3 Untermannigfaltigkeiten des R n

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1 $Id: untermfg.tex,v /11/14 07:36:37 hk Exp $ $Id: nintegral.tex,v /11/13 19:43:16 hk Exp hk $ 3 Untermannigfaltigkeiten des R n In der letzten Sitzung haben wir Untermannigfaltigkeiten des R n und ihre Parametrisierungen definiert. Wir hatten auch schon festgehalten das dies sowohl die Mengen sind die sich gut durch Nebenbedingungen beschreiben lassen als auch die Mengen die sich vernünftig parametrisieren lassen. Als Beispiel kennen wir bisher nur die Graphen q-fach stetig differenzierbarer Funktionen, beispielsweise eine Parabel im R oder ein Paraboloid im R x Parabel y = x Paraboloid z = x + y Weitere Beispiele lassen sich als durch Gleichungen definierte Untermannigfaltigkeiten konstruieren, und hierzu wollen wir den folgenden Konstruktionssatz verwenden: Korollar 3. (Satz vom regulären Urbild) Seien n, m N, q N { } mit n, q 1, 1 m < n, U R n offen und f : U R m eine q-fach stetig differenzierbare Funktion. Weiter sei a R m und setze M := f 1 (a) = {x U f(x) = a}. Für jedes x M habe die Ableitung f (x) R m n den Rang m. Dann ist M eine (n m)-dimensionale C q -Untermannigfaltigkeit des R n. Beweis: Für jedes 1 i m haben wir die q-fach stetig differenzierbare Funktion g i : U R; x f i (x) a i 7-1

2 und es gilt M = M U = {x U (1 i n) : f i (x) = a i } = {x U g 1 (x) = = g m (x) = 0}. Ist x M so sind die Gradienten grad g 1 (x),..., grad g m (x) genau die Zeilen der Jacobi- Matrix f (x), und da diese nach unserer Annahme den Rang m hat, sind die Gradienten nach I. 1.Satz 3.(c) linear unabhängig. Nach Satz 1 ist M eine (n m)-dimensionale Untermannigfaltigkeit des R n. Man nennt einen Wert a R m so, dass f (x) für jedes x U mit f(x) = a stets den Rang m hat auch einen regulären Wert der Funktion f. Diese Situation kommt häufig vor, es gibt sogar einen allgemeinen, allerdings schon recht komplizierten Satz, der besagt das bei ausreichender häufiger Differenzierbarkeit fast alle Punkte a R m reguläre Werte von f sind. Diesen Satz wollen wir hier aber nicht behandeln und uns lieber zwei kleine Beispiele anschauen. Beachte dabei das die Bedingung rang f (x) = m im Fall m = 1 reellwertiger Funktionen einfach zu f (x) 0 wird. Als erstes Beispeil nehmen wir n-dimensionale Sphäre, d.h. die Oberfläche der Einheitskugel S n := {x R n+1 : x = 1} im R n+1 und behaupten das diese eine n-dimensionale C -Untermannigfaltigkeit des R n+1 ist. Hierzu müssen wir nur die unendlich oft differenzierbare Funktion n f : R n+1 R; x x = und den Wert a := 1 R betrachten. Dieser ist ein regulärer Wert von f, denn für jedes x S n = f 1 (a) ist f (x) = grad f(x) = x 0. Damit liefert der Satz vom regulären Urbild Korollar das die Sphäre S n tatsächlich eine (n + 1) 1 = n-dimensionale C -Untermannigfaltigkeit des R n+1 ist. Als ein zweites Beispiel geben wir uns einen Parameter a R vor, und betrachten die Menge M a := {(x, y) R x y = a}, also M a = f 1 (a) mit f : R R; (x, y) x y. Wir wollen wissen für welche Werte von a es sich hierbei um eine Untermannigfaltigkeit handelt. Hierzu benötigen wir das a ein regulärer Wert von f. Hierzu beachten f (x, y) = (x, y) für alle x, y R, d.h. genau dann ist f (x, y) = 0 wenn x = y = 0 ist. Wegen f(0, 0) = 0 ist damit 0 der einzige nichtreguläre Wert von f, d.h. für a 0 ist M a eine eindimensionale C -Untermannigfaltigkeit des R. Geometrisch ist M a dabei einfach eine Hyperbel. Für a = 0 liegt tatsächlich keine Untermannigfaltigkeit vor, es ist M 0 = {(x, y) R x = y } = {(x, y) R y = ±x} die Vereinigung zweier sich schneidender Geraden, und anschaulich ist klar das dies keine Untermannigfaltigkeit ist. Ein exakter formaler Beweis dieser Tatsache wird eine Übungsaufgabe sein. x k 7-

3 4 4 4 y y 4 4 x x x a = 1 a = 1 a = 0 Nach dem ersten Beispiel ist insbesondere beispielsweise der Einheitskreis S 1 eine eindimensionale C -Untermannigfaltigkeit des R. Am Einheitskreis können wir dann auch sehr schön ein weiteres allgemeines Phänomen sehen, lokal ist dieser überall, nach einer eventuell Umordnung der Koordinaten, der Graph einer unendlich oft differenzierbaren Funktion. Auf der oberen Halbebene U + = R R >0 ist S 1 U + der Graph von y = 1 x, auf der unteren Halbebene U := R R ist S 1 U entsprechend der Graph von y = 1 x, auf der rechten Halbebene V + := R >0 R wird S 1 V + der Graph von x = 1 y und auf der linken Halbebene V := R <0 R wird S 1 V schließlich der Graph von x = 1 y. In diesem Beispiel läßt sich unsere Untermannigfaltigkeit also überall lokal als der Graph einer entsprechend häufig differenzierbaren Funktion darstellen, und wir wollen uns nun überlegen das dies immer der Fall ist. Seien also n, m 1 und M R n sei eine m-dimensionale C q -Untermannigfaltigkeit des R n wobei wieder q N { } mit q 1 ist. Sei x 0 M ein Punkt von M. Nach Definition einer Untermannigfaltigkeit existieren eine offene Menge U R m, ein a U und eine injektive, q-fach stetig differenzierbare Funktion ϕ : U R n mit ϕ(a) = x 0 so, dass die Ableitungen ϕ/ x i (x) für 1 i m für jedes x U linear unabhängig sind und es für jede offene Menge V R m mit V U stets eine offene Menge W R n mit ϕ(v ) = W M gibt. Da insbesondere die Matrix ϕ (a) dann linear unabhängige Spalten hat, hat sie nach I. 1.Satz 3.(c) auch m linear unabhängige Zeilen. Durch eventuelle Umbenennung der Koordinaten des R n können wir dann annehmen das die ersten m Zeilen von ϕ (a) linear unabhängig sind. Betrachten wir also die q-fach stetig differenzierbare Funktion ψ := (ϕ 1,..., ϕ m ), so besteht ψ (a) gerade aus den ersten m Zeilen von ϕ (a), hat also wieder nach I. 1.Satz 3.(c) den Rang m und ist damit invertierbar. Folglich können wir auf ψ die C q -Version des Satzes über Umkehrfunktionen 1.Korollar 6 anwenden und erhalten offene Mengen U, V R m mit a U U so, dass ψ U : U V bijektiv mit der q-fach stetig differenzierbaren Umkehrfunktion (ψ U ) 1 : V U ist. Weiter existiert eine offene Menge U R n mit ϕ(u ) = M U. Insbesondere ist dann x 0 = ϕ(a) ϕ(u ) U. Nun können wir die q-fach stetig differenzierbare Funktion konstruieren, die den in U liegenden Teil von M als ihren Graph hat. Wir definieren f : V R n m ; x (ϕ m+1 ((ψ U ) 1 (x),..., ϕ n ((ψ U ) 1 (x))), 7-3

4 und behaupten das M U = {(x, f(x)) x V } gilt. Sei zunächst x V gegeben und setze y := (ψ U ) 1 (x), d.h. es ist y U mit ψ(y) = x. Es folgt (x, f(x)) = (ψ(y), ϕ m+1 (y),..., ϕ n (y)) = ϕ(y) ϕ(u ) = M U, und die Inklusion der rechts stehenden in der links stehenden Menge ist bewiesen. Nun sei umgekehrt ein Punkt p M U = ϕ(u ) gegeben. Dann existiert ein y U mit ϕ(y) = p und wir erhalten den Punkt x := ψ(y) V mit also ist auch f(x) = (ϕ m+1 ((ψ U ) 1 (x)),..., ϕ n ((ψ U ) 1 (x))) = (ϕ m+1 (y),..., ϕ n (y)), p = ϕ(y) = (ψ(y), ϕ m+1 (y),..., ϕ n (y)) = (x, f(x)). Damit ist diese Behauptung bewiesen. Die eben bewiesene Tatsache das Untermannigfaltigkeiten sich lokal immer als Graphen schreiben lassen ist nicht nur von Interesse um die Bedeutung der Graphen zu klären, sie hat auch eine nützliche Anwendung die wir jetzt vorstellen wollen. In der Definition einer Parametrisierung ϕ : U R n einer Untermannigfaltigkeit M R n war eine der drei Forderungen das es für jede offene Menge V R m mit V U stets eine offene Menge W R n mit ϕ(v ) = W M geben soll. Gerade diese Bedingung ist in konkreten Beispielen rechnerisch oft nur schwierig nachzuweisen. Wenn man allerdings schon weiss das M eine Untermannigfaltigkeit ist, so kann man auf sie ersatzlos verzichten, d.h. sie folgt automatisch aus den beiden anderen Forderungen an eine Parametrisierung. Lemma 3.3 (Kennzeichnung von Parametrisierungen) Seien n, m N, q N { } mit n, m, q 1 und sei M R n eine m-dimensionale C q -Untermannigfaltigkeit des R n. Sind dann U R m offen und ϕ : U R n eine injektive, q-fach stetig differenzierbare Funktion mit ϕ(u) M so, dass die Vektoren ϕ ϕ (x),..., (x) x 1 x m für jedes x U linear unabhängig sind, so ist ϕ bereits eine Parametrisierung von M. Beweis: Wir müssen die noch fehlende Offenheitsbedingung nachweisen. Sei also V R m eine offene Menge mit V U. Sei a V. Dann ist ϕ(a) M und da wir M lokal als Graphen schreiben können gibt es nach eventueller Umbezeichnung der Koordinaten des R n eine offene Menge U R n mit ϕ(a) U, eine offene Menge V R m und eine q-fach stetig differenzierbare Funktion f : V R n m mit M U = {(x, f(x)) x V }. 7-4

5 Da ϕ insbesondere stetig ist, existiert eine offene Menge V R m mit a V V und ϕ(v ) U, also auch ϕ(v ) M U. Ist also pr : R n R m ; x (x 1,..., x m ) die Projektion, so ist ψ := pr (ϕ V ) : V V wieder q-fach stetig differenzierbar und für jedes x V gilt ϕ(x) = (ψ(x), f(ψ(x))). Wir behaupten jetzt das die m m-matrix ψ (a) invertierbar ist. Um dies einzusehen zeigen wir, dass die Spalten dieser Matrix linear unabhängig sind. Seien also λ 1,..., λ n R mit m ψ λ k (a) = 0 x k gegeben. Für jedes 1 k m gilt nach der Kettenregel II. 8.Satz 17 ( ) ψ ϕ x (a) = k (a) x k f (ψ(a)) ψ, x k (a) und damit ist auch n ϕ λ k (a) = x k n ψ λ k x k (a) ( n f (ψ(a)) ψ λ k x k (a) ) = 0. Da die Vektoren ϕ/ x k (a) für 1 k m linear unabhängig sind, folgt damit λ 1 = = λ m = 0, und wir haben gezeigt das ψ (a) invertierbar ist. Wieder nach dem Satz über Umkehrfunktionen 1.Korollar 6 gibt es offene Mengen V a R m, U R m mit a V a V V und ψ(v a ) = U. Schließlich erhalten wir die offene Menge W a := (U R n m ) U R n und behaupten das ϕ(v a ) = M W a gilt. Zunächst ist nämlich ϕ(v a ) ϕ(v ) M U und andererseits gilt für jedes x V a auch ψ(x) U also ϕ(x) = (ψ(x), f(ψ(x))) U R n m und dies bedeutet ϕ(v a ) U R n m. Insgesamt ist damit ϕ(v a ) M U (U R n m ) = M W a. Nun sei umgekehrt y M W a gegeben. Wegen y M U existiert ein x V mit y = (x, f(x)) und wegen (x, f(x)) = y W a U R n m ist dann auch x U = ψ(v a ), d.h. es existiert ein z V a mit x = ψ(z). Damit ist schließlich y = (x, f(x)) = (ψ(z), f(ψ(z))) = ϕ(z) ϕ(v a ). Damit haben wir M W a ϕ(v a ) eingesehen, und es gilt folglich ϕ(v a ) = M W a. Nach II. 4.Lemma 17.(h) ist auch die Menge W := a V W a R n 7-5

6 im R n offen und wegen V = a V V a haben wir ϕ(v ) = ϕ(v a ) = (M W a ) = M W a = M W. a V a V a V Damit ist ϕ tatsächlich eine Parametrisierung von M. Unser Interesse am Begriff der Untermannigfaltigkeit stammte aus dem Versuch die Methoden zur Berechnung von Extrema unter Nebenbedingungen aus begrifflich weiter einzuordnen. Dies haben wir jetzt weitgehend erreicht, zumindest lokal ist die Beschreibbarkeit durch Nebenbedingungen weitgehend dasselbe wie die Beschreibbarkeit durch eine Parametrisierung, dies war Satz 1. Zum Abschluß wollen wir noch eine weitere, diesmal geometrische, Interpretation der Lagrange-Multiplikatoren besprechen. Hierzu benötigen wir den Begriff des Tangentialraums an eine Untermannigfaltigkeit. Geometrisch ist dieser genau das was man sich unter diesem Wort vorstellt, der Tangentialraum in einem Punkt x an eine Kurve in der Ebene ist die gewöhnliche Tangente an die Kurve durch den Punkt x, der Tangentialraum an einem Punkt x an eine Fläche im Raum ist die gewöhnliche Tangentialebene an die Fläche durch diesen Punkt, und so weiter. In der allgemeinen Situation kann man den Begriff des Tangentialraums wie folgt einführen. Definition 3.: Seien n, m N und q N { } mit n, m, q 1. Weiter seien M R n eine m-dimensionale C q -Untermannigfaltigkeit des R n und x M. Eine Vektor v R n heißt dann ein Tangentialvektor von M im Punkt x wenn es ein offenes Intervall I R mit 0 I und eine stetig differenzierbare Kurve γ : I R n mit γ(0) = x, γ(i) M und γ (0) = v gibt. Weiter bezeichne T x M die Menge aller Tangentialvektoren von M in Punkt x, genannt der Tangentialraum von M in x. Beachte das der Tangentialraum T x M nur von der Menge M und dem Punkt x abhängt, nicht aber von m oder q. Wir werden jetzt zeigen das die Tangentialräume an eine m-dimensionale Untermannigfaltigkeit M immer m-dimensionale Untervektorräume des R n sind. Bei dieser Gelegenheit werden wir auch gleich beschreiben wie man den Tangentialraum in Termen einer Parametrisierung von M beziehungsweise in Termen einer Darstellung von M durch Nebenbedingungen berechnen kann. Bevor wir diesen Satz beweisen können ist es nützlich sich ein wenig an einige Tatsachen aus der linearen Algebra zu erinnern. Sei U R n eine offene Menge. Ist dann f : U R eine in einem Punkt x U differenzierbare Funktion, so gilt für jeden Vektor u R n stets f (x)u = (grad f(x)) t u = grad f(x) u, und insbesondere ist genau dann u Kern f (x) wenn u senkrecht auf dem Gradienten grad f(x) steht. Haben wir gleich mehrere Funktionen f 1,..., f r : U R die alle in x differenzierbar sind, so liegt ein Vektor u R n genau dann im Kern aller f k (x) für alle 1 k r wenn er auf all diesen Gradienten senkrecht steht und dann steht u auch 7-6

7 auf allen Linearkombinationen dieser Gradienten senkrecht, also u r Kern f k(x) (1 k r) : u grad f k (x) u grad f 1 (x),..., grad f r (x). Nehme jetzt weiter an, dass die Gradienten grad f 1 (x),..., grad f r (x) linear unabhängig sind. Bilden wir dann die in x differenzierbare Funktion f := (f 1,..., f r ) : U R r, so sind die Gradienten grad f k (x) für 1 k r gerade die Zeilen der Jacobi-Matrix f (x), diese hat also linear unabhängige Zeilen und nach I. 1.Satz 3.(c) ist ihr Rang damit gleich r, also rang f (x) = r. Andererseits gilt für einen Vektor u R n stets also ist f (x)u = f 1(x)u. f r(x)u, r Kern f k(x) = Kern f (x). Anders gesagt ist dieser Durchschnitt genau der Lösungsraum des homogenen linearen Gleichungssystems f (x)u = 0, und dieser hat nach dem Hauptsatz über lineare Gleichungssysteme die Dimension ( r ) dim Kern f k(x) = dim Kern f (x) = n rang f (x) = n r. Damit haben wir alle nötigen Hilfsmittel beisammen um den Satz über den Tangentialraum zu beweisen. Wir formulieren den Satz für C 1 -Untermannigfaltigkeiten, da jede C q -Untermannigfaltigkeit mit q 1 insbesondere eine C 1 -Untermannigfaltigkeit ist, ist dies bereits der allgemeine Fall. Satz 3.4 (Hauptsatz über den Tangentialraum) Seien n, m N mit n, m 1, M R n eine m-dimensionale C 1 -Untermannigfaltigkeit des R n und x 0 M. (a) Die Menge T x0 M ist ein m-dimensionaler Untervektorraum des R n. (b) Sind ϕ : U M eine Parametrisierung von M definiert auf einer offenen Menge U R m und a U mit x 0 = ϕ(a), so ist eine Basis von T x0 M. ϕ ϕ (a),..., (a) x 1 x m 7-7

8 (c) Sind U R n eine offene Menge mit x 0 U und g 1,..., g n m : U R stetig differenzierbare Funktionen mit M U = {x U g 1 (x) = = g n m (x) = 0} für die die Vektoren grad g 1 (x),..., grad g n m (x) für jedes x M U linear unabhängig sind, so ist T x0 M = n m Kern g k(x 0 ). Beweis: Wir betrachten die beiden Untervektorräume ϕ ϕ V 1 := (a),..., (a), x 1 x m V := n m Kern g k(x 0 ) des R n. Da die Vektoren ϕ/ x i (a) für 1 i m nach Definition einer Parametrisierung linear unabhängig sind, bilden diese eine Basis von V 1 und damit ist insbesondere dim V 1 = m. Nach unserer obigen Bemerkung ist weiter auch dim V = n (n m) = m. Wir zeigen jetzt, dass die Inklusionen V 1 T x0 M V bestehen. Sei also v V 1, d.h. es existieren λ 1,..., λ m R mit v = m λ k ϕ x k (a). Wir setzen λ := (λ 1,..., λ m ) R m. Da die Menge U offen ist, existiert ein r > 0 mit B r (a) U und wir wählen weiter ein ɛ > 0 mit λ ɛ < r. Für jedes t R mit t < ɛ gilt dann (a 1 + λ 1 t,..., a m + λ m t) a = tλ = λ t < λ ɛ < r, also ist (a 1 + λ 1 t,..., a m + λ m t) B r (a) U. Wir erhalten die stetig differenzierbare Kurve γ : ( ɛ, ɛ) M; t ϕ(a 1 + λ 1 t,..., a m + λ m t) mit γ(0) = ϕ(a) = x 0 und γ(t) ϕ(u) M für alle t ( ɛ, ɛ). Als Ableitung in t = 0 ergibt sich nach der Kettenregel II. 8.Satz 17 der Vektor λ 1 γ (0) = ϕ m ϕ (a). = λ k (a) = v. x k λ m 7-8

9 Dies zeigt v T x0 M, und wir haben V 1 T x0 M eingesehen. Nun sei v T x0 M gegeben, d.h. es gibt ein offenes Intervall I R mit 0 I und eine stetig differenzierbare Kurve γ : I M mit γ(0) = x 0 und v = γ (0). Weiter existiert ein offenes Intervall J R mit 0 J I und γ(j) U. Sei 1 k n m. Dann ist für jedes t J stets γ(t) M U also g k (γ(t)) = 0. Es folgt wieder nach der Kettenregel g k(x 0 )v = g k(γ(0))γ (0) = (g k γ) (0) = 0, also v Kern g k (x 0). Dies zeigt v V und wir haben T x0 M V eingesehen. Insbesondere ist V 1 V mit dim V 1 = dim V, also gilt V 1 = V. Wegen V 1 T x0 M V = V 1 ist damit auch T x0 M = V 1 = V und alles ist bewiesen. Als ein Beispiel zu diesem Satz schauen wir uns einmal die Sphäre S n im R n+1 an. Mit der Funktion g : R n+1 R; x x 1 ist dann S n = {x R n+1 g(x) = 0}, und für jedes x S n gilt grad g(x) = x 0 also ist Teil (c) des Hauptsatzes anwendbar, und liefert für jedes x S n die Gleichung T x S n = Kern g (x) = {u R n+1 x u}, der Tangentialraum besteht hier also aus allen auf x senkrecht stehenden Vektoren. Dies ist auch das anschaulich erwartete Ergebnis. Wie schon angekündigt wollen wir den Tangentialraum verwenden um eine weitere Interpretation der Lagrange-Multiplikatoren zu erhalten. In Teil (b) des Hauptsatzes über die Lagrange-Multiplikatoren.Satz hatten wir eine offene Menge U R n und r stetig differenzierbare Funktionen g 1,..., g r : U R mit denen wir die Restriktionsmenge S := {x U g 1 (x) = = g r (x)} definiert hatten. Weiter haben wir eine stetig differenzierbare Funktion f : U R die in einem Punkt x 0 S ein lokales Extremum auf S hat und wir mussten voraussetzen das die Gradienten grad g 1 (x 0 ),..., grad g r (x 0 ) linear unabhängig sind. Wir behaupten das es dann sogar eine offene Menge V R n mit x 0 V U gibt so, dass grad g 1 (x),..., grad g r (x) sogar für alle x V linear unabhängig sind. Um dies einzusehen verwenden wir erneut die schon mehrfach benutze Tatsache das die Gradienten grad g 1 (x 0 ),..., grad g r (x 0 ) die Zeilen der Jacobi-Matrix g (x 0 ) für g := (g 1,..., g r ) sind, und dass diese Matrix damit nach I. 1.Satz 3.(c) den Rang r und somit auch r linear unabhängige Spalten hat. Nach eventueller Umbenennung der Koordinaten des R n können wir annehmen das die ersten r Spalten von g (x 0 ) linear unabhängig sind. Die stetige Abbildung g 1 g x 1 (x) 1 x r (x) h : U R r r ; x..... g r g x 1 (x) r x r (x) 7-9

10 erfüllt also nach I. 1.Satz 3.(c) die Bedingung h(x 0 ) GL r R da die Spalten dieser Matrix linear unabhängig sind. Nach 1.Lemma 4.(a) ist die Menge GL r R R r r offen in R r r, d.h. V := h 1 (GL r R) R n ist eine offene Menge mit x 0 V U. Für jedes x V sind dann die ersten r Spalten von g (x) linear unabhängig, und damit folgt wieder das die Zeilen von g (x), also die Gradienten grad g 1 (x),..., grad g r (x), linear unabhängig sind. Damit ist diese Zwischenbehauptung bewiesen und wir können jetzt Satz 1 anwenden und erhalten das S V eine Untermannigfaltigkeit des R n ist. In der Situation des Hauptsatzes über die Lagrange-Multiplikatoren betrachten wir also ein Optimierungsproblem restringiert auf eine Untermannigfaltigkeit. Wir können den Hauptsatz über Lagrange-Multiplikatoren also auch als einen Satz über lokale Extrema auf einer Untermannigfaltigkeit interpretieren, und in dieser Deutung nimmt er die folgende Form an. Satz 3.5 (Geometrische Interpretation der Lagrange-Multiplikatoren) Seien n, m N mit n, m 1 und sei M R n eine m-dimensionale C 1 -Untermannigfaltigkeit des R n. Weiter seien U R n offen und f : U R eine stetig differenzierbare Funktion. Die Funktion f U M habe in x 0 U M ein lokales Extremum auf M. Dann ist grad f(x 0 ) T x0 M. Beweis: Sei v T x0 M, d.h. es existieren ein offenes Intervall I R mit 0 I und eine stetig differenzierbare Kurve γ : I R n mit γ(0) = x 0, γ(i) M und γ (0) = v. Da f in x 0 ein lokales Extremum auf M U hat, gibt es ein ɛ > 0 mit f(x 0 ) f(x) für alle x M U mit x x 0 < ɛ oder f(x 0 ) f(x) für alle x M U mit x x 0 < ɛ. Da die Kurve γ insbesondere stetig ist, gibt es ein offenes Intervall J R mit 0 J, γ(j) U und γ(t) x 0 < ɛ für alle t J. Damit ist aber h := f γ : J R eine stetig differenzierbare Funktion und es gilt h(0) = f(x 0 ) f(γ(t)) = h(t) für alle t J oder h(0) = f(x 0 ) f(γ(t)) = h(t) für alle t J, d.h. h hat in t = 0 ein lokales Extremum. Mit I. 14.Lemma 8 folgt h (0) = 0 also ist nach der Kettenregel II. 8.Satz 17 0 = h (0) = f (x 0 )γ (0) = f (x 0 )v, und wie oben festgehalten besagt dies grad f(x 0 ) v. Damit steht grad f(x 0 ) auf jedem Tangentialvektor von M in x 0 senkrecht, und dies bedeutet grad f(x 0 ) T x0 M. Dieser Satz sieht zunächst völlig anders aus als unser.satz, er besagt aber genau dasselbe. Um dies einzusehen, setzen wir unsere obige Diskussion fort. Wenden wir dann Satz 4.(c) auf die Untermannigfaltigkeit S V an und setzen E := grad g 1 (x 0 ),..., grad g r (x 0 ), so ergibt sich r T x0 (S V ) = Kern g k(x 0 ) = {u R n u E}. Wir behaupten das hieraus grad f(x 0 ) E folgt. Hierzu beachte das wir den Gradienten grad f(x 0 ) R n nach II. 6.Satz 6 in einen Vektor aus E und einen auf E senkrechten 7-10

11 Vektor zerlegen können, d.h. es existieren u E und v R n mit grad f(x 0 ) = u + v und v E. Damit ist v T x0 (S V ) und nach Satz 5 ist grad f(x 0 ) v, also grad f(x 0 ) v = 0. Wegen u E ist auch u v = 0, d.h. wir haben 0 = grad f(x 0 ) v = u + v v = u v + v v = v, und es folgen v = 0 und grad f(x 0 ) = u E. Damit ist diese Behauptung bewiesen und somit gibt es λ 1,..., λ r R so, dass grad f(x 0 ) eine Linearkombination r grad f(x 0 ) = λ k grad g k (x 0 ) ist. Schreiben wir dies in Komponenten aus, so ergibt sich die vertraute Gleichung f r g k (x 0 ) = λ k (x 0 ) x i x i für alle 1 i n. Wir schließen dieses Kapitel jetzt mit einem letzten Beispiel ab. In unserer Definition einer Parametrisierung ϕ einer Untermannigfaltigkeit M R n hatten wir drei Forderungen an ϕ gestellt. Zwei davon ließen sich rechnerisch gut behandeln, aber die Bedingung (b), dass es also für jede offene Menge V im Definitionsbereich von ϕ stets eine offene Menge W R n mit ϕ(v ) = M W gibt, kann in konkreten Beispielen schnell unhandlich werden. In Lemma 3 hatten wir uns dann überlegt das man Bedingung (b) gar nicht überprüfen muss solange bereits bekannt ist, dass es sich bei M um eine Untermannigfaltigkeit handelt. Damit wird es dann naheliegend zu fragen, ob man die Offenheitsbedingung einer Parametrisierung nicht schon in der Definition von Untermannigfaltigkeiten weglassen kann? Leider ist das im Allgemeinen nicht möglich, und wir wollen hier ein Beispiel konstruieren das fast eine Untermannigfaltigkeit ist und nur Forderung (b) verletzt. Wir geben uns zwei reelle Zahlen R, r mit R > r > 0 vor. In der xz-ebene bilden wir dann den Kreis C mit Radius r und Mittelpunkt in (R, 0, 0), wegen R > r liegt dieser vollständig rechts von der z-achse. Dann lassen wir diesen Kreis um die z- Achse rotieren und bilden die Vereinigung aller dabei entstehenden Kreise. Diese Vereinigung T ist dann ein sogenannter Torus und in einer Übungsaufgabe wird gezeigt das es sich hierbei um eine zweidimensionale C -Untermannigfaltigkeit des R 3 handelt. Es ist auch leicht Parametrisierungen des Torus zz finden. Die Punkte auf dem Kreis C können wir als x = R + r cos ψ, y = 0, z = r sin ψ mit ψ R parametrisieren. Aus II. 7. wissen wir das die Drehung um die z-achse mit dem Winkel φ R durch die Matrix D(φ) = cos φ sin φ 0 sin φ cos φ

12 gegeben ist, die Punkte auf T haben also die Form R + r cos ψ ϕ(φ, ψ) := D(φ) 0 r sin ψ = cos φ (R + r cos ψ) sin φ (R + r cos ψ) r sin ψ für ϕ, ψ R. Wir wählen jetzt weiter eine irrationale Zahl α R\Q und bilden die Kurve f : R T ; φ ϕ(φ, α φ). Da α irrational ist schließt sich diese Kurve nicht, und man kann sich überlegen das ihr Bild M := f(r) T dicht in T liegt, dass also T = M ist. Die Menge M ist jetzt beinahe eine eindimensionale C -Untermannigfaltigkeit des R 3, denn f : R C ist bijektiv und es läßt sich auch nachrechnen das f (φ) 0 für jedes φ R gilt. Nur die Offenheitsbedingung ist verletzt. Da die Kurve C sich dicht um den Torus wickelt, schneidet C jede kleine offene Menge die T schneidet in unendlich vielen Intervallen. Dies wollen wir hier aber nicht mehr im Detail vorführen. 4 Das Riemann-Integral im R n Der Integralbegriff für Funktionen in mehreren Variablen bedarf keiner großen Motivation, er ist zeitgleich mit der Differentialrechnung geboren worden und wurde schon von Newton verwendet. Wir wollen hier einmal die heuristische Standardherleitung vorführen mit der mehrdimensionale Integrale ganz natürlich auftauchen. Konkret wollen wir die kontinuierliche Form des Gravitationsgesetzes herleiten. Wir beginnen mit zwei gegebenen Punktmassen, die eine im Punkt p R 3 der Masse M und die andere im Punkt q R 3 mit Masse m. Wir machen hier keine Physik, Punkte im Raum sind für uns der R 3, es werden keine Unterschiede zwischen Orts- und Richtungsvektoren gemacht, Einheiten werden ignoriert und so weiter. Das Gravitationsgesetz besagt das die Masse in p auf die Masse in q eine Kraft F in Richtung p q bewirkt, die proportional zum Produkt der beiden Massen ist und invers proportional zum Quadrat des Abstandes der beiden Punkte ist, d.h. mm F = γ p q p q p q = γ mm (p q), p q 3 wobei wir x für die euklidische Norm eines Vektors x R 3 schreiben, und γ eine Konstante ist, die sogenannte Gravitationskonstante. Solange die räumliche Struktur der wirklich betrachteten physikalischen Körper keine Rolle spielt, ist diese diskrete Form des Gravitationsgesetzes völlig ausreichend, man kann mit ihr zum Beispiel die Keplerschen Gesetze herleiten. Durch diese werden die Bahnen der meisten Planeten 7-1

13 in einer ersten Näherung vorhergesagt, hier nimmt man als den einen Massepunkt in p die Sonne und für den anderen in q den betrachteten Planeten. Man kann die Näherung dann verbessern indem auch noch die Anziehung der Planeten untereinander berücksichtigt wird. Dies wird dann schon etwas komplizierter, beispielsweise ist Laplace durch die Untersuchung der Bahnen des Systems aus Sonne, Jupiter und Saturn berühmt geworden. Aber selbst wenn man die Anziehung der Planeten untereinander einbezieht, reicht die obige Form des Gravitationsgesetzes nicht aus das Verhalten des Merkur vollständig zu erklären. Das liegt zum einen daran das hier bereits relativistische Effekte eine Rolle spielen, aber selbst wenn wir diese ignorieren könnten reicht das diskrete Gravitationsgesetz nicht mehr aus. Die Sonne ist keine perfekte Kugel, sondern an den Polen etwas eingedrückt, und dies führt dazu das es nicht mehr angemessen ist die Sonne als eine punktförmige Masse zu modellieren. Die auf den Merkur wirkende Anziehung hängt nicht nur vom Abstand der Schwerpunkte zueinander ab, da je nach Position des Merkurs unterschiedlich grosse Teile der Sonne unterschiedlich nahe zu ihm sind. Noch schlimmer wird die Lage wenn etwa die Bahnen von Satelliten um die Erde beschrieben werden sollen, hier macht sich die inhomogene Masseverteilung der Erde störend bemerkbar. Wir brauchen eine kontinuierliche Form des Gravitationsgesetzes, bei dem die Masse M nicht mehr als Punkt interpretiert wird sondern als eine Teilmenge P R 3. Die andere Masse m wollen wir uns dagegen weiter als Punktmasse denken, für das Merkur oder Satelliten Beispiel ist das auch angemessen. Zur Bestimmung der Gravitation in diesem Fall denken wir uns den Körper P in kleinere Teilkörper P 1,..., P n zerlegt, und für 1 i n bezeichne p i den Schwerpunkt von P i, M i die Masse von P i und V i das Volumen von P i, und weiter sei ϱ i := M i /V i die mittlere Dichte von P i. Ist P i ausreichend klein, so können wir uns dieses Stückchen als Punktmasse M i im Punkt p i denken, und die von diesem Teilstück auf m wirkende Kraft ist dann F i = γmm i / p i q 3 (p i q), also wird die gesamte Kraft F näherungsweise gleich n mm i n F γ p i q (p ϱ i 3 i q) = γm p i q (p 3 i q)v i i=1 Führen wir dann einen Grenzübergang n mit dabei immer kleiner werdenden Teilstücken P i durch, so sollte aus F ein Integral über P werden. Wir können auch sagen was der Integrand sein sollte. Betrachte einen Punkt x P und jeweils das Teilstück P i = P i,n mit x P i. Die Schwerpunkte p i sollten dann gegen x konvergieren, und die mittleren Dichten ϱ i gegen die Dichte ϱ(x) von P im Punkt x, als kontinuierliche Form des Gravitationsgesetzes ergibt sich also F = γm P i=1 ϱ(x) (x q) dx. x q 3 Genau dieses Integral ist tatsächlich das Urbeispiel eines mehrdimensionalen Integrals. Die von uns zu entwickelnde Integrationstheorie sollte eine exakte Definition dieses Integrals erlauben und, unter geeigneten Regularitätsannahmen, wirklich beweisen können 7-13

14 das die obigen Näherungen gegen das Integral konvergieren. Als Zugang zum Integralbegriff verwenden wir das sogenannte Riemann-Integral da dieses die obige Überlegung sehr direkt abbildet. 7-14