Druckverlustminimale Rohrleitungsführungen von Abdampfleitungen in Großkraftwerksanlagen

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1 Druckverlustminimale Rohrleitungsführungen von Abdampfleitungen in Großkraftwerksanlagen Dissertation zur Erlangung des Grades Doktor-Ingenieur der Fakultät für Maschinenbau der Ruhr-Universität Bochum von Dipl.-Ing. Karsten Grasemann aus Dortmund Bochum 2013

2 Dissertation eingereicht am: Tag der mündlichen Prüfung: Erster Referent: Prof. Dr.-Ing. B. Rogg Zweiter Referent: Prof. Dr.-Ing. R. Skoda

3 Inhaltsverzeichnis Tabellenverzeichnis 7 Abbildungsverzeichnis 9 Einleitung Aufgabe/Motivation i vii I. Grundlagen 1 1. Funktion des luftgekühlten Kondensators 3 2. Strömungsverluste in Rohrleitungen Berechnung von Strömungsverlusten in Rohrleitungen Rohrleitungsnetze und Anlagendruckverluste Serielle Schaltung von Strömungswiderständen Parallele Schaltung von Strömungswiderständen Gemischte Verschaltung von Strömungswiderständen Beispielberechnung von Anlagendruckverlusten II. ζ minimale Rohrleitungssysteme Randbedingungen Konstruktive Restriktionen Physikalische Restriktionen Wirtschaftliche Restriktionen Konikte bei technisch, wirtschaftlichen Entwürfen

4 Inhaltsverzeichnis 4. Lösungsansätze Anforderungen an die Lösungsansätze Krümmungsminimale Rohrleitungen Druckverlustbeiwerte von Rohrkrümmern Druckverluste der krümmungsminimalen Rohrleitung Skalierung der Normalenvektoren Skalierung und Druckverlust Zusammenfassung Druckverluste in Netzwerken krümmungsminimaler Rohrleitungen 61 III. Rohrleitungsnetzwerke Kreuzungsfreie Rohrleitungsnetzwerke in einfachen Domänen Einleitung Randbedingungen Entwicklung eines theoretischen Verfahrens Der Bresenham Algorithmus Manuelle Anwendung des Verfahrens an einem konkreten Beispiel Kreuzungsfreie Rohrleitungsnetzwerke in komplexen Domänen Einleitung Anwendung des bisherigen Verfahrens auf eine komplexe Domäne Grenzen des bislang verwendeten Verfahrens Anforderungen an ein Lösungsverfahren für krümmungsminimale, gleichverteilende Rohrleitungsnetzwerke in komplexen Domänen Geeignetes Modell zur Entwicklung eines Lösungsverfahrens Eigenschaften des allgemeinen Schwarmmodells Regelsatz des Schwarmmodells Initialisierung des Schwarmmodells und Durchführung der Berechnung Auswertung der Schwarmdaten und Bezug auf physikalisch technische Gröÿen Versuche zur Bewertung des Schwarmmodells Zusammenfassung der Ergebnisse in komplexen Domänen Entwicklung eines Schwarmlabors Datenmodell

5 Inhaltsverzeichnis 8.2. Initialisierung Berechnungsschritt Berechnung des Nachbarschaftsvektors v n Berechnung des Splinevektor v o Berechnung des Kollisionsvektors v c Korrektur des Resultatsvektors Durchstoÿen einer Outletäche Implementierung Aufbau der Schwarmlaboranwendung und Versuche zum Schwarmmodell Evaluierung einer geraden Rohrleitung Evaluierung einer krümmungsminimalen Rohrleitung Evaluierung eines krümmungsminimalen Rohrleitungsnetzwerkes Zusammenfassung der Ergebnisse IV. Wirtschaftliche Bewertung der gefundenen Ansätze Optimierungsmöglichkeiten des LuKo 111 V. Zusammenfassung und Ausblick Zusammenfassung Ausblick 125 VI. Anhang 127 A. Dampftafel 129 B. Numerische Verikation 135 B.1. Auswahl eines geeigneten Verfahrens B.1.1. Das Finite Volumen Verfahren B.1.2. Die Lattice-Boltzmann-Methode B.2. Versuchsreihe zur numerischen Verikation B.2.1. Versuchsanordnung B.2.2. Versuchsdurchführung

6 Inhaltsverzeichnis B.2.3. Versuchsauswertung - Einzelrohrleitungen B.2.4. Versuchsauswertung - Rohrleitungssysteme B.3. Numerische Bewertung eines realen Projekts mit OpenFOAM B.4. Konguration des OpenFOAM Werkzeugs B.4.1. Die allgemeine Kongurationsdatei initialconditions B.4.2. Das Shellskript zum Starten der Berechnung Allrun B.4.3. Das Shellskript zum Bereinigen des Berechnungsverzeichnisses Allclean B.4.4. Die Allgemeine Steuerdatei der Berechnung controldict B.4.5. Die Denitionsdatei des Turbulenzmodells RASProperties B.4.6. Die Denitionsdatei der Fluideigenschaften transportproperties B.4.7. Die Denitionsdatei der Strömungsgeschwindigkeiten U B.4.8. Die Denitionsdatei der Druckskalare p B.4.9. Die Denitionsdatei der kinetischen Turbulenzenergie k B Die Denitionsdatei der spezischen Turbulenzdissipationsrate omega B Die Denitionsdatei der modizierten turbulenten Viskosität nut 208 B Die Kongurationsdatei der Lösungsalgorithmen fvsolution B Die Kongurationsdatei der Interpolationsschemata fvschemes. 211 B.5. Weitere Anlagen zur numerischen Verikation B.5.1. Technische Zeichungen der Versuchsreihe B.5.2. Detaillierte Ergebnisdarstellungen der Versuchsreihe B.5.3. Detaillierte Ergebnisdarstellungen der numerischen Bewertung einer realen Anlage C. Genetische Algorithmen 269 D. Mathematische Schwarmalgorithmen 275 E. Quelltexte der Hilfsprogramme 279 E.1. Einfacher Schwarmalgorithmus - simpleswarm E.2. Einfacher Bresenham Algorithmus Literatur 287 6

7 Tabellenverzeichnis 2.1. Wertetabelle zu Berechnung des Widerstands von Rohrleitungsanlagen Einige ausgewählte mögliche Verbindungsbilder mit den entsprechenden Verbindungen von 2 Inlets zu 3 Outlets Veränderung des Dampfzustands bei unterschiedlichen ζ-werten A.1. Thermodynamische Zustandsgröÿen für Wasserdampf nach [ELFtr] B.1. Versuchsübersicht der Versuchsreihe. Die Versuchskürzel V1 bis V5 bezeichnen Versuche mit Einzelrohrleitungen. Die Versuchskürzel TS1 bis TS5 bezeichnen Versuche mit Rohrleitungssystemen B.2. Ergebnisse der CFD Versuchsreihe V1 bis V5 - Einzelrohrleitung B.3. Ergebnisse der CFD Versuchsreihe Rohrleitungssysteme B.4. Ausgewertete Ergebnisse der numerischen Strömungsberechnung des Standardentwurfs einer realen Anlage B.5. Ausgewertete Ergebnisse der numerischen Strömungsberechnung des optimierten Entwurfs nach Kapitel 6 einer realen Anlage

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9 Abbildungsverzeichnis 1. Otto Happel sen. und Prof. Ludwig Prandtl i 2. Erste luftgekühlte Kondensationsanlage von ii 3. Entwicklung der Turbinenleistung von 1965 bis heute iii 4. Entwicklung des treibenden Temperaturgefälles von 1992 bis iv 5. Entwicklung der Lüfterleistung von 1965 bis heute iv 6. Verbesserung des Umströmungsverhaltens von Rippenrohren v 7. Bauprojekt Medupi (Südafrika) v 2.1. Serielle Strömungswiderstände Parallele Strömungswiderstände Analogie zwischen Rohrleitungs- und Widerstandsnetzwerk Skizze Abdampeitung Prinzipaufbau der Lösungsdomäne Vergleich der Gestaltungselemente Rohrbogen und Knie Vergleich der Gestaltungselemente Stromabzweigung und Stromvereinigung Abdampeitung Skizze, einfach Diagramm: Strömungswiderstand der Beispielanlage Diagramm: Gesamtpreis der Beispielanlage Begrisdenition zur Beschreibung von krümmungsminimalen Rohrleitungen Hermite Basisfunktionen Vergleich von gängigen Formulierungen der Rohrreibungszahl λ in Abhängigkeit von der Reynoldszahl Vergleich von gängigen Formulierungen des ζ-wertes bei Annahme der λ Formulierung nach Colebrook Vergleich gängiger Formulierungen für ζ und λ Gesamtdarstellung gängiger Formulierungen für ζ und λ

10 Abbildungsverzeichnis 4.7. Vergleich der numerischen Iteration des ζ-wertes zum Verfahren nach Colebrook/Wagner. Zur besseren Darstellungen sind entgegen der mathematischen Korrektheit die diskreten Schrittzahlen durch Linienelemente miteinander verbunden Einuss der Skalierung der Hermite Basisfunktionen auf einen Spline Darstellung des Druckverlustbeiwertes über den Skalierungsfaktor Krümmungsminimale Rohrleitung mit Unterschneidungen bei einem Skalierungsfaktor von s = Einuss des Skalierungsfaktors s auf den Divisor k(t) der Krümmungsradiusfunktion nach Gleichung (4.12) eines Hermite Splines Krümmungsminimales Rohrleitungsnetzwerk, Abmaÿe und Dampfbedingungen gem. Kapitel 2.3, berechnet nach Abschnitt Modellgeometrie eines Rohrleitungsnetzwerks, bestehzend aus krümmungsminimalen Rohrleitungssegmenten zur Verwendung in der CFD Versuchsreihe Alle möglichen Verbindungen von 4 Inlets und 7 Outlets Beispiel zur Erläuterung des einfachen Verbindungsverfahren Segmentierte Domäne mit Hindernissen Lösung des Bresenham Algorithmus auf die segmentierte Domäne mit Hindernissen Modizierte Lösung des Bresenham Algorithmus auf die segmentierte Domäne mit Hindernissen Grundlegender Berechnungsablauf eines Schwarmmodells Berechnungsablauf eines Schwarmmodells mit gegebenen Regeln Datenstruktur des Schwarmmodells Prinzipielle Splineverläufe und Punkte zur Approximation des Splinevektors Abbildung des Projektinitialisierungsdialogs (Wizzard) der Schwarmlaboranwendung Hauptanwendungsfenster der Schwarmlaboranwendung mit Kennzeichnung der vier Anzeigebereiche (Menüleiste, 3D Bereich, statische Parameter, Schwarmentitätsdetails, dynamische Parameter und Simulationskontrollen)

11 Abbildungsverzeichnis 8.5. Anzeigemodus 3D VolView der Schwarmlaboranwendung mit Darstellung einer Lösung krümmungsminimaler Rohrleitungsnetzwerke gemäÿ Kapitel II Ergebnisse eines Schwarmlaborversuchs zur Abbildung einer geraden Rohrleitung mit Fokus auf das Inlet. Zeitschritt: Ergebnisse eines Schwarmlaborversuchs zur Abbildung einer krümmungsminimalen Rohrleitung. Zeitschritt: Ergebnisse eines Schwarmlaborversuchs zur Abbildung eines Netzwerks krümmungsminimaler Rohrleitungen. Zeitschritt: Verbesserung der ITD durch den Einsatz krümmungsminimaler Rohrleitungen Auswirkung der ITD Verbesserung im Mollier h,s -Diagramm B.1. Diskretisierung und Terminierung eines 2D Gitters für den Zell-Zentrums- Ansatz der numerischen Strömungsmechanik B.2. Ein D2Q9 Lattice mit Geschwindigkeitsvektoren B.3. Komponenten der zulässigen Geschwindigkeitsvektoren der LBM B.4. Benennung von Ein- und Ausströmächen der Versuchsreihe TS1 bis TS5 am Beispiel der Geometrie des Versuchs TS B.5. Ergebnisübersicht der Versuchsreihe Einzelrohrleitungen B.6. Übersicht über die Geschwindigkeitsbeträge, Druckverteilung, und Isobaren - Versuch V B.7. Übersicht über die Geschwindigkeitsbeträge, Druckverteilung, und Isobaren - Versuch V B.8. Übersicht über die Geschwindigkeitsbeträge, Druckverteilung, und Isobaren - Versuch V B.9. Übersicht über die Geschwindigkeitsbeträge, Druckverteilung, und Isobaren - Versuch V B.10.Übersicht über die Geschwindigkeitsbeträge, Druckverteilung, und Isobaren - Versuch V B.11.Ergebnisübersicht der Versuchsreihe Rohrleitungssysteme B.12.Übersicht Strömungsprol, Druckverteilung, und Isobaren - Versuch TS1 171 B.13.Übersicht Strömungsprol, Druckverteilung, und Isobaren - Versuch TS2 173 B.14.Übersicht Strömungsprol, Druckverteilung, und Isobaren - Versuch TS3 175 B.15.Übersicht Strömungsprol, Druckverteilung, und Isobaren - Versuch TS4 177 B.16.Übersicht Strömungsprol, Druckverteilung, und Isobaren - Versuch TS5 179 B.17.Übliche Ausführung einer Abdampeitung

12 Abbildungsverzeichnis B.18.Auszug aus technischer Entwurfszeichnung eines Beispielprojekts B.19.Modelle eines realen Projekts zur numerischen Bewertung B.20.Analyseschnitte im Modell Standardentwurfs B.21.Druckverteilung, Isobaren und Strömungsprol der Standardentwurfs im Schnitt B.22.Detailansicht der Geschwindigkeitsmagnituden und des Strömungsprols im Schnitt 6 des Standardentwurfs B.23.Schnittlage der Schnitte 1 bis 5 im optimierten Entwurf einer realen Anlage190 B.24.Detailansicht der Druckverteilung und Isobaren im Schnitt 1 des optimierten Entwurfs B.25.Detailansicht der Geschwindigkeitsvektoren im Schnitt 1 des optimierten Entwurfs B.26.Isobaren und Detailansicht des Strömungsprols des optimierten Entwurfs 192 B.27.Strömungsprol des optimierten Entwurfs B.28.Minimaler Aufbau eines OpenFOAM-Case B.29.Struktur der OpenFOAM-Cases der Versuchsreihe D.1. Ergebnisverläufe eines einfachen Schwarmalgorithmus

13 Einleitung 1 Im Jahr 1922 entwickelte Otto Happel sen. zusammen mit Prof. Ludwig Prandtl das erste elliptische Rippenrohr in der Gesellschaft für Entstaubungsanlagen (GEA) in Bochum. Diese Erndung zur Wärmeübertragung erönete neue Möglichkeiten und Kapazitäten in der Wärmetechnik für beispielsweise Lokomotiven und führte im Jahre 1939 zum Bau des ersten luftgekühlten Kondensators (LuKo) für stationäre Dampfturbinen auf der Zeche Prosper. Die damals neu entwickelte zeltähnliche Bauform (A-Typ) erfährt noch bis heute ihre Anwendung. Abbildung 1.: Otto Happel sen. und Prof. Ludwig Prandtl Seit den Anfängen des 20. Jahrhunderts wächst der Energiebedarf der Gesellschaft, und damit einhergehend die Leistung und Gröÿe der gebauten Kraftwerke nahezu linear wie in Abbildung 3 gezeigt. Die GEA reagierte auf diese Entwicklung mit immer neuen Innovationen im Bereich der LuKo-Technik. So wird seit den 1960er Jahren die Kondensator/Dephlegmator- Schaltung eingesetzt, bei der noch nicht kondensierte Dampfreste in einer zweiten Stufe in einer einzigen Anlage im Gegenstromverfahren kondensiert werden, um den Nutzungsgrad des LuKo zu steigern. 1 Alle Abbildungen in diesem Kapitel mit freundlicher Genehmigung der GEA Energietechnik GmbH i

14 Einleitung Abbildung 2.: Erste luftgekühlte Kondensationsanlage von 1939 Die Modernisierung der Kraftwerke und eine Vielzahl von Entwicklungen innerhalb der Turbinentechnik führen zu immer geringeren Temperaturen des zu kondensierenden Dampfes. Dadurch sinkt das für die Eektivität der Wärmeübertragung wichtige treibende Temperaturgefälle (ITD 2 ) zwischen Abdampf und Umgebungsluft (vgl. Abbildung 4). Das bedingt eine gröÿere LuKo-Anlage und den Einsatz von gröÿeren Lüftern wie Abbildung 5 zeigt. Seit den Anfängen der luftgekühlten Kondensatoren wurden vielschichtige Verbesserungen zur Leistungssteigerung des LuKo entwickelt: Durch die Verwendung von optimierten Rippenrohren zur Verbesserung der Wärmeübertragungskapazität, Steigerung der Lüfterwirkungsgrade, Senkung der Fertigungskosten, sowie den Einsatz neuer Materialien und Konstruktionslösungen des Tragunterbaus zur Reduktion des Anlagengewichts werden die Eektivität und Wirtschaftlichkeit weiter verbessert, um den Anforderungen der stetig wachsenden Kraftwerksanlagen gerecht zu werden. Das gröÿte luftgekühlte Kondensatorprojekt der GEA Energietechnik GmbH ist die sich derzeit im Bau bendliche Anlage für das Kohlekraftwerk Medupi (Südafrika) mit einer Turbinenleistung von 6 x 750 MW/el, einer Kondensationsleistung für 6 x 1520 t/h bei einem Abdampfdruck von bar bei einer Kühltemperatur von 23.7 C. Die Fertigstellung ist für 2013 geplant nach einer Bauzeit von fast 2 Jahren. Änderungen der Rohrgeometrie reduzierten die Druckverluste auf Seiten der Luftströmung erheblich. Der Einsatz von schall-, leistungs- und strömungstechnisch hoch optimierten Lüftern führte zur Wirtschaftlichkeit des LuKo, wie er heute Verwendung ndet. 2 Initial Temperature Dierence ii

15 Abbildung 3.: Entwicklung der Turbinenleistung von 1965 bis heute In Untersuchungen der GEA Energietechnik GmbH zur weiteren Leistungssteigerung des LuKo zeigt sich nur noch wenig Optimierungspotential (< 2%) in den oben genannten Bereichen, so dass heute ein Augenmerk auf eine kostengünstige Fertigung bei vergleichbarer Leistung gelegt wird. Vielversprechende Möglichkeiten lassen sich jedoch bei der Optimierung der Abdampfleitung vermuten. Hier wurden im Laufe der Jahre zwar ebenfalls deutliche Verringerungen der dampfseitigen Druckverluste erzielt, jedoch zeigt sich die physikalisch machbare Grenze in Bezug auf diese Bauteilgruppe noch nicht erreicht. Die vorliegende Arbeit soll in dieser Betrachtung einen weiteren Beitrag leisten. Untersucht werden physikalische Einussgröÿen und Randbedingungen zur besseren wirtschaftlichen Gestaltung der Abdampeitung eines luftgekühlten Kondensators. Ein neues, auf Abdampeitungen spezialisiertes Lösungsverfahren stellt den Kern dieser Arbeit dar und zeigt Möglichkeiten und Grenzen dieses neuen Verfahrens. iii

16 Einleitung Abbildung 4.: Entwicklung des treibenden Temperaturgefälles von 1992 bis 2009 Abbildung 5.: Entwicklung der Lüfterleistung von 1965 bis heute iv

17 (a) Standard Rippenrohr (b) CFD Strömungsbild des Standard Rippenrohres (c) Grooved Rippenrohr (d) CFD Strömungsbild des Grooved Rippenrohres Abbildung 6.: Verbesserung des Umströmungsverhaltens von Rippenrohren Abbildung 7.: Bauprojekt Medupi (Südafrika) v

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19 Aufgabe/Motivation Hausinterne Untersuchungen der GEA Energietechnik GmbH zeigen, dass die optimale Gestaltung der Abdampeitung eines luftgekühlten Kondensators ein gutes Verbesserungspotential verspricht. Da der bisherige Ansatz der GEA Energietechnik GmbH zur Konstruktion und Auslegung der Abdampeitung keine Optimierung des Druckverlustbeiwertes beinhaltet, sondern bisher ausschlieÿlich Materialkosten, Fertigungs- und Montagegesichtspunkte berücksichtigt, ist folgende Aufgabe gestellt: 1. Es ist zu untersuchen, welcher Nutzen aus der Verbesserung des Druckverlustbeiwertes ζ der Abdampeitung zu erwarten ist. 2. Es ist zu prüfen, in wie weit bestehende Verfahren zur strömungstechnischen Verbesserung des ζ-wertes der Abdampeitung geeignet sind. 3. Es ist ggf. ein methodisches Vorgehen zu entwickeln, welches zur Optimierung des ζ-wertes der Abdampeitung eingesetzt werden kann. Bei der Verwendung eines rechnergestützten Verfahrens ist weiterhin darauf zu achten, dass a) die Methode auf gängigen Rechnern der GEA Energietechnik GmbH einsetzbar ist, b) die Methode von Personen mit Grundkenntnissen im Rohrleitungsbau anwendbar ist, und c) die Methode in einem üblichen Zeitraum der Angebotslegung einer Anlage (ca. 3 Tage) ein Ergebnis erzeugt. 4. Konstruktive Unterbaugruppen der Abdampeitung wie Unterstützungskonstruktionen, Kompensatoren und Mannlöcher sind, wenn möglich, zu berücksichtigen. 5. Eine abschlieÿende Wirtschaftlichkeitsbetrachtung kann, wenn möglich, erfolgen. Dieser Punkt ist optional. vii

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21 Teil I. Grundlagen 1

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23 1. Funktion des luftgekühlten Kondensators Moderne Kraftwerke arbeiten mit mehreren Turbinenstufen, in welchen durch die Entspannung des Arbeitsmediums Dampf thermische Energie in mechanische Energie gewandelt wird. Von dort wird über die mechanische Kopplung der Dampfturbine mit Generatoren die zuvor von thermischer zu mechanischer gewandelten Energie in elektrische Energie überführt, welche dann über Stromverteilernetze zum Endverbraucher geführt wird, um dort wieder in mechanische oder thermische Energie zurück gewandelt zu werden. Der Kraftwerksprozess beschreibt innerhalb des Kraftwerkssystems den energetischen Kreislauf des Arbeitsmediums Dampf. Die Dampferzeugung erfolgt im Kraftwerkskessel durch den Einsatz thermischer Energiequellen, wie die Verbrennung unterschiedlicher fossiler Rohstoe, dem Kernzerfall bei Nuklearkraftwerken oder der Nutzung von Solarenergie. Das Arbeitsmedium Dampf wird hierbei von der üssigen Phase (Wasser) in die gasförmige Phase (Dampf) überführt und mit zusätzlicher thermischer Energie beladen(überhitzt). Nach der Entspannung in der Turbine, bei der thermische Energie abgeführt wird, ist der Dampf wieder in die üssige Phase zu bringen (zu kondensieren), um das so erzeugte Kondensat erneut dem Speisewasserkessel zuzuführen. Es stehen zur Kondensation zwei Verfahrensgruppen zur Verfügung: Die Nasskühlung und die Trockenkühlung. In der Nasskühlung wird die zum Phasenwechsel Gas-Flüssig überschüssige Energie in einem Plattenkondensator an das Kühlmedium Wasser geleitet. Das Kühlwasser erwärmt sich hierbei, um nachfolgend in Kühltürmen unterschiedlicher Bauarten auf die für den Oberächenkondensator geforderte Kühlwassereintrittstemperatur gekühlt zu werden. Die Entkopplung der Kühlkreisläufe in einen zweiten Kühlkreislauf ist beispielsweise für Nuklearkraftwerke aus Sicherheitsgründen zwingend erforderlich. Ein zweiter Kühlkreislauf benötigt jedoch immer groÿe Mengen Wasser (> t /h). Ein luftgekühlter Kondensator ist ein Gewerk der Trockenkühlung. Die Trockenkühlung benötigt keinen weiteren Kühlkreislauf und verwendet als Kühlmedium die Umgebungsluft des Kraftwerks. Zur Kondensation des Dampfes ist unter dem Abdampfstutzen 3

24 1. Funktion des luftgekühlten Kondensators der Turbine ein Oberächenkondensator angeordnet, der zumeist als Rohrbündelwärmeübertrager ausgeführt wird. Indem durch einen sekundären Kühlkreislauf Kühlwasser durch die Rohre geleitet wird, kondensiert der Dampf auf der Auÿenseite der Rohre. Die Temperatur des Kühlkreislaufs bestimmt die Kondensationstemperatur und damit auch den Abdampfdruck beim Verlassen der Turbine, der bereits nahe des Vakuums liegt. Je tiefer diese Temperatur liegt, umso mehr kann der Dampf in der Turbine zur Gewinnung von mechanischer Energie ausgenutzt werden. An Orten, an denen genügend Wasser für den Sekundärkreislauf zur Verfügung steht, werden Nasskühltürme eingesetzt, welche durch die Ausnutzung der Verdunstungskühlung eine besonders niedrige Kondensationstemperatur erreichen können. Ist nicht genügend Wasser für eine Verdunstungskühlung vorhanden, wird die Trockenkühlung, bei der keine Wasserverluste auftreten, eingesetzt. Ein Ersatz des Nasskühlturms durch einen Trockenkühlturm, welcher über Rippenrohrbündel die Wärme an die Umgebungsluft abgibt, führt zu einer sehr teuren und in Bezug auf den Abdampfdruck ineektiven Lösung. Hier liefert die Idee einer direkten Kondensation in einem luftgekühlten Rippenrohrwärmeübertrager einen entscheidenden Vorteil. Der Sekundärkreislauf mit Oberächenkondensator, Kühlturm und Kühlwasserpumpen kann entfallen. Vom Abdampfstutzen der Turbine wird der Dampf durch die Abdampeitung und davon abzweigende Dampfverteilleitungen den A-förmig angeordneten Rippenrohrbündeln des LuKo zugeführt. Eine gemeinsame Dampfverteilleitung in der Spitze der A-Anordnung versorgt dabei die Rippenrohrbündel, welche die Flanken der Konstruktion bilden. Mehrere dieser A-Dächer können, je nach Erfordernis, parallel angeordnet werden. Die erforderliche Luft zur Kühlung bzw. Kondensation wird durch elektrisch angetriebene Ventilatoren von unten durch die Rippenrohrbündel gedrückt. Der Dampf strömt mit dem entstehenden Kondensat von oben nach unten zu den Kondensatsammelkammern am Fuÿ der Bündel. Um eine unerwünschte Unterkühlung des Kondensats zu vermeiden, werden die Kondensatorbündel so bemessen, dass nicht der gesamte Dampf in einem Schritt kondensiert wird. Der überschüssige Dampf strömt über die Kondensatsammelkammern von unten in die Dephlegmatorbündel, während das entstehende Kondensat der Schwerkraft folgend im Gegenstrom nach unten abieÿt. Am Kopf der Dephlegmatorbündel bendet sich eine Absaugung, um beim Anfahrvorgang ein Vakuum aufzubauen bzw. während des Betriebs unerwünschte Inertgase, welche durch evtl. Lekagen der Anlage entstehen, abzuziehen. Die Absaugung wird durch Dampfstrahler oder Wasserringpumpen betrieben. Die elektrische Leistungsaufnahme der Lüftermotore und Pumpen wird auf die gesamte Kondensatoranlage bezogen und als Eigenbedarf der Anlage bezeichnet. Ein hoher Ei- 4

25 genbedarf wirkt sich hierbei deutlich negativ auf die Gesamtbilanz des Kraftwerks aus, da die elektrische Bedarfsenergie nicht verkauft und in das Verbrauchernetz gespeist werden kann. Der Vorteil der luftgekühlten Kondensation durch den nicht benötigten Sekundärkreislaufes wird durch hohe Material- und Baukosten im Vergleich zum Kühlturm abgeschwächt. 5

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27 2. Strömungsverluste in Rohrleitungen 2.1. Berechnung von Strömungsverlusten in Rohrleitungen Strömen Fluide durch Rohrleitungen oder Kanäle, sind mehrere Faktoren für den physikalischen Eekt des Druckverlustes verantwortlich. Die anfängliche Strömungsenergie des Fluids, welche sich als Strömungsgeschwindigkeit darstellt, wird während des Strömens durch ˆ ˆ ˆ Reibung innerhalb des Fluids, Reibung des Fluids mit den Rohr- oder Kanalwänden, und Umlenkung der Fluidteilchen, bzw. Impulsrichtungsänderungen negativ beeinusst. Die Strömungsenergie nimmt ab, die Strömungsgeschwindigkeit sinkt. Durch die gesunkene Strömungsgeschwindigkeit nimmt auch der dynamische Anteil des Drucks ab. Dies wird als Druckverlust bezeichnet. Der Druckverlust muss durch höhere Anfangsenergie in Form von gröÿeren treibenden Strömungsdrücken kompensiert werden. Dies erfordert häug ein stärkeres Pumpaggregat bei pumpengetriebenen Anlagen, oder ein stärkeres Gefälle bei gravitationsgetriebenen Kanalströmungen. Um die Strömungswiderstände, und die somit benötigte Pumpleistung zu berechnen oder zumindest abzuschätzen, erarbeitete Idelchik in den 1960er Jahren in [IS94] eine umfangreiche Sammlung von Diagrammen und Tabellen, indem er die Druckverluste von gängigen Rohrleitungselementen wie T-Stücken, Verzweigungen, Kniestücken, etc. maÿ, und die so gewonnenen empirischen Daten in Formeln, Diagrammen und Tabellen überführte. Für einfache Rohrelemente kann der Druckverlust formelmäÿig beschrieben werden. Hier liefern [Wag01] und [VW06] sehr gute Referenzen. 7

28 2. Strömungsverluste in Rohrleitungen Für die Berechnung des Druckverlustes entlang eines Stromfadens zwischen den Punkten 1 und 2 innerhalb eines geraden Rohres gilt nach [Oj02]: Hierin sind p 12 = p 1 p 2 + ρ 2 (u2 1 u 2 2) + ρ g (h 1 h 2 ). (2.1) p 1 und p 2 die Drücke an den Stellen 1 und 2 in Pa, ρ die Dichte des Fluids in kg /m 3, u 1 und u 2 die Geschwindigkeiten an den Stellen 1 und 2 in m /s, g die Erdbeschleunigung 9,81 m /s 2, und h 1 und h 2 die geodätischen Höhen von einem frei gewählten Bezugspunkt in m. Nach Gleichung (2.1) setzt sich die Gesamtdruckdierenz aus den Summanden der statischen Druckdierenz p 1 p 2, der dynamischen Druckdierenz ρ 2 (u2 1 u 2 2) und der potenziellen Druckdierenz ρ g (h 1 h 2 ) zusammen. Empirisch gilt bei konstanter Dichte nach [Wag01] laut Darcy-Weisbach für den Druckverlust: worin darstellen. p 12 = ρw2 2 ( λ L D + ζ i ρ die Dichte des Fluids in kg /m 3, w die mittlere Geschwindigkeit des Fluids in m /s, λ die Rohrreibungszahl, L die Länge der Rohrleitung in m, ), (2.2) D der hydraulische Durchmesser der Rohrleitung in m und ζ i die Beiwerte zusätzlicher Druckverluste 8

29 2.1. Berechnung von Strömungsverlusten in Rohrleitungen Die Rohrreibungszahl λ beschreibt die Reibung des Fluids an den Rohrwänden, die durch kleine Unebenheiten der Rohrwand erzeugt wird. Die Rohrreibungszahl wird nach [Wag01] bei einer laminaren Strömung Re < 2300 bestimmt durch λ = 64 Re. (2.3) Liegt eine turbulente Rohrströmung Re 2300 vor, müssen nach [Wag01] die drei folgenden Fälle unterschieden werden: 1. Hydraulisch glatt Hierbei sind die absoluten Rohrrauhigkeiten klein k 1,0 mm und werden von einer viskosen Unterschicht der Strömung umhüllt. Nach [Wag01] gilt dann laut Prandtl und von Karman : 1 = 2log 10 (Re ) λ 0.8. (2.4) λ Liegt eine Reynolds-Zahl von Re < vor, kann λ nach [Wag01] laut Blasius mit λ = Re 0.25, (2.5) abgeschätzt werden. 2. Hydraulisch rau Die viskose Unterschicht der Strömung kann die Unebenheiten der Rohrwand k 1.0 nicht mehr einschlieÿen. Dann gilt nach [Wag01] laut Nikuradse: ( ) D = 2log 10 λ k (2.6) wobei k die absolute Wandrauigkeit der Rohrleitung in mm ist. 9

30 2. Strömungsverluste in Rohrleitungen 3. Übergang von hydraulisch glatt nach hydraulisch rau Hier gilt nach [Wag01] laut Colebrook: ( ) = 2log 10 λ Re λ + k, (2.7) 3.71 D wobei die Grenze des Übergangs nach [Wag01] laut Moody bei Re λ k D = 200 (2.8) liegt. Werte von k sind in [VW06] tabelliert und betragen typischerweise 1,0 mm für gerade Kanalstrecken, oder 0,1 mm für Reinwasser-Druckrohrleitungen. In [Wag01] wird die folgende Formel von Colebrook und White angegeben, welche den gesamten Bereich von hydraulisch glatt bis hydraulisch rauh gut interpoliert: ( 1 k = log 10 λ D/ ) Re λ (2.9) Es ist zu beachten, dass die bisher angeführten Gleichungen für gerade Rohrstücke gelten. Andere Rohrleitungsbauelemente wie Rohrkrümmer, Diusoren oder T-Stücke besitzen für die oben gezeigten Bereiche und Beziehungen eigene, meist empirisch ermittelte Näherungsgleichungen oder Diagramme, aus welchen der ζ-wert des Bauteils ermittelt wird. 10

31 2.2. Rohrleitungsnetze und Anlagendruckverluste 2.2. Rohrleitungsnetze und Anlagendruckverluste Gleichung (2.2) zeigt, dass der Gesamtdruckverlust zum Einen durch den Reibungsdruckverlust ζ λ = λ L D, und zum Anderen durch weitere örtliche Druckverlustbeiwerte ζi bestimmt wird. Die örtlichen Druckverluste sind in einem Rohrleitungsstrang die Druckverluste der jeweiligen Einzelbauteile, wobei von einer gleichbleibenden Rohrrauhigkeit ausgegangen wird. Die Summation der Druckverluste lässt die Analogie zur Widerstandsberechnung in elektrischen Schaltungen vermuten. Im folgenden werden die Gleichungen für den Strömungswiderstand und den Druckverlust bei serieller und paralleler Verschaltung, wie in [Wag01] gezeigt, hergeleitet. 11

32 2. Strömungsverluste in Rohrleitungen Serielle Schaltung von Strömungswiderständen Eine serielle Verschaltung von geraden Rohrleitungselementen unterschiedlicher Durchmesser geht von folgenden Überlegungen aus: Die Basisgleichung für den Druckverlust innerhalb einer Rohrleitung unter der Annahme, dass keine zusätzlichen Druckverluste vorhanden sind ( ζ i = 0), lautet nach Gleichung (2.2) : Mit p 12 = w 2 ρ 2 λ L D w = V A (2.10) worin V den anliegende Volumenstrom darstellt, folgt p 12 = λ ρ L 1 2 D A V 2. (2.11) 2 Hierin ist der hydraulische Widerstand R, R = λ ρ L 1 2 D A 2 enthalten, was zu p 12 = R V 2 (2.12) (2.13) führt. Für Rohre mit kreisförmigen Querschnitt gilt womit wird. A = πd2 4 R = λ ρ L 16 2 D D 2 /π 2 = λ 8Lρ (2.14) π 2 D 5 12

33 2.2. Rohrleitungsnetze und Anlagendruckverluste R 1 V R 2 V R 3 V p 1 p 2 p 3 Abbildung 2.1.: Serielle Strömungswiderstände Abbildung 2.1 zeigt, dass der Volumenstrom in einer seriellen Anordnung konstant bleibt ( V = konstant). Zusätzlich addieren sich die Einzeldruckverluste der Rohre: p = p 1 + p 2 + p p n. Dies führt somit zu: mit p = R 1 V + R 2 V + R 3 V R n V = (R 1 + R 2 + R R n ) ( V n ) = R i V i=1 (2.15) 8L i ρ R i = λ i, π 2 Di 5 und schlieÿlich zu p = ( n i=1 ) 8L i ρ λ i π 2 D V (2.16) i 5 13

34 2. Strömungsverluste in Rohrleitungen Parallele Schaltung von Strömungswiderständen Für die Betrachtung von parallel verschalteten Strömungswiderständen gilt ebenfalls Gleichung (2.14). R 1 V 1 p 1 V R 2 V 2 V p 2 R 3 V 3 p 3 Abbildung 2.2.: Parallele Strömungswiderstände Abbildung 2.2 zeigt, dass die Druckdierenzen p gleich sind mit: P = p 1 = p 2 = p 3 =... = p n. (2.17) Die Einzelvolumenströme addieren sich zum Gesamtvolumenstrom: V = V 1 + V 2 + V V n. (2.18) Somit ergibt sich aus p = R V 2 V p = R für den Gesamtvolumenstrom: (2.19) V = p p p p , (2.20) R 1 R 2 R 3 R n 14

35 2.2. Rohrleitungsnetze und Anlagendruckverluste bzw. p p p p p R = (2.21) R 1 R 2 R 3 R n Mit Anwendung von Gleichung (2.17) kann Gleichung (2.21) in 1 = (2.22) R R1 R2 R3 Rn überführt werden. Mit Berücksichtigung von Gleichung (2.14) führt dies zu: p = V 2 8 ρ π 2 ( n i=1 1 ) 2. (2.23) Di 5 λ i L i 15

36 2. Strömungsverluste in Rohrleitungen Gemischte Verschaltung von Strömungswiderständen Da in technischen Rohrleitungsnetzwerken immer eine gemischte, serielle und parallele Verschaltung von Rohrleitungselementen auftritt, wird im Folgenden die Berechnung des Gesamtströmungswiderstands eines Rohrleitungsnetzwerkes an einer einfachen Beispielanlage nach Abbildung 2.3 gezeigt. Die Anordnung der einzelnen Strömungswiderstände der Beispielanlage ist der Anordnung der Strömungswiderstände einer Abdampeitung eines LuKo nachempfunden. R 6a R 5a R 4a R 3a R 2 R 1 R 3b R 4b R 5b R 6b R 3a R 4a R 5a R 6a R 1 R 2 R 3b R 4b R 5b R 6b Abbildung 2.3.: Analogie zwischen einem Rohrleitungsstrang und einem Widerstandsnetzwerk 16

37 2.2. Rohrleitungsnetze und Anlagendruckverluste Für die Berechnung des Gesamtanlagendruckverlusts einer Beispielanlage nach Abbildung 2.3 kann die Summe der Druckverlustwiderstände nach Gleichung (2.15) und Gleichung (2.22) gebildet werden. Der Gesamtanlagenwiderstand ergibt sich dann zu R a = R 3a + R 4a + R 5a + R 6a R b = R 3b + R 4b + R 5b + R 6b 1 = Rab Ra Rb (2.24) R ges = R 1 + R 2 + R ab 17

38 2. Strömungsverluste in Rohrleitungen 2.3. Beispielberechnung von Anlagendruckverlusten Abbildung 2.4.: Vereinfachtes Modell einer Abdampeitung (Maÿe in mm, Durchmesser sind Nenndurchmesser, keine Berücksichtigung der Wandstärken) Die Berechnung des Druckverlusts einer Rohrleitungsanlage soll an einem einfachen Beispiel gezeigt werden. Es wird ein vereinfachtes Modell, wie in Abbildung 2.4 dargestellt, einer Abdampeitung eines LuKo angenommen. Es gelten folgende Annahmen: 1. Es gelten folgende thermodynamischen Zustandsgröÿen des Dampfes (Sattdampf): ṁ 1 = 10 kg /s p = 0,0125 MPa T satt = 53,0 C ρ = 0,0955 kg /m 3 η = 10, Pa s ν = 112, m 2 /s 18

39 2.3. Beispielberechnung von Anlagendruckverlusten 2. Alle Rohrleitungen des Systems haben eine Rohrrauhigkeitszahl k = 0,001 mm. Es ist darauf zu achten, in den folgenden Gleichungen die Rohrrauhigkeitszahl k in der Einheit m zu verwenden. Der Gesamtwiderstand dieser Anlage ergibt sich nach [Wag01] durch R ges = R 1 + R A + R 23 (2.25) mit 1 R23 = 1 R2 + 1 R3 (2.26) unter Berücksichtigung von R 2 = R 3 zu wobei R ges = R 1 + R A + R 2 4 R 1 den Widerstand geraden Rundrohres L = mm, 3400 mm, R 2 den Ersatzwiderstand eines Seitenstrangs 2400 mm, (2.27) R A den Widerstand des Verzweigungselements von Rohr 1 nach Rohr 2 und Rohr 3, R 1A den seriellen Ersatzwiderstand der Elemente R 1 und R A, R 23 den parallelen Ersatzwiderstand der Zweige R 2 und R 3 und R ges den Ersatzwiderstand der Gesamtanlage darstellen. Es ist zu beachten, das sich R 2 aus den vier Unterelementen R 2.1 den Widerstand eines Reduzierstücks (Reduktionswinkel α = 45 ), R 2.2 den Widerstand eines geraden Rundrohres L = 2950 mm, 2400 mm, R 2.3 den Widerstand eines 90 -Kniestücks und R 2.4 den Widerstand eines geraden Rundrohres L = mm, 2400 mm seriell zusammensetzt. 19

40 2. Strömungsverluste in Rohrleitungen Da die Stränge R 1,R 2.2 und R 2.4 gerade Rohrstücke sind, gilt für diese nach [Wag01] für die Berechnung der jeweiligen Einzelwiderstände folgendes Vorgehen: Ermittlung der Strömungsform über die Reynoldszahl Re: Hierbei ist zu beachten, das sich aufgrund der symmetrischen Gestalt von R 2 und R 3 der Eintrittsmassenstrom ṁ = 10 kg /s zu gleichen Teilen in die Stränge R 2 und R 3 ieÿt, und dort als Berechnungsgrundlage ṁ 2 = 5 kg /s gilt. Re = w d/ν mit ν = 112, m 2 /s kinematische Viskosität von Sattdampf bei p = 12,5 kpa und w = ṁ = 4 ṁ ρ A ρ π D 2 So folgt für die Rohrleitungsstränge 1 und 2: w 1 = 11,5332 m /s w 2 = 11,5732 m /s Re 1 = 3, > 2300 turbulente Strömung Re 2 = 2, > 2300 turbulente Strömung Für den Druckverlust eines geraden Rohrstücks gilt nach Colebrook und White für die Rohrreibungszahl λ bei turbulenter Strömung (vgl. Gleichung (2.9)): ( 1 k = log 10 λ 0.5 D ) Re λ Es gilt allgemein für den Druckverlust (vgl. Gleichung (2.10)) ( ) L ρ p = λ D 2 w2 = R V 2 mit V = w A und A = 1 4 π D2 schlieÿlich (vgl. Gleichung (2.14)) bzw. R = 2 ρ w L λ π D 3 20

41 2.3. Beispielberechnung von Anlagendruckverlusten ζ = λ L D Für die Rohrleitungselemente Verzweigung, Reduzierstück und 90 -Kniestück werden die Werte aus der Berechnungssoftware Druckverlust übernommen. Somit ergeben sich folgende Teilwiderstandsbeiwerte des Rohrleitungssystems: ρ A ζ R R 1 0,0955 kg /m 3 9,079 m 2 0,076 4, R A 0,0955 kg /m 3 9,079 m 2 1,302 7, R 2.1 0,0955 kg /m 3 4,524 m 2 0,563 1, R 2.2 0,0955 kg /m 3 4,524 m 2 0,018 4, R 2.3 0,0955 kg /m 3 4,524 m 2 1,225 2, R 2.4 0,0955 kg /m 3 4,524 m 2 0,180 4, Tabelle 2.1.: Wertetabelle zu Berechnung des Widerstands von Rohrleitungsanlagen Die Widerstände R R 2.4, bzw. R R 3.4 sind ebenso wie die Widerstände R 1 und R A seriell angeordnet. Somit ergeben sich folgende Ersatzwiderstandsbeiwerte des Rohrleitungsnetzwerks: R 1A = 7, R 2 = R 3 = 4, R 23 = 1, R ges = 2, ζ ges = 2,3079 p = 14,71 Pa Es ist zu beachten, dass für die Berechnung von p der Gesamtanlage aus R ges der mittlere Durchmesser A = 6,8015 m 2 und die mittlere Strömungsgeschwindigkeit w = 11,5532 m /s verwendet wurden. 1 Quelle: Stand: 01 Aug

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43 Teil II. ζ minimale Rohrleitungssysteme 23

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45 Abbildung 2.5.: Prinzipaufbau der Lösungsdomäne Abdampeitungen verbinden den Ausgang der Niederdruckturbine eines Kraftwerkblocks mit den Dampfverteilleitungen des luftgekühlten Kondensators. Sie verlaufen im bebaufähigen Raum zwischen Kraftwerksblock und Aufstellungsort des LuKo. Im Nachfolgenden wird die Querschnittsäche des Turbinenaustritts als Inlet, die Querschnittsäche des Beginn einer Dampfverteilleitung als Outlet und der bebaufähige Raum zwischen Kraftwerksblock und LuKo als Domäne bezeichnet. Abbildung 2.5 setzt diese Begrie in Beziehung zueinander, wobei die Domäne in grün, das Inlet in rot und die sechs Outlets in blau dargestellt sind. In der Praxis können allerdings die Anzahl der Inlets und Outlets, sowie die Gestalt der Domäne von denen in Abbildung 2.5 Gezeigten abweichen. Das in der vorliegenden Arbeit entwickelte Verfahren berücksichtigt diese Anforderungen. 25

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47 3. Randbedingungen 3.1. Konstruktive Restriktionen Die relative Positionierung der Inlets in Bezug auf die Outlets, bzw. der Aufstellungsort des luftgekühlten Kondensators und die Gestalt der Domäne sind Maÿgaben des konstruktiven Entwurfs. Dabei ist es üblich, den Aufstellungsort des LuKo dem Kraftwerksblock gegenüber zu legen, die Entscheidung wird zumeist vom Kraftwerksbetreiber bzw. dem Auftraggeber getroen und ist nur in seltenen Fällen durch die GEA Energietechnik beeinussbar. Andere Lagen sind, insbesondere bei Retrots 1 eines Kraftwerks möglich, werden jedoch hier nicht betrachtet. Die konstruktive Auslegung eines luftgekühlten Kondensators bedingt eine äquidistante Verteilung der Outlets auf gleichem Höhenniveau mit gleichgerichteten Normalenvektoren der Outletächen. Die thermodynamische Auslegung eines luftgekühlten Kondensators fordert die Einhaltung der Gleichverteilung des Abdampfmassenstroms auf die jeweiligen Dampfverteilleitungen der Dachreihen. Diese Forderung wird durch die Flächenverhältnisse der Outlets untereinander und bezüglich der Inlets, unter Berücksichtigung einer nahezu konstanten Dampfdichte und vorgegebenen Strömungsgeschwindigkeiten aus der thermodynamischen Auslegung, abgebildet. Die geforderten Durchmesser sind ein Teilergebnis der thermodynamischen Auslegung Physikalische Restriktionen In Kapitel 2.1 wurde die Berechnung des ζ-wertes, bzw. des Druckverlusts erläutert. Es wurde auch gezeigt, das der Strömungswiderstand sich aus drei Einussfaktoren zusammensetzt. 1 Mit Retrot wird die Modernisierung und/oder Anpassung eines Gewerks auf andere Betriebsparameter bezeichnet. 27

48 3. Randbedingungen Diese sind: 1. Interne Fluidreibung, 2. Widerstand durch Reibung des Fluids an den Rohrleitungswänden, und 3. Einuss der geometrischen Gestalt einer Rohrleitung. Unter der Voraussetzung, das innerhalb des Vergleichs von möglichen Abdampeitungsgestaltungen das Strömungsmedium Dampf sich weder chemisch, noch thermodynamisch signikant verändert, und die werksto- und fertigungstechnischen Eigenschaften des Rohrleitungsmaterials, insbesondere die Rohrrauigkeit, konstant bleiben, dürfen diese bei einem Vergleich vernachlässigt werden. Somit hängt der Druckverlust, bzw. der ζ-wert während des Vergleichs nur noch von der geometrischen Gestalt der Rohrleitungsführung ab. Um den Einuss der Gestaltgebung auf den ζ-wert zu bewerten, werden die beiden Rohrgestaltungselemente Rohrbogen und Knie miteinander in Abbildung 3.1 verglichen. r Es ist gut erkennbar, das eine starke Richtungsänderung der Strömung, d i 0 in Abbildung 3.1(a) bzw. δ 120 in Abbildung 3.1(b), einen hohen ζ-wert ergibt. Auch ist erkennbar, dass bei einem Winkel von δ = 90 im Vergleich der beiden Gestaltungselemente zueinander ein Rohrbogen einen sehr viel kleineren ζ-wert erzeugt als ein Kniestück. Somit ist die Forderung an eine Gestaltungslösung bei Richtungsänderungen ausschlieÿlich Rohrbögen zu verwenden, gerechtfertigt. Auch die Forderung bei der Verwendung von Rohrbögen einen möglichst groÿen Radius zu verwenden, lässt sich aus diesen Betrachtungen ableiten. Die Forderung nach einem gröÿtmöglichen Radius lässt sich auch als Forderung an eine gesamtminimale Krümmung des Bogenverlaufs umformulieren. Die Randbedingungen der festen Durchmesser der Inlets D in und Outlets D out, wobei D in > D out als Grundannahme gilt, führt zu einer Querschnittsverminderung entlang der Lauänge der Abdampeitung. Die Quellen [VW06] und [Wag01] zeigen bei einer kontinuierlichen Querschnittsverminderung einen sehr geringen ζ-wert. [VW06] gibt für ein konvergentes Rohr die Näherung p 0.04 ρu2 2 bei einem Wandungswinkel α < 40. Der kleinst mögliche Wandungswinkel bei einer Verbindung eines Inlets mit einem Outlet entsteht bei der Verwendung der 2 gesamten Lauänge der Verbindung zur Querschnittsverminderung. Somit wird die Forderung aufgestellt, dass sich Leitungsquerschnitte von Beginn der Leitungsführung am Inlet vom Durchmesser des Inlets kontinuierlich und stetig über die 28

49 3.2. Physikalische Restriktionen (a) ζ-wert Diagramm eines Rohrbogens (Quelle: VDI- Wärmeatlas) (b) ζ-wert Diagramm eines Kniestücks (Quelle: VDI- Wärmeatlas) Abbildung 3.1.: Vergleich der Gestaltungselemente Rohrbogen und Knie 29

50 3. Randbedingungen Lauänge der Verbindung zu einem Outlet auf den Durchmesser des Outlets vermindern. Die Annahme mehrerer Inlets und Outlets macht die Rohrkonstruktionselemente Stromteilung, Stromvereinigung und Stromkreuzung topologisch möglich. [IS94] gibt für kreuzende Rohrverläufe sehr hohe ζ-werte (Bei entsprechenden Massenströmen bis zu zeta 10). Deshalb sind Stromkreuzungen unbedingt zu vermeiden. Für Abzweigungen und Vereinigungen gibt [VW06] Diagramme nach Abbildung 3.2. Nach [VW06] können Abzweigungen unter anderen Winkeln [...] sinngemäÿ interpoliert werden. Es ist aus Abbildung 3.2 erkennbar, das geringe Abzweigwinkel in Stromrichtung geringe ζ-werte erzeugen. Gleiches gilt für die Vereinigung von Strömen. Somit kann die Forderung aufgestellt werden, bei Abzweigungen oder Vereinigung von Strömen stets einen möglichst kleinen Winkel bei gleichgerichteter Strömungsrichtung zu wählen Wirtschaftliche Restriktionen Als wirtschaftliche Restriktion gilt der Einsatz von möglichst wenig Material. Da aufgrund normativer Richtlinien die Wandstärke einer Abdampeitung festgeschrieben ist, kann die Minimierung des Rohrwandvolumens nur über möglichst kurze Längen erreicht werden. Inlets sind mit den Outlets auf kürzest möglichen Wegen zu verbinden. Als ein- ussreicher Kostenfaktor ist auch die Unterstützungskonstruktion der Abdampeitung zu berücksichtigen. Da eine mechanisch ausreichende Auslegung der Lagerung der Abdampeitung im Turbinenaustritt als Festlager bzw. im Dampfverteilleitungseintritt als Loslager sehr kostenintensiv ist, wird in gängigen Dampfverteilleitungsauslegungen eine Unterstützungskonstruktion vorgesehen. Dies führt häug zu statisch überbestimmten Systemen. Die Unterstützungskonstruktion ist zudem montagetechnisch aufwändig und verursacht hauptsächlich Personaleinsatzkosten. Um diese Kosten zu mindern, werden, sofern vorhanden und soweit möglich, bestehende Tragstrukturen für andere Gewerkelemente als Unterstützungskonstruktion der Abdampeitung mit verwendet. Bisherige Abdampeitungen werden mit Längskompensatoren an den Dampfverteilleitungen ausgerüstet, um ihre thermisch bedingte Längenausdehnung aufzufangen. Diese Kompensatoren sind allerdings leckageanfällig, kostenintensiv und haben einen hohen Montageaufwand. Eine Lösung zur gänzlichen Vermeidung des Einsatz von Kompensatoren, oder zumindest zum Einsatz einer kleineren Auslegung der Abdampeitungskonstruktion und damit auch von Kompensatoren geringeren Durchmessers, senkt die Kosten der Abdampeitung daher zusätzlich. 30

51 3.3. Wirtschaftliche Restriktionen (a) ζ-wert Diagramme von Abzweigungen (Quelle: VDI- Wärmeatlas) (b) ζ-wert Diagramme von Stromvereinigungen (Quelle: VDI-Wärmeatlas) Abbildung 3.2.: Vergleich der Gestaltungselemente Stromabzweigung und Stromvereinigung 31

52 3. Randbedingungen 3.4. Konikte bei technisch, wirtschaftlichen Entwürfen Abbildung 3.3.: Vereinfachtes Modell einer Abdampeitung. Maÿe in mm. Alle Durchmesser sind Nenndurchmesser. Wandstärke konstant, nicht bemaÿt, nicht gezeichnet. Die Bestimmung von Parametern, welche optimale Eigenschaften liefern und die möglichen Probleme einer solchen Optimierung sollen an einem einfachen Beispiel gezeigt werden. Es sei ein vereinfachtes Modell, wie in Abbildung 3.3 dargestellt, einer Abdampeitung eines LuKo gegeben. Es soll die Lage der Verzweigung, dargestellt durch den Abstand X nach Abbildung 3.3 gefunden werden, welche den geringsten Druckverlust erzeugt, und gleichzeitig die geringsten Kosten verursacht, ohne dabei die geometrische Gestalt der Verzweigung im Bereich A zu verändern. Um diese Optimierungsaufgabe zu lösen, ist zuerst der Zusammenhang zwischen dem Optimierungsparameter X und den zwei geforderten Zielgröÿen Druckverlust und Bauteilpreis zu ermitteln. 32

53 3.4. Konikte bei technisch, wirtschaftlichen Entwürfen Zusammenhang zwischen X und Druckverlust Es werden folgende Annahmen getroen: 1. Da sich die Geometrie im dargestellten Bereich A nicht verändert, sondern nur in Abhängigkeit von X verschoben wird, bleibt der Strömungswiderstand dieses Bereiches konstant und ist unabhängig von X. 2. Es gelten folgende thermodynamischen Zustandsgröÿen des Dampfes (Sattdampf): ṁ = 45 kg /s p = 12,5 kpa T satt = 50,3 C ρ = 0, kg /m 3 w 1 = 11,8361 m /s w 2 = 11,8772 m /s 3. Alle Rohrleitungen des Systems sind ideal glatt. Der Gesamtwiderstand dieser Anlage ergibt sich nach Gleichung (2.25) bis Gleichung (2.27) durch mit R ges = R 1 + R A + R 23 1 = R23 R2 R3 unter Berücksichtigung von R 2 = R 3 zu wobei darstellen. R ges = R 1 + R A + R 2 4 R 1 den Widerstand des Strangs mit 3,4 m Nenndurchmesser, R 2 den Widerstand des Strangs mit 2,4 m Nenndurchmesser und R A = konst. den Widerstand der Verzweigung im Abschnitt A 33

54 3. Randbedingungen Die beiden Widerstandsterme R 1 und R 2 sind von X abhängig. Da die Stränge R 1 und R 2 gerade Rohrstücke sind, gilt für beide nach [Wag01] für die Berechnung des Einzelwiderstands folgendes Vorgehen: Ermittlung der Strömungsform über die Reynoldszahl Re: So folgt: Re = w d/ν mit ν = 126, m 2 /s kinematische Viskosität von Sattdampf bei p = 12,5 kpa Re 1 = > 2300 turbulente Strömung, Re 2 = > 2300 turbulente Strömung. Für den Druckverlust eines geraden Rohrstücks bei turbulenter Strömung gilt nach [Wag01] laut Prandtl und von Karman für die Rohrreibungszahl λ (vgl. Gleichung (2.4)): 1 = 2 log 10 (Re ) λ 0.8. λ Numerische Iteration ergibt für die Stränge 1 und 2 λ 1 = λ 2 = Es gilt allgemein für den Druckverlust: ( ) L ρ p = λ D 2 w2 = R V 2, mit V = w A und A = 1 4 π D2 schlieÿlich R = 2 ρ w L λ π D 3. Eingesetzt in Gleichung (2.27) folgt für den Gesamtwiderstand der Anlage (ohne Berücksichtigung von R A ) in Abhängigkeit von X: Rges(x) = λ 2 ρ w 2 (L x) 2 π D λ 1 ρ w 1 x π D 1 3 (3.1) Betrachtet man den Funktionsgrafen der Funktion (Gleichung (3.1)) in Abbildung Darstellung (3.4), so ist erkennbar, dass der geringste Anlagenwiderstand bei kleinstmöglichem X erreicht wird. 34

55 3.4. Konikte bei technisch, wirtschaftlichen Entwürfen Anlagendruckverlust Rges(X) Abbildung 3.4.: Strömungswiderstand der Modellanlage, ohne Berücksichtigung von Bereich A X 35

56 3. Randbedingungen Zusammenhang zwischen X und Bauteilpreis Für die Betrachtung des Bauteilpreises wird angenommen, das die Wandstärke der Rohrleitungsanlage über alle Längen und Bauteile konstant 10 mm beträgt. Die im vorigen Abschnitt verwendeten Durchmesser sind Innenmaÿe der Rohrleitung. Die Masse des Bereichs A ist wiederum konstant und nicht von X abhängig. Für das Volumen einer Rohrleitung gilt allgemein: wobei V Rohr = L ( π (D + t) 2 V Rohr [m 3 ] das Volumen, 4 π D2 4 D [m] den Innendurchmesser, t [m] die Wandstärke und L [m] die Länge des Rohres ), (3.2) darstellen. Für die Betrachtung des Zusammenhangs zwischen X und Bauteilpreis gilt weiterhin und V ges [m 3 ] Gesamtvolumen der Bauteile 1,2 und 3 m ges [kg] Gesamtmasse der Bauteile 1,2 und 3 D 1 = 3,4 m Innendurchmesser Bauteil 1 D 2 = 2,4 m Innendurchmesser Bauteil 2 t = 0,01 m Wandstärke in ρ Stahl = 7850 kg /m 3 (Rohdichte Baustahl S235JR) S P reis = 2.0 e Stahlpreis 1 /kg. V ges = V V 2 (3.3) 36

57 3.4. Konikte bei technisch, wirtschaftlichen Entwürfen Anlagenpreis Preis [Euro]) x [m] Abbildung 3.5.: Gesamtpreis der Modellanlage, ohne Berücksichtigung von Bereich A somit folgt unter Berücksichtigung von V 2 = V 3 V (x) = π ( ((D1 + t) 2 D ) 2 x ( (D 2 + t) 2 D ) ) 2 2 (L x) (3.4) m(x) = V (x) ρ Stahl (3.5) S P reis (x) = m(x) S P reis (3.6) Aus der Betrachtung des Funktionsgrafen der Funktion Gleichung (3.6) in Abbildung Darstellung (3.5) ist erkennbar, dass die geringsten Anlagenkosten bei gröÿtmöglichem X erreicht werden. Die Optimierung der Dampeitung auf mehrere Zielgröÿen, hier geringer Anlagenwiderstand und günstigster Preis, führen in ein Dilemma, wenn nicht eine einzelne Zielfunktion gefunden werden kann, welche alle Parameter miteinander verknüpft, oder willkürlich Ziele durch Begrenzungen zu Restriktionen erklärt werden. Existieren wie im gezeigten Beispiel mehrere Zielfunktionen Gleichung (3.6) und Gleichung (3.1), welche auch noch widersprüchliche Ergebnisse liefern, ist keine mathematische Aussage über ein Optimum möglich, diese kann auf Grund des Widerspruchs der Parameteroptima nur noch willkürlich erfolgen, indem einem Parameter ein intuitiver 37

58 3. Randbedingungen Vorrang vor dem anderen Parameter gegeben wird. Solch ein Dilemma kann jedoch gelöst werden, wenn beide Zielfunktionen derart verknüpft werden können, dass nur eine Zielfunktion für beide (alle) zu optimierenden Parameter gilt, oder eine Gesamtzielfunktion durch Gewichtung der Einzelzielfunktionen gebildet wird. Lieÿe sich im gezeigten Beispiel der Anlagenwiderstand in nanziellen Gröÿen darstellen, könnten beide Funktionen miteinander über diese nanzielle Gröÿe verknüpft werden. Solche Darstellungen können jedoch ebenfalls einen willkürlichen Ursprung haben, sodass wiederum kein eindeutiges Optimum gefunden werden kann. Nach [Büc04] ist ein weiteres Vorgehen bei nicht ineinander umrechenbaren Zielgröÿen multikriterieller Optimierungsaufgaben die Pareto-Optimierung. Dieses Verfahren (benannt nach Vilfredo Pareto) bestimmt für alle Kombinationen von willkürlichen und in gewissem Rahmen subjektiv formulierten Gewichtungsfaktoren der einzelnen Kriterien das jeweilige separate Optimum. Hierdurch wird eine Menge von Lösungen erzeugt, bei der eine Verbesserung eines Zielfunktionswertes nur durch eine Verschlechterung eines anderen Wertes erreicht wird. Diese Lösungsmenge wird als Pareto-Menge bezeichnet. Die Elemente der Pareto-Menge werden pareto-optimal genannt. Ist eine Pareto-Menge eines Pareto-Optimierungsproblems bestimmt, kann durch subjektive Einschätzungen der Wichtigkeiten der einzelnen Teilziele mindestens eine Lösung der Pareto-Menge gefunden werden, welche unter dieser Gewichtung optimal ist. 38

59 4. Lösungsansätze 4.1. Anforderungen an die Lösungsansätze Es sind folgende feste Vorgaben und Randbedingungen gegeben: ˆ ˆ ˆ ˆ Die Abmessung der Lösungsdomäne, die Lage, die Durchmesser und die Normalen der Inlets und Outlets, die konstante Wandstärke der Leitungen, der Gesamtmassenstrom aller Kraftwerksblöcke, ˆ gewichtete Bereiche der Domäne, um erlaubte, erwünschte und verbotene Gebiete in der Domäne zu kennzeichnen. Aufgrund der vorangegangenen Betrachtungen lassen sich folgende Forderungen an eine Lösung formulieren: ˆ Die Massenstromverhältnisse werden durch die vorgegebenen Durchmesser der Inlets und Outlets abgebildet. ˆ ˆ Rohrleitungen verlaufen krümmungsminimal. Rohrleitungen sind so kurz wie möglich auszuführen. ˆ Querschnitte verändern sich kontinuierlich über die gesamte Lauänge eines Rohrleitungszweigs vom Inlet- zum Outletdurchmesser. ˆ Kreuzungen von Rohrleitungen sind nicht zulässig. ˆ Verzweigungen und Vereinigungen sind mit möglichst kleinen Winkeln zu realisieren. ˆ ˆ Verzweigungen liegen in Strömungsrichtung so früh wie möglich. Vereinigungen liegen in Strömungsrichtung so spät wie möglich. 39

60 4. Lösungsansätze ˆ ˆ Verbotene Gebiete entfallen aus der Domäne. Erlaubte Bereiche sind mit der jeweiligen Gewichtung zu berücksichtigen. Im folgenden wird ein Lösungsverfahren vorgestellt, welches die gezeigten Vorgaben und Randbedingungen berücksichtigt und die formulierten Forderungen erfüllt Krümmungsminimale Rohrleitungen B n B y A n A Es wird vorausgesetzt, dass Ort und Normalenvektor eines Inlets und eines Outlets bekannt sind. Der Ort des Inlets wird mit A, dessen Normalenvektor mit n A, der Ort der Outlets mit B, sowie dessen Normalenvektor mit n B, wie in Abbildung 4.1 gezeigt, bezeichnet. Zwischen den Punkten A und B ist eine stetig dierenzierbare und krümx Abbildung 4.1.: Begrisdenition zur Beschreibung von krümmungsminimalen Rohrleitungen mungsminimale Raumkurve P (auch Spline genannt) zu interpolieren. Die Kurve wird im Folgenden zur Vereinfachung in der Parameterdarstellung P (t) mit 0 t 1 beschrieben. Durch die Information über die Ableitungen der Kurve in den Punkten A und B über die Normalenvektoren n A und n B, welche die Richtung der Tangente der Kurve in den Punkten A und B vorgibt, liegt ein System mit zwei Funktionswerten von P (t = 0) = A und P (t = 1) = B, sowie zwei Ableitungen der Funktionswerte an den Stellen P (t = 0) = n A und P (t = 1) = n B vor. 40

61 4.2. Krümmungsminimale Rohrleitungen Die Lösung eines derartigen Problems beschreibt bereits Charles Hermite, sie bildet die Grundlage der hermiteschen Kurven. Eine mathematische Darstellung der Hermite Splines stellt das ACMSiggraph Education Committee unter [PHtr] online zur Verfügung. Da vier Stützstellen A, B, n A und n B vorliegen, kann dieses Problem durch ein Polynom 3. Grades gelöst werden. Es gilt somit für die x-komponente von P (t): P x (t) = a x t 3 + b x t 2 + c x t + d x P x(t) = 3a x t 2 + 2b x t + c x (4.1) bzw. [ ] P x (t) = t 3 t 2 t 1 P x(t) = a x b x c x d x [ ] 3t 2 2t 1 0 C x = T C x (4.2) mit T als Parametermatrix, C x als Koezientenvektor, und den Randbedingungen: [ ] P x (0) = A x = C x, [ ] P x (1) = B x = C x, [ ] (4.3) P x(0) = n Ax = C x, [ ] P x(1) = n Bx = C x. 41

62 4. Lösungsansätze Somit folgt: P x (0) P x (1) = P x(0) P x(1) C x = C x P x (0) P x (0) P x (1) P = x (1) P x(0) P x(0) P x(1) P x(1) 1 (4.4) C x = M H G Hx worin M H die Hermite Matrix und G H der Hermite Geometrievektor sind, wodurch P x(t) = M T H G Hx P y(t) = M T H G Hy P z(t) = M T H G Hz bzw. (4.5) P (t) = M T H G H wird. Durch Ausmultiplizieren folgt: [ ] MH T = (2t 3 3t 2 + 1) ( 2t 3 + 3t2) (t 3 2t 2 + t) (t 3 t 2 ), wodurch P (t) = M T H G H = A(2t 3 3t 2 + 1) + B( 2t 3 + 3t 2 ) + n A (t 3 2t 2 + t) + n B (t 3 t 2 ) bzw. P x (t) = A x (2t 3 3t 2 + 1) + B x ( 2t 3 + 3t 2 ) + n Ax (t 3 2t 2 + t) + n Bx (t 3 t 2 ) P y (t) = A y (2t 3 3t 2 + 1) + B y ( 2t 3 + 3t 2 ) + n Ay (t 3 2t 2 + t) + n By (t 3 t 2 ) P z (t) = A z (2t 3 3t 2 + 1) + B z ( 2t 3 + 3t 2 ) + n Az (t 3 2t 2 + t) + n Bz (t 3 t 2 ) (4.6) Die vier, von t abhängigen Klammerausdrücke, (2t 3 3t 2 + 1), ( 2t 3 + 3t 2 ), (t 3 2t 2 + t) und (t 3 t 2 ) innerhalb von P (t) werden Hermite Basisfunktionen genannt und in Abbildung 4.2 gezeigt. Es ist zu beachten, dass die jeweiligen Ortskoordinaten, bzw. die Kom- 42

63 4.2. Krümmungsminimale Rohrleitungen H(t) H 0 (t) H 1 (t) H 2 (t) t H 3 (t) H 0 (t) = 2t 3 3t H 1 (t) = 2t 3 + 3t 2 H 2 (t) = t 3 2t 2 + t H 3 (t) = t 3 t 2 Abbildung 4.2.: Hermite Basisfunktionen ponenten der Normalenvektoren die Gewichtungsfaktoren der Hermite-Basisfuktionen darstellen. P(t) selbst stellt eine Vektorfunktion der Form P(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k tɛ[0; 1] (4.7) mit den Einheitsvektoren i, j und k dar. Raumkurven r biegen sich in der Schmiegeebene (die Ebene des Tangenten- Einheitsvektors T und der Hauptnormalen N), wobei T = r (t) r (t) = dr/dt dr/dt (4.8) und N = T (t) T (t) (4.9) 43

64 4. Lösungsansätze gilt. Das Maÿ der Änderung von T heiÿt Krümmung. Für die Krümmung einer parametrierten Raumkurve nach Gleichung (4.7) gilt mit k = dt/dt ds/dt ds dt = dr dt Der Kehrwert der Krümmung ρ = 1 k Krümmungsradius von P(t) ρ = dp(t)/dt dt/dt (4.10) (4.11) wird Krümmungsradius genannt. Somit gilt für den (4.12) Druckverlustbeiwerte von Rohrkrümmern Im weiteren Verlauf bildet die Approximation von Hermite Splines auf kleinen Abschnitten durch Kreisbögen mit tangentialen Übergängen die Grundlage der weiteren Betrachtung von Druckverlustbeiwerten krümmungsminimaler Rohrleitungen. Über die Annahme, dass eine krümmungminimale Rohleitung einen Hermite Spline als Mittellinie besitzt, und sich der Durchmesser linear vom Durchmesser des Inlets auf den Durchmesser des Outlets ändert, kann für ein beliebiges Segment der krümmungsminimalen Rohrleitung [t, t + t] folgende Approximation der Geometrie eines Rohrkrümmers erfolgen: D = 1 (D(t) D(t + t)) 2 R = 1 (ρ(t) ρ(t + t)) 2 L sek = P (t) P (t + t) Länge der Sekante φ = 360 ( ) π arcsin Lsek 2R ( ) φ L = π R Länge des Kreisbogens, 180 (4.13) worin D der mittlere Rohrdurchmesser, R der mittlere Rohrradius, L die Approximation der Länge der neutralen Faser und φ der Öungswinkel in Grad ist. Auf den Nachweis 44

65 4.2. Krümmungsminimale Rohrleitungen der Gröÿe des durch diese Approximation entstehenden Fehlers wird an dieser Stelle verzichtet. Eine Betrachtung des Fehlers durch weitere, im folgenden getroene Annahmen, erfolgt in Abschnitt 4.3. Für die Berechnung des Druckverlustes eines Rohrkrümmers gibt [Wag01] mehrere Vorgehen und Formeln an. Eine Untersuchung der einzeln Vorgehen wird an einem Rohrkrümmer mit folgenden Daten vorgenommen: ˆ ˆ ˆ R = 1,0 m Krümmerradius D = 0,25 m Rohrdurchmesser k = 0, m Rohrrauhigkeit ˆ ˆ φ = 90 Krümmerwinkel L = π R ( ) φ 180 Für die Bestimmung der Rohrreibungszahl λ gilt: Nach [Wag01] laut Colebrook und White: ( ) 1 = log λ Re λ k D 2 (4.14) Nach [Wag01] Gl.(193) für hydraulisch rauhe Rohre: λ = 1.0 ( 2 log ( D k ) ) 2 (4.15) Nach [Wag01] laut Prandtl und Karman: 1 ( = log Re ) λ λ (4.16) 45

66 4. Lösungsansätze Werden diese Formulierungen über die Reynoldszahl wie in Abbildung 4.3 dargestellt, so sind, besonders in Bereichen hoher Reynoldszahlen, erhebliche Abweichungen erkennbar. λ λ(re) Prandtl Wagner Colebrook e+006 1e+007 1e+008 Re Abbildung 4.3.: Vergleich von gängigen Formulierungen der Rohrreibungszahl λ in Abhängigkeit von der Reynoldszahl 46

67 4.2. Krümmungsminimale Rohrleitungen Für die Bestimmung des ζ-wertes eines 90 Rohrkrümmers werden ebenfalls mehrere Vorgehen von [Wag01] sowie von [EB08] angegeben: Nach [Wag01] Seite 178 x = R D A = 9.3 exp ( 0.06x) B = 10.5 C = exp ( 2.7x) exp ( (x 8) 2 ) E = exp ( 0.01(φ 7.5) 3 ) S = tanh(0.8x) x λ = Rohrreibung des geraden Rohres der Länge L ( ) ( ) 4 ( S φ f Kr = A tanh (φ + B) + C exp E φ ) A ( ζ Kr = λ f Kr + L ) D (4.17) Hierbei ist zu beachten, dass dieses Vorgehen nur für 1 x, Re und 15 φ 180 gültig ist. Nach [Wag01] laut Herning R D 8 ζ u,90 = λ 2 R D < 8 ζ u,90 = λ 1 R D < 2 ζ u,90 = λ ( ) R 1.6 (4.18) D 12.8 R/D (4.19) R/D R/D (4.20) ζ Kr = ζ u,90 + ζ λ (4.21) 47

68 4. Lösungsansätze Nach [EB08] K 1 = 1.01 aus Diagramm K 2 = 0.21 R/D K 3 = 0.99 aus Diagramm ζ R = λ R D φ ζ U = K 1 K 2 K 3 (4.22) ζ Kr = ζ U + ζ R Werden diese Formulierungen für den angenommenen Rohrkrümmer mit einem λ nach Gleichung (4.14) über die Reynoldszahl aufgetragen, sind erhebliche Abweichungen, besonders bei geringen Reynoldszahlen, wie in Abbildung 4.4 dargestellt, erkennbar. ζkr ζ Kr (Re) Wagner Herning Elmendorf e+006 1e+007 1e+008 Re Abbildung 4.4.: Vergleich von gängigen Formulierungen des ζ-wertes bei Annahme der λ Formulierung nach Colebrook. 48

69 4.2. Krümmungsminimale Rohrleitungen Wird der Einuss der Bestimmung des λ-wertes ebenfalls berücksichtigt, und die jeweiligen Formulierungen des ζ-wertes über die Reynoldszahl, wie in Abbildung 4.6 dargestellt, verglichen, ist das Aufschaukeln der Ungenauigkeiten beider Formulierungsgruppen gut erkennbar. Der Einuss einer geringeren Wandrauhigkeit k mindert die beschriebenen Unterschiede etwas ab. Um eine möglichst konservative Berechnung des Druckverlustes zu erreichen, wird im weiteren Verlauf die Kombination λ-colebrook / ζ-wagner verwendet. Alle gezeigten Formulierungen basieren auf empirischen Werten aus Messungen eines 90 Rohrkrümmers und gelten für einen Krümmungswinkel 15, wobei bei Winkeln 15 φ 90 der ζ 90 -Wert eines 90 Rohrkrümmers mit φ ζ Kr = ζ skaliert wird. (4.23) 49

70 4. Lösungsansätze ζkr(re) nach Wagner mit unterschiedlichen λ Formulierungen Prandtl Wagner Colebrook e+006 1e+007 1e+008 Re ζkr(re) nach Herning mit unterschiedlichen λ Formulierungen Prandtl Wagner Colebrook e+006 1e+007 1e+008 Re ζ Kr ζ Kr (a) ζ-werte nach Wagner (b) ζ-werte nach Herning ζkr ζ Kr (Re) nach Elmendorf mit unterschiedlichen λ Formulierungen Prandtl Wagner Colebrook e+006 1e+007 1e+008 Re (c) ζ-werte nach Elmendorf Abbildung 4.5.: Vergleich gängiger Formulierungen für ζ und λ 50

71 4.2. Krümmungsminimale Rohrleitungen ζkr(re) λ-prandtl ζ-wagner λ-wagner ζ-wagner λ-colebrook ζ-wagner λ-prandtl ζ-herning λ-wagner ζ-herning λ-colebrook ζ-herning λ-prandtl ζ-elmendorf λ-wagner ζ-elmendorf λ-colebrook ζ-elmendorf e+006 1e+007 1e+008 log Re ζ Kr Abbildung 4.6.: Gesamtdarstellung gängiger Formulierungen für ζ und λ 51

72 4. Lösungsansätze 4.3. Druckverluste der krümmungsminimalen Rohrleitung Um den ζ-wert einer krümmungsminimalen Rohrleitung zu bestimmen, wird der, wie in Abschnitt 4.2 gezeigt, berechnete Mittellinienverlauf der Rohrleitung in n gleiche Teilstücke der Strecke t zerlegt. Zwischen den beiden Punkten t n und t n+1 = t n + t werden die mittleren geometrischen Beschreibungsgröÿen nach Gleichung (4.13) berechnet. Mit diesen wird der ζ-wert des Rohrkrümmersegments ζ n nach Colebrook/Wagner ermittelt. Der ζ-wert der krümmungsminimalen Rohrleitung ergibt sich aufgrund der seriellen Anordnung der Einzelsegmente zu ζ Spline = n ζ k. k=0 (4.24) Durch den Verstoÿ gegen die Gültigkeit der Formulierung des ζ-wertes nach Wagner für Winkel 15 φ 90 ergeben sich durch die sehr kleinen Krümmungswinkel bei groÿer Anzahl von Segmenten Ungenauigkeiten. Diese Ungenauigkeiten sind in Abbildung 4.7 bei Betrachtung eines über einen Spline beschriebenen Rohrkrümmers äquivalent zu Abschnitt in Abhängigkeit zur Schrittanzahl des numerischen Verfahrens dargestellt. Es ist erkennbar, das bei steigender Schrittanzahl das Verfahren gegen einen kleinen Fehler konvergiert. Entsprechend wird die Schrittanzahl für dieses Verfahren auf 200 Schritte festgelegt. Diese Festlegung berücksichtigt einen geringen Fehler bei geringem Rechenaufwand. 52

73 4.4. Skalierung der Normalenvektoren numerischer Fehler Schrittanzahl Abbildung 4.7.: Vergleich der numerischen Iteration des ζ-wertes zum Verfahren nach Colebrook/Wagner. Zur besseren Darstellungen sind entgegen der mathematischen Korrektheit die diskreten Schrittzahlen durch Linienelemente miteinander verbunden Skalierung der Normalenvektoren Die Skalierung der Normalenvektoren, bzw. der Einuss der Tangenten, hat eine maÿgebliche Wirkung auf den Verlauf eines Hermite Splines. Die Abbildung 4.8 zeigt diese Überlegung. Es existieren mehrere Ansätze, um durch entsprechende Formulierungen die Skalierung der Tangenten zu berechnen. So führt z.b. die Formulierung t i = χ (P (i + i) P (i i)) (4.25) worin t i die Tangente im Punkt P (i) und χ ein beliebiger Skalierungsfaktor ist, zu den Cardinal Splines, welche eine Untergruppe der Hermite Splines bilden. 53

74 4. Lösungsansätze P (t) s = 1.0 s = 1.66 s = 5.0 Abbildung 4.8.: Einuss der Skalierung der Hermite Basisfunktionen auf einen Spline t 54

75 4.5. Skalierung und Druckverlust Wird χ = 0.5 gesetzt, werden die Raumkurven CATMULL-ROM Spline genannt, welche eine Untergruppe der Cardinal-Splines bilden. Es existieren noch weitere, teils aufwändige Formulierungen für die Berechnung der Tangenten, wie von Kochanneck- Bartels, welche zu den Kochanneck-Bartels Splines führen. Diese Formulierungen benutzen weitere Abhängigkeiten, z.b. von weiteren Stützpunkten, oder verwenden weitere Eigenschaften der Raumkurve. Diese Eigenschaften machen die unterschiedlichen Splinetypen für unterschiedliche Anwendungen brauchbar. So werden Kochanneck-Bartels-Splines häug im Bereich der Computeranimation verwendet. Alle heute verwendeten Beschreibungen von Splines haben als Gemeinsamkeit, dass ihnen ein kubisches Polynom zu Grunde liegt, welches auf unterschiedlichen Wegen berechnet wird. Ein Bezug der Skalierung zum Druckverlust einer Rohrleitung wird im folgenden entwickelt Skalierung und Druckverlust Innerhalb eines normierten Raumes (x, y, z [0, 1]) wird ein Rohr entlang eines Hermite Splines angenommen mit dem Rohrdurchmesser D = 0.1. Die Einströmungsbedingungen des Dampfes entsprechen denen aus Kapitel 2.3. Wird der Druckverlustbeiwert über den Skalierungsfaktor der Normalenvektoren aufgetragen, wie in Abbildung 4.9 dargestellt, ist erkennbar, dass die Funktion zwei Minima bei s = 0.1 und s = 1.84, sowie ein Maximum bei s = 0.79 besitzt. Für die Bestimmung der Skalierung der Normalenvektoren krümmungsminimaler Rohrleitungen ist jedoch zu beachten, das nicht jeder Skalierungsfaktor zu einer technisch herstellbaren Rohrleitung führt. Durch zu geringe Krümmungsradien des Splineverlaufs im Vergleich zum Durchmesser der Rohrleitung kommt es zu Unterschneidungen der Hülläche, wie in Abbildung 4.10 dargestellt. Um Unterschneidungen zu vermeiden, darf daher der Krümmungsradius des Splines nicht kleiner als der Radius der Rohrleitung sein. Im Folgenden wird zur besseren Darstellbarkeit der Ergebnisse eine krümmungsminimale Rohrleitung auf einem normierten Spline mit konstantem Rohrleitungsdurchmesser von D = 0.25 betrachtet. Es wird folgende Restriktion auf den Krümmungsradius nach Gleichung (4.12) angewandt: ρ(t) = 1 k(t) > D(t) 2 (4.26) 55

76 4. Lösungsansätze ζ(s) P (t) Einuss der Splineskalierung auf den ζ-wert P 3 : ζ(0,79) = 0, P 2 : ζ(1,84) = 0, P 1 : ζ(0,1) = 0, Skalierungsfaktor s (a) ζ(s) Funktion P (t) s = 0.1 s = 1.84 s = 0.79 t t (b) Splines der Skalierungsfaktoren P 1 und P 2 (c) Spline des Skalierungsfaktors P 3 Abbildung 4.9.: Darstellung des Druckverlustbeiwertes über den Skalierungsfaktor 56

77 4.5. Skalierung und Druckverlust Abbildung 4.10.: Krümmungsminimale Rohrleitung mit Unterschneidungen bei einem Skalierungsfaktor von s = 8 wobei 0 t 1 der Laufparameter des Splines, ρ(t) = 1/k(t) der Krümmungsradius des Splines an der Stelle t und D(t) der Rohrdurchmesser der Rohrleitung an der Stelle t ist. Durch die Festsetzung der Endpunkte der Rohrleitungen, sowie der Richtungen der Flächennormalen der Eintritts- und Austrittsäche, existiert als einziger Freiheitsgrad zur Vermeidung von Unterschneidungen nur die Skalierung der Längen der Normalenvektoren. Der Einuss einer Skalierung der Normalenvektoren auf den Krümmungsradienverlauf stellt Abbildung 4.11(a) dar. Hierbei werden folgende Annahmen zu Grunde gelegt: n A = s n A mit s als Skalierungsfaktor n B = s n B 57

78 4. Lösungsansätze Gleiche Skalierung der Normalenvektoren ergibt A = 0 ; B = 1 ; n A = 0 ; n B = D(t) = 0.25 = konst Für den kleinst-möglichen Krümmungsradius gilt: ρ(t) = 1 k(t) > D(t) 2 k(t) = 2 (4.27) D(t). Wird k(t) in Abhängigkeit von der Skalierung s wie in Abbildung 4.11(a) aufgetragen, erzeugt 2/D(t) = 2/0.25 = 4 eine Konturlinie wie in Abbildung 4.11(b) gezeigt. In Abbildung 4.11(b) kennzeichnen blaue Gebiete zu hohe k(t)-werte, welche zu einem zu geringen Krümmungsradius führen (Unterschneidung). Entsprechend muss für den Skalierungsfaktor der Normalenvektoren s ein Wert gewählt werden, der innerhalb des grünen Bereiches liegt. Da die numerische Ermittlung eines minimalen Skalierungsfaktors sehr aufwändig ist, zumal sich die Form des Graphen (Abbildung 4.11(a)) erheblich ändert, wenn die Punkte A und B der Rohrleitung ihre Lage verändern, wird hier zur Vereinfachung der Skalierungsfaktor von s = B A, im gezeigten Beispiel s = (4.28) festgelegt. Es ist ebenfalls zu beachten, das sich die bisherigen Überlegungen auf einen Spline innerhalb des Raums mit den Grenzen [0, 0, 0] und [1, 1, 1] beziehen. Reale Problemstellungen sind entsprechend zu skalieren. 58

79 4.5. Skalierung und Druckverlust (a) k(t, s) (b) Konturlinien auf k(t, s) mit Hervorhebung der Gebiete k(t, s) > 4 (blau) und des daraus folgenden gültigen Bereichs für den Skalierungsfaktor s (grün) Abbildung 4.11.: Einuss des Skalierungsfaktors s auf den Divisor k(t) der Krümmungsradiusfunktion nach Gleichung (4.12) eines Hermite Splines. 59

80 4. Lösungsansätze 4.6. Zusammenfassung Eine krümmungsminimale Rohrleitung zwischen zwei Punkten A und B wird durch ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ den Anfangspunkt A im Zentrum der Eintrittsäche, den Endpunkt B im Zentrum der Austrittsäche, den Normalenvektor n A der Eintrittsäche, den Normalenvektor n B der Austrittsäche, unter der Skalierungsbedingung n A = n B = B A, ˆ den Durchmesser der Eintrittsäche D A in m, ˆ den Durchmesser der Austrittsäche D B in m, ˆ die Wandrauhigkeit k in m über ˆ einen Hermite Spline nach Gleichung (4.6) beschrieben. Der ζ-wert dieser Rohrleitung wird durch ˆ λ nach Colebrook/White (Gleichung (4.14)), ˆ ζ nach Wagner (Gleichung (4.17)) ˆ durch ein iteratives Verfahren nach Abschnitt 4.3 bestimmt. 60

81 5. Druckverluste in Netzwerken krümmungsminimaler Rohrleitungen Rohrleitungsnetzwerke krümmungsminimaler Rohrleitungen haben den Vorteil, neben den eigentlichen Rohrleitungen nur noch die Bauelemente für Stromverzeigungen und bei Bedarf Stromvereinigungen zu besitzen. Aktuell existieren nur Berechnungsgrundlagen und Tabellenwerke für allgemein übliche Hosen- und Bogenrohre, z.b. in [VW06]. Abbildung 5.1.: Krümmungsminimales Rohrleitungsnetzwerk, Abmaÿe und Dampfbedingungen gem. Kapitel 2.3, berechnet nach Abschnitt 4.2 Wird ein krümmungsminimales Rohrleitungsnetzwerk nach Abmaÿen und Dampfbedingungen gemäÿ Kapitel 2.3 ausgelegt (s. Abbildung 5.1), ergibt sich nach Rechnung eines Rohrstranges gemäÿ Abschnitt 4.2 ein ζ-wert von 0, Aufgrund der Symmetrie der beiden Rohrstränge werden diese als parallelverschaltet betrachtet. Ein Hosenrohr (DN 3400 mm) mit einem Önungswinkel von α = 30 besitzt nach Druckverlust 7.2 einen ζ-wert von 0,15. Hierbei wurde der konservativste ζ-wert für das Hosenrohrelement gewählt. Dies ist dem Umstand geschuldet, dass noch keine experimentellen Daten für splineförmige Hosenrohre vorliegen. Entsprechend darf ein etwas 61

82 5. Druckverluste in Netzwerken krümmungsminimaler Rohrleitungen geringerer ζ-wert für diese Art der Bauelemente erwartet werden. Dies führt zu einem ζ-wert der Gesamtanlage aus Kapitel 2.3 bei pessimistischer Schätzung von höchstens ζ ges = ζ Splineersatz + ζ Hosenrohr = 0, ,15 = 0,334 58, (5.1) der einen Druckverlust von P Spline = 2,133 Pa bedingt. Ein Vergleich mit dem Druckverlust des äquivalenten konventionellen Rohrleitungsnetzwerk aus Kapitel 2.3 von P Konv = 14,71 Pa zeigt, dass der Druckverlust auf ein Siebtel reduziert werden kann. Zur Verikation der Ansätze aus Kapitel II sowie deren Anwendbarkeit auf Rohrleitungsnetwerke wird eine CFD basierte Versuchsreihe durchgeführt. Die Versuchsreihe umfasst insgesamt 10 Einzelversuche: Fünf der Versuche betrachten einzelne Rohrleitungen unterschiedlicher Rohrleitungsführungen, während weitere fünf Versuche Rohrleitungsnetzwerke, bestehend aus den jeweiligen Einzelrohrleitungssegmenten einander gegenüberstellen (vgl. Abbildung 5.2). Abbildung 5.2.: Modellgeometrie eines Rohrleitungsnetzwerks, bestehzend aus krümmungsminimalen Rohrleitungssegmenten zur Verwendung in der CFD Versuchsreihe 62

83 Eine detailierte Betrachtung der Versuchsreihe, deren Durchführung und Diskussion der Ergebnisse bendet sich in Kapitel B.2. Sie zeigt eine sehr gute Übereinstimmung der durch das Verfahren aus Kapitel II vorhergesagten Druckverluste und ζ-werte mit den Ergebnissen der CFD Analyse. So weicht der ζ-wert des Verfahrens von ζ Spline = 0, im Vergleich zum ζ-wert der CFD Analyse von ζ CF D = 0, gerade um ζ Spline ζ CF D = 0, = 0, % 0, ab. Für das Rohrleitungssystem ergibt die CFD Analyse einen ζ-wert von ζ CF DSystem = 0, 44. Eine parallele Verschaltung der krümmungsminimalen Rohrleitungen unter den einleitenden Annahme dieses Kapitels ergibt einen ζ-wert von ζ = 0, 42, was zu einer Abweichung von 5% führt. Hierbei ist zu beachten, das der zeta-wert des Hosenrohres aufgrund des vorliegende Önungswinkel von α 10 mit 0, 05 angesetzt wird. Die CFD Ergebnisse bestätigen somit in guten Maÿe die Annahmen dieses Kapitels. 63

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85 Teil III. Rohrleitungsnetzwerke 65

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87 6. Kreuzungsfreie Rohrleitungsnetzwerke in einfachen Domänen 6.1. Einleitung Der Entwurf von Rohrleitungsnetzwerken erfolgt in den Ingenieurwissenschaften durch eine Strukturanalyse. An die so gefundenen Lösungen werden neben geometrischen Randbedingungen noch weitere, wie wirtschaftliche oder konstruktive Randbedingungen gestellt. Daher hat sich als gängiges Vorgehen in den Ingenieurwissenschaften etabliert, im ersten Schritt sinnvolle Topologien zu nden. Im zweiten Schritt werden diese geometrisch und konstruktiv unter Berücksichtigung weiterer gegebenen Randbedingungen bewertet. Eine Schwierigkeit dabei stellt die Trennung von Topologie und Geometrie dar. Die geometrisch völlig unterschiedlichen Objekte Kreis, Quadrat und Dreieck sind topologisch gleich, sofern eine Äquivalenz über eine stetige Abbildung hergestellt werden kann. Ist dies der Fall, so wird die Topologie homöomorph genannt, anderenfalls dieomorph. Eine Rohrleitungstopologie bestimmt lediglich, welche Rohrleitungselemente miteinander verbunden werden. Die Geometrie bestimmt, wie diese Verbindung aussieht. 67

88 6. Kreuzungsfreie Rohrleitungsnetzwerke in einfachen Domänen 6.2. Randbedingungen Bei der Betrachtung von Rohrleitungsnetzwerken können folgende Grundannahmen und Forderungen getroen und kategorisiert werden: ˆ ˆ ˆ Topologische Forderungen und Randbedingungen: 1. Die Domäne der Rohrleitung ist frei von Restriktionen 1 und Hindernissen Rohrleitungsverbindungen verlaufen kreuzungsfrei. 3. Jedes Inlet ist mit mindestens einem Outlet verbunden. 4. Jedes Outlet ist mit mindestens einem Inlet verbunden. Geometrische, konstruktiv-technische Forderungen und Randbedingungen: 1. Die Start- und Endpunkte eines Rohrleitungsnetzwerks (Inlets und Outlets) sind in Ort und Gröÿe gegeben. 2. Die Domäne hat die Form eines Quaders, in dem Inlets und Outlets auf gegenüberliegenden Seiten liegen. 3. Alle Inlets haben die gleiche Höhe über Grund. 4. Alle Outlets haben die gleiche Höhe über Grund. 5. Die Start- und Endpunkte eines Rohrleitungsnetzwerks (Inlets und Outlets) sind in Ort und Gröÿe gegeben. 6. Alle Inlets liefern den gleichen konstanten Dampfmassenstrom. 7. Alle Outlets werden mit dem gleichen konstanten Dampfmassenstrom beaufschlagt. Mögliche weitere Zielvorstellungen aus Optimierungsüberlegungen: 1. Rohrleitungsverbindungen sollen so kurz wie möglich ausgeführt werden. 1 Restriktionen bestimmen Gebiete der Lösungsdomäne, welche aufgrund von teils subjektiv formulierten, Maÿgaben als Teil des Lösungsraums bevorzugt oder nicht bevorzugt verwendet werden sollen. 2 Hindernisse beschreiben Gebiete, welche nicht zum Lösungsraum der Rohrleitung gehören. 68

89 6.3. Entwicklung eines theoretischen Verfahrens 6.3. Entwicklung eines theoretischen Verfahrens Sei A die Menge aller Inlets {a 1, a 2,... a n } und B die Menge aller Outlets {b 1, b 2,... b m } eines Rohrleitungsnetzwerks, so sind alle möglichen Verbindungen durch die Relation R A B mit A B := {(a, b) (a A) (b B)} beschrieben. b 1 b 2 b 3 b 4 b 5 b 6 b 7 a 1 a 2 a 3 a 4 Abbildung 6.1.: Alle möglichen Verbindungen von 4 Inlets und 7 Outlets Abbildung 6.1 zeigt R A B für n = 4 und m = 7. Die Anzahl k der einzelnen Verbindungen von A und B lässt sich mathematisch als Mächtigkeit M = A B beschreiben: k = M = A B = A B = nṁ 69

90 6. Kreuzungsfreie Rohrleitungsnetzwerke in einfachen Domänen. Insgesamt ergeben sich 2 k Kombinationen der Verbindungen. Somit ergibt sich für das in Abbildung 6.1 gezeigte Beispiel n = 4 m = 7 k = n m = 4 7 = 28 2 k = 2 28 = (6.1) Es ist nun das Problem zu lösen, aus den 2 k möglichen Kombinationen der k Rohrleitungen solche zu wählen, welche den in Abschnitt 6.2 aufgestellten Forderungen genügen. Die Mengen A und B, sowie die möglichen Verbindungen lassen sich in Form einer Matrix beschreiben. Dabei gleicht die Spaltenanzahl der Anzahl der Inlets, die Zeilenanzahl der Anzahl der Outlets. Somit kann jedem Inlet eine Spalte der Matrix, und jedem Outlet eine Zeile der Matrix zugeordnet werden. Jedes Matrixelement repräsentiert eine der k möglichen Verbindungen. Wird zur Abbildung einer der 2 k möglichen Verbindungsmöglichkeiten eine Verbindung gewählt, so wird das entsprechende Matrixelement der Verbindung im Folgenden farbig markiert. Jeder der 2 k möglichen Verbindungskombinationen liefert so ein entsprechendes Verbindungsbild. Um die geometrische Forderung nach der Verwendung kürzest-möglicher Verbindungen innerhalb der Matrix abbilden zu können, sind die einzelnen Inlets und Outlets innerhalb ihrer Mengen untereinander in eine geometrische Relation zu bringen. Die Menge A und die Menge B wird derart geordnet, dass deren Elemente jeweils in aufsteigender Reihenfolge gemäÿ des geometrischem Abstands der Mittelpunkte der Inlets und Outlets in Bezug auf einen gemeinsamen Ursprung innerhalb der jeweiligen Menge sortierbar nach a i < a i+1 und b i < b i+1 sind. Innerhalb der Matrix folgt die Zuordnung von Spalten und Zeilen der Reihenfolge der Elemente innerhalb der so sortierten Mengen A und B der Inlets und Outlets. Das Matrixelement {1, 1} repräsentiert somit die Verbindung zwischen den Elementen {a 1, b 1 }. Das Matrixelement {n, m} repräsentiert entsprechend die Verbindung zwischen den Elementen {a n, b m }. Die topologische Forderung, dass jedes Inlet mit mindestens einem Outlet verbunden ist, lässt sich innerhalb der Matrix dadurch abbilden, das nur solche Lösungen zulässig sind, in welcher jede Spalte mindestens einmal markiert ist. Die topologische Forderung, das jedes Outlet mit mindestens einem Inlet verbunden ist, lässt sich innerhalb der Matrix dadurch abbilden, das nur solche Lösungen zulässig sind, in welcher jede Zeile mindestens einmal markiert ist. 70

91 6.3. Entwicklung eines theoretischen Verfahrens Der Realisierung der topologischen Forderung nach Kreuzungsfreiheit liegt folgende Überlegung zu Grunde: Durch die geometrische Sortierung der beiden Mengen A und B in Bezug auf einen gemeinsamen Ursprung erhalten die beiden Mengen Topologien, welche miteinander ordinär vergleichbar sind. Es werden die Ordinaritäten einander derart gegenübergestellt, dass a 1 gleich b 1. Innerhalb der Matrix bedeutet ein markiertes Feld {i, j} die Verbindung der Elemente a i und b j. Ein Nachbarelement a i+1 kann sich nun kreuzungsfrei nur mit den Elementen aus B verbinden, welche einen Index j haben. Verallgemeinert kann gesagt werden, das ein Element a i+1 aus A sich nur mit einem Element aus B verbinden kann, dessen Index gleich oder höher als der Index des Elements aus B ist, mit welchem das Nachbarelement a i verbunden ist. Gleiches gilt in umgekehrten Sinn für ein Element a i 1. Dies bedeutet: Jedes markierte Element eines Verbindungsbildes m{i, j} hat innerhalb der Matrix nur ein bis sechs markierte Nachbarelemente mit den Indices ( ) ( ) ( ) i + 1 i + 1 i m ; m ; m j j + 1 j + 1 ( ) ( ) ( ) i 1 i 1 i m ; m ; m j j 1 j 1, niemals jedoch ( ) ( ) m i + 1 j 1 ; m i 1 j + 1, da diese zu Kreuzungen führen welche aufgrund der in Abschnitt 6.2 dargelegten Randbedingungen nicht zulässig sind. 71

92 6. Kreuzungsfreie Rohrleitungsnetzwerke in einfachen Domänen Diese, aus den Forderungen nach Kreuzungsfreiheit abgeleiteten Einschränkungen lassen sich als eine Linie in der Matrix darstellen, welche von der linken oberen Ecke zur rechten unteren Ecke verläuft. Die Forderung der gleichverteilten Dampfmengen von Inlets zu Outlets hat zur Folge, dass stets ein konstantes Verteilungsverhältnis der Inlets zu Outlets herrschen muss. Dies entspricht einer Geraden (konstante Steigung) innerhalb der Verbindungsmatrix. Im Folgenden wird ein Beispiel mit n = 2 Inlets und m = 3 Outlets betrachtet und eine Auswahl der möglichen Verbindungsbilder gegeben. Es gilt: n = 2 m = 3 k = n m = 2 3 = 6 2 k = 2 6 = 64 (6.2) Innerhalb der in Tabelle 6.1 gezeigten Verbindungsbilder erfüllt nur Fall 1 mit einer geraden Verbindungslinie der linken oberen Ecke zur rechten unteren Ecke der Matrix die vorab aufgestellten Kriterien für eine kreuzungsfreie und gleichverteilte Lösung. Es besteht jedoch das mathematische Problem, dass es sich bei einer Geraden um eine funktionale, stetige Abbildung eines Denitionsbereichs auf einen Wertebereich handelt. Diese Eigenschaften können in der Mengentheorie nicht angewendet werden. Der Funktionsbegri ist innerhalb von Relationen von Mengen als eine linkstotale und rechtseindeutige Relation deniert, deren Denitionsmenge das kartesische Produkt der betrachteten Mengen darstellt. Die Zielmenge umfasst lediglich die Elemente wahr und falsch. Eine wie oben aufgestellte Verbindungsmatrix stellt die Denitionsmenge im mengentheoretischen Sinne dar, das wie oben beschriebene Verbindungsbild lässt sich als Zielmenge mit den Elementen markiert (wahr) und nicht markiert (falsch) interpretieren. Die funktionale, stetige Abbildung einer Geradengleichung muss somit als funktionale Relation in einen diskreten Lösungsraum abgebildet werden, um ein kreuzungsfreies, gleichverteilendes Rohleitungsnetzwerk in einfachen Domänen nden zu können Der Bresenham Algorithmus Ein Algorithmus, welcher die Markierung von Matrixelementen anhand eines Linienverlaufs erzeugt, wurde bereits 1962 von Jack E. Bresenham bei IBM entwickelt. Der nach ihm benannte Bresenham-Algorithmus wird in der Computertechnologie zur Darstellung von kontinuierlichen Linien auf einem diskreten Raster verwendet. Innerhalb 72

93 6.4. Der Bresenham Algorithmus Fall 1 Fall 6 a 1 2 c a 1 2 b 2 b b 2 c 1 c 1 a c b a Fall 2 Fall 7 a 1 2 c a 1 2 b 2 b b 2 c 1 c 1 a c b a Fall 3 Fall 8 a 1 2 c a 1 2 b 2 b b 2 c 1 c 1 a c b a Fall 4 Fall 9 a 1 2 c a 1 2 b 2 b b 2 c 1 c 1 a c b a Fall 5 Fall 10 a 1 2 c a 1 2 b 2 b b 2 c 1 c 1 a c b a Tabelle 6.1.: Einige ausgewählte mögliche Verbindungsbilder mit den entsprechenden Verbindungen von 2 Inlets zu 3 Outlets 73

94 6. Kreuzungsfreie Rohrleitungsnetzwerke in einfachen Domänen von Grakanwendungen kann so eine mathematisch formulierte Gerade auf einen diskreten Satz (Raster) von Bildpunkten (Pixel) eines Bildschirms, einer Bilddatei oder eines Nadeldruckers rasterisiert werden. Ein Beispielquelltext, der einen einfachen Bresenham Algorithmus implementiert, sowie die grundlegenden Überlegungen hierzu, zeigt Kapitel E Manuelle Anwendung des Verfahrens an einem konkreten Beispiel In den vorangegangenen Abschnitten konnte folgendes Verfahren zur Ermittlung von kreuzungsfreien, gleichverteilenden Rohrleitungsnetzwerken gefunden werden: ˆ ˆ Bei einer Verbindung von n Inlets zu m Outlets eines Rohrleitungsnetzwerks sind die Menge aller Inlets A und die Menge aller Outlets B aufgrund ihres gegebenen Ortes in Bezug auf den Abstand zu einem gemeinsamen frei wählbaren Ursprung in sich zu wohl zu sortieren. Daher muss gelten: a i < a i+1 bzw. b i < b i+1. Über die Relation einer Verbindungsmatrix, bei welcher das Element {a 1, b 1 } den Ursprung der Matrix darstellt und die Matrix die Gröÿe n m besitzt, ergibt die Anwendung des Bresenham Algorithmus auf eine gerade Linie von {a 1, b 1 } zu {a n, b m } die einzig mögliche kreuzungsfreie und gleichverteilte Verbindungslösung. Im Folgenden wird ein manuelles Verfahren vorgestellt, welches eine kreuzungsfreie Lösung zur Verbindung einer gegebenen Anzahl k Inlets zu einer gegebenen Anzahl n Outlets mit krümmungsminimalen Rohleitungen wie in Abschnitt 6.4 gezeigt, erzeugt. Hierbei wird auch ein manuelles Verfahren zur einfachen Sortierung der Inlet und Outletmengen gezeigt. Mögliche Restriktionsgebiete innerhalb der Domäne werden wie gefordert nicht berücksichtigt. Abbildung 6.2(a) zeigt die Inletmenge {I1,I2,I3} und die Outletmenge {O1,O2,O3,O4}. Zuerst wird ein beliebiger Ursprung auf dem Rand der Domäne (in Abbildung 6.2(a) blau dargestellt) gewählt. Dabei ist zu beachten, dass es keine Inlets und keine Outlets mit gleichem Abstand zum gewählten Ursprung gibt. Alle Inlets werden nach ihrem Abstand zum gewählten Ursprung in aufsteigender Reihenfolge als Spalten in einer Tabelle, die Outlets nach ihrem Abstand zum Ursprung in aufsteigender Reihenfolge als Zeilen dieser Tabelle notiert. Um die Anordnung der Inlets und Outlets nach ihrer Entfernung zum Ursprung komfortabel zu beschreiben, kann ein Umlaufsinn, beginnend vom festgelegten Ursprung, entlang des Randes der Domäne deniert werden. 74

95 6.5. Manuelle Anwendung des Verfahrens an einem konkreten Beispiel (a) Beispieldomäne (b) Verbindungstabelle Abbildung 6.2.: Beispiel zur Erläuterung des einfachen Verbindungsverfahren Die Reihenfolge der Inlets in der Kopfzeile der Tabelle entspricht nun der Reihenfolge entlang des Umlaufsinns (in Abbildung 6.2(a) rot angedeutet). Die Reihenfolge der Outlets in der ersten Spalte der Tabelle entspricht der Reihenfolge entgegen des Umlaufsinns (in Abbildung 6.2(a) grün angedeutet). Die farbige Kennzeichnung des Umlaufsinns wurde in Abbildung 6.2(b) zum besseren Verständnis ebenfalls dargestellt. Hiernach wird eine Gerade durch die linke oberen Ecke und durch die rechte untere Ecke der Tabelle gelegt (in Abbildung 6.2(b) blau dargestellt). Alle Zellen der Tabelle, welche von der Geraden berührt werden, kennzeichnen eine Verbindung vom entsprechenden Inlet zum entsprechenden Outlet. Sie werden farblich markiert. Das resultierende Verbindungsbild repräsentiert die kreuzungsfreie und gleichverteilende Lösung der Verbindung von 3 Inlets zu 4 Outlets. 75

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97 7. Kreuzungsfreie Rohrleitungsnetzwerke in komplexen Domänen 7.1. Einleitung In Kapitel 6 wurde ein Verbindungsverfahren von Rohrleitungen hergeleitet, welches als Grundannahme eine restriktionsfreie Lösungsdomäne voraussetzt. In der Praxis existieren allerdings auch Lösungsdomänen, die Restriktionen und/oder Hindernisse in Form von Bereichen, welche bei einer Rohrleitungsführung zu bevorzugen (z.b. durch bereits vorhandene Rohrleitungsunterstützungskonstruktionen) oder zu vermeiden sind (z.b. Gebäude, freizuhaltende Durchfahrten), enthalten. Im Folgenden wird gezeigt, in wie weit dazu das in Kapitel 6 entwickelte Verfahren bei der Berücksichtigung von Gebieten mit Restriktionen an seine Grenzen stöÿt bzw. ob es modiziert werden kann, um ein Rohrleitungsnetzwerk in einer komplexen Domäne zu nden Anwendung des bisherigen Verfahrens auf eine komplexe Domäne Als Beispiel soll eine Verbindung zwischen n = 3 Inlets zu m = 4 Outlets gefunden werden. Zusätzlich ist die Domäne durch Hindernisse derart beschränkt, dass, wie Abbildung 7.1 zeigt, nur zwei mögliche Durchgänge D 1 und D 2 existieren mit D 1 > D 2. In einem ersten Schritt wird die gegebene Domäne entlang der Hindernisse so unterteilt (segmentiert), dass nur noch beschränkungsfreie Segmente existieren. Innerhalb der gefundenen Segmente wird dann eine Teillösung mit dem im Kapitel 6 gezeigten Verfahren bestimmt. Die Gesamtheit der Teillösungen ergibt dann eine mögliche Lösung für das gesamte Rohrleitungsnetzwerk. Wird dieser Ansatz auf das gegebene Beispiel angewandt, so wird eine Lösung wie in Abbildung 7.2 gezeigt, erzeugt. 77

98 7. Kreuzungsfreie Rohrleitungsnetzwerke in komplexen Domänen D2 I3 O4 I2 O3 I1 D1 O2 O1 Abbildung 7.1.: Segmentierte Domäne mit Hindernissen 78

99 7.2. Anwendung des bisherigen Verfahrens auf eine komplexe Domäne I3 O4 I2 O3 I1 O2 O1 I1 I2 I3 D1 D2 D1 D2 O1 O2 O3 O4 Abbildung 7.2.: Lösung des Bresenham Algorithmus auf die segmentierte Domäne mit Hindernissen 79

100 7. Kreuzungsfreie Rohrleitungsnetzwerke in komplexen Domänen Wird die so gefundene, rein topologische Lösung des Beispiels einer konstruktivtechnischen Bewertung unterzogen (ingenieurtechnische Betrachtung, vgl. Abschnitt 6.2), so lassen sich folgende Aussagen zur Bewertung dieser Lösung treen: ˆ ˆ Die Verwendung des Durchgangs D 2 erzeugt bei konstruktiv-technischer Interpretation der topologischen Lösung Rohrleitungen gröÿerer Länge (in der Abbildung gestrichelt dargestellt) als die Verwendung des Durchgangs D 1 (in der Abbildung als Vollinie dargestellt). Da im gewählten Beispiel Durchgang D 1 sehr viel gröÿer ist als Durchgang D 2, folgt daraus, dass eine alleinige Benutzung von D 1 aus geometrischer Sicht plausibel ist Grenzen des bislang verwendeten Verfahrens Wie das Beispiel in Abschnitt 7.2 zeigt, liefert das bislang verwendete Verfahren auch für Domänen komplexer Topologie topologisch sinnvolle Lösungen. Werden diese Lösungen allerdings weiteren ingenieurtechnischen Betrachtungen, resultierend aus konstruktivtechnischen und/oder geometrischen Anforderungen an das Rohrleitungsnetzwerk unterzogen, kann sich herausstellen, dass die topologisch gefundenen Lösungen technisch nicht sinnvoll sind. Eine Erklärung hierfür liegt in der Art der Bewertungskriterien. Ein Algorithmus nach Kapitel 6 liefert ausschlieÿlich topologisch plausible Lösungen. Die Wahl der Lösung nach Abbildung 7.3 stützt sich jedoch auf geometrische und wirtschaftliche Gründe, wie die Möglichkeit, dass der Durchgang D 1 genügend Platz für alle Rohrleitungen bietet und die Verwendung möglichst wenig Materials sicherstellt. Die Konstruktion eines Rohrleitungsnetzwerks kann demzufolge Restriktionen unterschiedlicher Natur unterliegen, die nur schwer oder gar nicht ineinander überführt werden können. Dieser Umstand führt dazu, dass durch das vorgestellte Verfahren keine mathematisch geschlossene Lösung zur Beschreibung eines krümmungsminimalen, gleichverteilenden Rohrleitungsnetzwerks in komplexen Domänen gefunden werden kann. Daher wird im Folgenden dargestellt, ob bzw. wie das bislang betrachtete Verfahren modiziert werden kann, um eine geschlossen-mathematische Lösung für krümmungsminimale, gleichverteilende Rohrleitungsnetzwerke zu nden. 80

101 7.3. Grenzen des bislang verwendeten Verfahrens I3 O4 I2 O3 I1 O2 O1 I1 I2 I3 D1 D2 D1 D2 O1 O2 O3 O4 Abbildung 7.3.: Modizierte Lösung des Bresenham Algorithmus auf die segmentierte Domäne mit Hindernissen 81

102 7. Kreuzungsfreie Rohrleitungsnetzwerke in komplexen Domänen 7.4. Anforderungen an ein Lösungsverfahren für krümmungsminimale, gleichverteilende Rohrleitungsnetzwerke in komplexen Domänen Als Grundlage des zu entwickelnden Lösungsverfahrens dienen folgende Überlegungen: ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ Innerhalb einer Domäne mit einer Vielzahl von Randbedingungen unterschiedlichen Typs lassen sich diese Randbedingungen als einzelne Regeln formulieren. Wenn innerhalb dieser Domäne mindestens eine Lösung (ein Rohrleitungsnetzwerk) existiert, so erfüllt jeder beliebige Punkt der Lösung den gegebenen Regelsatz. Raumpunkte der Lösung können Relationen, welche ebenfalls als Regeln formulierbar sind, zu benachbarten Raumpunkten besitzen. Existieren mehrere Lösungen, so kann für einen Raumpunkt, welcher alle gegebenen Regeln erfüllt, nicht festgestellt werden, zu welcher Lösung dieser Raumpunkt gehört. Die Gesamtheit aller Raumpunkte der Lösungen repräsentiert eine valide Auswahl aller Rohrleitungsnetzwerke, welche die gegebenen Regeln erfüllen. Eine weitere Einschränkung des Lösungsraums kann nur durch weitere, zusätzliche Regeln gefunden werden. ˆ Eine Betrachtung einer Untermenge aller Raumpunkte ändert die Lösung nicht. Somit muss für das zu entwickelnde Lösungsverfahren zur Findung eines krümmungsminimalen, gleichverteilenden Rohrleitungswnetzwerk in komplexen Domänen gelten, dass dieses beliebigen Regeln folgen kann, und eine abzählbare Menge an Raumpunkten liefert, welche den gegebenen Regeln genügt. 82

103 7.5. Geeignetes Modell zur Entwicklung eines Lösungsverfahrens 7.5. Geeignetes Modell zur Entwicklung eines Lösungsverfahrens Ein Modell, welches aus einer endlichen Menge von Elementen besteht, und in dem jedes Element einen Regelsatz erfüllt, wurde unter anderem von Prof. Iain D. Couzin an der Princeton University innerhalb der Forschung zu kollektivem Verhalten von Tieren beschrieben. Innerhalb eines Kollektivs von Tieren, auch Schwärme, Rudel oder Herden genannt, folgt jedes Individuum einem Satz einfacher Regeln. Die Summe aller Verhaltensmuster ergibt das Schwarmverhalten. In der Natur kann beobachtet werden, dass dieses Schwarmverhalten genügt, um den Schwarm vor Raubtieren zu schützen, Futter zu suchen oder andere, komplexe Aufgaben, welche das Überleben des Kollektivs sichern, zu erfüllen. Auch beim Menschen ist dieses Schwarmverhalten beobachtbar, beispielsweise bei der Stadionwelle (auch La Ola genannt): Ohne dass jemals zuvor ein Einüben stattgefunden hat, ist eine groÿe Gruppe von Individuen in der Lage, durch die Erfüllung der beiden einfachen Regeln Stehe auf und hebe die Arme wenn dein linker Nachbar es tut. und Senke die Arme und setze dich wieder hin, wenn dein linker Nachbar es tut. das Phänomen der Stadionwelle zu erzeugen. Derartige Schwarmmodelle nden in der Computerwissenschaft im Bereich von Animationen und als KI-Verhalten in der Computerspiele-Industrie, wie auch in der Mathematik zur Bearbeitung von Optimierungsproblemen ihre Anwendung (vgl. Kapitel D und [Veg08]) Eigenschaften des allgemeinen Schwarmmodells Jedes Schwarmmodell besteht aus einer Anzahl n von Schwarmentitäten. Jede Entität besitzt einen Orts- und einen Geschwindigkeitsvektor. Das Schwarmmodell wird über Zeitschritte ausgewertet. Alle formulierten Regeln erzeugen nach Maÿgabe der lokalen Situation einer Entität Vektoren, welche den Geschwindigkeitsvektor der Entität verändern. Die Menge der Regeln wird als Brain bezeichnet. Sie gilt für alle Entitäten gleichermaÿen. Jedes Schwarmmodell implementiert immer eine Regel zur Nachbarschaftsbeziehung, welche lautet: Bewege dich in Richtung deiner nächsten k Nachbarn., sowie Bewege dich in die gleiche Richtung wie deine nächsten k Nachbarn. Die Gröÿe k wird Nachbarschaftsgröÿe genannt. Eine Gröÿe von k = 5 bis k = 7 ist üblich und wurde von Forschern innerhalb natürlicher Vogelschwärme beobachtet und nachgewiesen. 83

104 7. Kreuzungsfreie Rohrleitungsnetzwerke in komplexen Domänen Sei t die Zeitschrittweite während der Auswertung eines Schwarmmodells, so wird das Verhalten einer Entität durch r(t + t) = t (v(t) + n r + n v ) mit n r = und k i=0 r i k (7.1) n v = k i=0 v i k worin n r der Ortsvektor des Schwerpunktes eines durch k Nachbarn aufgespannten Polygons ist und die Regel Bewege dich in Richtung deiner nächsten k Nachbarn. abbildet, und n v der gemittelte Geschwindigkeitsvektor der nächsten k Nachbar und die Regel Bewege dich in die gleiche Richtung wie deine nächsten k Nachbarn abbildet. Somit beschreibt Gleichung (7.1) das grundlegende Brain eines jeden Schwarmmodells. Der grundlegende Berechnungszyklus des Schwarmmodells für jede Schwarmentität lässt sich grasch gemäÿ Abbildung 7.4 darstellen. 84

105 7.6. Eigenschaften des allgemeinen Schwarmmodells Start Berechne Nachbarschaftsvektor Vnr Berechne Nachbarschaftsvektor Vnv V = V + Vo + Vnr + Vnv r = V * dt Abbildung 7.4.: Grundlegender Berechnungsablauf eines Schwarmmodells Aufgrund der gezeigten Eigenschaften von Schwarmmodellen und deren Fähigkeit beliebige Regeln zu verarbeiten, wird ein Schwarmmodell als Grundlage für das zu ndende Lösungsverfahren gewählt, um eine mathematisch-geschlossene Lösung zur Beschreibung eines krümmungsminimalen, gleichverteilenden Rohrleitungsnetzwerkes in komplexen Domänen zu nden. Das in Kapitel 6 vorgestellte Verfahren ndet daher aufgrund seiner in Abschnitt 7.3 gezeigten Grenzen im weiteren Verlauf dieser Arbeit keine weitere Berücksichtigung. 85

106 7. Kreuzungsfreie Rohrleitungsnetzwerke in komplexen Domänen 7.7. Entwicklung eines schwarmmodellkonformen Regelsatzes zur Bestimmung von kreuzungsfreien, gleichverteilenden Rohrleitungssystemen Die in Abschnitt 6.2 aufgestellten Randbedingungen und Forderungen müssen zur Verwendung innerhalb des Schwarmmodells zu folgenden Schwarmregeln umformuliert werden: Rohrleitungsverbindungen sollen so kurz wie möglich ausgeführt werden Jede Schwarmentität sucht in jedem Simulationsschritt das geometrisch nächstgelegene Outlet. Der Zielpunkt innerhalb der Outletäche besitzt eine gleiche, relative Position wie die Schwarmentität innerhalb des Start-Inlets. Diese Betrachtungen führen zur Berechnung eines Vektors V o. Rohrleitungsverbindungen verlaufen kreuzungsfrei Durch die Berechnung und Einhaltung der Nachbarschaftsvektoren n v und n r ist eine Kreuzung von mehreren Schwarmentitätswegen ausgeschlossen. Bei einem Aufeinandertreen von zwei Schwarmentitätsgruppen werden sich diese gegenseitig aneinander anpassen. Es ist jedoch nicht ausgeschlossen, das eine spätere Verzweigung möglich ist, wenn andere Einussvektoren die Nachbarschaftsvektoren betragsmäÿig überwiegen. Somit gibt es durch das Nachbarschaftskonzept niemals Kreuzungen von Entitätswegen, sondern nur Vereinigungen und Verzweigungen. Damit sorgen die Vektoren n r und n v für die geforderte Kreuzungsfreiheit. Rohrleitungen kollidieren nicht mit Hindernissen Ein Kollisionsalgorithmus bestimmt eine möglichen Kollision einer Schwarmentität mit einem Hindernis. Durch Berechnung der Umrissgestalt des Hindernisses in eine Projektionsäche senkrecht zum Geschwindigkeitsvektor der Schwarmentität kann ein Ausweichvektor V c bestimmt werden. 86

107 7.7. Regelsatz des Schwarmmodells Inlets verteilen gleichmäÿig den Dampfmassenstrom auf die Outlets Unter der Voraussetzung, dass der Schwarm eine feste Anzahl von Schwarmentitäten besitzt, kann ein Konzept entwickelt werden, in welchem ein Outlet nur eine bestimmte Anzahl der Schwarmentitäten Anzahl von Schwarmentitäten n max = min( ) aufnehmen Anzahl der Outlets kann. Um dieses Konzept zu realisieren, meldet sich eine Schwarmentität bei der Bestimmung des nächsten Outlets beim gewählten Outlet an. Ist das Outlet überfüllt, so wird das nächste freie Outlet gewählt. Der Befüllungsgrad eines Outlets wird beim Durchstoÿen einer Schwarmentität angepasst. Verbindung aller Inlets mit allen Outlets Die zufällige Verteilung von Schwarmentitäten, sowie das Konzept eines Befüllungsrades der Outlets sichern a priori die Verbindung aller Inlets mit allen Outlets. Zusammenfassend lässt sich mit den so formulierten Regeln der Ablauf gemäÿ Abbildung 7.5 zu Berechnung eines Schwarmschrittes darstellen. 87

108 7. Kreuzungsfreie Rohrleitungsnetzwerke in komplexen Domänen 7.8. Initialisierung des Schwarmmodells und Durchführung der Berechnung Als Datenbasis ist dem Schwarmmodell die geometrische Lage, sowie die geometrische Gestalt der Inlets und Outlets bekannt. Des Weiteren stehen dem Schwarmmodell die geometrische Lage, sowie die geometrische Gestalt von Hindernissen innerhalb der Domäne zur Verfügung. Jede Schwarmentität startet in der Fläche eines zufällig gewählten Inlets. Das Startinlet, sowie die relative Position innerhalb der Inletäche, sind jeder Schwarmentität bekannt. Jeder Schwarmentität wird ein Geschwindigkeitsvektor zugeordnet, welcher in Normalenrichtung der Inletäche steht. Diese Schwarmgeschwindigkeit hat keinen Bezug zu einer Strömungsgeschwindigkeit eines Fluids. Sie dient mit dem frei wählbaren Takt der Berechnung nur zur räumlichen Auösung der Ergebnisse. Eine groÿe Zeitschrittweite mit einer groÿen Schwarmgeschwindigkeit liefert eine nur sehr grobe Auösung eines Ergebnisfeldes. Eine gute Abschätzung der zu verwendenden Zeitschrittweite, sowie der anzusetzenden Geschwindigkeit liefert die gewünschte Ergebnisauösung: Ist eine Lösung gefordert, welche eine Auösung von z.b. 10 cm liefern soll, so sind die Geschwindigkeit, sowie die Zeitschrittweite derart zu wählen, dass die geforderte Auösung mittels mindestens zwei Berechnungsschritten erreicht wird. Um ein plausibles Schwarmverhalten abzubilden, ist der Geschwindigkeitsvektor noch in Betrag und Richtung leicht zu variieren. Alle Schwarmentitäten berechnen pro Zeitschritt jeden einzelnen Einussvektor und bestimmen einen neuen Geschwindigkeitsvektor und den anhand der Zeitschrittweite t bestimmbaren neuen Ortsvektor. Nach Berechnung des neuen Ortsvektors werden alle Schwarmentitäten innerhalb des Propagationsschrittes auf den neuen Ortsvektor bewegt. Es beginnt ein neuer Berechnungszyklus. Durchstöÿt eine Schwarmentität innerhalb des Propagationsschrittes eine Outletäche, so wird im nächsten Zeitschritt die Schwarmentität zufällig innerhalb einer Inletäche positioniert Auswertung der Schwarmdaten und Bezug auf physikalisch technische Gröÿen Die bisher entwickelte Berechnung des Schwarmmodells kennt keinen Zustand, in welcher das Schwarmmodell eine Lösung gefunden hat. Dies rührt aus der Annahme, das jede Entität alle Regeln im jeweiligen Raumpunkt erfüllt und eine partielle Teillösung darstellt. Ein Rohrleitungsnetzwerk ist jedoch die Summe aller Raumpunkte, in welcher die aufgestellten Regeln gelten. Da eine unendliche Anzahl von Raumpunkten existiert, 88

109 7.10. Versuche zur Bewertung des Schwarmmodells müsste daher der Algorithmus unendlich lange durchlaufen werden, um eine vollständige Lösung zu erzeugen. Wird ein Schwarmmodell rechnertechnisch implementiert, und werden die jeweiligen Änderungen der Raumpunkte jeder Schwarmentität visuell dargestellt, ist bereits nach einigen Durchläufen der Schwarmentitäten durch die Lösungsdomäne über eine visuelle Bemusterung eine Stabilisierung des Schwarms erkennbar. Eine solche visuelle Bemusterung reicht bereits aus, um eine plausible, mögliche Struktur des Rohrleitungsnetzwerks abzuleiten. Hierbei dient das gesamte Erscheinungsbild des Schwarms als Grundlage einer solchen Bemusterung. Die Physik kennt solche Betrachtungen von emergenten Gröÿen beispielsweise aus der Thermodynamik (Druck und Temperatur als emergente Gröÿen eines Teilchensystems). Einzelne Teile besitzen keine Temperatur und keinen Druck, sondern nur innere Energie. Erst die Betrachtung der Gesamtheit aller Teilchen eines System emergiert die Gröÿen Druck und Temperatur. Ebenso kann mit dem Schwarmmodell verfahren werden Versuche zur Bewertung des Schwarmmodells Zur Untersuchung des Schwarmmodells wurden in dieser Arbeit unter anderem folgende Versuche durchgeführt: Versuch 1: Bestimmung einer Rohrleitung innerhalb einer restrikitonsfreien Domäne zwischem einem Inlet und einem gegenüberliegenden Outlet (gerades Rohr). Versuch 2: Bestimmung eines Rohrleitungsnetzwerks innerhalb einer restriktionsfreien Domäne zwischen zwei Inlets und drei Outlets zum Vergleich mit dem Verfahren nach Kapitel 6. Die durchgeführten Versuche zeigten folgendes Verhalten eines Schwarms, welcher die in Abschnitt 7.7 aufgestellten Regeln erfüllt: ˆ ˆ ˆ Zu Beginn zeigt sich eine lokal begrenzte Gestalt des Schwarms, welche sich im Verlauf der Versuche, bedingt durch die unterschiedlichen Geschwindigkeiten der Schwarmentitäten, über die gesamte Domänenlauänge verteilt. Der sich zu Beginn zeigende lokale Schwarm folgt nach visueller Bemusterung den approximierten Rohrleitungsverläufen zufriedenstellend. Die Betrachtung der Gesamtheit aller Ortsvektoren der Schwarmentitäten, sowie die Gesamtheit aller Geschwindigkeitsvektoren der Schwarmentitäten zeigt eine Stabilisierung dieser beiden Gröÿen bei der Ausdehnung des Schwarms über die gesamte Domänenlauänge. Dies lässt den Schluss zu, dass eine visuelle Bemusterung ab einem bestimmten Berechnungsschritt sinnvolle Ergebnisse liefert. 89

110 7. Kreuzungsfreie Rohrleitungsnetzwerke in komplexen Domänen Zusammenfassung der Ergebnisse des Lösungsverfahrens innerhalb komplexer Domänen Entgegen den in Kapitel D beschriebenen mathematischen Schwärmen, kann für ein Rohrleitungsnetzwerk in komplexen Domänen keine einzelne Zielfunktion formuliert werden. Auch ist der Einsatz anderer, stochastischer Algorithmen, wie genetische Algorithmen (vgl. Kapitel C), ungeeignet, da diese ebenfalls eine Zielgröÿe, den Fitnesswert, mathematisch durch eine Funktion abbilden. Weitere Nachteile des Einsatzes eines genetischen Algorithmus sind in Kapitel C beschrieben. Um ein krümmungsminimales, gleichverteilendes Rohrleitungsnetzwerk in einer komplexen Domäne zu nden, ist ein Satz von Regeln, wie in Abschnitt 7.7 gezeigt, zu erfüllen, welcher unterschiedliche Eigenschaften (Topologie, Geometrie, etc.) des Problems beschreibt. Die nach Abschnitt 7.7 aufgestellten Regeln beschreiben Forderungen an die Lösung, und nicht den Weg zur Bestimmung der Lösung. Dies ist ein Paradigmenwechsel im Entwurf von technischen Konstruktionen, ähnlich dem deklarativen Programmierparadigma in der Informatik. Hierin steht im Gegensatz zum imperativen Programmierparadigma nicht die Beschreibung des Weges zur Lösungs- ndung, sondern die Beschreibung des Ergebnisses selbst im Vordergrund. 90

111 7.11. Zusammenfassung der Ergebnisse in komplexen Domänen Abbildung 7.5.: Berechnungsablauf eines Schwarmmodells mit gegebenen Regeln 91

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113 8. Entwicklung eines Schwarmlabors Zur Untersuchung und Verikation des Schwarmkonzepts nach Abschnitt 7.7 unter Berücksichtigung der Ergebnisse aus Kapitel II wurde ein Rechnerprogramm entwickelt, welches ein Schwarmmodell implementiert und dieses für mögliche Versuchsreihen erweitert. Weiterhin wurden Ansätze zur Steigerung der Berechnungsgeschwindigkeit, sowie der Datenhaltung berücksichtigt. Bei der Realisierung wurden folgende Annahmen getroen: ˆ ˆ Alle Inlets und Outlets sind kreisförmig. Es werden keine Kollisionen mit Restriktionsgebieten berücksichtigt Datenmodell Dem Schwarmlabor sind zu Beginn ˆ die Schwarmgröÿe swarmsize, ˆ die Gröÿe der Nachbarschaft n, ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ Ort und Lage der Inlets, Ort und Lage der Outlets, Durchmesser aller Inlets und Outlets, die Abmessungen der Lösungsdomäne und die Zeitschrittweite der Simulation t bekannt. Eine Schwarmentität wird durch einen Ortsvektor r, einen Geschwindigkeitsvektor v und weiterer Hilfsgröÿen beschrieben. Die Herleitung der Hilfsgröÿen wird im Folgenden entwickelt. Alle Schwarmentitäten werden in der Liste Swarm der Gröÿe i verwaltet. 93

114 8. Entwicklung eines Schwarmlabors float3 x: float y: float z: float SwarmEntity r: float3 v: float3 offset: float3 InletIndex: int OutletIndex: int InOutStructure r: float3 n: float3 d: float pop: int popmax: int Swarm SwarmEntity size: int Inlet InOutStructure size: int Outlet InOutStructure size: int Abbildung 8.1.: Datenstruktur des Schwarmmodells Inlets und Outlets werden durch einen Ortsvektor r auf den Mittelpunkt, einen Normalenvektor n zur Orientierung im Raum und durch den Durchmesser d beschrieben. Inlets und Outlets werden in den Listen Inlet und Outlet verwaltet. Unter Berücksichtigung des objektorientierten Paradigmas und der dadurch möglichen Strukturierung der Daten können somit alle notwendigen Informationen leicht bearbeitet werden. Es ergibt sich eine Datenstruktur gemäÿ Abbildung 8.1. Die x-komponente des Ortsvektors einer Schwarmentität wird beispielsweise durch Swarm[i].r.x angesprochen Initialisierung Im Initialisierungsschritt wird die Liste der Schwarmentitäten Swarm mit swarmsize Schwarmentitäten gefüllt. Um eine Gleichverteilung der Entitäten auf die Kreisächen aller Inlets zu realisieren, wird für jede Schwarmentität i folgendes Verfahren gewählt: 1. Es wird per Zufall ein Inlet k aus der Liste der Inlets gewählt. 2. Die Schwarmentität i wird zufällig im Raum platziert. 3. Der Ort der Schwarmentität Swarm[i].r wird in die Ebene des Inlets projiziert. Inlet[k].r Inlet[k].n 94

115 8.2. Initialisierung 4. Der Vektor offset zwischen Inlet[k].r und des Projektionspunktes wird um skaliert. rand(inlet[k].d) offset 5. Der Index des Inlets k, sowie der skalierte Vektor offset werden in die Datenstruktur der Schwarmentität eingetragen. 6. Der Ortsvektor der Schwarmentität wird auf gesetzt. Swarm[i].r = Inlet[k].r + offset 7. Jedem Outlet wird eine maximale Population gemäÿ ( ) Outlet.d Outlet.popmax = roundup swarmsize Inlet.d zugeordnet. 8. Es wird das der Schwarmentität am nächsten gelegene Outlet m gewählt. 9. Es wird Outlet[m].pop < Outlet[m].popmax geprüft. Ist die Prüfung erfolgreich, wird Swarm[i].OutletIndex = m und Outlet[m].pop = Outlet[m].pop + 1 gesetzt. Ist die nicht der Fall, wird dasjenige Outlet gewählt, welches am zweitnächsten zur Schwarmentität liegt und die Prüfung wird wiederholt. Der Geschwindigkeitsvektor der Schwarmentität i wird auf Swarm[i].v = Inlet[k].n gesetzt und danach zufällig variiert. 95

116 8. Entwicklung eines Schwarmlabors 8.3. Berechnungsschritt In einem Berechnungsschritt werden gemäÿ Kapitel D der Nachbarschaftsvektor, sowie ein Splinevektor zur Berücksichtigung der Ansätze aus Kapitel II berechnet. Weiterhin wird das Durchstoÿen einer Schwarmentität durch eine Outletäche geprüft. Tritt ein solches Ereignis ein, erfolgt die Reinitialisierung gemäÿ Abschnitt Berechnung des Nachbarschaftsvektors v n Zur Bestimmung des Nachbarschaftsvektors sind zunächst die n nächsten Nachbarn einer Entität innerhalb des Schwarms zu identizieren. Eine naheliegende Möglichkeit die n nächsten Nachbarn der Schwarmentität i innerhalb des Schwarms zu nden, ist die Liste der Schwarmentitäten zu durchlaufen, den Abstand Swarm[k].r Swarm[n].r, k {0..swarmsize}, k i (8.1) zu bestimmen, und die kleinsten n Ergebnisse in eine Liste Nearest zu speichern. Da dieses Vorgehen jedoch für jede Entität des Schwarms durchgeführt werden muss, ergeben sich in jedem Berechnungsschritt swarmsize 2 Verarbeitungsschritte. Eine leistungsstärkere Methode zur Ermittlung der nächsten Nachbarn stellt das Prinzip von k-dimensionalen Bäumen (KD-Trees). KD-Trees wurden bereits von Jon Louis Bentley in [Ben75] beschrieben. Es existieren mehrere Programmierbibliotheken, welche eine Nachbarschaftssuche auf Basis von KD-Trees eektiv umsetzten. In dieser Arbeit wurde die Programmierbibliothek VTK ( und die darin angebotene Methode vtkpointlocator::findclosestnpoints() verwendet. Sind die nächsten n Nachbarn einer Entität bekannt, gilt für den Nachbarschaftsvektor v nr = 1 n 1 n Nearest[i].r i=0 n 1 v nv = 1 n Nearest[i].v i=0 v n = v nr + v nv ( = 1 n 1 ) n n 1 Nearest[i].r + Nearest[i].v = 1 n i=0 ( n 1 i=0 ) (N earest[i].r + N earest[i].v) i=0 96

117 8.3. Berechnungsschritt Berechnung des Splinevektor v o Um die Erkenntnisse aus Kapitel II zu berücksichtigen, wird die Annahme getroen, das sich Schwarmentitäten nur auf krümmungsminimalen Bahnen nach Gleichung (4.6) und Gleichung (4.28) bewegen. Der Startpunkt A des Splines wird durch den Ortsvektor Swarm[i].r der Entität, der Normalenvektor n A des Startpunkts durch den Geschwindigkeitsvektor Swarm[i].v der Entität, der Endpunkt B durch den relativen Oset der Entität in der Outletäche, und der Normalenvektor n B des Endpunktes des Splines durch den Normalenvektor des Outlet Outlet[Swarm[i].OutletIndex].n beschrieben. Somit gilt für die krümmungsminimale Bahnkurve zwischen Schwarmentität und Outlet: Outlet[Swarm[i].OutletIndex].r ( ) Swarm[i].offset + Inlet[Swarm[i].InletIndex].d Outlet[Swarm[i].OutletIndex].d Swarm[i].offset Der Bestimmung eines sinnvollen Referenzpunktes auf der Bahnlinie des Splines liegt folgende Überlegung zu Grunde: Ohne Korrektur des Geschwindigkeitsvektors bewegt sich die Schwarmentität innerhalb eines Berechnungsschrittes vom Punkt P zum Punkt P wie in Abbildung gezeigt und legt dabei die Strecke d zurück. Innerhalb eines Simulationsschrittes ist die maximal zurücklegbare sinnvolle Strecke a, der Abstand zwischen P und dem Outlet. Das Verhältnis d gibt nun den Laufparameter t 0..1 der Splinefunktion an und beschreibt a den Punkt P auf der Splinebahn. Der Vektor v o = P Swarm[i].r ist der Splinevektor v o in Richtung auf das Outlet der Schwarmentität Berechnung des Kollisionsvektors v c Zur Berechnung des Kollisionsvektors existieren mehrere Verfahren. Hier gibt [Cha+03] eine gute Einleitung. Aufgrund der geringen Verfügbarkeit von eektiven freien Programmierbibliotheken zur Kollisionserkennung und dem hohen Aufwand einer eigenen Implementierung wird der Kollisionsvektor in den folgenden Versuchen zu v c = 0 gesetzt. 97

118 8. Entwicklung eines Schwarmlabors B a P d P' P A Abbildung 8.2.: Prinzipielle Splineverläufe und Punkte zur Approximation des Splinevektors. 98

119 8.3. Berechnungsschritt Korrektur des Resultatsvektors Alle bisher berechneten Vektoren werden zu einem Resultstvektor addiert und zu Untersuchungszwecken mit Koezienten so skaliert, dass v res = a v o + b v n + c v c (8.2) gilt. Aufgrund einer inhomogenen Verteilung des Schwarms im Raum kann es vorkommen, das der Nachbarschaftsvektor eine stark dominierende Rolle in der Resultatsberechnung einnimmt. Eine Überschreibung des Geschwindigkeitsvektors einer Entität mit dem Resultatsvektor kann somit zu eine vibrationsähnlichen Bewegung mit starken Richtungsänderungen der Schwarmentität führen. Um diesem Eekt entgegenzuwirken, wird der Geschwindigkeitsvektor in Richtung des Resultatsvektors über eine Quaternionenrotation gedreht. Quarternionen werden zum Beispiel von [Kre08] beschrieben. Der Vorteil einer Quaternionenrotation liegt zum Einen in der Verwendung von einfachen Additionsund Multiplikationsoperationen, was die Rechengeschwindigkeit erhöht, und zum Anderen in der Möglichkeit der Skalierung der Rotation. Ein Skalierungsfaktor s der Quaternionenrotation des Gesschwindigkeitsvektors auf den Resultatsvektor ergibt Schwarm[i].v = Schwarm[i].v fürs = 0 Schwarm[i].v = v res fürs = 1. Die Skalierung der Quaternionenrotation läÿt sich als Rotationsdämpfung auassen, um starke Richtungsänderungen der Schwarmentitäten zu mindern Durchstoÿen einer Outletäche Zum Abschluss eines Berechnungsschrittes wird für jede Schwarmentität geprüft, ob die Strecke Swarm[i].v t eine Outletäche durchstöÿt. Die betreende Schwarmentität tritt im folgenden Propagationsschritt aus der Lösungsdomäne. Die Prüfung erfolgt über die Berechnung des Durchstoÿpunktes des Geschwindigkeitsvektors einer Schwarmentität durch die Ebene des Ziel-Outlets. Ist der Abstand zwischen Schwarmentität und Durchstoÿpunkt kleiner als der Betrag des Geschwindigkeitsvektors, so wird die Schwarmentität die Lösungsdomäne verlassen. Ist dies der Fall, wird die Schwarmentität gemäÿ Abschnitt 8.2 wieder auf ein Inlet platziert und neu initialisiert. 99

120 8. Entwicklung eines Schwarmlabors 8.4. Implementierung Das in Kapitel 8 vorgestellte Konzept wird in C++ unter Verwendung der Programmierbibliotheken Qt 1 und VTK 2 mit dem freien C++ Compiler für Windows MinGW 3 realisiert. Das Datenmodell des Schwarms legt eine Implementierung als massiv-parallele Anwendung zur Ausführung auf der Grakhardware (GPU) eines Rechners nahe. Hierzu ist jedoch die Einbindung der freien CUDA-Technologie des Grakkartenhertsellers NVidia 4 notwendig, die allerdings eine Abhängigkeit von der Grakplattform nach sich zieht. Daher wurde auf die Anwendung dieser Technologie in einem ersten Schritt verzichtet, die Aufteilung der Berechnungsschritte in so genannte Kernels jedoch bereits umgesetzt, um eine spätere Erweiterung auf die CUDA-Technologie zu vereinfachen. Die realisierte Anwendung organisiert Versuche in Projekten. Jedes Projekt wird über die Angabe von ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ Schwarmgröÿe, Nachbarschaftsparametern, Gröÿe Lösungsdomäne, Ort, Lage und Gröÿe der Inlets, sowie Ort, Lage und Gröÿe der Outlets konguriert. Hierzu stellt die Anwendung einen geführten Dialog (Wizzard) wie in Abbildung 8.4 gezeigt zur Verfügung. Die so kongurierten Projekte können im XML-Format gespeichert und zu einem späteren Zeitpunkt erneut geladen werden. Nach Abschluÿ des Wizzards oder des erneuten Ladens einer zuvor kongurierten Projektdatein wird der Initialisierungsschritt gemäÿ Abschnitt 8.2 automatisch durchgeführt. Die Anwendung zeigt, wie in Abbildung 8.4 dargestellt, das Hauptanwendungsfenster des Schwarmlabors

121 8.4. Implementierung Abbildung 8.3.: Abbildung des Projektinitialisierungsdialogs (Wizzard) der Schwarmlaboranwendung 101

122 8. Entwicklung eines Schwarmlabors Abbildung 8.4.: Hauptanwendungsfenster der Schwarmlaboranwendung mit Kennzeichnung der vier Anzeigebereiche (Menüleiste, 3D Bereich, statische Parameter, Schwarmentitätsdetails, dynamische Parameter und Simulationskontrollen) 8.5. Aufbau der Schwarmlaboranwendung und Versuche zum Schwarmmodell Das Hauptanwendungsfenster besteht, wie in Abbildung 8.4 dargestellt, aus 6 Anzeigebereichen: 1. Der Menüleiste, 2. dem 3D-Bereich, 3. den statischen Parametern, 4. den Schwarmentitätsdetails, 5. den dynamischen Parametern, und 6. den Simulationskontrollen. Die Anwendung ermöglicht über das Hauptmenü die Verwaltung (Laden/Speichern/- Neuanlage) der Versuchsprojekte, sowie der Beendigung des Programms. Weiterhin kann über das Menü Gitter ein STL-Modell der Rohrleitung des Projekts gemäÿ Kapitel II gespeichert werden. 102

123 8.5. Aufbau der Schwarmlaboranwendung und Versuche zum Schwarmmodell Abbildung 8.5.: Anzeigemodus 3D VolView der Schwarmlaboranwendung mit Darstellung einer Lösung krümmungsminimaler Rohrleitungsnetzwerke gemäÿ Kapitel II. Der 3D-Bereich bietet 2 Anzeigemodi, welche über die Reiter 3D View und 3D VolView gewechselt werden können. Im 3D View Modus werden ˆ ˆ ˆ ˆ die Lösungsdomäne als Drahtgittermodell, alle Inlets in blauer Farbgebung, alle Outlets in grüner Farbgebung, sowie alle Schwarmentitäten als rote Kugelobjekte dargestellt (Abbildung 8.4). Der Anzeigemodus 3D VolView zeigt zusätzlich zu den Elementen des 3D View den Verlauf eines krümmungsminimalen Rohrleitungsnetzwerks gemäÿ Kapitel II wie in Abbildung 8.5 gezeigt. Dies ermöglicht die visuelle Bemusterung der Bewegung der Schwarmentitäten gegen die Lösung aus Kapitel II. Die statischen Simulationsparameter können nur vor Beginn einer Simulation gesetzt werden. Werden die Parameter geändert, muss die Simulation über die Simulationskontrollen gestoppt und zurückgesetzt werden, um eine Reinitialisierung der Simulation durchzuführen. 103

124 8. Entwicklung eines Schwarmlabors Die Schwarentitätsdetail zeigen zur Laufzeit Informationen der einzelnen Schwarmentitäten an. Die Entitäten können zum einen über die direkte Eingabe der ID, oder durch Anklicken im 3D-Bereich ausgewählt werden. Die Option TrackPath zeigt den Spline gemäÿ Kapitel II der Entität im 3D-Bereich. Weiterhin werden alle aufgelösten Attributswerde gemäÿ des Datenmodells des Schwarms angezeigt. Die dynamischen Parameter kontrollieren die Gewichtungsfaktoren a, b und c aus Gleichung (8.2). Die Parameter können während der Simulation verändert werden, um deren Einuÿ auf das Schwarmverhalten direkt zu beobachten. Die Simulationskontrollen verfügen über drei Steuerknöpfe, von links nach rechts sind dies: ˆ ˆ ˆ Rücksetzen und Reinitialisierung der Simulation Start/Pause der Simulation Beenden der Simulation (derzeit auÿer Funktion) Evaluierung einer geraden Rohrleitung Zur Untersuchung des Schwarmverhaltens wurde ein Projekt erzeugt, welches eine gerade Rohrleitung mit konstantem Durchmesser abbildet. Das Ergebniss eines Zeitschritts der Simulation zeigt Abbildung 8.8. Eine qualitative Bemusterung zeigt eine gute Verteilung der Schwarmentitäten innerhalb der erwarteten Lösung (gerade Rohrleitung). Nur sehr wenige Entitäten brechen kurz aus der Lösung aus, wie in Abbildung 8.6(b) zu erkennen. Diese kehren sehr schnell wieder in die erwartete Lösungsdomäne zurück. Eine starke Variation der Nachbarschaftsgewichtung führt zu einer Einschnürung der Lösung entlang der Rohrmittelachse. Eine ausschlieÿliche Gewichtung der Nachbarschaft von b = 1 führt zu einem nicht mehr bewertbaren Verhalten des Schwarms. Die Schwarmentitäten kreisen ausschlieÿlich um sich selbst, während sich der Schwarm nicht mehr entlang der Rohrleitung bewegt. Dieses Verhalten wird bedingt durch das Fehlen einer Regelkomponente hin zum Outlet a = 0 und ist zu erwarten. Wird in diesem Zustand auch die Rotationsdämpfung aufgehoben, kolabiert der Schwarm zu einem Punkt. Eine weitere visuelle Bemusterung verschiedener Koezientenwerte führt zu einer brauchbaren Lösung des Schwarms mit (a = , b = 0.995, c = 0.82). 104

125 8.5. Aufbau der Schwarmlaboranwendung und Versuche zum Schwarmmodell (a) Darstellung der Schwarmentitäten (b) Darstellung der Rohrleitung mit Schwarmentitäten Abbildung 8.6.: Ergebnisse eines Schwarmlaborversuchs zur Abbildung einer geraden Rohrleitung mit Fokus auf das Inlet. Zeitschritt: Evaluierung einer krümmungsminimalen Rohrleitung Zur Untersuchung des Schwarmverhaltens unter Berücksichtigung einer krümmungminimalen Rohrleitung nach Kapitel II wurde ein Projekt erzeugt, welches eine so beschriebene Rohrleitung entsprechend abbildet. Als zusätzliche Konguration wurde das Outlet mit einem kleineren Durchmesser als das Inlet versehen. Der Schwarm zeigt in der visuellen Bemusterung ein Durchstoÿen der Rohrleitung, besonders im Bereich der Strömungsrichtung abgewanten Seite wie in Abbildung 8.7(b) zu erkennen ist. Dieses Verhalten konnte erst durch eine Rekonguration der dynamischen Parameter gemindert werden. Die visuelle Bemusterung führt zu einer brauchbaren Lösung des Schwarms mit a = 0.003, b = 0.998, c = 0.992, die von der Konguration aus Abschnitt (a = , b = 0.995, c = 0.82) abweicht. Dies läÿt auf eine starke Problemabhängigkeit der dynamischen Parameter schlieÿen. 105

126 8. Entwicklung eines Schwarmlabors (a) Darstellung der Schwarmentitäten (b) Darstellung der Rohrleitung mit Schwarmentitäten Abbildung 8.7.: Ergebnisse eines Schwarmlaborversuchs zur Abbildung einer krümmungsminimalen Rohrleitung. Zeitschritt: Evaluierung eines krümmungsminimalen Rohrleitungsnetzwerkes Zur Untersuchung der Trennungsfähigkeit von Schwärmen wurde ein Projekt erzeugt, welches zwei Inlets und drei Outlets mit variablen Durchmessern (Abbildung 8.8(b)) abbildet. Mit den gefundenen dynamischen Parameters aus Abschnitt zeigt der Schwarm erneut ein durch visuelle Bemusterung als sehr gut zu klassizierendes Ergebnis. Einzig ein vermehrtes Durchstoÿen, wie in Abbildung 8.8(b) gezeigt, im ersten Wölbungsbereich des Rohres ist ähnlich Abschnitt zu beobachten. Das Trennungsund Verschmelzungsverhalten des Schwarms in den Verzweigungs- und Vereinigungsstellen des Rohrleitungssystems ist wie Abbildung 8.8(a) zeigt, gut. Eine Verstärkung des Nachbarschaftsvektors b führt in dem Verzweigungsverhalten zu einer späteren Trennung und einer früher erfolgenden Vereiningung der Schwarmgruppen. Allerdings benötigt ein durch einen so kongurierten Schwarm gefundenes Rohrleitungsnetzwerk eine stärkere Krümmung in den freien Abschnitten der Einzelrohrleitungen, um die Randbedingungen der Inlets und Outlets zu erfüllen. Ein durch visuelle Bemusterung als brauchbar bewertetes Ergebnis kann mit den Parametern a = 0.005, b = und c = 0.8 erzielt werden. 106

127 8.6. Zusammenfassung der Ergebnisse (a) Darstellung der Schwarmentitäten (b) Darstellung der Rohrleitung mit Schwarmentitäten Abbildung 8.8.: Ergebnisse eines Schwarmlaborversuchs zur Abbildung eines Netzwerks krümmungsminimaler Rohrleitungen. Zeitschritt: Zusammenfassung der Ergebnisse Die in Abschnitt 8.5.1, Abschnitt und Abschnitt durchgeführten Versuche zeigen eine starke Problemabhängigkeit der Konguration der dynamischen Parameter, um ein brauchbares Ergebnis erzeugen zu können. Eine Schwierigkeit besteht in der nicht möglichen Reproduzierbarkeit der Ergebnisse, da eine Reinitialisierung die Ausgangslage des Schwarms deutlich verändert. Dies kann jedoch durch eine softwaretechnische Erweiterung des Schwarmlabors behoben werden. Aus softwaretechnischer Sicht wurde das Schwarmlabor derart entworfen, das eine spätere Modikation oder Erweiterung der Schwarmregeln leicht möglich ist. Die Darstellbarkeit einer Lösung durch die gewählten Ansätze bestätigt die Annahme der Anwendungsmöglichkeit von technischen Schwärmen. Die einfache Beschreibung von einzelnen Regeln, sowie die massiv-parallelen Implementierungseigenschaften technischer Schwärme lassen dieses Vorgehen weiterhin attraktiv erscheinen. Die Annahme einer industriellen Anwendbarkeit des technischem Schwarms in der vorliegenden Fassung ist zum jetzigen Zeitpunkt daher nicht empfehlenswert. Zusammenfassend liegt eine Laborplattform vor, welche die Möglichkeit bietet, notwendige weitere Versuchs- und Forschungsarbeit an technischen Schwärmen durch zu führen. Technische Schwärme zeigen die Möglichkeit, ein valides, krümmungsminimales, gleichverteilendes Rohrleitungsnetzwerk zu nden. 107

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129 Teil IV. Wirtschaftliche Bewertung der gefundenen Ansätze 109

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131 9. Optimierungsmöglichkeiten des LuKo Wie bereits in der Aufgabenstellung angedeutet, besitzt die Abdampeitung ein erhebliches Optimierungspotenzial. Die Wechselwirkung zwischen dem Druckverlust der Abdampeitung und den möglichen Energieeinsparungen zeigt sich wie folgt: Durch den Druckverlust der Abdampeitung entsteht eine Abweichung der theoretischen thermodynamischen Eintrittsgröÿen des Dampfes in die Verteilleitungen des LuKo. Die zu Grunde gelegten Werte bei den folgenden Betrachtungen beruhen auf Auslegungswerten eines realen Projektes der GEA Energietechnik GmbH. Verglichen werden die ζ-werte eines konstruktiven Standards (ζ = 2.8) mit dem Wert eines Entwurfs gemäÿ des in Kapitel 6 entwickelten Verfahrens von ζ = 0.3. Diese beiden Entwürfe werden in Kapitel B.1.1 einer näheren numerischen Betrachtung unterzogen. Der ebenfalls gezeigte ζ-wert von 1.7 resultiert aus einem, bei der GEA Energietechnik GmbH unter Patent bendlichen Entwurfskonzept. Der gezeigte ζ-wert von 0.02 ist der Wert aus dem Verfahren nach Kapitel 6 ohne einen zusätzlichen Druckverlust durch den Rohrverzweiger. Der Druckverlust des Verzweigers wurde mit ζ = 0.28 abgeschätzt. Zur Berechnung der Zustandsgröÿen des Dampfes wurden die tabellarische Zustandsgröÿen gemäÿ Tabelle A.1 aus dem Anhang verwendet und bei Bedarf linear interpoliert. 111

132 9. Optimierungsmöglichkeiten des LuKo Betrachtete ζ-werte Turbine Temperatur [ C] Druck [MPa] Dichte [ kg /m 3 ] Enthalpie [ kj /kg] Cp [J/g K] Temperatur [ C] p(ζ) [Pa] Enthalpie [ kj /kg] e Q [ kj /s] Tabelle 9.1.: Veränderung des Dampfzustands bei unterschiedlichen ζ-werten in Bezug zum Turbinenaustrittszustand Folgende technische Gröÿen liegen dem Projekt zu Grunde: Durchmesser der Abdampeitung 7,2 m Dampfmassenstrom 544,583 kg /s Initiale Dampfsättigungstemperatur 70,61 C Strömungsgeschw. des Dampfes 65,7633 m /s Es zeigt sich bei einem ζ-wert von 0.3 im Vergleich zu einem ζ-wert von 2.8 eine Verbesserung der Eintrittstemperaturspreizung zwischen Dampf und Umgebungsluft, auch ITD (Initial Temperature Dierence) genannt von 0,81 K. Die vorliegende Enthalpiedierenz, erhöht die mögliche zu übertragenen Wärmemenge eines LuKo nach Q = ṁ h = ṁ (h(ζ = 0.3) h(ζ = 2.8)) = 544,583 kg /s 1,38 kj /kg um 752 kj /s 6, MW h pro Jahr bei einer Betriebszeit von 8760 h pro Jahr. 112

133 Abbildung 9.1.: Verbesserung der ITD durch den Einsatz krümmungsminimaler Rohrleitungen Besonders anschaulich wird der Eekt der ITD-Verbesserung in Abbildung 9.1 gezeigt. Hier sind die Temperaturverläufe der Dampfes entlang seines Weges durch einen LuKo schematisch dargestellt. Die mögliche Wärmeübertragungsleistung entspricht der Fläche zwischen Luft- und Kondensationstemperatur innerhalb der Kondensatorbündel. Durch die Verbesserung der IT D effective, steht einem Luko die zusätzliche Leistung gemäÿ der in Abbildung 9.1 dargestellten grauen Fläche zur Verfügung. Im Mollier Diagramm zeigt sich die verbesserte ITD durch eine Absenkung des Kondensationspunktes und damit einhergehend der Kondensationsdruck, wie in Abbildung 9.2 dargestellt. Formelmäÿig wird die mögliche zu übertragende Wärmemenge eines LuKo durch Q = n 2A Buendel w Luft ρ Luft cp Luft IT D effective (1 e NT U) (9.1) beschrieben. Hierin sind n die Anzahl der Rohrbündel, A Buendel die Wärmeaustauschäche eines Rohrbündels, 113

134 9. Optimierungsmöglichkeiten des LuKo w Luft die von notwendigen Lüftern erzeugte Luftgeschwindigkeit durch die Rohrbündel, ρ Luft Dichte der Umgebungsluft cp Luft die isobare Wärmekapazität der Luft, IT D effective die am Bündeleintritt anliegende Temperaturdierenz zwischen Dampf und Umgebungsluft, und N T U (Number of transfer units) ein dimensionsloses Maÿ für die Wärmeübertragungsfähigkeit der Rohrbündels. Die Koezienten ρ Luft und cp Luft sind konstante physikalische Randbedingungen. Die N T U-Zahl ist nur vom gewählten Rohrbündeltyp abhängig und für diesen ebenfalls konstant. A Buendel ist aufgrund der festgesetzten Abmaÿe eines Rohrbündels, bedingt durch Fertigungs- und Transportüberlegungen, in einer Hausnorm der GEA Energietechnik GmbH für alle Bündel festgelegt. Da Bündel immer paarweise ein trapezförmiges Dachelement bilden, wird die Bündeläche A Buendel noch mit dem Faktor 2 multipliziert. Werden in Gleichung (9.1) nun alle Konstanten (physikalisch und konstruktiv bedingt) in C zusammengefasst, führt dies zu: Q = n w Luft IT D effective C. (9.2) Sollen zwei mögliche LuKo-Auslegungen unter gleichen konstanten Randbedingungen C mit unterschiedlichen IT D-Werten miteinander verglichen werden, ist dieser Vergleich durch mit IT D 1 IT D 2 n 1 w L1 = n 2 w L2 IT D 1 IT D 2 = n 2 n 1 wl 2 w L1 (9.3) möglich. n 1,2 N 114

135 Entsprechend Gleichung (9.3) kann ein LuKo bei geforderter, gleicher zu übertragender Wärmemenge: n ˆ In seinen konstruktiven Abmaÿen verkleinert werden (vgl. 2 n 1 ), was zu einer erheblich Einsparung von Stahlbaumaterial und Baukosten führt. ˆ Durch das verbesserte Luftgeschwindigkeitsverhältnis (vgl. w L 2 w L1 ) bei gleicher Lüfterkonguration mit einem geringeren Eigenbedarf betrieben werden, was zu geringeren Betriebskosten führt. ˆ Durch das verbesserte Luftgeschwindigkeitsverhältnis (vgl. ) mit einer anderen Lüfterkonguration ausgelegt werden, welche, je nach Auslegungsansatz, ebenfalls zu Material- und Baukosteneinsparungen und/oder geringeren Betriebskosten führt. Erste konservative Schätzungen der GEA Energietechnik GmbH bei einem Groÿkraftwerksprojekt gehen von einer Ersparnis der Baukosten aufgrund der ITD Verbesserung von ca. 1 e Mio aus. Wird ein LuKo in seinen konstruktiven Abmaÿen und der bestehenden Lüfterkonguration bei einer verbesserten IT D effective nicht verändert, so kommt die verbesserte Kondensationswärme dem Kraftwerkswirkungsgrad zu Gute. Dies wird in Abbildung 9.2 angedeutet Für den Kraftwerkswirkungsgrad gilt: η = Q Brenn Q Kond Q Abgas Q Brenn (9.4) Hierin sind η Kraftwerkswirkungsgrad, Q Brenn im Brennsto enthaltene chemische Brennwärme, Q Kond geforderte abzuführende Kondensationswärme, und Q Abgas Abwärme im Rauchgas des Kraftwerks. Da die geforderte abzuführende Kondensationswärme Q Kond um Q verbessert wird, gilt für den Kraftwerkswirkungsgrad: η = Q Brenn Q Kond Q Q Abgas Q Brenn. (9.5) w L2 w L1 115

136 9. Optimierungsmöglichkeiten des LuKo Somit geht eine Verminderung von Q linear in die Verbesserung von η ein. Alle bisher gemachten Betrachtungen der Verbesserung des Leistungsverhaltens eines LuKo beziehen sich stets auf den Auslegungspunkt. Der Vorteil durch die ITD Verbesserung wird umso stärker, je geringer die tatsächliche Umgebungslufttemperatur zur Lufttemperatur im Auslegungspunkt ist. Wird die wirtschaftliche Betrachtung auf ein Betriebsjahr und die damit einhergehende jährliche Temperaturkurve, sowie deren Einuss auf die Turbinencharakteristik des Kraftwerks, unter Berücksichtigung angepasster Lüfterdrehzahlen des LuKo, erweitert, zeigen Untersuchungen der GEA Energietechnik GmbH bei gleichbleibender Baugröÿe des LuKo weitere jährliche Energiemehrgewinne von ungefähr 0,8 GW h pro Jahr. Der Gesamtwert der Einsparungen von ist in Näherung äquivalent zur Jahresleistung mehrerer Windkrafträder. 116

137 Abbildung 9.2.: Auswirkung der ITD Verbesserung im Mollier h,s -Diagramm 117

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139 Teil V. Zusammenfassung und Ausblick 119

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141 10. Zusammenfassung Die vorliegende Arbeit hat als Ziel die Optimierung von Abdampeitungen von luftgekühlten Kondensatoren in Groÿkraftwerksanlagen unter Berücksichtigung der folgenden Teilaufgaben: 1. Es ist zu untersuchen, welcher Nutzen aus der Verbesserung des Druckverlustbeiwertes ζ der Abdampeitung zu erwarten ist. 2. Es ist zu prüfen, in wie weit bestehende Verfahren zur strömungstechnischen Verbesserung des ζ-wertes der Abdampeitung geeignet sind. 3. Es ist ggf. ein methodisches Vorgehen zu entwickeln, welches zur Optimierung des ζ-wertes der Abdampeitung eingesetzt werden kann. Bei der Verwendung eines rechnergestützten Verfahrens ist weiterhin darauf zu achten, dass a) die Methode auf gängigen Rechnern der GEA Energietechnik GmbH einsetzbar ist, b) die Methode von Personen mit Grundkenntnissen im Rohrleitungsbau anwendbar ist, und c) die Methode in einem üblichen Zeitraum der Angebotslegung einer Anlage (ca. 3 Tage) ein Ergebnis erzeugt. 4. Konstruktive Unterbaugruppen der Abdampeitung wie Unterstützungskonstruktionen, Kompensatoren und Mannlöcher sind, wenn möglich, zu berücksichtigen. 5. Eine abschlieÿende Wirtschaftlichkeitsbetrachtung kann, wenn möglich, erfolgen. Dieser Punkt ist optional. Die zur Lösung der Aufgaben betrachtete strömungstechnische Gröÿe ist der Druckverlust beziehungsweise der Druckverlustbeiwert ζ einer Rohrleitung. Die Arbeit analysiert die derzeitig aktuellen Formulierungen zur Berechnung des ζ-wertes und stellt diese einander gegenüber, zeigt deren Grenzen und wählt eine geeignete Formulierung als Grundlage zur Lösung der Problemstellung aus. 121

142 10. Zusammenfassung Überlegungen zur Entstehung von Druckverlusten führen von einem strömungstechnischen Problem auf ein geometrisch-topologisches Problem zur Optimierung des Druckverlustbeiwertes. Entgegen einer Optimierung eines Parametersatzes zur Beschreibung der Geometrie einer Rohrleitung anhand von CFD Analysen folgt die Arbeit einer mathematisch logischen Analyse des Optimierungsproblems. Die Arbeit identiziert eine Krümmung von Rohrleitungen entlang der Strömungsrichtung als maÿgebliche Ursache zur Entstehung von Druckverlusten. Auf Basis dieser Ergebnisse und Annahmen wird eine Formulierung der geometrischen Verläufe von Rohrleitungen geliefert, welche krümmungsminimale Rohrleitungen erzeugt. Eine Berechnung von Druckverlusten in krümmungsminimalen Rohrleitungen wird auf Basis der ausgewählten Formulierungen entwickelt und veriziert. Zur Erzeugung von Rohrleitungsnetzwerken mit minimalem ζ-wert wurde ein Verfahren entwickelt, welches nach wenigen Angaben eine kreuzungsfreie Rohrnetzwerkstopologie erzeugt. Wird diese mit krümmungsminimalen Einzelrohrleitungen realisiert, kann ein druckverlustminimales Rohrleitungsnetzwerk erzeugt werden. Dieses Verfahren ist aufgrund seiner Ezienz und Übersichtlichkeit ohne rechnertechnische Unterstützung manuell umsetzbar. Eine CFD-Versuchsreihe, sowie die Anwendung einer CFD-technischen Betrachtung auf eine reale Anlage stützen die gefundenen Ansätze und Verfahren. Die Versuchsreihe zeigt eine sehr gute Übereinstimmung der von in dieser Arbeit entwickelten Verfahren vorhergesagten Druckverluste mit den CFD Ergebnissen. In einer Ezienz- und Finanzanalsyse eines optimierten Rohrleitungsnetzwerks einer realen Anlage konnte eine vielversprechende Steigerung des Nutzwertes von luftgekühlten Kondensatoren unter Verwendung der vorliegenden Ergebnisse gezeigt werden. Bezogen auf eine reale Groÿkraftwerksanlage zeigt sich ein Nutzwert von ca , 00e. Die Arbeit beschreibt krümmungsminimale Rohrleitungen und Rohrleitungsnetzwerke aus geometrischer und topologischer Sicht und leitet eine mathematische Formulierung dieser Rohrleitungen her. Es ist hierbei zu beachten, das diese Formulierung beinhaltet, ein Optimum an Krümmungsminimalität zu beschreiben, und somit keine Rohrleitung gefunden werden kann, welche unter gleichen Randbedingungen geringere Krümmungen und somit geringere Druckverluste zeigt. Die gestellten Aufgaben wurden somit vollumfänglich erfüllt. 122

143 Eine Erweiterung des Ansatzes zur Erzeugung von kreuzungsfreien druckverlustminimalen Rohrleitungsnetzwerken zur Berücksichtigung von Hindernissen und/oder präferierten Bereichen innerhalb der Lösungsdomäne wurde abschlieÿend betrachtet. Aufgrund von Forschungserbenissen aus dem Bereich von biologischen Schwärmen und selbstorganisierenden Systemen, welche die Fähigkeit zur Emergenz und das Phänomen der Fluidisierung von groÿen Individuenmassen beschreiben, sowie neuste rechnertechnische Entwicklungen auf dem Gebiet der massiv-parallelen Verarbeitung lassen vermuten, daÿ Schwarmmodelle zur Lösung von Strömungsproblemen geeignet sind. Somit wurde ein Modell eines technischen Schwarms zur Bestimmung von krümmungsminimalen Rohrleitungsnetzwerken entwickelt und untersucht. Hierzu wurde ein rechnertechnisches Schwarmlabor konzipiert und realisiert, um weitere Forschungen zu technischen Schwärmen zukünftig zu betreiben. Durch die Arbeit an technischen Schwärmen und die Entwicklung eines rechnertechnischen Schwarmlabors wurde ein zusätzlicher wissenschaftlicher Mehrwert erbracht, welcher zu weiteren Forschungen auf diesem Gebiet motiviert und solche Forschungen ermöglicht. Somit erfüllt die Arbeit nicht nur die gestellten Aufgaben, sondern liefert zusätzlich einen wissenschaftlichen Mehrwert in der Betrachtung einer neuen und vielversprechenden Theorie aus dem Bereich der Verhaltensforschung gepaart mit der Entwicklung eines Rechnerlabors zur Untersuchung der Anwendbarkeit derartiger Modelle in technischen Problemstellungen und in der Strömungsmechanik. 123

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145 11. Ausblick Die vorliegende Arbeit betrachtet Rohrleitungsverläufe und die Topologie von Rohrleitungsnetzwerken. Eine Untersuchung der mechanischen Eigenschaften der gefunden krümmungsminimalen Rohrleitungen und Rohrleitungsnetzwerke durch FE-Methothen ist ratsam. Die Betrachtung von zusätzlichen Bauelementen einer Abdampeitung wie Mannlöchern, Stabilisierungs- und Versteifungsringen, sowie eine eektive Auslegung der Lagerung auf Turbinen- und Kondensatorseite unter Berücksichtigung der Längenausdehnung im Betrieb durch Erwärmung, kann ebenfalls erfolgen. Bei gutartigem Verhalten der Rohrleitung in Bezug auf thermische Längenänderung kann untersucht werden, ob ein Verzicht auf teure Bauelemente von Abdampeitungen wie Kompensatoren möglich ist. Dies würde den Nutzwert weiter erhöhen. Ebenso war der Aspekt einer sinnvollen Produktionsstrategie und Montage nicht Gegenstand der Arbeit. Hier sind ebenfalls weitere Untersuchungschritte angebracht. Das in dieser Arbeit entwickelte Schwarmmodell beschränkt sich auf Grundfunktionalitäten. Es wurde die Abhängigkeit des Lösungsverhaltens von dynamischen Parametern gezeigt, welche im Rahmen dieser Arbeit noch manuell justiert und deren Auswirkung visuell bemustert werden mussten. Hier sind weitere Forschungen zur Beschreibung der dynamischen Parameter sinnvoll und angebracht. Eine Formulierung der Zusammenhangs zwischen dynamischen Parametern, Lösungsverhalten, Rahmenbedingungen und Aufgabenstellung an den Schwarm sind wünschenswert und für weitere Arbeiten notwendig. Ebenso konnte im Rahmen dieser Arbeit kein eektives Datenmodell zur Protokollierung der Schwarmbewegung entwickelt werden, um eine automatisierte Lösung zu ermöglichen oder diverse Optimierungsverfahren einzubinden. Es zeigt sich in diesem Zusammenhang die Problematik eines fehlenden performaten Algorithmus zur Bestimmung von konvexen Flächen um Punktwolken. Es existieren zwar Algorithmen zur Lösung solcher Aufgaben, jedoch sind diese zum derzeitigen Stand sehr rechenintensiv. Die Entwicklung und Implementierung eines entsprechenden Algorithmus in das rechnertechnische Schwarmlabor stellt eine Möglichkeit zur Verbesserung der Anwendbarkeit von technischen Schwärmen dar. 125

146 11. Ausblick Aufgrund der Notwendigkeit zur manuellen Bemusterung des Schwarmverhaltens und beschränkter Resourcen wurde auf die Suche und Entwicklung eines geeigneten Kollisionsalgorithmus im Rahmen dieser Arbeit verzichtet. Eine Erweiterung des technischen Schwarms um diese Fähigkeit läÿt ebenfalls neue Erkenntnisse erwarten. Da ein technischer Schwarm als Erweiterung einer Partikelsimulation aufgefasst werden kann, mit deren Hilfe bereits einige einfache Strömungsphänomene abbildbar sind, zeigt die einfache Beschreibung von Regelsätzen in technischen Schwärmen zur Steuerung des Verhaltens eine interessante Alternative zur Beschreibung von strömungstechnischen Phänomenen. Die Formulierung solcher strömungsfokussierter Regulatorien kann Gegenstand weiterer Arbeiten sein. Der Paradigmenwechsel, von einer formelmäÿigen deklarativen Beschreibung von Vorgängen, zur imperativen Beschreibung von Restriktionen an eine Lösung bedarf im Zuge der Formulierung von Schwarmregeln ebenfalls einer weiteren kritischen Betrachtung. Wie müssen Regeln formuliert sein, um einerseits Ziele zu erfüllen, und andererseits genügend Flexibilität zu bieten, um Lösungen zu nden, welche nicht in der impliziten Erwartungshaltung des Formulierenden liegen? 126

147 Teil VI. Anhang 127

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149 Anhang A. Dampftafel Tabelle A.1.: Thermodynamische Zustandsgröÿen für Wasserdampf nach [ELFtr] Temperatur C Druck MPa Enthalpie kj /kg Fortsetzung auf nächster Seite 129

150 Anhang A. Dampftafel Tabelle A.1.: Thermodynamische Zustandsgröÿen für Wasserdampf Temperatur C Druck MPa Enthalpie kj /kg Fortsetzung auf nächster Seite 130

151 Tabelle A.1.: Thermodynamische Zustandsgröÿen für Wasserdampf Temperatur C Druck MPa Enthalpie kj /kg Fortsetzung auf nächster Seite 131

152 Anhang A. Dampftafel Tabelle A.1.: Thermodynamische Zustandsgröÿen für Wasserdampf Temperatur C Druck MPa Enthalpie kj /kg Fortsetzung auf nächster Seite 132

153 Tabelle A.1.: Thermodynamische Zustandsgröÿen für Wasserdampf Temperatur C Druck MPa Enthalpie kj /kg Referenzdaten: ˆ ˆ Interne Energie U = 0 bei 273,16 K für gesättigte üssige Phase. Enthropie S = 0 bei 273,16 K für gesättigte üssige Phase. zusätzliche Eigenschaften: ˆ Kritische Temperatur T c = 373,946 C. ˆ Kritischer Druck P c = 22,0640 MPa. ˆ Kritische Dichte ρ c = 322,0 kg /m 3. ˆ Azentrischer Faktor ˆ Dampfpunkt 99,9743 C. ˆ Dipolmoment 1,855 Debye. 133

154

155 Anhang B. Numerische Verikation B.1. Auswahl eines geeigneten Verfahrens B.1.1. Das Finite Volumen Verfahren Das am weitesten verbreitete Verfahren in der numerischen Strömungsmechanik (CFD) ist das Verfahren der niten Volumina, auch Finite Volumen Methode (FVM Finite Volume Method), kurz FVM genannt. Für die Beschreibung und korrekten Anwendung haben sich die Arbeiten [FP08] und [VM07] als Standardwerken etabliert. Die Grundlage der FVM bilden nach [FP08] die zwei folgenden Erhaltungsgleichungen einer Strömung in einem beliebig in der Strömung platzierten Kontrollvolumen KV: 1. Massenerhaltung: dm dt = 0, (B.1) worin m die Masse einer Kontrollmasse und t die Zeit darstellen, und 2. Impulserhaltung: d (m v) dt = f, (B.2) worin v die Geschwindigkeit und f Kräfte darstellen, welche auf die Kontrollmasse KM des Kontrollvolumens KV wirken. 135

156 Anhang B. Numerische Verikation Um diese allgemein formulierten Gleichungen auf ein gewähltes Kontrollvolumen beziehen zu können, werden idealerweise Gröÿen verwendet, welche unabhängig von der Menge der betrachteten Materie der Strömung sind. Diese Gröÿen heiÿen intensive Zustandsgröÿen. Intensive Zustandsgröÿen verändern sich nicht bei der Veränderung der Menge einer Strömung oder eines Systems. Beispiele für intensive Zustandsgröÿen sind die Dichte ρ (Masse pro Volumen), die Geschwindigkeit v (Impuls pro Masse) oder die Temperatur T. Den intensiven Zustandsgröÿen gegenüber stehen die extensiven Zustandsgröÿen. Extensive Zustandsgröÿen sind von der Masse eines Systems abhängig. Eine Veränderung der Systemmasse verändert also extensive Gröÿen. Beispiele für extensive Gröÿen sind Teilchenzahl n, Volumen V oder die Entropie S. Der Vorteil bei der Verwendung von intensiven Zustandsgröÿen besteht in der Unabhängigkeit der Gleichungen von der betrachteten Gröÿe (Masse) des thermodynamischen Systems. Gleichungen intensiver Zustandsgröÿen gelten für ein Glas Wasser, ebenso wie für Staubecken oder für Ozeane. Extensive Gröÿen können in intensive Gröÿen umgewandelt werden. Wenn Φ eine beliebige extensive Zustandsgröÿe ist, und φ die entsprechende intensive Zustandsgröÿe bezeichnet, so gilt folgender Zusammenhang: Φ = ρφ dv (B.3) V KM wobei V KM das Volumen der Kontrollmasse ist. Unter der Bedingung, dass die Kontrollmasse nicht mit dem Kontrollvolumen übereinstimmen muss, und sich beide mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten bewegen können, muss der relative Kontrollmassenuss durch die Oberäche des Kontrollvolumens berücksichtigt werden. Dieser zusätzliche Fluss wird als konvektiver Fluss bezeichnet. Jede intensive Erhaltungsgröÿe in Bezug auf eine Kontrollmasse setzt sich somit aus dem Anteil der Erhaltungsgröÿe auf das Kontrollvolumen und dem konvektiven Fluss der Gröÿe durch die Oberäche des Kontrollvolumens zusammen, so dass d d ρφ dv = ρφ dv + ρφ (v v S ) n ds (B.4) dt dt V KM V KV S KV wobei V KV das Kontrollvolumen, S KV die Oberäche des Kontrollvolumens, v die Fluidgeschwindigkeit, v S die Geschwindigkeit der Oberäche des Kontrollvolumens und n der nach auÿen gerichtete Normalenvektor der Oberäche des Kontrollvolumens darstellen. Gleichung (B.4) wird das Reynolds'sche Transporttheorem oder auch Reynolds'sche Transportgleichung genannt. Mit Hilfe der Reynolds'schen Transportgleichung kann die 136

157 B.1. Auswahl eines geeigneten Verfahrens Erhaltung jeder beliebigen intensiven Zustandsgröÿe innerhalb eines Kontrollvolumens hergeleitet werden. Für die Massenerhaltung, beschrieben durch intensive Zustandsgröÿen (φ = 1), für ein ortsfestes Kontrollvolumen (v S = 0) gilt somit: t V ρ dv + S ρv n ds = 0 bzw. nach Anwendung des Gauÿ-Verfahrens für KV 0 ρ t + (ρv) = 0 (B.5) (B.6) Gleichung (B.6) wird koordinatenfreie Dierentialform der Kontinuitätsgleichung genannt. Für die Impulserhaltung, beschrieben durch intensive Zustandsgröÿen (φ = v), mit einem ortsfesten Kontrollvolumen (v S = 0) gilt somit: t V ρv dv + S ρvv n ds = f (B.7) Hier ist zu beachten, dass die rechte Seite der Gleichung durch intensive Gröÿen beschrieben werden muss. Die Kräfte, welche auf ein Kontrollvolumen wirken, sind: Oberächenkräfte (z.b. Oberächenspannung, Normal- und Scherspannungen und Druck), sowie Volumenkräfte (z.b. Gravitation, elektromagnetische Kräfte, Coriolis-Kräfte). Werden diese Kräfte berücksichtigt, folgt für die koordinatenfreie Vektorform der Impulserhaltungsgleichung nach [FP08]: (ρv) t + (ρvv) = T + ρb (B.8) Hierin sind T = (p + 23 ) µ v I + 2µD, D = 1 ( v ) (B.9) + ( v) T 2 137

158 Anhang B. Numerische Verikation wobei T der Spannungstensor, I der Einheitstensor, p der statische Druck und D der Tensor der Deformationsrate der Oberäche des Kontrollvolumens sind. Diese Gleichungen stellen die Grundlage der numerischen Strömungsmechanik dar. Um diese Gleichungen zu lösen, wird ein zu betrachtender Strömungsvorgang in Ort und Zeit diskretisiert. Anlehnend an [FP08] gelten für ein kartesisches 2D-Gitter die Bezeichnungen nach Abbildung B.1. Ein betrachtetes Kontrollvolumen ist grau dargestellt. x y j+1 NW N NE y j W nw w n ne P e E y y j 1 sw s se SW S SE x i 1 x i x i+1 Abbildung B.1.: Diskretisierung und Terminierung eines 2D Gitters für den Zell- Zentrums-Ansatz der numerischen Strömungsmechanik Die Zentren der Kontrollvolumina sind als schwarze Punkte markiert. Da in der Diskretisierung die Lösung für das Zentrum (den Schwerpunkt) eines Kontrollvolumens berechnet wird, ist die Bezeichnung dieser Art Diskretisierung als Zell-Zentrums-Ansatz gebräuchlich. Es sind in der numerischen Strömungsmechanik noch der Zell-Flächen- Ansatz und der Zell-Eckpunkt-Ansatz bekannt. Die Vor- und Nachteile der jeweiligen Ansätze sind von [FP08] und [VM07] diskutiert. Die in Abbildung B.1 dargestellten Pfeilrichtungen von P in Richtung der benachbarten Zellzentren N, E, S und W werden auch als Rechenstern bezeichnet. Es werden die Flüsse durch die entsprechenden Seitenächen n, e, s und w des Kontrollvolumens entlang dieses Rechensterns betrachtet. 138

159 B.1. Auswahl eines geeigneten Verfahrens Dabei liegt folgende einfache Annahme zu Grunde: Der Nettouss durch die Oberäche des Kontrollvolumens ist gleich der Summe der Flüsse durch alle Seiten des Kontrollvolumens, mathematisch beschreibbar durch: fds = k S S k fds (B.10) In Gleichung (B.10) stellt f die jeweiligen konvektiven oder diusiven Flussvektoren (Gleichung (B.6) bzw. Gleichung (B.8)) in Normalenrichtung der jeweiligen Kontrollvolumenseite dar. Zur Lösung eines strömungstechnischen Problems unter Verwendung der FVM sind alle physikalischen, das Strömungsproblem beschreibenden Gröÿen nach Gleichung (B.6) und/oder Gleichung (B.8) in Gleichung (B.10) einzusetzen. Da die Beschreibung nur die Knotenwerte (KV-Zentren) erfasst, sind Approximationen über die Flächen n, e, s und w entlang des Rechensterns einzuführen. Die noch vorhandenen Ableitungen werden durch weitere numerische Verfahrensformulierungen ersetzt. Der so erzeugte Satz von Gleichungen kann durch die verwendeten numerischen Beschreibungen, durch die diskreten Ortskoordinaten des Rechengitters x i y i und z i (im drei-dimensionalen Fall) und die diskreten Zeitschritte für alle Zell-Zentren in Form einer Matrix aufgestellt werden. Die Lösung dieser Matrix ergibt letztendlich die gesuchte Lösung in jedem Zell-Zentrum. Da es für die einzelnen Approximationsschritte, die numerische Beschreibung von Dierentialen, die Modellierung besonderer physikalischer Eekte wie Turbulenzen, Wärmeverteilung, oder chemisches Reaktionsverhalten, sowie die Lösung der Gleichungsmatrix eine Fülle von Ansätzen gibt, deren Betrachtung im Einzelnen den Rahmen dieser Arbeit bei Weitem übersteigen würde, sei hier auf entsprechende Literatur im Anhang verwiesen. 139

160 Anhang B. Numerische Verikation B.1.2. Die Lattice-Boltzmann-Methode Wenn zu einem beliebigen Zeitpunkt t der Ort und die Geschwindigkeit eines jeden Teilchens bekannt sind, so kann nach Anwendung der Newtonschen Mechanik der Zustand des Universums zu jedem beliebigen Zeitpunkt t + δt berechnet werden. Dieses deterministische Paradigma der Wissenschaft war lange Zeit gültig, ist aber nicht realisierbar. Nicht nur, das Heisenberg die Unmöglichkeit der gleichzeitigen Kenntnis von Ort und Geschwindigkeit eines Teilchens in der Quantenmechanik nachwies, sondern auch die riesige Datenmenge bei hypothetischer Möglichkeit der Kenntnisse von Ort x und Geschwindigkeit bzw. Impuls p (das Produkt aus Teilchenmasse und Geschwindigkeit) aller Teilchen machen die Realisierung des Paradigmas unmöglich. Foldendes Beispiel zeigt die Schwierigkeit der technischen Realisierung dieses Paradigmas. Die informationstechnische Beschreibung eines Teilchens in Ort und Geschwindigkeit mit jeweils 32 bit Variablen benötigt bit = 192 bit pro Teilchen. Die Menge von 1 mol eines idealen Gases, das entspricht einem Volumen von ca. 22,4 l, enthält 6, Teilchen. Somit werden 6, bit = 1156, bit = ,4 TB benötigt, um diese Menge Gas im Speicher eines Rechners abzubilden. Ludwig Boltzmann ( ) erweiterte das geschilderte Paradigma und machte dabei folgende Überlegungen: ˆ Die Verteilung von N Teilchen in einem beliebigen Raum zu einem Zeitpunkt t wird durch eine Verteilungsfunktion f (N) ( x (N), p (N), t ) (B.11) beschrieben. ˆ Die Funktion f (1) (x, p, t) (B.12) beschreibt die Wahrscheinlichkeit, ein bestimmtes Teilchen mit gegebenem Ort x und Impuls p an einem Punkt im Raum vorzunden. Da jedoch kein Experiment zwischen einzelnen Teilchen unterscheiden kann, dürfen die anderen N 1 Teilchen auÿer Betracht gelassen werden und es macht keinen Unterschied, welches Teilchen gewählt wurde. Somit beschreibt Gleichung (B.12) die so genannte Ein-Teichen- Verteilungsfunktion (single particle distribution function). 140

161 B.1. Auswahl eines geeigneten Verfahrens ˆ Die wahrscheinliche Verteilung einer Menge von Teilchen im Bereich x ± dx mit dem Impulsbereich p ± dp wird durch f (1) (x, p, t) dxdp (B.13) beschrieben. Wirkt auf diese Teilchen eine beliebige äuÿere Kraft F, welche relativ klein zu den intermolekularen Kräften ist, so benden sich die Teilchen zu einem Zeitpunkt t + δt am Ort x + ( p m) δt = x + ( x δt) δt = x + δx (B.14) mit den Impulsen p + Fdt = p + ( p δt) δt = p + δp. (B.15) Sind somit Ort und Impuls eines Teilchens zu einem Zeitpunkt t bekannt, lässt sich Gleichung (B.12) zu einem späteren Zeitpunkt t + δt berechnen durch: f (1) (x, p, t) dxdp = f (1) (x + dx, p + dp, t + dt) dxdp (B.16) ˆ Durch Kollisionen kommt es vor, dass Teilchen mit der Eigenschaft (x, p) nicht bei x + dx, p + dp ankommen, bzw. Teilchen, welche nicht bei (x, p) gestartet sind, bei x + dx, p + dp eintreen. Sei Γ ( ) = dxdpdt (B.17) die Anzahl der nicht ankommenden Teilchen, und Γ (+) = dxdpdt (B.18) die Anzahl der zusätzlich bei x + dx, p + dp eintreenden Teilchen, so erweitert sich Gleichung (B.16) zu f (1) (x, p, t) dxdp + [ Γ (+) Γ ( )] dxdpdt = f (1) (x + dx, p + dp, t + dt) dxdp. (B.19) 141

162 Anhang B. Numerische Verikation Zur Lösung von Gleichung (B.19) wird die rechte Seite durch die Terme 1.Ordnung der Taylor-Reihe ersetzt. So folgt f (1) (x + dx, p + dp, t + dt) dxdp = ( ) f f (1) (x, p, t) + dx x f (1) + dp p f (1) (1) + dt +..., t (B.20) eingesetzt in Gleichung (B.19) ergibt schlieÿlich v x f (1) + F p f (1) + f (1) t = Γ (+) Γ ( ). (B.21) Dies ist die Boltzmann-Gleichung. Für eine ausführliche mathematische Herleitung und Betrachtung aller in der Boltzmann- Gleichung auftreten Terme und Annahmen sei an dieser Stelle auf [Wag08] sowie [ST06] verwiesen. 142

163 B.1. Auswahl eines geeigneten Verfahrens Werden die betrachteten Orte und Impulse der Boltzmann-Gleichung auf ein gleichförmig verteiltes zwei- bzw. dreidimensionales Punktnetz (engl. Lattice) beschränkt und die Zeit in äquidistante Schritte diskretisiert, so erhält man die Grundlage der Lattice- Boltzmann-Methode (LBM). Innerhalb der LBM werden nur Impulse, Bewegungen und Kollisionen entlang der Richtungen auf die benachbarten Netzpunkte eines Punktes betrachtet wurde die besondere Form der Netzbezeichnung wie in Abbildung B Lattice Unit = 1lu 3 e 5 e 2 e 6 e 1 e e 8 e 4 e Abbildung B.2.: Ein D2Q9 Lattice mit Geschwindigkeitsvektoren gezeigt von Qian et al. eingeführt. Hierbei bezeichnet die Zier nach dem Buchstaben D (Dimensions) die Dimension des Netzes. Die Zier nach dem Buchstaben Q (Quantities) bezeichnet die Anzahl der diskreten Richtungen der Geschwindigkeitsvektoren auf die benachbarten Knoten einer Netzmasche. Ein D2Q5 beschreibt ein zweidimensionales Netz mit jeweils 5 diskreten Richtungen und Knotenpunkten, wobei die 5 Richtungen und Knoten entsprechend der Darstellung in Abbildung B.2 der dort gezeigten Indizierung folgen (0,1,2,3,4). Somit liegt bei einem D2Q5 ein Punkt im Zentrum (Index 0), und 4 weitere in der Mitte der Seitenächen des Quadrats. Für die Geschwindigkeitsvektoren e i gilt enstprechendes. Heutzutage sind die Gitter D2Q9, wie in Abbildung B.2 gezeigt, für zweidimensionale Berechnungen, und D3Q19 sowie D3Q27 für dreidimensionale Berechnungen gebräuchlich. Wie in Abbildung B.2 gezeigt, bedient sich die LBM einiger, auf das Netz bezogener Gröÿen: ˆ ˆ Die Zeitschrittweite ts einer Berechnung ist immer konstant 1ts (Time step) Der Netzmaschenabstand (Lattice Unit) lu. 143

164 Anhang B. Numerische Verikation (-1;1) (0;1) (1;1) (-1;0) e 5 e 2 e 6 e 1 (0;0) e 3 (1;0) e 8 e 4 e 7 (-1;-1) (0;-1) (1;-1) Abbildung B.3.: Komponenten der zulässigen Geschwindigkeitsvektoren der LBM Eine Netzmasche hat immer die Gröÿe 1lu. ˆ Die Netzgeschwindigkeiten (Lattice Velocities) e i. ˆ Sie werden auf den Netzmaschenabstand und einen Zeitschritt bezogen und nehmen somit selbst nur diskrete Werte an. Für ein D2Q9 gilt beispielsweise e 1 = e 2 = e 3 = e 4 = 1 lu ts und e 5 = e 6 = e 7 = e 8 = 2 lu ts (B.22) Dadurch entsteht auch die Eigenschaft, dass die Komponenten der Geschwindigkeitsvektoren nur Werte von 0 oder ±1 annehmen können wie in Abbildung B.3 gezeigt. Die Verteilungsfunktion Gleichung (B.19) nimmt mit Anwendung der LBM nur Q diskrete Werte an, bei einem D2Q9 somit nur 9 verschiedene Werte f (1) 0... f (1) 8. Sie werden als richtungsabhängige Fluiddichten interpretiert. Ein Bezug zur tatsächlich vorliegenden Fluiddichte ρ am jeweiligen Netzknoten ergibt sich aus: ρ = 8 a=0 f (1) a (B.23) 144

165 B.1. Auswahl eines geeigneten Verfahrens ˆ Die makroskopische Geschwindigkeit u des Fluid wird in der LBM ebenfalls über die diskreten Verteilungsfunktionen f (1) 0... f (1) 8 durch folgende Gleichung abgebildet: u = 1 ρ 8 a=0 f (1) a e a (B.24) ˆ Die Kollisionsterme der Boltzmann-Gleichung [ Γ (+) Γ ( )] dxdpdt können durch ein einfaches Modell von Bhatnagar, Gross und Krook (BGK) (vgl. [VM07] und [ST06] ) beschrieben werden. Davon ausgehend, dass eine Kollision eine Relaxation auf ein lokales Gleichgewicht der Geschwindigkeitsverteilung ist, können freie Bewegung (Strömen) und Kollisionen durch wobei f a (x, t) f a (x + e a δt, t + δt) = [f a (x, t) fa eq τ τ = ν δp δx die Scherspannung innerhalb der Strömung, mit [ fa eq (x) = w a ρ (x) e a u + 9 (e a u) 2 c 2 2 den Gewichtungsfaktoren w a für ein D2Q9 w 0 = 4 9, w 1 = w 2 = w 3 = w 4 = 1 9, c (x, t)] ] u 2 c 2 (B.25), (B.26) w 5 = w 6 = w 7 = w 8 = 1 36 und c als Basisgeschwindigkeit des Netzes beschrieben werden. In einfachen Modellen gilt c = 1 lu. Die linke Seite von Gleichung (B.25) beschreibt den Strömungsvorgang in der LBM. Die rechte Seite von Gleichung (B.25) beschreibt die Kollisionen ts des BGK-Modells. Bei einer makroskopischen Geschwindigkeit u = 0 beschreibt Gleichung (B.26) die in die Netzrichtungen gewichtete physikalische Fluiddichte. 145

166 Anhang B. Numerische Verikation ˆ Die makroskopische kinematische Viskosität ν wird in einem D2Q9-LBM Modell durch die numerische kinematische Viskosität ν lb = 1 ( τ 1 ) (B.27) 3 2 in der Einheit lu2 beschrieben. Es ist zu beachten, dass τ > 1 für positive (physikalische) Viskositäten zu wählen ist. Für Werte von τ nahe 1 ergeben sich numerische ts 2 2 Instabilitäten. Ein Wert τ = 1 wird von [ST06] empfohlen, welcher eine numerische LBM Viskosität von ν lb = 1 lu 2 ergibt. 6 ts Da in der LBM alle Gröÿen auf Netzgröÿen bezogen werden, stellt sich das Problem der Bestimmung der letztendlichen Ausdehnung des Netzes sowie der realen Zeitschrittweite. Hierbei sind folgende Zusammenhänge zu beachten: Die Netzmaschenweite δx kann dargestellt werden durch L [ m δx = (N 1) lu] wobei L die Strömungslänge und N die Netzmaschenkonstante sind. Die netzbezogene Strömungsgeschwindigkeit u lb ergibt sich zu (B.28) u lb = δt δx u phys wobei u phys die physikalische Strömungsgeschwindigkeit beschreibt. (B.29) Die netzbezogene kinematische Viskosität ν lb ist darstellbar als ν lb = δt u phys L δx 2 Re = u lb (N 1). (B.30) Re 146

167 B.1. Auswahl eines geeigneten Verfahrens Als Beispiel wird die Initialisierung der LBM auf folgendes zweidimensionales Strömungsproblem in einem Rohr gezeigt (unter [unk] verfügbar): Rohrlänge: 2 m Rohrdurchmesser: L = 1 m Fluidgeschwindigkeit: w = u phys = 10 m /s Reynolds-Zahl: Re = 1000 Die Netzgröÿe 2N N, die netzbezogene kinematische Viskosität ν lb und die Zeitschrittweite δt [ s lt] müssen auf die gegebenen physikalischen Gröÿen bezogen werden. Hierbei können zwei Wege beschritten werden: 1. Die Netzgröÿe wird angenommen und die Reynolds-Zahl ist gegeben Es wird eine Netzgröÿe von eines D2Q9 Netzes angenommen. So folgt N = 100. Die Reynolds-Zahl ist mit Re = 1000 gegeben. Somit lässt sich die Netzmaschenweite nach Gleichung (B.28) zu δx = 0.01 m bestimmen. Da innerhalb der lu LBM eine maximale Geschwindigkeit, manchmal auch als Netzschallgeschwindigkeit c s bezeichnet, von 1 lu 3 in einem D2Q9 Netz nicht überschritten werden kann, ts und die LBM nur für kleine Mach-Zahlen gute Ergebnisse liefert, empehlt [unk] einen Wert von 0.1 lu, welcher nach Gleichung (B.30) zu τ = 0,8 führt. Durch ts Umstellen von Gleichung (B.29) folgt δt = s. Aus Gleichung (B.30) folgt ts 2 lu2 ν lb = Für die Simulationsdauer von 1 s werden Iterationen ts benötigt, welche = Knotenberechnungen entsprechen. Es wird der lineare Zusammenhang zwischen der Zeitschrittweite und der Fluidgeschwindigkeit deutlich. Wird die Fluidgeschwindigkeit um das 10-fache vermindert, so werden 10 mal mehr Zeitschritte für die Simulationsdauer von 1 s benötigt. Des Weiteren muss dann die numerische kinematische Viskosität ebenfalls um das 10- fache vermindert werden, um das gleiche physikalische System zu simulieren. 147

168 Anhang B. Numerische Verikation 2. Die numerische kinematische Viskosität ist angenommen und die Reynolds-Zahl ist gegeben Wird der Empfehlung von [ST06] gefolgt und eine numerische kinematische Viskosität von ν lb = 1 = bei gegebener Reynolds-Zahl Re = 100 angenommen, 6 ergibt sich für die Netzweite durch Gleichung (B.29) und Gleichung (B.30) ν lb = δt u phys L δx 2 Re = δt δx m2 s (B.31) u lb = δt δx u phys 0.1 lu ts = δt δx 10m s Die Gleichungen Gleichung (B.31) und Gleichung (B.32) lösen δx und δt zu (B.32) δx = m lu δt = s ts Dies ergibt ein rechnerisches N = 1 m = 1666, 67 = Es werden Iterationen benötigt. Dies führt bei dem 4 nun gegebenen Gitter zu = 9, Knotenberechnungen. Dieses Beispiel zeigt deutlich den Zusammenhang der numerischen und physikalischen Strömungsgröÿen, sowie wichtigen Verfahrensgröÿen wie die Netzmaschenweite. Es macht die Notwendigkeit der Abstimmung der einzelnen LBM-Initialisierungsparameter zueinander deutlich. Des Weiteren zeigt das Beispiel, wie ein physikalisches System durch unterschiedliche LBM-Simulationen berechnet werden kann. Die Simulationen unterscheiden sich in Aufwand (Anzahl der Knotenberechnung) und Stabilität erheblich. Hierbei ist zu beachten, das weitere LBM-Erweiterungsmodelle existieren, welche nur innerhalb eines bestimmten ν lb -Bereichs gültig und stabil sind. Der Preis für eine höhere Stabilität ist ein Netz mit sehr viel mehr Knoten und eine gröÿere Anzahl von Iterationsschritten. Es ist somit nicht ohne Weiteres möglich, die Feinheit eines LBM-Netzes zu verändern, ohne die anderen beschriebenen Gröÿen ebenfalls zu betrachten und abzustimmen. 148

169 B.1. Auswahl eines geeigneten Verfahrens Weitere Anpassungen bezüglich der Kollision mit Rändern des Simulationsgebiets, der Erfassung von Dirichlet 1 - oder Von-Neumann 2 -Randbedingungen, sowie Anpassungen der LBM auf weitere strömungstechnische Phänomene sind mittlerweile von vielen Forschern entwickelt worden; [ST06], [WG00] und [Zho04] bieten hier weitere Informationen. 1 Dirichlet-Randbedingungen werden durch skalare Gröÿen wie Druck oder Temperatur beschrieben. 2 Von-Neumann Randbedingungen werden durch vektorielle Gröÿen wie Geschwindigkeiten oder Fluÿdichten beschrieben. 149

170 Anhang B. Numerische Verikation B.2. Versuchsreihe zur numerischen Verikation Zur numerischen Verikation der Ergebnisse aus Kapitel 6 wird das freie CFD-Werkzeug OpenFOAM, Version 2.1.0, welches die Finite-Volumen-Methode wie in Kapitel B.1.1 beschrieben, verwendet. Nach Kapitel B.1.2 ist die Lattice-Boltzmann-Methode für diesen Fall aufgrund der vorkommenden Radien, des, um belastbare Ergebnisse erzeugen zu können, sehr fein zu wählenden Gitters zur Diskretisierung, und dem dadurch entstehenden sehr hohen Rechenaufwands, ungeeignet. Die Versuchsreihe umfasst insgesamt 10 betrachtete Einzelgeometrien. Diese sind in zwei Gruppen zu je 5 Versuchen eingeteilt. Die erste Versuchsgruppe, V1 bis V5, betrachtet 5 Einzelrohrleitungen. Die zweite Gruppe, TS1 bis TS5, betrachtet die Einzelrohrleitungen der ersten Gruppe in 5 Rohrleitungssystemkongurationen. Zum Vergleich der Ergebnisse besitzen alle Versuche die gleichen strömungstechnischen und geometrischen Randbedingungen. Das betrachtete Strömungsmedium ist in allen Versuchen der Versuchsreihe trockene Luft im Normzustand. Die Benennung von Ein- und Ausströmächen der Versuchsreihe TS1 bis TS5 sind für alle Versuche der Versuchsreihe identisch. Benennung und Lage sind in Abbildung B.4 dargestellt. Abbildung B.4.: Benennung von Ein- und Ausströmächen der Versuchsreihe TS1 bis TS5 am Beispiel der Geometrie des Versuchs TS5 150

171 B.2. Versuchsreihe zur numerischen Verikation B.2.1. Versuchsanordnung Die Verbindung der Ein- und Ausströmungsönungen wird durch unterschiedliche, genormte Rohrleitungselemente hergestellt. Die Stärke der Richtungsänderung entlang der Rohrmittellinie von Ein- zur Ausströmungsönung wird in jedem folgenden Versuch durch die Wahl von entsprechenden Rohrleitungselementen verringert. Der letzte Versuch innerhalb der jeweiligen Gruppe verwendet eine Rohrleitung entsprechend der in dieser Arbeit entwickelten Ansätze. Eine Übersicht über die ausgewählten Rohrleitungstopologieen gibt Tabelle B.1. Die technischen Zeichungen zu den jeweiligen Versuchen benden sich in Kapitel B.5.1. Da die angesetzte Strömungsgeschwingigkeit 2 m /s klein ist (< 0.3 Mach), kann das Strömungsmedium Luft als inkompressibles, homogenes Newton'sches Medium betrachtet werden, welches sich durch die konstante dynamische Viskosität µ beschreiben lässt. Die Navier-Stokes Gleichungen vereinfachen sich im inkompressiblen Fall bei nicht berücksichtigten äuÿeren Kräften, wie der Gravitation, zu ( ) v ρ t + v v = p + µ 2 v. (B.33) Da in einem inkompressiblen Medium die Dichte konstant ist, reduziert sich die Kontinuitätsgleichung auf u x + v y + w z = 0. (B.34) Innerhalb des in OpenFOAM verwendeten SIMPLE 3 Lösungsalgorythmus genügt die Angabe der kinematischen Viskosität ν zur Modellierung des Strömungsmediums, da über die Reynolds-Zahl Re mit Re = ρud µ = ud ν (B.35) die dynamische Viskosität µ mit der kinematischen Viskosität ν verknüpft ist. Durch die Annahme, das die Dichte ρ des Mediums konstant ist, wird im SIMPLE Algorithmus nicht der tatsächliche Druck (z.b. in Pa) angegeben, sondern ein Druck, welcher auf die Dichte normalisiert ist. Die Einheit dieses normalisierten Drucks ist Pa ρ = N/m2 kg/m = kg/(ms2 ) 3 kg/m 3 3 Semi IM plied Pressure Leveled Equation = m2 s 2. (B.36) 151

172 Anhang B. Numerische Verikation Einzelrohre Rohrsysteme V1 TS1 V2 TS2 V3 TS3 V4 TS4 V5 TS5 Tabelle B.1.: Versuchsübersicht der Versuchsreihe. Die Versuchskürzel V1 bis V5 bezeichnen Versuche mit Einzelrohrleitungen. Die Versuchskürzel TS1 bis TS5 bezeichnen Versuche mit Rohrleitungssystemen. 152

173 B.2. Versuchsreihe zur numerischen Verikation Weiterhin ist zu beachten, das der berechnete Druck ein relativer Druck ist, und sich aus p berechnet = p p referenz (B.37) berechnet. Negative Werte für p berechnet sind somit physikalisch möglich, da sie anzeigen, das der absolute Druck kleiner als der Referenzdruck ist. Für eine Druckverlustberechnung, in welcher die Drücke am Eintritt und am Austritt gegenübergestellt werden, ist es hilfreich, den Referenzdruck am Austritt p referenz = 0 zu setzten, um den Druckverlust direkt am Eintritt ablesen zu können. Da der berechnete Druck p = p berechnet im Skalarfeld einer Lösung des SIMPLE Algorithmus keinen dynamischen Anteil enthält, ist der totale Druck über p tot = p U 2 (B.38) zu berechnen. Der ζ-wert ergibt sich aus ζ = 2 p tot ρ ρ U 2 = 2 p tot U 2, (B.39) worin p tot ρ den realen Druckverlust in Pa darstellt. Zur Modellierung von turbulenten Wandschichtströmungen wird das komegasst Modell verwendet. Die hierzu notwendigen Modellparameter berechnen sich aus den folgenden gegebenen Gröÿen. Geschwindigkeitskomponenten am Eintritt U x, U y, U z in m /s Hydraulischer Durchmesser L in m kinematische Viskosität ν in m2 /s 153

174 Anhang B. Numerische Verikation nach U = U x 2 + U y 2 + U z 2 Re = L U ν I = 0.16 Re 1 8 l = L 3 ν = 2 U I l wobei k = 3 (U I)2 2 ɛ = k1.5 l k ω = l Geschwindigkeit am Eintritt U in m /s Reynoldszahl Re in 1 Turbulenzintensität I in 1 Turbulenzlängenmaÿstab l in m Modizierte turbulente Viskosität ν in m2 /s kinetische Turbulenzenergie k in m2 /s 2 Turbulenzdissipationsrate ɛ in m2 /s 3 spezische Turbulenzdissipationsrate ω in 1/s darstellt. 154

175 B.2. Versuchsreihe zur numerischen Verikation Es gelten die folgenden strömungstechnischen Randbedingungen: ˆ kinematische Viskosität ν = 1, m 2 /s ˆ Einströmgeschwindigkeit v = 2 m /s ˆ Austrittsdruck p out = 0 kg /mm 2 Weiterhin gelten die folgenden Parameter zur Turbulenzmodellierung (komegasst Modell): ˆ K = 0, ˆ ɛ = 0, ˆ ω = 43,4861 ˆ ν = 0, Die exakt beschriebenen geometrischen Randbedingungen sind für alle Versuche den technischen Zeichungen in Kapitel B.5.1 zu entnehmen. B.2.2. Versuchsdurchführung Um die gleichen strömungstechnischen Randbedingungen der Versuchsreihe sicherzustellen und die Verwaltung der Daten zu vereinfachen, wird pro Versuch ein OpenFOAM- Case erstellt. Eine nähere Beschreibung der Konguration des OpenFOAM Werkzeugs bendet sich in Kapitel B.4. Die Geometrie der Rohrleitung wurde mit dem 3D-CAD Werkzeug Autodesk Inventor modelliert und zur Nachbearbeitung mit dem freien 3D- Werkzeug Blender in das STL-Format exportiert. Das Zusatzplugin SwiftSnap für Blender ermöglicht die Aufbereitung der Modelldaten für das CFD-Werkzeug OpenFO- AM. Das Lösungsgitter wird nach Maÿgabe der aufbereiteten Modelldaten mit dem OpenFOAM-Werkzeug SnappyHexMesh erzeugt. Nach Durchlauf des CFD-Solvers SimpleFOAM wird der Druckverlust von Inlet zu Outlet über die Dierenz des mittleren Drucks der jeweiligen Inlet und Outletäche gebildet. Der so berechnete Druckverlust wird auf die Dichte des Medium bezogen, um die Normierung des Drucks des SIMPLE Algorithmus zurück zu nehmen. Aus diesem Druckverlust wird der ζ-wert gebildet. 155

176 Anhang B. Numerische Verikation B.2.3. Versuchsauswertung - Einzelrohrleitungen Nach Durchlauf der Berechnungen ergeben sich für die Einzelrohrleitungen die Ergebnisse nach Tabelle B.2. Tabelle B.2.: Ergebnisse der CFD Versuchsreihe V1 bis V5 - Einzelrohrleitung V1 V2 V3 V4 V5 Inlet p 6, , , , ,34626 Inlet p tot 8, , , , ,34626 Outlet p tot 2, , , , ,00932 p tot 5, , , , ,33694 p totcorr 7, , , , ,58962 ζ CF D 2,97 1,37 1,03 0,79 0,66847 ζ Spline 0,61024 In Tabelle B.2 wurden die Werte p tot, p totcorr und ζ CF D nach p tot = Inletp tot Outletp tot, (B.40) p totcorr = p tot ρ (B.41) und ζ CF D = 2 p tot U 2 (B.42) bestimmt. Der Wert ζ Spline gibt zum Vergleich den ζ-wert des Verfahrens nach Kapitel 6 an. Abbildung B.5 zeigt den fallende Druckverlust über die Versuchsreihe bei fallender Krümmung der Strömungsumlenkung. Die auf Seitengröÿe skalierten Bilder der einzelnen Versuchsauswertungen benden sich in Kapitel B

177 B.2. Versuchsreihe zur numerischen Verikation Abbildung B.5.: Ergebnisübersicht der Versuchsreihe Einzelrohrleitungen 157

178 Anhang B. Numerische Verikation Auswertung Versuch V1 Der Versuch V1 beschreibt die stärkste Krümmung im Rohrleitungsverlauf der Versuchsreihe. Die Rohrleitungsumlenkungen sind durch Kniestücke mit einem Richtungswinkel von 90 realisiert. Das Geschwindigkeitsprol, die Druckgradienten, sowie die Isobaren im Schnitt entlang der Mittellinie der Rohrleitung zeigt Abbildung B.6. In den Kniestücken sind die Turbulenzzonen deutlich zu erkennen, welche zu einem starken Druckverlust von p = 7, Pa und einem ζ-wert von ζ = 2.97 führen. 158

179 B.2. Versuchsreihe zur numerischen Verikation (a) Geschwindigkeitsbeträge (b) Druckverteilung (c) Isobaren Abbildung B.6.: Übersicht über die Geschwindigkeitsbeträge, Druckverteilung, und Isobaren - Versuch V1 159

180 Anhang B. Numerische Verikation Auswertung Versuch V2 Der Versuch V2 beschreibt eine etwas schwächere Krümmung im Rohrleitungsverlauf der Versuchsreihe. Die Rohrleitungsumlenkungen sind durch Kniestücke mit einem Richtungswinkel von 45 realisiert. Das Geschwindigkeitsprol, die Druckgradienten, sowie die Isobaren im Schnitt entlang der Mittellinie der Rohrleitung zeigt Abbildung B.7. In den Kniestücken sind Turbulenzzonen zu erkennen, welche im Vergleich zu Versuch V1 räumlich kleiner sind und zu einem Druckverlust von p = 3, Pa und einem ζ-wert von ζ = 1.37 führen. Diese Werte sind im Vergleich mit Versuch V1 bereits deutlich geringer. 160

181 B.2. Versuchsreihe zur numerischen Verikation (a) Geschwindigkeitsbeträge (b) Druckverteilung (c) Isobaren Abbildung B.7.: Übersicht über die Geschwindigkeitsbeträge, Druckverteilung, und Isobaren - Versuch V2 161

182 Anhang B. Numerische Verikation Auswertung Versuch V3 Der Versuch V3 beschreibt eine Krümmung im Rohrleitungsverlauf der Versuchsreihe, bei der die Kniestücke aus Versuch V2 durch Rohrbögen (Krümmungsradius R = 250 mm) ersetzt werden. Die Rohrleitungsumlenkungen sind dadurch in ihrem Krümmungsverhalten konstant und glatt. Das Geschwindigkeitsprol, die Druckgradienten, sowie die Isobaren im Schnitt entlang der Mittellinie der Rohrleitung zeigt Abbildung B.8. In den Rohrbögen sind kleine, lokal begrenzte Ablösezonen zu erkennen, welche zu einem Druckverlust von p = 2, Pa und einem ζ-wert von ζ = 1.03 führen. Im Isobarenbild Abbildung B.8(c) sind die Ablöse- und Staudruckzonen in den Rohrbögen zu erkennen. In diesen Zonen entsteht der beobachtete Druckverlust. 162

183 B.2. Versuchsreihe zur numerischen Verikation (a) Geschwindigkeitsbeträge (b) Druckverteilung (c) Isobaren Abbildung B.8.: Übersicht über die Geschwindigkeitsbeträge, Druckverteilung, und Isobaren - Versuch V3 163

184 Anhang B. Numerische Verikation Auswertung Versuch V4 Der Versuch V4 beschreibt eine Krümmung im Rohrleitungsverlauf der Versuchsreihe, bei der die Rohrbögen aus Versuch V3 bis zum maximalen Krümmungsradius (Krümmungsradius R = 500 mm) erweitert wurden. Das Geschwindigkeitsprol, die Druckgradienten, sowie die Isobaren im Schnitt entlang der Mittellinie der Rohrleitung zeigt Abbildung B.9. In den Rohrbögen sind ebenfalls Ablöse- und Staudruckzonen wie in Versuch V3 zu erkennen, welche sich lokal auf die Rohrbögen beschränken. Durch die gröÿere lokale Ausprägung der Rohrbögen in diesem Versuch im Vergleich zu Versuch V3, sind die entstehenden Ablöse- und Staudruckzonen räumlich gröÿer und verursachen einen glatteren Druckgradientenverlauf entlang der Rohrleitung (vgl. Abbildung B.9(c) und Abbildung B.8(c)). Somit entsteht ein Druckverlust von p = 1, Pa und ein ζ-wert von ζ = Diese Werte sind die mit Normrohrbauteilen minimal erreichbaren Werte für die gegebene Rohrleitungstopologie,it den gegebenen Strömungsbedingungen. 164

185 B.2. Versuchsreihe zur numerischen Verikation (a) Geschwindigkeitsbeträge (b) Druckverteilung (c) Isobaren Abbildung B.9.: Übersicht über die Geschwindigkeitsbeträge, Druckverteilung, und Isobaren - Versuch V4 165

186 Anhang B. Numerische Verikation Auswertung Versuch V5 Der Versuch V5 beschreibt einen Rohrleitungsverlauf, welcher aus dem in dieser Arbeit entwickelten Verfahren entsteht. Die Rohrleitungsumlenkungen sind mathematisch krümmungsminimal. Das Geschwindigkeitsprol, die Druckgradienten, sowie die Isobaren im Schnitt entlang der Mittellinie der Rohrleitung zeigt Abbildung B.10. In den Bogenelementen sind weiterhin Ablöse- und Staudruckzonen zu erkennen, welche jedoch im Vergleich zu den Versuchen V1 bis V4 entlang der Rohleitung sehr glatt verlaufen. Dies führt zu einem Druckverlust von p = 1, Pa und einem ζ-wert von ζ = Diese Werte sind die mathematisch minimal erreichbaren Werte für die gegebene Rohrleitungstopologie mit den gegebenen Strömungsbedingungen. Sie bestätigen damit die Richtigkeit der Annahmen und Schluÿfolgerungen dieser Arbeit. 166

187 B.2. Versuchsreihe zur numerischen Verikation (a) Geschwindigkeitsbeträge (b) Druckverteilung (c) Isobaren Abbildung B.10.: Übersicht über die Geschwindigkeitsbeträge, Druckverteilung, und Isobaren - Versuch V5 167

188 Anhang B. Numerische Verikation B.2.4. Versuchsauswertung - Rohrleitungssysteme Die Ergebnisse der Versuchsreihe der Rohrleitungssysteme zeigt Tabelle B.3. Tabelle B.3.: Ergebnisse der CFD Versuchsreihe Rohrleitungssysteme TS1 TS2 TS3 TS4 TS5 Inlet A p 1, , , , ,22882 Inlet B p 1, , , , ,22748 Inlet p 1, , , , ,22815 Inlet A p tot 3, , , , ,77118 Inlet B p tot 3, , , , ,77253 Outlet A p tot 1, , , , ,89234 Outlet B p tot 1, , , , ,87316 Outlet C p tot 1, , , , ,89025 Inlet p tot 3, , , , ,77186 Outlet p tot 1, , , , ,88525 Tube I p tot 2, , , , ,87885 Tube II p tot 2, , , , ,89802 Tube III p tot 2, , , , ,89937 Tube IV p tot 2, , , , ,88228 System p tot 2, , , , ,88660 System p totcorr 2, , , , ,05417 ζ-system 1,14 0,9 0,72 0,56 0,44 In Tabelle B.3 werden zusätzlich die geometrischen Mittelwerte p sowie p tot über alle Inlets und Outlets gebildet. Die vier Druckverlustwerte Tube I p tot bis Tube IV p tot zeigen die Druckverluste entlang der vier Stromfäden des Systems. 168

189 B.2. Versuchsreihe zur numerischen Verikation Der Gesamtdruckverlust, sowie der ζ-wert der Anlage wird aus System p tot = Inlet p tot Outlet p tot, System p totcorr = System p tot ρ und ζ System = 2 System p tot corr U 2 berechnet. Abbildung B.11 zeigt den fallenden Druckverlust über die Versuchsreihe bei fallender Krümmung der Strömungsumlenkung. Abbildung B.11.: Ergebnisübersicht der Versuchsreihe Rohrleitungssysteme In der Versuchsauswertung wird im Folgenden ein besonderes Augenmerk auf die Strömungsverzweigungen und Strömungsvereinigungen gelegt, um die in Kapitel 6 abgeschätzten Einüsse dieser Bauelemente zu verizieren. Deshalb wird in den folgenden Darstellungen nur dieser Teil explizit dargestellt, der Rest wird ausgeblendet. 169

190 Anhang B. Numerische Verikation Auswertung Versuch TS1 Der Versuch TS1 bildet ein Rohrleitungssystem aus den Rohrleitungselementen gemäÿ Versuch V1. Das Strömungsprol, die Druckgradienten, sowie die Isobaren im Schnitt entlang der Systemebene zeigt Abbildung B.12. Im Strömungprol Abbildung B.12(a) sind die scharfen Umlengungen der Rohrverzweigung, sowie die Rotation der Strömung nach der Rohrvereinigung zu erkennen. Die negativen Eekte der starken Krümmung in diesen Bauelementen verdeutlicht auch das Isobarenprol Abbildung B.12(c). Hierin sind deutlich die starken Druckveränderungen durch die eng zusammenliegenden Isobarenlinien erkennbar. Der Eekt einer aufgrund des Druckgradienten beschleunigten und abgebremsten Strömung, sowie die Verechtung der Strömung im mittleren Abzweigrohr erzeugen einen hohen Druckverlust von 2,72 Pa und einen ζ-wert des Systems von 1,14. Weiterhin zeigt dieser Versuch die gegenseitige ungünstige Beeinussung der bereits im Versuch V1 auftretenden negativen Eekte bei der Verwendung von 90 Rohrkrümmern in Rohrleitungssystemen. 170

191 B.2. Versuchsreihe zur numerischen Verikation (a) Strömungsprol (b) Druckverteilung (c) Isobaren Abbildung B.12.: Übersicht Strömungsprol, Druckverteilung, und Isobaren - Versuch TS1 171

192 Anhang B. Numerische Verikation Auswertung Versuch TS2 Der Versuch TS2 bildet ein Rohrleitungssystem aus den Rohrleitungselementen gemäÿ Versuch V2. Das Strömungsprol, die Druckgradienten, sowie die Isobaren im Schnitt entlang der Systemebene zeigt Abbildung B.13. Das Strömungsprol Abbildung B.13(a) zeigt im Vergleich zum Versuch TS1 in Übereinstimmung mit Versuch V2 eine geringere Verechtung und Rotation der Strömung entlang der Rohrachse. Dies führt zu einem Druckverlust von 2,1 Pa und einen ζ-wert des Systems von 0,9. In Abbildung B.13(c) sind die im Vergleich zum Versuch TS1 vermehrt, jedoch lokal begrenzeten Druckschwankungen erkennbar. Hieraus resultiert der beobachtete Druckverlust des Systems. 172

193 B.2. Versuchsreihe zur numerischen Verikation (a) Strömungsprol (b) Druckverteilung (c) Isobaren Abbildung B.13.: Übersicht Strömungsprol, Druckverteilung, und Isobaren - Versuch TS2 173

194 Anhang B. Numerische Verikation Auswertung Versuch TS3 Der Versuch TS3 bildet ein Rohrleitungssystem aus den Rohrleitungselementen gemäÿ Versuch V3. Das Strömungsprol, die Druckgradienten, sowie die Isobaren im Schnitt entlang der Systemebene zeigt Abbildung B.14. Wie in Abbildung B.14(a) gezeigt, besitzt die Strömung in der Versuchsanordnung TS3 fast keine Rotation um die Rohrachse im mittleren Abzweig. Ausgenommen hiervon sind nur die Verzweigungstellen, welche wie in Abbildung B.14(b) und Abbildung B.14(c) erkennbar an der Anströmkante der Verzweigung einen starken Staudruck aufweisen. Dieser ist jedoch im Vergleich mit TS1 und TS2 mit einem Maximalwert von 2,16 m2 /s 2 relativ gering. Aufgrund der verwendeten Rohrkrümmer werden die Druckgradienten in der Stromvereinigung deutlich gemindert, wie in Abbildung B.14(c) und Abbildung B.14(b) erkennbar. Dies führt zu einem Druckverlust von 1,7 Pa und einen ζ-wert des Systems von 0,

195 B.2. Versuchsreihe zur numerischen Verikation (a) Strömungsprol (b) Druckverteilung (c) Isobaren Abbildung B.14.: Übersicht Strömungsprol, Druckverteilung, und Isobaren - Versuch TS3 175

196 Anhang B. Numerische Verikation Auswertung Versuch TS4 Der Versuch TS4 bildet ein Rohrleitungssystem aus den Rohrleitungselementen gemäÿ Versuch V4. Das Strömungsprol, die Druckgradienten, sowie die Isobaren im Schnitt entlang der Systemebene zeigt Abbildung B.15. Durch die Verwendung einer gröÿeren Krümmungsradius der Rohrkrümmer wird der Staudruck an der Anströmkante in den Verzweigungen im Vergleich zu TS3 weiter vermindert. Der maximale Staudruck beträgt in diesem Versuch 1,96 m2 /s 2. Ebenso ragen die Druckgradienten in der Stromvereinigung weiter in den mittleren Rohrstrang hinein und zeigen in Abbildung B.15(c) einen sanfteren Verlauf. Abbildung B.15(a) zeigt weiterhin den laminaren Character der Rohrströmung. Diese Eekte führen zu einem Druckverlust von 1,32 Pa und einen ζ-wert des Systems von 0,56. Der Versuch TS4 zeigt die mit Normbauteilen minimal erreichbaren Werte für die gegebene Rohrleitungssystemtopologie mit den gegebenen Strömungsbedingungen. 176

197 B.2. Versuchsreihe zur numerischen Verikation (a) Strömungsprol (b) Druckverteilung (c) Isobaren Abbildung B.15.: Übersicht Strömungsprol, Druckverteilung, und Isobaren - Versuch TS4 177

198 Anhang B. Numerische Verikation Auswertung Versuch TS5 Der Versuch TS5 bildet ein Rohrleitungssystem aus den Rohrleitungselementen gemäÿ Versuch V5. Das Strömungsprol, die Druckgradienten, sowie die Isobaren im Schnitt entlang der Systemebene zeigt Abbildung B.16. Der Versuch TS5 zeigt das beste Ergebnis in der Versuchsreihe der Rohrleitungssysteme. Es entsteht ein Druckverlust von 1,05 Pa und einen ζ-wert des Systems von 0,44. Der in der geringe Spreizungswinkel der Verweigungselemente, sowie der gute laminare Strömungscharacter, wie in Abbildung B.16(a) erkennbar, führen zu einem Staudruck an den Anströmkanten von 1,72 m2 /s 2. Abbildung B.16(c) zeigt die systemweiten geringen Druckgradienten. Diese Werte sind die mathematisch minimal erreichbaren Werte für die gegebene Rohrleitungssystemtopologie mit den gegebenen Strömungsbedingungen. Sie bestätigen damit die Gültigkeit der Annahmen und Schluÿfolgerungen dieser Arbeit für Rohrleitungssysteme. 178

199 B.2. Versuchsreihe zur numerischen Verikation (a) Strömungsprol (b) Druckverteilung (c) Isobaren Abbildung B.16.: Übersicht Strömungsprol, Druckverteilung, und Isobaren - Versuch TS5 179

200 Anhang B. Numerische Verikation Zusammenfassung der Ergebnisse Die Versuchsreihen der Einzelrohrleitungen und der Rohrleitungssysteme haben Rohrleitungstopologieen mit Normbauteilen unterschiedlicher Krümmungsverläufe mit einer Rohrgeometrie nach dem in dieser Arbeit entwickelten Spline-Verfahren verglichen. In der Versuchsreihe der Einzelrohrleitungen wurde durch die Verwendung des in der vorliegenden Arbeit entwickelten Verfahrens eine Verbesserung des Druckverlustes und des ζ-wertes um 22 % gegenüber einer Einzelrohrleitung mit 90 Kniestücken nachgewiesen. Für die Rohrleitungssysteme konnte eine Verbesserung des Druckverlustes und des ζ- Wertes um 38 % nachgewiesen werden. Die Ergebnisse bestätigen somit die Annahmen und Schlussfolgerungen dieser Arbeit. 180

201 B.3. Numerische Bewertung eines realen Projekts mit OpenFOAM B.3. Numerische Bewertung eines realen Projekts mit OpenFOAM Zum qualitativen Vergleich der Ergebnisse aus Kapitel 6 in Anwendung auf ein reales Problem liegen zwei Lösungsgitter eines Projekts der GEA Energietechnik GmbH vor. Das Projekt ist ein Entwurf für ein 4x1100 MW Kraftwerk. Das Projekt beinhaltet einen Entwurf der Abdamp eitung ähnlich Abbildung B.17 Aufgrund der Gröÿe des Gesamt- Abbildung B.17.: Übliche Ausführung einer Abdamp eitung projekts wird die Abdamp eitung in zwei symmetrische Gruppen eingeteilt. Jede Gruppe besteht aus zwei zueinander spiegelverkehrten Seitenarmen. Zur Reduktion des Rechenaufwands wird aufgrund der vorliegenden Symmetrie der Anlage nur der erste rechte Seitenarm untersucht. Abbildung B.18 zeigt einen Ausschnitt aus der technischen Übersichtszeichnung der geplanten Anlage mit dem markierten Bereich des zu berechnenden Seitenarms. 181

202 Anhang B. Numerische Verikation 182 Abbildung B.18.: Auszug aus technischer Entwurfszeichnung eines Beispielprojekts

203 B.3. Numerische Bewertung eines realen Projekts mit OpenFOAM Die angesetzten Abmaÿe der Abdampeitung betragen: ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ Eintrittsdurchmesser 7,25 m Austrittsdurchmesser 3,2 m Höhe der Hauptverteilung 37,3 m Höhe der Austritte 61,6 m Abstand der Austritte zum Eintritt 25 m Gesamtbreite des Seitenarms 50,4 m Der Zustand des Strömungsmediums lässt sich beschreiben durch: ˆ Gesamtmassenstrom 1960,5 t /h ˆ Sättigungstemperatur 70,61 C ˆ Dichte 0, kg /m 3 ˆ Annahme: Sattdampf Das erste Modell, wie in Abbildung B.19(a) gezeigt, bildet den standardmäÿigen in den technischen Entwurfszeichungen empfohlenen Ansatz als Volumengitter ab. Das zweite Modell, wie in Abbildung B.19(b) gezeigt, resultiert aus dem in dieser Arbeit vorgestellten Verfahren zur Ermittlung eines kreuzungsfreien, gleichverteilenden Rohrleitungsnetzwerkes in einfachen Domänen nach Kapitel

204 Anhang B. Numerische Verikation (a) Modell des Standardentwurfs 184 (b) Modell des verbesserten Entwurfs Abbildung B.19.: Modelle eines realen Projekts zur numerischen Bewertung

205 B.3. Numerische Bewertung eines realen Projekts mit OpenFOAM Zur numerische Berechnung wird der SIMPLE-Lösungsalgorithmus des freien Werkzeugs OpenFOAM, Version gemäÿ Kapitel B.2 verwendet. Nach Kapitel B.1.2 ist die Lattice-Boltzmann-Methode für diesen Fall aufgrund der vorkommenden Radien, des um belastbare Ergebnisse erzeugen zu können, sehr fein zu wählenden Gitters zur Diskretisierung, und dem dadurch entstehenden sehr hohen Rechenaufwands ungeeignet. Zur Modellierung von turbulenten Wandschichtströmungen wird das komegasst Modell verwendet. Die hierzu notwendigen Modellparameter berechnen sich aus den gegebenen Gröÿen Geschwindigkeitskomponenten am Eintritt U x, U y, U z in m /s Hydraulischer Durchmesser L in m kinematische Viskosität ν in m2 /s nach U = U x 2 + U y 2 + U z 2 Re = L U ν I = 0.16 Re 1 8 l = L 3 ν = 2 U I l k = 3 (U I)2 2 ɛ = k1.5 l k ω = l 185

206 Anhang B. Numerische Verikation wobei Geschwindigkeit am Eintritt U in m /s Reynoldszahl Re in 1 Turbulenzintensität I in 1 Turbulenzlängenmaÿstab l in m Modizierte turbulente Viskosität ν in m2 /s kinetische Turbulenzenergie k in m2 /s 2 Turbulenzdissipationsrate ɛ in m2 /s 3 spezische Turbulenzdissipationsrate ω in 1/s darstellt. Es gelten die folgenden strömungstechnischen Randbedingungen: ˆ kinematische Viskosität ν = 1, m 2 /s ˆ Einströmgeschwindigkeit v = 4,94 m /s Es gelten die folgenden Parameter zur Turbulenzmodellierung (komegasst Modell): ˆ K = 0, ˆ ɛ = 0, ˆ ω = 43,4861 ˆ ν = 0, Nach Durchlauf der Berechnungen liefert OpenFOAM Ergebnisse für den Standardentwurf nach Tabelle B.4 und den optimierten Entwurf nach Tabelle B.5. Der Annahme folgend, die Strömungswiderstände der Rohrstränge verlaufen parallel, ergibt sich ζ Standard = 4, 5 für den Standardentwurf (B.43) ζ Optimiert = 0, 66 für den mit der Arbeit optimierten Entwurf (B.44) 186

207 B.3. Numerische Bewertung eines realen Projekts mit OpenFOAM Tabelle B.4.: Ausgewertete Ergebnisse der numerischen Strömungsberechnung des Standardentwurfs einer realen Anlage Reale Anlage - Standard Design Inlet_A Outlet_A Outlet_B Outlet_C Outlet_D Outlet_E p 58,6424 p tot 70, , , , , ,633 p totcorr 348, , , , , ,0289 p tot 49, , , , ,2112 p totcorr 242, , , , ,2882 ζ CF D 97, , , , ,3439 Tabelle B.5.: Ausgewertete Ergebnisse der numerischen Strömungsberechnung des optimierten Entwurfs nach Kapitel 6 einer realen Anlage Reale Anlage - Optimiertes Design Inlet_A Outlet_A Outlet_B Outlet_C Outlet_D Outlet_E p 5,40909 p tot 17, ,085 8, ,6883 8, ,76388 p totcorr 86, , , , , ,0057 p tot 6,5259 9, ,9226 8, ,84702 p totcorr 32, , , , ,5811 ζ CF D 12, , , , ,

208 Anhang B. Numerische Verikation Zur weiteren Analyse des Standardentwurfs werden Schnitte gemäÿ Abbildung B.20 in das Ergebnissgitter gelegt. (a) Schnittlage der Schnitte 1 bis 5 (b) Schnittlage des Schnittes 6 Abbildung B.20.: Analyseschnitte im Modell Standardentwurfs Der Standardentwurf zeigt ähnlich der Versuchsreihe der Rohrleitungsnetze aus Kapitel B.2 starke, lokal begrenzte Druckgradienten an den Rohrkrümmungselementen und den Abzweigelementen, wie in Abbildung B.21 abgebildet. Weiterhin sind die Ablösezonen und die Rotation der Strömung in Abbildung B.21(b) erkennbar. Die Rotation der Strömung um die Rohrachse hält sich über die gesamte Länge der Hauptrohrleitung wie in Abbildung B.22 erkennbar ist. Diese Eekte wirken sich negativ auf den Druckverlust der Rohrleitung aus. Zur weiteren Analyse des optimierten Entwurfs werden Schnitte gemäÿ Abbildung B.23 in das Ergebnissgitter gelegt. In Abbildung B.24 sind die, wie bereits in Kapitel B.2 diskutierten, groÿräumigen Ablösezonen und geringen Druckgradienten zu erkennen. Eine genaue Betrachtung der Geschwindigkeitsvektoren im Schnitt zeigt ein groÿräumiges Ablösegebiet nach der ersten Krümmung mit geringen Geschwindigkeitsbeträgen wie in Abbildung B.25. Diese Charakteristik ist in allen anderen Rohrzweigen ähnlich. Das zu erkennende Ablösegebiet ist jedoch keinesfalls auf die einzelnen Rohrzweige beschränkt, sondern aufgrund der geometrischen Struktur der Rohrverzweigung zusammenhängend, wie in Abbildung B.26(a) und Abbildung B.26(b) zu erkennen. 188

209 B.3. Numerische Bewertung eines realen Projekts mit OpenFOAM (a) Detailansicht der Druckverteilung und Isobaren Standardentwurf (b) Druckverteilung und Strömungsprol Abbildung B.21.: Druckverteilung, Isobaren und Strömungsprol der Standardentwurfs im Schnitt 6 189

210 Anhang B. Numerische Verikation Abbildung B.22.: Detailansicht der Geschwindigkeitsmagnituden und des Strömungspro- ls im Schnitt 6 des Standardentwurfs Abbildung B.23.: Schnittlage der Schnitte 1 bis 5 im optimierten Entwurf einer realen Anlage 190

211 B.3. Numerische Bewertung eines realen Projekts mit OpenFOAM Abbildung B.24.: Detailansicht der Druckverteilung und Isobaren im Schnitt 1 des optimierten Entwurfs Abbildung B.25.: Detailansicht der Geschwindigkeitsvektoren im Schnitt 1 des optimierten Entwurfs 191

212 Anhang B. Numerische Verikation (a) Ansicht des Strömungsprols in der Verzweigung des optimierten Entwurfs (b) Isobaren des optimierten Entwurfs Abbildung B.26.: Isobaren und Detailansicht des Strömungsprols des optimierten Entwurfs 192

213 B.3. Numerische Bewertung eines realen Projekts mit OpenFOAM Zusätzlich zeigt Abbildung B.27 die sehr geringe Rotation der Strömung um die Rohrachse. Alle diese Faktoren ermöglichen einen geringen Druckverlust. Somit reduziert Abbildung B.27.: Strömungsprol des optimierten Entwurfs das in dieser Arbeit entwickelte Verfahren den ζ-wert auf 14,8 % des Standardentwurfs. Die Gröÿenordnung der Verbesserung des ζ-wertes entspricht in etwas der Gröÿenordnung des in Kapitel 9 angesetzten Beispiels. Aufgrund der Gröÿe der hier betrachteten Anlage sind jedoch wirtschaftliche Verbesserungen in weitaus gröÿeren Ordnungen als in Kapitel 9 beschrieben zu erwarten. 193

214 Anhang B. Numerische Verikation / 0 k nut omega p U constant polymesh blockmeshdict RASProperties transportproperties system controldict fvschemes fvsolution Abbildung B.28.: Minimaler Aufbau eines OpenFOAM-Case B.4. Konguration des OpenFOAM Werkzeugs Um die numerische Verikation, die Versuchsreihe sowie die Betrachtung eines realen Projekts untereinander vergleichbar zu machen, ist die gleiche Konguration des SIM- PLE Algorithmus sowie die gleiche Struktur einer CFD-Berechnung innerhalb des Werkzeugs OpenFOAM notwendig. Innerhalb von OpenFOAM wird die CFD-Berechnung eines Falls Case genannt. Jeder Case verwendet eine von OpenFOAM vorgegebene Verzeichnisstruktur, in welchem alle notwendigen Informationen wie Berechnungsgitter, Startparameter, Randbedingungen, Konguration der Lösungsalgorithmen, etc. in einzelnen Textdateien vorliegen. Die Minimalkonguration eines OpenFOAM-Case zeigt Abbildung B.28 Standardmäÿig werden die Randbedingungen in den entsprechenden Textdateien im Zeitschrittverzeichnis 0 deniert. Das Ausgangsgitter wird in der Datei blockmeshdict im polymesh Verzeichnis beschrieben. Ein Durchlauf eines minimalen OpenFOAM-Case erfordert nach Anpassung aller Steuerungsdateien die folgende Befehlskette: blockmesh simplefoam 194

215 B.4. Konguration des OpenFOAM Werkzeugs Nach Durchlauf enthält das Wurzelverzeichnis weitere Zeitschrittverzeichnisse ähnlich dem Verzeichnis 0, in welchen eine Textdatei pro berechneter physikalischer Gröÿe alle Berechnungsergebnisse für eine Untersuchung beinhaltet. Da für die Versuchsreihe insgesamt 10 OpenFOAM-Cases angelegt werden müssen, ist die Auslagerung von Dateien, welche in allen Cases identisch sein müssen, sinnvoll. Zur Automatisierung der Berechnungsabläufe wurden zwei Shellskripte zur Abarbeitung der notwendigen Befehlskette zur Erzeugung des Lösungsgitters und der Berechnung, sowie zur Bereinigung eines Case geschrieben. Die Verwendung des OpenFOAM Werkzeugs SnappyHexMesh zur automatischen Generierung des Lösungsgitters erfordert die Steuerungsdatei snappyhexmeshdict im system-verzeichnis des OpenFOAM Case. Die hierdurch notwendige Verzeichnisstruktur der Versuchsreihe zeigt Abbildung B.29. Durch diesen Aufbau der Steuerungsdateien von OpenFOAM wird eine hohe Automation der Berechnungen erreicht, da in jedem Case-Verzeichnis zum Start der Berechnungen nur noch das Skript Allrun ausgeführt werden muss. Zur Minimierung der Datenmenge wurden die OpenFOAM-Cases derart konguriert, das nur die letzten 10 Berechnungsschritte gespeichert werden. Dies hat keinen negativen Einuss auf die Ergebnisse. 195

216 Anhang B. Numerische Verikation / /include initialconditions /V1 0.org k nut omega p U constant polymesh blockmeshdict RASProperties transportproperties trisurface Inlet_A.stl Outlet_A.stl walls.stl system controldict fvschemes fvsolution snappyhexmeshdict Allrun Allclean V1TubeModel.ipt V1TubeModel.blend /V1... /TS5 Abbildung B.29.: Struktur der OpenFOAM-Cases der Versuchsreihe 196

217 B.4. Konguration des OpenFOAM Werkzeugs B.4.1. Die allgemeine Kongurationsdatei initialconditions 1 /* *- C++ -* *\ 2 ========= 3 \\ / F ield OpenFOAM: The Open Source CFD Toolbox 4 \\ / O peration Version: \\ / A nd Web: 6 \\/ M anipulation 7 \* */ 8 9 flowvelocity ( ); flowtemperature 70.61; // degc 12 viscosity 1.128e-05; // Pa*s 13 density ; // kg/m^ pressure 0; 16 turbulentk ; 17 turbulentepsilon ; 18 turbulentomega ; 19 nutilda ; 20 #inputmode merge // ************************************************************************* // 197

218 Anhang B. Numerische Verikation B.4.2. Das Shellskript zum Starten der Berechnung Allrun 1 #!/bin/sh 2 cd ${0%/*} exit 1 # run from this directory 3 4 # Source tutorial run functions 5. $WM_PROJECT_DIR/bin/tools/RunFunctions 6 7 cp -r../include/0.org 0 > /dev/null 2>&1 8 9 # Get application directory 10 application= getapplication # This case uses the #codestream which is disabled by default. Enable for 13 # just this case. 14 MAIN_CONTROL_DICT= foametcfile controldict 15 if [ -f "$MAIN_CONTROL_DICT" ] 16 then 17 echo "Modifying ${MAIN_CONTROL_DICT} to enable allowsystemoperations" # Clean up on termination and on Ctrl-C 20 trap mv ${MAIN_CONTROL_DICT}.$$ ${MAIN_CONTROL_DICT} 2>/dev/null; exit 0 \ 21 EXIT TERM INT 22 cp ${MAIN_CONTROL_DICT} ${MAIN_CONTROL_DICT}.$$ echo "Enabling allowsystemoperations in ${MAIN_CONTROL_DICT}." sed \ 27 -e s/"\(allowsystemoperations[ \t]*\)\([0-9]\);"/"\1 1;"/g \ 28 ${MAIN_CONTROL_DICT}.$$ > ${MAIN_CONTROL_DICT} 29 fi runapplication blockmesh 32 runapplication snappyhexmesh -overwrite sed -i s/_exportedfromblender-2.66(sub1)//./constant/polymesh/boundary pyfoamchangeboundarytype.py. walls wall runapplication potentialfoam -nofunctionobjects -writep 39 runapplication $application # end-of-file 198

219 B.4. Konguration des OpenFOAM Werkzeugs B.4.3. Das Shellskript zum Bereinigen des Berechnungsverzeichnisses Allclean 1 #!/bin/sh 2 cd ${0%/*} exit 1 # run from this directory 3 4 # Source tutorial clean functions 5. $WM_PROJECT_DIR/bin/tools/CleanFunctions 6 7 rm -rf 0 > /dev/null 2>&1 8 9 cleancase # end-of-file 199

220 Anhang B. Numerische Verikation B.4.4. Die Allgemeine Steuerdatei der Berechnung controldict 1 /* *- C++ -* *\ 2 ========= 3 \\ / F ield OpenFOAM: The Open Source CFD Toolbox 4 \\ / O peration Version: \\ / A nd Web: 6 \\/ M anipulation 7 \* */ 8 FoamFile 9 { 10 version 2.0; 11 format ascii; 12 class dictionary; 13 location "system"; 14 object controldict; 15 } 16 // * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * // application simplefoam; startfrom starttime; starttime 0; stopat endtime; endtime 5000; deltat 1.0; writecontrol timestep; writeinterval 10; purgewrite 5; writeformat ascii; writeprecision 6; writecompression uncompressed; timeformat general; timeprecision 6; runtimemodifiable true; allowsystemoperations 1; // ************************************************************************* // libs ( 200

221 B.4. Konguration des OpenFOAM Werkzeugs 54 "libopenfoam.so" 55 "libsimplefunctionobjects.so" 56 ) ; functions 59 ( 60 ); 201

222 Anhang B. Numerische Verikation B.4.5. Die Denitionsdatei des Turbulenzmodells RASProperties 1 /* *- C++ -* *\ 2 ========= 3 \\ / F ield OpenFOAM: The Open Source CFD Toolbox 4 \\ / O peration Version: \\ / A nd Web: 6 \\/ M anipulation 7 \* */ 8 FoamFile 9 { 10 version 2.0; 11 format ascii; 12 class dictionary; 13 object RASProperties; 14 } 15 // * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * // RASModel komegasst; turbulence on; printcoeffs on; // ************************************************************************* // 202

223 B.4. Konguration des OpenFOAM Werkzeugs B.4.6. Die Denitionsdatei der Fluideigenschaften transportproperties 1 /* *- C++ -* *\ 2 ========= 3 \\ / F ield OpenFOAM: The Open Source CFD Toolbox 4 \\ / O peration Version: \\ / A nd Web: 6 \\/ M anipulation 7 \* */ 8 FoamFile 9 { 10 version 2.0; 11 format ascii; 12 class dictionary; 13 object transportproperties; 14 } 15 // * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * // transportmodel Newtonian; #include "../../include/initialconditions" nu nu [ ] $viscosity; // ************************************************************************* // 203

224 Anhang B. Numerische Verikation B.4.7. Die Denitionsdatei der Strömungsgeschwindigkeiten U 1 /* *- C++ -* *\ 2 ========= 3 \\ / F ield OpenFOAM: The Open Source CFD Toolbox 4 \\ / O peration Version: \\ / A nd Web: 6 \\/ M anipulation 7 \* */ 8 FoamFile 9 { 10 version 2.0; 11 format ascii; 12 class volvectorfield; 13 location "0"; 14 object U; 15 } 16 // * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * // #include "../../include/initialconditions" dimensions [ ]; internalfield uniform $flowvelocity; boundaryfield 25 { 26 "Inlet_.*" 27 { 28 type fixedvalue; 29 value $internalfield; 30 } "Outlet_.*" 33 { 34 type zerogradient; 35 } walls 38 { 39 type fixedvalue; 40 value uniform (0 0 0); 41 } include "../../include/defaultfaces" 44 } // ************************************************************************* // 204

225 B.4. Konguration des OpenFOAM Werkzeugs B.4.8. Die Denitionsdatei der Druckskalare p 1 /* *- C++ -* *\ 2 ========= 3 \\ / F ield OpenFOAM: The Open Source CFD Toolbox 4 \\ / O peration Version: \\ / A nd Web: 6 \\/ M anipulation 7 \* */ 8 FoamFile 9 { 10 version 2.0; 11 format ascii; 12 class volscalarfield; 13 object p; 14 } 15 // * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * // #include "../../include/initialconditions" dimensions [ ]; internalfield uniform $pressure; boundaryfield 24 { 25 "Inlet_.*" 26 { 27 type zerogradient; 28 } "Outlet_.*" 31 { 32 type fixedvalue; 33 value $internalfield; 34 } walls 37 { 38 type zerogradient; 39 } include "../../include/defaultfaces" 42 } // ************************************************************************* // 205

226 Anhang B. Numerische Verikation B.4.9. Die Denitionsdatei der kinetischen Turbulenzenergie k 1 /* *- C++ -* *\ 2 ========= 3 \\ / F ield OpenFOAM: The Open Source CFD Toolbox 4 \\ / O peration Version: \\ / A nd Web: 6 \\/ M anipulation 7 \* */ 8 FoamFile 9 { 10 version 2.0; 11 format ascii; 12 class volscalarfield; 13 object k; 14 } 15 // * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * // #include "../../include/initialconditions" dimensions [ ]; internalfield uniform $turbulentk; boundaryfield 24 { 25 "Inlet_.*" 26 { 27 type fixedvalue; 28 value $internalfield; 29 } "Outlet_.*" 32 { 33 type inletoutlet; 34 inletvalue $internalfield; 35 value $internalfield; 36 } walls 39 { 40 type kqrwallfunction; 41 value $internalfield; 42 } include "../../include/defaultfaces" 45 } // ************************************************************************* // 206

227 B.4. Konguration des OpenFOAM Werkzeugs B Die Denitionsdatei der spezischen Turbulenzdissipationsrate omega 1 /* *- C++ -* *\ 2 ========= 3 \\ / F ield OpenFOAM: The Open Source CFD Toolbox 4 \\ / O peration Version: \\ / A nd Web: 6 \\/ M anipulation 7 \* */ 8 FoamFile 9 { 10 version 2.0; 11 format ascii; 12 class volscalarfield; 13 object omega; 14 } 15 // * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * // #include "../../include/initialconditions" dimensions [ ]; internalfield uniform $turbulentomega; boundaryfield 24 { 25 "Inlet_.*" 26 { 27 type fixedvalue; 28 value $internalfield; 29 } "Outlet_.*" 32 { 33 type inletoutlet; 34 inletvalue $internalfield; 35 value $internalfield; 36 } walls 39 { 40 type omegawallfunction; 41 value $internalfield; 42 } include "../../include/defaultfaces" 45 } // ************************************************************************* // 207

228 Anhang B. Numerische Verikation B Die Denitionsdatei der modizierten turbulenten Viskosität nut 1 /* *- C++ -* *\ 2 ========= 3 \\ / F ield OpenFOAM: The Open Source CFD Toolbox 4 \\ / O peration Version: \\ / A nd Web: 6 \\/ M anipulation 7 \* */ 8 FoamFile 9 { 10 version 2.0; 11 format ascii; 12 class volscalarfield; 13 location "0"; 14 object nut; 15 } 16 // * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * // #include "../../include/initialconditions" dimensions [ ]; internalfield uniform $nutilda; boundaryfield 25 { 26 "Inlet_.*" 27 { 28 type calculated; 29 value $internalfield; 30 } "Outlet_.*" 33 { 34 type calculated; 35 value $internalfield; 36 } walls 39 { 40 type nutkwallfunction; 41 value uniform 0; 42 } include "../../include/defaultfaces" 45 } // ************************************************************************* // 208

229 B.4. Konguration des OpenFOAM Werkzeugs B Die Kongurationsdatei der Lösungsalgorithmen fvsolution 1 /* *- C++ -* *\ 2 ========= 3 \\ / F ield OpenFOAM: The Open Source CFD Toolbox 4 \\ / O peration Version: \\ / A nd Web: 6 \\/ M anipulation 7 \* */ 8 FoamFile 9 { 10 version 2.0; 11 format ascii; 12 class dictionary; 13 location "system"; 14 object fvsolution; 15 } 16 // * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * // solvers 19 { 20 p 21 { 22 solver GAMG; 23 smoother GaussSeidel; 24 cacheagglomeration true; 25 ncellsincoarsestlevel 10; 26 agglomerator faceareapair; 27 mergelevels 1; tolerance 1e-06; 30 reltol 0.05; 31 } pfinal 34 { 35 solver GAMG; 36 smoother GaussSeidel; 37 cacheagglomeration true; 38 ncellsincoarsestlevel 10; 39 agglomerator faceareapair; 40 mergelevels 1; tolerance 1e-06; 43 reltol 0; 44 } "(U k epsilon omega)" 47 { 48 solver smoothsolver; 49 smoother GaussSeidel; 50 tolerance 1e-05; 51 reltol 0.1; 52 }

230 Anhang B. Numerische Verikation 54 "(U k epsilon omega)final" 55 { 56 solver PBiCG; 57 preconditioner DILU; tolerance 1e-05; 60 reltol 0; 61 } 62 } PIMPLE 65 { 66 noutercorrectors 4; 67 ncorrectors 1; 68 nnonorthogonalcorrectors 0; 69 prefcell 0; 70 prefvalue 0; 71 } SIMPLE 74 { 75 nnonorthogonalcorrectors 0; 76 residualcontrol 77 { 78 p 1e-2; 79 U 1e-3; 80 "(k epsilon omega)" 1e-3; 81 } 82 } potentialflow 85 { 86 nnonorthogonalcorrectors 10; 87 } relaxationfactors 90 { 91 fields 92 { 93 p 0.3; 94 } 95 equations 96 { 97 U 0.7; 98 k 0.7; 99 "epsilon.*" 0.7; 100 "omega.*" 0.8; 101 } 102 } cache 105 { 106 grad(u); 107 } // ************************************************************************* // 210

231 B.4. Konguration des OpenFOAM Werkzeugs B Die Kongurationsdatei der Interpolationsschemata fvschemes 1 /* *- C++ -* *\ 2 ========= 3 \\ / F ield OpenFOAM: The Open Source CFD Toolbox 4 \\ / O peration Version: \\ / A nd Web: 6 \\/ M anipulation 7 \* */ 8 FoamFile 9 { 10 version 2.0; 11 format ascii; 12 class dictionary; 13 location "system"; 14 object fvschemes; 15 } 16 // * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * // ddtschemes 19 { 20 default steadystate; 21 } gradschemes 24 { 25 default Gauss linear; 26 grad(p) Gauss linear; 27 grad(u) Gauss linear; 28 } divschemes 31 { 32 // default none; 33 default Gauss linear Upwind celllimited Gauss linear 1; 34 div(phi,u) Gauss limitedlinearv 1; 35 div(phi,k) Gauss limitedlinear 1; 36 div(phi,epsilon) Gauss limitedlinear 1; 37 div(phi,r) Gauss limitedlinear 1; 38 div(r) Gauss linear; 39 div(phi,nutilda) Gauss limitedlinear 1; 40 div((nueff*dev(t(grad(u))))) Gauss linear; 41 } laplacianschemes 44 { 45 // default none; 46 default Gauss linear corrected; 47 laplacian(nueff,u) Gauss linear corrected; 48 laplacian((1 A(U)),p) Gauss linear corrected; 49 laplacian(dkeff,k) Gauss linear corrected; 50 laplacian(depsiloneff,epsilon) Gauss linear corrected; 51 laplacian(dreff,r) Gauss linear corrected; 52 laplacian(dnutildaeff,nutilda) Gauss linear corrected; 53 } 211

232 Anhang B. Numerische Verikation interpolationschemes 56 { 57 default linear; 58 interpolate(u) linear; 59 } sngradschemes 62 { 63 default corrected; 64 } fluxrequired 67 { 68 default no; 69 p ; 70 } // ************************************************************************* // 212

233 B.5. Weitere Anlagen zur numerischen Verikation B.5. Weitere Anlagen zur numerischen Verikation B.5.1. Technische Zeichungen der Versuchsreihe 213

234 Anhang B. Numerische Verikation 2000 Status Änderungen DATUM Name 4000 Gezeichnet Kontrolliert Norm DATUM Name Grasemann SingleTube V1 V1 1 A4 214

235 B.5. Weitere Anlagen zur numerischen Verikation Gezeichnet DATUM Name Karsten Grasemann Kontrolliert Norm SingleTubeV2 Status Änderungen DATUM Name 1 A

236 150 (1000) 500 Anhang B. Numerische Verikation 1750 (2000) (4000) Gezeichnet Kontrolliert Norm Status Änderungen DATUM Name DATUM Name Grasemann 1750 SingleTube V3 V3 1 A4 R R

237 150 B.5. Weitere Anlagen zur numerischen Verikation 1500 Status Änderungen DATUM Name Gezeichnet Kontrolliert Norm DATUM Name Grasemann 1500 SingleTube V4 V4 1 A4 R R

238 Anhang B. Numerische Verikation Durch Verfahren erstellter Splineverlauf State Changes Date Name Drawn Checked Standard Date Name Grasemann 1000 SingleTube V5 V5 1 A4 218

239 B.5. Weitere Anlagen zur numerischen Verikation Status Änderungen DATUM Name Gezeichnet Kontrolliert Norm DATUM Name Karsten Grasemann TubeSystemV1 1 A4 219

240 Anhang B. Numerische Verikation Status Änderungen DATUM Name Gezeichnet Kontrolliert Norm Nicht bemaßte Winkelstücke 250x45 DATUM Name Karsten Grasemann TubeSystemV2 1 A4 220

241 B.5. Weitere Anlagen zur numerischen Verikation Status Änderungen DATUM Name Gezeichnet Kontrolliert Norm Nicht bemaßte Rohrkrümmer R=250 DATUM Name Karsten Grasemann TubeSystemV3 1 A4 221

242 Anhang B. Numerische Verikation Gezeichnet Kontrolliert Norm Status Änderungen DATUM Name Nicht bemaßte Rohrbögen R=500 DATUM Name Karsten Grasemann TubeSystemV4 1 A4 222

243 B.5. Weitere Anlagen zur numerischen Verikation Gezeichnet DATUM Name Karsten Grasemann Kontrolliert Norm TubeSystemV6 Status Änderungen DATUM Name 1 A4 223

244 Anhang B. Numerische Verikation B.5.2. Detaillierte Ergebnisdarstellungen der Versuchsreihe 224

245 B.5. Weitere Anlagen zur numerischen Verikation Geschwindigkeitsbeträge - Versuch V1 225

246 Anhang B. Numerische Verikation Druckverteilung - Versuch V1 226

247 B.5. Weitere Anlagen zur numerischen Verikation Isobaren - Versuch V1 227

248 Anhang B. Numerische Verikation Geschwindigkeitsbeträge - Versuch V2 228

249 B.5. Weitere Anlagen zur numerischen Verikation Druckverteilung - Versuch V2 229

250 Anhang B. Numerische Verikation Isobaren - Versuch V2 230

251 B.5. Weitere Anlagen zur numerischen Verikation Geschwindigkeitsbeträge - Versuch V3 231

252 Anhang B. Numerische Verikation Druckverteilung - Versuch V3 232

253 B.5. Weitere Anlagen zur numerischen Verikation Isobaren - Versuch V3 233

254 Anhang B. Numerische Verikation Geschwindigkeitsbeträge - Versuch V4 234

255 B.5. Weitere Anlagen zur numerischen Verikation Druckverteilung - Versuch V4 235

256 Anhang B. Numerische Verikation Isobaren - Versuch V4 236

257 B.5. Weitere Anlagen zur numerischen Verikation Geschwindigkeitsbeträge - Versuch V5 237

258 Anhang B. Numerische Verikation Druckverteilung - Versuch V5 238

259 B.5. Weitere Anlagen zur numerischen Verikation Isobaren - Versuch V5 239

260 Anhang B. Numerische Verikation Strömungsprol - Versuch TS1 240

261 B.5. Weitere Anlagen zur numerischen Verikation Druckverteilung - Versuch TS1 241

262 Anhang B. Numerische Verikation Isobaren - Versuch TS1 242

263 B.5. Weitere Anlagen zur numerischen Verikation Strömungsprol - Versuch TS2 243

264 Anhang B. Numerische Verikation Druckverteilung - Versuch TS2 244

265 B.5. Weitere Anlagen zur numerischen Verikation Isobaren - Versuch TS2 245

266 Anhang B. Numerische Verikation Strömungsprol - Versuch TS3 246

267 B.5. Weitere Anlagen zur numerischen Verikation Druckverteilung - Versuch TS3 247

268 Anhang B. Numerische Verikation Isobaren - Versuch TS3 248

269 B.5. Weitere Anlagen zur numerischen Verikation Strömungsprol - Versuch TS4 249

270 Anhang B. Numerische Verikation Druckverteilung - Versuch TS4 250

271 B.5. Weitere Anlagen zur numerischen Verikation Isobaren - Versuch TS4 251

272 Anhang B. Numerische Verikation Strömungsprol - Versuch TS5 252

273 B.5. Weitere Anlagen zur numerischen Verikation Druckverteilung - Versuch TS5 253

274 Anhang B. Numerische Verikation Isobaren - Versuch TS5 254

275 B.5. Weitere Anlagen zur numerischen Verikation B.5.3. Detaillierte Ergebnisdarstellungen der numerischen Bewertung einer realen Anlage Modell eines Standardentwurfs einer realen Anlage 255

276 Anhang B. Numerische Verikation Modell eines optimierten Entwurfs einer realen Anlage 256

277 B.5. Weitere Anlagen zur numerischen Verikation Schnittlage der Schnitte 1 bis 5 im Modell eines Standardentwurfs einer realen Anlage 257

278 Anhang B. Numerische Verikation Schnittlage des Schnittes 6 im Modell eines Standardentwurfs einer realen Anlage 258

279 B.5. Weitere Anlagen zur numerischen Verikation Druckverteilung und Isobaren im Schnitt 6 des Standardentwurfs im Modell eines Standardentwurfs einer realen Anlage 259

280 Anhang B. Numerische Verikation Druckverteilung und Strömungsprol im Schnitt 6 des Standardentwurfs im Modell eines Standardentwurfs einer realen Anlage 260

281 B.5. Weitere Anlagen zur numerischen Verikation Detailansicht der Geschwindigkeitsmagnituden und des Strömungsprols im Schnitt 6 des Standardentwurfs einer realen Anlage 261

282 Anhang B. Numerische Verikation Schnittlage der Schnitte 1 bis 5 im optimierten Entwurf einer realen Anlage 262

283 B.5. Weitere Anlagen zur numerischen Verikation Detailansicht der Druckverteilung und Isobaren im Schnitt 1 des optimierten Entwurfs 263

284 Anhang B. Numerische Verikation Detailansicht der Geschwindigkeitsvektoren im Schnitt 1 des optimierten Entwurfs 264

285 B.5. Weitere Anlagen zur numerischen Verikation Ansicht des Strömungsprols in der Verzweigung des optimierten Entwurfs 265