Mathematik 2. B.Grabowski. 17. Mai (C) Prof.Dr.B.Grabowski, HTW des Saarlandes, 5/2007, Internes Papier zur Veranstaltung

Transkript

1 Mathematik 2 1 B.Grabowski 17. Mai (C) Prof.Dr.B.Grabowski, HTW des Saarlandes, 5/2007, Internes Papier zur Veranstaltung Mathematik 2.

2 Zusammenfassung Das vorliegende Papier umfasst den Inhalt der Vorlesung Mathematik 2 für Ingenieure und gibt Hinweise zu weiterführender Literatur. Wir verweisen auch auf die übliche Mathematik-Standard-Literatur, z.b. [Pap01]. Zur Ergänzung der im Skript enthaltenen Übungsaufgaben, d.h. zum weiteren Üben und zum Durchführen von Selbst-Kontrollen (Klausuren) verweisen wir auf unseren E- learning-turor MathCoach.

3 Inhaltsverzeichnis 1 Reellwertige Funktionen in einer Veränderlichen Abbildungen und Funktionen Darstellungsformen von Abbildungen Eindeutigkeits-Eigenschaften von Funktionen und Umkehrfunktionen Injektiv, Surjektiv und Bijektiv Umkehrfunktionen Allgemeine Eigenschaften von Funktionen Symmetrie Monotonie Periodizität Beschränkheit Nullstelle einer Funktion Koordinatentransformationen Parallelverschiebung Drehung Elementare Funktionen Ganzrationale Polynome Gebrochen rationale Polynome Algebraische Funktionen Exponentialfunktionen Logarithmus-Funktionen Trigonometrische Funktionen Arcus-Funktionen Hyperbel-Funktionen Area-Funktionen Lösungen der Übungsaufgaben in Kapitel

4 Kapitel 1 Reellwertige Funktionen in einer Veränderlichen In diesem Kapitel beschäftigen wir uns mit allgemeinen grundlegenden Eigenschaften von reellwertigen Funktionen in einer Veränderlichen. Ergänzend verweisen wir auf das Lehrbuch [Pap01]. Zum zusätzlichen interaktiven Rechner- (web-)basierten Üben und zur Klausurvorbereitung verweisen wir auf unseren E-learning-Turor MathCoach. 1.1 Abbildungen und Funktionen Häug muss man Zusammenhänge zwischen 2 Gröÿen x und y beschreiben. Das geschieht durch eine Vorschrift f, die festlegt, welchem x-wert welcher y-wert zugeordnet wird. Beispiel 1: Parabel: y = x 2 oder f(x) = x 2 oder f : x x 2, für x R. Beispiel 2: Beschreibung des Weges s in Abhängigkeit von der Zeit t (y=s, x=t): s(t) = 1 2 gt2 + s 0, für t R 0. Denition Unter einer Abbildung verstehen wir ein Tripel (D, f, B), wobei gilt: f ist die Funktionsvorschrift, die beschreibt, wie jedem x D ein y B zugeordnet wird. Wird durch f jedem x D genau ein y B zugeordnet, so bezeichnen wir f 2

5 Kap.1 Reellwertige Funktionen in einer Veränderlichen 3 auch als Funktion. x wird als unabhängige Variable und y als abhängige Variable bezeichnet. D R ist die Menge aller x-werte, für die die Abbildung erklärt ist und wird als Denitionsbereich bezeichnet. B R ist der Bildbereich, d.h. die Menge von y-werten. Er umfasst mindestens den sogenannten Wertebereich W, wobei W gleich der Menge aller y- Werte ist, die auch tatsächlich durch f(x) angenommen werden, d.h. es ist W = {y R x D mit f(x) = y}. Schreibweisen: (D, f, B) oder y = f(x), x D, y B oder f : x D y = f(x) B. Bemerkung: Wird der Denitionsbereich D bzw. Bildbereich B nicht angegeben, so ist D = R. bzw. B = R. Beispiele: (1) f(x) = x 2, x R. (Hier sind D = R, B = R, W = R 0 ). (2) f(x) = x 2, x [ 2, 2]. (Hier sind D = [ 2, 2], B = R, W = [0, 4]). (3) f : x R y = x 2 R. (Hier sind D = R, B = R, W = R 0 ). (4) y 2 = x, x [0, 4]. (Hier sind D = [0, 4], B = R, W = [ 2, 2]). Die Abbildungen (1), (2) und (3) sind Funktionen und (4) ist keine Funktion, siehe auch folgende Graken für (2) und (4) in Abbildung 1.1. Abbildung 1.1: Funktion und Abbildung

6 Kap.1 Reellwertige Funktionen in einer Veränderlichen 4 Bemerkungen: Da der Wertebereich unserer Funktionen/Abbildungen aus reellen Zahlen besteht, spricht mann auch von reellwertigen Funktionen/Abbildungen im Unterschied z.b. zu komplexwertigen Funktionen. Ist bei Funktionen nur eine unabhängige Variable im Spiel, so spricht man von einer Funktion in einer Veränderlichen, ansonsten von einer Funktion in mehreren Veränderlichen. Beispiel einer Funktion in 2 Veränderlichen: f(x, y) = x 2 + y 2, (x, y) D R 2. Wir beschäftigen uns in diesem Kapitel nur mit Funktionen in einer Veränderlichen. Übungsaufgaben Aufgabe 1.1 (Lösung: Seite 29) Welche der folgenden Tripel sind Funktionen: a) D = R, B = R, f : x x 2 b) D = R 0, B = D, f : x x c) D = R, B = R, f : x { x2 für x 0 e x für x 0 d) D = R\{0}, f(x) = 1 x 0 e) D = [0, 1], B = {0, 1}, f(x) = { wenn x rational 1 wenn x irrational f) D = N, B = P, f(x) = x 2 x + 41, wobei gilt: N ={0,1,2,...}, P=Menge aller Primzahlen ={2,3,5,7,11,13,17,...} Aufgabe 1.2 Geben Sie für folgende Abbildungen jeweils den Wertebereich W an! c) D = R, B = R, f : x sin(x 2 ) + 2 b) D = R\{0}, B = R, f : x sin(x)/x c) D = R, B = R, f : x { x2 für x 0 e x für x>0 d) D = R\{0}, f(x) = 1 x 1.2 Darstellungsformen von Abbildungen 1. Explizite Darstellung y = f(x) Explizite Darstellungen werden angewendet, wenn es sich um eindeutige Abbildungen, also Funktionen handelt. Beispiele: y = cos(x), x R; f(x) = ln(x), x > 0; f : x 0 wenn x 0 x 2 + 1, x R; f(x) = 1 wenn 0 < x 2, x R. 2 wenn x > 2

7 Kap.1 Reellwertige Funktionen in einer Veränderlichen 5 2. Implizite Darstellung Nicht eindeutige Abbildungen stellt man i.a. implizit dar, d.h., der Zusammenhang zwischen x und y wird durch eine Gleichung der Form F (x, y) = 0 beschrieben. Ist dieser Zusammenhang nicht eindeutig, so lässt er sich oft nicht mehr nach y umstellen, also explizit formulieren. Beispiele: x 2 + y 2 r 2 = 0, x [0, r]; x 3y = 0, x > Parameterische Darstellung Häug wird in Physik und Technik, sowie in der Computergrak die Parameterdarstellung für Kurven verwendet, bei der der Zusammenhang zwischen x und y durch einen reellen Parameter t I R beschrieben wird: ( ) x(t) x = x(t), y = y(t), t I R bzw. r(t) =, t I. y(t) Diese Darstellung nennt man Parameterdarstellung (siehe Abbildung 1.2). t kann z.b. als Zeit oder als Winkel aufgefasst werden. Abbildung 1.2: Parameterdarstellung einer Kurve Beispiele (1) Kreis mit Radius r: r(t) = ( ) ( x(t) y(t) = rcos(2πt) rsin(2πt)), t [0, 2π]. (2) Gerade in der Ebene: r(t) = ( ( x(t) y(t)) = 1 ( 1) + t 2 1), t I = R. (3) Funktion y = f(x), x D : x(t) = t, y(t) = f(t), t D.

8 Kap.1 Reellwertige Funktionen in einer Veränderlichen 6 (4) Schiefer Wurf: Ein Körper wird vom Boden aus mit der Anfangsgeschwindigkeit v o und mit dem Abwurfwinkel α o in die Höhe geworfen (siehe Abbildung 1.3). Die Luftwiederstandskraft soll vernachlässigt werden. In waagerechter Richtung (x-richtung) bewegt sich der Körper dann mit konstanter Geschwindigkeit v o = v o cos(α o ) und in senkrechter Richtung (y-richtung) erfolgt eine gleichförmig beschleunigte Bewegung. D.h. der schiefe Wurf kann wie folgt parametrisch dargestellt werden: x(t) = v o tcos(α o ), y(t) = v o tsin(α o ) g 2 t2, t 0, (g ist die Erdbeschleunigung). Abbildung 1.3: Schiefer Wurf (5) Zykloide: Eine gewöhnliche Zykloide entsteht, wenn ein Kreis auf einer Geraden abrollt und wir die Bewegung eines Punktes auf dem Kreis beschreiben. Z.B. bewegt sich ein Punkt auf einem Reifen eines fahrenden Fahrrades (z.b. das Ventil) auf einer gewöhnlichen Zykloide. Abbildung 1.4: Gewöhnliche Zykloide

9 Kap.1 Reellwertige Funktionen in einer Veränderlichen 7 Diese Zykloide kann wie folgt parametrisch beschrieben werden: x(t) = r(t sin(t)), y(t) = r(1 cos(t)), t [0, 2π], wobei r den Radius des Kreises und t den Parameter ('Wälzwinkel') bezeichnet. Bemerkung: Kurven bzw. Abbildungen in Parameterdarstellung können manchmal in explizite Form umgewandelt werden. Dazu stellt man die Variable x(t) nach t um und setzt dieses t in y(t) ein. Beispiel: Gegeben sei folgende Abbildung in Parameterform: x(t) = 1 + 2t, y(t) = 1 + t, t [a, b] R. Stellen wir x(t)=x nach t um, so ergibt sich: t = x 1 2. Setzen wir dieses t in y(t) ein, so erhalten wir: y(t) = 1 + t = 1 + x x In expliziter Form lautet also die Abbildung: y = 1 2 x + 1, x [1 + 2a, 1 + 2b]. 2 2 = 4. Darstellung in Polarkoordinaten Zur mathematischen Beschreibung und graschen Darstellung auf dem Computer von geometrischer Figuren, wie Kreisen, Spiralen eignet sich besonders die folgende Darstellung. Hier wird ein Punkt (x,y) der Abbildung f in Polarkoordinaten dargestellt: x(r, φ) = r cos(φ), y(r, φ) = r sin(φ). Der Abbildungs-Zusammenhang zwischen x und y wird dann als Zusammenhang zwischen r und φ also z.b. durch r = r(φ), φ D φ dargestellt, siehe Abbildung 1.5).

10 Kap.1 Reellwertige Funktionen in einer Veränderlichen 8 Abbildung 1.5: Darstellung einer Abbildung in Polarkoordinaten: r = r(φ) Beispiele: (1) Kreis mit Radius R und Mittelpunkt (0, 0): r(φ) = R, φ [0, 2π]. (2) Archimedische Spirale: Die Archimedische Spirale wird durch folgende Abbildung in Polarkoordinaten dargestellt: r = r(φ) = aφ, φ [0, 2π], a ist eine fest vorgegebene natürliche Zahl. Für die grasche Darstellung der Archimedischen Spirale stellen wir zunächst eine Wertetabelle der Funktion r(φ) auf, hier für φ in der Schrittweite π/8, a = 2. φ 0 π/8 π/4 2π r 0 π/4 π/2 4π Wir zeichnen dann Strahlen mit den Winkeln φ in das Koordinatensystem ein und tragen an jedem Strahl den entsprechenden Radius r = r(φ) = aφ ab, siehe Abbildung 1.6). Die entsprechenden sich ergebenden Punkte werden verbunden und ergeben die Archimedische Spirale.

11 Kap.1 Reellwertige Funktionen in einer Veränderlichen 9 Abbildung 1.6: Archimedische Spirale r = aφ für a = 2, φ [0, 2π] Übungsaufgaben Aufgabe 1.3 Beschreiben Sie einen Halb-Kreis mit dem Radius R, dem Mittelpunkt 0 und Werten y 0 a) explizit, b) implizit, c) parametrisch, d) in Polardarstellung. Aufgabe 1.4 a) Geben Sie die Gerade y = 3x 7 in Parameterform an! b) Geben Sie die Funktion f(x) = 3x 2 1 in Parameterform an! c) Beschreiben Sie den schiefen Wurf in expliziter Form! d) Beschreiben Sie die gewöhnliche Zykloide in expliziter Form! Aufgabe 1.5 a) Geben Sie einen Kreis mit dem Radius R und dem Mittelpunkt (3, 4) in Polarkoordinatendarstellung an! b) Skizzieren Sie die sogenannte Kardioide: r = 1 + cos(φ), φ [0, 2π]! 1.3 Eindeutigkeits-Eigenschaften von Funktionen und Umkehrfunktionen In diesem Abschnitt betrachten wir Eigenschaften von eindeutigen Abbildungen, also Eigenschaften von Funktionen Injektiv, Surjektiv und Bijektiv 1. Injektive Funktionen Denition:

12 Kap.1 Reellwertige Funktionen in einer Veränderlichen 10 Eine Funktion (D, f, B) heiÿt injektiv, falls es zu jedem y B höchstens ein x D gibt mit der Eigenschaft: f(x) = y. (Siehe Abbildungen 1.7 und 1.8) 2. Surjektive Funktionen Denition: Eine Funktion (D, f, B) heiÿt surjektiv, falls es zu jedem y B mindestens ein x D gibt mit der Eigenschaft: f(x) = y, d.h., falls der Bildbereich gleich dem Wertebereich der Funktion, also B = W ist. (Siehe Abbildungen 1.7 und 1.8) 3. Bijektive Funktionen Denition: Eine Funktion (D, f, B) heiÿt bijektiv, falls sie a) injektiv und b) surjektiv ist. (Siehe Abbildungen 1.7 und 1.8). Abbildung 1.7: Schematische Darstellung injektiver, surjektiver und bijektiver Funktionen Abbildung 1.8: Beispiele für injektive, surjektive und bijektive Funktionen Umkehrfunktionen Für bijektive Funktionen gibt es zu jedem y B genau ein x D mit f(x) = y und - da f Funktion, also eindeutig ist - auch umgekehrt zu jedem x D genau

13 Kap.1 Reellwertige Funktionen in einer Veränderlichen 11 ein y B mit f(x) = y. Für solche Funktionen kann man die Abbildungsvorscrift y=f(x) nach x umstellen, also die zugehörige Umkehrfunktion x=g(y) bilden. Denition: Sei durch (D, f, W) eine bijektive Funktion f gegeben. Dann heiÿt die Funktion (W, g, D)Umkehrfunktion von f falls gilt: y = f(x) genau dann, wenn x = g(y) für alle Paare (x, y) DxW. Bezeichnung: g = f 1. Beispiele: a) b) Übungsaufgaben Aufgabe 1.6 Welche der folgenden Funktionen sind injektiv oder/und surjektiv oder/und bijektiv? a) D = R, B = R, f : x x 2 b) D = R 0, B = D, f : x x c) D = R, B = R, f : x { x2 für x 0 e x für x>0 d) D = R\{0}, f(x) = 1 x 0 e) D = [0, 1], B = {0, 1}, f(x) = { wenn x rational 1 wenn x irrational Aufgabe 1.7 Geben Sie die Umkehrfunktion der folgenden Funktion an: f(x) = 10 x 3 4, D = R, B = R 0. Skizzieren Sie diese Funktion und die Umkehrfunktion in einem Koordinatensystem! 1.4 Allgemeine Eigenschaften von Funktionen In diesem Abschnitt betrachten wir weitere Eigenschaften von Funktionen Symmetrie Denition Sei (D, f, B) eine Funktion.

14 Kap.1 Reellwertige Funktionen in einer Veränderlichen f heiÿt achsensymmetrisch bzw. gerade, wenn für alle x D gilt: f(x) = f( x). Der Graph der Funktion wird an der y-achse gespiegelt. 2. f heiÿt punktsymmetrisch bzw. ungerade, wenn für alle x D gilt: f(x) = f( x) bzw. f(x) = f( x). Der Graph der Funktion wird am Ursprung gespiegelt. Beispiele: Abbildung 1.9: Symmetrie-Eigenschaften (1) f(x) = x 4, x R. f ist achsensymmetrisch, denn es gilt f( x) = ( x) 4 = x 4 = f(x). (2) f(x) = x 3, x R. f ist punktsymmetrisch, denn es gilt f( x) = ( x) 3 = (x 3 ) = f(x). (3) f(x) = sin(x), x R. f ist punktsymmetrisch, denn es gilt f( x) = sin( x) = sin(x). (4) f(x) = x 3 sin(x), x R. Wir untersuchen zuerst die beiden Teilfunktionen, aus denen f zusammengesetzt ist. Es gilt ( x) 3 = (x 3 ) und sin( x) = sin(x), d.h. beide Teilfunktionen von f sind punktsymmetrisch. Daraus folgt aber, dass ihr Produkt, also f, achsensymmetrisch ist, denn es gilt: f( x) = ( x) 3 sin( x) = (x 3 ) ( sin(x)) = x 3 sin(x). Bemerkung: Wie man sich leicht selbst überlegt, ist das Produkt zweier achsensymmetrischer Funktionen und das Produkt punktsymmetrischer Funktionen achsensymmetrisch, während das Produkt einer achsensymmetrischen mit einer punktsymmetrischen Funktion punktsymmetrisch ist.

15 Kap.1 Reellwertige Funktionen in einer Veränderlichen Monotonie Denition Sei (D, f, B) eine Funktion. Dann heiÿt diese Funktion im Bereich M D 1. monoton steigend, falls für alle x 1, x 2 M mit x 1 < x 2 gilt f(x 1 ) f(x 2 ). 2. streng monoton steigend, falls für alle x 1, x 2 M mit x 1 < x 2 gilt f(x 1 ) < f(x 2 ). 3. monoton fallend, falls für alle x 1, x 2 M mit x 1 < x 2 gilt f(x 1 ) f(x 2 ). 4. streng monoton steigend, falls für alle x 1, x 2 M mit x 1 < x 2 gilt f(x 1 ) > f(x 2 ). Beispiel: f : R R; x x 2 Sei x 1 < x 2. Gilt dann x 2 1 < x 2 2? In dieser Allgemeinheit nicht, denn z.b. ist 2 < 1 aber ( 2) 2 > ( 1) 2. Wir zerlegen den Denitionsbereich in die beiden Teil-Bereiche (, 0] und [0, ). Verhalten von f im Bereich (, 0]: Es gilt: x 1 < x 2 x 2 1 > x 2 2 f(x 1 ) > f(x 2 ). Folglich ist die Funktion in diesem Bereich streng monoton fallend. Verhalten von f im Bereich [0, ): Es gilt: x 1 < x 2 x 2 1 < x 2 2 f(x 1 ) < f(x 2 ). Folglich ist die Funktion in diesem Bereich streng monoton wachsend Periodizität Denition Eine Funktion (D, f, B) heiÿt periodisch mit der Periode T, falls für alle x D und k Z gilt f(x) = f(x + kt ), k Z

16 Kap.1 Reellwertige Funktionen in einer Veränderlichen 14 Abbildung 1.10: Periodizität Beispiel: Die Periode der Funktion f : x sin(ax + φ), D = R. Periode dieser Funktion ist: T = 2π a Beschränkheit Denition Eine Funktion (D, f, B), D R, B R, heiÿt auf A D 1. nach oben beschränkt, falls es eine Schranke S 0 gibt, so dass f(x) S 0 für alle x A gilt. 2. nach unten beschränkt, falls es eine untere Schranke S n gibt,so dass f(x) S n für alle x A gibt. 3. beschränkt, falls sie sowohl nach oben als auch nach unten beschränkt ist, d.h. es gibt dann ein S mit f(x) S für alle x A Beispiel: f : x sin(2x + pi 4 ), D = R ist beschränkt auf ganz D. Es gilt S = 1 bzw. f(x) 1 für alle x D Nullstelle einer Funktion Denition Sei durch (D, f, B), D R, B R, eine Funktion gegeben. Dann heiÿt x 0 Nullstelle von f, wenn gilt: f(x 0 ) = 0. Beispiel: f : x f(x) = sin(2x π 4 ), x R. Eine Nullstelle ergibt sich an der Stelle x = x 0, für die gilt x π 4 = 0, also bei

17 Kap.1 Reellwertige Funktionen in einer Veränderlichen 15 x 0 = π 8. Die anderen Nullstellen ergiben sich von x 0 aus gesehen nach jeweils einer halben Schwingungsdauer, also an den Stellen x k = x 0 + k T 2 = π 8 + k π 2. Alle Nullstellen sind demzufolge gegeben durch x k = π 8 + k π 2, k Z. Übungsaufgaben Aufgabe 1.8 Sei f(x) = (3x 2 1)sin(2x + π/4), x R. a) Untersuchen Sie f(x) auf Symmetrie, Periodizität und Beschränktheit! b) Geben Sie alle Nullstellen von f(x) an! c) Für welche x-werte ist f(x) streng monoton wachsend? d) Geben Sie alle Nullstellen von f(x) an! Aufgabe 1.9 Zeigen Sie, dass das Produkt einer geraden mit einer ungeraden Funktion ungerade ist! 1.5 Koordinatentransformationen Parallelverschiebung Verschieben wir das x-y-koordinatensystem parallel um a in x-richtung und um b in y-richtung, so erhalten wir ein neues Koordinatensystem mit den Achsen u und v. Abbildung 1.11: Parallelverschiebung (Translation) Wir erkennen folgende Beziehungen: u = x a v = y b bzw. x = u + a y = v + b (1.1)

18 Kap.1 Reellwertige Funktionen in einer Veränderlichen 16 Wir stellen uns nun die Frage, wie die Gleichung einer Funktion y = f(x) im neuen (u,v)-koordinatensystem aussieht. Dazu setzen wir die in (1.1) gegebenen Beziehungen x = u + a, y = v + b in die Funktion ein und erhalten y = f(x) v + b = f(u + a) v = f(u + a) b Beispiel: Wie lautet die Gleichung der Funktion y = 2 + 3x in einem um 2 Einheiten in positiver x-richtung und um 3 Einheiten in Richtung der negativen y-achse verschobenen Koordinatensystem? Es ist a=2 und b=-3. Die Funktionsgleichung lautet folglich: Drehung v = f(u + 2) + 3 v = 2 + 3(u + 2) + 3 v = 3u + 11 Die Drehung eines Koordinatenystems entgegen dem Urzeiger um den Winkel α ist in Abbildung 1.12 dargestellt. Abbildung 1.12: Drehung gegen den Urzeiger um den Winkel α Wir erkennen folgende Beziehungen: u = OE = OD + DE = OD + BP = ysin(α) + xcos(α) und v = OA = DB = DC BC = ycos(α) xsin(α) D.h. es gilt folgende Beziehung zwischen alten Koordinaten (x,y) und neuen Koordinaten (u,v): u = xcos(α) + ysin(α) und v = ycos(α) xsin(α)

19 Kap.1 Reellwertige Funktionen in einer Veränderlichen 17 In Matrizenschreibweise erhalten wir: ( ) ( u cos(α) sin(α) = v sin(α) cos(α) ) ( x y ) (1.2) Die Matrix ( cos(α) sin(α) sin(α) cos(α) wird als Drehungsmatrix bezeichnet. Mit der inversen Drehungsmatrix ( cos(α) sin(α) ) 1 = ) sin(α) cos(α) ( cos(α) sin(α) ) sin(α) cos(α) erhalten wir die Transformation von neuem (u,v)-koordinatensystem zum alten (x,y) - Koordinatensystem, bzw. die Transformation bei Drehung des (u,v)- Systems in Urzeigerrichtung um den Winkel α: ( ) ( ) ( ) x cos(α) sin(α) u = (1.3) y sin(α) cos(α) v Beispiel: Wie lautet die Gleichung der Funktion y = 2x + 1 in einem um α = 20 nach links gedrehten Koordinatensystem? Es ist sin(20 ) = 0, 34 und cos(20 ) = 0, 94. Aus den Transformationsgleichungen ergibt sich dann: Übungsaufgaben y = 2x + 1 0, 34u + 0, 94v = 2x + 1 0, 34u + 0, 94v = 2(0, 94u 0, 34v) + 1 v = 2 0,94u 0,34u+1 0,94+2 0,34 v = 1,54 1,62 u + 1 1,62 Aufgabe 1.10 Sei f(x) = (3x 2 + 2x 1), x R. Wie lautet die Gleichung dieser Funktion in einem um α = 45 nach rechts gedrehten und um a = 2 und b = 4 in positive x- bzw. y-richtung verschobenen Koordinatensystem? 1.6 Elementare Funktionen Unter elementaren Funktionen versteht man folgende Klassen von Funktionen: 1)Ganzrationale Polynome, 2)Gebrochen rationale Polynome, 3)Algebraische Funktionen (Abbildungen), 4)Exponentialfunktionen, 5)Logarithmusfunktionen, 6)Trigonometrische Funktionen, 7)Arcus-Funktionen, 8)Hyperbel- Funktionen, 9)Area-Funktionen.

20 Kap.1 Reellwertige Funktionen in einer Veränderlichen Ganzrationale Polynome P (x) = a o + a 1 x + + a n x n, a i R, x D R (Nullstellenbestimmung, LFZ, Hornerschema, Polynomendivision, Koezientenbestimmung bei der Anpassung eines Polynoms n.ten Grades an n+1 Messdatenpaare (x i, y i ), i = 1,..., n + 1, für ein Polynom 2. Ordnung (Parabel): Scheitelpunktsform, p-q-formel) Übungsaufgaben Aufgabe 1.11 (Lösung: Seite 29) Geben Sie ein ganzrationales Polynom an, welches durch die 4 Punkte ( 2, 0), (0, 0), (0, 1), (1, 2) verläuft! Aufgabe 1.12 (Lösung: Seite 29) Von einer ganzrationalen Funktion y = f(x) sei folgendes bekannt. f(x) ist eine gerade Funktion mit den Nullstellen x 1 = 3 und x 2 = 6. Der Funktionsgraph schneidet die y-achse an der Stelle y(0) = 3. Wie lautet die Gleichung der Funktion f(x)? Aufgabe 1.13 (Lösung: Seite 29) a) Geben Sie die LFZ der Funktion f(t) = 2t 4 2t 3 4t + 8 an! b) Wie lautet der Funktionswert an der Stelle t = 5? Gebrochen rationale Polynome P (x) = Z n(x) N m (x), x D R, wobei Z n (x) und N m (x) Polynome vom Grad n und m sind. echt gebrochen: n < m, unecht gebrochen: n m. Beispiele: P (x) = x 4 7 2x+7 2x 3 +3x 2 x+12, P (x) = x 2 +1, x R. (Polynomendivision, Nullstellen, Polstellen, (später: Partialbruchzerlegung)). Übungsaufgaben Aufgabe 1.14 (Lösung: Seite 29) Eine gebrochen rationale Funktion besitzt folgende Eigenschaften: a) Nullstellen des Zählers: x 1 = 2 (einfach), x 2 = 4 (dopelt) b) Nullstellen des Nenners: x 3 = 1, x 4 = 1 c) y(0) = 4 Wie lautet die Funktionsgleichung?

21 Kap.1 Reellwertige Funktionen in einer Veränderlichen Algebraische Funktionen Bei algebraischen Funktionen wird der Zusammenhang zwischen x und y durch die implizite Form F (x, y) = 0 beschrieben. Algebraische Funktionen sind Lösungen der Gleichung F (x, y) = a n (x)y n + a n 1 (x)y n a 1 (x)y + a o (x) = 0, wobei die Koezientenfunktionen a k (x), k = 0, n Polynome der Variablen x sind. Beispiele: 2y + 3x 2 y 3x = 0, (x 2) 2 + (y + 3) 2 = 16. Bemerkung: Im Allgemeinen sind allgebraische Funktionen nicht eindeutig und damit keine Funktionen sondern Abbildungen. Kegelschnitte Besondere Algebraische Funktionen sind die sogenannten Kegelschnitte, die durch algebraischen Gleichung vom Typ: Ax 2 + By 2 + Cx + Dy + E = 0(a 2 + B 2 0) implizit deniert sind (siehe auch Abbildung 1.13). Das sind z.b.: Kreis mit dem Mittelpunkt (x o, y o ) und dem Radius R: Parameterdarstellung: (x x o ) 2 R 2 + (y y o) 2 R 2 = 1 x(φ) = x o + Rcos(φ), y(φ) = y o + Rsin(φ), φ [0, 2π). Ellipse mit dem Mittelpunkt (x o, y o ) und den Halbachsen a und b auf der x- bzw. y-achse: (x x o ) 2 a 2 + (y y o) 2 b 2 = 1 Parameterdarstellung: x(φ) = x o + acos(φ), y(φ) = y o + bsin(φ), φ [0, 2π). Hyperbel mit dem Mittelpunkt (x o, y o ) und den Halbachsen a und b: (x x o ) 2 a 2 (y y o) 2 b 2 = 1 Parabel mit dem Scheitelpunkt (x o, y o ) und dem Parameter p: (y y o ) 2 = 2p(x x o )

22 Kap.1 Reellwertige Funktionen in einer Veränderlichen 20 Abbildung 1.13: Kegelschnitte Beispiel: Welcher Kegelschnitt wird durch folgende algebraische Gleichung dargestellt? 16x 2 + 4y x 24y + 64 = 0 Lösung: Zunächst ordnen wir die Glieder: 16x x + 4y 2 24y = 64 Durch quadratische Ergänzung folgt dann weiter: 16(x 2 + 4x) + 4(y 2 6y) = 64 16(x + 2) 2 + 4(y 3) 2 = 64 (x+2) (y 3)2 16 = 1 Folglich handelt es sich um eine Ellipse mit dem Mittelpunkt ( 2, 3) und den Halbachsen a = 2 und b = 4. Übungsaufgaben Aufgabe 1.15 (Lösung: Seite 29) Welche Kegelschnitte werden durch folgende algebraische Gleichungen dargestellt?

23 Kap.1 Reellwertige Funktionen in einer Veränderlichen 21 a) 4x 2 + 9y 2 4x + 24y = 127 b) 2y 2 9x + 12y = 0 c) x 2 2x 4y 2 + 8y = Exponentialfunktionen heiÿt Exponentialfunktion. y = a x, x R mit a > 0 und a 1 Anwendung: Beschreiben von Abkling- bzw. Auadevorgängen. (Skizzieren für a < 1, a > 1, Eigenschaften bestimmen, Lösen von Exponentialgleichungen) Übungsaufgaben Aufgabe 1.16 (Lösung: Seite 29) Skizzieren Sie die Exponentialfunktion y = a x, x R für a > 1 und für a < 1! Aufgabe 1.17 (Lösung: Seite 29) Der Kolben eines KFZ-Stoÿdämpfers lege beim Einschieben einen Weg x nach dem Zeitgesetz: x(t) = 30cm ( 1 e at) zurück. Nach 0,1s ist er ca. 5,44cm eingeschoben. Nach welcher Zeit ist der Kolben um 15,2cm eingeschoben? Logarithmus-Funktionen y = log a (x), x R >0, a > 0, a 1 heiÿt Logarithmusfunktion. Sie ist die Umkehrfunktion zur Exponentialfunktion.

24 Kap.1 Reellwertige Funktionen in einer Veränderlichen 22 Abbildung 1.14: Logarithmusfunktionen (Skizzieren für a < 1, a > 1, Eigenschaften bestimmen, Logarithmengesetze, Lösen von Exponential- und Logarithmusgleichungen) Übungsaufgaben Aufgabe 1.18 (Lösung: Seite 29) Lösen Sie folgende Gleichungen! a)e x + 2e x = 3 b)(log 10 (x)) 2 2log 100 (x) = 2 c)ln( x) + 1, 5ln(x) = ln(2x) Trigonometrische Funktionen sin(x), cos(x), tan(x) = sin(x) cos(x), cot(x) = cos(x) sin(x), x R. Anwendung: Z.B. Darstellung von harmonischen Schwingungen Asin(ωx + φ), bzw. Acos(ωx + φ). Für trigonometrische Funktionen gelten wichtige Beziehungen: 1. cos ensteht durch Verschiebung des sin um π/2 nach links: ( cos(x) = sin x + π ) 2 2. sin ensteht durch Verschiebung des cos um π/2 nach rechts: ( sin(x) = cos x π ) 2 (1.4) (1.5) 3. Satz von Phytagoras: (sin(x)) 2 + (cos(x)) 2 = 1 (1.6)

25 Kap.1 Reellwertige Funktionen in einer Veränderlichen Additionstheoreme: sin(2α) = 2sin(α)cos(α) (1.7) (Skizzieren, Bogenmaÿ, Gradmaÿ, Darstellung als komplexer Zeiger, Überlagern von gleichfrequenten Schwingungen, Alle Eigenschaften: Nullstellen, Polstellen, Monotonie, Symmetrie, Periodizität, Beschränktheit kennen, Additionstheoreme). Übungsaufgaben Aufgabe 1.19 (Lösung: Seite 29) Skizzieren Sie sin(x), cos(x), tan(x), cot(x)! Aufgabe 1.20 (Lösung: Seite 29) Zeigen Sie, dass aus den allgemeinen Additionstheoremen die Beziehungen folgen! sin(x 1 ± x 2 ) = sin(x 1 )cos(x 2 ) ± cos(x 1 )sin(x 2 ) cos(x 1 ± x 2 ) = cos(x 1 )cos(x 2 ) sin(x 1 )sin(x 2 ) a) sin(2x) = 2sin(x)cos(x) b)cos(2x) = cos 2 (x) sin 2 (x) c) sin 2 (x) = 1 2 (1 cos(2x)) d)cos2 (x) = 1 2 (1 + cos(2x)) Aufgabe 1.21 (Lösung: Seite 29) Skizzieren Sie die Funktionen a) 2sin(2x + π/3) b) 3cos(4x π/2) c) cos 2 (3x + π/2) d) 3sin(2x + π/4) 2cos(2x + π/4) (Hinweis zu c) und d):überlegen Sie sich zunächst eine einfachere Darstellung für die Funktion!) Arcus-Funktionen Als Arcus-Funktionen (arcsin(x), arccos(x), arctan(x), arccot(x)) werden die Umkehrfunktionen der trigonometrischen Funktionen (sin(x), cos(x), tan(x), cot(x)) bezeichnet. Da die trigonometrischen Funktionen auf dem Denitionsbereich D = R nicht bijektive sind, schränkt man zur Denition der Umkehrfunktionen den Denitionsbereich D ein. f(x) = sin(x), x R ist z.b. im Intervall [ π 2, π 2 ] bijektiv. In diesem Intervall ist die Umkehrfunktion, die als Arcus-Sinus bezeichnet wird, deniert (siehe Abbildung 1.15).

26 Kap.1 Reellwertige Funktionen in einer Veränderlichen 24 Denition Die Funktion Abbildung 1.15: Arcussinus-Funktion f(x) = arcsin(x), x [ 1, 1], y = f(x) W = [ π 2, π 2 ] ist die Umkehrfunktion von y = sin(x), d.h., es gilt: y = arcsin(x) x = sin(y), x [ 1, 1], y [ π 2, π 2 ]. Analog denieren wir die Umkehrfunktionen der anderen trigonometrischen Funktionen. Denition Die Funktion f(x) = arccos(x), x [ 1, 1], y = f(x) W = [0, π] ist die Umkehrfunktion von y = cos(x), d.h., es gilt: y = arccos(x) x = cos(y), x [ 1, 1], y [0, π]. Die Funktion f(x) = arctan(x), x [ 1, 1], y = f(x) W = [ π 2, π 2 ]

27 Kap.1 Reellwertige Funktionen in einer Veränderlichen 25 ist die Umkehrfunktion von y = tan(x), d.h., es gilt: y = arctan(x) x = tan(y), x [ 1, 1], y [ π 2, π 2 ]. Die Funktion f(x) = arccot(x), x [ 1, 1], (y = f(x) W = [ π 2, π 2 ]) ist die Umkehrfunktion von y = cot(x), d.h., es gilt: y = arccot(x) x = cot(y), x [ 1, 1], y [ π 2, π 2 ]. Beispiel (Lösen einer trigonomertischen Gleichung): Bestimmen Sie alle x R für die gilt: sin(2x + π/3) = 0.5. (Skizzieren können, Eigenschaften kennen, Lösen trigonometrischer Gleichungen). Übungsaufgaben Aufgabe 1.22 (Lösung: Seite 29) Skizzieren Sie die Arcus-Funktionen y = arccos(x), y = arctan(x), y = arccot(x) in ihrem Denitionsbereich! Aufgabe 1.23 (Lösung: Seite 30) Bestimmen Sie alle Nullstellen folgender Funktionen! a) f(x) = sin(2x + 5) 0, 4 b) f(x) = sin(x) 1 sin 2 (x) c) cos(x 1) 1/ 2 Aufgabe 1.24 (Lösung: Seite 30) Beweisen Sie: sin(arccos(x)) = 1 x Hyperbel-Funktionen Befestigen wir an zwei Punkten P 1 und P 2, die sich in gleicher Höhe benden, eine Kette, so nimmt diese unter dem Einuss der Schwerkraft die geometrische Form einer sogenannten Kettenlinie an (siehe Abbildung 1.16). Mathematisch kann man die Kettenlinie durch eine der als Hyperbelfunktionen bezeichneten Funktion y = cosh(x) beschreiben.

28 Kap.1 Reellwertige Funktionen in einer Veränderlichen 26 Abbildung 1.16: Kettenlinie y = c cosh(ax) Hyperpelfunktionen setzen sich aus den beiden e-funktionen e x und e x zusammen. Die Denitionsgleichungen der Hyperbelfunktionen lauten: Sinus hyperbolicus: y = sinh(x) = 1 2 (ex e x ), x R Cosinus hyperbolicus: y = cosh(x) = 1 2 (ex + e x ), x R Tangens hyperbolicus: y = tanh(x) = sinh(x) cosh(x), x R Cotangens hyperbolicus: y = coth(x) = coth(x) sinh(x), x R \ {0} Die Hyperbelfunktionen besitzen ähnliche Eigenschaften wie die trigonometrischen Funktionen, d.h. für sie existieren Additionstheoreme. Eine wichtige Beziehung ist die folgende: Übungsaufgaben (cosh(x)) 2 (sinh(x)) 2 = 1 Aufgabe 1.25 (Lösung: Seite 30) Zeigen Sie dass gilt: cosh 2 (x) sinh 2 (x) = 1. Aufgabe 1.26 (Lösung: Seite 30) Ein durchhängendes Seil genüge der Funktionsgleichung y = acosh(x/a). Berechnen Sie gemäÿ der Skizze in Abbildung 1.17) den Durchhang H für a = 20m und l = 90m.

29 Kap.1 Reellwertige Funktionen in einer Veränderlichen Area-Funktionen Abbildung 1.17: Kettenlinie y = c cosh(ax) Die Umkehrfunktionen der Hyperbelfunktionen sind die Areafunktionen. Die Funktionen sinh(x), tanh(x) und coth(x) sind auf dem gesamten Denitionsbereich bijektiv und damit umkehrbar. Bei y = cosh(x) müssen wir den Denitionsbereich einschränken, wir wählen das Intervall [0, ). Als Wertebereich für cosh(x) erhalten wir für dieses Intervall den Bereich [1, ). Weiterhin erhalten wir: y = cosh(x) = 1 2 (ex + e x ) x = ln(y + y 2 1) Daraus ergibt sich nach Umbennennung der Variablen die Funktion arcosh(x): y = cosh(x) = ln(x + x 2 1), x [1, ) Bezeichnung und Schreibweise der Areafunktionen: Areasinus hyperbolicus: y = arsinh(x), x R Areacosinus hyperbolicus: y = arcosh(x), x [1, ) Areatangens hyperbolicus: y = artanh(x), x ( 1, 1) Areacotangens hyperbolicus: y = arcoth(x), x > 1 Übungsaufgaben

30 Kap.1 Reellwertige Funktionen in einer Veränderlichen 28 Aufgabe 1.27 (Lösung: Seite 30) a) Geben Sie die Formeln, Denitions- und Wertebereich für alle Umkehrfunktionen der Hyperbelfunktionen an!

31 Kap.1 Reellwertige Funktionen in einer Veränderlichen Lösungen der Übungsaufgaben in Kapitel 1 Zu Aufgabe 1.1, Seite 4 Zu Aufgabe 1.2, Seite 4 Zu Aufgabe 1.3, Seite 9 Zu Aufgabe 1.4, Seite 9 Zu Aufgabe 1.5, Seite 9 Zu Aufgabe 1.6, Seite 11 Zu Aufgabe 1.7, Seite 11 Zu Aufgabe 1.8, Seite 15 Zu Aufgabe 1.9, Seite 15 Zu Aufgabe 1.10, Seite 17 Zu Aufgabe 1.11, Seite 18 Zu Aufgabe 1.12, Seite 18 Zu Aufgabe 1.13, Seite 18 Zu Aufgabe 1.14, Seite 18 Zu Aufgabe 1.15, Seite 20 Zu Aufgabe 1.16, Seite 21 Zu Aufgabe 1.17, Seite 21 Zu Aufgabe 1.18, Seite 22 Zu Aufgabe 1.19, Seite 23 Zu Aufgabe 1.20, Seite 23 Zu Aufgabe 1.21, Seite 23 Zu Aufgabe 1.22, Seite 25

32 Kap.1 Reellwertige Funktionen in einer Veränderlichen 30 Zu Aufgabe 1.23, Seite 25 Zu Aufgabe 1.24, Seite 25 Zu Aufgabe 1.25, Seite 26 Zu Aufgabe 1.26, Seite 26 Zu Aufgabe 1.27, Seite 27

33 Literaturverzeichnis [Pap01] L.Papula. Mathematik für Ingenieure. Friedr. Vieweg und Sohn, Braunschweig/Wiesbaden, Band 1,