Lineare Algebra I, SoSe10

Transkript

1 Lineare Algebra I, SoSe (Prof Dr O Bogopolski) Dieses Skript basiert teilweise auf dem Skript von Prof Dr Fritz Grunewald Wir betrachten ein breiteres Spektrum von Themen Definitionen, Beispiele und Beweise werden meistens in einer anderen Weise präsentiert Beweise werden in diesem Skript nicht aufgeschrieben Vorlesung Mengen Sei M eine Menge und x ein Objekt x M bedeutet, dass x ein Element von M ist und x / M bedeutet, dass x kein Element von M ist Beispiele: ) Die leere Menge 2) { } Die Menge, die die leere Menge als einziges Element enthält 3) {, { }, {, { }}} Die Elemente dieser Menge sind, { }, {, { }} 4) {, 2, a, ein Tisch, eine Katze} 5) N = {, 2, 3, 4, 5, } Die Menge der natürlichen Zahlen 6) Z = {, 3, 2,,,, 2, 3, } Die Menge der ganzen Zahlen Zwei Arten eine Menge zu beschreiben: (a) durch Aufzählen ihrer Elemente, so wie in )-6) (b) durch eine Eigenschaft, die ihre Elemente erfüllen, so wie in 7)-) 7) {x x hat die Eigenschaft A} 8) {x x ist eine natürliche Zahl mit x 5} = {, 2, 3, 4, 5} 9) {x x ist eine natürliche Zahl und x = a+b mit a {6, 7}, b {, 2}} = {7, 8, 9} ) {x x ist eine Katze und befindet sich im Hörsaal 5D} Bezeichnungen = und : Zwei Mengen A und B heißen gleich (und man schreibt A = B), wenn A und B die gleichen Elemente haben Eine Menge A heißt Teilmenge der Menge B (und man schreibt A B), wenn jedes Element von A auch in B liegt Es gilt A = B genau dann, wenn A B und B A ist Es gilt B für jede Menge B Die Ordnung der Elemente in einer Menge ist unwichtig So ist {, 2, 3} = {2,, 3} Operationen mit Mengen:

2 (a) Vereinigung: (b) Schnitt: (c) Differenz: A B := {x x ist ein Element von A oder von B} A B := {x x ist ein Element von A und von B} Beispiele: {, 2, 3} {2, 3, 4} = {, 2, 3, 4}, {, 2, 3} {2, 3, 4} = {2, 3}, {, 2, 3} \ {2, 3, 4} = {} A \ B := {x x ist ein Element von A aber nicht von B} Satz Sind A, B, C Mengen, dann gilt: A (B C) = (A B) (A C) Bezeichnung: Sei A eine endliche Menge Dann bezeichnet A die Anzahl der Elemente von A Beispiele: =, { } =, {, 2} = {2, 3} = {3, 4} = 2, {, { }, {, { }}} = 3 Satz 2 Sind A, B, C endliche Mengen, dann gilt: A B = A + B A B Definition 3 Sei A eine Menge Die Menge heißt die Potenzmenge von A P(A) := {X X A} Beispiele: P( ) = { }, P({ }) = {, { }}, P({, 2}) = {, {}, {2}, {, 2}}, P({, 2, 3}) = {, {}, {2}, {3}, {, 2}, {, 3}, {2, 3}, {, 2, 3}} Definition 4 Sei A eine Menge und k N {} Die Menge P k (A) := {X X A und X = k} heißt die Menge der k-elementigen Teilmengen von von A 2

3 Beispiele: P ({, 2, 3}) = { }, P ({, 2, 3}) = {{}, {2}, {3}}, P 2 ({, 2, 3}) = {{, 2}, {, 3}, {2, 3}}, P 3 ({, 2, 3}) = {{, 2, 3}}, P 4 ({, 2, 3}) = Definition 5 Seien A und B Mengen Die Menge der Paare heißt das direkte Produkt von A und B A B := {(a, b) a A, b B} Beispiele: Sei A = {, a} und B = {, b} Dann ist A B = {(, ), (, b), (a, ), (a, b)} Sei A = {, 2} und B = {, 2, 3} Dann ist A B = {(, ), (, 2), (, 3), (2, ), (2, 2), (2, 3)} Satz 6 Sind A, B endliche Mengen, dann ist das direkte Produkt A B endlich und es gilt: A B = A B Definition 7 Sei n eine natürliche Zahl und seien A, A 2, A n Mengen Eine Sequenz (a, a 2,, a n ) mit a A, a 2 A 2,, a n A n heißt ein n-tupel Die Menge A A 2 A n := {(a, a 2,, a n ) a A, a 2 A 2,, a n A n } heißt das direkte Produkt von A, A 2,, A n Satz 6 Sei n eine natürliche Zahl Sind A, A 2,, A n endliche Mengen, dann ist das direkte Produkt A A 2 A n endlich und es gilt: A A 2 A n = A A 2 A n Bezeichnung Sei n ine natürliche Zahl und sei A eine Menge Die Menge heißt n-te Potenz der Menge A A n := A A }{{} n mal 3

4 2 Vorlesung 2 Natürliche Zahlen und Induktion Axiome 2 (Peano Axiome) Die natürlichen Zahlen können durch die folgenden Axiome charakterisiert werden: ) ist eine natürliche Zahl 2) Zu jeder natürlichen Zahl n gibt es genau einen Nachfolger n, der ebenfalls eine natürliche Zahl ist (Es ist gemeint, dass n = n + ist) 3) Es gibt keine natürliche Zahl, deren Nachfolger ist 4) Jede natürliche Zahl ist Nachfolger höchstens einer natürlichen Zahl 5) Ist S eine Teilmenge von N und gelten (a) S und (b) ist n S, dann gilt auch n S, so folgt S = N Satz 22 Für jede endliche Menge M gilt Satz 23 Für alle n N gilt P(M) = 2 M n = n(n + ) 2 Satz 24 Für alle n N gilt n 2 = n(n + )(2n + ) 6 22 Binomialkoeffizienten Definition 22 Für n, k Z mit k n definieren wir den Binomialkoeffizient ( n k) als ( ) n := P k (M), k wobei M eine beliebige n-elementige Menge ist Mit anderen Wörtern ist ( n k) die Anzahl der k-elementigen Teilmengen einer n-elementigen Menge M 4

5 Beispiele: ) ( ) 5 = 3 Um das zu beweisen, schreiben wir die alle 3-elementige Teilmengen der Menge M = {, 2, 3, 4, 5} auf: P 3 (M) = {{, 2, 3}, {, 2, 4}, {, 2, 5}, {, 3, 4}, {, 3, 5}, {, 4, 5}, {2, 3, 4}, {2, 3, 5}, {2, 4, 5}, {3, 4, 5}} 2) ( ) 5 = 2 Um das zu beweisen, schreiben wir alle 2-elementigen Teilmengen der Menge M = {, 2, 3, 4, 5} auf: P 2 (M) = {{, 2}, {, 3}, {, 4}, {, 5}, {2, 3}, {2, 4}, {2, 5}, {3, 4}, {3, 5}, {4, 5}} Bezeichnung Für n N heißt die Zahl n-fakultät Zusätzlich definiert man! = Es gilt 7! = = 54 n! = 2 n Satz 222 Es gelten: ) ( ) =, ( ) ( ) n n =, =, n ( ) n =, ( ) n = n, n 2) ( ) n = k n! k!(n k)!, 3) ( ) ( ) n n =, k n k 4) ( ) n = 2 n(n ), 2 ( ) n = 3 n(n )(n 2), 6 5) Für k < n: ( ) ( ) n + n = + k + k + ( ) n k 5

6 Pascalsches Dreieck: ( ) ( )( ) ( 2 )( 2 )( 2 2) ( 3 )( 3 )( 3 )( 3 2 3) ( 4 )( 4 )( 4 )( 4 )( ) ( 5 )( 5 )( 5 )( 5 )( 5 )( ) 2 = Satz 223 (Binomischer Lehrsatz) Seien x, y R und n N Es gilt: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n n n n n (x + y) n = x y n + x y n + x 2 y n x n y + x n y 2 n n 3 Vorlesung 3 Abbildungen Definition 3 Eine Abbildung f von der Menge X in die Menge Y ist eine Vorschrift, die jedem x X genau ein Element y Y zuordnet Man schreibt f : X Y, x f(x) Beispiele: () f : N N, x x 2 (2) g : {, 2, 3} {, 2, 4}, (3) h : {, 2, 3} {, 2, 4}, Definition 32 Sei A X Dann heißt f(a) = {f(x) x A} das Bild von A Sei B Y Dann heißt f (B) = {x A f(x) B} das Urbild von B Im Beispiel (2) oben: Das Bild von {} ist {2}; das Urbild von {2} ist aber {, 2} Definition 33 ) Eine Abbildung f : X Y heißt injektiv, wenn für alle x, x 2 X mit x x 2 gilt: f(x ) f(x 2 ) 2) Eine Abbildung f : X Y heißt surjektiv, wenn es zu jedem y Y mindestens ein x X mit f(x) = y gibt 6

7 3) Eine Abbildung heißt bijektiv, wenn sie gleichzeitig injektiv und surjektiv ist Im Beispiele oben: f ist injektiv, aber nicht surjektiv; g ist nicht injektiv und nicht surjektiv; h ist bijektiv Definition 34 Seien f : X Y und g : Y Z Abbildungen Die Verknüpfung g f ist die wie folgt definierte Abbildung: g f : X Z, x (g(f(x)) Beispiel: f : {a, b, c} {, 2, 3}, a 2 b 3 c 3 g : {, 2, 3} {u, v}, u 2 v 3 v g f : {a, b, c} {u, v}, a v b v c v Satz 35 Sei X eine endliche Menge und f : X X eine Abbildung Dann sind äquivalent: (a) f ist injektiv (b) f ist surjektiv (c) f ist bijektiv Bemerkung: Für unendliche Mengen ist diese Äquivalenz im allgemeinen falsch Beispielsweise ist die Abbildung f : N N, x x 2 zwar injektiv, aber nicht surjektiv Definition 36 Sei X eine Menge Die Abbildung f : X X, x x, heißt Identität auf X Man bezeichnet sie mit id X Satz 37 Sei f : X Y eine Abbildung Dann sind äquivalent: (a) f ist bijektiv (b) Es existiert eine Abbildung g : Y X, so dass folgende Formeln gelten: g f = id X, f g = id Y 7

8 Behauptung Seien f : X Y, g : Y Z und h : Z T drei Abbildungen Dann gilt: h (g f) = (h g) f Aufgabe : Tutorium (a) Aus dem karierten 4 4 Quadrat hat man die obere linke Zelle entfernt Zeigen Sie, dass sich der Rest in Eckchen aus drei Zellen zerschneiden lässt (b) Zeigen Sie die zu (a) analoge Aussage für 2 n 2 n Quadrate (n 2), wobei wieder die obere linke Zelle entfernt ist Aufgabe 2: Sei n eine natürliche Zahl Zeigen Sie, dass 2 (3n) durch 3 n+ teilbar ist Aufgabe 3: Sei Y die Menge aller unendlichen Seqzenzen der Form (a, a 2, a 3, ), mit a i {, } für alle i N Zeiegen Sie: (a) Es gibt eine injektive Abbildung N Y (b) Es gibt keine bijektive Abbildung N Y 4 Vorlesung 4 Gruppen Satz 4 Eine Gruppe ist eine nicht-leere Menge G zusammen mit einer Abbildung : G G G (wir werden a b anstatt (a, b) schreiben), so dass die folgende drei Axiome erfüllt sind: () für alle a, b, c G gilt: a (b c) = (a b) c, (2) es existiert ein e G, so dass für alle a G gilt: a e = e a = a, (3) für alle a G existiert b G, so dass a b = b a = e gilt Behauptung: In jeder Gruppe gibt es nur ein Element, welches das zweite Axiom erfüllt Außerdem existiert für jedes a G genau ein Element b, für welches Axiom (3) erfüllt ist Das Element e heißt neutrales Element von G und b heißt inverses zu a 8

9 Beispiele von Gruppen ) Z mit der Addition + 2) Q \ {} mit der Multiplication 3) Sei E eine Ebene und d(x, y) der Abstand zwischen den Punkten x, y E Eine Bewegung von E ist eine Abbildung f : E E, so dass d(x, y) = d(f(x), f(y)) für alle x, y E gilt Beispiele von Bewegungen sind Rotationen und Spiegelungen Die Komposition von zwei Bewegungen ist wider eine Bewegung Sei ABC ein gleichseitiges Dreieck in E und sei O seine Mitte Die Menge aller Bewegungen von E, die das Dreieck auf sich abbilden ist G = {r, r 2, r 24, l A, l B, l C }, wobei r α die Rotation von E um O um α Grad im Gegen-Uhrzeigersinn und l X die Spiegelung an der Achse (XO) ist: r : r 2 : r 24 : l A : l B : C C C C C l C : C A A A B B C C B A A B B C C A B A A C B A C B B A A A B C C B B A A C B B C A B A A B B A C C B Diese Menge G zusammen mit der Komposition von Bewegungen ist eine Gruppe Diese Gruppe heißt Symmetriegruppe des Dreiecks ABC Beispiel: Wir berechnen die Komposition l A l B in den Punkten A, B, C: Es gilt also l A l B = r 2 l A l B (A) = l A (l B (A)) = l A (C) = B l A l B (B) = l A (l B (B)) = l A (B) = C l A l B (C) = l A (l B (C)) = l A (A) = A 9

10 5 Vorlesung Beispiel Betrachten wir die Menge S 3 aller bijektiven Abbildungen von {, 2, 3} in {, 2, 3} Jede solche Abbildung f : {, 2, 3} {, 2, 3} werden wir in der Form f = ( 2 3 ) f() f(2) f(3) aufschreiben Dann ist ( ) ( ) ( ) {id =, α =, β =, S 3 = ( ) ( ) ( ) γ =, γ =, γ = } 2 3 In der folgenden Tabelle sind die Kompositionen der Elemente aus S 3 angegeben: id α β γ γ 2 γ 3 id id α β γ γ 2 γ 3 α α β id γ 3 γ γ 2 β β id α γ 2 γ 3 γ γ γ γ 2 γ 3 id α β γ 2 γ 2 γ 3 γ β id α γ 3 γ 3 γ γ 2 α β id Die Menge S 3 zusammen mit der Komposition ist eine Gruppe: (a) Die Behaputung nach Satz 37 besagt, dass die Assoziativität gilt (b) id ist das neutrale Element (c) Die inversen Elemente sind in der folgenden Tabelle angegeben: a id α β γ γ 2 γ 3 a id β α γ γ 2 γ 3 Definition 5 Für jedes n N definieren wir S n als die Menge aller biektiven Abbildungen von {, 2,, n} in {, 2,, n} Die Gruppe (S n, ) heißt Permutationsgruppe der Menge {, 2,, n} Definition 52 Sei X eine nicht-leere Menge und sei S(X) die Menge aller biektiven Abbildungen von X in X Die Gruppe (S(X), ) heißt Permutationsgruppe der Menge X Bemerkung Es ist klar, dass S n gleich S({, 2,, n}) ist Satz 53 Die Permutationsgruppe (S(X), ) ist genau dann kommutativ, wenn X = oder X = 2

11 Bezeichnung Sei (G, ) eine Gruppe mit dem neutralen Element e Für a G schreiben wir für n N a = e, a = a, a 2 = a a, a 2 = a a, a n = } a a {{ a}, a n = } a a {{ a } n mal n mal Definition 54 Sei G eine Gruppe mit dem neutralen Element e und sei a G Die Ordnung von a ist die kleinste natürliche Zahl n, für die a n = e gilt Gibt es keine solche Zahl, so sagt man, dass a unendliche Ordnung hat Die Ordnung von a wird als Ord(a) bezeichnet Also ist Ord(a) N { } Beispiele () In der Gruppe S 3 haben wir mit den Bezeichnungen aus dem ersten Beispiel dieser Vorlesung: a id α β γ γ 2 γ 3 Ord(a) (2) In der Gruppe (Z, +) ist Ord(z) = für alle z und Ord() = Satz 55 Sei a G mit Ord(a) < und sei m N Dann gilt a m = e genau dann, wenn Ord(a) ein Teiler von m ist Definition 56 Die Ordnung einer Gruppe G ist die Anzahl von Elementen in G und wird mit G bezeichnet Definition 57 Sei (G, ) eine Gruppe Eine nicht-leere Teilmenge U von G heißt Untergruppe von G, wenn () für alle a, b U gilt a b U, (2) für alle a U gilt a U Bemerkung Eine Untergruppe U einer Gruppe (G, ) ist selber eine Gruppe bezüglich

12 Aufgabe Tutorium 2 : Kleine Gruppen Zeigen Sie, dass für eine Gruppe (G, ), bis auf Umbenennung der Elemente, gilt: (a) G = G = {e}, (b) G = 2 G = {e, a} mit (c) G = 3 G = {e, a, b} mit e a e e a a a e e a b e e a b a a b e b b e a Definition: Zwei Gruppen (G, ) und (G 2, ) heißen isomorph, wenn eine Abbildung ϕ : G G 2 existiert, so dass () ϕ ist eine Bijektion (2) ϕ(x y) = ϕ(x) ϕ(y) für alle x, y G Beispiel: Sei (G, ) : und (G 2, ): e a e e a a a e Dann ist ϕ : G G 2, e, 2 a eine Abbildung mit den Eigenschaften () und (2), also sind G und G 2 isomorph Aufgabe 2: Sei R die Menge aller Rotationen um eine beliebige Achse, die den Würfel auf sich abbilden Zeigen Sie: (a) R ist bezüglich eine Gruppe mit R = 24 (b) R ist isomorph zu S 4 6 Vorlesung Beispiel Sei n eine natürliche Zahl Als nz bezeichnen wir die Menge aller ganzen Zahlen, die durch n teilbar sind: Dann ist nz eine Untergruppe von Z nz = {, 2n, n,, n, 2n, } 2

13 Satz 6 Alle von {} verschiedenen Untergruppen von Z haben die Gestalt nz für ein n N Definition 62 Sei (G, ) eine Gruppe und M eine nicht-leere Teilmenge von G Man sagt, dass G von M erzeugt ist, wenn jedes Element g G in der Form g = m m 2 m k geschrieben werden kann, wobei m i M oder m i disem Fall schreibt man M = G M für i k und k N ist In Beispiel Z = = 37, 7 Bezeichnung Seien n, m N Teilen wir m durch n und erhalten einen Rest r, so dass m = qn + r, r < n gilt Den Rest r bezeichnen wir mit Rest n (m) Beispiel Rest 7 (37) = 2, weil 37 = und 2 < 7 ist Definition 63 Sei n N Wir betrachten die Menge Z n definieren auf Z n eine Verknüpfung + durch: = {,,, n } Wir i + j = Rest n (i + j) Satz 64 (Z n, +) ist eine Gruppe Definition 65 Die Gruppe (Z n, +) heißt Restklassengruppe modulo n Beispiel Für die Gruppe (Z 4, +) ergibt sich die folgende Verknüpfungstabelle: Beispiel Alle Untergruppen von Z 2 sind: {}, {,, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,, }, {, 2, 4, 6, 8, }, {, 3, 6, 9}, {, 4, 8}, {, 6} 3

14 Definition 66 Seien (G, ) und (G 2, ) zwei Gruppen Eine Abbildung ϕ : G G 2 heißt Homomorphismus, wenn für alle x, y G gilt ϕ(x y) = ϕ(x) ϕ(y) Beispiele (a) Folgende Abbildungen sind Homomorphismen: ) ϕ : Z Z, x 2x 2) ϕ : { Z 2 Z 4 2 3) ϕ : Z 4 Z (b) Folgende Abbildung ist kein Homomorphismus: ϕ : { Z 2 Z 4 3 Definition 67 Seien (G, ) und (G 2, ) zwei Gruppen Eine Abbildung ϕ : G G 2 heißt Isomorphismus, wenn ) ϕ eine Bijektion ist, 2) ϕ(x y) = ϕ(x) ϕ(y) für alle x, y G gilt Satz 68 Wenn ϕ : G G 2 ein Isomorphismus ist, dann ist die inverse Abbildung ϕ : G 2 G auch ein Isomorphismus Definition 69 Zwei Gruppen (G, ) und (G 2, ) heißen isomorph, wenn ein Isomorphismus ϕ : G G 2 existiert Beispiele ) Die Gruppe (Z, +) und ihre Untergruppe (2Z, +) sind isomorph 2) Die Symmetriegruppe eines gleichseitigen Dreiecks und die Permutationsgruppe S 3 sind isomorph 7 Vorlesung Definition 7 Eine Gruppe (G, ) heißt zyklisch, wenn ein Element g G existiert, so dass G = g ist Mit anderen Wörtern ist G = {g i i Z} Beispiele ) (Z, +) ist eine zyklische Gruppe, weil Z = ist 2) (Z n, +) ist eine zyklische Gruppe für alle n N, weil Z n = ist 4

15 Satz 72 ) Jede unendliche zyklische Gruppe ist zu (Z, +) isomorph 2) Jede endliche zyklische Gruppe mit n Elementen ist zu (Z n, +) isomorph Definition 73 Seien (G, ) und (G 2, ) zwei Gruppen mit neutralen Elementen e und e 2 Sei ϕ : G G 2 ein Homomorphismus Der Kern von ϕ ist die Menge ker(ϕ) = {x G ϕ(x) = e 2 } Das Bild von ϕ ist die Menge im(ϕ) = {ϕ(x) x G } Satz 74 Seien (G, ) und (G 2, ) zwei Gruppen und ϕ : G G 2 ein Homomorphismus Dann ist äquivalent: (a) ϕ ist injektiv (b) ker(ϕ) = {e }, wobei e das neutrale Element von G ist Satz 75 Seien (G, ) und (G 2, ) zwei Gruppen mit neutralen Elementen e, e 2 und sei ϕ : G G 2 ein Homomorphismus Dann gilt: ) ϕ(e ) = e 2, 2) ϕ(a ) = (ϕ(a)) für alle a G, 3) ker(ϕ) ist eine Untergruppe von G, im(ϕ) ist eine Untergruppe von G 2, 4) wenn a G eine endliche Ordnung hat, dann ist Ord(ϕ(a)) ein Teiler von Ord(a), 5) wenn ϕ ein Isomorphismus ist, dann gilt: Ord(ϕ(a)) = Ord(a) für alle a G Definition 76 Sei (G, ) eine Gruppe, H eine Untergruppe und g G Die Menge gh = {g h h H} heißt die linke Nebenklasse von H in G bzgl g Die Menge {gh g G} ist die Menge aller linken Nebenlassen von H in G Beispiel Sei G = S 3 = {id, α, β, γ, γ 2, γ 3 } (siehe erstes Beispiel von Vorlesung 5) und H = {id, γ } Wir schreiben alle linken Nebenlassen von H in G auf: idh = {id, γ } = N, γ H = {γ, id} = N, αh = {α, γ 2 } = N 2, γ 2 H = {γ 2, β} = N 3, βh = {β, γ 2 } = N 3, γ 3 H = {γ 3, α} = N 2 Definition 77 Sei H eine Untergruppe einer Gruppe G Die Anzahl der linken Nebenklassen von H in G heißt der Index von H in G und wird mit G : H bezeichnet Satz 78 (Lagrange) Sei H eine Untergruppe einer endlichen Gruppe G Dann ist H ein Teiler von G Genauer gilt G = H G : H 5

16 Folgerung 79 Sei a ein Element einer endlichen Gruppe G Dann ist die Ordnung von a ein Teiler der Ordnung von G Aufgabe : Tutorium 3 Berechnen Sie alle Homomorphismen von Z 6 nach Z 5 Aufgabe 2 (Warum die Gruppe S n so wichtig ist): Sei G eine endliche Gruppe mit n Elementen Beweisen Sie, dass es einen injektiven Homomorphismus ϕ : G S n gibt Aufgabe 3: Berechnen Sie ( ) (4 3 2) (3 6) (2 3 5) ( 4 2 6) in der symmetrischen Gruppe S 6 8 Vorlesung Definition 8 Eine Permutation σ S n heißt k-zyklus, wenn verschiedene Zahlen i, i 2,, i k {,, n} existieren, so dass σ(i j ) = i j+ für j < k, σ(i k ) = i und σ(x) = x für alle x {, 2,, n} \ {i, i 2,, i k } Schreibweise: σ = (i i 2 i k ) Die Zahl k heißt die Länge von σ Bemerkung Es ist klar, dass (i i 2 i k ) = (i 2 i 3 i k i ) = = (i k i i 2 i k ) ist Definition 82 Zwei Zyklen (i i 2 i k ) und (j j 2 j l ) heißen unabhängig, wenn {i, i 2,, i k } {j, j 2,, j l } = Bemerking Zwei unabhängige Zyklen σ, τ kommutieren, dh στ = τ σ Satz 83 Jede Permutation σ S n kann als Produkt (Komposition) σ = σ σ 2 σ k, geschrieben werden, so dass σ, σ 2,, σ k unabhängige Zyklen sind Dieses Produkt ist bis auf eine Permutation der σ,, σ k eindeutig ( ) Beispiele ) (62475) (93) = ( ) ) = (293) (46) (57)

17 Definition 84 Eine Transposition in S n {, 2,, n} mit i j ist ein Zyklus der Form (i, j) für i, j Satz 85 Die symmetrische Gruppe S n ist von allen ihren Transpositionen erzeugt: S n = {(ij) i < j n} Definition 86 Sei σ S n und σ = σ σ 2 σ k, wobei σ, σ 2,, σ k unabhängige Zyklen sind Wir defineren eine Zahl (Signum von σ): wobei ist Zusätzlich setzen wir sign(id) = sign(σ) = ( ) L(σ), L(σ) = (Länge(σ ) ) + + (Länge(σ k ) ) Lemma 87 Sei σ S n und sei (ij) eine Transposition aus S n Dann gilt Satz 88 Sei σ, τ S n Dann gilt sign(σ (ij)) = sign(σ) sign(σ τ) = sign(σ) sign(τ) Folgerung 89 Die Abblildung sign : S n {, } ist ein Homomorphismus Hier ist die Gruppe {, } bezüglich Multiplikation betrachtet und sie ist zu der Gruppe Z 2 bezüglich Addition isomorph Definition 8 Eine Permutation σ S n heißt gerade, wenn sign(σ) = ist und sie heißt ungerade, wenn sign(σ) = ist Bemerkung Alle gerade Permutationen in S n bilden eine Untergruppe Diese Untergruppe heißt alternierende Gruppe des Grades n und wird als A n bezeichnet Es ist klar, dass A n = ker (sign) Satz 8 Sei n 2 Dann hat die Untergruppe A n Index 2 in S n S n = A n (2) An ist die Zerlegung von S n in zwei Nebenklassen von A n Die Nebenklasse (2) A n entsteht aus allen ungeraden Permutationen 7

18 Aufgabe Tutorium 4 Zeigen Sie den folgenden Satz Satz: Wenn τ ein k-zyklus aus S n ist, dann ist στσ für beliebige σ S n ebenfalls ein k-zyklus Genauer gilt für einen k-zyklus τ = (i i 2 i k ) und σ S n : στσ = (σ(i ) σ(i 2 ) σ(i k )) Aufgabe 2 Beweisen Sie, dass S n = ( 2 n), ( 2) gilt Aufgabe 3 Zeigen Sie den folgenden Satz Satz (Polya): Sei M eine beliebige Menge von Transpositionen aus der symmetrischen Gruppe S n Dann gilt die folgende Äquvialenz: M = S n Γ M ist zusammenhängend Dabei ist Γ M der Graph mit {, 2,, n} als Menge der Eckpunkte bei dem zwei Eckpunkte i, j genau dann durch eine Kanten verbunden sind, wenn (i j) M Ein Graph heißt zusammenhängend, wenn je zwei Eckpunkte durch einen Weg verbunden werden können Aufgabe 4 (Quaternionen) Wir definieren auf der Menge Quat = {, i, j, k,, i, j, k} eine Verknüpfung durch die folgenden Bedingungen: ist neutrales Element, - wird mit den Elementen aus Quat auf die natürliche Weise multipliziert, i 2 = j 2 = k 2 =, ij = k, ji = k, jk = i, kj = i, ki = j, ik = j Diese Verknüpfung macht Quat zu einer Gruppe Geben Sie alle Untergruppen dieser Gruppe an 8

19 9 Vorlesung Definition 9 Eine nicht-leere Menge K zusammen mit zwei Verknüpfungen + und heißt Ring, wenn folgende Axiome erfüllt sind: A a + (b + c) = (a + b) + c für alle a, b, c K A2 Es gibt ein Element K mit + a = a + = a für alle a K A3 Für jedes a K existiert ein b K, so dass a + b = b + a = gilt (Das Element b wird als a bezeichnet) A4 a + b = b + a für alle a, b K M (a b) c = a (b c) für alle a, b, c K (Assoziativität) D c (a + b) = c a + c b für alle a, b, c K (linkes Distributivgesetz) D2 (a + b) c = a c + b c für alle a, b, c K (rechtes Distributivgesetz) Definition 92 Ein Ring K heißt kommutativ, wenn a b = b a für alle a, b K Ein Element e K heißt Einselelement des Ringes K, wenn e a = a e = a für alle a K Bemerkung Wenn der Ring (K, +, ) ein Einselelement hat, dann ist dieses eindeutig bestimmt und wird mit bezeichnet Beispiele ) (Z, +, ) ist ein kommutativer Ring mit Einselelement 2) (nz, +, ) ist ein kommutativer Ring und hat für n > kein Einselement 3) (Q, +, ) ist ein kommutativer Ring mit Einselelement 4) (R, +, ) ist ein kommutativer Ring mit Einselelement 5) Wir betrachten die Menge K der Funktionen von R nach R Für f, g K definieren wir die Funktionen f + g und f g durch (f + g)(x) := f(x) + g(x) für alle x R, (f g)(x) := f(x) g(x) für alle x R Mit diesen Verknüpfungen wird K zu einem kommutativen Ring mit der Funktion R : R R, x als Einselement 6) Sei n eine natürliche Zahl Die Menge Z n = {,,, n} wird zusammen mit der Verknüpfung + als Addition und der durch x y := Rest n (i j) definierten Verknüpfung als Multiplikation zu einem kommutativen Ring mit Einselement Der Ring (Z n, +, ) heißt Restklassenring modulo n Die Verknüpfungstabellen für n = 4 sind:

20 7) Sei (K, +, ) ein Ring Wir definieren auf der Menge {( ) } a b M(2, K) := a, b, c, d K c d der 2 2-Matrizen die Verknüpfungen + und durch ( ) ( ) ( ) a b a2 b + 2 a + a = 2 b + b 2, c d c 2 d 2 c + c 2 d + d ( ) ( ) ( 2 a b a2 b 2 a a = 2 + b c 2 a b 2 + b d 2 c d c 2 d 2 c a 2 + d c 2 c b 2 + d d 2 ) Hierdurch ( ) wird M(2, K) ein Ring Falls K ein Einselement besitzt, so ist die Matrix das Einselemet von M(2, K) Definition 93 Sei (K, +, ) ein Ring Eine nicht-leere Teilmenge U K heißt Unterring, wenn folgende Axiome erfüllt sind U Aus a, b U folgt a + b U U2 Aus a U folgt a U U3 Aus a, b U folgt a b U Bemerkung Es ist klar, dass U und U2 implizieren U Mit den Verknüpfungen +, ist U ein Ring Definition 94 Sei (K, +, ) ein kommutativer Ring Eine nichtleere Teilmenge I von K heißt Ideal, wenn ) Aus a, b I folgt a b I 2) Aus a I und b K folgt a b I (Achtung: b K!) Bemerkung {} und K sind Ideale in dem Ring K Satz 95 Für jede natürliche Zahl n ist nz ein Ideal in dem Ring Z Jedes Ideal I {} in dem Ring Z hat die Form nz für eine natürliche Zahl n 2

21 Vorlesung Definition Seien a, b Z Die Zahl b heißt Teiler von a, wenn eine Zahl c existiert so dass a = b c gilt Schreibweise: b a Definition 2 Seien a, b Z\{} Eine Zahl c N heißt größter gemeinsamer Teiler (kurz ggt(a, b)) von a und b, wenn folgendes gilt: ) c a und c b, 2) wenn d Z ist und d a und d b, dann gilt d c Satz 3 Seien a, b Z \ {} Dann existiert ggt(a, b) und ist eindeutig bestimmt Außerdem existiern x, y Z, so dass gilt: ax + by = ggt(a, b) Satz 4 ( Euklidischer Algorithmus) Seien a, a N \ {} Wir teilen a durch a mit dem Rest a 2 Danach teilen a durch a 2 mit dem Rest a 3 usw bis wir den Rest bekommen: a = q a + a 2, a 2 < a a = q 2 a 2 + a 3, a 3 < a 2 a i = q i a i + a i+, a i+ < a i a n = q n a n + a n+, a n+ < a n a n = q n+ a n+ + Dann ist der letzte von Null verschiedene Rest a n+ gleich ggt(a, b) Beispiel Wir wenden den euklidischen Algorithmus auf die Zahlen 22 und 38 an: 22 = = = = = 2 + Es gilt also ggt(22, 38) = 2 Nun bestimmen wir ganze Zahlen x, y mit 2 = x 22+y 38, indem wir obige Gleichungen in umgekehrter Reihenfolge benutzen: 2 = = 46 2 (68 46) = = ( ) = = ( ) = }{{} }{{} =x =y Definition 5 Seien K, K 2 zwei Ringe Eine Abbildung ϕ : K K 2 heißt Homomorphismus, wenn gilt: ) ϕ(a + b) = ϕ(a) + ϕ(b), 2) ϕ(a b) = ϕ(a) ϕ(b) 2

22 Beispiel ) Die Abbildung Rest n : Z Z n, x Rest n (x) ist ein Ringhomomorphismus 2) Sei F der Ring der Funktionen von R nach R Dann ist die Abbildung ϕ : F R, f f(), ein Homomorphismus Satz 6 Sei ϕ : K K 2 ein Ringhomomorphismus Dann gilt: ) Das Bild von ϕ im (ϕ) = {ϕ(x) x K } ist ein Unterring in K 2 2) Der Kern von ϕ ker (ϕ) = {x K ϕ(x) = } ist ein Unterring in K Der Kern ist sogar ein Ideal in K Satz 7 Sei ϕ : K K 2 ein Ringhomomorphismus Dann gilt: ) ϕ() =, 2) ϕ ist injektiv genau dann, wenn ker(ϕ) = {} Definition 8 Seien K, K 2 zwei Ringe Eine Abbildung ϕ : K K 2 heißt Isomorphismus, wenn ϕ ein bijektiver Ringhomomorphismus ist Beispiele ) Der Kern des Homomorphismus Rest n : Z Z n ist nz 2) Der Kern des Homomorphismus Z 9 Z 3, x Rest 3 (x), ist das Ideal {, 3, 6} des Ringes Z 9 Dieser Kern ist zu dem Ring Z 3 isomorph 22

23 Aufgabe (Ideale) Tutorium 5 (a) Sei (K, +, ) ein Ring und a K Zeigen Sie, dass a K = {a k k K} ein Ideal in K ist Ideale dieser Form heißen Hauptideale (b) In dem Polynomring R [x, y] betrachten wir die Menge I = x R [x, y] + y R [x, y] = {x f + y g f, g R [x, y]} Zeigen Sie, dass I ein Ideal, aber keine Hauptideal in R [x, y] ist Aufgabe 2 (Chinesischer Restklassensatz) Finden Sie mit dem folgenden Satz eine ganze Zahl x, die die Kongruenzen x 2 (mod 3) x 3 (mod 4) x 2 (mod 5) erfüllt Satz: Seien m, m 2,, m s paarweise teilerfremde ganze Zahlen Dann existiert für jedes Tupel (x, x 2,, x s ) Z s eine ganze Zahl x, so dass die folgenden Kongruenzen erfüllt sind: x x (mod m ), x x 2 (mod m 2 ), x x s (mod m s ) Setzen wir m = m m 2 m s Ist x eine beliebige Lösung, so ist die Menge aller ganzzahligen Lösungen gleich {x + km k Z} Dabei kann eine solche Lösung mit der Formel s m x := c i x i m i bestimmt werden, wobei c i invers (bzgl Multiplikation) zu m/m i im Ring Z mi Aufgabe 3 (Restklassenring modulo n) Sei n N, n 2 Zeigen Sie, dass in Z n die folgende zwei Aussagen äquivalent sind: () Jedes von verschiedene Element hat bzgl ein Inverses (2) n ist eine Primzahl i= ist Beispiele: In Z 5 : x x In Z 4 : x 2 3 x 3 23

24 Vorlesung Definition Eine nichtleere Menge K zusammen mit zwei Verknüpfungen + und heißt ein Körper, wenn ) (K, +) eine kommutative Gruppe ist, 2) (K \ {}, ) eine kommutative Gruppe ist, 3) die Distributivgesetze gelten Etwas ausführlicher: A) für alle a, b, c K gilt: a + (b + c) = (a + b) + c, A2) es existiert ein Element K, so dass für alle a K gilt: a + = + a = a, A3) für alle a K existiert ein b K mit a + b = b + a =, A4) für alle a, b K gilt: a + b = b + a, B) für alle a, b, c K \ {} gilt: a (b c) = (a b) c, B2) es existiert ein Element K\{}, so dass für alle a K\{} gilt: a = a = a, B3) für alle a K \ {} existiert ein b K \ {} mit a b = b a =, B4) für alle a, b K \ {} gilt: a b = b a, D) für alle a, b, c K gilt: a (b + c) = a b + a c, D2) für alle a, b, c K gilt: (a + b) c = a c + b c Beispiele ) (Q, +, ), 2) (R, +, ), 3) (Z 2, +, ) Satz 2 Der Restklassenring (Z n, +, ) ist ein Körper genau dann, wenn n eine Primzahl ist Eine Konstruktion eines Körper der Ordnung 9 Wir betrachten die folgende Menge von Polynomen mit Koeffizienten in Z 3 : Auf dieser Menge wird durch K := {ax + b a, b Z 3 } (ax + b) + (cx + d) = Rest 3 (a + c)x + Rest 3 (b + d) eine Addition definiert Eine Multiplikation definieren wir in drei Schritten: Schritt (Polynommultiplikation): Berechne p = (ax + b) (cx + d) = acx 2 + (ad + bc)x + bd Schritt 2 (Reduktion von p zu einem Polynom ohne quadratischen Term): Subtrahiere von p das Polynom ac(x 2 + x + ) und erhalte ein Polynom p 2 = (ad + bc ac)x + (bd ac) Schritt 3 (Reduktion der Koeffizienten von p 2 modulo 3): Setze (ax + b) (cx + d) = Rest 3 (ad + bc ac)x + Rest 3 (bd ac) Mit diesen Verknüpfungen wird K zu einem Körper, welcher 9 Elemente enthält Dabei ist x + das Nullelement und x + das Einselement 24

25 Definition 3 Wir definieren + und auf der Menge C = {(a, b) a, b R} durch (a, b ) + (a 2, b 2 ) = (a + a 2, b + b 2 ), (a, b ) (a 2, b 2 ) = (a a 2 b b 2, a b 2 + b a 2 ) Satz 4 (C, +, ) ist ein Körper Sein Nullelement ist (,) und sein Einselelement ist (, ) Sei (a, b) (, ) ein von null verschiedenes Element Dann ist das inverse Element zu (a, b) ( a a 2 + b, b ) 2 a 2 + b 2 Definition 5 Der Körper (C, +, ) heißt Körper der komplexen Zahlen Algebraische Form der komplexen Zahlen Die Abbildung R C r (r, ) ist injektiv Deshalb identifizieren wir mit (, ) und allgemeiner r R mit (r, ) C Das Paar (, ) wird mit i bezeichnet Dann gilt i 2 = und (a, b) = (a, ) + (, b) = a + ib a + ib heißt die algebraische Form der komplexen Zahl (a, b) Für z = a + ib heißt a der reelle Teil von z, und b der imaginäre Teil von z Man schreibt a = Re z und b = Im z Es gilt z = Re z + i Im z Für die algebraische Form haben wir die folgenden Gesetze: (a + ib ) + (a 2 + ib 2 ) = (a + a 2 ) + i(b + b 2 ), (a + ib ) (a 2 + ib 2 ) = (a a 2 b b 2 ) + i(a b 2 + b a 2 ) Trigonometrische Form der komplexen Zahlen Sei z = a + ib eine von null verschiedene komplexe Zahl in der algebraischen Form Mit der Bezeichnungen r = a 2 + b 2, x = a a und y = b 2 +b 2 a haben wir 2 +b 2 z = r(x + iy) Da x 2 +y 2 = ist, existiert ein Winkel ϕ [, 2π), so dass x = cos ϕ und y = sin ϕ gelten Dann gilt: z = r (cos ϕ + i sin ϕ) Das ist die trigonometrische Form der komplexen Zahl z Die reelle Zahl r heißt Absolutbetrag von z und wird mit z bezeichnet Die Zahl ϕ heißt Argument von z und wird mit arg(z) bezeichnet Es gilt: z = z (cos(arg(z)) + i sin(arg(z))) 25

26 Für z = setzen wir z = und arg(z) = Beispiele ) 2) 2 i3 4 i5 = (2 i3) (4 + i5) (4 5i) (4 + i5) + i 3 = 2 ( 2 + i 3 2 = 23 i2 4 = 23 4 i 2 4 ) = 2 (cos π 3 + i sin π 3 ) Satz 6 Seien z = r (cos ϕ + i sin ϕ ) und z 2 = r 2 (cos ϕ 2 + i sin ϕ 2 ) zwei komplexe Zahlen in der trigonometrischen Form Dann gilt: z z 2 = r r 2 (cos(ϕ + ϕ 2 ) + i sin(ϕ + ϕ 2 )) Also werden, bei der Multiplikation von z und z 2, die Absolutbetäge multipliziert und ihre Argumente addiert (modulo 2π) Definition 7 Sei z = a+ib eine komplexe Zahl in der algebraischen Form Die Zahl z = a ib heißt komplex Konjugierte zu z Behauptung Es gelten die folgenden Formeln: 2 Vorlesung z = z, z z 2 = z z 2, z + z 2 = z + z 2, z = z, arg(z) = 2π arg(z) für z / R, z z = z 2 Definition 2 Sei (K, +, ) ein Körper Eine nicht-leere Menge V zusammen mit zwei Verknüpfungen + : V V V (Vektoraddition), : K V V (Skalarmultiplikation) heißt ein Vektorraum über K, wenn folgende Axiome erfüllt sind: (VA) (u + v) + w = u + (v + w) für alle u, v, w V, (VA2) Es gibt ein V V mit V + v = v + v = v für alle v V, (VA3) Zu jedem v V gibt es ein v V mit v + ( v) = V, (VA4) u + v = v + u für alle u, v V 26

27 (VS) (λ µ) v = λ (µ v) für alle λ, µ K und v V, (VS2) K v = v für alle v V (VS3) (λ + µ) v = λ v + µ v für alle λ, µ K und v V, (VS4) λ (u + v) = λ u + λ v für alle λ, µ K und v V Beispiele Sei K ein Körper ) V = K n = x x 2 x n x, x 2,, x n K mit den Verknüpfungen x x 2 x n + y y 2 y n = x + y x 2 + y 2 x n + y n und λ x x 2 x n = λx λx 2 λx n 2) Sei M eine beliebige nicht-leere Menge Wir setzen V = {f : M R f ist eine Abbildung} Für f, g V wird die Funktion f + g definiert durch (f + g)(m) = f(m) + g(m) für alle m M Für f V und λ K wird die Funktion λ f definiert durch (λ f)(m) := λf(m) für alle m M 3) K[x] = {a n x n + a n x n + + a a n,, a K, n N {}} Die übliche Addition von zwei Polynomen und die Multiplikation eines Polynome mit einem Element aus K machen K [x] zu einem Vektorraum Satz 22 Sei K ein Körper und V ein K-Vektorraum Dann gelten: (a) K v = V für alle v V, (b) λ V = V für alle λ K, (c) λ v = V gilt genau dann, wenn λ = K oder v = V, (d) ( ) v = v für alle v V Definition 23 Sei K ein Körper und V ein K-Vektorraum Eine nicht-leere Teilmenge U V heißt Untervektorraum von V, falls (UV) u + v U für alle u, v U, 27

28 (UV2) u U für alle u U, (UV3) λ u U für allle λ K und u U Bemerkung Aus den Axiomen (UV) und (UV2) folgt V U Ein Untervektorraum eines Vektorraums über K ist ein Vektorraum über K Beispiel Sei K ein Körper und seien λ, λ 2 K Dann ist U (λ,λ 2 ) = ein Untervektorraum von K 2 Satz 24 Für λ λ 2 { x x 2 K 2 λ x + λ 2 x 2 = V } gilt U (λ,λ 2 ) = {k Satz 25 Die Untervektorräume von V = K 2 sind () { K 2}, (2) K 2, (3) U (λ,λ 2 ) für λ λ 2 λ 2 k K} λ Beweis: Sei U K 2 ein Untervektorraum in K 2 Wir wählen a U Ohne b Beschränkung der Allgemeinheit können wir b voraussetzen (Fall a lässt sich analog betrachten) Mit der Bezeichnung a = a ist a b b = a U Wir beweisen b nun, dass alle Vektoren U a 2 b 2 a 2 b 2 U die Form k b 2 a = a für ein k K haben Es gilt a 2 b 2 a 2 b 2 b 2 = a 2 b 2 a Wenn a 2 b 2 a = ist, dann setze k := b 2 Wir werden nun zeigen dass a 2 b 2 a nicht möglich ist In diesem Fall wäre nämlich Da also a U a 2 b 2 a U würde zusätzlich folgen:, = a a 2 b 2 a = a U, U und damit K 2 = U, ein Widerspruch 28

29 Satz 26 Seien λ, λ 2, µ, µ 2 K mit folgenden zwei Aussagen äquivalent: λ λ 2 und µ µ 2 Dann sind die (a) U (λ,λ 2 ) = U (µ,µ 2 ) (b) Es existiert ein c K \ {} mit c λ = µ λ 2 µ 2 Definition 27 Sei V ein K-Vektorraum und M = {v,, v n } V eine endliche Menge von Vektoren aus V Die lineare Hülle von M ist Wir setzen auch L( ) = { V } L(M) := {λ v + + λ n v n λ,, λ n K} V Satz 28 (a) Für jede endliche Menge M ist L(M) ein Untervektorraum von V (b) L(M) ist der kleinste Untervektorraum, der M enthält (c) Es gilt: 3 Vorlesung L(M) = U ist ein UVR von V M U Definition 3 Sei V ein K-Vektorraum Eine endliche Teilmenge M V heißt Erzeugendensystem von V, falls L(M) = V Ein K-Vektorraum V heißt endlich erzeugt, falls es eine endliche Teilmenge M V gibt, so dass L(M) = V Beispiele ) V = K n ist endlich erzeugt Ein Erzeugendensystem ist M =, 2) V = K [x] ist nicht endlich erzeugt 3) Die Vektoren 2,, bilden ein Erzeugendensystem von R U,, Definition 32 Eine endliche Menge M = {v,, v n } von Vektoren aus dem K- Vektorraum V heißt linear unabhängig, falls aus λ v + +λ n v n = V mit λ,, λ n K folgt, dass λ = = λ n = K Außerdem ist M = linear unabhängig Nicht linear unabhängig wird auch linear abhängig genannt 29

30 Beispiele { } ) In V = K 2 ist M =, linear unabhängig Analog für K n { } 2) In V = K 2 ist die Menge M =,, 3 linear abhängig 2 3) Die Vektoren 2, 3, 6 bilden ein Erzeugendensystem von R 2 Bemerkung Ist M V linear unabhängig, dann gilt dies auch für jede Teilmenge von M Definition 33 Eine endliche Menge M V heißt Basis von V, falls ) M ist ein Erzeugendensystem von V, 2) M ist linear unabhängig Der Vektorraum V = { V } hat die Basis B = Bemerkung ) K n hat eine Basis für jedes n N 2) Ist M = {v,, v n } eine Basis von V, dann lässt sich jeder Vektor v V in eindeutiger Weise als Linearkombination der v,, v n schreiben: v = λ v + + λ n v n Satz 34 (Basisexistenzsatz) Jeder endlich erzeugte Vektorraum besitzt eine Basis Satz 35 (Austauschsatz von Steinnitz) Sei {v,, v k } linear unabhängig in V und sei {u,, u n } eine Basis von V Dann ist n k und es existieren u i,, u ik B, so dass B = B \ {u i,, u ik } {v,, v k } auch eine Basis von V ist Folgerung 36 Sei V ein endlich erzeugter K-Vektorraum und seien B, B 2 Basen von V Dann gilt B = B 2 zwei Definition 37 Sei V ein K-Vektorraum und B eine Basis von V Dann heißt dim K V := B die Dimension von V 3

31 Tutorium 6 Aufgabe : In R 3 sei v = Schnittes von, v 2 =, u =, u 2 = 2 Bestimmen Sie eine Basis des 3 L(v, v 2 ) = {α v + α 2 v 2 α, α 2 R} und L(u, u 2 ) = {β u + β 2 u 2 β, β 2 R} Lösung: Der Vektor β u + β 2 u 2 L(u, u 2 ) liegt genau dann in L(v, v 2 ) und somit im Schniit, wenn es α, α 2 R gibt, mit α v + α 2 v 2 = β u + β 2 u 2 Die letzte Gleichung ist äquivalent zu α + α 2 β 2β 2 = α 2 + β + β 2 = α β 3β 2 = und durch Addition der ersten zur letzen Gleichung äquivalent zu α + α 2 β 2β 2 = α 2 + β + β 2 = α 2 2β 5β 2 = und durch Addition des ( )-fachen der zweiten Gleichung zur dritten zu α + α 2 β 2β 2 = α 2 + β + β 2 = 3β 6β 2 = Das letzte Gleichungssystem besitzt nun genau dann eine Lösung, wenn 3β 6β 2 =, also β = 2β 2 gilt In diesem Fall kann man nämlich α 2 so wählen, dass die zweite Gleichung erfüllt ist und anschließend α so, dass auch die erste Gleichung erfüllt ist Die Vektoren im Schnitt sind also genau die Vektoren β u + β 2 u 2 für die β = 2β 2 gilt, dh der Schnitt ist gleich { 2β 2 u + β 2 u 2 β 2 R} = {β 2 ( 2u + u 2 ) β 2 R} = β 2 β 2 R = L( ) }{{} =:b und {b} ist eine Basis des Schnittes Aufgabe 2: Seien f(x) = x 3 + x + 2, g(x) = 2x 2 x 3 zwei Polynome in Z[x] Bestimmen Sie mit Hilfe des euklidischen Algrithmus für Polynome den ggt von f(x) und g(x) Aufgabe 3: Auf einer Insel leben 45 Chamäleons, von denen 3 blau, 5 grün und 7 gelb sind Treffen sich zwei Chamäleons verschiedener Farbe, so wechseln sie ihre Farbe in die dritte Farbe Zeigen Sie, dass es hierdurch nicht möglich ist, dass irgendwann alle Chamäleons der Insel gelb sind 3

32 4 Vorlesung Satz 4 (Ergänzungssatz) Sei V ein endlich erzeugter K-Vektorraum und L V eine endliche, linear unabhängige Teilmenge Dann gibt es eine Basis B von V mit L B Insbesondere ist L dim K V Folgerung 42 Sei V ein endlich erzeugter K-Vektorraum und U V ein Untervektorraum Dann ist U auch endlich erzeugt und es gilt: dim K (U) dim K (V ) Die Gleichheit dim K (U) = dim K (V ) gilt genau dann, wenn U = V ist Definition 43 Seien U, U 2 Untervektorräume von V Dann ist U + U 2 := {u + u 2 u U, u 2 U 2 } ebenfalls ein Untervektorraum, genannt die Summe von U und U 2 Eine solche Summe heißt direkte Summe (in Zeichen U U 2 ), wenn einer der folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt ist: ) U U 2 = { V } 2) Jedes u U + U 2 wird eindeutig als u = u + u 2 mit u U, u 2 U 2 geschrieben Beispiele ) L(v,, v n ) + L(u,, u m ) = L(v,, v n, u,, u m ) 2) Seien U = L(v, v 2 ), U 2 = L(u, u 2 ) Untervektorräume in R 3, wobei v =, v 2 = 2 2 2, u = 2, u 2 = 3 2 ist Dann ist U + U 2 = R 3 und diese Summe nicht direkt, weil der Vekrtor liegt 3) Seien U = L(v), U 2 = L(u) Untervektorräume in R 3, wobei v =, u = 2 ist Dann ist die Summe von U und U 2 direkt: U + U 2 = U U in U U 2 Satz 44 (Dimensionsformel) Sei V ein endlich erzeugter Vektorraum und U, U 2 Untervektorräume von V Dann gilt dim(u + U 2 ) = dim(u ) + dim(u 2 ) dim(u U 2 ) 32

33 5 Vorlesung Definition 5 Sei K ein Körper und U, V K-Vektorräume Eine Abbildung ϕ : U V heißt lineare Abbildung, falls () ϕ(u + u 2 ) = ϕ(u ) + ϕ(u 2 ) für alle u, u 2 U, (2) ϕ(λ u) = λ ϕ(u) für alle λ K und u U Beispiele ) Wir betrachten K als Vektorraum über K Sei a K und ϕ a : K K definiert durch ϕ a (x) = a x für alle x K Dann ist ϕ a linear 2) Sei V ein K-Vektorraum und M = {v,, v n } V eine endliche Menge von Vektoren Wir definieren ϕ M : K n V durch k k n k v + + k n v n 3) Sei V = R 2 und M = {, 2, 3 4 R } 2 Dann ist ϕ M : R 3 R 2, 5 k k 2 k 3 k + k k 3 3 = 4 5 k k 2 + 4k 3 2k + 3k 2 + 5k 3 Behauptung Sei ϕ : U V eine lineare Abbildung Es gelten () ϕ( U ) = V, (2) ϕ( u) = ϕ(u) für alle u U Definition 52 Sei ϕ : U V eine lineare Abbildung Wir definieren das Bild von ϕ: Im(ϕ) = {v V u U mit ϕ(u) = v} und den Kern von ϕ: Ker(ϕ) = {u U ϕ(u) = V } Satz 53 Sei ϕ : U V eine lineare Abbildung Dann gelten: () Im(ϕ) V und Ker(ϕ) U sind Untervektorräume (2) ϕ ist genau dann surjektiv, wenn Im(ϕ) = V ist (3) ϕ ist genau dann injektiv, wenn Ker(ϕ) = V ist Satz 54 Sei ϕ : U V eine bijektive lineare Abbildung Dann ist auch ϕ linear 33

34 Definition 55 Seien U und V zwei K-Vektorräume Eine Abbildung ϕ : U V heißt Isomorphismus, falls () ϕ ist bijektiv und (2) ϕ ist eine lineare Abbildung U und V heißen isomorph, falls es einen Isomorphismus ϕ : U V gibt Satz 56 Zwei endlich erzeugte K-Vektorräume U, V sind genau dann isomorph, wenn dim U=dim V Satz 57 (Im-Ker-Formel) Sei U ein endlich erzeugter und V ein beliebiger K-Vektorraum Sei ϕ : U V eine lineare Abbildung Dann sind Im(ϕ) und Ker(ϕ) endlich erzeugt und es gilt: dim K (U) = dim K (Ker(ϕ)) + dim K (Im(ϕ)) Satz 58 (Existenz und Eindeutigkeitssatz für lineare Abbildungen) Sei U ein K-Vektorraum mit Basis {u,, u n } Weiter sei V ein K-Vektorraum und v,, v n beliebige Elemente aus V Dann gibt es eine eindeutig bestimmte lineare Abbildung 6 Vorlesung ϕ : U V mit ϕ(u ) = v,, ϕ(u n ) = v n Satz 6 Seien U, V K-Vektorräume, ϕ : U V eine lineare Abbildung und b V Dann gilt einer der folgenden Fälle: (a) Die Gleichung ϕ(x) = b hat keine Lösung x U (b) Die Gleichung ϕ(x) = b hat eine Lösung Ist in diesem Fall x eine Lösung, dann erhält man alle Lösungen, indem man zu x sämtliche Elemente aus Ker(ϕ) addiert: {x ϕ(x) = b} = x + Ker(ϕ) = {x + u u Ker(ϕ)} Eine Interpreation (Lineare Gleichungen Lineare Abbildungen) Betrachte das Gleichungssystem a x + + a n x n = b () a k x + + a kn x n = b k Dann ist X eine Lösung dieses Gleichungssystems, genau dann wenn ϕ(x) = B gilt, wobei ϕ : R n R k und B durch x a x + + a n x n b ϕ(x) = ϕ = ; B = a k x + + a kn x n x n definiert sind Mit Hilfe dieser Entsprechung wird Satz 6 zu: 34 b k

35 Satz 62 Entweder hat das Gleichungssystem () keine Lösung, oder man erhält alle Lösungen, indem man zu einer speziellen Lösung X von () sämtliche Lösungen des zu () gehörigen homogenen Systems (2) addiert: 62 Matrizen (2) a x + + a n x n = a k x + + a kn x n = Sei K ein assoziativer, kommutativer Ring mit, zb ein Körper, Z oder Z[X] Definition 62 Seien m, n N Eine m n-matrix mit Einträgen in K ist eine Tabelle: a a 2 a n a 2 a 22 a 2n A = a m a m2 a mn mit a ij K Die Matrix A hat m Zeilen und n Spalten Bezeichnung: M(m, n, K) = {A A ist eine m n-matrix mit Einträgen in K} Schreibweise: A = (a ij ) Die Matrizen E n := und O n := aus M(n, n, K) heißen Einheits- und Nullmatrix Die Matrix E ij (α), deren Eintrag in der i-ten Zeile und j-ten Spalte gleich α ist und deren anderen Einträge wie in E n sind, heißt Elementarmatrix Beispiel Für n = 3 ist E 23 (α) = α Definition 622 Addition von Matrizen und Skalarmultiplikation: Sei λ K und (a ij ), (b ij ) M(n, m, K) Dann definiere (a ij ) + (b ij ) = (a ij + b ij ) und λ (a ij ) = (λ a ij ) 2 Multiplikation von Matrizen: Seien m, n, k N Sei A eine m n- und B eine n k-matrix über K Dann ist das Produkt A B definiert und ergibt die folgende m k-matrix über K: a a n a m a mn b b k b n b nk = c c k c m c mk wobei c ij = a i b j + a i2 b 2j + + a ik b kj für i m, j k ( i-te Zeile von A mal j-te Spalte von B ) 35,

36 Beispiele: = , = ( 3) ( 3) = ( 5) = ( 5) Satz 623 (Eigenschaften des Matrixproduktes) Für B, B, B 2 M(m, n, K), A, A, A 2 M(n, k, K) und λ K gelten () B (A + A 2 ) = B A + B A 2, (2) (B + B 2 ) A = B A + B 2 A, (3) (λ B) A = λ (B A) = B (λ A) Satz 624 (Assoziativität des Matrizenprodukts) Seien A M(m, n, K), B M(n, k, K) und C M(k, l, K) Dann gilt (A B) C = A (B C) Satz 625 Die Menge M(n, n, K) mit der Matrizenaddition und Multiplikation ist ein Ring mit der Nullmatrix O n und der Einheitsmatrix E n als Null- und als Einselement Definition 626 Eine quadratische Matrix A M(n, n, K) heißt invertierbar, falls es eine Matrix B M(n, n, K) gibt, so dass A B = B A = E n Wir definieren GL(n, K) := {A M(n, n, K) A ist invertierbar} Bemerkung Nach dem Satz 624 ist GL(n, K) eine Gruppe Beipsiele: () Für A = 2 M(2, 2, R) ist A = 3 4 (2) A = ist nicht invertierbar (3) In M(2, 2, Z 5 ) ist = Satz 627 Eine Matrix A = a b M(2, 2, K) ist genau dann invertierbar, wenn c d ad bc In diesem Fall ist A = d b ad bc c a 36

37 7 Vorlesung Behauptung 7 Sei A M(n, m, K) (a) Sei E ij (α) M(n, n, K) mit i j Dann ist E ij (α)a wohldefiniert und (die i-te Zeile von E ij (α) A) = (die i-te Zeile von A)+α (die j-te Zeile von A) Alle anderen Zeilen von A bleiben unverändert (b) Sei E ij (α) M(m, m, K) mit i j Dann ist A E ij (α) wohldefiniert und (die j-te Spalte von A E ij (α)) = (die j-te Spalte von A)+α (die i-te Spalte von A) Alle anderen Spalten von A bleiben unverändert Beispiel = = Satz 72 Jede Matrix A M(n, n, K) kann als Produkt A = B s B 2 B D C C 2 C t dargestellt werden, wobei B,, B s, C,, C t Elementarmatrizen aus M(n, n, K) und D eine Diagonalmatrix aus M(n, n, K) ist 2 3 ( Beispiel A = 2 = E 2 ( ) E 32 (2) 2 E ) E3 (3) E 2 (2) Matrizen und lineare Abbildungen Seien U, V K-Vektorräume, dim K (U) = n und dim K (V ) = m Sei B = {u,, u n } eine Basis von U und B 2 = {v,, v m } eine Basis von V Sei ϕ : U V eine lineare Abbildung Wir stellen ϕ(u ),, ϕ(u n ) in der Basis {v,, v m } dar: a a n Die Matrix [ϕ] B 2 B = a m a nm Basen B U, B 2 V ϕ(u ) = a v + + a m v m ϕ(u n ) = a n v + + a nm v m heißt die Darstellungsmatrix von ϕ bezüglich der 37

38 Merkregel: In der i-ten Spalte der Darstellungsmatrix [ϕ] B 2 B von ϕ(i-ter Vekor von B ) bzgl der Basis B 2 stehen die Koeffizienten Beispiele x 2x + x 2 x 3 () Für ϕ : R 3 R 3, x 2 3x + 4x 2 2x 3 und B =,, x 3 2x 2 x 3 ist 2 [ϕ] B B = (2) Für ϕ : R 3 [x] R 3 [x], f df und B dx = {, x, x 2, x 3 } ist [ϕ] B B = 2 3 Bemerkungen: Tutorium 7 (a) Die Determinante einer 2 2 und einer 3 3-Matrix lässt sich durch berechnen det a b = ad bc, c d a b c det d e f = aez + bfx + cdy bdz cex afy x y z (b) Sei K ein Körper Eine Matrix A M(n, n, K) ist genau dann invertierbar, wenn det(a) gilt (c) Ist det(a), so lässt sich der Eintrag in der Zeile i und der Spalte j von A berechnen durch (A ) ij = ( ) i+j det(a ji) det(a) Hierbei ist A ji die Matrix, die aus A durch Streichen der j-ten Zeile und i-ten Spalte entsteht (beachte die Vertauschung der Rollen von i und j) Aufgabe : Berechnen Sie mit Hilfe der obigen Bemerkungen die Inverse der reelen Matrix Aufgabe 2: Sei (G, ) eine Gruppe mit a a = e für alle a G Zeigen Sie, dass G kommutativ ist 38

39 8 Vorlesung 8 Eliminationsverfahren von Gauß Wir betrachten das Gleichungssystem a x + + a n x n = b a m x + + a mn x n = b m Hierzu heißt A = a a n a m a mn Vektor der rechten Seiten heißt A B = die Koeffizientenmatrix und mit B = a a n b a m a mn b m Elementare Zeilenumformungen: (T) Multiplikation der i-ten Gleichung mit λ b b m als die erweiterte Koeffizientenmatrix (T2) Addition des λ-fachen der i-ten Gleichung zur k-ten Gleichung mit i k (T3) Vertauschung zweier Gleichungen Das Ziel ist es, das System mit Hilfe der elementaren Zeilenumformungen (T)-(T3) in die Zeilenstufenform zu brignen: In dieser Form wird die Anzahl der links stehenden Nullen innerhalb der linken Seite von Zeile zu Zeile größer Die Nullzeile darf am Ende öfter auftauchen etwas b b r Nullen b r+ b m Dabei sind Elemente ungleich Behauptung 8 Wenn eine der Zahlen b r+,, b m ungleich ist, dann hat das System keine Lösung, sonst gibt es Lösungen und man kann alle Lösungen leicht aufschreiben Beispiel Wir lösen das folgende Gleichungssystem: x + 2x 2 + 3x 3 x 4 + x 5 = 2x + 4x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 8 4x + 8x 2 + 6x 3 x 4 + 3x 5 = Durch Addition des ( 2)-fachen der ersten Gleichung zur zweiten und des ( 4)-fachen der ersten Gleichungen zur dritten erhält man: x + 2x 2 + 3x 3 x 4 + x 5 = 6x 3 + 3x 4 + 9x 5 = 6 6x 3 + 3x 4 + 9x 5 = 6 39

40 Dies ist noch keine Zeilenstufenform Diese erhält man aber durch Addition des (-)-fachen der zweiten Zeile zur dritten: { x + 2x 2 + 3x 3 x 4 + x 5 = () 6x 3 + 3x 4 + 9x 5 = 6 Die Unbekannten, die in der Zeilenstufenform nicht am Anfang einer Zeile stehen, heißen Parameter-Unbekannten Sie dürfen beliebige Werte annehmen: x 2 := λ 2, x 4 := λ 4 x 5 := λ 5 Alle anderen Unbekannten lassen sich nun leicht aus diesen Werten berechnen Dazu werden nacheinander die Gleichungen aus () in umgekehrter Reihenfolge benutzt: x 3 = 6 3x 3 9x 5 6 = 6 3λ 4 9λ 5 6 = + 2 λ λ 5 x = x 5 + x 4 3x 3 2x 2 = λ 5 + λ 4 3 ( + 2 λ λ 5) 2λ2 = 4 2λ 2 2 λ 4 2 λ 5 Die Menge der Lösungen ist also 4 2λ 2 λ 2 4 λ 2 5 λ λ 4 + 3λ 2 5 λ 4 R5 λ 2, λ 4, λ 5 R λ 5 82 Determinanten Ist A M(n, n, K), so bezeichnen wir mit a,, a n die Zeilenvektoren von A: a A = a n mit a i = (a i a in ) Definition 82 Eine Abbildung det : M(n, n, K) K, A det A heißt Determinante, falls folgendes gilt: (D) det ist linear in jeder Zeile, dh für jeden Index i n und alle λ K gilt a a i (a) det a i + a i = det a i+ a n a a i a i a i+ a n + det a a i a i a i+ a n und 4

41 a a i (b) det λ a i = λ det a i+ a n a a i a i a i+ a n (D2) det ist alternierend, dh hat A zwei gleiche Zeilen, so ist det A = (D3) det ist normiert, dh det E n = Eine andere Schreibweise für die Determinante ist a a n a a n = det a n a nn a n a nn Satz 822 Eine Determinante det: M(n, n, K) K hat die folgenden weiteren Eigenschaften: (D4) Für jedes λ K gilt det(λ A) = λ n det(a) (D5) Ist eine Zeile von A gleich, so ist det A = (D6) Entsteht B aus A durch eine Zeilenvertauschung, so ist det B = det A (D7) Ist λ K und entsteht B aus A durch Addition des λ-fachen der j-ten Zeile zur i-ten Zeile mit i j, so ist det B = det A λ (D8) Ist A = eine obere Dreiecksmatrix, so ist det A = λ λ n λ n (D9) Sei n 2 und A M(n, n, K) von der Gestalt ( ) A C A =, A 2 wobei A, A 2 quadratische Matrizen sind, dann gilt det A = det A det A 2 Satz 823 Für A, B M(n, n, K) gilt det(a B) = det A det B 9 Vorlesung Satz 9 (Leibniz-Formel) Ist n, so gibt es genau eine Determinante det : M(n, n, K) K 4

42 und zwar ist für A = (a ij ) M(n, n, K): det A = σ S n sign(σ) a σ() a nσ(n) Beispiele ( ) a a det 2 = a a 2 a a 22 a 2 a 2 22 a a 2 a 3 det a 2 a 22 a 23 a 3 a 32 a 33 = sign (Id) a a 22 a 33 + sign (( 2 3)) a 2 a 23 a 3 + sign (( 3 2)) a 3 a 2 a 32 +sign (( 3)) a 3 a 22 a 3 + sign (( 2)) a 2 a 2 a 33 + sign ((2 3)) a a 23 a 32 = a a 22 a 33 + a 2 a 23 a 3 + a 3 a 2 a 32 a 3 a 22 a 3 a 2 a 2 a 33 a a 23 a 32 Bezeichnung Sei A M(n, n, K) Wir bezeichnen mit A ij M(n, n, K) die Matrix, die man aus A durch Streichen der i-ten Zeile und der j-ten Spalte erhält Satz 92 (Erster Entwichklungssatz von Laplace) Ist n 2 und A M(n, n, K), so gilt für jedes i {,, n} n det A = ( ) i+j a ij det A ij (Entwicklung nach der i-ten Zeile) und für jedes j {,, n} n det A = ( ) i+j a ij det A ij j= i= (Entwicklung nach der j-ten Spalte) Dabei bezeichnet A ij jeweils die oben definierte ij-streichungsmatrix Beispiele () Entwicklung nach der ersten Zeile: = = = 5 (2) Entwicklung nach der zweiten Zeile: = ( ) = 4 3+ ( 3) ( ) ( 3) = 5 (3) Entwicklung nach der zweiten Spalte: = = 2 4 ( 3) = 5 42