Übungsaufgaben 4. Funktionenreihen. für x 2 R und n 2 N [ f0g definiert:

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1 Übungsaufgaben 4 Funtionenreihen Aufgabe. Sei die Folge.s n / von Funtionen s n W R! R durch die Teilsuen s n./ D P n D0 2.C 2 / für 2 R und n 2 N [ f0g definiert:. Man zeige (it Hilfe der Forel für die geoetrische Sue), daß sich die Teilsuen für alle 2 R und n 2 N [ f0g durch s n./ D C 2 berechnen lassen und.c 2 / n schließe daraus, daß die Funtionenreihe.s n / puntweise gegen die durch 8 < C 2 für 2 R, 0; s./ D : 0 für D 0; definierte Grenzfuntion s W R! R onvergiert! 2. Seien a, b 2 R it a < b beliebig vorgegeben. Man weise nach, daß die Funtionenreihe.s n / genau dann gleichäßig auf de abgeschlossenen Intervall Œa; b gegen die Grenzfuntion s onvergiert, wenn 0 Œa; b gilt! Lösung... Für jedes 2 R it 0 gilt zunächst C 2 > und soit Man erhält soit durch Anwendung der Forel P n D0 z D Sue auf z D C 2 2 0; Œ wegen z D s n./ D P 2 n D0 D 2.C 2 /.C 2 / 2 C 2 D 2 C ; Œ. C 2 znc für die geoetrische z eine Darstellung D C 2.C 2 / nc.c 2 / n für jedes n 2 N [ f0g und 2 R it 0, welche offenbar auch für D 0 richtig ist..2. Einerseits gilt für alle n 2 N stets s n.0/ D 0. Andererseits erhält an für jedes 2 R it 0 wie oben erwähnt C 2 li s n./ D li C 2 D C 2 li n! n!.c 2 / n n! 2 0; Œ, das heißt, die Eistenz des Grenzwerts D C 2.C 2 / n D 0. Dait onvergiert die Funtionenfolge.s n / puntweise ge- wegen li n!.c 2 / n gen die durch 8 < C 2 für 2 R, 0; s./ D : 0 für D 0; definierte Grenzfuntion s W R! R.

2 2. Seien a, b 2 R it a < b beliebig vorgegeben. Da s n.0/ D s.0/ D 0 für alle n 2 N gilt, genügt es, für die Untersuchung der gleichäßigen Konvergenz der Funtionenfolge.s n / auf de Intervall Œa; b gegen die Grenzfuntion s die Beträge ˇ js n./ s./j D ˇ C 2. C 2 /.C 2 / ˇ D n für alle n 2 N und jedes 2 Œa; b it 0 zu betrachten:.c 2 / n 2.. Fall 0 Œa; b : Setzt an ı D infjaj; jbjg, dann gilt stets ı > 0. Zu Nachweis der gleichäßigen Konvergenz sei " > 0 beliebig vorgegeben. Dann gilt für jedes 2 Œa; b und alle n, n 0 2 N it n n 0 die Abschätzung jj ı, also auch C 2 C ı 2 und. C 2 / n. C ı 2 / n, woraus sich js n./ s./j D.C 2 / n.cı 2 / n.cı 2 / n 0 ergibt. Wegen 2 0; Œ gilt li Cı 2 n! D 0. Daher ann an ein n.cı 2 / n 0 2 N derart wählen, daß " erfüllt ist. Daraus ergibt sich die gleichäßige Konvergenz auf Œa; b, da js n./.cı 2 / n 0 s./j " für alle 2 Œa; b und jedes n 2 N it n n 0 gilt Fall 0 2 Œa; b : Setzt an D afjaj; jbjg, dann gilt > 0. Sei d > beliebig vorgegeben. Wegen > 0 gilt li n!. C 2 / n D. Daher gibt es ein 2 N derart, daß d. C 2 / gilt. Soit ergibt sich für alle n 2 N it n und alle 2 Œa; b it 0 < 2 np d p d 2 stets. C 2 / n d und dait js n./ s./j d, das heißt, die Konvergenz ist auf Œa; b nicht gleichäßig. Aufgabe 2. Sei durch die Vorschrift. z/.cz/.i z/.icz/ für z 2 C n f; i; ; ig die gebrochene rationale Funtion s W C n f; i; ; ig! C definiert. Man berechne diejenige Folge.a / opleer Zahlen, für die die Folge.s n / von Funtionen s n W C! C, die durch s n.z/ D P n D0 a z für z 2 C und n 2 N [ f0g gegeben sind, i offenen Einheitsreis fz 2 C j jzj < g puntweise gegen die Grenzfuntion s onvergiert! 8 Lösung. Das Nennerpolyno von s hat die vierten Einheitswurzeln, i,, i 2 C als Nullstellen, das heißt, alle Lösungen der Gleichung z 4 Darstellung von s W C n f; i; ; ig! C in der For D 0. Dies gibt Anlaß zur. z/.cz/.i z/.icz/ D z 4 D z 4 für z 2 C n f; i; ; ig: Da für alle z 2 C it jzj < stets jj < für D z 4 gilt, erhält an aus der Suenforel P D0 D für die geoetrische Potenzreihe schließlich für alle z 2 C it jzj <. D P z 4 D0 z4

3 Alternative Lösung. U für 2 C it jj < die Sue P D0 D der geoetrischen Reihe benutzen zu önnen, wird die Funtion s W C n f; i; ; ig! C in Teilbrüche zerlegt. I Teilbruchansatz D a C b C. z/.cz/.i z/.icz/ z Cz c C d i z icz werden die unbeannten Koeffizienten a, b, c, d 2 C bestit: Für alle z 2 C gilt dann D. C z/.i z/.i C z/ a C. z/.i z/.i C z/ b C. z/. C z/.i C z/ c C. z/. C z/.i z/ d D. z z 2 z 3 / a C. C z z 2 C z 3 / b C.i C z iz 2 z 3 / c C.i z iz 2 C z 3 / d; woraus sich durch Koeffizientenvergleich vor Teren gleicher Ordnung in z das lineare Gleichungssyste it vier Gleichungen D a b C ic C id 0 D a C b C c d 0 D a b ic id 0 D a C b c C d für die vier Unbeannten a, b, c, d 2 C ergibt. Addiert an die erste und die dritte Gleichung sowie die zweite und die vierte Gleichung, dann erhält an 2.a C b/ D sowie a b D 0, also a D b D 2 C. Subtrahiert an von der ersten die dritte 4 Gleichung sowie von der zweiten die vierte Gleichung, so beot an 2i.c C d/ D sowie c d D 0, also c D d D 4i. z/.cz/.i z/.icz/ D 4. z/ 2 C. Das liefert die Teilbruchzerlegung D 4 C C 4.Cz/ 4i.i z/ 4i.iCz/ z C Cz C Ciz C iz für alle z 2 C n f; i; ; ig. Da für alle z 2 C it jzj < stets jj < für D iz gilt, liefert die Darstellung P D0 D für die geoetrische Potenzreihe schließlich P 4 D0 C. / C. i/ C i z D P D0 z4 für alle z 2 C it jzj <.

4 Aufgabe 3. Sei die Folge.s n / von Funtionen s n W R! R durch die Teilsuen s n./ D P n D für 2 R und n 2 N definiert:. 2 C/.. / 2 C/. Man zeige (it Hilfe einer Teilbruchzerlegung), daß sich die Teilsuen für alle 2 R und n 2 N durch s n./ D n n 2 C Funtionenreihe.s n / puntweise gegen die durch 8 < für 2 R, 0; s./ D : 0 für D 0; definierte Grenzfuntion s W R! R onvergiert! berechnen lassen und schließe daraus, daß die 2. Seien a, b 2 R it a < b beliebig vorgegeben. Man weise nach, daß die Funtionenreihe.s n / genau dann gleichäßig auf de abgeschlossenen Intervall Œa; b gegen die Grenzfuntion s onvergiert, wenn 0 Œa; b gilt! Lösung... I Teilbruchansatz D a Ca 0 C b Cb 0 üssen aufgrund der reellen Nullstellenfreiheit der quadratischen Nenner vier Unbeannte a, a 0. 2 C/.. / 2 C/ 2 C. / 2 C, b, b 0 2 R bestit werden: Für alle 2 R gilt dann D.a C a 0 /.. / 2 C / C.b C b 0 /. 2 C / D a. / 3 C a 0. / 2 C a C a 0 C b 3 C b 0 2 C b C b 0 ; woraus sich durch Koeffizientenvergleich vor Teren gleicher Ordnung in das lineare Gleichungssyste it vier Gleichungen 0 D. /a C b 0 D. /a 0 C b 0 D a C b 0 D a 0 C b 0 für die vier Unbeannten a, a 0, b, b 0 2 R ergibt. Addiert an das. dritten zur ersten Gleichung sowie das. dann erhält an b D a D und a 0 D 0. Das liefert die Teilbruchzerlegung D. 2 C/.. / 2 C/ 2 C /-fache der /-fache der vierten zur zweiten Gleichung, und b 0 D 0. Mit a C b D und a 0 C b 0 D 0 folgt daraus. /. / 2 C für alle 2 R und 2 N und soit für alle 2 R und n 2 N it Hilfe einer Indeverschiebung P n D. 2 C/.. / 2 C/ D P n D D P n D 2 C 2 C P n D P n D0. /. / 2 C 2 C D n n 2 C :

5 .2. Da für alle n 2 N stets s n.0/ D 0 gilt und für jedes 2 R it 0 der Grenzwert li s n n./ D li D li n! n! n 2 C n! 2 C n D eistiert, onvergiert die Funtionenfolge.s n / puntweise gegen die durch 8 < für 2 R, 0; s./ D : 0 für D 0; definierte Grenzfuntion s W R! R. 2. Seien a, b 2 R it a < b beliebig vorgegeben. Da s n.0/ D s.0/ D 0 für alle n 2 N gilt, genügt es, für die Untersuchung der gleichäßigen Konvergenz der Funtionenfolge.s n / auf de Intervall Œa; b gegen die Grenzfuntion s die Beträge n n js n./ s./j D ˇ ˇ D ˇ 2 n 2 C ˇ D n 2 C.n 2 C/ für alle n 2 N und jedes 2 Œa; b it 0 zu betrachten:.n 2 C/ jj.n 2 C/ 2.. Fall 0 Œa; b : Setzt an ı D infjaj; jbjg, dann gilt stets ı > 0. Zu Nachweis der gleichäßigen Konvergenz sei " > 0 beliebig vorgegeben. Dann gilt für jedes 2 Œa; b und alle n, n 0 2 N it n n 0 die Abschätzung jj ı, also auch n 2 C nı 2 C und jj.n 2 C / ı.nı 2 C /, woraus js n./ s./j D jj.n 2 C/ ı.nı 2 C/ nı 3 n 0 ı 3 folgt. Wählt an n 0 2 N derart, daß n 0 gilt, so ergibt sich die gleichäßige Konvergenz auf Œa; b, da js n./ s./j " für alle 2 Œa; b und n 2 N it n n 0 gilt. "ı Fall 0 2 Œa; b : Setzt an D afjaj; jbjg, dann gilt > 0. Für alle n 2 N it n und alle 2 Œa; b it 0 < jj gilt n jj.n 2 C / n C 2 und dait js n n n./ s./j n ; 2 2 das heißt, die Konvergenz ist auf Œa; b nicht gleichäßig. Aufgabe 4. Sei durch die Vorschrift die gebrochene rationale Funtion s W C n fi;.i z/.icz/ für z 2 C n fi; ig ig! C definiert. Man berechne diejenige Folge.a / opleer Zahlen, für die die Folge.s n / von Funtionen s n W C! C, die durch s n.z/ D P n D0 a z für z 2 C und n 2 N [ f0g gegeben sind, i offenen Einheitsreis fz 2 C j jzj < g puntweise gegen die Grenzfuntion s onvergiert!

6 Lösung. U für 2 C it jj < die Sue P D0 D der geoetrischen Potenzreihe benutzen zu önnen, wird die Funtion s W C n fi; ig! C einer Teilbruchzerlegung unterworfen. I Teilbruchansatz D a C b sollen die beiden unbeannten Koeffizienten.i z/.icz/ i z icz a, b 2 C bestit werden: Es gilt dann.i C z/a C.i z/b D für alle z 2 C, woraus sich durch Koeffizientenvergleich vor Teren gleicher Ordnung in z sogleich a b D 0 sowie.a C b/i D ergibt. Daraus folgt a D b D 2i D C D.i z/.icz/ 2i.i z/ 2i.iCz/ 2 und soit die Teilbruchzerlegung C Ciz iz für alle z 2 C n fi; Da für alle z 2 C it jzj < stets jj < für D iz gilt, liefert die Darstellung P D0 D für die geoetrische Potenzreihe schließlich ig: 2 C P Ciz iz D 2 D0. i/ C i z D P D0. /C z 2 für alle z 2 C it jzj <. Alternative Lösung. U für 2 C it jj < die Sue P D0 D der geoetrischen Potenzreihe benutzen zu önnen, wird die Funtion s W C n fi; ig! C in der D.i z/.icz/ For für z 2 C n fi; ig dargestellt. Cz 2 Da für alle z 2 C it jzj < stets jj < für D z 2 gilt, liefert die Darstellung P D0 D für die geoetrische Potenzreihe schließlich D P Cz 2 D0. / z 2 D P D0. /C z 2 für alle z 2 C it jzj <. Aufgabe 5. Eine echt gebrochene rationale Funtion ' W C n fz f ; : : : ; z`g! C sei als Quotient zweier ganzer rationaler Funtionen ' W C! C und f W C! C gegeben. Dabei habe f die Anzahl von ` 2 N verschiedenen Nullstellen z ; : : : ; z` 2 C der Ordnungen ; : : : ; ` 2 N, it anderen Worten, die Gestalt f./ D Q` D. z / für 2 C: Die ganze rationale Funtion ' W C! C habe die Ordnung 2 N [ f0g, < P` Man zeige, daß es eine Darstellung der Funtion ' f D. in For einer Teilbruchzerlegung './ D P` P f./ D j D a j. z / j für 2 C n fz ; : : : ; z`g it Koeffizienten a ; : : : ; a 2 C für 2 f; : : : ; `g gibt!

7 Lösung.. Sei die ganze rationale Funtion f W C! C durch gegeben. Dann gilt f./ D. f./ D Q` D2. z / für 2 C z / f./ für alle 2 C sowie f.z / 0. Soit eistiert ein a 2 C, so daß '.z / a f.z / D 0 gilt. Daher gibt es eine ganze rationale Funtion ' W C! C, deren Ordnung leiner als P` D ist, so daß Daraus folgt './ a f./ D. z / './ für alle 2 C gilt: './ f./ a. z / D. z / './. z / f./ D './. z / f./ für alle 2 C n fz ; : : : ; z`g: Wegen f.z / 0 eistiert ein a 2 C, so daß '.z / a f.z / D 0 gilt. Daher gibt es eine ganze rationale Funtion ' 2 ist, so daß P` D W C! C, deren Ordnung leiner als './ a f./ D. z / './ für alle 2 C gilt: Daraus folgt für alle 2 C n fz ; : : : ; z`g './. z / f./ a D. z / './ D './ :. z /. z / f./. z / 2 f./ Fährt an in dieser Weise fort, so eistiert i -ten Teilschritt wegen f.z / 0 ein a 2 C, so daß ' 2.z / a f.z / D 0 gilt. Daher gibt es eine ganze rationale Funtion ' W C! C der Ordnung 2 N [ f0g it < P` D2, so daß ' 2./ a f./ D. z / './ für alle 2 C gilt: Daraus folgt für alle 2 C n fz ; : : : ; z`g ' 2./. z /f./ a z D. z / './ D './. z /f./ f./ und schließlich './ f./ P a j j D. z D './ / j f./ durch die Kobination aller Teilschritte. 2. Wird die ganze rationale Funtion f 2 W C! C durch f 2./ D Q` D3. z / für 2 C definiert, dann gibt es aufgrund einer zu Schritt analogen Arguentation eine ganze rationale Funtion ' 2 W C! C der Ordnung 2 2 N [ f0g, 2 < P` D2, so daß sich die Funtion ' f wie folgt it Koeffizienten a 2 ; : : : ; a C darstellen läßt: './ D P 2 a 2j f./ j D. z 2 C ' 2./ / j f 2./ für 2 C n fz 2 ; : : : ; z`g:

8 Fährt an auf diese Weise fort, dann gelangt an i.` rationalen Funtion f` W C! C, die durch /-ten Schritt zu einer ganzen f`./ D. z`/ ` für 2 C definiert wird. Aufgrund einer zu Schritt analogen Arguentation gibt es eine ganze rationale Funtion '` W C! C, so daß sich die Funtion '` 2 f` 2 in der For '` 2./ D P ` f` 2./ j D a` ;j C '`./. z` / j f` für 2 C n./ fz` ; z`g it Koeffizienten a` ; ; : : : ; a` ; ` 2 C darstellen läßt, wobei '` W C! C die Ordnung ` 2 N [ f0g, ` < ` hat. 3. I `-ten und letzten Schritt angelangt, wählt an i ersten Teilschritt zunächst a` ` D '`.z`/. Dann gibt es eine ganze rationale Funtion '` ` W C! C, deren Ordnung leiner ist als ` Daraus folgt ist, so daß '`./ a` ` D. z`/ '` `./ für alle 2 C gilt: '` f`././ a` ` D. z`/ '` `./ D '` `./ für alle 2 C n fz`g:. z`/ `. z`/ `. z`/ ` Fährt an in dieser Weise fort, so wählt an i. ` /-ten Teilschritt a`2 D '`3.z`/. Denach gibt es eine ganze rationale Funtion '`2 W C! C, deren Ordnung leiner ist als, das heißt, eine onstante Funtion it '`3./ a`2 D. z`/ '`2./ für alle 2 C gilt: Daraus folgt '`3./ a`2 D. z`/ '`2./ D '`2./. z`/ 2. z`/ 2. z`/ 2 z` für alle 2 C n fz`g: I `-ten und letzten Teilschritt wählt an a` D '`2.z`/. Offenbar ann an die onstante Funtion '`2 nicht weiter zerlegen und erhält soit '`2./ D a` z` z` und schließlich '` f`./ D P `./ j D a`j für alle 2 C n fz`g. z`/ j durch die Kobination aller ` Teilschritte. Die Gesatheit aller ` Schritte liefert it './ D P` P f./ D j D schließlich die vollständige Teilbruchzerlegung. a j. z / j für 2 C n fz ; : : : ; z`g

9 Aufgabe 6. Man zeige, daß für beliebig gegebenes ` 2 N [ f0g die Reihe P n D0 für alle 2 K it jj < absolut gegen P D0 D onvergiert!. /`C Lösung.. Sei ` 2 N [ f0g beliebig vorgegeben und b D D./Š 2 N für 2 K, 2 N [ f0g definiert. Für alle 2 K it jj < liefert das Quotientenriteriu ˇ li ˇ bc b! ˇˇˇ D li.c/š Š `Š jj C!.C/Š `Š./Š jj D li! C C jj D li!. Š `Š C ` C jj D jj < und soit die absolute Konvergenz der Reihe P n D0 2.. Zu Nachweis der Aussage über die Reihensue wird zunächst die Beziehung P D C für alle, ` 2 N [ f0g bereitgestellt. Der Beweis wird für ein beliebig festgehaltenes ` 2 N [f0g durch Indution über 2 N [ f0g geführt: Indutionsanfang: I Falle D 0 gilt in der Tat P 0 D ` 0 D D `C 0. Indutionsschritt: Unter der Annahe der Indutionsvoraussetzung, daß die Forel D C für ein 2 N [ f0g gilt, ergibt sich it P P C D P C C C D C C C C D C2 C die Indutionsbehauptung aufgrund der Rechenregeln für Binoialoeffizienten Der Beweis der Aussage über die Reihensue wird indutiv über den Eponenten ` 2 N [ f0g geführt: Indutionsanfang: I Falle ` D 0 gilt D D für alle 2 N [ f0g. Die geoetrische Reihe P n D0 onvergiert absolut gegen die Sue P D0 D für jedes 2 K it jj <. Indutionsschritt: Unter der Annahe der Indutionsvoraussetzung, daß für ein ` 2 N [ f0g die Reihe P n D0 für alle 2 K it jj < absolut gegen die Sue P D0 D onvergiert, soll diese Aussage für ` C bewiesen werden:. /`C Da die geoetrische Reihe P n D0 für jedes 2 K it jj < absolut gegen die onvergiert, folgt it der Indutionsvoraussetzung, de Multipliationssatz für absolut onvergente Reihen und Schritt 2., daß die Reihe P n D0 c it den Cauchy-Produten Sue P D0 D c D P D P D `CC als Suanden für jedes 2 K it jj < absolut gegen das Produt P D0 c D P D0 P D0 D. /`C onvergiert, woit die Indutionsbehauptung bewiesen ist. für 2 N [ f0g D. /`C2