Statische Versuchsplanung (DoE - Design of Experiments)

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1 Statische Versuchsplanung (DoE - Design of Experiments)

2 Übersicht Bei der statistischen Versuchsplanung wird die Wirkung von Steuerparametern unter dem Einfluss von Störparametern untersucht. Mit Hilfe von orthogonalen Feldern kann der Versuchsaufwand drastisch reduziert werden. Ziele und Anwendungsbereiche Wirkung von Steuerparametern erkennen Zielwert optimieren Streuung reduzieren Randbedingungen bis zu 9 Steuerparameter sinnvoll bis zu 9 Störparameter sinnvoll starke Wechselwirkungen zwischen Steuerparameter und zwischen Störparameter müssen bekannt sein je Einflussgröße sind 2 oder 3 Einstellungsstufen möglich Vorteile geringer Versuchsaufwand gegenüber Vollfaktoriellem Versuch Nachteile Statistikkenntnisse sind erforderlich Versuche müssen komplett durchgeführt werden um eine Auswertung zu ermöglichen Wechselwirkungen können zu Fehlinterpretationen führen

3 Begriffsdefinition Beeinflussbare Parameter Steuergrößen Beeinflussbare Größen können Maschineneinstellungen, Zusammensetzung von Rohstoffen oder Prozesseinstellungen sein. Für diese Parameter wird die optimale Einstellung gesucht, die den Prozess robust gegen Störeinflüsse macht. Nicht beeinflussbare Parameter Störgrößen Entweder können diese Größen gar nicht beeinflusst werden oder sie sind einfach zu teuer, um konstante Bedingungen zu gewährleisten (z.b. Luftfeuchtigkeit, Umgebungstemperaturen). Gegen diese sogenannten Störgrößen sollte das Produkt oder der Prozess möglichst unempfindlich (robust) sein. Die Versuchsdurchführung setzt voraus, dass Störgrößen variiert werden können. Orthogonale Felder Orthogonale Felder sind Tabellen für die Versuchsplanung mit Anweisung zur Einstellung von Parametern. Orthogonale Felder basieren darauf, dass jede vorgenommene Einstellung mit all den anderen Einstellungen so kombiniert werden, dass daraus Aussagen mit annähernd statistischer Genauigkeit, aber reduzierten Versuchsaufwand gezogen werden können.

4 Orthogonale Versuchspläne Prinzipielle Erklärung von orthogonalen Versuchsplänen (auch teilfaktorielle Versuchspläne genannt) am Beispiel von 3 Parametern auf jeweils 2 Stufen Bei teilfakoriellen Versuchen werden Kombinationen die interpoliert werden können weggelassen.

5 Bezeichnung von Orthogonalen Feldern 8 Versuche sind notwendig L 8 (2 7 ) 7 Parameter werden untersucht Die Parameter werden auf 2 Stufen variiert Nicht für jede Zahlenkombinationen existieren eigene Orthogonale Felder, es wird dann das nächst größere Feld verwendet und nicht alle möglichen Spalten ausgenutzt.

6 Beispiel für die Anwendung orthogonaler Felder Für die Optimierung eines Produktes oder Prozesses wurden 7 Parameter (A-G) ermittelt, die das Ergebnis y maßgeblich beeinflussen. Alle 7 Hauptgrößen sollen auf 2 Wertstufen (bezeichnet mit 1 und 2) eingestellt werden. Gewählt wird das orthogonale Feld L8 (27), das mit insgesamt 8 Versuchen für 7 Parameter mit je zwei Wertstufen geeignet ist. Versuchs Nr. Steuergrößen A B C D E F G Ergebnis y y y y y y y y 8

7 Erklärung der Wirkungen Verbesserung des Zielwertes (Mittelwert): Die Wirkung der Steuergröße E beispielsweise erhält man, wenn man die Ergebnisse yi aller Versuche mit Wertstufe 1 für die Größe E (Versuch 1,3,6,8) mittelt (E 1) und diesen Mittelwert dann mit dem Mittelwert E 2 der Versuche 2,4,5,7 vergleicht. Da sich hier alle anderen Größen in ihren Wertstufen ausgleichen und somit in ihrer Wirkung aufheben, spiegelt das Ergebnis die Hauptwirkung von E wider. Das Wirkungsdiagramm für die Steuergröße könnte sich folgendermaßen darstellen: Die Steigung der Geraden zeigt Wirkung des Parameters E auf den Mittelwert (Korrelation) y E 1 E 2

8 Erklärung der Wirkungen Verbesserung der Streuung (Standardabweichung s) Die Wirkung der Steuergröße E auf die Streuung S des Ergebnisses erhält man, wenn man die Standardabweichung aller Versuche mit Wertstufe 1 für die Größe E (Versuch 1,3,6,8) vergleicht mit der Standardabweichung der Steuergröße E auf Wertstufe 2 (Versuche 2,4,5,7). Die Einstellung von E auf Stufe 1 bewirkt eine geringere Streuung der Ergebnisse als Stufe 2. In diesem Beispiel besteht ein Zielkonflikt mit der Verbesserung des Mittel-wertes. S y S E 1 S E 2

9 Berücksichtigung von Wechselwirkungen Eine Wechselwirkung bezeichnet den gegenseitigen Einfluss von zwei oder mehr Steuergrößen auf das Produktmerkmal. Das Wechselwirkungsdiagramm für die Steuergrößen A und B lässt sich folgendermaßen darstellen: A 1 B 1 A 2 B 2 Achtung: Bei teilfaktoriellen Versuchen führen vorhandene Wechselwirkungen zu Fehlinterpretationen. A 1 B 2 A 2 B 1 Im gezeigten Beispiel ist die Wirkung von Parameter C sichtbar, nicht die Wechselwirkung von AB! Eine Wechselwirkung zeigt sich daran, dass sich die Geraden schneiden. Besteht keine Wechselwirkung, so verlaufen die Geraden parallel. Bei vermuteten starken Wechselwirkungen muss - um keine Verfälschung der Aussagen zu erhalten - schon bei der Planung der Versuche für jede Wechselwirkung eine Spalte im Orthogonalen Feld reserviert werden. Welche Spalte reserviert werden muss, ist aus den Wechselwirkungstabellen oder den Wechselwirkungsgraphen zu entnehmen (siehe Anhang).

10 Berücksichtigung von Wechselwirkungen Beispiel für die Berücksichtigung von Wechselwirkungen bei der Versuchsplanung: Orthogonales Feld L 4 (2 3 ): Versuch Nr. Parameter A Parameter B A x B Wechselwirkungstabelle für L 4 (2 3 ): Wechselwirkungsgraph: Spalte A AxB B Bei einer vermuteten Wechselwirkung zwischen Parameter 1 und 2 wird Spalte 3 für diese Wechselwirkung reserviert. Das bedeutet, dass mit diesem Orthogonalen Feld entweder 3 Parameter ohne oder 2 mit einer vermuteten Wechselwirkung berücksichtigt werden können.

11 Regeln Liste der verdächtigen Variablen erstellen und in Steuer- und Störgrößen unterteilen (z.b. anhand von gefundenen Indizien aus Vorversuchen) Wertstufen für Variablen festlegen, bei denen ein hohes bzw. ein niedriges Ergebnis erwartet wird (dabei sind 2 oder 3 Wertstufen möglich) Steuer- und Störgrößen auf starke Wechselwirkungen überprüfen orthogonale Felder für die Steuer- und Störgrößen auswählen Wechselwirkungsspalten definieren Anordnung der beiden Felder als Matrix, d.h. die Versuche für die Steuergrößen werden mehrfach wiederholt, wobei die Störgrößen variiert werden Auswertung der Versuchsergebnisse nach Auswirkung auf den Mittelwert Auswertung der Versuchsergebnisse nach Auswirkung auf die Streuung (Alternative: auf die Spannweite) bei Zielkonflikten Wirkungsdiagramme für die Spannweiten erstellen und durch Diskussion der Ergebnisse die beste Kombination wählen (z. B. Mittelwertverbesserung Streuungsverschlechterung) für die gefundene optimale Einstellung einen A zu B - Bestätigungsversuch durchführen

12 Beispiel für statistische Versuchsplanung Folgendes Fallbeispiel handelt von einem konzentrischen Elastomer-Stecker, der in eine Nylonkupplung eingeklebt wird. Die Klebeverbindung muss eine möglichst hohe Haltekraft aufweisen, da das System als Motorkomponente in Fahrzeugen eingesetzt werden soll. Die Optimierung soll zwei Ziele erreichen: die Haltekraft maximieren und die Montage erleichtern. Durch Brainstorming wurden vier Steuergrößen und drei Störgrößen definiert, von denen man einen wesentlichen Einfluss auf die Haltekraft der montierten Teile erwartete. Breite der Klebefuge zwischen Stecker und Kupplung Wanddicke des Steckers Einschubtiefe (Überlappung zwischen Stecker und Kupplung) Klebstoffmenge Die zu berücksichtigenden Störgrößen waren: Aushärtezeit Aushärtetemperatur relative Luftfeuchtigkeit während der Aushärtezeit

13 Beispiel Die Steuergrößen sollen über drei Stufen getestet werden, da man nicht Lineare Wirkungen erwartet. Die Störgrößen werden auf zwei Stufen getestet. Angestrebtes Ziel war es, die Haltekraft der Klebeverbindung einerseits möglichst hoch, andererseits robust gegenüber Schwankungen der drei Störeinflüsse zu gestalten. Steuergröße Kürzel Wert 1 Wert 2 Wert 3 Fugenbreite A schmal mittel breit Wanddicke B dünn mittel dick Einschubtiefe C flach mittel tief Klebstoffmenge D wenig mittel viel Störgröße Kürzel Wert 1 Wert 2 Aushärtezeit E 24h 120h Aushärtetemperatur F 22 C 65 C rel. Luftfeuchtigkeit G 25% 75%

14 Versuchsplan der Steuergrößen Für dreistufige Steuergrößen gibt es spezielle orthogonale Felder. Das hier verwendete Feld, das genau für vier solche Größen passt, ist das kleinste, das Feld L9 (34). Es wurde angenommen, dass keine Wechselwirkungen untereinander vorhanden sind. Versuchs Nr. A B C D

15 Versuchsplan der Störgrößen Es wird vermutet, dass zwischen allen Störgrößen Wechselwirkungen bestehen. Das gewählte orthogonale Feld für die Störgrößen ist das Feld L 8 (2 7 ), das eigentlich für sieben zweistufige Störgrößen Platz bietet. Die Wechselwirkungen sind in den Spalten (ExF, ExG, FxG) berücksichtigt. Nr. E F ExF G ExG FxG frei 1` ` ` ` ` ` ` `

16 Versuchsdurchführung Jede der neun Kombinationen 1-9 der vier Steuergrößen wird nun achtmal wiederholt, wobei die Störgrößen auf die acht Wertekombinationen 1`- 8` (gemäß den Spalten E, F und G ) eingestellt werden. Es wurden also insgesamt 72 Stecker unter unterschied-lichen Fertigungsbedingungen herstellt, deren Haltekraft dann gemessen wurde. Versuchs Nr. 1` 2` 3` 4` 5` 6` 7` 8` E F ExF Störgrößen G ExG FxG frei Versuchs Nr. Haltekraft in KN A B C D Steuergrößen

17 Wirkungen auf den Mittelwert Auswertungen der Wirkungen auf den Mittelwert der Haltekraft A 1 ist der Mittelwert aller Ergebnisse der Versuche, bei denen die Steuergröße A auf Stufe 1 stand; siehe Versuchsserie 1,2 und 3 mit jeweils 8 Wiederholungen bei unterschiedlich gesetzten Störgrößen A 2 ist der Mittelwert aller Ergebnisse der Versuche, bei denen die Steuergröße A auf Stufe 2 stand; siehe Versuchsserie 4,5 und 6 A 3 ist der Mittelwert aller Ergebnisse der Versuche, bei denen die Steuergröße A auf Stufe 3 stand; siehe Versuchsserie 7,8 und 9 Größe Stufe Mittelwert A B C D

18 Wirkungsdiagramme für die Haltekraft Haltekraft KN Haltekraft KN schmal mittel breit dünn mittel dick Fugenbreite A Wanddicke B Haltekraft KN Haltekraft KN Den höchsten Mittelwert erreicht man, wenn die Steuergrößen auf denjenigen Stufen stehen, die durchschnittlich die höchste Haltekraft haben flach mittel tief Einschubtiefe C wenig mittel viel Klebstoffmenge D

19 Wirkung auf die Streuung Die entsprechenden Ergebnisse erhält man dadurch, dass man statt der Mittelwerte die Standardabweichung s der Ergebnisse für die jeweiligen Einstellungen berechnet. Größe Stufe S KN A B C D

20 Wirkungsdiagramme für die Streuung Streuung S KN Streuung S KN schmal mittel breit dünn mittel dick Fugenbreite A Wanddicke B Streuung S KN Streuung S KN Die geringste Streuung, d. h. die höchste Robustheit des Prozesses gegenüber den Einflüssen der Schwankungen der drei Störgrößen erreicht man, wenn die Steuergrößen auf denjenigen Stufen stehen, die jeweils die kleinste Standardabweichung bewirken. flach mittel tief Einschubtiefe C wenig mittel viel Klebstoffmenge D

21 Wirkung auf die Spannweite Die jeweils maximalen und minimalen Ergebnisse je Einstellung werden aus der Ergebnistabelle entnommen. Größe Stufe Min. Max. A B C D 1 14,0 24,2 2 16,2 27,5 3 14,2 28,6 1 14,0 24,7 2 14,2 27,5 3 14,7 28,6 1 14,0 24,7 2 15,0 28,6 3 15,6 27,5 1 14,0 28,6 2 14,7 24,7 3 14,2 24,7

22 Wirkungsdiagramme für die Spannweiten Haltekraft KN Haltekraft KN schmal mittel breit dünn mittel dick Fugenbreite A Wanddicke B Haltekraft KN Haltekraft KN Eine Analyse der Spannweiten hilft, den Kompromiss zwischen Mittelwert und Standardabweichung zu finden. In diesem Beispiel ist eine sichere Überschreitung eines Mindestwertes entscheidend. flach mittel tief Einschubtiefe C wenig mittel viel Klebstoffmenge D

23 Ergebnisse Zusammenfassung der Versuchsergebnisse Fugenbreite A und Einschubtiefe C verhalten sich ideal, wo hingegen bei der Wanddicke B und der Klebstoffmenge D ein Zielkonflikt für die Einstellungsparameter entsteht, der allein mit der Statistik nicht lösbar ist. Es wird deutlich, dass hier zwischen größtem Mittelwert und kleinster Streuung ein Kompromiss eingegangen werden muss. Ziel der Aufgabenstellung ist es, die Klebekraft zu maximieren. Die Qualität des Prozesses wird dabei anhand der minimal erreichten Abzugskräfte beurteilt. Ein Blick in die Analyse der Spannweiten zeigt, dass für den Parameter D (Klebstoffmenge) die Stufe mittel und für den Parameter B ( Wanddicke) die Stufe dünn und mittel optimal sind. Aus Kostengründen wird für B die Stufe dünn gewählt. Steuergröße Stufe Fugenbreite A mittel 2 Wanddicke B dünn 1 Einschubtiefe C tief 3 Klebstoffmenge D wenig 1

24 Orthogonales Feld L 4 (2 3 ) Wechselwirkungen Spalte

25 Orthogonales Feld L 8 (2 7 ) Wechselwirkungen Spalte

26 Orthogonales Feld L 9 (3 4 ) Bei dreistufigen Größen beeinflusst jede Wechselwirkung zwei andere Spalten Wechselwirkungen Spalte /4 2/4 2/3 2 3/4-1/4 1/3 3 2/4 1/4-1/2 4 2/3 1/3 1/2-1 3/4 2