Kreisgeometrie - gestern und heute

Transkript

1 Herbert Zeitler und Dusan Pagon Kreisgeometrie - gestern und heute Von der Anschauung zur Abstraktion

2 Inhaltsverzeichnis Prolog 1 I. Elementargeometrie 3 1. Ein Ausflug in die geometrische Optik Hohlspiegelgesetze Die Sache mit dem Brennpunkt Die Hohlspiegelformel von J. Newton 5 2. Die Kreisspiegelung Definition Ein Blick in die Geschiohte 6 3. Punktweise Konstruktionen Die kl&ssische Konstruktion Und noch eine Konstruktion 9 4. Wie operiert unsere Abbildung? 9 5. Das Problem mit dem Mittelpunkt M Zykeltreue Satz Definition Winkeltreue und Orthogonalzykel Das Winkelmafi Satze Zykelspiegelungen Verhaltnis und Doppelverhaltnis Definition Satz Definition Satz Sonderfalle Ein Ausflug in die Biischeltheorie Definition Konstruktionen im Biischel Konstruktion Eine weitere Konstruktion Kugelspiegelung Definition der Kugelspiegelung 20 Y

3 \] 10.2 Spharentreue Spharenspiegelungen Zykeltroue Wo flnden wir Kreis- und Kugelspiegelungen? Der Inversor von Peaucellier Humorvolles Verriicktes: die Hohlwelt Was versteht man unter der Hohhvelttheorie? Die Zunft der Hohlweltler Was steckt mathematisch dahinter? Ein Beispiel Die Thomson-Spiegelung Das Vorspiel Aus der Schulgeometrie Wo bleibt der Zusammenhang mit der Kreisspiegelung? Zuriick zur Physik, zur Elektrostatik Der Thomsonsche Spiegeltrick Weitere Anwendungen Seifenblasen Weehselstromtecimik Anatomie Aus der Molekularbiologie Kreis- und Kugelspiegelung als Beweistrick Zwei fossile Schliefiungssatze Der Satz von Miquel Der 7-Punkt.e-Satz Der Biischelsatz Steiner-Kreisketten Das Problem Ein Sonderfall Zusammenhang zwischen R, r. d und >-p Satz Berechnungen Soddy-Kugeln Das Problem Satz Zeiehnerische Darstellung Die Ungleiehung von Ptolemaios Was gibt es sonst noch alles? Zirkelk(jiistruktionen Das Apollonius-Problem Steiner-Kugelketten Aufgaben zu Kapitel I Schlussbetrachtung zum elementargeometrischen Teil 48

4 II. Geometrie analytisch-algebraisch Analytische Geometrie im Sinne von Descartes Wir schauen zuriick! Wiederholungen aus der Schule Kartesische Koordinaten, die Punkte Gerade und Ebene Kreis und Kugel Vorteile? Kreis- und Kugelspiegelung - jetzt analytisch Zykeltreue Spiegelung an einer Geraden Kurven bei Kreisspiegelung Spezialparabel > Kissoide Spezialhyperbel > Lemniskate Spezialhyperbel > Strophoide Weitere Aktivitaten Aufgaben zu Kapitel 11, Analytische Geometrie im Sinne von Gaufi Uber algebraische Strukturen Verkniipfung Gruppe Korper Korpererweiterung Hinfuhrung zu C Exakte Definition von C Zwei weitere Definitionen Veranschaulichungen Die GauB-Ebene Andere Schreibweisen Gruudoperationen in der Zahlenebene Die Riemann-Zahlenkugel Etwas Historie Zur Geschichte der komplexen Zalilen Carl Friedrich Gaufi ( ) Grundelemente Punkte Geraden iiber C Kreise iiber C Spiegehmgen iiber C Satz: Spiegelung an Spezialkreis Satz: Spiegelung an Kreis allgemein Satz: Spiegelung an Gerade Orthogonalitat Definition Orthogonalitatskriterien 75 Ml

5 2.8 Zykelverwandtschaften Weitere, besonders einfache Beispiele Homographien H Antihomographien H Ein echter Hohepunkt Nochmals zuriick zu den Spiegelungen Satz, ein Nebengipfel Spiegelungsprodukte ungerader Lange v. Staudt, ein fast vergessener Mathematiker Aufgaben zu Kapitel 11, Geometrie iiber Korperpaaren (K, L) Etwas Algebra Definitionen Einige Siitze - ohne Beweis Restklassenbildung Quadratische Korpererweiterung Grundelemente endlicher (A\ L)-Geometrie (K, L)-Punkte (A". I)-Geraden (A', D-Kreise, (A', L)-Zykel (A', L)-Zykelverwandtschaften Definitionen und der erweiterte v. Staudt-Satz Punkte auf einer (A', L)-Geraden Punkte auf einem (A', L)-Kreis Dreitransitivitat von H Satz Der Satz von Miquel (A', L)-Spiegelungen Ein konkretes Beispiel endlicher (A', L)-Geometrie Orthogonalitat Definition, Kriterien Ein erstes Kuriosum Ein zweites Kuriosum Ein drittes Kuriosum Beriihrzykelketten. ein spezielles Problem Beriihr-Tripel Apollonius-Konfiguration Coxeter-Konfiguration Geschlossene Steiner-Ketten Satz Und noch mehr! Was bleibt noch zu tun? Ausbau der endlichen und nicht-endlichen (A', I)-Geometrie Anspruchsvollere Klettereien Aufgaben zu Kapitel 11, Zusammenfassung zu Teil II 115 YIII

6 III. Die afrne Geometrie 1 ] 6 1. Was ist Axiomatik? Das Axiomensystem E Die Theorie Th (E) Modelle Mod ( ) Zwei Arten von Axiomensystemen Heteronome Axiomensysteme Autonome Axiomensysteme Grenzen der Willkiir Kein Axiom zu viel Kein Axiom zu wenig Wlderspruchsfreiheit Grofie Ziele und ihr Ende Der Formalismus Die Satze von Godel Das bittere Ende David Hilbert ( ) - eine Legende Aus der klassischen Schulgeometrie Der Satz von Desargues Der Satz von Pappus Zusammenhange Das Axiomensystem der affinen Ebene Einige Grundbegriffe Die Axiome E, 4 = {Ai, A 2. A 3 } Definition Unabhangigkeit Verschiedene Modelle Mod ( A ) Die vertraute Schulgeometrie Endliche Modelle Analytisches Modell iiber R Algebraisches Modell iiber dem Korper K Vollstandigkeit Satze aus der affinen Geometrie, Th (SA) Satze Definitionen Satze Abbildungen in der affinen Ebene Kollineationen Dilatationen Einige grundlegende Definitionen Fixelemente Spurgeraden Satze iiber Dilatationen Satze Spezielle Dilatationen 113 IX

7 5.6 Satze iiber Translationen und zentrische Streckungen Satze Abbildungsgruppen Satz Eine Erweiterung zu Eine Verallgemeinerung Abbildungen und SchlieBungssatze Satze Zur Existenz von Abbildungen Ein Gipfel Die erste Richtung Dilatationen V (5.2) Zentrische Streckungen Z(F) mit Zentrum F(z h z 2 ) (5.5) Translationen T(s) mit konstanter Richtung s (5.5) Zusammenfassung Die zweite Richtung Konstruktion des Korpers K Die Koordinatenebene Rudimentare Strukturen Aufgaben zu III Zusammenfassung zu Teil III 161 IV. Mobius-Geometrie Das Axiomensystem der Mobius-Ebene Grundbegriffe Die Axiome E A/ = {M U M 2, M 3 } Definition Und wer war Mobius? Unabhangigkeit Verschiedene Modelle Mod (E A/ ) Die vertraute Schulgeometrie Endliche Modelle Analytisch-algebraische Modelle Ausblicke auf herrliche Gipfel Yollstandigkeit Satze aus der M-Geometrie, Th (EM) Satz Definition ,1 Satze Definition (siehe rlazu aueh 1.9) Satz (Analogon zu III.4,1) Satze Definition IS Satze Untersuchungen in den Ableitungen von M-Ebenen Definition 17$ X

8 3.2 Einige Lemmata zum Sehnenvierseit 17s Lemmata 17!) 4. Satz 1 so 5. Und nochmals ein Gipfel 1 S3 6. Ausblick IS 1 7. Aufgaben zu IV ISO 8. Zusammenfassung zu Teil IV 187 Epilog 1 ss Vertiefende und weiterfiihrende Literatur 190 Register 192 Abbildungsnachweis 195 XI