Höhere Mathematik I für BWIW, BNC, BAI, BGIP, GTB, Ma Hausaufgaben zum Übungsblatt 5 - Lösung

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1 TU Bergaademie Freiberg Wintersemester 00/0 Dr. Gunter Semmler Dr. Anja Kohl Höhere Mathemati I für BWIW, BNC, BAI, BGIP, GTB, Ma Hausaufgaben zum Übungsblatt 5 - Lösung Reihen, Summen von Reihen, Konvergenzriterien. Eine geometrische Reihe a) b) 5 7 q onvergiert für q < und hat dann die Summe ) ) q q. ) ) [ ) 4 40 ] ) 40 4 q 7 < ) [ ] q 4 < ) f) [ ) 8 ) ] [ 4 8 ) 8 ] 4 8 q 8 < ) Die Summe S einer Reihe s n n a, sofern er existiert. a ist der GW S : lim n s n der ZF der Partialsummen

2 c) siehe Übung 5.. d) s n } {{ 5 4 } 5 4 Die Nullstellen des Nenners von a pqformel) sind und ) 4 ) PBZ: A ) 4 ) B 4 A ) ) 4 B 0 A B) 4A B Koeffizientenvergleich: : 0 A B 0 : 4A B A, B s n 5 4 ) 4 [ ) 4 4 ) 7 4 ) 4 7 ) ) n 4 S lim s n lim n n ) 4 7 )... 0 n )] n ) n n 4 0 ) n 4 lim ) n n 4

3 e) s n ) ) ) Die Nullstellen,, des Nenners von a erennt man sofort an der fatorisierten Form des Polynoms. PBZ: ) ) ) A B C A ) ) B ) ) C ) ) 0 0 A B C) 5A 4B C) 6A B C Koeffizientenvergleich: : 0 A B C : 0 5A 4B C 0 : 6A B C A C, B ) ) ) ) s n ) ) ) ) ) [ ) )] [{ ) )} { ) )}... 4 { n ) n n )}] n [ ) n )] n n ) n S lim s n lim n n n ) n lim n n ) n 4

4 . a) Wegen lim a lim lim lim 0 bilden die Glieder der Reihe eine Nullfolge; somit ist das notwendige Kriterium verletzt, d.h. die Reihe divergiert. b) Polizistenprinzip: 0 b b c Dabei lässt sich die letzte Ungleichung aus der Bernoulli-Ungleichung x) n nx für x, n ableiten. Setze dazu x, n : lim a 0, lim c lim lim ) 0 lim b lim n 0 Die Glieder der Reihe bilden eine Nullfolge; somit ist das notwendige Kriterium erfüllt, d.h. die Reihe önnte onvergieren, muss aber nicht!. a) QK: q lim lim a a b)! 4! 8 4! 6 5!... QK: q lim lim ) lim ) < Reihe onvergiert )! } {{ } a a lim )! 0 < Reihe onvergiert )! lim 0 lim lim 4

5 c) d) e) ) WK: q lim a lim lim ) lim ) lim ) < Reihe onvergiert 4 QK: q lim a a lim 4 ) ) 4 lim 4 ) 4 lim 4 ) 4 lim ) 4 4 lim 4 4 lim 4 4 lim lim 4 4 lim 4 lim lim 4 lim 4 < Reihe onvergiert ) WK: q lim ) a lim ) ) ) lim lim lim ) ) ) lim lim ) ) ) Polizistenprinzip: b ) ) 6 c d 5

6 lim b lim d Reihe onvergiert lim n c q lim ) ) < f) 4 QK: q lim 4 lim a a lim 4 4 lim 4 ) < Reihe onvergiert 4 4 lim 4. a) Für alle 0 gilt ) 5 5. Daraus folgt, wobei b ) 5 }{{ 5 } nichtnegativ und reell ist. b ) Weiterhin ist b eine onvergente geometrische Reihe, da 5 Damit ist b eine onvergente Majorante für a auch diese Reihe laut Majorantenriterium onvergiert. 5 <., so dass ) 5 b) ln ln ln 4... ln b Für alle gilt ln. Damit gilt auch 0 Da die Reihe a. ln a b die harmonische Reihe ist ohne den ersten Wert für ), die divergent ist, ist sie eine divergente Minorante für Nach Minorantenriterium ist also ln auch divergent. b ln. 5. a) analog zu Aufgabe f): QK liefert q < Reihe onvergiert 6

7 b) QK: q lim )! )! lim )! )! lim )! ) )! lim )!! ) ) ) ) ) lim lim lim lim ) ) lim ) lim ) e > } {{ } e Reihe divergiert } {{ } c) Da die Logarithmus-Funtion ln eine monoton wachsende Funtion ist, die für große gegen strebt, ist a ) mit a eine monoton fallende Nullfolge. ln Daher ist ) ) a laut Leibnizriterium onvergent. ln d) Betrachten die Partialsummen s n ln ). s n ln ) ) ln ln ) ln ) ln ln )) Log.gesetze [ln ln ) ln ln ) ln ln 4)... ln n lnn ))] ln ln ln ) ln ln ) ln 4... ln n) lnn ) ln lnn )) lnn ) S lim n s n lim n lnn ) Reihe divergiert e) QK: q lim p) 4 p) lim p 4 p lim 4 p lim 4 0 p p lim 4 7

8 q < p < p, ) Reihe onvergent q > p > p, ) ), Reihe divergent q p p ±? Betrachten p ± : p : p : p) p) p) ) Reihe onvergiert nach Leibnizriterium onvergent für divergent für harmonische Reihe divergiert [ p, ) p, ) [ ), f) QK: q lim r ) ) ) r ) lim r ) 0 r lim r lim r q < r < r, ) Reihe onvergent q > r > r, ), ) Reihe divergent q r r {, }? Betrachten r, r : r : r : r ) ) ) ) ) ) Reihe onvergiert nach Leibnizriterium r ) ) ) harmonische Reihe divergiert ) r ) ) { onvergent für r [, ) divergent für r, ) [, ) 8