistungen R i P i L PG P a R a L 2 P a = 2 R a = (R i + R a ) 2 R a = L = R a L 2 ( 1 + R i R a ) 2 R i 2 R a R i ( 1 + Ra R i ) 2 L 2 P i = 2 R i = (R i + R a ) 2 R i = L 1 ( R i 1 + Ra L 2 R a R i R a ( 1 + R i R a ) 2 2 R i ) 2 P G = P i + P a = 2 (R i + R a ) = = L 2 R i + R a l 2 (R i + R a ) 2 (R i + R a ) 43

48 Elektrischer Wirkungsgrad η = P a P G = 2 R a 2 (R 1 + R a ) = R a R i + R a = R a R i (1 + Ra R i ) = R i R a K R akt. ZP A pass. ZP P a P i Graphische Darstellung der Leistung P G, zusammengesetzt aus P a und P i i L nformationstechnische Aufgabe gegeben: Generator ( L, R i ) (z.b. Meßwertgeber, Mikrofon, Solarzelle... ) gesucht: Verbraucher (R a ) so, daß P a maximal wird R i L R a R a R i P a = L 2 x ( ) R 2 = P 0 i (1 + x) Ra R i mit P 0 = L 2 R i und x = R a R i Durch Differenzieren: Maximum bei x = 1. Pa P 0 1 η η 0,5 0,25 P 1 x P max = P 0 4 = 2 L 4 R i η = R a R i 1 + Ra R i m maximale Leistung aus einem vorgegebenen Generator zu entnehmen muß R a = R i gewählt werden. Der Wirkungsgrad ist dabei 0,5. 44

49 5.2.3 Energietechnische Aufgabe gegeben: Verbraucher (R a ) gesucht: Generator mit R i so, daß η maximal wird R i L R a (aus :) η = R a R i 1 + Ra R i Maximum bei R i = 0 P max = L 2 R a η m maximalen Wirkungsgrad zu erzielen muß R i R a sein aktiver Zweipol im Leerlauf. 1 R i Ra Nichtlinearer aktiver Zweipol: Solarzelle K m P s m K Kenngleichung: = S e T Abgegebene Leistung: P = = P s ( K s e T ) P a maximale Leistung: m L dp d = K s e T T s e T = = K s e T ( 1 + T ) 0 für = m 0 = K s e T ( 1 + T ) nach m auflösen, m = k s e T, P max = m max. 45

50 Kapitel 6 Gesteuerte Quellen 6.1 Einführungsbeispiel: Optokoppler Leuchtdiode 2 Photodiode Der Optokoppler stellt eine stromgesteuerte Stromquelle dar (engl. Current Controlled Current Source). 2 Ersatzschaltung: b

51 6.2 Arten gesteuerter Quellen Spannungsgesteuerte Spannungsquelle 1 =0 1 2 v = 0 2 = v 1 v Spannungsverstärkung [v] = 1 Beispiel: Spannungsverstärker, Operationsverstärker Stromgesteuerte Spannungsquelle 1 1 =0 2 r m = 0 2 = r m 1 r m Übergangswiderstand, Transimpedanz [r m ] = Ω Beispiel: fremderregte Gleichstrommaschine Stromgesteuerte Stromquelle 1 1 =0 2 b = 0 2 = b 1 b Stromverstärkung [b] = 1 Beispiel: Bipolartransistor, Optokoppler Spannungsgesteuerte Stromquelle 1 =0 1 2 g m = 0 2 = g m 1 g m Übertragungsleitwert, Transkonduktanz, Steilheit [g m ] = S = Beispiel: Feldeffekttransistor, Elektronenröhre 47

52 6.3 Anwendungen und Beispiele Gegengekoppelter Verstärker R 1 2 = v v 2 gesucht: R E = 1 1 (Eingangswiderstand der Schaltung) Ersatzschaltung: 1 R 1 Maschensatz: 1 + v 1 1 R 1 = 0 v 1 1 = 1 + v R 1 1 R E = 1 1 = R v Der Ausgangswiderstand ist sehr klein, daher verhält der Verstärker sich wie eine Spannungsquelle. praktische Zahlenwerte: R = 10 kω, v = 10 4 R E = 104 Ω Ω Miller-Effekt Für v < 0 bzw. v > 0, z.b. v = 10 2 = 10 1 R R = R v = 104 Ω 1, 1 kω

53 6.3.2 Bipolartransistor C B BE E B V A C CE C Durch Messung: B BE C = B B CE ( B > 0, CE > 0,2 V) BE = BEC0 BE0 B Netzwerkmodell (Ersatzschaltung) eines Bipolartransistors B C A B BE0 B CE B E Dieses Modell kann verfeinert werden, da die tatsächliche CE / C Kennlinie eine (geringe) Abhängigkeit des Stromes von der Spannung und die B / BE Kennlinie eine Abhängigkeit der Spannung vom Strom aufweist. Es ergeben sich die Formeln: C = B B + G CE CE (G CE parallel zur Collector Emitter Strecke) BE = BEC0 + R BE B (R BE in Serie zur Basis) Anwendungsbeispiel: Leistungsverstärker e a R C gesucht: a) a als Funktion von e b) P a P e als Funktion von e 49

54 BE0 B B B E C R e M a R C Ersatzschaltung des Leistungsverstärkers. Mit Hilfe des Maschen und Knotenpunktsatzes sind die gesuchten Werte zu ermitteln. a) M : e + BE0 + a = 0 a = e BE0 a BE0 e Die Steigung des Graphen ist stellt die Spannungsverstärkung dar, die in diesem Falle 1 beträgt (Spannungsfolger). b) P a = a 2 R = ( e BE0 ) 2 R P e = e B Zur Berechnung von P a muß B ermittelt werden: P e a = R R = ( B + B B ) R = B (1 + R) R a B = (1 + B) R = e BE0 (1 + B) R P e = e BE0 (1 + B) R e ( P a = [ ] = 1 ) BE0 (1 + B) P e e P a P e 1+B BE0 e 50

55 6.3.3 Fremderregte Gleichstrommaschine 1 A R L Kennlinien 2 2 ( 2 = 0) Ersatzschaltung 1 A 1 R err Ri f( 1 ) R L 51

56 Kapitel 7 Methoden der Netzwerkanalyse 7.1 Netzwerkbeschreibung Ein Netzwerk besteht aus Zweigen und Knoten. Seine Struktur läßt sich durch einen Graphen darstellen: R 6 R 4 R 5 R 1 R 2 q R 3 q = Zweig: Relation F (, ) = 0 = Z() bzw. = Y () z z Knoten: Nach Knotenpunktsatz: zn = 0 n Masche: geschlossener mlauf durch Zweige ohne Schleife zm = 0 m

57 7.1.1 Grundaufgabe der Netzwerkanalyse gegeben: ˆ Netzwerk mit z Zweigen und k Knoten ˆ Relationen der Zweige gesucht: ˆ z Zweigströme und z Zweigspannungen 2z nbekannte Gleichungen: z k 1 z (k 1) 2z Relationen der Zweige unabhängige Knotengleichungen unabhängige Maschengleichungen Gleichungen 7.2 Analyse mit dem vollständigen Kirchhoffschen Gleichungssystem Algorithmus 1. Festlegung der Zählrichtung für alle Zweigspannungen und Zweigströme 2. Aufstellung der Relationen der Zweige 3. Auswahl von k 1 Knoten und Aufstellung der Knotengleichungen (Verbindungen auf gleichem Potential zu jeweils einem Knoten zusammenfassen) 4. Auswahl von n = z (k 1) unabhängigen Maschen und Aufstellung der Maschengleichungen 5. Lösen der Gleichungen Es gibt verschiedene Methoden um Schritt 4 auszuführen: Methode des vollständigen Baumes Der Vollständige Baum enthält k 1 Zweige (dargestellt durch dicke Linien). Die übrigen m = z (k 1) Zweige heißen Verbindungszweige. Ergänzt man nun jeden unabhängigen Zweig über den vollständigen Baum zu einer Masche, so entsteht ein vollständiges System unabhängiger Maschen. 53

58 7.2.2 Kennzeichnungs oder Auftrennmethode ˆ Wahl einer Masche und Kennzeichnen (Auftrennen) eines Zweiges, der in keiner weiteren Masche enthalten sein darf ˆ Widerholen, bis keine weitere Masche zu finden ist Fenstermaschenmethode Auswahl fensterartig nebeneinanderliegender Maschen. Nur auf ebene Graphen anwendbar Allgemeiner Zweig in einem linearen resistiven Netzwerk Z Z q Maschensatz: Z R R q = 0 K R Knotenpunktsatz: Z + q R = 0 R = q + Z q (in Maschensatz einsetzen..) Sonderfälle Z = q R Z R q = Z Z R = q + q R R z Z R = 0 q R Z Z R = q 54 R q Z Z R = q R

59 7.2.5 Beispielnetzwerk Z6 R 6 Z1 1O Z4 3 2O Z5 R 4 R 5 R Z2 R 2 Z3 q R 3 q 0O 3O Knotengleichungen: abfließende Ströme positiv 1O Z1 + Z4 + Z6 = 0 2O Z2 Z4 + Z5 = 0 k 1 = 3 Gleichungen 3O Z3 Z5 Z6 = 0 Maschengleichungen: 1 Z1 + Z2 + Z4 = 0 2 Z2 + Z3 + Z5 = 0 3 Z4 Z5 + Z6 = 0 m = z (k 1) = 3 Gleichungen Vollständiges Kirchhoffsches Gleichungssystem R 1 1 Z1 R 2 1 Z2 R 3 1 Z3 R 4 1 Z4 R 5 1 Z5 R 6 1 Z Z Z Z Z Z Z6 = q 0 q R Wertung Das Verfahren ist immer anwendbar, enthält jedoch sehr viel Gleichungen Vereinfachungen möglich 55

60 7.3 Knotenspannungsanalyse (Node analysis) Knotenspannungen (Knotenpotentiale) zmn m n m n 0 Knotenspannung: Spannung zwischen einem Knoten und einem Bezugspunkt. Bezugspunkt 0 kann willkürlich festgelegt werden. Zweckmäßig ist die Wahl eines Knotens mit möglichst vielen Anschlüssen. m + zmn + n = 0 Z10 2 Z20 Z30 = = 1 3 0O zmn = m n Alle Zweigspannungen lassen sich durch die Knotenspannungen ausdrücken. Z13 Z Z O Z12 2O Z23 Z30 3O Z12 = Z } {{ } k 1=3 Z13 } {{ } z=6 : Z = 0 Z12 = 1 2 : Z = 0 Z23 = 2 3 Sind in einem Netzwerk die Knotenspannungen bekannt, so können die Zweigspannungen daraus berechnet werden. Es brauchen nur die k 1 Knotenspannungen bestimmt zu werden (3 nbekannte anstelle von 12!) Verfahren Voraussetzung: Die Relationen der Zweige müssen sich nach den Zweigströmen auflösen lassen ( keine Spannungsquellen!) Folgerung: Das Netzwerk darf nur unabhängige oder Spannungsgesteuerte Stromquellen enthalten (Spannungsquellen und stromgesteuerte Quellen vorher umrechnen). Algorithmus 1. Wahl eines Bezugsknotens und Einführung der Knotenspannungen. 56

61 2. Aufstellen von k 1 (Knoten )Gleichungen unter Verwendung der Relationen der Zweige (zweckmäßig Leitwerte verwenden) 3. Lösung der Gleichungen Knotenspannungen 4. Berechnung der gesuchten Größen aus den Knotenspannungen Knotengleichungen: abfließende Ströme positiv 1O = 0 1 G 1 + G G 4 ( 1 2 ) + G 6 ( 1 3 ) = 0 2O = 0 G G 4 ( 2 1 ) + G 5 ( 2 3 ) = 0 3O = 0 q + G G 6 ( 3 1 ) + G 5 ( 3 2 ) = 0 n Matrixform: G 1 + G 4 + G 6 G 4 G 6 G 4 G 2 + G 4 + G 5 G 5 G 6 G 5 G 3 + G 6 + G 5 Allgemeine Form: ( ) ( ) ( ) G = = q G 1 0 q G : Knotenadmittanzmatrix : Vektor der Knotenspannungen : Vektor der Einströmungen Elemente der Knotenadmittanzmatrix: ( ) ( ) G = G ij ; i, j = 1... k 1 Hauptdiagonale: G ii = Leitwerte am Knoten i andere Elemente: G ij (i j) = Leitwert vom Knoten i zum Knoten j Die Knotenadmittanzmatrix ist symmetrisch, wenn das Netzwerk keine gesteuerten Quellen enthält. Vektor der Einströmungen: ( ) ( ) = i, i = 1... k 1 i = am Knoten i durch unabhängige Quellen eingespeister Strom 57

62 7.3.3 Knotenspannungsanalyse mit gesteuerten Quellen (Netzwerk wie 7.2.4, zusätzlich parallel zu G 5 eine gesteuerte Stromquelle mit q2 = g m 2 ) G 1 + G 4 + G 6 G 4 G 6 G 4 G 2 + G 4 + G 5 g m G 5 G 6 G 5 + g m G 3 + G 6 + G = q G 1 0 q 1O unverändert 2O G G 4 ( 2 1 ) + G 5 ( 2 3 ) g m 2 = 0 3O G G 6 ( 3 1 ) + G 5 ( 3 2 ) + g m 2 q = Knotenspannungsanalyse mit Spannungsquellen Beispielschaltung mit Spannungsquellen: q2 G 4 q1 G 2 G 3 G 5 G 1 mwandlung von q1 : q1 = G 1 q1... q2 1O 2O G 4 3O q1 G 2 +G 1 G G 5 M 0O q3 q3 Gesucht: Knotenspannungen 1, 2, 3 3 = q3 M : q = 0 2 = 1 + q2 Schnittmengengleichung am Superknoten (Oval): q1 G 1 1 (G 1 + G 2 ) G 3 2 G 4 ( 2 3 ) = 0 58

63 2 = 1 + q2 und 3 = q3 einsetzen: q1 G 1 1 (G 1 + G 2 + G 3 + G 4 ) q2 (G 3 + G 4 ) + q3 G 4 = 0 1 = q1 G 1 q2 (G 3 + G 4 ) + q3 G 4 G 1 + G 2 + G 3 + G Maschenstromanalyse (mesh/loop analysis) Maschenströme Zm K Zn n Zl m Am Knoten K ergibt sich ein Zweigstrom (z.b. Zl ) aus den beiden anderen. Zm Zn Zl = 0 Zl = Zm Zn Er kann aufgefasst werden als Überlagerung eines Maschenstromes m = Zm und n = Zn. Werden in allen m unabhängigen Maschen Maschenströme eingeführt, so laßen sich alle Zweigströme dadurch ausdrücken. Beispiel 3 1O Z4 2O Z5 3O 1 2 Z1 Z6 Z2 0O Verfahren Z3 Z1 Z2 Z3 Z4 Z5 Z6 } {{ } z=6 = } {{ } z (k 1)=3 Voraussezung: Die Relationen der Zweige müssen sich nach den Spannungen auflösen lassen. Folgerung: Das Netzwerk darf nur unabhängige oder stromgesteuerte Spannungsquellen enthalten (Stromquellen und spannungsgesteuerte Stromquellen vorher umrechnen). Algorithmus: 1. Wahl von m unabhängigen Maschen und Einführung der Maschenströme. 2. Aufstellen von m Maschengleichungen unter Verwendung der Relationen der Zweige (zweckmäßig Widerstände verwenden). 59

64 3. Lösung der Gleichungen Maschenströme 4. Berechnung der gesuchten Größen aus den Maschenströmen. Netzwerk Beispielnetzwerk aus , Stromquelle q in Spannungsquelle umgewandelt R Z6 6 3 R 4 Z4 R 5 Z5 Z2 R 1 R 3 1 R 2 2 q q R 3 Z1 Z3 1 : q + R R 4 ( 1 3 ) + R 2 ( 1 2 ) = 0 2 : R 2 ( 2 1 ) + R 5 ( 2 3 ) + R q R 3 = 0 3 : R R 5 ( 3 2 ) + R 4 ( 3 1 ) = 0 n Matrixform (R 1 + R 2 + R 4 ) R 2 R 4 R 2 (R 2 + R 3 + R 5 ) R 5 R 4 R 5 (R 4 + R 5 + R 6 ) = q q R 3 0 Allgemeine Form ( ) ( ) ) R = ( q R : Maschenimpedanzmatrix : Vektor der Maschenströme q : Vektor der negativen Quellenspannungen Bildung der Maschenimpedanzmatrix ( ) R = (R ij, i, j = 1... m) Hauptdiagonale: R ii = Widerstände in Masche i 60

65 andere Elemente: R ij = gemeinsamer Koppelwiderstand von Masche i und Masche j. Positiv, wenn i und j in gleicher Richtung durch den Koppelwiderstand fließen, negativ, wenn i und j in Gegenrichtung fließen. Bildung des Vektors der negativen Quellenspannungen ( q ) = ( qi, i = 1... m) qi = Spannungen der unabhängigen Spannungsquellen in Masche i. Die mpedanzmatrix ist symmetrisch, wenn das Netzwerk keine gesteuerten Quellen enthält Anwendungen und Beispiele 1. Widerstandsberechnung 1 A R 1 R R 5 3 R 2 R 3 B gesucht: R AB 1. Anschließen einer Spannungsquelle 2. Berechnung von 1 3. R AB = 1 R 1 + R 2 R 1 R 2 R 1 R 1 + R 4 + R 5 R 5 R 2 R 5 R 2 + R 3 + R 5 Lösung der Gleichung in der Regel numerisch = Maschenstromanalyse mit stromgesteuerter Spannungsquelle r m R A q 1 R 2 2 B gesucht: Klemmenverhalten des Zweipols A B. im Abhängigkeit von. 1 : q + R R 2 ( 1 2 ) = 0 2 : R 2 ( 2 1 ) + r m 1 + = 0 61

66 [ ] [ ] R1 + R 2 R 2 1 = R 2 + r m R 2 2 [ q Gesucht: 2 nach 2 umstellen... R 1 + R 2 q r m R 2 2 = R = (R 1 + R 2 ) q (r m R 2 ) 1 + R 2 R 2 R 2 (R 1 + R 2 ) + R 2 (r m R 2 ) r m R 2 R 2 2 = R 2 r m q R 1 R 2 + R 2 r } {{ m } K ] R 1 + R 2 R 1 R 2 + R 2 r } {{ m } G i = 1 R i K K G i Gi 2 Die Schaltung entspricht der Stromquellenersatzschaltung! 3. Spannungsstabilisierung mit Z Diode R A 1 Z B Z { 0 Z Ersatzschaltung: für Z Z = Z r Z > Z Z Z gesucht: in Abhängigkeit von [... ] wurde in der Vorlesung nicht mehr behandelt, aber in Übung... Lösung folgt in den nächsten Tagen! r Z 62

67 Platzhalter 63

68 Kapitel 8 Elektrothermische Analogien Analogie: nterschiedliche physikalische Größen haben die gleiche Grundeigenschaft. elektrohydraulische Analogie: elektrischer Strom hydraulischer Fluß elektrische Spannung Druckdifferenz 8.1 Thermischer Leistungsfluß und Temperaturdifferenz Thermischer Leistungsfluß (Wärmestrom) Von einer Wärmequelle geht ein Wärmestrom aus. Der gesamte Wärmestrom ist gleich P th der insgesamt zugeführten Leistung (im stationären Fall). P th = P el = [P th ] = W Grundeigenschaft: Kontinuität m stationären Fall (d.h. keine Temperaturänderung mit der Zeit) ist der gesamte Wärmestrom durch eine geschlossene Hülle Null. P th1 + P th2 = 0 P th1 P th2 Der Wärmestrom verhält sich wie der elektrische Strom (Kirchhoffsches Gesetz). 64

69 8.1.2 Temperaturdifferenz T 2 T 21 T 23 M T 1 T 13 T 3 T ij = T i T j (i, j = 1, 2, 3, i j) ϕ M ϕ 1 13 ϕ 3 ij = i j (i, j = 1, 2, 3, i j) M : T 13 T 21 +T 23 = 0 M : = 0 (T 1 T 3 ) (T 2 T 1 )+(T 2 T 3 ) = 0 ( 1 3 ) ( 2 1 )+( 2 3 ) = 0 0 = 0 0 = 0 Grundeigenschaft: Kirchhoffsches Spannungsgesetz Die Temperaturdifferenz verhält sich wie die elektrische Spannung 8.2 Thermischer Widerstand Definitionsgleichung P th homogenes Strömungsfeld T T 1 T 2 T 1 T 2 T 0 Durchgangswiderstand P th T l x inhomogenes Strömungsfeld P th T T O T T O 0 T Übergangswiderstand T T x R th = T P th Definition thermischer Widerstand [R th ] = [T ] [P ] = K W 65

70 Beispiel: Elektrischer Plattenheizkörper (2 kw). Oberflächentemperatur ϑ O = 60 C = 333 K bei mgebungstemperatur ϑ = 18 C = 291 K. Wie groß ist der thermische Widerstand? R th = T = ( ϑ/ C) K = 42 K P th P th 2 kw = 21 K 10 3 W P th ϑ R th P äquivalentes Netzwerk, th thermische Ersatzschaltung ϑ O ϑ Wärmetransportmechanismen und Bemessungsgleichungen 1. Wärmeleitung A l λ Wärmeleitfähigkeit [λ] = R th = l λ A R el = l κ A Bemessungsgleichung (homogenes Feld) [l] [R th ][l] 2 = W K m Beispiel: Elektronisches Bauelement mit idealer Kühlung l P ϑ A O Si ϑ P th Wie groß darf P sein, wenn die Temperatur ϑ O nicht größer als 120 C sein darf? (ϑ = 50 C, l = 2 mm, A = 4 mm 2, λ = Ω/K). ϑ O = ϑ + R th P P ϑ O R th ϑ P ϑ O ϑ R th = λ A l (ϑ O ϑ ) P 145 W K m m m (120 30) K 66 P 20,3 W

71 2. Konvektion (Wärmetransport durch bewegtes Medium) P th ϑ P th = α K A (ϑ O ϑ ) } {{ } ϑ A ϑ O ϑ ϑ [ R thk = ϑ P th = Ohmsches Gesetz ] 1 α K A Bemessungsgleichung Übergangswiderstand 3. Wärmestrahlung: Wärmetransport ohne Medium P ϑ O, T O A ϑ P th T Stefan-Bolzmann-Gesetz P th = 4 σ A T } {{ O } 4 σ A T } {{ } v. d. Platte abgeg. v. d. Platte aufgen. W m 2 K 4 σ = 5, σ : Stefan-Boltzmann-Konstante Näherung T O = T + T T O 4 T O 4 T 4 = (T + T ) 4 4 = T 4 T O ( 4 T T ) T 4 T ( T T ( 1 + T ) 4 T ) T 4 T O 4 T 4 4 T 3 T P th 4 σ T 3 } {{ } α st A (T O T ) (*) : Näherung (1 + x) n = 1 + n x x 1 bei Raumtemperatur T = 293 K α = 6 W m 2 K 67

72 4. Zusammenfassung Konvektion und Strahlung Richtwerte P th = P th + P st = (α K + α } {{ st ) A (T } O T ) α = α A (T O T ) = α A T = α A (ϑ O ϑ ) R th = 1 α A α : Wärmeübergangszahl α = 10 α = 100 α = 10 W m 2 K W m 2 K W m 2 K Eigenkonvektion (ursprünglich ruhende Luft) Luftkühlung, v = 10 m s Wasserkühlung Beispiele 1. Der Plattenheizkörper aus hat eine Heizfläche von 2 m 2. Wie groß ist α? R th = 1 α A α = 1 R th A = 1 W = 23, K W 2 m2 m 2 K 2. Aufheizung eines Heizdrahtes l = 5 V l = 5 m A M = π d l A Q = π d2 4 AMantel spezifischer Widerstand bei mgebungstemperatur ϑ = 20 C: ϱ 0 = 1, Ωm (Eisen) R = ϱ 0 l A Q (1 + α R T ) Temperaturkoeffizient des spezifischen Widerstandes α R = K 1 Wärmeübergangszahl α th = 10 W (Luftkühlung) m2 K a) Wie groß wird die Temperatur ϑ O des Drahtes? b) Wie groß ist die im Draht umgesetzte Leistung? T = ϑ O ϑ = T O T (Übertemperatur des Drahtes) 68

73 P el = P th 2 R = T = α A M T R th 2 π d 2 = α th π d l T ϱ 0 l 4(1 + α R T ) Alle Werte außer T sind bekannt... 2 d 4ϱ 0 l 2 α th = (1 + α R T ) T 2 d 4ϱ 0 l 2 α th = T + α R T 2 0 = T d T α R 4 ϱ 0 l 2 α th α R T = α R 4 α R 4ϱ 0 l 2 = 69,8 K α th α R ϑ O = ϑ + T = 89,8 C P el = P th = 5,48 W P el W P th W 2 R 0 5,48 P el P th 20 89,8 69,8 ϑ O / C T/K 69

74 8.3 Thermische Ersatzschaltung Bemessungsbeispiel: Leistungstransistor auf Kühlkörper ϑ K ϑ J P el = 10 W ϑ O Glimmer scheibe R tjjc = 2 K W R thgl = 0,3 K W P th Kühlkörper: α = 10 W m 2 K a) ϑ = 50 C ϑ J = 120 C. Welchen thermischen Widerstand muß der Kühlkörper besitzen? P th R thjc R thgl R thk ϑ ϑ J ϑ O ϑ K ϑ Maschensatz: P th (R tjjc + R thgl + R thk ) + ϑ ϑ J = 0 R thk = ϑ J ϑ R thjc R thgl P } {{ th } R thges R thk = 70K 10W 2 K W 0,3 K W = 4,7 K W 70