TU-München, Dienstag, der Übungsblatt. Analysis I - Ferienkurs Andreas Schindewolf. a n =

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1 TU-München, Dienstag, der Übungsblatt Analysis I - Ferienurs Andreas Schindewolf Folgen Untersuchen Sie die Folgen (a n ) n N gegebenenfalls den Grenzwert. a) auf Konvergenz bzw. Divergenz und berechnen Sie ( ) n + 4i. (.0.) 5 b) Es wird geprüft, ob die Folge eine Cauchy-Folge ist. Dies ist sie genau dann, wenn sie onvergiert. Dafür muss gelten ε > 0 N N, sodass c n c m < ε n, m N. (.0.) Betrachte den Abstand zweier aufeinander folgender Folgeglieder. ( ) n+ ( ) n + 4i + 4i ( ) a n+ a n 5 5 n + 4i + 4i 5 5 n 5 + i i4 5 }{{}}{{} (.0.) Die Folge ist also eine Cauchy-Folge, da leicht ein ε gefunden werden ann mit ε < 5 5, und folglich nicht onvergent sondern divergent. n + n n. (.0.4) Es wird versucht den Grenzwert so um zu formen, dass man beannte Grenzwerte erhält (insbesondere lim n 0). lim lim lim n + n n lim n n + n + n lim + n + ( n + n n ) ( n + n + n ) lim n + n + n + n + +. (.0.5)

2 c) Hinweis: Zeigen Sie zunächst, dass n+ n. ( ). (.0.6) Zunächst wird die Folge auf eine Form eines großen Bruches gebracht, indem sich ähnlich zur Telesopsumme alle bis auf endlich viele Terme aufheben. ( ) ( ) ( ) ( )( + ) (n ) n (n ) (n + ) (n ) (n ) n n n + n. (.0.7) Somit ist die Folge bereits auf die Form im Hinweis gebracht. Nun leitet ann der Grenzwert wie üblich von anderen Grenzwerten abgeleitet werden. lim lim n + lim n + n. (.0.8) Reursiv definierte Folgen Die Folge (a n ) n N in R sei reursiv definiert durch a 0, 4 a n n. (.0.9) Zeigen Sie, dass die Folge onvergiert und berechnen Sie den Grenzwert. Hinweis: Zeigen Sie zunächst, dass die Folge monoton fallend/steigend und beschränt ist. Zunächst wird durch vollständige Indution gezeigt, dass die Folge monoton fallend ist. Indutsionsanfang zunächst wird gezeigt, dass a 0 a. a 0 > 4 4 a 0 a. (.0.0) Indutionsvorraussetzung Es sei bereits gezeigt, dass die Folge bis n monoton fallend ist. a 0 a a... a n a n. (.0.) Indutionsschluss Nun bleibt zu zeigen, dass a n a n+. a n+. (.0.) 4 a n {}}{ 4 a n Nach IV ist a n a n und folglich 4 a n 4 a n > 0 Da die Folge monoton fallend ist, ist sie zwangsläufig auch nach oben beschränt. Damit die Folge beschränt ist, muss sie auch noch nach unten beschränt sein. Dies lässt sich zeigen, indem ausnutzt, dass die Funtion monoton fallend ist. lim lim 4 a n {}}{ da (a n) monoton fallend und a n < lim m 0. (.0.) 4 m

3 s 0 ist also eine untere Schrane der Folge (a n ). Da die Folge nach oben und nach unten beschränt ist, ist die Folge beschränt. Da die Folge beschränt und monoton fallend/steigend ist, muss sie auch onvergent sein. Nun soll der Grenzwert a noch berechnet werden a lim 4 lim a n 4 a (.0.4) 4a a (.0.5) a 4a + 0. (.0.6) Man beommt a {, }. Da der Grenzwert allerdings wohldefiniert ist, ann nur eines der Ergebnisse richtig sein. Und da a n < muss folglich gelten a. Häufungspunte a) Sei (a n ) n N eine Folge in C mit W : {a n : n N} endlich. Zeigen Sie, dass h aus W existiert, so dass h häufungspunt der Folge (a n ) n N ist. Beweis durch Widerspruch. Seien h,..., h die Elemente von W. Nehme an, ein Element von W ist Häufungspunt von (a n ). Dann gibt es eine Teilfolge von (a n ), die gegen h onvergiert. Also gibt es ε > 0 und N N, so dass a n / U ε (h ) : {c C, c h < ε } n > N. Analoges gilt für h l mit l,...,. Also gilt für n > max {N,..., N } Das steht im Widerspruch zu a n / U ε (h )... U ε (h ). (.0.7) W {a n : n RN} {h,..., h } U ε (h )... U ε (h ). E (.0.8) b) Bestimmen Sie für die nachstehenden Folgen (a n ) n N in R - gegebenenfalls in R R {, } - den Limes superior, den Limes inferior und alle Häufungspunte. a n : ( ) n n n +, (.0.9). a n : ( ) n n n+. Es gilt und a n : ( ) n + ( ( ) n + ) 5 n. (.0.0) n n lim a n lim ( ) n + lim lim a n+ lim n+ + n+ n + n (.0.). (.0.) und - sind also Grenzwerte von Teilfolgen von (a n ) und damit Häufungspunt.

4 Es gibt eine weiteren Häufungspunte, denn jede onvergente Teilfolge (a n ) N hat unendlich viele gerade oder unendlich viele ungerade n, onvergiert also gegen oder -. Da größter Häufungspunt ist, gilt lim sup. Da - leinster Häufungspunt ist, gilt lim inf. Da (a n ) zwei Häufungspunte hat, ist die Folge weder onvergent noch uneigentlich onvergent.. a n : ( ) n + ( ( ) n + ) 5 n. Es gilt und lim a n lim ( ) n + ( ( ) n + ) 5 n lim n + 5 n (.0.) lim a n+ lim ( ) n+. (.0.4) und sind also Häufungspunte der Folge in R. Es gibt eine weiteren Häufungspunte, denn jede Teilfolge (a n ) hat unendlich viele mit n gerade oder unendlich viele mit n ungerade. Da die Folge nicht nach oben beschränt ist, gilt lim sup. Da die Folge nicht nach unten beschränt ist, gilt lim inf. Da lim sup a n lim inf a n, ist die Folge weder onvergent noch uneigentlich onvergent. 4 Komplexe Folgen Betrachten Sie die folgenden Aussagen über eine Folge (a n ) n N in C. () (a n ) n N ist onvergent. () (a n ) n N ist eine Cauchy-Folge. () (a n ) n N ist beschränt. (4) (a n ) n N hat genau einen Häufungspunt. (5) (a n ) n N hat mehr als einen Häufungspunt. (6) (a n ) n N ist beschränt und nicht onvergent. Untersuchen Sie, welche der folgenden Impliationen richtig bzw. falsch sind. Geben Sie gegebenfalls ein Gegenbeispiel an. a) () (), b) () (), c) () (), d) () (4), e) (4) (), f) (), (4) (), g) (6) (5). a) () () gilt (siehe Vorlesung). b) () () gilt (siehe Vorlesung). c) () () ist falsch. ( ) n ist ein Gegenbeispiel. d) () (4) gilt, da jede Cauchy-Folge onvergiert und eine onvergente Folge genau einen Häufungspunt hat. 4

5 e) (4) () ist falsch. ( + ( ) n )n ist ein Gegenbeispiel. Zwar gibt es eine Teifolge, die onvergiert, wenn die Folge einen Häufungspunt besitzt. Allerdings ann die Folge wie im Gegenbeispiel zusötzlich eine Teilfolge enthalten, die nicht onvergiert. f) (), (4) () gilt. Sei h der Häufungspunt der Folge (a n ). Wäre h nicht der Grenzwert der Folge (a n ), so gäbe es ein ε > 0, so dass für alle N N ein n > N existiert mit a n h > ε. Es gibt also eine Teilfolge (a n ) N von (a n ) mit a n C\ {z C : z h ε}. Da die Gesamtfolge beschränt ist, ist auch diese Teilfolge beschränt, besitzt also nach Bolzano-Weierstraß eine onvergente Teilfolge, die gegen ein s C\ {z C : z h ε} onvergiert. Insbesondere gilt also s h. Damit hätte die Folge (a n ) zwei verschiedene Häufungspunte s und h. E g) (6) (5) gilt, da nach Bolzano-Weierstraß jede beschränte Folge (mindestens) einen Häufungspunt besitzt. Besäße die Folge nur genau einen Häufungspunt, dann würde, wie in f) bereits gezeigt, die Folge onvergieren. E 5 Reihen a) Untersuchen Sie folgende Reihen auf Konvergenz bzw. Divergenz:. Behauptung: Beweis: Sei Folglich gilt (+) ( + ) , (5.0.5) ist divergiert. ( + ) 4 a : insbesondere gibt e ein N N mit b > 4 ( ). (5.0.6) ( + + ) } {{ } :b. (5.0.7) lim b. (5.0.8) für > N. Es gilt aber ( + ) 4 a > > N. (5.0.9) 4 Würde die Reihe a onvergieren, so würde nach dem Majorantenriterium wegen (5.0.9) auch die harmonische Reihe. Behauptung: Beweis: Sei ( ) onvergiert. onvergieren. E b :. (5.0.0) 5

6 Die Folge (b ) N ist eine monoton fallende Nullfolge. Nach dem Leibnizschen Konvergenz- Kriterium onvergiert also die Reihe b) Zeigen Sie, dass die Reihe ( ) b onvergiert und berechnen Sie den Grenzwert. Wegen ( + ) + ist Also ist für n N ( ). (5.0.) + ( + ) (5.0.) + ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) ( + ). (5.0.) ( ) ( + Damit folgt + ( + ) ) ( Absolute Konvergenz a) Seien a und 0 b 0 (a b ) absolut onvergiert. 0 Nach der Dreiecsungleichung gilt + ( + ) lim ( ) ) ( + ) ( n (n + ) ) (n + ). (5.0.4) +. (5.0.5) ( + ) absolut onvergente Reihen. Zeigen Sie, dass auch die Reihe a b a + b }{{} N. (6.0.6) c Da a und b nach Vorraussetzung onvergieren, onvergiert auch c. 0 0 Aus (6.0.6) und dem Majoranten-Kriterium folgt, dass auch a b onvergiert. D.h. die Reihe (a b ) onvergiert absolut. 0 b) Untersuchen Sie welches Konvergenzverhalten (Konvergenz, absolute Konvergenz, Divergenz) die Reihe ( ( ) + + ) (6.0.7) aufweißt. Hinweis: Es darf hergenommen werden, dass die Reihe 0 onvergiert. 0 6

7 Dehauptung: die Reihe Beweis: Die alternierende harmonische Reihe ( ) ( ) + + onvergiert, ist aber nicht absolut onvergent. ( ) onvergiert nach dem Leibnizschen Konvergenz-Kriterium. Die Reihe onvergiert (siehe Hinweis) und da < onvergiert auch die Reihe nach dem Majoranten-Kriterium. Also onvergiert auch die Reihe ( ( ) + + ) ( ) + }{{} :a + (6.0.8) und die Reihe + } {{ } :b +. (6.0.9) Die Reihe b onvergiert sogar absolut, da b > 0 N. Würde auch a absolut onvergieren, dann würde nach a) auch ( ) (a b ) (6.0.40) absolut onvergieren. Diese Reihe onvergiert aber nicht absolut, da die harmonische Reihe divergiert. Also ist die Reihe a onvergent aber nicht absolut onvergent. 7 Exponentialreihe Zeigen Sie, dass die die Exponentialreihe 0 z! mit z 0, z C absolut onvergiert. Mit dem Quotienten-Kriterium folgt für z 0: a n+ a n z + ( + )!! z z! ( + )! z + z. (7.0.4) Daher onvergiert die Exponentialreihe absolut. 7