Versuch 26 Beugung und Interferenz

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1 Physikalisches Praktikum Versuch 26 Beugung und Interferenz Praktikanten: Johannes Dörr Gruppe: 14 physik.johannesdoerr.de Datum: Katharina Rabe Assistent: Sebastian Geburt 1 Einleitung In diesem Versuch geht es um die Fähigkeit des Lichts, vom geradlinigen Weg abzuweichen, sowie um die Überlagerung von Lichtwellen. Betrachtet wird hierbei das Verhalten von Laserlicht an verschiedenen Beugungsobjekten, nämlich Spalt, Steg, Loch, Doppelloch und Gitter. 2 Theorie 2.1 Energieniveaus von Atomen Atomen kann unter Anderem per Stoß Energie zugeführt werden, was sie in einen höheren Energiezustand versetzt. Das Atom befindet sich dann in einem angeregten Zustand, den es in der Regel schnell (nach wenigen Nanosekunden) wieder verlässt und dabei die zuvor aufgenommene Energie abführt, und zwar in Form eines Lichtquants. Die Frequenz f dieses Lichtteilchens ist direkt proportional zur Energie E, die mit ihm transportiert wird. Es gilt die Relation: E = h f, (1) 1

2 wobei h die Placksche Konstante (h = 6, Js) ist. Empirisch findet man heraus, dass Atome nur bestimmte Energiebeträge aufnehmen können und dabei Energieniveaus einnehmen, die für das Atom spezifisch sind. Ist nicht genug Energie vorhanden, um ein Atom in den nächst höheren Energiezustand zu versetzen, so verbleibt es im Ausgangszustand. Es kann ihm nicht nur ein Teilbetrag zugeführt werden, da kein passendes Energieniveau vorhanden ist. Figure 1: Absorption und Emission Diese Vorgänge verantschaulicht Abbildung 1. Der Doppelpfeil kennzeichnet das Zuführen von Energie durch einen Stoß, wodurch das Atom den Energiezustand von E 1 nach E 2 wechselt. Dasselbe kann durch Absorption eines Photons erreicht werden. Seine Energie, die wie oben beschrieben von seiner Frequenz abhängt, muss jedoch auch hier genau der Energiedifferenz zwischen dem momentanen und dem neuen Energieniveau entsprechen. Nach kurzer Zeit sinkt das Atom wieder auf Zustand E 1, wobei es die Energiedifferenz der beiden Niveaus im Form eines Lichtquants abgibt. Es ist zwar davon auszugehen, dass dieser Vorgang eine gewisse Zeit benötigt. Trotzdem existieren keine Zwischenzustände, über die man Erkenntnisse gewinnen könnte. Das beschriebene Aussenden eines Lichtquants nennt sich spontane Emission. Die Richtung des Teilchens ist nicht festgelegt, ebenso seine Phase. Befindet sich ein Atom im angeregten Zustand, kann die Emission auch durch ein anderes Photon ausgelöst werden, das dieselbe Energie trägt, die beim Rücksprung frei werden wird. Bei diesem Phänomen handelt es sich um die stimulierte Emission (auch induzierte oder erzwungene Emission). Das emittierte Photon hat natürlich dieselbe Frequenz, aber auch dieselbe Phase und Richtung des stimulierenden Atoms. Durch diesen Vorgang wird also Licht mit einer bestimmten Eigenschaft freigesetzt, was im Laser Anwendung findet. 2.2 Funktionsweise eines Lasers LASER steht für Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation, zu deutsch Lichtverstärkung durch stimulierte Emission. Ein Laser erzeugt monochromes, kohärentes Licht, dass zudem nur sehr schwach divergent ist. Auf Grund dieser Eigenschaften findet er sehr häufig Verwendung in der Optik. Während es mehrere verschiedene Typen von Lasern gibt, beruhen alle auf dem selben Prinzip der stimulierten Emission, die weiter oben bereits beschrieben wurde. Die Atome eines Gases werden durch Stöße angeregt, was beispeilsweise durch Gasentladung geschieht. Das Gas wird also von einem elektrischen Strom durchflossen, wobei die strömenden Elektronen den Atomen Energie übertragen, indem sie auf diese stoßen. Ein betroffenes Atom geht daraufhin in einen höheren Energiezustand über, den es jedoch zu schnell wieder verlassen würde, um für Vorgänge wie die stimulierte Emission in Frage zu kommen. Aus diesem Grund nutzt man sogenannte metastabile Energieniveaus aus, in denen das Atom wesentlich länger verharren kann, was auf bestimmte Auswahlregeln zurückzuführen ist, die es dem Atom verbieten, den Zustand zu wechseln. Wird ein Atom im Gas des Lasers nun also angeregt, wechselt es in den angeregten Zustand, von dem es innerhalb kürzester Zeit auf den metastabilen Zustand zurückspringt (siehe Abb. 2, links). Hierbei wird ein Photon frei, 2

3 das jedoch nicht zum Laserlicht gehört, worauf wir später noch einmal zurückkommen. In dem metastabilen Zustand kann das Atom nun von einem Photon zur stimulierten Emission gezwungen werden, wobei ein zweites Photon mit denselben Eigenschaften emittiert wird, während das Atom in den tieferen Zustand wechselt, bis es erneut einen Stoß durch ein Elektron erfährt. Figure 2: Vorgänge im Laser. Links: Drei-Niveau-Laser, Rechts: Vier-Niveau-Laser Die zwei Photonen können nun wieder andere Atome zur stimulierten Emission anregen, wodurch immer mehr gleichartige Photonen, also welche mit gleicher Phase und Richtung, entstehen. Prinzipiell könnten diese Photonen jedoch ebenso von nicht angeregten Atomen absorbiert werden, was nicht erwünscht ist, da die Energiezufuhr ja durch den Elektronenstrom der Gasentladung geschehen soll und nicht durch die wertvollen Photonen. Aus diesem Grund muss gerade dieser Elektronenstrom besonders stark sein, um die Anzahl der angeregten Atome stets über der der nicht angeregten Atome zu halten, was man Inversion der Besetzungszahlen nennt. Den Vorgang der Energiezufuhr nennt man Pumpen, der beim Starten des Lasers also kurze Zeit ohne Lichtausbeute laufen muss, um die Mehrzahl der Atome anzuregen. Generell ist es also wünschenswert, die Besetzungszahl des untersten Energieniveaus gering zu halten. Aus diesem Grund arbeiten sogenannte Vier-Niveau-Laser mit einem zweiten metastabilen Zustand, in dem die Atome nach einer stimulierten Emission noch kurze Zeit verweilen, bevor sie in den Grundzustand zurückspringen (siehe Abb. 2, rechts). Die gesamten Abläufe finden in einem Resonator statt, einem Gasgefäß, das an den Enden zwei Spiegel besitzt. Diese haben die Eigenschaft, nur senkrecht einfallendes Licht zu reflektieren. Photonen, die also schräg einfallen, und somit eine Divergenz des Laserlichts verursachen würden, werden somit herausgefiltert. Übrig bleiben nur sich senkrecht zur Spiegelfläche fortbewegende Photonen, die diese Eigenschaft durch die stimulierte Emission weitervererben. Um ein möglichst schmalen Laserstrahl zu erhalten, wird der Resonator sehr dünn gebaut, während es im Ausgleich lang sein muss, um genügend Gas beinhalten zu können. Die Länge des Resonators beträgt genau ein Vielfaches der halben Wellenlänge des Laserlichts, also die der Photonen, die beim Verlassen des ersten metastabilen Zustands ausgesendet werden (l = n /2). Dies hat zur Folge, dass sich eine stehende Welle bildet. Die Wellen anderer Frequenzen, die durch die anderen Rücksprünge entstehen, löschen sich hingegen aus oder werden erst gar nicht reflektiert, da sie schräg auf den Spiegel treffen. Einer der Spiegel ist nun geringfügig durchlässig, sodass ein Teil der auftreffenden Photonen den Laser verlassen und die eigentliche Laserstrahlung darstellen. Da die Durchlässigkeit in der Regel nur um 15% liegt, ist die Stahlung innerhalb des Lasers wesentlich stärker als außerhalb. 2.3 Intensität von Licht Die Intensität I (oder auch Energiestromdichte) von Licht ist definiert als Energie pro Zeit pro Fläche, also Leistung pro Fläche. Ebenso kann man es über die Energiedichte definieren: I = dw/dt da dx/dt dw/dt = dx/dt da = c dw dv, (2) wobei c die Ausbreitungsgeschwindigkeit, also die Lichtgeschwindigkeit, und dw/dv die Energiedichte der Welle ist. 3

4 Bei der elektromagnetischen Welle, die aus einer magnetischen und einer elektrischen Welle besteht, sind die Energiedichten dieser beiden Wellen gleich groß: w el = 1 2 ɛ 0ɛ r E 2 = 1 2 µ 0µ r B 2 = w magn. (3) Hierbei sind E die elektrische Feldstärke und B die magnetische Flussdichte. Mit c = 1 µ 0 µ r ɛ 0 ɛ r (4) erhält man für die Intensität der elektromagnetischen Welle: ɛ0 ɛr I = E 2. (5) µ r µ Interferenz Nach dem Huygens-Prinzip kann man jeden Punkt innerhalb einer Wellenfront als Ausgangspunkt einer neuen Elementarwelle auffassen. Trifft so eine Wellenfront beispielsweise auf eine Wand mit einem Doppelloch, so nehmen wir zunächst vereinfachend an, dass sich auf der Rückseite der Wand, ausghehend von den zwei Löchern, zwei Elementarwellen ausbreiten. Auf einem in einiger Entfernung montierten Schirm sind nun Beugungsmuster zu beobachten, die durch den Phasenunterschied, der wegen der unterschiedlichen Weglängen der beiden Lichtstrahlen (Gangunterschied) zu einem bestimmten Punkt auf dem Schirm zu Stande kommt, entstehen. Sind beispielsweise beide Weglängen gleich lang oder beträgt deren Differenz ein Vielfaches der Wellenlänge des Lichts, so addieren sich beide Amplituden, wodurch ein heller Lichtfleck entsteht. Bei entgegengesetzten Amplituden, also einer Phasenverschiebung von einer halben Wellenlänge, löschen sich diese hingegen aus und an der Stelle bleibt es dunkel. Dieses Phänomen nennt man Interferenz; je nach dem, ob sich das Licht an einer Stelle verstärkt oder auslöscht, bezeichnet man den lokalen Effekt als konstruktive bzw. destruktive Interferenz. Für die Berechnung von Beugungsfiguren beschreiben wir die Lichtwelle an dem Punkt x zur Zeit t mit E = E 0 e i(kx ωt+δ) (6) mit der rellen Aplitude E 0, der Wellenzahl k, der Kreisfrequenz ω und der Phasenverschiebung δ. Die Feldstärke an einem bestimmten Punkt (auf dem Schirm) erhält man nun durch Aufsummierung aller Teilstrahlen, die den Punkt erreichen. Bei zwei Strahlen mit derselben Feldstärke E 0 und dem Gangunterschied δ ergibt sich für die resultierende maximale Feldstärke E r : E r = E 0 + E 0 e iδ. (7) Hierbei gehen wir stets von parallelen Strahlen aus, was bei hinreichend großer Entfernung zwischen Beugungsobjekt und Schirm zu genügend präzisen Ergenissen führt. Im Folgenden werden die Intensitätsverteilungen als Funktion des Winkels α für verschiedene Beugungsobjekte hergeleitet Doppelloch Wir gehen von zwei punktförmigen Löchern aus, deren Durchmesser B beliebig klein ist, also B 0. Für die Feldstärke gilt: E r = E 0 (1 + e iδ ). (8) 4

5 Figure 3: Interferenz am Doppelspalt Die Phasenverschiebung δ der beiden Strahlen ergibt sich mit Hilfe des Gangunterschieds g aus der Wellenlänge und dem Phasenunterschied δ: 2π δ = g δ = 2πg = 2πDα, (9) wobei D der Abstand der Löcher ist und wir den Winkel α als so klein annehmen, dass wir α sin α = g/d nähern können. Wir formen nun um ( ) E r = E 0 (1 + e iδ ) = E 0 (e iδ/2 + e iδ/2 ) e iδ/2 = E δ 0 2 cos e iδ/2 (10) 2 und erhalten mit I r Er 2 (siehe oben) und E 2 = E r Er (wobei Er konjugiert komplex zu E r ist) ( ) ( ) δ πdα Er 2 = E0 2 4 cos 2 e iδ/2 = E0 2 4 cos 2 (11) 2 ( ) πdα I r I 0 cos 2. (12) Man führt ɛ = πdα ein und erhält: I(ɛ) I 0 cos 2 (ɛ). (13) Aus dem Cosinus folgt, dass bei jedem Vielfachen von π als Wert für ɛ die Intensität ein Maximum hat. In Wirklichkeit sind diese Intensitäten jedoch nicht alle gleich groß. Dies liegt in der Tatsache begründet, dass das Interferenzmuster des Doppelspalts durch jenes des Einzelspalts überlagert wird. Das feine Muster entsteht also durch die Konstellation als Doppelspalt; wie viel Licht aber abgesehen davon an einem Punkt auf dem Schirm maximal zur Verfügung stehen kann, beinfluss die Geometrie der Einzelspalte. Unsere Gleichung beschreibt diese Überlagerung nicht, da wir ja zu Beginn den Durchmesser eines einzelnen Lochs beliebig klein gewählt haben. Nun werden wir die Intereferenz des Einzelspalts betrachten, die sich am Ende dann oben für I 0 = I 0 (α) einsetzten lässt und somit zum erwünschten Ergebnis führt Einzelspalt Im Gegensatz zum Vorgehen bei der Behandlung des Doppellochs gehen wir nun nicht mehr von einer beliebig kleinen Spaltöffnung aus, sondern teilen ihre Breite D in infinitesimal kleine Teilstücke dd. Betrachtet man immer zwei solcher Punkte mit dem gegenseitigen Abstand dd, so kann man sich dies auch wieder als Doppelloch vorstellen, aus dem folgende Amplitude resultiert: E r = E 0 D + E 0 D ei δ(dd). (14) 5

6 Figure 4: Interferenz am Einzelspalt Der Phasenunterschied hängt natürlich zunächst von dd ab, also δ = δ(dd). Nun fordern wir dd 0, betrachten hintereinander alle Punkt-Paare und summieren die von Ihnen erzeugten Amplituden: Wir setzten wieder ein: δ = 2πxα E r = E 0 D E r = E 0 D + E 0 D ei δ + E 0 D ei2 δ + E 0 D ei3 δ (15) D 0 = E 0 D und schreiben anschließend alles als Integral: e i2πxα E dx = [ ] D 0 D i2πα e i2πxα 0 i2πα = E 0 e iπdα ( ) e i2πdα 1 ) sin ( πdα πdα = E 0 D = E 0 e iɛ sin(ɛ) ɛ ( i2πα e iπdα e iπdα ) e iπdα (16) (17). (18) Schließlich erhalten wir hiermit dann für die Intensität hinter dem Einzelspalt ( ) 2 sin(ɛ) I(ɛ) I 0. (19) ɛ Figure 5: Erstes Minimum am Einzelspalt Die Winkel der Minima lassen sich daraus ermitteln, dass an diesen Stellen ɛ = 0 gelten muss. Ein Minimum tritt demnach offenbar genau dann auf, wenn gilt: sin α min = k D, (k = 1, 2, 3,...). (20) 6

7 Diese Bedingung für ein Minimum ist sehr anschaulich (Abbildung 5). Beträgt der Phasenunterschied zwischen dem obersten und dem untersten Lichtstrahl am Spalt genau ein Vielfaches der Wellenlänge, so löschen sich letztendlich alle Strahlen paarweise mit dem jeweils um die halbe Spaltbreite weiter oben liegenden Strahl aus Steg Figure 6: Interferenz am Steg Der Steg ist das Komplement zum Spalt. Das von ihm erzeugte Interferenzmuster entspricht dem des Spalts, wobei die Phasen jedoch um π/2 verschoben sind. Die Überlagerung von Steg und Spalt erzeugen damit vollkommene Dunkelheit, was man natürlich auch ganz intuitiv erwartet Lochblende Figure 7: Interferenz an einer Lochblende Zunächst führen wir Polarkoordinaten mit ρ und α ein, da dies die Beschreiben der einzelnen Punkte auf der Lochblende, von der die Elementarwellen ausgehen, vereinfacht. Für den Weg r von so einem Punkt zu einem Ort x auf dem Schirm ergibt sich: r = (x + ρ cos(ϕ)) 2 + r0 2 + (ρ sin(ϕ))2 (21) = (x 2 + r0 2) + 2xρ cos(ϕ) + ρ2 cos 2 (ϕ) + ρ 2 sin 2 (ϕ) (22) = a 2 + 2xρ cos(ϕ) + ρ 2. (23) Dabei ist der Abstand zwischen Schirm und Lochblende durch r 0 angegeben und der Durchstoßpunkt dieser Geraden liegt sowohl beim Koordinatensystem der Lochblende als auch bei dem des Schirms im Ursprung. Als a bezeichnen wir den Abstand zwischen Mittelpunkt der Lochblende und betrachtetem Punkt auf dem Schirm. Mit der Rechtfertigung, dass der Lochdurchmesser, und damit auch jedes ρ, im Vergleich zum Abstand r 0 sehr klein ist, können wir die Gleichung durch eine Taylorentwicklung um ρ = 0 ausdrücken, wobei hier die erste 7

8 Näherung ausreicht: r = a + xρ cos(ϕ) a. (24) Wir betrachten nun den Gangunterschied g zwischen den Lichtwegen von einem Punkt der Lochblende bzw. von ihrem Mittelpunkt zu einem Punkt auf dem Schirm: g = r a = xρ cos(ϕ) a Ein einzelner Strahl erzeugt somit auf dem Schirm die folgende Feldstärke: de r = = ρ cos(ϕ) sin(α). (25) E 0 πd 2 /4 e 2πiρ cos(ϕ) sin(α) ρ dρ dϕ. (26) und die gesamte Feldstärke ergibt sich schließlich durch Integration über die gesamte Fläche der Lochblende mit dem Durchmesser D: E r = = D/2 2π 0 D/2 0 0 = 2E 0 D 2 /4 E 0 2π π D 2 ei /4 0 ρ cos(ϕ) sin(α) ρ dρ dϕ (27) 2π 2E 0 2π D 2 /4 e i 2π ρ cos(ϕ) sin(α) dϕ ρ dρ (28) Hierbei nutzen wir die Bessel-Funktion, die die folgende Eigenschaft besitzt: Damit ergibt sich: E r = = wobei wir gesetzt haben: = 2 2E 0 D 2 /4 ( ) 2π sin α 2E 0 D 2 /4 ( ) 2π sin α E 0 πd sin α ɛ 0 D/2 0 J 0 ( 2π ρ sin(α) ) ρ dρ. (29) ξj 0 (ξ)dξ = ɛ J 1 (ɛ). (30) πd sin(α) 0 πd sin(α) 0 J 1 ( π sin α ) J 0 ( 2π ρ sin(α) ) 2π ρ sin(α) d ( 2π ρ sin(α) ) (31) ξj 0 (ξ)dξ (32), (33) ξ = 2π ρ sin(α). (34) Durch Quadrieren erhalten wir schließlich: ( ) 2 J1 (ɛ) I(ɛ) I 0. (35) ɛ Hier entscheiden die Extremstellen der Besselfunktion über Licht bzw. Dunkelheit auf dem Schirm. Die folgende Tabelle zeigt einige Extremstellen (entnommen aus dem Skript): 8

9 Extremum I min1 I max1 I min2 I max2 I min3 I max3 ɛ/π 1,2197 1,6347 2,2331 2,6793 3,2383 3, Gitter Figure 8: Interferenz am Gitter Die Interferenz bei einem Gitter lässt sich rückführen auf die bei einem Doppelspalt, denn ein Gitter lässt sich auch als eine Aneinanderreihung von Doppelspalten interpretieren. Als Gitterkonstante g bezeichnet man den Abstand zweier Spaltmitten. Ist D die Länge eines einzelnen Spalts und S der Abstand zweier Spalte, dann gilt g = D + S. Für die Feldstärke ergibt sich: E E r = 0 D + E 0 D 2πα(D S) E ei + 0 D 2πα(D S) 2 E ei + 0 D 2πα(D S) 3 ei +..., (36) denn zwei benachbarte Spalte sind genau D + S voneinander entfernt. Nach etwas Rechnung ergibt sich mit der Anzahl der Spalte N: ( ) 2 ( ) 2 sin(ɛs ) sin(nɛg ) I(ɛ) I 0, (37) mit ɛ S = πdα und ɛ G = π(d+s)α ɛ S }{{} Spaltfunktion sin(ɛ G ) }{{} Gitterfunktion Wie auch beim Doppelspalt hängt das wirkliche Interferenzmuster auch von der Intensitätsverteilung des Einzelspalts ab. Wie oben dargestellt benennt man hier letzteres als Spaltfunktion, die multipliziert mit der Gitterfunktion die resultierende Intensität ergibt. Es kann passieren, dass ein Maximum der Gitterfunktion in Wirklichkeit nicht sichtbar ist, da die Spaltfunktion an dieser Stelle ein Minimum hat. In den Überlegungen haben wir immer den Gangunterschied zweier benachbarten Strahlen betrachtet. Beträgt dieser ein ganzes Vielfaches der Wellenlänge, so entsteht ein Maximum, genauer gesagt ein Hauptmaximum. Auf dem Weg zwischen zwei Maxima liegen schwächere Nebenmaxima, bei denen andere, nicht benachbarte Strahlen in Phase liegen. Es sind in diesem Falle also auch einige Strahlenpaare vorhanden, die sich auslöschen. Bei Hauptmaxima ist dies nicht der Fall, weshalb diese am hellsten sind. Die Winkel-Positionen der Hauptmaxima k-ter Ordnung ergibt sich nach der Überlegung aus: Für die Minima gilt: sin α max = sin α min = k D + S = k g. (38) k N(D + S) = k Ng. (39) 9

10 Der Phasenunterschied zweier benachbarter Strahlen ist damit bei einem Minimum /N. Beispielsweise bei zwei Spalten (N = 2, also Doppelspalt) löschen sich dann die beiden Strahlen genau aus. Bei drei Spalten haben zwei benachbarte Strahlen einen Phasenunterschied von 1 3 und löschen sich insgesamt ebenfalls komplett aus (siehe Abbildung 9). Bei geraden Spaltanzahlen löscht sich jeder Strahl mit demjenigen, der N/2 Spalte weiter austritt, aus. Figure 9: Destruktive Interferenz am Gitter mit N=3. 3 Durchführung Die Messung und Aufzeichnung der Intensitätsverteilung an den verschiedenen Objekten erfolgt computergestützt. Hinter dem halbdurchlässigen Schirm am Ende des Strahlengangs wird eine Fotodiode von einem Schrittmotor von links nach rechts bewegt und dabei ihr Widerstand gemessen, der ein Maß für die Intensität an der momentanen Stelle ist. Der genaue Wert der Intensität ist in unserem Falle nicht von Interesse, da wir nur die Position etwaiger Minima bzw. Maxima benötigen. Schließlich haben wir auch in der theoretischen Abhandlung der Interferenzmuster auschließlich Proportionalitäten zwischen Winkel und Intensität hergeleitet. Die Bedienung des Messprogramms ist dem Praktikumsskript zu entnehmen. Für die verschiedenen Beugungsobjekte, nämlich Spalt, Steg, Loch, Doppelloch und Gitter, sind die folgenden Schritte durchzuführen: Vorbereitung Das Beugungsobjekt wird im Strahlengang montiert. Es ist darauf zu achten, dass der Strahl des Laserlichts genügend stark aufgeweitet ist und parallel verläuft. Dies ist mit den Streu- und Sammellinsen hinter dem Laser zu bewerkstelligen. Ein nicht vollständig ausgeleuchtetes Beugungsobjekt führt zu Messfehlern, da wir davon ausgehen werden, dass beispielsweise bei einem Doppelloch beide Elementarwellen dieselbe Intensität haben. Der Abstand zwischen Beugungsobjekt und Schirm muss festgehalten werden. Messempfindlichkeit Anhand mehrerer Testmessungen wird die optimale Verstärkung ausgewählt, sodass das beim Hauptmaximum nicht übersteuert wird, aber trotzdem auch die Nebenmaxima möglichst gut zu erkennen sind. Messung Die Aufzeichnung wird gestartet. Bei allen Messungen sollte der Raum möglichst dunkel sein, da das Umgebungslicht direkte Auswirkung auf den Kontrast der Werte hat. Es ist unter Umständen sogar zu empfehlen, die Bildschirme der Computer während der Messung auszuschalten. 10

11 4 Auswertung 4.1 Auswertung der gemessenen Interferenzbilder (1. bis 4. Um anhand der Zahlenabgabe für die Position, die das Steuerungsprogramm aufzeichnet, den Winkel α zu bestimmen, sind die folgen Angaben nötig: 1mm = 400 Schritte. Mit der dem Abstand l = 0,997m zwischen Laser und Schirm und dem Abstand x zwischen dem nullten und dem jeweilig betrachteten Extremum der Intensität ergibt sich dann: ( x ) α(x) = arctan l. (40) Der Laser arbeitet mit einer Wellenlänge von = 632,8nm Spalt Extremum Absolute Positionen α [Rad] links rechts links rechts 0. Maximum Minimum , , Maximum , , Minimum , , Maximum , , Minimum , , Maximum , , Es gilt: ɛ = πd sin α und D die Spaltbreite. Für ein Maximum ist ɛ ein Vielfaches von π, also und für ein Minimum gilt:, (41) ɛ max = n π, (42) ɛ min = 2n 1 2 π. (43) In Abbildung?? ist sin α gegen ɛ/π aufgetragen, sodass wir mit der Steigung m der Regressionsgraden die Spaltbreite D bestimmen können: sin α = D ɛ π (44) m = D. (45) 11

12 Mit der Wellenlänge des Lasers ergibt sich dann: D = 193(10)µm Der Fehler ergibt sich aus: σ D = m 2 σ m. (46) Die Abweichung vom Literaturwert liegt bei 14% Steg Extremum Absolute Positionen α [Rad] links rechts links rechts 0. Maximum Minimum , , Maximum , , Minimum , , Maximum , , Minimum , , Maximum , , Analog zur Vorgehensweise beim Spalt ergibt sich (siehe Abbildung??): Die Abweichung vom Literaturwert liegt bei 15%. D = 165(5)µm Erstes Doppelloch Extremum Absolute Positionen α [Rad] links rechts links rechts 0. Maximum Minimum , , Maximum , , Minimum , , Maximum , Beim Doppelloch gilt: ɛ = πd sin α, (47) wobei D der Abstand der beiden Löcher ist. Ansonsten ergibt sich analog zur Vorgehensweise beim Spalt (siehe Abbildung??): 12

13 D = 133(8)µm Die Abweichung vom Literaturwert liegt bei 73% Zweites Doppelloch Extremum Absolute Positionen α [Rad] links rechts links rechts 0. Maximum Minimum , , Maximum , , Minimum , , Maximum , Analog zur Vorgehensweise beim ersten Doppelloch (siehe Abbildung??): D = 131(5)µm Die Abweichung vom Literaturwert liegt bei 74% Drittes Doppelloch Extremum Absolute Positionen α [Rad] links rechts links rechts 0. Maximum Minimum , , Maximum , , Minimum , , Maximum , , Minimum , , Maximum , , Analog zur Vorgehensweise beim ersten und zweiten Doppelloch (siehe Abbildung??): D = 166(8)µm Die Abweichung vom Literaturwert liegt bei 66%. 13

14 4.1.6 Gitter Extremum Absolute Positionen α [Rad] links rechts links rechts 0. Maximum Minimum , , Maximum , , Minimum , , Maximum , , Minimum , , Maximum , , Beim Gitter gilt: ɛ = π(d + S) sin α, (48) wobei D der Abstand von zwei benachbarten Spalten und S die Dicke eines Spalts ist. Ansonsten ergibt sich analog zur Vorgehensweise beim Spalt (siehe Abbildung??): D + S = 307(4)µm Die Abweichung vom Literaturwert liegt bei 37% Lochblende Leider lieferte die Messung mit der Lochblende keine brauchbaren Ergebnisse (siehe Abbildung??), sodass wir keine Auswertung durchführen konnten. Figure 10: Intensitätsverteilung bei der Lochblende 14

15 Figure 11: Intensitätsverteilung beim Spalt Figure 12: Spalt: sin α in Abhängigkeit von ɛ/π 15

16 Figure 13: Intensitätsverteilung beim Steg Figure 14: Steg: sin α in Abhängigkeit von ɛ/π 16

17 Figure 15: Intensitätsverteilung beim ersten Doppelloch Figure 16: Erstes Doppelloch: sin α in Abhängigkeit von ɛ/π 17

18 Figure 17: Intensitätsverteilung beim zweiten Doppelloch Figure 18: Zweites Doppelloch: sin α in Abhängigkeit von ɛ/π 18

19 Figure 19: Intensitätsverteilung beim dritten Doppelloch Figure 20: Drittes Doppelloch: sin α in Abhängigkeit von ɛ/π 19

20 Figure 21: Intensitätsverteilung beim Gitter Figure 22: Gitter: sin α in Abhängigkeit von ɛ/π 20

21 4.2 Wellenlänge des Lasers (5.) Die geringste Abweichung von der Regressionsgraden wiesen die Messwerte am Gitter auf. Den ermittelten Wert der Steigung m verwenden wir nun, um die Wellenlänge des Laser zu berechnen. = (D + S) m. (49) Den Wert für D + S entnehmen wir dem Skript. Es ergibt sich für die Wellenlänge: = 1009(13)nm Die Abweichung vom Literaturwert liegt bei 59%. 5 Diskussion Dieser Versuch zeigt, dass eine automatisierte Messwerterfassung keinesfalls zu besseren Ergebnissen führen muss. Bei den drei Doppellöchern kommen wir auf zu kleine Ergebnisse, was wir uns nicht recht erklären können. Bei dem Vergleich mit dem Literaturwert haben wir immer den kleinsten der angegebenen verwendet. Die Durchführung dauert zudem ziemlich lange, besonders wenn die Software nicht funktioniert. Die Theorie ist zwar nicht uninteressant, aber sehr langwierig, da alle möglichen Interferenzverteilungen hergeleitet werden müssen. Insgesamt bietet der Versuch wenig Lernerfolg trotz vieler Arbeit. 21