6 Lineare Gleichungssysteme

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1 $Id: lgs.tex,v /12/10 06:35:25 hk Exp $ $Id: matrix.tex,v /12/12 11:51:11 hk Exp $ 6 Lineare Gleichungssysteme In der letzten Sitzung hatten wir begonnen exemplarisch einige Situationen zu beschreiben in denen lineare Gleichungssysteme natürlich auftreten. Die bisherigen Beispiele waren dabei geometrischer Natur und hatten nur wenige Gleichungen in wenigen Unbekannten. Nun wollen wir auch noch zwei Fälle großer linearer Gleichungssysteme betrachten. 4. Lineare Gleichungssysteme entstehen auch bei der numerischen Lösung von Differentialgleichungen. Angenommen wir haben ein zu berechnendes Skalarfeld u auf dem Würfel [0, 10] 3, also anders gesagt eine Funktion u : [0, 10] 3 R. Dabei sei u durch eine Differentialgleichung, also durch eine Gleichung in den Ableitungen der Funktion u, und zusätzliche Randbedingungen gegeben. Ein Ansatz zum numerischen Rechnen ist es den Würfel durch ein diskretes Gitter zu ersetzen, etwa indem das Intervall [0, 10] in jeder der drei Dimensionen mit einer festen Schrittweite unterteilt wird. Um die Funktion u auf den Gitterpunkten zu berechnen, nähert man alle Ableitungen durch gewissen Differenzenquotienten in der gewählten Schrittweite an und ersetzt die Differentialgleichung näherungsweise durch ein lineares Gleichungssystem. Dieses Gleichungssystem hat dann eine Gleichung und eine Unbekannte für jeden Gitterpunkt. Hierbei kommt man sehr schnell auf recht große lineare Gleichungssysteme, haben wir etwa die Schrittweite h = 0, 1, so wird das Intervall [0, 10] in 100 Teile zerlegt und wir haben = Gleichungen in ebensovielen Unbekannten. 5. Als ein letztes Beispiel eines linearen Gleichungssystems wollen wir den sogenannten Pagerang einer Seite im WWW besprechen. Der Pagerang ist eine positive Zahl die die Relevanz der fraglichen Seite messen soll. Wir denken uns alle Seiten im Netz als S 1,..., S n durchnumeriert, dabei ist n eine recht grosse Zahl. Jeder Seite S i soll ein Pagerang P (S i ) > 0 zugeordnet werden. Dabei soll sich die Relevanz der Seite daraus ergeben wieviele andere Seiten einen Link auf sie haben. Schreiben wir für jedes 1 i n B i := {1 j n j i und es gibt einen Link von Seite S j nach Seite S i } für die Menge aller Seiten die einen Link nach S i haben, so soll sich P (S i ) also aus B i ergeben. Wir wollen aber nicht einfach die Anzahl aller Links nach S i zählen, Links die von wichtigen Seiten kommen sollten mehr zählen als solche die von unwichtigen Seiten kommen. Welche Seite dabei wichtig ist, wird wiederum 14-1

2 durch deren Pagerang beschrieben. Man könnte also daran denken als Pagerang von S i die Summe alle Ränge der nach S i linkenden Seiten zu nehmen. Das ist aber auch problematisch, haben wir etwa eine wichtige Seite S j in B i die nur auf wenige andere Seiten verlinkt, so sollte dieser Link mehr zählen als ein Link von einer ebenso wichtigen Seite S k B i die auf sehr viele andere Seiten verweist. Hierzu betrachtet man die Bedeutung eines von der Seite S j ausgehenden Links relativ zur Gesamtzahl L j := Anzahl aller von S j ausgehenden Links aller Links von S j. Dabei werden mehrfache Links auf dieselbe Seite nur einmal gezählt und Links von S j auf sich selbst werden ignoriert. Hat Seite S j dann den Pagerang P (S j ), so soll jeder von S j ausgehende Link die Wichtigkeit P (S j )/L j auf sein Ziel übertragen. Um dann den Pagerang von S i zu ermitteln summieren wir diese Wichtigkeiten alle auf, also P (S i ) = j B i P (S j ) L j. So weit so gut, nur ist das leider keine Definition. Haben wir etwa kreisförmig angeordnete Links S 1 S 2 S 3 S 4 S 1, so hängt P (S 1 ) von P (S 4 ) ab, was wiederum von P (S 3 ) abhängt, dieses hängt von P (S 2 ) ab, und P (S 2 ) hängt schließlich wieder von P (S 1 ) ab. Trotzdem funktioniert alles, man muss sich die obige Formel nur nicht als eine Definition sondern als eine Gleichung denken. Schreiben wir die Formel zu P (S i ) j B i 1 L j P (S j ) = 0 um, so haben wir damit ein lineares Gleichungssystem in den n Unbekannten P (S 1 ),..., P (S n ) und ebenso vielen Gleichungen. Das ist noch nicht ganz das Gleichungssystem das wirklich verwendet wird, aber es kommt nur noch eine kleine Modifikation hinzu. Das dann entstehende lineare Gleichungssystem hat eine bis auf eine willkürliche Normierung eindeutige Lösung und in dieser sind alle P (S i ) tatsächlich positiv. Definition 6.1: Ein lineares Gleichungssystem besteht aus m linearen Gleichungen a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2 ( )... =. a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m für die gesuchten n Unbekannten x 1,..., x n. Dabei sind die sogenannten Koeffizienten a ij und die rechten Seiten b j reelle oder komplexe Zahlen, und auch die Variablen x 1,..., x n können reell oder komplex sein. 14-2

3 Je nachdem ob reelle oder komplexe Zahlen vorliegen, sprechen wir von einem linearen Gleichunssystem über R oder über C. Wir wollen noch einige Anmerkungen zur Notation machen. Zunächst beache das a ij den Koeffizienten vor x j in der i-ten Gleichung meint, der erste Index i ist also der Zeilenindex der sagt welche der Einzelgleichungen gemeint ist und der zweite Index j ist der Spaltenindex der angibt auf welche Variable wir uns hier beziehen. Dieser Konvention werden wir, soweit sinnvoll, auch bei anderen Arten solcher doppelt indizierten Größen a ij folgen, der erste Index ist der Zeilenindex und der zweite Index der Spaltenindex. Eine Lösung des obigen Gleichungssystems (*) gibt für jede der Variablen x 1,..., x n einen reellen oder komplexen Wert an unter dem alle Gleichungen aus (*) erfüllt sind, und um eine solche Lösung hinzuschreiben geben wir entweder die Zuweisungen explizit an, beispielsweise x 1 = 3,..., x n = 7, oder wir notieren sie kompakt als ein Tupel (3,..., 7). Oft schreiben wir dieses Tupel dann auch vertikal, in Form eines sogenannten Spaltenvektors, dies dient aber zunächst nur der Optik und hat im Kontext dieses Kapitels keine inhaltliche Bedeutung. Die Menge aller Lösungen von (*) nennen wir dann die Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems, diese wird immer in der Tupelschreibweise angegeben. Haben wir ein konkretes lineares Gleichungssystem, also auch einen festen Wert für die Anzahl n der Unbekannten, so nennen wir die Variablen bei kleinen n oftmals nicht x 1,..., x n sondern geben ihnen eigene Namen. Für die Benennung gibt es dabei keine fixierte Konvention, manchmal ergibt sich eine natürliche Benennung aus der sonstigen Aufgabenstellung, manchmal kann man rein willkürlich gewählte Namen verwenden. In diesem Skript und in den Übungsaufgaben werden wir im Fall n = 2 meist x, y oder s, t nehmen, im Fall n = 3 zumeist x, y, z und für n = 4 in der Regel x, y, u, v. Bevor wir an die Lösung linearer Gleichungssysteme gehen, ist es hilfreich eine kompakte Schreibweise für diese einzuführen. Definition 6.2: Eine m n Matrix A über K {R, C} ist ein rechteckiges Schema a 11 a 1n A =.. a m1 a mn bestehend aus m Zeilen von je n Elementen von K. Ist dabei m = n, so spricht man auch von einer quadratischen Matrix. Wir können jetzt ein lineares Gleichungssystem wie unser obiges ( ) als eine Matrix schreiben, indem nur noch die Koeffizienten und die rechte Seite des Systems hingeschrieben werden. Hierbei gehen die Bezeichungen der Unbekannten verloren, aber diese spielen innerhalb der Rechnungen sowieso keine Rolle. Definition 6.3: Sei ( ) das lineare Gleichungssystem aus Definition 1. Dann nennt man die Matrix a 11 a 1n A =.. a m1 a mn 14-3

4 die Koeffizientenmatrix des linearen Gleichungssystems ( ). Weiter heißt die Matrix a 11 a 1n b 1 A =... a m1 a mn b m die erweiterte Koeffizientenmatrix des linearen Gleichungssystems ( ). Gelegentlich wird die rechte Seite des Gleichungssystems in der erweiterten Koeffizientenmatrix durch einen senkrechten Strich von den Koeffizienten getrennt, also a 11 a 1n b 1..., a m1 a mn b m dies hat dann aber keine inhaltliche Bedeutung, sondern dient nur der Optik. Wir wollen uns jetzt auch noch ein erstes konkretes Beispiel eines linearen Gleichungssystems anschauen, nämlich das folgende System von vier Gleichungen in vier Unbekannten: x + 2y u + v = 1 x + 2y + u v = 3 x + 2y + 3u v = 1 3x u = 0 Koeffizientenmatrix A und erweiterte Koeffizientenmatrix A dieses Gleichungssystems entstehen dann indem wir alle redundanten Symbole, also Plus/Minus-Zeichen, Gleichheitszeichen und Unbekannte weglassen, sie sind also die 4 4 beziehungsweise 4 5 Matrix A = , A = Auf einige Randfälle wollen wir besonders hinweisen: Einzeln stehende Variablen werden in der Koeffizientenmatrix zu 1, da beispielsweise das x in der ersten Gleichung als 1 x gelesen werden kann. 2. Subtraktionen im Gleichungssystem werden als Addition mit dem entsprechenden negativen Vielfachen aufgefasst, so wird beispielsweise das u in der ersten Gleichung zu 1 in der Koeffizientenmatrix. 3. Nicht vorkommende Variablen in einer der Gleichungen denken wir uns als Null mal die entsprechende Variable dazu, beispielsweise führt das fehlende y in der vierten Gleichung in der Koeffizientenmatrix zu einer 0 in der zweiten Spalte der vierten Zeile

5 Sehr kleine lineare Gleichungssysteme mit n = 2 oder n = 3 Unbekannten kann man einfach durch schrittweises Eliminieren der Unbekannten lösen, sind die Unbekannten etwa x, y und haben wir zwei Gleichungen, so nehmen wir eine der beiden Gleichungen um y durch x auszudrücken, setzen das Ergebnis für y in die andere Gleichung ein, lösen diese nach x auf, und berechnen hieraus schließlich y. Dieses Verfahren wird aber schon ab n = 4 Unbekannten unpraktisch. Das Gleichungssystem im obigen Beispiel wäre noch gerade ausreichend klein um direkt durch schrittweises Eliminieren der Unbekannten gelöst zu werden, wir wollen aber lieber ein systematisches, allgemein verwendbares, Lösungsverfahren haben. Als ein solches werden wir das sogenannte Gaußsche Eliminationsverfahren verwenden. Dieses Verfahren beruht darauf ein gegebenes lineares Gleichungssystem von allgemeiner Form in ein äquivalentes System von sehr spezieller Gestalt umzuformen. Diese speziellen linearen Gleichungssysteme sind die linearen Gleichungssysteme die in der sogenannten Stufenform vorliegen: a 11 x a 1i x i + + a 1j x j + = b 1 a 2i x i + + a 2j x j + = b 2 a 3j x j + = b 3. =. mit a 11 0, a 2i 0, a 3j 0 und so weiter. In jeder Gleichung kommen also von links gesehen immer weniger der Unbekannten vor. Ein konkretes Beispiel für ein solches Gleichungssystem mit m = 2 Gleichungen und n = 4 Unbekannten ist x + y + u v = 1 u + v = 2, hier haben wir die beiden unterstrichenen Stufen der Länge 2. Wir lösen ein System in Stufenform indem wir von unten nach oben gehend jeweils eine Gleichung benutzen, die in dieser Gleichung am weitesten links stehende Variable mit von Null verschiedenen Koeffizienten festzulegen. In anderen Worten benutzen wir für die Systeme in Stufenform eine einfache, schrittweise Elimination von Variablen, bei Systemen in Stufenform ist diese aber wesentlich einfacher als für ein allgemeines lineares Gleichungssystem, da von jedem Einsetzungsschritt immer nur Variablen weiter rechts betroffen sind. Im Beispiel ergibt die zweite Gleichung u = 2 v und die Variable u ist festgelegt. An die andere Variable sind keine Bedingungen gestellt. Setzen wir u = 2 v in die erste Gleichung ein, so wird diese zu x + y + 2 v v = 1, also x = 1 y + 2v, d.h. durch diese Gleichung wird x festgelegt und an y gibt es keine Bedingungen. Für die Lösungsmenge ist es nun praktisch, die frei gebliebenen Variablen y und v in t und s umzutaufen. Die Lösungsmenge ist dann 1 s + 2t s 2 t t 14-5 s, t R.

6 Wie schon angekündigt schreiben wir die einzelnen Lösungen dabei in Tupelform, hier in vertikaler Form als einen sogenannten Spaltenvektor, also als eine 4 1 Matrix deren vier Einträge von oben nach unten für x, y, u, v stehen. Weiter haben wir das lineare Gleichungssystem über K = R interpretiert, wollen wir es als ein komplexes Gleichungssystem auffassen, so muss t, s R durch t, s C ersetzt werden. In einem linearen Gleichungssystem aus r Gleichungen in n Variablen das in Stufenform vorliegt, wird die Lösungsmenge durch n r freie Variablen beschrieben, die die restlichen r Variablen festlegen. Wenn n = m = r ist, es also keine langen Stufen im System gibt, so ist die Lösung eindeutig. Lange Stufen sind dabei solche, die zwei oder mehr Unbekannte umfassen. Nehmen wir beispielsweise x + 2y u + v = 1 4y + 2u = 2 2u 2v = 4 2v = 10 so liefert die vierte Gleichung v = 5, damit wird die dritte zu 2u 10 = 4, also u = 3, die zweite Gleichung ergibt 4y + 6 = 2, also y = 1 und schließlich mit der ersten Gleichung auch x = 1, also x = 1. Die Lösung von Systemen in Stufenform ist also völlig unproblematisch und zwar sowohl wenn die Lösung eindeutig ist als auch wenn es mehrere Lösungen gibt. Ein allgemeines lineares Gleichungssystem wollen wir lösen, indem wir es in ein äquivalentes System in Stufenform umwandeln. Hierzu verwenden wir die folgenden drei elementaren Transformationen eines linearen Gleichungssystems: 1. Vertauschen zweier Gleichungen. 2. Multiplikation einer der Gleichungen mit einer Zahl c Addition eines Vielfachen einer Gleichung zu einer anderen Gleichung. Offenbar verändert keine dieser drei Transformationen die Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems. Die Operation (2) wird dabei nicht wirklich benötigt, wir können sie beispielsweise dazu benutzen in der Stufenform zusätzlich a 11 = a 2i = a 3j = = 1 anzunehmen, was gelegentlich bequem ist. In Termen der erweiterten Koeffizientenmatrix werden diese drei Operationen zu 1. Vertauschen zweier Zeilen. 2. Multiplikation einer Zeile mit einer Zahl c Addition eines Vielfachen einer Zeile zu einer anderen Zeile. Diese drei Transformationen einer Matrix werden auch als elementare Zeilenumformungen bezeichnet. Das schon angekündigte Gaußsche Eliminationsverfahren, oft auch als 14-6

7 Gauß-Algorithmus bezeichnet, wendet diese drei elementaren Umformungen systematisch auf ein gegebenes lineares Gleichungssystem an, um es in ein System in Stufenform zu überführen. Wir wollen das Eliminationsverfahren zunächst am obigen Beispiel des linearen Gleichungssystems mit der erweiterten Koeffizientenmatrix durchführen. Das Verfahren startet hier indem wir Vielfache der ersten Zeile zu den anderen drei Zeilen addieren, und zwar so, dass der neue Eintrag in der ersten Spalte dieser drei Gleichungen zu Null wird. Ziehen wir die erste Zeile von der zweiten ab, so erhalten wir ganz links in der zweiten Zeile tatsächlich eine Null. Beachte dabei das ein Abziehen der ersten Zeile von der zweiten auch als Addition des ( 1)-fachen der ersten Zeile zur zweiten gedeutet werden kann. Entsprechend müssen wir die erste Zeile zur dritten Zeile addieren, und das dreifache der ersten Zeile von der vierten Zeile abziehen. Mit diesen drei elementaren Zeilenumformungen wird unsere erweiterte Koeffizientenmatrix zu Damit sind wir der Stufenform ein Stück näher gekommen. Nun würden wir gerne mit der zweiten Zeile so fortfahren, also Vielfache der zweiten Zeile zur dritten und vierten addieren so, dass wir in der dritten und vierten Zeile zwei führende Nullen bekommen. Leider geht dies nicht sofort, da der zweite Eintrag der zweiten Zeile ja selbst eine Null ist. Dies können wir aber leicht beheben, wir benutzen die erste unserer elementaren Zeilenumformungen um die zweite und die dritte Zeile der Matrix miteinander zu vertauschen Danach kann es weitergehen, um auch der vierten Zeile eine zweite Null zu geben, muss nur noch das 3/2-fache der zweiten Zeile zur vierten addiert werden

8 Damit ist die Stufenform schon beinahe erreicht. Wir müssen nur noch als letzten Schritt das 5/2-fache der dritten Zeile von der vierten abziehen und erhalten Damit haben wir unser lineares Gleichungssystem in Stufenform gebracht. Tatsächlich ist das erhaltene System in Stufenform gerade x + 2y u + v = 1 4y + 2u = 2 2u 2v = 4 2v = 10 und dies war unser zweites Beispiel eines linearen Gleichungssystems in Stufenform. Die eindeutige Lösung dieses Gleichungssystems hatten wir bereits als x = 1, y = 1, u = 3, v = 5 berechnet. Wir wollen nun noch ein zweites Beispiel durchrechnen. Wir betrachten das folgende lineare Gleichungssystem x + y + z = 1 2x y + 3z = 0 5x y + 7z = b. wobei b R eine Konstante ist. Hier beginnt das Eliminationsverfahren, indem wir das doppelte der ersten Zeile von der zweiten Zeile abziehen und anschließend das fünffache der ersten Zeile von der dritten Zeile abziehen b 5 Jetzt wird das doppelte der zweiten Zeile von der dritten Zeile abgezogen, und es entsteht b b 1 Die unterste Zeile der Koeffizientenmatrix besteht jetzt nur noch aus Nullen, und die Elimination ist beendet. Was jetzt passiert hängt von der Konstanten b ab. Ist b 1 0, also b 1, so ist die unterste Gleichung nicht erfüllbar, denn diese bedeutet ausgeschrieben ja 0 x + 0 y + 0 z = b

9 Das lineare Gleichungssystem hat in diesem Fall also keine Lösung. Dass ein lineares Gleichungssystem nicht lösbar sein muss, sollte keine Überraschung sein, wir hatten als ein Beispiel zu Beginn dieses Kapitels den Schnitt einer Ebene mit einer Gerade als lineares Gleichungssystem ausgedrückt, und ist die Gerade zufällig parallel zur Ebene, so hat dieses System halt keine Lösung. Ist im Beispiel dagegen b = 1, so können wir die unterste Zeile ignorieren, diese besagt ja nur noch 0 = 0, und haben ein System in Stufenform. Die untere Zeile des verkleinerten Systems gibt dann also eingesetzt in die erste Gleichung 3y + z = 2 = y = 1 3 z x = 1 y z = z. In der Beschreibung der Lösungsmenge verwenden wir diesmal z = 3t mit t R und haben 1 4t t 3 3t t R als die Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems. Das Gaußsche Eliminationsverfahren für ein lineares Gleichungssystem aus m Gleichungen in n Variablen läuft damit prinzipiell in drei Phasen ab: 1. Bringe das gegebene lineare Gleichungssystem von oben beginnend in Stufenform indem die Einträge der weiter unten liegenden Zeilen in der gerade betrachteten Spalte durch Addition geeigneter Vielfacher der oberen Zeile auf Null gebracht werden. 2. In der Koeffizientenmatrix des so entstandenen linearen Gleichungssystems seien die ersten r m Zeilen von Null verschieden. Es gibt zwei verschiedene Möglichkeiten: (a) Ist r < m, sind also unten in der Koeffizientenmatrix nur aus Nullen bestehende Zeilen entstanden, und ist die rechte Seite einer dieser Nullzeilen von Null verschieden, so hat das lineare Gleichungssystem keine Lösung. In diesem Fall sind wir an dieser Stelle fertig. (b) Andernfalls ist entweder r = m oder in jeder Nullzeile ist auch die rechte Seite Null. Dann ignorieren wir die unteren m r Zeilen und erhalten ein lineares Gleichungssystem aus r Gleichungen in n Unbekannten das in Stufenform ist. In diesem Fall ist unser Gleichungssystem auf jeden Fall lösbar. 3. Löse das entstandene lineare Gleichungssystem in Stufenform von unter her, indem jede der verbliebenen Gleichungen die am weitesten links stehende Unbekannte mit von Null verschiedenen Koeffizienten festlegt, und eventuell verbleibende Unbekannte als freie Parameter behandelt werden. Für r = n haben wir 14-9

10 eine eindeutige Lösung und für r < n eine Lösungsmenge, die durch n r Parameter beschrieben wird. Beachte das bei diesem Verfahren immer nur Vielfache einer oben stehenden Zeile zu einer weiter unten stehenden Zeile addiert werden, niemals in die andere Richtung. Auch werden keine Hilfsmultiplikationen zur Vermeidung von Brüchen verwendet. Damit liegen die einzelnen Rechenschritte weitgehend fest und es nicht nötig, und auch nicht üblich, diese zu vermerken. Werden die elementaren Zeilenumformungen in irgendeiner anderen Reihenfolge verwendet so spricht man nicht vom Gaußschen Eliminationsverfahren. In dieser Form ist das Eliminationsverfahren für die manuelle Bearbeitung linearer Gleichungssysteme moderater Größe geeignet. Außerdem wird es sich für die theoretische Untersuchung linearer Gleichungssysteme völlig beliebiger Größe als günstig erweisen. Zur Implementation auf einem Rechner ist die hier angegebene Form noch etwas ungünstig, da Rundungsfehler sich noch unnötig stark auswirken können. Wie man dies vermeiden kann, ist ein Thema der Numerik und soll hier nicht behandelt werden. Ebenfalls nicht geeignet ist das Verfahren für große Systeme, wie etwa diejenigen die durch Diskretisierung von Differentialgleichungen entstehen, oder die Pagerang-Gleichung, für solche Gleichungen verwendet man in der Regel spezialisierte Methoden. Will man das Eliminationsverfahren tatsächlich implementieren, so sind, abgesehen von den schon erwähnten numerischen Details, noch zwei weitere Kleinigkeiten zu beachten. Zum einen haben wir den Randfall ignoriert das die erste Unbekannte gar nicht in der Gleichung vorkommt, dass unser lineares Gleichungssystem in den Unbekannten x, y, z also beispielsweise y + z = 1, y z = 2 ist. Falls dieser Fall vorliegt oder sogar die ersten Variablen x 1,..., x s nur mit den Koeffizienten Null auftreten, so führen wir den Gaußschen Algorithmus zunächst mit den verbleibenden Variablen durch und falls dieses lösbar ist so fügen wir x 1,..., x s der Beschreibung der Lösungsmenge als freie Parameter hinzu. Andere solche nicht vorkommenden Variablen die nicht gerade am Anfang stehen bereiten dagegen keine Probleme, da diese einfach die jeweiligen Stufen des äquivalenten Systems in Stufenform verlängern. Derartige lineare Gleichungssysteme können durchaus vorkommen wenn das lineare Gleichungssystem als Teilproblem einer größeren Rechnung auftaucht und selbst als Ergebnis einer Rechnung erzeugt wurde. Das zweite Problem ist das der Gaußsche Algorithmus in unserer bisherigen Beschreibung kein Algorithmus im üblichen strikten Sinn ist, da an einigen Stellen willkürliche Wahlen getroffen werden können. Es ist erlaubt und gelegentlich hilfreich einzelne Zeilen während der Rechnung mit von Null verschiedenen Konstanten zu multiplizieren oder zwei Zeilen miteinander zu vertauschen. Auf ersteres kann man dabei verzichten, das Vertauschen von Zeilen ist aber gelegentlich notwendig wenn der Koeffizient der gerade bearbeiteten Spalte in der obersten noch nicht festgelegten Zeile gleich Null ist. Wir sagen das wir den Gaußschen Algorithmus in seiner Standardform durchführen wenn auf die Multiplikation von Zeilen mit Konstanten verzichtet wird und im Falle notwendiger Zeilenvertauschungen 14-10

11 immer die oberste bearbeitete Zeile mit der am weitesten oben stehenden Zeile mit von Null verschiedenen ersten Koeffizienten vertauscht wird. In der Standardform ist dann jeder Rechenschritt eindeutig festgelegt und es gibt nur einen möglichen Rechenweg. In unserem einführenden Beispiel zum Gaußchen Algorithmus haben wir diese Standardform verwendet. 7 Matrizen über R und C In 6 hatten wir Matrizen nur als eine kompakte Schreibweise für lineare Gleichungssysteme eingeführt. In diesem Kapitel wollen wir die Matrizen in ihren Status etwas aufwerten, und diverse Möglichkeiten einführen mit ihnen zu rechnen. Zunächst brauchen wir eine Bezeichnung für die Menge aller Matrizen einer gegebenen Größe. Definition 7.1: Seien K {R, C} und n, m N mit n, m 1. Dann bezeichne K m n die Menge aller m n Matrizen über K, also aller Matrizen bestehend aus m Zeilen und n Spalten mit Einträgen aus K. Jede reelle Matrix ist natürlich insbesondere eine komplexe Matrix, also R m n C m n und man kann komplexe Matrizen als den allgemeinen Fall auffassen. Manchmal ist es technisch bequem auch m = 0 oder n = 0 zuzulassen, dann wird die Menge K m n als {0} interpretiert. Weiter nennt man 1 n Matrizen auch Zeilenvektoren und m 1 Matrizen werden Spaltenvektoren genannt. Wir werden zwischen diesen beiden meistens keinen Unterschied machen. Sowohl für die Menge K n := K 1 n aller Zeilenvektoren der Länge n als auch für die Menge K m := K m 1 aller Spaltenvektoren der Länge m verwenden wir dasselbe Symbol. Dies ist normalerweise unproblematisch. 7.1 Addition und Multiplikation von Matrizen Die beiden einfachsten Operationen sind die Addition von Matrizen derselben Größe und die Multiplikation mit reellen beziehungsweise komplexen Zahlen. In diesem Zusammenhang nennt man letztere oft auch Skalare. Definition 7.2: Sei K {R, C} und seien n, m N\{0}. Sind dann A, B zwei m n Matrizen a 11 a 1n b 11 b 1n A =.., B =.. a m1 a mn b m1 b mn so definieren wir die Summe A + B von A und B als a 11 + b 11 a 1n + b 1n A + B :=... a m1 + b m1 a mn + b mn 14-11

12 Sind weiter c K ein Skalar und A K m n wieder die obige Matrix, so definieren wir das Vielfache c A durch a 11 a 1n ca 11 ca 1n c A = c.. :=... a m1 a mn ca m1 ca mn Insbesondere sind die Summen von Zeilen- beziehungsweise Spaltenvektoren gleicher Größe und Produkte von Skalaren mit Zeilen- beziehungsweise Spaltenvektoren definiert. Mit dieser Addition beziehungsweise Multiplikation mit Skalaren haben wir dann die folgenden Rechenregeln: 1. Assoziativgesetz der Addition Für alle m n Matrizen A, B, C gilt (A+B)+ C = A + (B + C). 2. Kommutativgesetz der Addition Für alle m n Matrizen A, B gilt A + B = B + A. 3. Existenz des neutralen Elements der Addition Ist 0 K m n die Nullmatrix, deren Einträge alle Null sind, so gilt 0 + A = A für jede m n Matrix A. 4. Existenz additiver Inverser Sind A eine m n Matrix so gilt ( A) + A = 0 wobei A := ( 1) A ist. Beachte das wir die Nullmatrix unabhängig von ihrer Größe einfach als 0 schreiben. Diese vier Rechenregeln entsprechen den sich auf die Addition beziehenden ersten vier Körperaxiomen (A1) bis (A4) aus 1.1. Es gibt jetzt einige weitere Rechenregeln über die Multiplikation mit Skalaren und deren Zusammenhang mit der Addition. 1. Assoziativgesetz für die Multiplikation mit Skalaren Für alle Zahlen t, s K und alle m n Matrizen A über K gilt (ts) A = t (s A). 2. Eins Für jede m n Matrix A über K ist 1 A = A. 3. Distributivgesetze Für alle m n Matrizen A, B K m n und alle Zahlen t, s K gelten (t + s) A = t A + s A und t (A + B) = t A + t B. Beachte das wir all diese Regeln insbesondere auch auf Zeilen- und Spaltenvektoren anwenden können. Auf explizite Beweise dieser Regeln wollen wir hier verzichten, sie sind allesamt trivial da einfach in jeder Komponente das jeweilige Körperaxiom für R oder C angewandt wird. Man kann Matrizen passender Größe auch miteinander multiplizieren, allerdings wird hierzu nicht die zunächst naheliegende komponentenweise Multiplikation verwendet. Warum die Matrixmultiplikation genau wie folgt definiert ist, und auch genau so definiert werden muss, werden wir erst später in 9.5 im Zusammenhang mit den sogenannten linearen Abbildungen sehen

13 Definition 7.3: Seien n, m, l N\{0}. Sind dann A eine m l Matrix und B eine l n Matrix jeweils über K {R, C} a 11 a 1l b 11 b 1n A =.., B =.., a m1 a ml b l1 b ln so ist das Produkt C := A B = c 11 c 1n.. c m1 c mn die m n Matrix C, deren Eintrag c ij in der i-ten Zeile und der j-ten Spalte (1 i m, 1 j n) durch l c ij := a ik b kj = a i1 b 1j + + a il b lj definiert ist. Zwei Matrizen A, B können also nur dann multipliziert werden, wenn die linke Matrix A genausoviele Spalten hat wie die rechte Matrix B Zeilen hat. Die Formel zur Multiplikation zweier Matrizen sieht zunächst etwas bedrohlich aus, ist in Wahrheit aber sehr einfach. Wir wollen einmal ein kleines Beispiel anschauen, betrachte etwa die beiden Matrizen A = ( ), B = Hier sind A eine 2 3 und B eine 3 4 Matrix, d.h. A und B können multipliziert werden und ihr Produkt ist eine 2 4 Matrix. Wie sieht die erste Zeile des Produktes A B aus? Die Formel für den allerersten Eintrag dieser Zeile lautet. c 11 = a 11 b 11 + a 12 b 21 + a 13 b 31 = ( 1) = 2. Übersichtlicher wird dies wenn wir uns die erste Zeile von A zu einer Spalte gedreht denken und diese der ersten Spalte von B gegenüberstellen Gegenüberliegende Zahlen werden dann miteinander multipliziert, und anschließend wird alles aufaddiert. Der zweite Eintrag der ersten Zeile ergibt sich dann ebenso, nur taucht diesmal auf der rechten Seite die zweite Spalte von B auf, also , 14-13

14 und wir erhalten c 12 = = 3. Die restlichen Einträge der ersten Zeile von A B ergeben sich analog. Gehen wir dann zur zweiten Zeile des Produkts über, so müssen wir uns die zweite Zeile der linken Matrix A gedreht denken und stellen diese den Spalten von B gegenüber, also etwa für den Eintrag in der ersten Spalte der zweiten Zeile von A B So fortfahrend haben wir dann insgesamt ( ) = ( Wir wollen nun einige der Rechenregeln für die Matrixmultiplikation festhalten. Dabei sollen alle vorkommenden Matrizen über den reellen oder den komplexen Zahlen definiert sein. Lemma 7.1 (Rechenregeln für Matrizen) Seien K {R, C} und n, m, p, q N\{0}. (a) Assoziativgesetz Sind A K m p eine m p, B K p q eine p q und C K q n eine q n Matrix jeweils über K, so gilt (A B) C = A (B C). ). (b) Einheitsmatrizen Ist E n := = }{{} n Spalten n Zeilen die sogenannte n n Einheitsmatrix, so gelten für jede m n Matrix A K m n über K die Gleichungen A E n = A und E m A = A. (c) Distributivgesetze Sind A K m p eine m p Matrix und B, C K p n zwei p n Matrizen, so gilt A (B +C) = A B +A C. Sind ebenso A, B K m p zwei m p Matrizen und C K p n eine p n Matrix, so gilt (A+B) C = A C +B C. (d) Multiplikation mit Skalaren Sind A K m p eine m p Matrix, B K p n eine p n Matrix und c K ein Skalar, so gilt (ca) B = A (cb) = c (A B). Beweis: (a) Seien also A, B, C wie in (a) gegeben. Die beiden Produkte (AB)C und A(BC) sind dann zwei m n Matrizen. Wir müssen einsehen das diese beiden Matrizen 14-14

15 in allen ihren Einträgen übereinstimmen. Für alle 1 i m, 1 j n ergibt sich der Eintrag von (AB)C in der i-ten Zeile und der j-ten Spalte als ( q q ) ((AB)C) ij = (AB) ik C kj = A il B lk C kj = A il B lk C kj und auf der anderen Seite haben wir ebenfalls (A(BC)) ij = A il (BC) lj = l=1 l=1 l=1 A il ( q B lk C kj ) 1 l p 1 k q = 1 l p 1 k q A il B lk C kj. Dies zeigt ((AB)C) ij = (A(BC)) ij, und (a) ist bewiesen. (b) Sei A K m n gegeben. Dann ist AE n eine m n Matrix und für alle 1 i m, 1 j n haben wir n (AE n ) ij = A ik (E n ) kj = A ij da (E n ) kj für k = j gleich 1 ist aber für 1 k n mit k j stets Null ist. Damit ist AE n = A und analog ergibt sich auch E m A = A. (c) Seien A K m p und B, C K p n gegeben. Dann sind A(B + C) und AB + AC beides m n Matrizen und für alle 1 i m, 1 j n gilt (A(B + C)) ij = A ik (B + C) kj = = A ik B kj + A ik (B kj + C kj ) A ik C kj = (AB) ij + (AC) ij = (AB + AC) ij. Damit ist A(B + C) = AB + AC und das erste der beiden Distributivgesetze ist bewiesen. Das andere Distributivgesetz folgt analog. (d) Seien A K m p, B K p n und c K gegeben. Dann sind (ca)b, A(cB) und c(ab) alles m n Matrizen über K und für alle 1 i m, 1 j n haben wir ((ca)b) ij = und ebenso (A(cB)) ij = (ca) ik B kj = ca ik (cb) kj = ca ik B kj = c A ik cb kj = c Damit ist (ca)b = c(ab) und A(cB) = c(ab). A ik B kj = c(ab) ij = (c(ab)) ij A ik B kj = c(ab) ij = (c(ab)) ij