Projektplanung. Ziele und innere Motive. Gewünschte, äußere Ergebnisse. Indikatoren / Wahrnehmungsfelder

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1 Schule:... Rudlf-Steiner-Schule Salzburg Schulstufe:... Unterstufe Klassenstufe:... 4 Fach:... Rechnen Thema:... Einführung der schriftlichen Multiplikatin PrjektbetreuerIn:... Frank Rthe (Prjektidee), Antje Wienke-Kratschmer (Prjektdurchführung) Datum: /2008 Inhaltsverzeichnis Prjektplanung... 2 Ziele und innere Mtive... 2 Gewünschte, äußere Ergebnisse... 2 Indikatren / Wahrnehmungsfelder... 2 Kriterien&Bewertung... 3 Methden & Vrgehensweise... 3 Knkrete Maßnahmen & Handlungen... 4 Zeitplanung&Meilensteine... 4 Auswertung und Ausblicke... 5 Zusammenfassung:... 5 Zum mathematischen Verständnis des Rechenalgrithmus bei den SchülerInnen... 5 Zu den individuellen Lernwegen im Unterricht durch Binnendifferenzierung... 7 Zu den Veränderungen während der Praxisphase... 8 Rückblick- und Ausblick... 9 Materialsammlung Vrbereitete Wiederhlung Vrbereitete Wiederhlung Vrbereitete Wiederhlung Vrbereitete Wiederhlung Vrbereitete Wiederhlung Vrbereitete Wiederhlung Akademie für Entwicklungsbegleitung vn Menschen und Organisatinen e. V. Brunnhlzweg 20, Altenmarkt/Alz, Germany, Telefn: , Fax: akademie@entwicklungsbegleitung.net, Internet:

2 Prjektplanung Ziele und innere Mtive Die Einführung der schriftlichen Multiplikatin stellt für die Kinder einen wichtigen Schritt in der Entwicklung ihrer mathematischen Fähigkeiten dar. Es geht darum die naiv vrhandene Rechenfähigkeit des im-kpf-multiplizierens überzuleiten in einen schriftlich Multiplikatinsalgrithmus. Dabei ist wichtig: 1. Diesen schrittweise und überschaubar aus den naiven Fähigkeiten zu entwickeln bzw. zu abstrahieren fördert Verständnis und Sicherheit. 2. Gleichzeitig wird die äußere Rechentätigkeit autmatisiert und es werden Gedanken frei für weitere und neue Aufgaben. Die Schnelligkeit dieses Przesses richtet sich sehr nach den individuellen Lernfähigkeiten (i.allg.) und den speziellen mathematischen Begabungen. Knkret stellt sich die zu erfrschende Frage in der flgenden Gestalt: Wie lässt sich durch die spezielle Frm der Einführung der schriftlichen Multiplikatin (s. Anhang) das grundlegende mathematische Verständnis für den Rechenalgrithmus bei allen Kindern fördern und ein verstärkt binnendifferenziertes Unterrichten bewerkstelligen, welches die individuellen Lernwege (die jeweiligen Lernfähigkeiten und mathe. Begabungen entsprechend) der einzelnen Kindern unterstützt? Gewünschte, äußere Ergebnisse Die Kinder sllten die Fähigkeiten besitzen bzw. zeigen (zumindest) zwei und dreistellige Zahlen schriftlich multiplizieren zu können (wie z.b ) die rechnerischen Fähigkeiten entsprechend ihren mathematischen Fähigkeiten in zunehmend kmplexeren Aufgaben, Fragestellungen und altersentsprechenden Frschungsprblemen zu erprben zumindest einen Rechenweg sicher verstanden zu haben möglichst eigene Rechenwege zu gehen Indikatren / Wahrnehmungsfelder Die Phänmene und Anzeichen für das Erreichen der Ziele sind in den flgenden Bereichen zu suchen: in jeglicher Frm vn schriftlicher Rechnung/Multiplikatin in mündlichen Erklärungen und Frmulierungen zum eingeschlagenen Rechenweg in Demnstratinen und rechnerischen Darstellungen an der Tafel in didaktischen Erklärungen und Hilfen für MitschülerInnen Akademie für Entwicklungsbegleitung 2

3 Kriterien&Bewertung Die Entwicklung eines Maßstabes zur Beurteilung in welchem Umfang die gewünschten Ziele erreicht wurden, ist für diese Altersstufe und den differenzierten Ansatz nicht einfach. Daher seien die Kriterien etwas ffener frmuliert: Die Kinder sllen zum einen ein sehr hhes Maß bzgl. des Verstehens des Rechenalgrithmus, fernen ein hhes Maß an rechnerischer Sicherheit im Rechenalgrithmus zeigen, zum anderen sll dieses auf die individuellen Fähigkeiten der SchülerIn abgestimmt sein. Dieses sll umgesetzt werden durch Aufgaben unterschiedlicher Kmplexitätsstufen. 1. Kmplexitätsstufe Grundlegend (für alle SchülerInnen): sehr hhes Maß im Verstehen des Rechenalgrithmus rechnerische Sicherheit d.h. fehlerfreie Handhabung des Rechenalgrithmus bei elementaren schriftlichen Multiplikatinen wie: (zweistellige Zahl mal zweistellige Zahl, dabei sind die zu multiplizierenden Zahlen bzw. Rechnungen einfach mit Hinsicht auf des kleine 1 mal 1). 2. Kmplexitätsstufe Erweiternd (für einen guten Teil der SchülerInnen) zusätzlich zu den Anfrderungen der 1. Kmplexitätsstufe: fehlerfreie Handhabung des Rechenalgrithmus bei schriftlichen Multiplikatinen wie: der (zweistellige Zahl mal zweistellige Zahl, die Faktren erfrdern schwerere Rechnungen im Hinblick auf des kleine 1 mal 1) der auch bei längeren Multiplikatinen wie der auch wie (längere Zahlen, kmplexere Situatinen mit 0 als Ziffer) Umsetzen der Kenntnisse vm schriftlichen Multiplizieren bzw. der Stellenwerte für die (schrifltiche) Divisin 3. Kmplexitätsstufe PLUS (für einige SchülerInnen): zusätzlich du den Anfrderungen der 1. und 2. Kmplexitätsstufe schriftliche Multiplikatin mit nch längeren Zahlen z.b der Textaufgaben bei denen (schriftliche) Multiplikatin und/der Divisinen erfrderlich sind Knbelaufgaben Methden & Vrgehensweise Während der Durchführung werden die nachstehenden Methden (zum Erlernen und Üben) angewandt: mündliches Kpfrechnen in der ganzen Klasse Kpfrechnen in Partnerarbeit gemeinsames Erarbeiten vn Musteraufgaben/-beispielen an der Tafel differenziertes Üben/Rechnen während der Übungszeiten im Unterricht Akademie für Entwicklungsbegleitung 3

4 differenziertes Üben/Rechnen bei den Hausaufgaben Rechentest... mit anschließendem Einzeltraining und Verbesserungstest Für die Evaluatin und Auswertung kmmen in Betracht: SchülerInnenbebachtungen (im Unterricht) SchülerInnenbefragungen (im Unterricht) als Unterlagen die Rechenhefte der SchülerInnen die Ergebnisse des Rechentests Rückmeldungen der Eltern (Elternabend) nachflgende Bebachtungen und Rechenunterlagen aus späteren Rechenunterrichten Knkrete Maßnahmen & Handlungen Vrbemerkung/Überleitung Vrbereitung und Entwicklung der Einführung der schriftlichen Multiplikatin in der besnderen Frm mit den untergliedernden Lernschritten (s. Anhang) Wiederhlungsphase: Aufgreifen und wiederhlen (Kleines 1 mal 1, Kleines 1 mal 1 mit Null ( 5 4 und 5 40 ), z.t. grßes 1 Mal 1), 2 Wchen HU täglich 90 Minuten Hauptphase: Hauptunterricht, 3 Wchen, täglich 90 Minuten Elternabend Auswertung und Evaluatin der Epche und verfassen des Prjektberichts Zeitplanung&Meilensteine Vrbemerkung/Überleitung: Zeitplan Vrbereitung und didaktisches Knzept : September / Oktber 2007 Meilensteine vllständiger Erstentwurf des didaktischen Knzepts zur Einführung des schriftlichen Multiplizierens Wiederhlungsphase: Hauptphase: Evaluatin und Auswertung der Epchen (und vn nachflgendem Unterricht): Dezember 2007 bis Juli 2008 Prjektbericht verbessertes didaktisches Knzept Akademie für Entwicklungsbegleitung 4

5 Auswertung und Ausblicke Zusammenfassung: Das Praxisfrschungs-Prjekt Einführung der Schriftlichen Multiplikatin verflgte die beiden Fragen, inwiefern die spezielle Frm der Einführung der schriftlichen Multiplikatin (s. Anhang) das grundlegende mathematische Verständnis für den Rechenalgrithmus bei allen Kindern fördert und ein verstärkt binnendifferenziertes Unterrichten unterstützt, welches die individuellen Lernwege (die jeweiligen Lernfähigkeiten und mathematische Begabungen entsprechend) der einzelnen Kindern unterstützt? Beide Fragen sllten untersucht werden für (drei) unterschiedliche Fähigkeits- bzw. Kmplexitätsstufen (Grundlegend/Erweitern/PLUS vgl. Planung). In der Praxis zeigte sich dann, dass die spezielle Frm der Einführung mit ihrem Rückgriff auf das Stellenwertsystem für alle SchülerInnen eine geeignete Verständnisgrundlage für den Rechenalgrithmus der schriftlichen Multiplikatin darstellte. Den schwächeren SchülerInnen bt er immer wieder verräumlichende Hilfestellungen, während er bei den schnelleren SchülerInnen durch den strukturierten, steigenden Aufbau weiterführende Fragen zur nächsten Verfeinerung und Verbesserung des Rechenalgrithmus anregte. Dies erwies sich bereits als erste interessante Differenzierungsmöglichkeit für die Übzeiten. Die SchülerInnen fanden weiter Möglichkeiten bei knkreten Aufgaben. Es sei angemerkt, dass diese SchülerInnenerfindungen interessanter Weise auch wieder in direktem Bezug zum Stellenwertsystem stehen. Zum mathematischen Verständnis des Rechenalgrithmus bei den SchülerInnen Den SchülerInnen gelang es durchwegs gut den eingeschlagenen Weg des Entwickelns der schriftlichen Multiplikatin aus dem Kpfrechnen zu erfassen. Da bei Kpfrechnen natürlicher Weise schn auf Stellenwertsystem zurückgegriffen wird. war letzteres auch im schriftlichen Multiplikatinsalgrithmus keine unbekannte Therie, sndern eine im Zusammenhang vrhandene Begrifflichkeit, die den SchülerInnen das Verständnis erleichterte. Den schwächeren SchülerInnen war es eine Hilfe den Algrithmus in farbiger Schrift auszuführen, was insbesndere für die einzeilige Schreibweise vn Vrteil war. Akademie für Entwicklungsbegleitung 5

6 Farben und einzeilige Schreibweise EinE SchülerIn, die/der sich in Mathematik schwer tut, jedch vn ihrer persönlichen Veranlagung her immer alles richtig machen möchte - knnte s bis zum Ende der Epche die einzeilige Schreibweise des Rechenalgrithmus erlernen. Eine starke Leistung! Das erinnern an die Stellenwerte der einzelnen Ziffern war ebens hilfreich. Sie machte die Bedeutung der einzelnen Ziffern im gesamten Zahlenzusammenhang nch mal deutlicher als es die farbige Schreibweise aber implizit bereits tut. Stellenwerte als Hilfestellung Swhl die Farbigkeit als auch das Anschreiben der Stellenwerte sind beides begleitende verräumlichende Tätigkeiten des eigentlichen Rechenschrittes. Das Verräumlichende kmmt neurphysilgisch genau der rechnerischen Tätigkeit entgegen. Während der Übzeiten der auch bei gemeinsamen Kntrllübungen zwischen SchülerIn und LehrerIn zeigte sich das Verständnis für den Rechenalgrithmus. Dabei gab es interessante, temperamenten charakteristische Schwierigkeiten. Einige phlegmatische Kinder brauchten den Antrieb der Lehrerin und kamen s zu richtigen Ergebnissen an der Tafel. Alleine am Platz fehlte dieser antrieb... Es geschah nichts, bwhl wie die Tafelaufgaben zeigten, das Grundverständnis vrhanden war. Einige sanguinische Kinder Akademie für Entwicklungsbegleitung 6

7 brauchten die knzentrierte Führung der LehrerIn, um die einzelnen Schritte nicht zu schnell zu überspringen. Hinzu kam das Phänmen, dass es immer wieder Tage gab, an dem die Kinder Prbleme bei Aufgaben hatten, welche sie bereits drei Tage zuvr richtig gerechnet hatten. Es war, als würde das Verständnis wie in ein eine Schleife nch mal zurückschweifen, um dann wieder erneut nach vrne zu drängen. Wie linear ist der menschliche Verstehensprzess? Für die schnellen LernerInnen unter den SchülerInnen ergab sich eine interessante Situatin durch den sehr kleinschrittigen und anschaulichen Aufbau der Einführung. Sie durchblickten sehr schnell Zusammenhänge und Abkürzungen. Schnell wurde die einzeilige Schreibweise - erst nch mit Farben entdeckt. Dann wurde es zu einem gewissen Sprt schneller zu rechnen, was sich darin nieder schlug, dass sie die ganze Rechnung in einer Farben ntierten (s. Farben und einzeilige Schreibweise) Durch die Kleinschrittigkeit im Aufbau entstand für die schnelleren SchülerInnen direkt die Situatin, mit ihrem Verständnis des Rechenalgrithmus nicht nur den aktuell besprchenen Schritt für die ganze Klasse mitzuverflgen sndern gleichzeitig den nächsten (kleinen Teil-) Schritt selber zu erfrschen. Das war sehr interessant, führte jedch auch zu einem speziellen Prblem. Die Kinder fragen daheim ihre Eltern danach, wie etwas zu rechnen sei eben nach dem nächsten Vereinfachungsschritt. Die Eltern kannten jedch aus der eigenen Schulzeit eine andere Schreibweise des Multiplikatinsalgrithmus. Nun standen zwei Erklärungen im Raum. Der neue Rechenweg wurde auch n der Tafel besprchen. Die SchülerInnen sahen Zusammenhänge und gingen nun unterschiedlich mit ihrem Elternrechenweg um. Einige kamen direkt auf den zuvr erklärten Weg zurück, andere erste im Laufe der Zeit. EinE SchülerIn allerdings musste unbedingt bei seinem Elternrechenweg bleiben. Prblematisch erwies sich jedch, dass die schwächeren SchülerInnen durch den zweiten Rechenweg verunsichert wurde wurden (s. auch Zu den Veränderungen während der Praxisphase) Zu den individuellen Lernwegen im Unterricht durch Binnendifferenzierung Eine erste Differenzierungsmöglichkeit ergab sich wie erwähnt durch die Kleinschrittigkeit im Aufbau der Einführung, in den kleinen, ansteigenden Verständnisschritten des Rechenalgrithmus. Während die einen SchülerInnen den aktuellen Rechenschritt bewältigten, suchten die anderen bereits nach Abkürzungen und dem flgenden Schritt. Dieses Prinzip (der gezielten Vrwegnahme im Unterricht) wurde durch die anschließenden Übungen nch unterstützt. Ein Beispiel: Differenzierung durch kleine Verständnisschritte Akademie für Entwicklungsbegleitung 7

8 Kleinschrittigkeit und elementare Aufgaben ermöglichen ganz grundlegende Übungen für die einen. Durch die Rechenzeit im Unterricht ist auch die Möglichkeit des knkreten Übens und der Hilfestellung z.b. auch durch das Anschreiben der Stellenwerte, was besnders bei Kindern mit Raumrientierungsprblemen eine grße Hilfe war. Andere Kinder beschäftigten sich schn mit Aufgaben, welche den nächsten Kmpelxitätssprung vrwegnahmen. Zu diesen Aufgaben fanden die SchülerInnen andere Aufgaben, welche sie selbstdifferenzierend erfrschten. Flgende Übungsaufgabe während des Unterrichtes: Selbstdifferenzierung bei den Übungen Die Aufgabe war ursprünglich s gemeint, dass steigend: 4x73= 4x134= 4x2315= usw. gerechnet werden sllte. Schnell machten die SchülerInnen aber daraus: 413x usw. Es entwickelte sich ein sprtliches Rechnen. Bis in die längsten Zahlen. Bis sich bei der Multiplikatin durch die sehr vielen Rechenschritte einfach Fehler ergaben und die SchülerInnen auf ein für sie passendes Niveau zurückgehen mussten. Ein Schritt in Richtung: W stehe ich tatsächlich. Zu den Veränderungen während der Praxisphase Die zugrunde liegende Einführung der schriftlichen Multiplikatin hat sich durchwegs bewährt. Allerdings hat sich ein nicht geahntes Prblem während der Erprbung ergeben. Das ist das Prblem, wenn die Eltern andere Erklärungen (für die schriftliche Multiplikatin) kenne und selbstverständlicher Weise ihren Kindern dann auch dementsprechend helfen wllen. Das Prblem wurde virulent durch die vielen kleine Frschungsaufgaben für die schnelleren SchülerInnen. Sie waren ja ft damit beschäftigt den nächsten Schritt heraus zu bekmmen. Und einige fragten daheim die Eltern. Am flgenden Tag kamen sie dann mit der anderen Erklärungsweise in den Unterricht. Da musste drauf eingegangen werden. Natürlich ist es spannend beide Wege zu besprechen und zu vergleichen. Das geschah an der Tafel und führte bei den schwächeren SchülerInnen zu Unsicherheiten. Die anderen knnten vergleichen, blieben bei dem neuen System der wechselten wieder zurück. Letztlich blieb nur eine SchülerIn bei dem elterlichen Erklärungsrechenweg. Dieses Prblem und die beschriebene Anpassung wurden erfrderlich, wenngleich auf einem Elternabend die Methde ausführlich beschrieben wurde. Allerdings fand der Elternabend während der Epche statt. Die Fragen der Kinder an die Eltern daheim waren da schn passiert. Andererseits zeigte sich der Elternabend auch nur sehr eingeschränkt geeignet, mathematik-didaktische Themen zu besprechen. Den ganzen Tag Arbeiten und am Abend dann nch selber Mathe machen... Erflgreicher haben sich Einzel-Eltern- Gespräche erwiesen, die sich aus anderen Anlässen ergaben. Akademie für Entwicklungsbegleitung 8

9 Rückblick- und Ausblick Die untersuchte spezielle Frm der Einführung der schriftlichen Multiplikatin erscheint nach dieser ersten Erprbung viel versprechend, was die Förderung swhl des mathematischen Grundverständnisses des Rechenalgrithmus als auch die Unterstützung der individuellen Lernwege im Unterricht betrifft. Die Frage des anderen, heutzutage meistens üblichen Erklärungsmuster des Rechenalgrithmus ist wichtig und muss unbedingt im Vrhinein bedacht werden. Eine Elterninfrmatin im Rahmen eines Elternabends vr der Epche erscheint für das vrliegende Thema nicht geeignet. Ein gangbarer Weg wäre allerdings: 1. den schriftlichen Multiplikatinsalgrithmus wie geplant in kleinen Schritten einführen, 2. die nächsten Schritte im sinne einer vrwegnehmenden Platzierung im Unterricht als Differenzierung die schnelleren SchülerInnen erfrschen lassen, 3. Wenn die SchülerInnen wesentlich andere Erklärungsmuster z.b. wie geschehen entdecken, diese in kleinen Gruppen mit den betreffenden SchülerInnen besprechen. Hierdurch sind nur die SchülerInnen mit betrffen, die sich mit diesen Fragen beschäftigt haben, smit auch eher freie Lernkapazitäten haben. Für diese SchülerInnen ist der weitere, neue Rechenweg ein vertieftes Durchschauen der Zusammenhänge und bildet ihre mathematischen Fähigkeiten vielseitig weiter. 4. Wichtig! Keine Besprechung des anderen, neuen Rechenwegs für alle SchülerInnen an der Tafel. S kmmt es bei den schwächeren SchülerInnen nicht zur Verunsicherung. Es bleibt unabhängig vn dieser Einführung der schriftlichen Multiplikatin die Erfahrung, dass wenn deutlich andere Rechenwege, Methden der Inhalte im Unterricht als snst üblich behandelt werden, diese ansnsten üblichen Methden im Vrhinein mit eingeplant werden müssen. Inwiefern das auf einem Elternabend gelistet werden kann, wird der Einzelfall zeigen müssen. Eine ergänzende Möglichkeit wäre, die wichtigsten didaktischen Schritte dieser Einführung der Schriftlichen Multiplikatin knzentriert auf ein bis zwei Seiten für interessierte Eltern zusammenzustellen. Wer dann mehr wissen möchte könnte die didaktischen Infrmatinen dann z.b. im Internet herunterladen. Als ffene Frage in der augenblicklichen Situatin bleibt: in wie fern es aufgrund des Bekanntheitsgrades der üblichen Einführung bei den Eltern und in den Schulbüchern tatsächlich interessant ist diesen bekannten Weg vn Anfang an einzuschlagen. Dadurch wären keine Verwirrungen durch unterschiedliche Erklärungen zu erwarten. Die Eltern die den Kindern helfen möchten können dies direkt tun. b es in der nächsten Epche interessant sein könnte, den bekannten anderen Rechenweg aufzugreifend und umzustellend zu behandeln. Dann wäre ein weiteres Helfen und Unterstützen durch die Eltern daheim einfacher zu bewerkstelligen. Akademie für Entwicklungsbegleitung 9

10 Materialsammlung Vrbereitete Wiederhlung 1 Akademie für Entwicklungsbegleitung 10

11 Vrbereitete Wiederhlung 2 Akademie für Entwicklungsbegleitung 11

12 Vrbereitete Wiederhlung 3 Akademie für Entwicklungsbegleitung 12

13 Vrbereitete Wiederhlung 4 Akademie für Entwicklungsbegleitung 13

14 Vrbereitete Wiederhlung 5 Akademie für Entwicklungsbegleitung 14

15 Vrbereitete Wiederhlung 6 Akademie für Entwicklungsbegleitung 15