a Kartons möglichst groß wird? x

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1 15 Etremwertaufgaben Eine weitere wichtige Anwendung der Differentialrechnung ist das Lösen von Etremwert-aufgaben Es handelt sich hierbei um Aufgaben aus den verschiedensten Gebieten (Geometrie, Ökonomie, Phsik, Technik usw) bei denen es darauf ankommt, einen Vorgang durch eine Funktion f : I IR zu beschreiben, von der im Intervall I das Maimum bzw Minimum ermittelt werden soll Beispiele hierfür sind: maimales Volumen eines Behälters, maimale Belastbarkeit eines Balkens, minimaler Materialaufwand Bemerkung 151: Bei den Etremwertaufgaben ist folgendes zu beachten: Ist f eine auf dem abgeschlossenen Intervall I [a,b] stetige Funktion, so nimmt die Funktion f auf I ihr absolutes Maimum und Minimum an Mit Hilfe der Differentialrechnung können wir die relativen Etremwerte in (a,b) ermitteln (wenn f differenzierbar ist) Ein Vergleich mit den Randwerten f(a) und f(b) ergibt dann das absolute Maimum bzw Minimum in [a,b] Im folgenden werden wir verschiedene Beispiele für Etremwertaufgaben betrachten Beim Lösen solcher Aufgaben ist es wichtig, das Problem als differenzierbare Funktion einer Variablen darzustellen; treten weitere Variablen auf, so müssen diese durch sogenannte Nebenbedingungen eliminiert werden Beispiel 151: Zur Herstellung eines Kartons sollen an den Ecken einer quadratischen Pappe mit der Seitenlänge a vier Einschnitte gemacht und die entsprechenden Rechtecke hochgebogen werden (s Abb 151) Die schraffierten gleichgroßen Quadrate dienen zum Heften des Kartons Wie groß muss der Einschnitt gemacht werden, damit der Rauminhalt V des a Kartons möglichst groß wird? Nach der Volumenformel für den Quader V Grundseite Höhe ergibt sich für den Rauminhalt Abb 151 Für unser Problem ist der Definitionsbereich I (0,a/) sinnvoll, denn für 0 ist die Höhe gleich Null und für a/ ist die Grundfläche gleich Null 1 Ableitung:

2 Also: Für unser Problem ist nur die Lösung 1 sinnvoll, da für die Pappe in mehrere Teile zerschnitten würde Der Wert liegt außerdem nicht in unserem Definitionsbereich a Es ist f ( ) 4 8a f 4a < 0 6 An der Stelle a/6 liegt also ein Maimum Demnach muss der Einschnitt 1/6 der Seitenlänge a betragen Da das Intervall I offen ist, müssen wir die Randwerte nicht untersuchen Beispiel 15: Ein Gewölbegang hat einen Querschnitt von der Form eines Rechtecks mit aufgesetztem Halbkreis (Abb 15) Der Umfang ist mit Rücksicht auf das Baumaterial durch U 10 m fest gegeben Wie muss das Gewölbe gestaltet werden, damit es einen möglichst großen Inhalt erhält? Die Fläche (Fläche Rechteck Fläche Halbkreis) soll maimal werden Die Funktion F hängt aber von den beiden Variablen und ab Wir eliminieren die Variable, indem wir mit Hilfe der Nebenbedingung U 10 durch in der Gleichung der Funktion F ersetzen Wir erhalten damit eine neue Funktion f, die nur noch von der Variablen abhängt; nämlich: Abb 15 f ( ) 10 Der Graph dieser Funktion ist in Abb 153 dargestellt Mit der Nebenbedingung gilt: 10 0 Abb 153 Graph der Flächenfunktion Der für unser Problem sinnvolle Definitionsbereich ist demnach 10 I 0,

3 1 Ableitung: Ableitung: < Also ist an der Stelle ein Maimum Setzen wir diese Wert in die Nebenbedingung ein, so erhalten wir 51 1, 40 4 Das Gewölbe mit dem größten Rauminhalt bei gleichbleibendem Umfang U 10 m erhalten wir, wenn 1,40 m und 1,40 m gesetzt wird Da das Intervall I offen ist, brauchen die Randwerte nicht untersucht werden Beispiel 153: Zwei Orte A und B, die von einer Eisenbahnlinie die senkrechten Abstände a 3 km und b km haben, sollen einen gemeinsamen Bahnhof erhalten Wohin ist der Bahnhof zu legen, damit die Gesamtlänge der neu zu errichtenden Straßen ein Minimum wird? Der Abstand der Fußpunkte A' und B' sei c 5 km A B a 3 A' Abb c 5 B' b Die Gesamtlänge der Straße ergibt sich mit dem Satz des Pthagoras als, [0,5] Die Funktion ist wohldefiniert, da die Ausdrücke unter den Wurzelzeichen immer größer als Null sind 1 Ableitung:

4 Durch Umformungen erhalten wir: (durch das Quadrieren können Lösungen hinzukommen) -10 Der Wert -10 ist für unser Problem nicht sinnvoll Für ist die obige Umformung eine Äquivalenzumformung und somit ist Ableitung: 9 (5 ) 4 f ( ) 3 ( ) 3 9 (5 ) ( 4) > An der Stelle hat die Funktion f somit ein relatives Minimum Es ist: f ( ) 18 8, f (0) 34 4 und f (5) 3 9 Daraus entnimmt man, dass an der Stelle das absolute Minimum der Funktion f im Intervall [0,5] ist Der Bahnhof muss demnach 3 km vom Fußpunkt A' und km vom Fußpunkt B' gebaut werden Beispiel 154: Das Innere einer zlindrischen Spule vom Radius r soll durch einen Eisenkern von kreuz-förmigen Querschnitt ausgefüllt werden Welche Abmessungen muss der Kern haben, damit sein Querschnitt maimal wird? Den Flächeninhalt des Querschnitts erhalten wir als Funktion A, die von den beiden Variablen und abhängt; und zwar gilt: A(,) 4 Um zu erreichen, dass unser Problem durch eine Funktion f mit einer Variablen beschrieben wird, setzen wir M Abb 155 r φ und φ φ #

5 (151) φ φ φ Setzen wir das in die Funktion A ein, so erhalten wir die Funktion φ φ φ φ bzw nach Anwendung der Additionstheoreme φ φ φ Betrachten wir noch den Definitionsbereich der Funktion f Mit der Gleichung (151) gilt: φ 0 r und φ /4 0 Als sinnvollen Definitionsbereich für unser Problem erhalten wir also D [0,/4] 1 Ableitung: φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ < Ableitung: φ φ φ φ φ Für φ gilt: φ φ Somit ist φ < für alle φ An der Stelle φ hat die Funktion f ein relatives Maimum Es ist φ und wegen f(0) 0 und f r liegt 4 auch kein absolutes Maimum am Rand vor Der kreuzförmige Eisenkern hat deshalb die Maße φ φ φ!