Oszillationen der Reinheit in geschlossenen Vielteilchen-Quantensystemen

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1 Oszillationen der Reinheit in geschlossenen Vielteilchen-Quantensystemen Bachelorarbeit von Felix Roser 18. August 217 Prüfer: Priv.-Doz. Dr. Holger Cartarius 1. Institut für Theoretische Physik Universität Stuttgart Pfaffenwaldring 57, 755 Stuttgart

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3 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung Motivation Inhaltsangabe Zweite Quantisierung Beschreibung von Mehrteilchenzuständen Permutationsoperator und Permutationsgruppe Symmetrisierungsoperator Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren und die Fock-Basis Operatoren für Vielteilchensysteme Einteilchenoperatoren Zweiteilchenoperatoren Feldoperatoren Bose-Hubbard-Modell Der Hamilton-Operator Berechnung der Dynamik Beschreibung von Bose-Einstein-Kondensaten Bose-Einstein-Kondensation Reinheit von Bose-Einstein-Kondensaten Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren für ein bestimmtes Teilchen Einteilchendichtematrix Definition der Reinheit Gross-Pitaevskii-Gleichung Simulation gekoppelter Bose-Einstein-Kondensate Beschreibung des betrachteten Systems Berechnung des Anfangszustandes Bestimmung der Mean-Field-Koeffizienten Komponenten des Anfangszustandes in der Fock-Basis Berechnung der Dynamik Fock-Basis und Skalierungsverhalten der Simulation Dynamik gekoppelter Bose-Einstein-Kondensate 27 iii

4 Inhaltsverzeichnis 5.1 Zeitentwicklung der Teilchenzahlerwartungswerte für verschiedene Anfangszustände Einflüsse der Simulationsparameter auf die Dynamik Einfluss der Kopplung benachbarter Mulden Einfluss der Teilchen-Teilchen-Wechselwirkung Einfluss der Energieverschiebungen der Subsysteme Dynamik der Reinheit Reinheit des Gesamtsystems Andere Anfangsbedingungen Zusammenhang von Teilchenzahlen und Reinheit Experimentelle Beobachtung von Reinheitsoszillationen Dynamik einfacherer Systeme Frequenzspektren der Oszillationen Einflüsse der Simulationsparameter auf die Frequenzspektren Einfluss der Kopplung benachbarter Mulden Einfluss der Teilchen-Teilchen-Wechselwirkung Einfluss der Energieverschiebung der Subsysteme Andere Anfangsbedingungen Zusammenfassung und Ausblick 59 Literaturverzeichnis 63 Danksagung 65 iv

5 1 Einleitung 1.1 Motivation Seit ihrer theoretischen Vorhersage durch Einstein im Jahr 1924 [1] wird Bose-Einstein- Kondensaten in der Physik großes Interesse gewidmet. Der Nachweis eines Phasenübergangs von ultrakalten Bosonen in ein Bose-Einstein-Kondensat gelang Cornell, Wiemann und Ketterle im Jahr 1995 [2, 3]. Bis heute wurde die Forschung an Bose-Einstein- Kondensaten sowohl experimentell als auch in der Theorie stetig vorangetrieben. Zwei unterschiedliche Konzepte zur Beschreibung solcher Quantensysteme sollen im Folgenden besonders hervorgehoben werden. Die Behandlung von Kondensaten in einer magnetischen Falle erfolgt häufig im Rahmen einer Mean-Field-Näherung mithilfe der Gross-Pitaevskii-Gleichung [4, 5]. Sie stellt eine nichtlineare Schrödinger-Gleichung dar und bildet eine der beiden Herangehensweisen dieser Arbeit. Für Bose-Einstein-Kondensate in optischen Gittern eignet sich oft eine andere Beschreibung. Es handelt sich dabei um sehr flexible und hervorragend experimentell kontrollierbare Systeme, in denen sich viele Phänomene der Quantenmechanik besonders gut untersuchen lassen. Die Variationen der Gitter erlauben die Betrachtung der Dynamik der Bosonen in einer Vielzahl von Potentiallandschaften. Das Bose-Hubbard-Modell [6] bietet eine Näherung solcher Systeme für den Fall tiefer Gitterpotentiale [7]. Es wurde im Jahr 22 von Greiner et al. experimentell bestätigt [8]. Im Gegensatz zur Gross-Pitaevskii-Gleichung bietet das Bose-Hubbard-Modell die Möglichkeit, die Kopplung mehrerer Bose-Einstein-Kondensate theoretisch zu beschreiben, da hier keine Mean- Field-Näherung eingeführt wird [9]. Außerdem ermöglicht dieses Modell generell effiziente Simulationen der Dynamiken von Vielteilchensystemen in Gitterpotentialen. Bei der Untersuchung offener Vielteilchensysteme mit ausgeglichenem Teilchenverlust und -gewinn in PT -symmetrischer Beschreibung wurden kürzlich von Dast [1] Oszillationen der Reinheit des Kondensats gefunden, welche sich durch einen periodisch verschwindenden und wiederkehrenden Kontrast in Interferenzexperimenten nachweisen lassen. Die physikalische Realisierung von Zu- und Abflüssen bleibt jedoch offen. Im Jahr 213 gelang Kreibich die Beschreibung eines offenen PT -symmetrischen Systems durch ein geschlossenes System mit zwei Teilchenreservoirs [11], welche einen Teilchenzu- und abfluss ermöglichen. Auch in einem solchen abgeschlossenen System konnten von Stysch [12] Reinheitsoszillationen gefunden werden, welche in Folge einer Kopplung zweier Kondensate ohne Phasenkohärenz auftreten. Dabei wurden jedoch periodische Randbedin- 1

6 1 Einleitung gungen angenommen, deren experimentelle Realisierung schwierig ist. Ziel dieser Arbeit ist der theoretische Nachweis und die Untersuchung von Reinheitsoszillationen in einem nichtperiodischen System im Rahmen des Bose-Hubbard-Modells, um geeignetere experimentelle Realisierungen zu ermöglichen. Dafür werden mehrere Bose-Einstein-Kondensate miteinander gekoppelt und ihre Dynamik simuliert. Es sollen Systeme gefunden werden, in denen Reinheitsoszillationen besonders gut beobachtet werden können. Dabei zeigt sich, dass eine lineare Kette aus sechs Mulden bereits sehr klare Reinheitsoszillationen zeigt. Für geeignete Anfangsbedingungen können besonders harmonische Oszillationen mit großer Amplitude nachgewiesen werden. Es wird gezeigt, dass sich die Oszillationen wie in den Arbeiten von Dast und Stysch in Interferenzexperimenten sichtbar machen lassen. Außerdem wird im Rahmen dieser Arbeit herausgearbeitet, dass es nicht nötig ist, ein PT -symmetrisches System durch ein Sechs-Mulden- Potential zu simulieren. In einem einfacheren Vier-Mulden-Potential, welches nicht von einem PT -symmetrischen Aufbau mit Zu- und Abflüssen inspiriert ist, können ebenfalls Reinheitsoszillationen gefunden werden. 1.2 Inhaltsangabe In Kapitel 2 wird die zweite Quantisierung eingeführt. Sie stellt eine Methode zur Beschreibung quantenmechanischer Vielteilchensysteme dar. Insbesondere wird hier der Fokus auf Bosonen gelegt. Im Rahmen der zweiten Quantisierung wird in Abschnitt 2.3 das Bose-Hubbard-Modell hergeleitet. Es handelt sich dabei um eine Methode zur Beschreibung der Dynamik eines Systems aus vielen Bosonen in einem optischen Gitter, welche für numerische Simulationen besonders gut geeignet ist. Kapitel 3 gibt eine kurze Einführung in die Theorie der Bose-Einstein-Kondensation. Etwas genauer wird in Abschnitt 3.2 die Reinheit von Bose-Einstein-Kondensaten hergeleitet. Sie stellt ein Maß dafür dar, wie viele Teilchen sich im Kondensat im selben Einteilchenzustand befinden und ist eine zentrale Größe in dieser Arbeit. Die Gross- Pitaevskii-Gleichung, welche in Abschnitt 3.3 motiviert wird, kann genutzt werden, um die Wellenfunktion eines Bose-Einstein-Kondensats in Mean-Field-Näherung zu berechnen. Im Rahmen dieser Arbeit wird die Dynamik von Bose-Einstein-Kondensaten in einem gitterähnlichen Potential simuliert. Dafür wird ein Simulationsprogramm entwickelt, dessen Funktionsweise in Kapitel 4 skizziert wird. Dabei wird in Abschnitt 4.1 das hier betrachtete quantenmechanische System genauer erläutert. In Kapitel 5 werden die Dynamiken mehrerer verschiedener Systeme simuliert und miteinander verglichen. Hierfür findet im Besonderen eine Betrachtung der Besetzungszahlen und der Reinheit statt. Beide Größen zeigen Oszillationen, deren Form durch verschiedene Systemparameter verändert werden kann. Ziel des Kapitels ist die Konstruktion von Systemen, in deren Dynamik sich besonders starke und harmonische Reinheitsoszillationen zeigen. 2

7 1.2 Inhaltsangabe Um die in Kapitel 5 gefundenen Oszillationen besser untersuchen und vergleichen zu können, werden in Kapitel 6 die Frequenzspektren der Dynamiken ausgewertet. Kapitel 7 fasst die Ergebnisse dieser Bachelorarbeit zusammen und gibt einen kurzen Ausblick über mögliche Bereiche dieses Themenfeldes, die in Zukunft untersucht werden können. 3

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9 2 Zweite Quantisierung Die zweite Quantisierung ist eine Methode, welche sich besonders zur Beschreibung quantenmechanischer Vielteilchensysteme eignet. Im Folgenden soll diese Beschreibung für Systeme aus identischen Teilchen, insbesondere Bosonen, hergeleitet werden. Dabei orientieren sich die folgenden Abschnitte an der Struktur des Buches von Schwabl [13]. 2.1 Beschreibung von Mehrteilchenzuständen Wir betrachten ein quantenmechanisches System aus N identischen Teilchen. Ein solches System sei durch die Wellenfunktion ψ(1, 2,..., N) (2.1) und den Hamilton-Operator Ĥ(1, 2,..., N) (2.2) beschrieben. Hierbei steht ein Argument i {1, 2,..., N} stellvertretend für alle Freiheitsgrade des i-ten Teilchens Permutationsoperator und Permutationsgruppe In dieser Arbeit soll ein Ensemble von Bosonen beschrieben werden. Der Zustand eines solchen Systems ist stets vollkommen symmetrisch unter Teilchenaustausch. Aus diesem Grund wird ein mathematischer Formalismus benötigt, mithilfe dessen solche Zustände konstruiert werden können. Auf dem Weg zu einem solchen Formalismus wird zunächst der Permutationsoperator ˆP ij eingeführt, welcher das Teilchen i mit dem Teilchen j vertauscht: ˆP ij ψ(..., i,..., j,...) = ψ(..., j,..., i,...). (2.3) Durch mehrfache Anwendung von Permutationsoperatoren können die N betrachteten Teilchen beliebig angeordnet werden. So ergibt sich die Permutationsgruppe S N, bestehend aus allen N! Permutationen von N Teilchen. Für jeden symmetrischen Operator Ôs und eine beliebige Permutation ˆP gilt offensichtlich ˆPÔs = Ôs ˆP. (2.4) 5

10 2 Zweite Quantisierung Da hier nur identische Teilchen behandelt werden, sind die Zustände ψ und ˆPψ experimentell nicht voneinander zu unterscheiden. Deshalb müssen alle physikalischen Operatoren symmetrisch sein. Im Folgenden werden insbesondere Bosonen betrachtet, welche sich durch einen ganzzahligen Spin auszeichnen. Es erweist sich experimentell, dass Bosonenzustände ψ B vollkommen symmetrisch unter Teilchenaustausch sind. Diese Erkenntnis kann auch im Rahmen der Quantenfeldtheorien gewonnen werden. Es gilt hier also ˆPψ B = ψ B. (2.5) für jede Permutation ˆP. An dieser Stelle wird eine Methode benötigt, welche es ermöglicht, vollkommen symmetrische Zustände zu erzeugen Symmetrisierungsoperator Der Zustand des betrachteten Systems aus Bosonen ist durch das Produkt der Einteilchenzustände beschrieben. Ein Basis-Zustand kann also folgendermaßen geschrieben werden: i 1, i 2,..., i N = i 1 1 i i N N. (2.6) Dabei bezeichnet i j den Zustand, in dem sich das Teilchen mit der Teilchennummer j befindet. Um nun der Symmetriebedingung für Bosonen in Gleichung (2.5) gerecht zu werden, wird der Symmetrisierungsoperator Ŝ + i 1, i 2,..., i N = 1 N! ˆP ˆP i 1, i 2,..., i N (2.7) eingeführt. In Gleichung (2.7) wird über alle N! Elemente der Permutationsgruppe summiert. Es kann gezeigt werden, dass die neuen Basis-Zustände Ŝ+ i 1, i 2,..., i N vollständig symmetrisch sind. Falls ein Zustand von mehr als einem Teilchen besetzt ist, sind die Basis-Zustände in Gleichung (2.7) nicht normiert. Sei jeder Zustand j {1, 2,...} von n j Teilchen besetzt. Dann kommt in Gleichung (2.7) jeder Term genau n 1! n 2!... mal vor. Aus diesem Grund lauten die normierten Bose-Basisfunktionen 1 n1! n 2!...Ŝ+ i 1, i 2,..., i N = 1 N! n1! n 2!... ˆP ˆP i 1, i 2,..., i N. (2.8) Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren und die Fock-Basis Ein Vielteilchenzustand mit Bosonen ist allein durch die Angabe der Besetzungszahlen n i der Zustände i bestimmt. Deshalb können mehrere Basisvektoren in Gleichung (2.6) dem gleichen Zustand entsprechen und unter Anwendung des Symmetrisierungsoperators 6

11 2.1 Beschreibung von Mehrteilchenzuständen Ŝ + das gleiche Ergebnis liefern. Die Basisvektoren in Gleichung (2.8) werden als Fock- Zustände 1 n 1, n 2,... = i 1, i 2,..., i N (2.9) n1! n 2!...Ŝ+ bezeichnet. Der Fock-Raum besteht aus allen Fock-Zuständen für jede beliebige Gesamtteilchenzahl N = i n i. Es gelten die Orthonormalitäts- und die Vollständigkeitsrelationen n 1,n 2,... n 1, n 2,... n 1, n 2,... = δ n1,n δ 1 n 2,n..., (2.1) 2 n 1, n 2,... n 1, n 2,... = ˆ1. (2.11) Um ein Teilchen im Zustand i zu erzeugen, wird der Erzeugungsoperator â i..., n i,... = n i , n i + 1,... (2.12) definiert. Dieser Operator überführt also einen N-Teilchen-Zustand in einen Zustand mit N + 1 Teilchen, indem er die Besetzungszahl im Zustand i um 1 erhöht. Adjungiert man den Erzeugungsoperator, so erhält man den Vernichtungsoperator, wie durch folgende Rechnung gezeigt werden kann:..., n i,... â i..., n i,... = â i (..., n i,...)..., n i,... Es ist also für n i 1 = n i + 1 δ n i +1,n i falls n i 1 = n i δ n i,n i 1. (2.13) â i..., n i,... = n i..., n i 1,.... (2.14) Der Vernichtungsoperator â i erniedrigt die Besetzungszahl im Zustand i um 1, solange n i 1 ist. Ist der Zustand unbesetzt, so gilt â i..., n i =,... =, (2.15) da negative Besetzungszahlen nicht erlaubt sind. Wird zunächst der Vernichtungsoperator und anschließend der entsprechende Erzeugungsoperator auf einen Zustand angewendet, so erhält man die Besetzungszahl n i : â iâi..., n i,... = n i n i..., n i,... = n i..., n i,.... (2.16) Deshalb ist der Besetzungszahloperator definiert durch ˆn i = â iâi und es gilt ˆn i..., n i,... = n i..., n i,.... (2.17) Da die Gesamtteilchenzahl die Summe aller Besetzungszahlen ist, lässt sich der Gesamtteilchenzahloperator offensichtlich definieren durch ˆN = i ˆn i. (2.18) 7

12 2 Zweite Quantisierung 2.2 Operatoren für Vielteilchensysteme Um Vielteilchensysteme korrekt beschreiben zu können, müssen sowohl Einteilchen- Größen und Wechselwirkungen mit der Umgebung, als auch Teilchen-Teilchen-Wechselwirkungen betrachtet werden. Aus diesem Grund werden im Folgenden allgemeine Operatoren eingeführt, die diese Anforderungen im Bild der zweiten Quantisierung erfüllen Einteilchenoperatoren Zu den Einteilchenoperatoren zählen, wie beispielsweise der Impulsoperator, alle Operatoren, die für jedes Teilchen im Einzelnen definiert sind und nicht von den Zuständen der anderen Teilchen im System abhängen. Sei ˆT ein Operator des N-Teilchensystems, der sich aus Einteilchenoperatoren ˆt i für jedes Teilchen i {1, 2,..., N} zusammensetzt: ˆT = i ˆt i. (2.19) Für N identische Teilchen haben alle Einteilchenoperatoren ˆt i die gleiche Form ˆt. Die Matrixelemente eines solchen Operators sind t ij = i ˆt j. (2.2) Handelt es sich bei der Basis i um ein Orthonormalsystem, so lässt sich der Einteilchenoperator ˆT folgendermaßen umschreiben: N ˆT = ˆt α = α=1 N ˆ1 αˆt αˆ1 α α=1 ( ) ( ) N = i α i α ˆt α j α j α α=1 i j = N i α iα ˆt α jα j }{{} α i,j α=1 =t ij = i,j t ij N α=1 i α j α. (2.21) Um nun den Operator α i α j α durch Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren darzustellen, wird seine Wirkung auf einen Basisvektor der Fock-Basis untersucht: N N Ŝ + i α j α..., n i,..., n j,... = i α j α n1! n 2!... i 1, i 2,..., i N. (2.22a) α=1 α=1 8

13 2.2 Operatoren für Vielteilchensysteme An dieser Stelle kann Gleichung (2.4) verwendet werden, um den Symmetrisierungsoperator mit dem symmetrischen Operator α i α j α zu vertauschen: N Ŝ + N i α j α..., n i,..., n j,... = i n1! n 2!... α j α i 1, i 2,..., i N. (2.22b) α=1 Wenn nun der Zustand j n j -fach besetzt ist, dann ergeben sich in Gleichung (2.22b) genau n j Zustände, in denen ein Teilchen im Zustand j durch ein Teilchen im Zustand i ersetzt wurde: N ni + 1 i α j α..., n i,..., n j,... = n j..., n i + 1,..., n j 1,.... (2.22c) nj α=1 α=1 Der Faktor ni +1 n j wird zur Erhaltung der Norm benötigt. Nun ist N i α j α..., n i,..., n j,... = n j ni , n i + 1,..., n j 1,... α=1 (2.23) = â iâj..., n i + 1,..., n j 1,... und damit N i α j α = â iâj. (2.24) α=1 Der Einteilchenoperator aus Gleichung (2.21) hat jetzt die folgende endgültige Form: ˆT = t ij â iâj. (2.25) i,j Zweiteilchenoperatoren Zweiteilchenoperatoren beschreiben Wechselwirkungen zwischen zwei Teilchen, wie beispielsweise die Coulomb-Wechselwirkung. Ein Zweiteilchenoperator ˆF des N-Teilchensystems setzt sich dann aus den Operatoren ˆf(α, β) zusammen, welche die Wechselwirkung von allen Teilchen α {1, 2,..., N} mit allen Teilchen β {1, 2,..., N} beschreiben: ˆF = N 1 N α=1 β=α+1 ˆf(α, β) = 1 2 α β ˆf(α, β). (2.26) Der letzte Umformungsschritt war hier möglich, da im Allgemeinen ˆf(α, β) = ˆf(β, α) ist. Ähnlich der Rechnung in Unterabschnitt lässt sich auch ein Zweiteilchenoperator in Form von ˆF = 1 i, j 2 ˆf k, l }{{} ijkl =f ijkl â durch Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren darstellen. iâ jâkâ l (2.27) 9

14 2 Zweite Quantisierung Feldoperatoren Auf dem Weg zu einer günstigen Beschreibung von Operatoren eines Vielteilchensystems aus identischen Bosonen werden nun die sogenannten Feldoperatoren eingeführt. Die Einteilchen-Wellenfunktion eines Teilchens im Zustand i in Ortsdarstellung ist Die Feldoperatoren ϕ i (x) = x i. (2.28) ˆψ(x) = i ˆψ (x) = i ϕ i (x) â i, (2.29) ϕ i (x) â i (2.3) vernichten/erzeugen ein Teilchen im Ortseigenzustand x. Nun kann der allgemeine Einteilchenoperator aus Gleichung (2.25) umgeschrieben werden. Dabei ist zunächst ˆT = i,j â i i ˆt j âj. (2.31a) Für Ortseigenzustände x gilt d 3 x x x = 1. Dieser Term kann also beliebig in die Rechnung eingefügt werden: ˆT = d 3 x d 3 x â i i x x ˆt x x j â j i,j = d 3 x d 3 x â i ϕ i (x) x ˆt x ϕ j (x ) â j (2.31b) i,j = d 3 x d 3 x ˆψ (x) x ˆt x ˆψ(x ). Sei nun ˆt x = x ˆt x der Operator ˆt in der Ortsbasis x. Dann kann gezeigt werden, dass x ˆt x = ˆt x δ(x x ) ist. Setzt man diese Relation in Gleichung (2.31b) ein, so erhält man = d 3 x d 3 x ˆψ (x) ˆt x δ(x x ) ˆψ(x ) (2.31c) = d 3 x ˆψ (x) ˆt x ˆψ(x). Die gleiche Rechnung kann auch für einen allgemeinen Zweiteilchenoperator des N- Teilchensystems entsprechend Gleichung (2.27) durchgeführt werden. Dabei ergibt sich ˆF = 1 d 3 x d 3 x 2 ˆψ (x) ˆψ (x ) ˆf x,x ˆψ(x) ˆψ(x ) (2.32) 1

15 2.3 Bose-Hubbard-Modell mit dem Zweiteilchenoperator in Ortsdarstellung. ˆf x,x = x, x ˆf x, x (2.33) 2.3 Bose-Hubbard-Modell Nun soll eine Methode gefunden werden, welche es ermöglicht, die Dynamik eines Vielteilchensystems aus Bosonen in einem gitterartigen Potential zu errechnen. Das Bose- Hubbard-Modell wurde von Gersch und Knollmann im Jahr 1962 eingeführt [6]. Seine Gültigkeit wurde 22 experimentell von Greiner nachgewiesen [8]. Im Folgenden wird das Bose-Hubbard-Modell, welches sich besonders gut zur numerischen Berechnung der zeitaufgelösten Entwicklung eines Systems eignet, hergeleitet. Dabei wird ein System mit tiefen Temperaturen betrachtet, sodass entsprechend der Boltzmann-Verteilung nur das niedrigste Band mit Bandindex im Gitter von Bosonen bevölkert ist. Das betrachtete gitterartige Potential besitzt M Mulden und muss im Allgemeinen nicht periodisch sein Der Hamilton-Operator Hierfür müssen zunächst die Wellenfunktionen der Einteilchenzustände in Ortsdarstellung aus Gleichung (2.28) in eine andere Orthonormalbasis gebracht werden. Die so erhaltenen Basisfunktionen w (x x i ) (2.34) entsprechen den Wannier-Funktionen in periodischen Potentialen und sind nun an der jeweiligen Mulde i {1,..., M} lokalisiert. Hierbei wurde im Rahmen einer Näherung angenommen, dass alle Mulden die gleiche Form haben. Außerdem wurden bei der Berechnung von w (x x i ) alle Mulden j i ignoriert. Der Index ist der Bandindex. Die Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren â i und â i erzeugen/vernichten in dieser Basis also ein Teilchen in der Mulde i des Potentials, das sich in der Mode w befindet. Die Feldoperatoren werden jetzt erhalten durch ˆψ(x) = i w (x x i ) â i, (2.35) ˆψ (x) = i w (x x i ) â i. (2.36) Um nun einen Hamilton-Operator zu konstruieren, werden Gleichung (2.31c) und Gleichung (2.32) verwendet. So erhält man ( ) Ĥ = d 3 x ˆψ ˆp 2 (x) 2m + V (x) ˆψ(x) + 1 (2.37) d 3 x d 3 x 2 ˆψ (x) ˆψ (x ) U(x, x ) ˆψ(x) ˆψ(x ), 11

16 2 Zweite Quantisierung wobei p2 /2m der kinetische Term ist und V (x) das externe gitterähnliche Potential. U(x, x ) ist das Wechselwirkungspotential zweier Teilchen, welche sich an den Orten x und x befinden. Nun können in Gleichung (2.37) die Feldoperatoren aus Gleichung (2.35) und Gleichung (2.36) eingesetzt werden: Ĥ = d 3 x ( ) ˆp â 2 i w (x x i ) 2m + V (x) â j w (x x j ) i,j + 1 d 3 x d 3 x [ â i 2 w (x x i ) â j w (x x j ) (2.38) ijkl ] U(x, x ) â k w (x x k ) â l w (x x l ). Die Integrale aus Gleichung (2.38) können nun als Konstanten ( ) ˆp J ij = d 3 x w(x 2 x i ) 2m + V (x) w (x x j ) (2.39) U ijkl = d 3 x d 3 x w(x x i ) w(x x j ) U(x, x ) w (x x k ) w (x x l ) (2.4) geschrieben werden, wodurch sich der Hamilton-Operator drastisch vereinfacht: Ĥ = ij J ij â iâj + 1 U ijkl â 2 iâ jâkâ l. (2.41) Im Rahmen des Bose-Hubbard-Modells wird nun angenommen, dass das gitterartige Potential V aus tiefen Mulden besteht, sodass der Überlapp zweier lokalisierter Wellenfunktionen w in verschiedenen Mulden, welche nicht benachbart sind, verschwindet. Mit einer Umbenennung ɛ i J ii (2.42) kann der Hamilton-Operator nun folgendermaßen dargestellt werden: Ĥ = i,j J ij â iâj + i ijkl ɛ i â iâi + 1 U ijkl â 2 iâ jâkâ l. (2.43) Dabei kennzeichnet die Schreibweise i, j alle Mulden i und j, die nächste Nachbarn sind. Der Term i ɛ i â iâi kann mithilfe des Teilchenzahloperators zu i ɛ i ˆn i umgeschrieben werden. Dieser Ausdruck behandelt also die Energiedifferenzen zwischen den einzelnen Mulden, wobei ein Teilchen in Mulde i die Energie ɛ i besitzt. Für die Teilchen-Teilchen-Wechselwirkung wird im Folgenden das Potential U(x, x ) = U δ(x x ) angenommen. In diesem Fall wird in Gleichung (2.4) U iiii U = U d 3 x w (x x i ) w (x x i ) w (x x i ) w (x x i ). (2.44) ijkl 12

17 2.3 Bose-Hubbard-Modell V (x) J ij U i j ɛ j ɛ i Abbildung 2.1: Schematische Darstellung zur Veranschaulichung der Parameter des Hamilton-Operators im Rahmen des Bose-Hubbard-Modells in Gleichung (2.45). Alle anderen Terme U ijkl sind vernachlässigbar klein. Der Hamilton-Operator hat nun seine endgültige Form im Bose-Hubbard-Modell: Ĥ BH = ij J ij â iâj + U 2 â iâ iâiâ i + i i ɛ i â iâi. (2.45) Die Parameter in Gleichung (2.45) sind in Abbildung 2.1 im Rahmen einer schematischen Darstellung veranschaulicht. Dabei sind hier zwei benachbarte Potentialmulden i und j gezeichnet. Der Parameter J ij kann als Kopplungskonstante zwischen beiden Mulden angesehen werden. Die Parameter ɛ i und ɛ j beschreiben die Energieverschiebung der Mulden zueinander. Die Teilchen-Teilchen-Wechselwirkung wird durch die Konstante U beschrieben. Sie bewirkt eine Verschiebung der Energieniveaus zu höheren Energien, wenn mehrere Teilchen in einer Mulde lokalisiert sind Berechnung der Dynamik Um mithilfe des gefundenen Hamilton-Operators ĤBH die Dynamik eines Systems zu berechnen, müssen zuerst die Konstanten U, J ij und ɛ i für das jeweilige System gefunden werden. Der Zustand desselben sei in der Fock-Basis gegeben durch ψ. Die zeitliche Entwicklung dieses Systems kann dann numerisch berechnet werden, indem die Schrödinger-Gleichung i t ψ = ĤBH ψ (2.46) gelöst wird. Im Rahmen dieser Arbeit wird dafür ein Runge-Kutta-Verfahren genutzt. 13

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19 3 Beschreibung von Bose-Einstein-Kondensaten 3.1 Bose-Einstein-Kondensation Auf Grundlage von Boses Arbeit über die Quantenstatistik von Bosonen [14] beschrieb Einstein im Jahr 1924 erstmals ein quantenmechanisches Phänomen, welches heute unter dem Begriff Bose-Einstein-Kondensation bekannt ist [1]. Er zeigte, dass Bosonen bei tiefen Temperaturen einen Phasenübergang erfahren. Die Besetzungszahl ihres energetisch niedrigsten Zustands bildet unterhalb einer kritischen Temperatur einen makroskopischen Bruchteil der Gesamtteilchenzahl. Der experimentelle Nachweis der Bose-Einstein- Kondensation gelang 1995 Cornell und Wieman [2] sowie Ketterle [3]. Sie ist wesentlicher Bestandteil dieser Arbeit und wird deshalb im Folgenden genauer erklärt. Die Bose-Einstein-Verteilung n(e) = 1 e β(e µ) 1 (3.1) gibt die mittlere Besetzungszahl eines bosonischen Zustandes mit Energie E im thermischen Gleichgewicht an. Dabei stellt µ das chemische Potential dar, während β die Inverse der Temperatur T mit β = (k B T ) 1 und der Boltzmann-Konstanten k B ist. Man betrachte nun ein ideales Bose-Gas in drei Dimensionen mit periodischen Randbedingungen, deren Periodizität durch die Länge L gegeben sei. Die Zustandsdichte eines solchen Systems beträgt 3 2m ω(e) = g L 3 E (3.2) 4π 2 mit der Bosonenmasse m und der Multiplizität g = (2s + 1), welche durch den Spin s bestimmt ist. Um nun die Gesamtteilchenzahl N zu berechnen, kann über die Besetzungszahlen aus Gleichung (3.1) für alle Zustände summiert werden. Im Rahmen einer Näherung kann die Gesamtteilchenzahl auch berechnet werden, indem über die Energie integriert wird: N de ω(e) n(e). (3.3) Hierbei wurden die diskreten Energieniveaus durch eine kontinuierliche Zustandsdichte ersetzt. Es stellt sich heraus, dass das Integral in Gleichung (3.3) einen endlichen Wert besitzt, der mit sinkender Temperatur T kleiner wird und im Limes T gegen 15

20 3 Beschreibung von Bose-Einstein-Kondensaten Null konvergiert. Unterhalb einer bestimmten kritischen Temperatur T c ist der Wert des Integrals also bei jeder Wahl des chemischen Potentials µ kleiner als die tatsächliche Teilchenzahl N. Das liegt daran, dass bei der Integration der energetisch niedrigste Zustand nicht voll berücksichtigt wird, da er nur die Integralgrenze darstellt. Alle fehlenden Teilchen müssen sich also im Grundzustand befinden. Dieses Phänomen wird als Bose- Einstein-Kondensation bezeichnet und tritt auch in anderen physikalischen Systemen mit externen Potentialen und Teilchen-Teilchen-Wechselwirkungen auf. 3.2 Reinheit von Bose-Einstein-Kondensaten Die Reinheit von Bose-Einstein-Kondensaten ist zentrales Thema dieser Arbeit. Sie ist am größten, wenn sich alle Teilchen eines Vielteilchensystems im selben Einteilchenzustand befinden. Die Reinheit eines Vielteilchenzustandes ist am kleinsten, wenn alle Einteilchenzustände zu gleichen Teilen vorkommen. Im Folgenden wird eine Methode hergeleitet, mithilfe derer es möglich ist, die Reinheit eines Kondensats quantitativ zu bestimmen Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren für ein bestimmtes Teilchen Die Reinheit des Bose-Einstein-Kondensats wird über die Einteilchendichtematrix definiert. Die Herleitung dieser Matrix im Bild der zweiten Quantisierung erfordert zunächst die Definition des Vernichtungsoperators â (i) j, welcher das Teilchen mit Teilchennummer i {1,..., N} im Zustand j vernichtet. Für symmetrisierte Fock-Zustände ist es egal, welches Teilchen i hier werwendet wird. Aus diesem Grund wird im Folgenden i = 1 gewählt. Nun lässt sich die Wirkung von â (1) j auf einen allgemeinen Fock-Zustand untersuchen. Dabei kann Gleichung (2.9) verwendet werden: j n 1, n 2,... = â (1) 1 j i 1, i 2,..., i N n1! n 2!...Ŝ+ â (1) = â (1) j 1 ˆPN i 1, i 2,..., i N. N! n1! n 2!... ˆP N (3.4a) Dabei wurde der Symmetrisierungsoperator aus Gleichung (2.7) eingesetzt. Der Index N des Permutationsoperators ˆP N zeigt an, dass hier die N! Permutationen eines N- Teilchen-Systems betrachtet werden. 16

21 3.2 Reinheit von Bose-Einstein-Kondensaten Der Vernichtungsoperator lässt sich nun entsprechend â (1) j n 1, n 2,... = = 1 â (1) N! j ˆP N i 1, i 2,..., i N n1! n 2!... ˆP N 1 N! n1! n 2!... â (1) j ˆP N ˆP N ( i 1 1 i 2,..., i N ) (3.4b) in die Summe ziehen. Dabei ist i k l der Einteilchenzustand i k des Teilchens mit der Teilchennummer l. Nun werden nur die Permutationen betrachtet, bei denen sich das erste Teilchen im Zustand j 1 befindet, da alle anderen Terme unter Anwendung des Vernichtungsoperators verschwinden. Dabei gibt es genau n j Teilchen, welche an die erste Stelle gesetzt werden können. Alle übrigen Teilchen können noch in (N 1)! Varianten permutiert werden: â (1) j n 1, n 2,... = n j N! n1! n 2!... â(1) j j 1 ˆPN 1 ˆP N 1 i 2,..., i N = n j N! n1! n 2!... ˆP N 1 ˆPN 1 i 2,..., i N. (3.4c) Dabei werden die gestrichenen Zustände i 2,..., i N erhalten, indem der ungestrichene Zustand i 1, i 2,..., i N so permutiert wird, dass an erster Stelle der Zustand j steht. Die hinteren N 1 Einteilchenzustände sind dann i 2,..., i N. Das Ergebnis in Gleichung (3.4c) kann nun wieder in einen Fock-Zustand übersetzt werden: â (1) j n 1, n 2,... = = nj N nj (N 1)! n1! n 2!... nj N n 1, n 2,..., n j 1,... = 1 N â j n 1, n 2,.... Für den Vernichtungsoperator des ersten Teilchens gilt also ˆP N 1 ˆPN 1 i 2,..., i N (3.4d) â (1) j = 1 N â j. (3.5) Einteilchendichtematrix Der Dichteoperator ist durch ˆρ = i p i ψ i ψ i (3.6) 17

22 3 Beschreibung von Bose-Einstein-Kondensaten definiert, wobei ψ i der i-te Einteilchenzustand ist und p i = n i /N der Anteil an Teilchen, die sich in diesem Einteilchenzustand befinden. Der Erwartungswert eines beliebigen Operators Ô kann über den Dichteoperator mithilfe der Spur wie folgt berechnet werden: ( ) ( ) tr ˆρ Ô = tr p i ψ i ψ i Ô i = ( ) ψ j p i ψ i ψ i Ô ψ j j i = p i ψ j ψ i ψ i Ô ψ j }{{} i,j =δ ij = p i ψ i Ô ψ i i = Ô. (3.7) Die Identität Ô ( ) = tr ˆρ Ô (3.8) wird in der nachfolgenden Rechnung noch benötigt werden. Nun werden die Matrixelemente des Operators ˆρ 1 = tr 2,...,N ˆρ, (3.9) bei dem die Spur über alle außer über das erste Teilchen gebildet wurde, ins Bild der zweiten Quantisierung gebracht und durch Vernichtungs- und Erzeugungsoperatoren dargestellt. Die einzelnen Schritte der Herleitung der Matrixelemente werden im Folgenden erläutert. Zunächst sind die Matrixelemente i ˆρ 1 j = k k ˆρ 1 δ ki j, (3.1a) wobei δ ki auch durch Vernichtungs- und Erzeugungsoperatoren des ersten Teilchens dargestellt werden kann: i ˆρ 1 j = k ˆρ 1 â (1) j â (1) i k k ( ) (3.1b) = tr 1 ˆρ 1 â (1) j â (1) i. Nun kann Gleichung (3.9) eingesetzt werden. Die Operatoren â (1) j und â (1) i sind bezüglich der Spur über alle anderen Teilchen einfach Konstanten. So ergibt sich für die 18

23 3.2 Reinheit von Bose-Einstein-Kondensaten Matrixelemente von ˆρ 1 ( i ˆρ 1 j = tr 1 tr 2,...,N (ˆρ 1 ) â (1) j â (1) i ( = tr 1,...,N ˆρ â (1) j â (1) i ), ) (3.1c) wobei jetzt Gleichung (3.8) eingesetzt werden kann: i ˆρ 1 j = â (1) j â (1) i. (3.1d) Nach Gleichung (3.5) können nun die Matrixelemente von ˆρ 1 durch Vernichtungs- und Erzeugungsoperatoren dargestellt werden: â j âi i ˆρ 1 j = N. (3.1e) Die Elemente der Einteilchendichtematrix sind nun durch σ ij = â j âi = N i ˆρ 1 j (3.11) definiert Definition der Reinheit Die reduzierte Einteilchendichtematrix ˆσ red = ˆσ tr ˆσ = ˆσ N (3.12) entspricht dem Operator ˆρ 1 aus Gleichung (3.9). Die Notation ˆσ red ist jedoch in der Literatur häufiger vertreten. Die Einteilchendichtematrix lässt sich durch einen geeigneten Basiswechsel auf Diagonalform bringen. Die Basisvektoren sind dann die Einteilchenzustände und die Diagonalelemente entsprechen den jeweiligen Anteilen, zu denen diese Einteilchenzustände besetzt sind. Die Betrachtung der Einteilchendichtematrix ist an dieser Stelle äquivalent zur Betrachtung der Dichtematrix, da alle Vielteilchenzustände symmetrisiert sind. Die Reinheit P der reduzierten Einteilchendichtematrix wird nun durch P = tr ˆσ 2 red (3.13) definiert. Diese Definition lässt sich unter Verwendung der Invarianz der Spur bezüglich einer Basistransformation verstehen. Sei ˆσ red, diag die diagonalisierte reduzierte Einteilchendichtematrix, deren Diagonalelemente λ i die Eigenwerte von ˆσ red sind. Die Rolle der Besetzungswahrscheinlichkeiten der Einteilchenzustände ψ i übernehmen nun die Eigenwerte λ i [; 1]. In Analogie zu 19

24 3 Beschreibung von Bose-Einstein-Kondensaten Gleichung (3.6) ist also λ i = p i. Für die Spur der reduzierten Einteilchendichtematrix gilt: tr ˆσ red = tr ˆσ red, diag = λ i = 1. (3.14) i Demnach gilt für die Reinheit der reduzierten Einteilchendichtematrix P = tr ˆσ red = tr ˆσ red, diag = i λ 2 i 1, (3.15) wobei in Gleichung (3.15) nur dann Gleichheit gilt, wenn genau ein Eigenwert λ i = 1 ist und alle anderen λ j i = sind. Die Reinheit ist folglich maximal, wenn nur ein Einteilchenzustand besetzt ist, also wenn sich alle Teilchen im selben Zustand befinden. Am kleinsten wird die Reinheit, wenn alle D Zustände gleich besetzt sind, also wenn alle λ i = 1 /D sind. In diesem Fall ist P = 1 /D. Die Reinheit P ist also tatsächlich ein Maß dafür, wieviele Teilchen sich im selben Zustand befinden und sie bewegt sich im Intervall P [ 1 /D; 1]. Um die Reinheit noch anschaulicher zu gestalten, wird sie linear gestreckt, sodass P [; 1] ist: P = D D 1 P 1 D 1 = DP 1 D 1. (3.16) Ein perfektes Bose-Einstein-Kondensat hat also die Reinheit P = 1. Sind dagegen alle Zustände gleich stark besetzt, so ist P =. Es ist auch möglich, die Reinheit eines Systems aus mehreren Bose-Einstein-Kondensaten zu bestimmen [15]. Das ist Teil dieser Arbeit. 3.3 Gross-Pitaevskii-Gleichung Die Gross-Pitaevskii-Gleichung wird verwendet, um die Dynamik von Bose-Einstein- Kondensaten im Rahmen einer Mean-Field-Näherung zu berechnen [4, 5]. Es muss jedoch beachtet werden, dass durch diese Gleichung nur perfekte Bose-Einstein-Kondensate beschrieben werden können. Aus diesem Grund eignet sie sich beispielsweise nicht zur Betrachtung der Dynamiken der in dieser Arbeit behandelten Systeme. Sie wird jedoch in stationärer Form verwendet werden, um die Anfangszustände der betrachteten Systeme zu berechnen. Der Hamilton-Operator eines Vielteilchensystems aus identischen Bosonen kann, wie in Gleichung (2.37) als Ĥ = ( ) d 3 x ˆψ ˆp 2 (x) 2m + V (x) + U 2 d 3 x ˆψ(x) d 3 x ˆψ (x) ˆψ (x ) δ(x x ) ˆψ(x) ˆψ(x ), (3.17) 2

25 3.3 Gross-Pitaevskii-Gleichung geschrieben werden, wobei hier für das Wechselwirkungspotential, wie auch in Unterabschnitt 2.3.1, das Kontaktpotential V WW (ˆr i ˆr j ) = U δ(ˆr i ˆr j ) (3.18) eingesetzt wurde. Mithilfe der heisenbergschen Bewegungsgleichung kann der Hamilton- Operator aus Gleichung (3.17) zu [ ] ˆp 2 i t ˆψ(x, t) = 2m + V (x) ˆψ(x, t) + U ˆψ (x, t) ˆψ(x, t) ˆψ(x, t) (3.19) umgeschrieben werden. Entsprechend Gleichung (2.29) werden die Feldoperatoren über die Einteilchenwellenfunktionen φ i (x) definiert: ˆψ(x, t) = i φ i (x, t) â i (3.2) Nun wird angenommen, dass für die Teilchenzahl N und für die Temperatur T gilt. Bei diesen Bedingungen ist, wie in Abschnitt 3.1 behandelt, der Grundzustand φ (x, t) makroskopisch besetzt. Außerdem ist unter der Annahme, dass es zwischen den Zuständen n,... und n ± 1,... bei großer Besetzungszahl im Grundzustand n keine physikalischen Unterschiede geben darf, â n,... n n,... (3.21a) und â n,... n n,.... (3.21b) Damit ist unter den betrachteten Annahmen n der Eigenwert des Vernichtungsoperators â, sowie auch des Erzeugungsoperators â. Nun kann der Feldoperator aus Gleichung (3.2) durch ˆψ(x, t) n φ (x, t) + φ i (x, t) â i i }{{} (3.22) ausgedrückt werden, wobei der hintere Term einer kleinen Störung entspricht, welche im Folgenden vernachlässigt wird. Diese Vereinfachung ist eine Mean-Field-Näherung. Dieser so genäherte Feldoperator wird in Gleichung (3.19) eingesetzt. So ergibt sich die zeitabhängige Gross-Pitaevskii-Gleichung: ] i t φ (x, t) = [ 2 2m + V (x) φ (x, t) + U n φ (x, t) 2 φ (x, t). (3.23) Sie entspricht einer Einteilchen-Schrödinger-Gleichung mit einer Nichtlinearität, welche durch die Teilchen-Teilchen-Wechselwirkungen verursacht wird. 21

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27 4 Simulation gekoppelter Bose-Einstein-Kondensate Im Rahmen dieser Arbeit wird die Zeitentwicklung von gekoppelten Bose-Einstein- Kondensaten untersucht. Wie von Stysch in [12] gezeigt, lassen sich in einem periodischen 6-Mulden-Potential mit zwei gekoppelten Kondensaten Oszillationen der Reinheit beobachten. Ziel dieser Arbeit ist die Untersuchung der Dynamik in nichtperiodischen Potentialen. Dabei wird ebenfalls besonders auf die Reinheit des gekoppelten Systems geachtet. Die Lösung solcher Vielteilchenprobleme erfolgt numerisch. Da der Rechenaufwand solcher Simulationen im Allgemeinen sehr groß ist, wird ein einfaches optisches Gitter bei sehr geringen Temperaturen betrachtet, wodurch eine Reihe von Näherungen erlaubt werden. Das betrachtete System wird im Folgenden detailliert erläutert. 4.1 Beschreibung des betrachteten Systems Es wird ein nichtperiodisches 6-Mulden-Potential betrachtet, wie in Abbildung 4.1 gezeigt. Vor Beginn der Simulation sind die drei Subsysteme voneinander getrennt. In jedem der Subsysteme befindet sich ein Bose-Einstein-Kondensat in einem Mean-Field- Zustand, dessen Wellenfunktion mithilfe der stationären Gross-Pitaevskii-Gleichung berechnet wird. Anschließend werden die Untersysteme gekoppelt (Kopplungskonstante J) und die Dynamik im Rahmen des Bose-Hubbard-Modells ermittelt. In einem leicht veränderten Ansatz wird ein System von zwei (anstelle von drei) gekoppelten Bose-Einstein-Kondensaten untersucht. Dabei sind die Subsysteme 1 und 2 schon vor Beginn der Dynamik verbunden. Die Behandlung dieses Problems erfolgt analog zum ersten System und wird deshalb hier nicht weiter erläutert. Als Parameter der Simulation werden verschiedene Größen verändert. Zunächst können die Energieverschiebungen ɛ 1 und ɛ 3 der Subsysteme sowie die Kopplungskonstante J und die Stärke der Teilchen-Teilchen-Wechselwirkung U variiert werden. Außerdem können die Teilchenzahlen N 1 N 2 und N 3 der drei Subsysteme gewählt werden. Der Rechenaufwand, welcher von der Gesamtteilchenzahl N abhängt, ist dabei jedoch ein limitierender Faktor. Die untersuchten Observablen sind die Teilchenzahlen sowie die Reinheiten in den Subsystemen. Außerdem wird die Reinheit des Gesamtsystems betrachtet. 23

28 4 Simulation gekoppelter Bose-Einstein-Kondensate V J J J J 1 2 ɛ 1 J 3 4 ɛ Subsystem 1 Subsystem 2 Subsystem 3 Abbildung 4.1: Schematische Darstellung des betrachteten Potentials, welches sich aus drei Subsystemen zusammensetzt. Die Subsysteme sind durch die Energieverschiebungen ɛ 1 und ɛ 3 voneinander getrennt. Dabei bedeutet ein negativer Wert von ɛ 3 eine Potentialverschiebung nach unten. Benachbarte Mulden sind entsprechend des Bose-Hubbard-Modells durch die Kopplungskonstante J verbunden. Die mathematischen Hintergründe und die Funktionsweise des Simulationsprogramms wird in den folgenden Abschnitten genauer erläutert. 4.2 Berechnung des Anfangszustandes Bestimmung der Mean-Field-Koeffizienten Die Wellenfunktionen, welche die Bose-Einstein-Kondensate in den Subsystemen zu Beginn der Dynamik beschreiben, werden mithilfe der Gross-Pitaevskii-Gleichung berechnet. Um eine numerische Berechnung der Zustände zu erlauben, wird der Raum zunächst diskretisiert. Für jede Mulde k des Potentials wird nun ein Mean-Field-Koeffizient c k berechnet. Diese Koeffizienten entsprechen den Werten der Wellenfunktion in den Mulden. Alle anderen Raumpunkte werden außer Acht gelassen. Gleichung (3.23) lässt sich nun zu i d dt c k = Jc k+1 Jc k 1 + U (N 1) c k 2 c k + ɛ k c k (4.1) vereinfachen. Das Plank sche Wirkungsquantum wird hier auf = 1 festgelegt und ɛ k ist die Energieverschiebung der k-ten Mulde. Der Faktor n aus Gleichung (3.23) muss durch (N 1) ersetzt werden, da genau genommen jedes Teilchen nur mit N 1 anderen Teilchen wechselwirken kann. Die Terme Jc k+1 und Jc k 1 beschreiben die Kopplung benachbarter Mulden im Potential. 24

29 4.3 Berechnung der Dynamik Die stationäre Lösung ( d dt c k = ) von Gleichung (4.1) wird nun für die Subsysteme numerisch ermittelt. Damit die Lösungen der Subsysteme später gekoppelt werden können, wird die Normierung der Mean-Field-Koeffizienten wie folgt gewählt: k Subsystem c k 2 = # Mulden im Subsystem. (4.2) # Mulden Komponenten des Anfangszustandes in der Fock-Basis Die numerische Berechnung der Dynamik des betrachteten Systems erfolgt am besten in der Fock-Darstellung. Um einen Mean-Field-Zustand φ mit N Teilchen in einem M- Mulden-System in die Fock-Basis zu bringen, kann Gleichung (4.3) verwendet werden: φ, N = n n M =N N! n 1! n 2!... n M! cn 1 1 c n c n M M n 1, n 2,..., n M. (4.3) Dabei repräsentiert n i die Besetzungszahl der i-ten Mulde. Es sollen hier drei Subsysteme von je zwei Mulden mit den Gesamtteilchenzahlen N 1, N 2 und N 3 beschrieben werden. Die Kopplung der Untersysteme erfolgt durch das direkte Produkt ψ = φ 1, N 1 φ 2, N 2 φ 3, N 3 = N1! N2! n 1! n 2! n 3! n 4! n 1 +n 2 =N 1 n 3 +n 4 =N 2 n 5 +n 6 =N 3 N3! N 3 c n c n 6 6 n 1, n 2,..., n 6. (4.4) n 5! n 6! Der Faktor 3 N ist der Normerhaltung geschuldet. Durch diese Herangehensweise besteht der Anfangszustand nun aus drei voneinander unabhängigen Mean-Field-Zuständen. 4.3 Berechnung der Dynamik Die Dynamik des gekoppelten Systems wird im Rahmen des Bose-Hubbard-Modells numerisch errechnet. Dabei gilt es, die zeitabhängige Schrödingergleichung i t ψ = ĤBH ψ (4.5) mit dem Hamilton-Operator aus Gleichung (2.45) zu lösen. Hierfür wird ein Rung-Kutta- Verfahren mit Schrittweite dt verwendet. Die Genauigkeit der Berechungen wird mit kleineren Schrittweiten größer. Um zu überprüfen, ob die Simulation physikalische Ergebnisse liefert, werden verschiedene Tests durchgeführt. Dazu gehört die Berechung der Zeitentwicklung eines einzigen 25

30 4 Simulation gekoppelter Bose-Einstein-Kondensate Mean-Field-Zustandes. Die physikalische Erwartung ist dabei, dass der Zustand statisch ist. Dieses Verhalten kann mit einer Simulation sehr gut reproduziert werden. Für jedes im Rahmen dieser Arbeit betrachtete System werden außerdem die Gesamtenergie E und die Gesamtteilchenzahl N über die Simulationszeit beobachtet. Beide Größen dürfen sich physikalisch nicht ändern. Die Schrittweite dt wird entsprechend angepasst, um die numerischen Fluktuationen minimal zu halten. So wird gesichert, dass die Ergebnisse der Simulationen die physikalischen Zusammenhänge annähernd genau beschreiben. 4.4 Fock-Basis und Skalierungsverhalten der Simulation Die Fock-Basis eines Systems mit N Teilchen in M Mulden besitzt die Dimension ( ) N + M 1 d =. (4.6) M 1 Sie entspricht der Zahl der Möglichkeiten, N ununterscheidbare Teilchen auf M Mulden zu verteilen. Im Rahmen der Simulation wird der Bose-Hubbard-Hamilton-Operator durch eine (d d)-matrix beschrieben. Die Zahl der Elemente dieser Matrix (d 2 ) bestimmt das Skalierungsverhalten der Simulation. Für ein System mit M = 6 Mulden und N = 25 Teilchen ist die Dimension der Fock-Basis d und damit die Zahl der Einträge des Bose-Hubbard-Hamilton- Operators d Für ein System mit N = 5 Teilchen wird dagegen d und d So lässt sich erklären, dass die Rechenzeit und der Speicherbedarf des Simulationsprogramms sehr schnell mit der Teilchenzahl ansteigen. 26

31 5 Dynamik gekoppelter Bose-Einstein-Kondensate Ziel dieser Arbeit ist die Beobachtung von Reinheitsoszillationen in einem nichtperiodischen Potential. Das betrachtete System ist in Abbildung 4.1 zu sehen. Im Bestreben, möglichst deutliche und harmonische Oszillationen zu erhalten, werden in diesem Kapitel verschiedene Systemkonfigurationen getestet und die Resultate verglichen. 5.1 Zeitentwicklung der Teilchenzahlerwartungswerte für verschiedene Anfangszustände Die Erwartungswerte des Teilchenzahloperators ˆn i = â iâi (5.1) werden für die beiden mittleren Mulden aus Abbildung 4.1 berechnet. Die Parameter der Simulation werden zunächst so gewählt, dass alle drei Terme des Hamilton-Operators in Gleichung (2.45) ähnlich groß sind. Dafür wird der Parameter g = U (N 1) definiert. In einem ersten Ansatz werden die Parameter J = 2 und g = ɛ 1 = ɛ 3 = 1 gewählt. In Abbildung 5.1 sind die Zeitentwicklungen der Besetzungszahlen für zwei verschiedene Anfangszustände gezeigt. Es sind deutliche Oszillationen beobachtbar. Diese sind jedoch recht chaotisch. Aus diesem Grund wird im Folgenden der Anfangszustand verändert. Anstelle von drei verschiedenen Mean-Field-Zuständen wird der Anfangszustand von nun an nur noch aus zwei Bose-Einstein-Kondensaten konstruiert. Intuitiv lässt sich für einen solchen Ansatz eine ruhigere Dynamik erwarten, da der Gesamtzustand von zwei Kondensaten einem Mean-Field-Zustand näher ist als der Gesamtzustand von drei Kondensaten. Daher wird nun im Anfangszustand anstelle von zwei separaten Kondensaten ein Mean-Field- Zustand mit Teilchenzahl N 12 für die ersten vier Mulden berechnet. Für die gleichen Anfangsbedingungen wie in Abbildung 5.1 wird nun die Zeitentwicklung der Teilchenzahlerwartungswerte der mittleren beiden Mulden berechnet, wobei für die Teilchenzahlen jeweils N 12 = N 1 + N 2 gewählt wurde. Die simulierten Dynamiken sind in Abbildung 5.2 zu sehen. Bei einem qualitativen Vergleich von Abbildung 5.1 und Abbildung 5.2 ist zu erkennen, dass die Dynamik eines Systems, dessen Anfangszustand nur aus zwei Mean-Field- 27

32 5 Dynamik gekoppelter Bose-Einstein-Kondensate ˆni N 1 = N 3 = 15, N 2 = 5 ˆn 3 ˆn t N 1 = N 3 = 5, N 2 = 15 ˆn 3 ˆn t Abbildung 5.1: Erwartungswerte der Teilchenzahloperatoren der beiden mittleren Mulden für einen Anfangszustand mit drei Mean-Field-Zuständen. Die Parameter der Simulation sind J = 2 und g = ɛ 1 = ɛ 3 = 1. Augenscheinlich sind die Teilchenzahloszillationen für beide verschiedenen Anfangszustände sehr unregelmäßig. ˆni N 12 = 2, N 3 = 15 ˆn 3 ˆn t N 12 = 2, N 3 = 5 ˆn 3 ˆn t Abbildung 5.2: Erwartungswerte der Teilchenzahloperatoren der beiden mittleren Mulden für einen Anfangszustand mit zwei Mean-Field-Zuständen. Die Parameter der Simulation sind J = 2 und g = ɛ 1 = ɛ 3 = 1. Obwohl die Teilchenzahloszillationen nicht als harmonisch bezeichnet werden können, verhalten sie sich auf den ersten Blick regelmäßiger als für Systeme mit drei Mean-Field-Zuständen (vgl. Abbildung 5.1). Dieses qualitative Kriterium bestätigt sich auch in weiteren Simulationen. 28

33 5.2 Einflüsse der Simulationsparameter auf die Dynamik Zuständen zusammengesetzt ist, weniger chaotisch ist, als die Dynamik eines Systems mit drei anfänglichen Mean-Field-Zuständen. Ein quantitativer Vergleich ist hier nicht möglich, jedoch lässt sich diese Erkenntnis auch in weiteren Simulationen reproduzieren. Ziel dieser Arbeit ist die Untersuchung von Reinheitsoszillationen eines Systems. Es ist also sinnvoll, den Anfangszustand so zu wählen, dass die Dynamik möglichst harmonisch wird. Deshalb wird im Folgenden nur noch mit Anfangszuständen gearbeitet, bei denen ein Mean-Field-Zustand über die ersten vier Potentialmulden berechnet wurde. 5.2 Einflüsse der Simulationsparameter auf die Dynamik der Teilchenzahlerwartungswerte Die verschiedenen Simulationsparameter J, g = U (N 1) sowie ɛ 1 und ɛ 3 (siehe Gleichung (2.45)) haben unterschiedliche Einflüsse auf die Dynamik der Teilchenzahlerwartungswerte. Diese Einflüsse sollen im Folgenden genauer erörtert werden. Hierfür werden wieder nur die beiden mittleren Mulden des Systems betrachtet Einfluss der Kopplung benachbarter Mulden Die Kopplungskonstante J beschreibt die Tunnelwahrscheinlichkeit von Teilchen zwischen benachbarten Mulden. Je größer J ist, desto höher ist die Wahrscheinlichkeit für ein Teilchen, zwischen zwei Mulden zu tunneln. Deshalb ist zu erwarten, dass die Teilchenzahloszillationen mit größerem Parameter J schneller werden. Es wird exemplarisch ein Anfangszustand mit den Teilchenzahlen N 12 = 2 und N 3 = 1 gewählt und die zeitliche Entwicklung der Teilchenzahlerwartungswerte in den beiden mittleren Mulden simuliert. Dabei werden alle anderen Simulationsparameter konstant gehalten. Die berechneten Dynamiken sind in Abbildung 5.3 zu sehen. Es ist beim Vergleich der Graphen für verschiedene Werte von J deutlich zu erkennen, dass wie erwartet die Frequenzen der Oszillationen mit der Kopplungskonstante zunehmen. Auch die Amplituden ändern sich, wobei hier keine deutliche Regelmäßigkeit erkennbar ist. Über den betrachteten Zeitraum sind sie für J = 2 augenscheinlich am stabilsten. Aus diesem Grund wird in den folgenden Simulationen immer ein Wert der Kopplungskonstante von J = 2 angenommen. Beachtenswert ist außerdem, dass sich die Teilchenzahlerwartungswerte im Fall J =.25 einem Gleichgewichtszustand anzunähern scheinen, in dem die Oszillationen zum Erliegen kommen. Dieses Verhalten kann darauf zurückgeführt werden, dass im Hamilton- Operator in Gleichung (2.45) der kinetische Term klein gegenüber dem Wechselwirkungsterm wird. Eine schwache Kopplung zwischen den Mulden unterdrückt also die Oszillationen, während die vergleichsweise starken Teilchen-Teilchen-Wechselwirkungen die Bosonen in den Gleichgewichtszustand drängen, sodass diese bestmöglich verteilt sind. Der Einfluss der Teilchen-Teilchen-Wechselwirkung, welche durch den Parameter g beschrieben wird, ist im Folgenden genauer beschrieben. 29

34 5 Dynamik gekoppelter Bose-Einstein-Kondensate 12 1 J =.25 ˆn 3 ˆn 4 ˆni ˆni J = 1 ˆn 3 ˆn 4 ˆni ˆni J = 2 ˆn 3 ˆn 4 J = 4 ˆn 3 ˆn t Abbildung 5.3: Zeitliche Entwicklungen des Systems mit N 12 = 2 und N 3 = 1 Teilchen für verschiedene Kopplungskonstanten J. Die Simulationsparameter sind g = ɛ 1 = ɛ 3 = 1. Es ist deutlich zu erkennen, dass mit der Kopplungskonstante J die Frequenzen der Oszillationen zunehmen. 3