Blatt 06.6: Krummlinige Integration, Matrizen I

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1 Fakultät für Physik R: Rechenmethoden für Physiker, WiSe 5/6 Doent: Jan von Delft Übungen: Benedikt Bruognolo, Dennis Schimmel, Frauke Schwar, Lukas Weidinger Blatt 6.6: Krummlinige Integration, Matrien I Ausgabe: Freitag,..5 Abgabe: Freitag, 7..5, 3: Zentralübung:..5 [](E/M/A) bedeutet: Aufgabe ählt Punkte und ist einfach/mittelschwer/anspruchsvoll Beispielaufgabe : Eponentielle Integrale der Form d n e a [] Punkte: (a)[](m); (b)[](m) Berechnen Sie das Integral I n (a) = d n e a (mit a R, a >, n N) auf wei verschiedene Weisen: (a) durch mehrfache partielle Integration, und (b) durch mehrfaches Ableiten: (a) Berechnen Sie I, I und I, wo nötig mittels partieller Integration. Zeigen Sie dann mittels partieller Integration, dass I n (a) = n a I n (a) für alle n gilt. Nuten Sie diese Beiehung iterativ, um I n (a) als Funktion von a und n u bestimmen. (b) Zeigen Sie durch n-faches Ableiten des Integrals I (a) nach a, dass I n (a) = ( ) n d n I (a) da n. Berechnen Sie dann diese Ableitungen für einige kleine n-werte. Folgern Sie aus dem sich ergebenen Muster eine allgemeine Formel für I n (a). Beispielaufgabe : Elliptische Polarkoordinaten: Fläche einer Ellipse [] Punkte: (a)[](m); (b)[](e) (a) f : R R sei eine Funktion, die von den Koordinaten und y nur in der Kombination (/a) + (y/b) abhängt. Zeigen Sie, dass sich ein wei-dimensionales Flächenintegral von f über R wie folgt schreiben lässt, ˆ I = ddy f ( (/a) + (y/b) ) ˆ = πab dµ µ f(µ), R mittels einer Transformation von kartesischen u elliptische Polarkoordinaten, definiert durch: = µa cos φ, y = µb sin φ, µ = (/a) + (y/b), φ = arctan(ay/b). Hinweis: Für a = b = entsprechen sie Polarkoordinaten. Für a b ist die lokale Basis nicht orthogonal! (b) Berechnen Sie, durch geeignete Wahl der Funktion f, die Fläche einer Ellipse mit Halbachsen a und b, definiert durch (/a) + (y/b).

2 Beispielaufgabe 3: Jacobi-Determinante für Zylinderkoordinaten [] Punkte: [](E) Berechnen Sie die Jacobi-Determinante (,, 3 ) (ρ,φ,) für die Transformation von kartesischen u Zylinderkoordinaten. Beispielaufgabe 4: Volumen und Trägheitsmoment eines Kegelstumpfs [] Punkte: (a)[](e); (b)[](e) Das Trägheitsmoment eines starren Körpers beüglich einer Drehachse ist definiert als I = V dv ρ (r)d (r), wobei ρ (r) die Dichte am Punkt r ist, und d (r) der senkrechte Abstand von r ur Drehachse. K = {r R 3 H H, + y a} sei ein homogener, auf der -Achse entrierten Kegelstumpf. Berechnen Sie in Zylinderkoordinaten (a) sein Volumen V K (a), und (b) sein Trägheitsmoment I K (a) beüglich der -Achse, als Funktionen des dimensionslosen, positiven Skalenfaktors a, des Längenparameters H, und der Masse M des Kegelstumpfs. [Kontrollergebnisse: V K (3) = πh 3, I K () = 93π 7 MH.] Beispielaufgabe 5: Volumen einer Boje [] Punkte: (a)[](e); (b)[](m) Betrachten Sie eine Boje, mit Spite am Ursprung, die von oben begrent wird durch eine am Ursprung entrierte Kugel, mit + y + R, und von unten durch einen Kegel, mit Spite am Ursprung, mit a ( + y ). (a) Zeigen Sie, dass der halbe Öffnungswinkel des Kegels durch θ = arctan(/a) gegeben ist. (b) Berechnen Sie mittels Kugelkoordinaten das Volumen V (R, a) der Boje als Funktion von R and a. [Kontrollergebnis: V (, 3) = (6π/3)( 3/).] e H θ H R Beispielaufgabe 6: Wellenfunktionen des -dimensionalen harmonischen Osillators [4] Punkte: (a)[,5](e); (b)[,5](e); (c)[3](m) Die quantenmechanische Behandlung eines wei-dimensionalen harmonischen Osillators führt u sogenannten Wellenfunktionen, Ψ nm : R C, r Ψ nm (r), mit n N, m Z, m = n, n +,..., n, n, die in Polarkoordinaten die faktorisierte Form Ψ nm (r) = R n m (ρ)z m (φ) haben, mit Z m (φ) = π e imφ. Diese Wellenfunktionen erfüllen folgende Orthonormalitätsrelation : O mm nn ˆR da Ψ nm (r)ψ n m (r) = δ nn δ mm. Verifiieren Sie diese für n =, und, wobei die radialen Wellenfunktionen wie folgt lauten: R (ρ) = e ρ /, R (ρ) = ρe ρ /, R (ρ) = ρ e ρ /, R (ρ) = [ρ ]e ρ /. Gehen Sie dau wie folgt vor. Aufgrund der Produktform der Wellenfunktionen Ψ erfällt jedes Flächenintegral in wei Faktoren die getrennt berechnet werden können, Onn mm = P m m mm nn P, wobei P ein radiales Integral und P ein Winkelintegral darstellt.

3 (a) Wie lauten die allgemeinen Formen von P und P, als Integrale über R- bw. Z-Funktionen? (b) Berechnen Sie das Winkelintegral P mm für beliebige Werte von m und m. (c) Berechnen Sie nun diejenigen radialen Integrale, die in Kombination mit P auftreten, nämlich P, P, P, P und P. Hinweis: Die Euler-Identität, e iπk = falls k Z, ist hilfreich bei der Auswertung des Winkelintegrals, und d n e = n! für die radialen Integrale. Hintergrundinformation: Die Funktionen Ψ nm (r) sind die Eigenfunktionen eines quantenmechanischen Teilchens in einem wei-dimensionalen quadratischen Potential, V (r) r, wobei n und m Quantenahlen sind, die einen bestimmten Eigenustand speifiieren. Ein Teilchen, dass sich in diesem Eigenustand befindet, wird mit Wahrscheinlichkeit Ψ nm (r) da im Flächenelement da am Ort r angetroffen. Die Gesamtwahrscheinlichkeit, das Teilchen irgendwo in R anutreffen, ist gleich, deswegen liefert das Normierungsintegral Onn mm = für jede Eigenfunktion Ψ nm (r). Dass das Flächenintegral weier Eigenfunktionen verschwindet falls ihre Quantenahlen nicht gleich sind, ist eine Konsequen der Tatsache, dass die Eigenfunktionen eine orthonormale Basis im Raum der quadratintegrablen kompleen Funktionen auf R bilden. Beispielaufgabe 7: Matrimultiplikation [] Punkte: [](E) Berechnen Sie alle möglichen Produkte von wei der folgenden Matrien: ( ) ( 3 ) 4 3 P =, Q = 5, R = 4 6 ( 3 6 ). Beispielaufgabe 8: Spin- Matrien [3] Punkte: (a)[,5](e); (b)[,5](e); (c)[](e) Zur Beschreibung quantenmechanischer Teilchen mit Spin werden folgende Matrien benutt: ( ) ( ) ( ) S =, S y = i, S i =. (a) Berechnen Sie S = S + S y + S. (b) Berechnen Sie die Kommutatoren [S, S y ], [S y, S ] und [S, S ], und drücken Sie jedes Ergebnis wieder durch eine der oben angegebenen Matrien aus. Hinweis: [A, B] = AB BA. (c) Die Ergebnisse aus (b) lassen sich kompakt usammenfassen durch eine Gleichung der Form [S i, S j ] = a ijk S k für {i, j, k} {, y, } (mit Summation über k). Wie lautet der Tensor a ijk? Beispielaufgabe 9: Matrimultiplikation [] Punkte: (a)[](m); (b)[](m) A und B seien N N-Matrien mit Matrielementen a i j = A j δ i m und b i j = B i δ i j. Anmerkung: da die Indies i und j links vorgegeben sind, wird rechts nicht über sie summiert, obwohl bei b i j der Inde i rechts doppelt vorkommt. (a) Geben Sie für N = 3 und m = diese Matrien epliit in der üblichen Matridarstellung an, und berechnen Sie das Matriprodukt AB epliit. 3

4 (b) Berechnen Sie jett das Produkt AB für allgemeine N N und m N. [Gesamtpunktahl Beispielaufgaben: ] Hausaufgabe : Gauß-Integrale [5] Punkte: (a)[](m); (b)[](m); (c)[](m); (d)[](m); (e)[](m) (a) Zeigen Sie, dass das weidimensionale Gauß-Integral I = ddy +y ) e ( den Wert I = π hat. Hinweis: nuten Sie Polarkoordinaten; das radiale Integral lässt sich mittels Substitution lösen. (b) Berechnen Sie nun das eindimensionalen Gauß-Integral I (a) = d e a (hier Folgenden sei a R, a > ). Hinweis: I = [I ()]. Erklären Sie, warum! und im Bestimmen Sie den Wert des n -Gauß-Integrals, I n (a) = d n e a (mit a R, a >, n N), auf wei verschiedene Weisen: (c) durch mehrfache partielle Integration, und (d) durch mehrfaches Ableiten: (c) Berechnen Sie I, I und I, wo nötig mittels partieller Integration. Zeigen Sie dann mittels partieller Integration, dass I n (a) = n I a n (a) für alle n gilt. Nuten Sie diese Beiehung iterativ, um I n (a) als Funktion von a und n u bestimmen. (d) Zeigen Sie durch n-faches Ableiten des Integrals I (a) nach a, dass I n (a) = ( ) n d n I (a) da n ; berechnen Sie dann diese Ableitungen für einige kleine n-werte. Folgern Sie aus dem sich ergebenen Muster eine allgemeine Formel für I n (a). (e) Berechnen Sie das eindimensionale Gauß-Integral mit linearem Term im Eponenten: I (a, b) = d e a +b (mit a, b R, a > ). Hinweis: Nuten Sie quadratische Ergänung: Eponenten in die Form a + b = a( C) + D schreiben, dann = C substitutieren. Hausaufgabe : Volumenberechnungen mit elliptischen Polarkoordinaten [] Punkte: (a)[](m); (b)[](m); (c)[](a,bonus) Nuten Sie im Folgenden elliptische Koordinaten in wei Dimensionen, definiert durch = µa cos φ, y = µb sin φ, mit a, b R, a > b >. Berechnen Sie das Volumen V (a, b, c) folgender Körper Z, E und K, als Funktion der Längenparameter a, b und c. (a) Z ist ein Zelt mit ellipsförmigem Boden, mit Halbachsen a und b. Sein Dach wird durch die Höhenfunktion h Z (, y) = c [ (/a) (y/b) ] c beschrieben. b (b) E ist eine Ellipsoide mit Halbachsen a, b und c, definiert durch (/a) + (y/b) + (/c). (c) K ist ein Kegel mit Höhe c und ellipsförmiger Basis, mit Halbachsen a und b. Alle Querschnitte parallel ur Basis sind ebenfalls ellipsförmig. Hinweis: Ergänen Sie die elliptischen Koordinaten um eine weitere Koordinate, (analog um Übergang von Polar- u Zylinderkoordinaten). a c a b y y 4

5 [Kontrollergebnisse für a = /π, b =, c = 3: (a) V Z = 3, (b) V E = 8, (c) V K =.] Hausaufgabe 3: Jacobi-Determinante für Kugelkoordinaten [] Punkte: [](E) Berechnen Sie die Jacobi-Determinante (,, 3 ) (r,θ,φ) für die Transformation von kartesischen u Kugelkoordinaten. Hausaufgabe 4: Volumen und Trägheitsmoment: Zylinderkoordinaten [3] Punkte: (a)[](m); (b)[](m); (c)[](a,bonus) Betrachten Sie die unten beschriebenen homogenen, starren Körper Z, P und S, alle mit Dichte ρ. Berechnen Sie mittels Zylinderkoordinaten für jeden das Volumen V (a) und das Trägheitsmoment I(a) = ρ V dv d beüglich der Symmetrieachse, als Funktionen des dimensionslosen, positiven Skalenfaktors a, des Längenparameters R, und der Masse des Körpers, M. (a) Z ist ein Hohlylinder mit innerem Radius R, äußerem Radius ar, und Höhe R. [Kontrollergebnisse: V Z () = 6πR 3, I Z () = 5 6 MR.] (b) P ist ein Paraboloid mit Höhe h = ar und Krümmung /R, definiert durch P = {r R 3 h, ( + y )/R } [Kontrollergebnisse: V P () = πr 3, I P () = 3 MR.] (c) S ist die Schüssel, die entsteht, wenn aus der Kugel K = {r R 3 + y + ( ar) a R }, mit Radius ar und entriert am Punkt P : (,, ar) T, ein Kegel K = {r R 3 ( + y ) (a ) P, a }, mit Spite am Ursprung und( symmetrisch um die -Achse, ausgestant wird. [Kontrollergebnisse: V 4 ( S 3) = 6 9 πr3, I 4 ) S 3 = 4 5 MR. Was erhalten Sie für a =? Warum?] Hinweis: Finden Sie unächst für gegebenes die radialen Integrationsgrenen, ρ () ρ ρ (), dann die -Integrationsgrenen, m. Wie lautet der maimale -Wert, m? h Hausaufgabe 5: Volumenintegral über Viertelkugel [] Punkte: [](M) Berechnen Sie mittels Kugelkoordinaten das Volumenintegral F (R) = dv f(r) der Funktion K f(r) = y über die Viertelkugel K, definiert durch + y + R und, y. Skiieren Sie K. [Kontrollergebnis: F () = 64.] 5 Hausaufgabe 6: Wellenfunktionen des Wasserstoffatoms [4] Punkte: [](M); (b)[](m); (c)[](m,bonus) Zeigen Sie, dass das Volumenintegral P nlm = R dv Ψ 3 nlm (r) für folgende Funktionen Ψ nlm (r) = R nl (r)yl m (θ, φ), mit Kugelkoordinaten r = r(r, θ, φ), den Wert P nlm = liefert: (a) Ψ (r) = R (r)y (θ, φ), R (r) = re r/ 4, Y (θ, φ) = ( 3 4π) / cos θ (b) Ψ 3 (r) = R 3 (r)y (θ, φ), R 3 (r) = 4 r e r/3 8 3, Y (θ, φ) = ( 5 / 6π) (3 cos θ ) (c) Zeigen Sie, dass das sogenannte Überlapintegral O = R dv Ψ 3 3 (r)ψ (r) gleich ist. 5

6 Hinweis: In = d n e = n!. Hintergrundinformation: Die Ψnlm (r) sind quantenmechanische Eigenfunktionen des Wasserstoffatoms; n, l und m sind Quantenahlen, die den Quantenustand speifiieren. Ein Teilchen, dass sich in diesem Zustand befindet, wird mit Wahrscheinlichkeit Ψnlm (r) dv im Volumenelement dv am Ort r angetroffen. Die Gesamtwahrscheinlichkeit, das Teilchen irgendwo in 3 anutreffen, ist gleich, deswegen gilt Pnlm = fu r jede Eigenfunktion Ψnlm (r). Die Figuren eigen jeweils eine Fla che, auf der Ψnlm einen konstanten Wert hat. Die Eigenfunktionen bilden eine orthonormale Basis im Raum der quadratintegrablen kompleen Funktionen auf 3, folglich verschwindet das Volumenintegral weier Eigenfunktionen falls ihre Quantenahlen nicht gleich sind. R R Hausaufgabe 7: Matrimultiplikation [] Punkte: [](M) Berechnen Sie alle mo glichen Produkte von wei der folgenden Matrien: P = 3 3 7, Q =, R = Hausaufgabe 8: Spin- Matrien [] Punkte: (a)[,5](e); (b)[,5](e) Zur Beschreibung quantenmechanischer Teilchen mit Spin werden folgende Matrien benutt: i Sy = i i, S =. S =, i (a) Berechnen Sie S = S + Sy + S. (b) Berechnen Sie die Kommutatoren [S, Sy ], [Sy, S ] und [S, S ], und dru cken Sie jedes Ergebnis wieder durch eine der oben angegebenen Matrien aus. Hinweis: [A, B] = AB BA. Hausaufgabe 9: Matrimultiplikation [] Punkte: (a)[.5](e); (b)[.5](e) A und B seien N N -Matrien mit Matrielementen aij = Ai δ in + j und bij = Bi δ ij. Hinweis: da die Indies i und j links vorgegeben sind, wird rechts nicht u ber sie summiert, obwohl bei bij der Inde i rechts doppelt vorkommt. (a) Geben Sie fu r N = 3 diese Matrien epliit in der u blichen Matridarstellung an, und berechnen Sie das Matriprodukt AB epliit. (b) Berechnen Sie das Produkt AB fu r allgemeine N N. [Gesamtpunktahl Hausaufgaben: ] 6