Zufallsmatrixtheorie eine Einführung

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1 Zufallsmatrixtheorie eine Simon Heybrock 23. Mai 2007 Zufallsmatrixtheorie eine

2 Inhalt 1 Grundgedanke Symmetrien 2 3 Abgeleitete Größen und Beispiele Verschiedenes Zufallsmatrixtheorie eine

3 Gliederung Grundgedanke Symmetrien 1 Grundgedanke Symmetrien 2 3 Abgeleitete Größen und Beispiele Verschiedenes Zufallsmatrixtheorie eine

4 Grundgedanke Symmetrien Beschreibung eines Systems durch einen Hamilton Operator Quantenmechanik System durch einen Hamilton Operator beschrieben Ziel Lösung der Eigenwert Gleichung HΨ = EΨ. Eigenvektoren Zustände des Systems Eigenwert E Energie eines Zustands. Diese muss reell sein, um eine physikalische Interpretation zu erlauben. Deshalb H muss hermitsch sein: H = H. Zufallsmatrixtheorie eine

5 Grundgedanke Symmetrien Probleme dieser Methode bei komplizierten Systemen Problem Betrachte komplexes System zwei große Probleme: Beispiel H ist oft unbekannt selbst wenn H bekannt ist, ist es unmöglich, die Eigenwert Gleichung zu lösen oder auch nur eine Näherung zu finden. Atomkern eines schweren Elements Zufallsmatrixtheorie eine

6 Grundgedanke Symmetrien Lösung: Statistische Betrachtung Idee Statistischer Ansatz. Ansatz erscheint abwegig: Das Spektrum wird eindeutig vom Hamiltonian festgelegt. Statistische Methoden können dennoch nützlich sein Beispiel (Primzahlen) Eindeutig durch eine einfache Regel festgelegt Verteilung so komplex, dass statistische Methoden sinnvoll sind mittlere Dichte, Verteilung der Abstände zwischen benachbarten Primzahlen, etc. Zufallsmatrixtheorie eine

7 Grundgedanke Symmetrien Werkzeug: Zufallsmatrix Theorie (Random matrix theory, RMT) Idee Betrachte nicht H sondern ein Ensemble von Matrizen mit den gleichen Symmetrien wie H, deren Matrixelemente zufällig sind. Was kann RMT (nicht)? es ist nicht möglich die Positionen der Energielevels vorherzusagen. es ist nicht möglich die mittlere Dichte ρ(e) der Eigenenergien E n vorherzusagen beschrieben wird statt dessen das Fluktuationverhalten der Eigenwerte: Nächster Nachbar Abstand, Korrelationsfunktionen Zufallsmatrixtheorie eine

8 Grundgedanke Symmetrien RMT beschreibt nur einen Teil des Spektrums Quantenzahlen wie Parität und Spin: Zerlegung in irreduzible Unterräume H blockdiagonal Nur ein Teil des Spektrums ist für statistische Methoden zugänglich Zufallsmatrixtheorie eine

9 Gliederung Grundgedanke Symmetrien 1 Grundgedanke Symmetrien 2 3 Abgeleitete Größen und Beispiele Verschiedenes Zufallsmatrixtheorie eine

10 Grundgedanke Symmetrien Transformationen im Hilbertraum Eine Transformation ist ein Basiswechsel im Hilbertraum Die messbaren Größen sollen sich unter einer Transformation nicht ändern ϕ ψ 2 = Tϕ Tψ 2 Betrachte das Verhalten eines Operators unter solch einer Transformation. Es gilt ϕ H ϕ = ϕ T 1 THT 1 T ϕ = ϕ H ϕ H = THT 1 Zufallsmatrixtheorie eine

11 Grundgedanke Symmetrien Transformationen die H invariant lassen H heißt invariant unter T wenn gilt dann gilt H = H TH = HT Das heißt H kommutiert mit T. Die transformierten Zustände haben die gleichen Eigenwerte wie die nicht tranformierten TH ϕ = Tλ ϕ = λ ϕ = HT ϕ = H ϕ. Die Transformationen die H invariant lassen bilden zusammen eine Gruppe, die Symmetriegruppe von H. Zufallsmatrixtheorie eine

12 Grundgedanke Symmetrien Transformationen sind unitäre oder antiunitäre Matrizen Invarianz einer Messgröße erfüllt durch T T = e iα Man kann durch etwas Rechnung zeigen, dass es genau zwei Möglichkeiten gibt T(a ϕ + b ψ ) = at ϕ + bt ψ T(a ϕ + b ψ ) = a T ϕ + b T ψ, mit T T = 1: T ist entweder unitär oder antiunitär. Für T antiunitär gibt es zwei Fälle T 2 = 1 T 2 = 1 Zufallsmatrixtheorie eine

13 Gliederung 1 Grundgedanke Symmetrien 2 3 Abgeleitete Größen und Beispiele Verschiedenes Zufallsmatrixtheorie eine

14 Definition dreier Ensembles von Matrizen Ziel Symmetrie eines Systems entsprechendes Ensemble von Matrizen Im Wesentlichen gibt es zehn Ensembles: Die 3 klassischen Ensembles, 3 chirale Ensembles (QCD), 4 supraleitende Ensembles Wir betrachten hier die drei klassischen Ensembles Zufallsmatrixtheorie eine

15 Fall 1 Betrachte ein System mit Invarianz unter einem antiunitären Operator T mit T 2 = 1 Durch Transformation auf eine geeignete Basis kann die Hamilton Matrix reell und symmetrisch gewählt werden: H mn = H nm = H mn Beispiele System mit Zeitumkehr- und Rotationssymmetrie Zeitumkehr Symmetrie mit gebrochener Rotationssymmetrie aber ganzzahligem Spin Zufallsmatrixtheorie eine

16 Fall 2 System ohne Invarianz unter einem antiunitären Operator. Die Hamilton Matrix ist dann hermitesch H mn = [H ] mn Beispiel Sei T wieder der Zeitumkehr Operator. Bei einem Hamiltonian eines Elektrons in einem festen äußeren Magnetfeld ist dann die Zeitumkehrinvarianz verletzt. Zufallsmatrixtheorie eine

17 Quaternionen definiert durch e 2 1 = e2 2 = e2 3 = e 1e 2 e 3 = 1 Zufallsmatrixtheorie eine

18 Quaternionen definiert durch e 2 1 = e2 2 = e2 3 = e 1e 2 e 3 = 1 Darstellung durch die Matrizen [ ] [ ] 0 i 0 1 e 1 =, e i 0 2 =, e = d.h. e i = iσ i [ ] i 0 0 i Zufallsmatrixtheorie eine

19 Quaternionen definiert durch e 2 1 = e2 2 = e2 3 = e 1e 2 e 3 = 1 Darstellung durch die Matrizen [ ] [ ] 0 i 0 1 e 1 =, e i 0 2 =, e = [ ] i 0 0 i d.h. e i = iσ i Sei q = q (0) + q (1) e 1 + q (2) e 2 + q (3) e 3. Das quaternionisch Konjugierte ist definiert durch q = q (0) q (1) e 1 q (2) e 2 q (3) e 3 Zufallsmatrixtheorie eine

20 Fall 3 System mit Invarianz unter einem antiunitären Operator T mit T 2 = 1 Die Hamilton Matrix kann dann als quaternionisch reelle Matrix dargestellt werden, mit H mn = H nm Beispiel System mit Zeitumkehrinvarianz, gebrochener Rotationssymmetrie und halbzahligem Spin Zufallsmatrixtheorie eine

21 Die drei obigen Fälle werden gekennzeichnet durch β = 1, 2, 4 Definition Wir definieren drei Ensembles für β = 1, 2, 4, jeweils durch 1 Die obigen Symmetrien der Matrizen Zufallsmatrixtheorie eine

22 Die drei obigen Fälle werden gekennzeichnet durch β = 1, 2, 4 Definition Wir definieren drei Ensembles für β = 1, 2, 4, jeweils durch 1 Die obigen Symmetrien der Matrizen 2 Eine Wahrscheinlichkeitsdichte P Nβ (H) Zufallsmatrixtheorie eine

23 Die drei obigen Fälle werden gekennzeichnet durch β = 1, 2, 4 Definition Wir definieren drei Ensembles für β = 1, 2, 4, jeweils durch 1 Die obigen Symmetrien der Matrizen 2 Eine Wahrscheinlichkeitsdichte P Nβ (H) 3 Wahrscheinlichkeitsdichte ist invariant unter orthogonalen (β = 1), unitären (β = 2) und symplektischen (β = 4) Transformationen. Zufallsmatrixtheorie eine

24 Symplektische Matrizen 2N 2N Matrizen, die M T ΩM = Ω erfüllen, mit Ω = Bilden die symplektische Gruppe Sp(N) Können durch reelle Quaternionen dargestellt werden Erhält das Skalarprodukt in einem symplektischen Vektorraum (analog zu orthogonalen Matrizen im R n, bzw. unitären Matrizen im C n ). Zufallsmatrixtheorie eine

25 Zusammenfassung der Definition β = 1 Symmetrie antiunitär T 2 = 1 Matrizen reell symmetrisch Invarianz orthogonale Matrizen β = 2 Symmetrie nicht antiunitär Matrizen hermitesch Invarianz unitäre Matrizen β = 4 Symmetrie antiunitär T 2 = 1 Matrizen reell quaternionisch Invarianz symplektische Matrizen Zufallsmatrixtheorie eine

26 Festlegung der Gewichtsfunktion P Nβ (H) Abgesehen von obiger Forderung nach Invarianz ist die Wahl von P Nβ (H) frei. Zufallsmatrixtheorie eine

27 Festlegung der Gewichtsfunktion P Nβ (H) Abgesehen von obiger Forderung nach Invarianz ist die Wahl von P Nβ (H) frei. Die einfachste Wahl P Nβ (H) = 1 führt zu divergenten Integralen. Zufallsmatrixtheorie eine

28 Festlegung der Gewichtsfunktion P Nβ (H) Abgesehen von obiger Forderung nach Invarianz ist die Wahl von P Nβ (H) frei. Die einfachste Wahl P Nβ (H) = 1 führt zu divergenten Integralen. Eine Gauß Form ist praktikabel: Oft analytische Ableitung weiterer Größen möglich Zufallsmatrixtheorie eine

29 Festlegung der Gewichtsfunktion P Nβ (H) Abgesehen von obiger Forderung nach Invarianz ist die Wahl von P Nβ (H) frei. Die einfachste Wahl P Nβ (H) = 1 führt zu divergenten Integralen. Eine Gauß Form ist praktikabel: Oft analytische Ableitung weiterer Größen möglich Fordere Unabhängigkeit aller Matrixelemente Gauß Form Zufallsmatrixtheorie eine

30 Die oft verwendeten Gaußschen Ensembles Für die sogenannten Gaußschen Ensembles wählt man explizit ( P Nβ (H) exp βn ) tr H2 λ2 λ ist unabhängig von N. Wir erhalten: Gaußsche Ensembles Gaußsches Orthogonales Ensemble (GOE) für β = 1 Gaußsches Unitäres Ensemble (GUE) für β = 2 Gaußsches Symplektisches Ensemble (GSE) für β = 4 Später: Einfluss der Festlegung auf ein bestimmtes P(H) Zufallsmatrixtheorie eine

31 Gliederung 1 Grundgedanke Symmetrien 2 3 Abgeleitete Größen und Beispiele Verschiedenes Zufallsmatrixtheorie eine

32 Verteilung der Eigenwerte: Prinzip der Herleitung Motivation Mit obigen Definitionen erhält man Aussagen über die Verteilung der Matrixelemente. Ziel: Verteilung der Eigenwerte um Vorhersagen über messbare Größen machen zu können. Zufallsmatrixtheorie eine

33 Verteilung der Eigenwerte: Prinzip der Herleitung Motivation Mit obigen Definitionen erhält man Aussagen über die Verteilung der Matrixelemente. Ziel: Verteilung der Eigenwerte um Vorhersagen über messbare Größen machen zu können. Vorgehen 1 H hermitesch kann durch unitäre Transformation diagonalisiert werden H eindeutig bestimmt durch Eigenwerte und Parameter der unitären Transformation. 2 Wir brauchen nur die Eigenwerte Integration über Parameter der unitären Transformation Zufallsmatrixtheorie eine

34 Verteilung der Eigenwerte: Ergebnis Gemeinsame Wahrscheinlichkeitsdichte der Eigenwerte P Nβ (x 1,...,x N ) = C Nβ exp 1 N 2 β xj 2 j=1 j<k Diese Formel zeigt die gegenseitige Abstoßung der Eigenwerte, die mit β zunimmt. x j x k β Zufallsmatrixtheorie eine

35 n Punkt Korrelationsfunktion Motivation P Nβ (x 1,...,x N ) enthält sehr viel Information Ziel: Größen die sich einfacher interpretieren lassen Lösung: Eliminiere N n Variablen durch Integration Zufallsmatrixtheorie eine

36 n Punkt Korrelationsfunktion Motivation P Nβ (x 1,...,x N ) enthält sehr viel Information Ziel: Größen die sich einfacher interpretieren lassen Lösung: Eliminiere N n Variablen durch Integration Definition (n Punkt Korrelationsfunktion) R n (x 1,...,x n ) = N! (N n)! P N (x 1,...,x N )dx n+1 dx N R n ist die Wahrscheinlichkeitsdichte bei jedem der Punkte x 1,...,x n einen Eigenwert zu finden. Zufallsmatrixtheorie eine

37 Die Leveldichte R 1 (x) R 1 (x) ist die Leveldichte. Für die Gaußschen Ensembles kann man für N zeigen { 1 R 1 (x) = π 2N x 2, x < 2N 0, x > 2N Zufallsmatrixtheorie eine

38 Für welche Eigenschaften eines Systems macht RMT sinnvolle Vorhersagen? Leveldichte R 1 (x) hängt von P(H) ab keine Aussage über ein System, da P(H) willkürlich gewählt aber: es gibt universelle Größen Systemeigenschaften, die nur von Fluktuationen der Eigenwerte abhängen, sind unabhängig von R 1 (x) Diese heißen universell, das heißt, sie gelten für jede erlaubte Form von P(H) Es ist nicht offensichtlich, dass es universelle Größen gibt Es gab lange Zeit nur empirische Hinweise Inzwischen gibt es allgemeine Beweise Zufallsmatrixtheorie eine

39 Entfaltung (Unfolding): Umskalierung der Energievariablen Wir wollen: RMT mit experimentellen Daten vergleichen Problem Vergleich nur für universelle Größen sinnvoll Wir brauchen relative Fluktuationen um Mittelwerte Wir brauchen konstante Leveldichte Lösung Umskalierung der Energievariable Zufallsmatrixtheorie eine

40 Entfaltung: Vorarbeit am experimentellen Spektrum Die experimentelle Leveldichte besteht aus vielen δ Peaks. S(x) = N δ(x x n ) n=1 Wir wollen die systemabhängige mittlere Leveldichte entfernen. Wir definieren die kumulative Spektrale Funktion η(x) = x S(x )dx = n=1 NΘ(x x n ) Zufallsmatrixtheorie eine

41 Entfaltung: Graphische Veranschaulichung η(x) Kumulative Spektrale Funktion des experimentellen Spektrums x Zufallsmatrixtheorie eine

42 Entfaltung: Graphische Veranschaulichung η(x) ξ(x) Experiment: Zerlege η(x) in Summe aus glattem Teil ξ(x) und fluktuierenden Teil η fl (x) x Zufallsmatrixtheorie eine

43 Entfaltung: Graphische Veranschaulichung η(x) ξ(x) RMT: ξ p = ξ p (x p ) = x p R 1(x)dx, p = 1,...,n x Zufallsmatrixtheorie eine

44 Entfaltung: Graphische Veranschaulichung η(x) ξ(x) ξ n+1 ξ n x n x n+1 Bilde die Sequenz x 1,...,x N auf die Zahlen ξ n = ξ(x n ) ab x Zufallsmatrixtheorie eine

45 Auf der neuen Energieskala benötigen wir auch neue Korrelationsfunktionen X n (ξ 1,...,ξ n )dξ 1 ξ n = R n (x 1,..., x n )dx 1 dx n N Per Konstruktion ist dann X 1 (ξ) = 1

46 Auf der neuen Energieskala benötigen wir auch neue Korrelationsfunktionen X n (ξ 1,...,ξ n )dξ 1 ξ n = R n (x 1,..., x n )dx 1 dx n N Per Konstruktion ist dann X 1 (ξ) = 1 Einfacher: Betrachte kleines Intervall um 0 im Limes N : ξ p = x p R 1 (0) R n (x X n (ξ 1,...,ξ n ) = lim 1,...,x n ) N (R 1 (0)) n Zufallsmatrixtheorie eine

47 Ergodizität Motivation RMT Observable als Mittelwerte über ein Ensemble von Matrizen Experiment Ein Hamiltonian, Observable als Mittelwert über einen Teil des Spektrums Ist dieser Vergleich gerechtfertigt? Zufallsmatrixtheorie eine

48 Ergodizität Motivation RMT Observable als Mittelwerte über ein Ensemble von Matrizen Experiment Ein Hamiltonian, Observable als Mittelwert über einen Teil des Spektrums Ist dieser Vergleich gerechtfertigt? Ergodizität: Beide Herangehensweisen sind äquivalent F(E) = F(E) Noch kein allgemeiner Beweis, bisher nur für Spezialfälle Zufallsmatrixtheorie eine

49 Gliederung Abgeleitete Größen und Beispiele Verschiedenes 1 Grundgedanke Symmetrien 2 3 Abgeleitete Größen und Beispiele Verschiedenes Zufallsmatrixtheorie eine

50 Abgeleitete Größen und Beispiele Verschiedenes Die Zwei Level Korrelationsfunktion: Wahrscheinlichkeitsdichte zwei Level in einem Abstand r voneinander zu finden Y 2 (r) r Nach Entfaltung des Spektrums: X 2 hängt nur vom Betrag r = ξ 1 ξ 2 ab Zufallsmatrixtheorie eine

51 Abgeleitete Größen und Beispiele Verschiedenes Zwei Level Korrelationsfunktion: Anschauliches Verhalten Levelabstoßung Oszillationen Poisson GOE GUE GSE HO Zufallsmatrixtheorie eine

52 Abgeleitete Größen und Beispiele Verschiedenes Zwei Level Korrelationsfunktion: Analytischer Ausdruck Mit s(r) = sin πr πr gilt X 1,2 (r) = 1 s 2 (r) ds(r) dr X 2,2 (r) = 1 s 2 (r) X 4,2 (r) = 1 s 2 (2r) + ds(2r) dr r s(r )dr r 0 s(2r )dr Zufallsmatrixtheorie eine

53 Nächster Nachbar Abstand Abgeleitete Größen und Beispiele Verschiedenes Nächster Nachbar Abstand (Nearest Neigbour Spacing, NNS) Wahrscheinlichkeitsdichte, dass der Abstand zum nächsten Nachbarn s ist. Analytischer Ausdruck für p(s) kann angegeben werden, jedoch sehr kompliziert. Anschaulicher: Näherung: Wignersche Vermutung (Wigner Surmise) p β (s) = a β s β exp( b β s 2 ) β = 1, 2, 4 Mit den Konstanten a β = 2 Γβ+1 ((β + 2)/2) Γ β+2 ((β + 1)/2) b β = Γ2 ((β + 2)/2) Γ 2 ((β + 1)/2) Zufallsmatrixtheorie eine

54 Abgeleitete Größen und Beispiele Verschiedenes Nächster Nachbar Abstand: Graph der Näherung 1.2 p (s) p β (s) = a β s β exp( b β s 2 ) s Zufallsmatrixtheorie eine

55 Beispiel: Nuclear Data Ensemble Abgeleitete Größen und Beispiele Verschiedenes Zufallsmatrixtheorie eine

56 Beispiel: Atomspektren Abgeleitete Größen und Beispiele Verschiedenes Zufallsmatrixtheorie eine

57 Abgeleitete Größen und Beispiele Verschiedenes Nächster Nachbar Abstand: Anmerkungen p β (s) = a β s β exp( b β s 2 ) s β = Level Abstoßung Gauß Abfall hat nichts mit Gauß Form von P(H) zu tun In p(s) gehen alle Korrelationsfunktionen ein Zufallsmatrixtheorie eine

58 Abgeleitete Größen und Beispiele Verschiedenes Level-Anzahl Varianz (Number Variance): Definition NNS enthält Informationen über das Spektrum auf kurzen Abständen. Level Korrelationen auf großen Abständen werden zum Beispiel durch die Level-Anzahl Varianz beschrieben. Definition Sei n(l,ξ s ) die Anzahl der Level im Intervall [ξ s,ξ s + L]. Dann ist die Level-Anzahl Varianz gegeben durch Σ 2 (L) = n 2 (L,ξ s ) n(l,ξ s ) 2 Die spitzen Klammern bezeichnen hierbei das Mittel über alle Anfangspunkte ξ s. Zufallsmatrixtheorie eine

59 Level-Anzahl Varianz: Exakt Abgeleitete Größen und Beispiele Verschiedenes Definition Σ 2 (L) = n 2 (L,ξ s ) n(l,ξ s ) 2 Level-Anzahl Varianz L Σ 2 (L) = L L 2 2 (L r)x 2 (r)dr 0 Man erwartet in einem Intervall der Länge L eine Level Anzahl von L ± Σ 2 (L). Gegensatz zu NNS: Level-Anzahl Varianz hängt nur von der Zwei Level Korrelation ab Zufallsmatrixtheorie eine

60 Level-Anzahl Varianz: Näherung Abgeleitete Größen und Beispiele Verschiedenes Näherung: Für große L in Ordnung 1/L Σ 2 1 (L) = 2 ( ) π 2 ln(2πl) + γ + 1 π2 8 Σ 2 2 (L) = 1 (ln(2πl) + γ + 1) π2 Σ 2 4 (L) = 1 2π 2 (ln(4πl) + γ π2 8 wobei γ = die Euler Konstante ist. ), Zufallsmatrixtheorie eine

61 Abgeleitete Größen und Beispiele Verschiedenes Level-Anzahl Varianz: Beispiele zu experimentellen Daten (Ultraschall Resonanzen eines Aluminium Blocks) Poisson Verteilung: Σ 2 (L) = L Harmonischer Oszillator: Σ 2 (L) = 0 Zufallsmatrixtheorie eine

62 Abgeleitete Größen und Beispiele Verschiedenes Level-Anzahl Varianz: Beispiel, Thouless Energie Große Levelabstände: Abweichung kündigt ein Versagen von RMT an. Name dieser Grenze: Thouless Energie Zufallsmatrixtheorie eine

63 Abgeleitete Größen und Beispiele Verschiedenes Spektrale Rigidität (Spectral Rigidity) (E) E [khz] Verwandt mit der Anzahl Varianz Beschreibt Abweichnung der kumulativen Levelzahl von einer Geraden Zufallsmatrixtheorie eine

64 Spektrale Rigidität: Definition Abgeleitete Größen und Beispiele Verschiedenes Definition Sei n(ξ) die Stufenfunktion, die die Anzahl der Level unterhalb von ξ darstellt. Die Spektrale Rigidität beschreibt die Abweichung dieser Stufenfunktion von einer Geraden: 3 (L) = 1 L min A,B ξ s+l ξ s (n(ξ) Aξ B) 2 dξ Zufallsmatrixtheorie eine

65 Spektrale Rigidität Abgeleitete Größen und Beispiele Verschiedenes Es gilt: 3 (L) = L L 4 L 0 (L r) 3 (2L 2 9Lr 3r 2 )(1 X 2 (r))dr Die Verwandtschaft mit der Anzahl Varianz zeigt folgender Zusammenhang: 3 (L) = 2 L 4 L 0 (L 3 2L 2 r + r 3 )Σ 2 (r)dr Zufallsmatrixtheorie eine

66 Spektrale Rigidität: Näherung Abgeleitete Größen und Beispiele Verschiedenes Näherungen: Für große L in Ordnung 1/L 3,1 (L) = 1 ( π 2 ln(2πl) + γ 5 4 π2 8 ) 3,2 (L) = 1 2π 2 3,4 (L) = 1 4π 2 ( ln(2πl) + γ 5 4 (ln(4πl) + γ Für die Poisson Verteilung gilt hier 3 (L) = L 15 ; Für den harmonischen Oszillator 3 (L) = 1 12 ; ) ) 54 π2 + 8 Zufallsmatrixtheorie eine

67 Spektrale Rigidität: Graphen Abgeleitete Größen und Beispiele Verschiedenes Zufallsmatrixtheorie eine

68 Abgeleitete Größen und Beispiele Verschiedenes Spektrale Rigidität: Nuclear Data Ensemble Zufallsmatrixtheorie eine

69 Gliederung Abgeleitete Größen und Beispiele Verschiedenes 1 Grundgedanke Symmetrien 2 3 Abgeleitete Größen und Beispiele Verschiedenes Zufallsmatrixtheorie eine

70 Abgeleitete Größen und Beispiele Verschiedenes Überlagerung unabhängiger Spektren 1.0 bisher: Ein Subblock von H mit festem Spin und Parität p(s) s Frage Was passiert wenn die Eigenwerte mehrerer dieser Blöcke überlagert werden? Zufallsmatrixtheorie eine

71 Abgeleitete Größen und Beispiele Verschiedenes NNS als Test auf Symmetriebrechnung Idee Wechselwirkung die z.b. Zeitumkehrinvarianz verletzt Lineare Steigung von NNS (GOE) wird zu quadratischem Anstieg (GUE) Bestimme daraus die Stärke der Symmetrieverletzung Definition (Ensemble für GOE GUE Übergang) H nm = H GOE nm mit Hnm A, reell, antisymmetrisch. t = 0 Orthogonales Ensemble t = N Unitäres Ensemble + i t/nh A nm Zufallsmatrixtheorie eine

72 Abgeleitete Größen und Beispiele Verschiedenes RMT als eine neue Art Statistischer Mechanik: Eine Gegenüberstellung Basierend auf RMT Universellen Symmetrien Statistische Mechanik Dynamischen Prinzipien Zufallsmatrixtheorie eine

73 Abgeleitete Größen und Beispiele Verschiedenes RMT als eine neue Art Statistischer Mechanik: Eine Gegenüberstellung Maximierung der Entropie RMT führt zu den Gaußschen Ensembles Statistische Mechanik Mikrokanonisches, kanonisches und großkanonisches Ensemble Zufallsmatrixtheorie eine

74 Abgeleitete Größen und Beispiele Verschiedenes RMT als eine neue Art Statistischer Mechanik: Eine Gegenüberstellung Wir betrachten Grenzfall RMT N Statistische Mechanik Thermodynamischer Grenzfall Zufallsmatrixtheorie eine

75 Abgeleitete Größen und Beispiele Verschiedenes RMT als eine neue Art Statistischer Mechanik: Eine Gegenüberstellung Wir verwenden Ergodizität RMT Ensemble Mittel = Mittel über Teil des Spektrums Statistische Mechanik Phasenraum Mittel = Mittel über eine Trajektorie Zufallsmatrixtheorie eine

76 Zusammenfassung Abgeleitete Größen und Beispiele Verschiedenes Ausgangspunkt Symmetrie des Systems Statistischer Ansatz Basis Universalität und Ergodizität liefern Vorhersagen über System Fluktuationen um Mittelwerte Zufallsmatrixtheorie eine

77 Zusammenfassung: Anwendungen Abgeleitete Größen und Beispiele Verschiedenes Anwendungen Komplexe Vielteilchensystem (Atomkerne, Atome, Moleküle) Klassisch chaotische Quantensystem mit wenigen Freiheitsgraden (Sinai Billiard,..) Ungeordnete Quantensysteme (z.b. Kristall mit Defektstellen) Quantenfeldtheorie Zufallsmatrixtheorie eine