Komplexe Funktionen für Studierende der Ingenieurwissenschaften

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1 Fachbereich Mathematik der Universität Hamburg SoSe 018 Dr. K. Rothe Komplexe Funktionen für Studierende der Ingenieurwissenschaften Hörsaalübung mit Beispielaufgaben zu Blatt

2 komplexe Funktionen, K.Rothe, SoSe18, Hörsaalübung Beispielaufgaben 5-8) Elementare komplexe Funktionen: Mit z = x + iy = re iϕ und z 0 = x 0 + iy 0 = r 0 e iϕ 0, sowie f : C C erhält man Verschiebung um den Vektor x 0, y 0 ): fz) = z + z 0 = x + x 0 ) + iy + y 0 ) Drehung um den Winkel ϕ 0 und Streckung um den Faktor r 0 : fz) = z 0 z = r 0 r)e iϕ+ϕ 0) quadratische Funktion: Radius quadrieren und Winkel verdoppeln) fz) = z = re iϕ) = r e iϕ) Exponentialfunktion: fz) = e z = e x+iy = e x e iy = e x cos y + i sin y)

3 komplexe Funktionen, K.Rothe, SoSe18, Hörsaalübung Beispielaufgaben 5-8) 3 Aufgabe 5: a) Man bestimme das Bild von Q := {z C 0 Rez) 1, 0 Imz) 1} unter der durch fz) = iz + definierten Abbildung Bild 5.a.1) Q := {z C 0 Rez) 1, 0 Imz) 1} f als Hintereinanderausführung f = f 3 f f 1 mit f 1 z) = z, f u) = iu, f 3 v) = v +

4 komplexe Funktionen, K.Rothe, SoSe18, Hörsaalübung Beispielaufgaben 5-8) Bild 5.a.) f 1 Q)} Mit der Funktion f 1 z) = z werden die Ränder von Q folgendermaßen abgebildet: i) c 1 x) = x mit x [0, 1]: f 1 c 1 x)) = x, damit wird das Intervall [0, 1] in sich abgebildet. ii) c y) = 1 + iy mit y [0, 1] f 1 c y)) = 1 + iy) = 1 y + iy nach unten geöffnete Parabel bzgl. der y-achse) iii) c 3 x) = x + i mit x [0, 1] f 1 c 3 x)) = x + i) = x 1 + ix nach oben geöffnete Parabel bzgl. der y-achse) iv) c 4 y) = iy mit y [0, 1]: f 1 c 4 y)) = iy) = y, damit ist das Bild von c 4 das Intervall [ 1, 0].

5 komplexe Funktionen, K.Rothe, SoSe18, Hörsaalübung Beispielaufgaben 5-8) Bild 5.a.3) f f 1 Q))} Die Funktion f u) = iu bewirkt eine Drehung um den Winkel ϕ = π Bild 5.a.4) fq) = f 3 f f 1 Q)))} Die Funktion f 3 v) = v + bewirkt eine Verschiebung in Richtung der positiven x-achse um den Wert.

6 komplexe Funktionen, K.Rothe, SoSe18, Hörsaalübung Beispielaufgaben 5-8) 6 b) Gegeben seien z 1 = 3 + πi 4 und z = 1 πi. Man berechne expz 1 ), expz ) und expz 1 + z ) in kartesischen Koordinaten und bestätige an diesem Beispiel die Gültigkeit der Funktionalgleichung der e-funktion in C: expz 1 ) expz ) = expz 1 + z ). expz 1 ) = exp 3 + πi ) π ) π )) = e 3 cos + i sin = e3 + i e3 expz ) = exp 1 πi ) = e expz 1 + z ) = exp = e4 i e4 π ) π )) cos i sin = ie 4 πi ) π ) π )) = e 4 cos i sin Damit erhält man expz 1 ) expz ) = = e4 i e4 e 3 = expz 1 + z ). ) + i e3 ie)

7 komplexe Funktionen, K.Rothe, SoSe18, Hörsaalübung Beispielaufgaben 5-8) 7 Elementare komplexe Funktionen: Fortsetzung) Hauptwert der Wurzelfunktion Der Hauptwert der Umkehrfunktion zu fz) = z = w wird für w = re iϕ mit r > 0 und π < ϕ < π definiert durch f 1 w) = w := r 1/ e iϕ/. Hauptwert der Logarithmusfunktion Der Hauptwert der Umkehrfunktion zu fz) = e z = w wird für w = re iϕ mit r > 0 und π < ϕ = arg w < π definiert durch f 1 w) = ln w = ln w + i arg w. Joukowski-Funktion: fz) = 1 z + 1 ) z trigonometrische Funktionen: sin z := eiz e iz i, cos z := eiz + e iz, tan z := sin z cos z hyperbolische Funktionen: sinh z := ez e z, cosh z := ez + e z, tanh z := sinh z cosh z

8 komplexe Funktionen, K.Rothe, SoSe18, Hörsaalübung Beispielaufgaben 5-8) 8 Aufgabe 6: a) Für den Hauptwert des komplexen Logarithmus ln und z 1 = i, z = i berechne man falls dies möglich ist. lnz 1 ), lnz ) und lnz 1 z ), Der Hauptwert für ln z ist definiert für π < arg z < π durch ln z = ln z + i arg z. lnz 1 ) = ln i) = ln i + i arg i) = ln 1 iπ/ = iπ/ lnz ) = ln i) = ln i + i arg i) = ln iπ/ z 1 z = i i) = = e πi Damit liegt z 1 z nicht im Definitionsbereich des Hauptwertes und lnz 1 z ) = ln ) kann im Komplexen wie im Reellen nicht berechnet werden.

9 komplexe Funktionen, K.Rothe, SoSe18, Hörsaalübung Beispielaufgaben 5-8) 9 b) Die sin-funktion wird im Komplexen definiert durch sin z = 1 i e iz e iz). Man berechne Real- und Imaginärteil von sin z und bestimme alle Lösungen von sin z =. Mit z = x + iy gilt: sin z = 1 i e iz e iz) = i e y+ix e y ix) = 1 = 1 ie y cos x + i sin x) + ie y cos x i sin x) ) sin xe y + e y ) + i cos x e y + e y ) ) = sin x cosh y + i cos x sinh y = sin z = sin x cosh y + i cos x sinh y cos x sinh y = 0 1. Fall: sinh y = 0 y = 0 sin x cosh 0 = sin x = besitzt keine Lösung..Fall: cos x = 0 x = π + kπ, k Z π ) sin + kπ cosh y = 1) k cosh y = cosh y = und k = n y = ±arcosh z n = π + nπ ± iarcosh, n Z

10 komplexe Funktionen, K.Rothe, SoSe18, Hörsaalübung Beispielaufgaben 5-8) 10 Aufgabe 7: Gegeben sei die Joukowski-Funktion w = fz) := 1 z ). z a) Man bestimme folgende Bilder unter f i) der Kreise z = 3 Polardarstellung z = 3e iϕ, 0 ϕ < π fz) = 1 3e iϕ ) 3e iϕ = 1 eiϕ +e iϕ ) = cos ϕ [ 1, 1]. ii) der Halbstrahl Rez) = Imz) > 0, Polardarstellung z = re iπ/4, 0 < r < fz) = 1 re iπ/4 + 3 ) 3 re iπ/4 = 1 r 3 cos π/4 + i sin π/4) + 3 ) cos π/4 i sin π/4) r r = ) r cos π/4 +i r 6 3 ) sin π/4. r }{{}}{{} =u =v

11 komplexe Funktionen, K.Rothe, SoSe18, Hörsaalübung Beispielaufgaben 5-8) 11 u = Ref) und v = Imf) erfüllen die Hyperbelgleichung u cos π/4 v r sin π/4 = ) r r 6 3 ) = 1. r Bild 7 a)ii): Mathematica Plot-Befehl Hyperbel ParametricPlot[{Sqrt[] Cosh[t]/, Sqrt[] Sinh[t]/}, {t, -.1,.1}, AxesLabel -> {"Re", "Im"}, PlotRange -> {-3, 3}] Mit cosht) = r ) r, sinht) = entspricht der Radius r = 3 dem Wert t = 0. r 6 3 ) r iii) Halbstrahl Rez) = 0, Imz) > 0. Die Polardarstellung z = re iπ/ = ir, 0 < r < des Halbstrahls führt im Bild auf die imaginäre Achse: fz) = 1 ir ) ir r = i 6 3 ) r }{{} =t mit t IR.

12 komplexe Funktionen, K.Rothe, SoSe18, Hörsaalübung Beispielaufgaben 5-8) 1 b) Man berechne die Umkehrfunktion z = f 1 w) für z > 3. Die Umkehrfunktion von f ergibt sich durch Auflösen von w = fz) nach z: w = 1 z ) z 6wz = z + 9 z 6wz+9 = z 3w) 9w +9 = 0 z 3w) = 9w 1) z = f 1 w) = 3w + w 1) Für w 1 ist dabei der Zweig zu wählen, für den z > 3 gilt.

13 komplexe Funktionen, K.Rothe, SoSe18, Hörsaalübung Beispielaufgaben 5-8) 13 Aufgabe 8: Gegeben sei die Inversion w = fz) := 1 z, z 0. Die Umkehrabbildung der Inversion w = fz) = 1 z lautet z = f 1 w) = 1 w, wobei z 0 und w 0. a) Man bestimme das Bild der Geraden Rez) = 1 1 = Rez) = 1 z + z) = 1 1 w + 1 w ) w w + w + w = = w w + 1 w + 1 w w + 1 ) w + 1 ) = 1 4 w + 1 = 1 Bild von Rez) = 1: Kreis um w 0 = 1 mit Radius r = 1.

14 komplexe Funktionen, K.Rothe, SoSe18, Hörsaalübung Beispielaufgaben 5-8) 14 b) Man bestimme das Bild des Strahls Imz) > 0 Rez) = 0 Imz) > 0 Rez) = 0 z = iy und y > 0 w = 1 z = 1 iy = i y Der Strahl wird auf den Strahl Imz) < 0 Rez) = 0 abgebildet und umgekehrt durchlaufen. c) Man bestimme das Bild des Kreises z = 4 4 = z = 1 w w = 1 4 Der Ursprungskreis vom Radius 4 wird in den Ursprungskreis vom Radius 1 4 abgebildet.

15 komplexe Funktionen, K.Rothe, SoSe18, Hörsaalübung Beispielaufgaben 5-8) 15 d) Man bestimme das Bild des Kreises z 1 = 1 z 1 = 1 1 = z z z z + 1 = 1 w 1 w 1 w 1 w + 1 w + w = 1 Rew) = 1 Das Bild des Kreises ist die Gerade Rew) = 1. e) Man bestimme das Bild des Kreises z 1 = 3 z 1 = 3 9 = z z z z + 1 = 1 w 1 w 1 w 1 w + 1 w w w w = = 9 64 w = 3 8. Das Bild des Kreises ist der Kreis um w 0 = 1 8 mit Radius r = 3 8.