Optimierung und Lagrange. x = 9 maximiert f

Transkript

1 Optimierung und Lagrange 1.1 Eine Variable, keine Nebenbedingung ma f ( Erinnerung: (a) min f ( ma ( f ( ) (b) maimiert f f ( ) = 0 (c) f ( ) = 0 und f knkav (z.b. f ( ) 0 für alle ) maimiert f Beispiel: f ( = 50 (9 f ( = (9 f ( = f ist knkav; f ( ) = 0 = 9 = 9 maimiert f 1. Eine Variable, eine Nebenbedingung Beispiel 1: 5 5 ma (50 (9 ) 5 Lösung im Beispiel: = 5

2 f 5 9 llgemeine Frmulierung der Optimierungsaufgabe: ma f ( Frage: Gibt es ein ähnliches Rechenverfahren wie bei dem Maimieren hne Nebenbedingungen (s.. (c))? ntwrt: In aller Regel Ja. Idee: Finde Funktin, die bei der Lösung des Optimierungsprblems mit Nebenbedingungen glbal maimiert wir Diese Funktin sllte als Infrmatin die zu maimierende Funktin f und die Nebenbedingungsfunktin g berücksichtigen. Versuchen wir es mit der flgenden Lagrangefunktin: L(, λ) = f ( + λ Gibt es als ein λ, s daß L die ben gefrderte Eigenschaft hat? In unserem Beispiel (und snst fast immer) ist die ntwrt Ja. Betrachten wir nchmals dieses Beispiel. Damit L an der Lösung die bleitung vn L nach an dieser Stelle = 0 sein: = 5 maimal wird, muß (, λ) = f ( ) + λg ( ) = 0 In unserem Beispiel als: f ( 5) + λg (5) = (9 5) λ = 0

3 Wenn wir als λ = λ = 8 wählen, dann wird die Steigung der Lagrangefunktin bezüglich der Variable bei der Lösung = 5 gerade Null sein: (, λ ) = (5,8) = 0 Wenn L(, λ ) = L(,8)) = f ( + 8 = (50 (9 ) + 8(5, eine knkave Funktin ist, dann maimiert = 5 die Lagrangefunktin hne Nebenbedingungen. Diese Bedingung ist hier erfüllt. In unserem Beispiel 1 läßt sich als eine Funktin finden, deren maimierendes gerade mit der Lösung des usgangsprblems übereinstimmt. Wir werden sehen, daß dies i.r. s ist. Betrachten wir dazu eine Variante des Beispiels: Beispiel : f ( = 50 (9 = 10 f 9 10 wraus man als Lösung = 9 erkennt. Beachte: Bei der Lösung gleich Null. In dem nsatz = 9 ist die bleitung der zu maimierenden Funktin f selbst L(, λ) = f ( + λ ist es daher naheliegend λ = 0 zu wählen. 3

4 In beiden Beispielen haben wir Lagrangefunktinen gefunden (genauer jeweils ein gefunden), s daß diese Lagrangefunktin gerade an der Stelle sein Maimum (hne Nebenbedingungen) annimmt, an der die Funktin f unter der Nebenbedingung maimiert wir λ g f 5 9 Wenn wir λ kennen, können wir daher die gesuchte Lösung über die Nullsetzung einer bleitung finden (genauer gesagt i.r.). Das Prblem ist jedch nch: Wir haben ben λ bestimmen können, weil wir die Lösung dies als Ergebnis liefern! kannten. Das Rechenverfahren sll aber gerade Im Grunde haben wir zwei Unbekannte und λ und bisher nur eine Gleichung: (, λ ) = 0 Es gibt jedch nch mehr Infrmatin: Erstens muß λ gelten. Dies ist in beiden Beispielen erfüllt, ist aber auch ganz allgemeingültig, wie man sich graphisch klarmachen kann: ußerdem fällt jede Lösung in eine vn zwei Fallklassen: ist eine innere Lösung: g ( ) > 0 (z.b. in Beispiel ) der ist eine Rand -Lösung: g ( ) = 0 (z.b. in Beispiel 1) 4

5 Wenn es sich um eine innere Lösung handelt haben wir gesehen, daß wir λ = 0 setzen können. Faßt man diese Infrmatinen zusammen, s ergibt sich λ g ( ) = 0 in allen Fällen. Dies ist wieder allgemeingültig und wir haben dadurch nch eine zweite Gleichung. λ gibt mit flgenden Eigenschaften: demnach die Eigenschaft (fast immer), daß es ein passendes (1) (, λ ) = 0 () λ ) = 0 (3) λ (4) ) Diese Eigenschaften heißen Kuhn-Tucker-Bedingungen. In beiden Beispielen würde flgendes Verfahren immer die Lösung der ursprünglichen Maimierungsaufgabe ergeben: 1) ufstellung der Lagrangefunktin ) ufstellung der Kuhn-Tucker-Bedingungen 3) Lösen der Kuhn-Tucker-Bedingungen (, λ ) 4) ist die gesuchte Lösung. Dieses Verfahren läßt sich verallgemeinern: Betrachten wir allgemein das Prblem MX: ma f ( 5

6 und die dazugehörige Lagrangefunktin: L(, λ ) = f ( + λ. Dann gilt ganz allgemein die flgende ussage: Satz 1: Wenn f und g knkave Funktinen sind und (, λ ) die entsprechenden Kuhn- Tucker-Bedingungen löst, dann löst das Prblem MX. Daraus ergibt sich ganz allgemein das flgende Verfahren: 1) Überprüfung, b f und g knkav sind; falls dies der Fall ist, mit ) weiter, falls nicht: wir kmmen hne ein tieferes Verständnis der Optimierungstherie nicht weiter. ) ufstellung der Lagrangefunktin 3) ufstellung der Kuhn-Tucker-Bedingungen 4) Lösen der Kuhn-Tucker-Bedingungen (, λ ) (das geht fast immer, wenn das Prblem MX überhaupt eine Lösung hat) 5) ist die gesuchte Lösung vn MX. Umgekehrt gilt auch fast ganz allgemein (genauer gesagt, wenn eine Variante der sg. Beschränkungsqualifikatin erfüllt ist, was in öknmischen nwendungen immer sicher gestellt wird), daß es zu jeder Lösung vn MX einen Lagrangemultiplikatr λ, s daß (, λ ) die entsprechenden Kuhn-Tucker-Bedingungen erfüllt..1 Mehrere Variablen, eine Nebenbedingung Das bige Verfahren läßt sich hne Prbleme auf mehrere Variablen verallgemeinern. Hier ma f ( 1, ) 1, ) 1, 6

7 Beispiele: 1) Nutzenmaimierung: ma u( 1, ) m p11 p 1, ) Gewinnmaimierung: ma py w f ( y 0, y 3) Paret-Optimalität: ma u ( 1, ) u ( ω1 1, ω ) u 1, Lagrangefunktin: L( 1,, λ) = f ( 1, ) + λ 1, ) Kuhn-Tucker-Bedingungen: B (1) ( 1,, λ ) = 0, i = 1, i B () λ 1, ) = 0 (3) λ ( 1 (4) g, ) 0 Die ussagen zu den Beziehungen zwischen Lösung vn MX und Lösung der Kuhn- Tucker-Bedingungen aus 1. übertragen sich wörtlich auf diesen Kntet, auch wenn wir mehr als zwei Variable zugelassen hätten. Dasselbe gilt für mehr als eine Nebenbedingung. Hinweis auf den Fall der Nebenbedingung = 0. 7