Ein- und Mehrphasenströmungen

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1 Ein- und Mehrphasenströmungen Vorlesung im WS 2006/2007 von H. Steinrück nach Unterlagen von Prof. Wilhelm Schneider, der diese Vorlesung von ca entwickelt und abgehalten hat. Danksagung: Ich möchte mich bei Prof. Schneider für die Unterstützung bei der Vorbereitung, die immer spannenden Diskussionen über Grundlagenfragen und die Überlassung seiner Unterlagen herzlich bedanken.- H. St. Technische Universität Wien Institut für Strömunsmechanik und Wärmeübertragung

2 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung und Überblick Was ist Strömungslehre? Betrachtungsweisen Teilgebiete der Strömungslehre 4 2 Nicht - Newtonsche Flüssigkeiten Viskose Flüssigkeiten spezielle Fließgesetze Normalspannungseffekte Viskoelastische Stoffe Flüssigkeiten mit Gedächtnis 27 3 Einfache Scherströmungen Laminare Couette-Strömung Laminare Rohrströmung Newtonsche Flüssigkeit Ostwald-de Waele-Flüssigkeit Bingham Flüssigkeit Kapillar-Viskosimeter Filmströmungen Strömungsformen Laminare Filmströmung Turbulente Filmströmung (Ergebnisse) 47 4 Bewegung von festen Teilchen, Tropfen und Blasen 50

3 4.1 Grundgleichungen Diff.-Gleichungen für inkompressible Strömungen Randbedingungen Mechanische Ähnlichkeit Hydrostatischer Auftrieb Schleichende Strömung Re Feste Kugel Kugelförmige Tropfen und Blasen Einfluss adsorbierter (oberflächenaktiver) Stoffe Strömungen bei größeren Reynolds-Zahlen Euler-Gleichungen Drehungsfreiheit und Helmholtzscher Wirbelsatz Beispiele von Potentialströmungen Vergleich Potentialströmung mit realer Strömung um feste Körper, Grenzschicht und Totwasser Tropfenzerfall Vergleich von Potentialströmung mit realer Strömung; Widerstandsberechnung aus Dissipation Stabilität der Blasenbewegung, Abweichungen von der Kugelgestalt, Schirmblasen und Blasen im Rohr Kavitationsblasen Zerfall von Flüssigkeitsstrahlen in Gasen Zweiphasenströmungen Zweiphasenströmungen Zweiphasenströmungen Zweiphasenströmungen 126

4 5.1 Strömungsformen Strömungsformen Strömungsformen Homogene Gleichgewichtsströmungen Homogene Gleichgewichtsströmungen Homogene Gleichgewichtsströmungen Homogene Gleichgewichtsströmungen Homogene Gleichgewichtsströmungen Zustandsgrößen des Gemisches Zustandsgrößen des Gemisches Zustandsgrößen des Gemisches Zustandsgrößen des Gemisches Schallgeschwindigkeit Schallgeschwindigkeit Schallgeschwindigkeit Schallgeschwindigkeit Schallgeschwindigkeit Viskosität von Suspensionen Viskosität von Suspensionen Viskosität von Suspensionen Viskosität von Suspensionen Eindimensionale homogene Strömung Eindimensionale homogene Strömung Eindimensionale homogene Strömung Eindimensionale homogene Strömung 141

5 5.3 Eindimensionale homogene Strömung Reibungsfreie Düsenströmung Reibungsfreie Düsenströmung Reibungsfreie Düsenströmung Reibungsfreie Düsenströmung Reibungsfreie Düsenströmung Rohrströmung mit Reibung Rohrströmung mit Reibung Rohrströmung mit Reibung Rohrströmung mit Reibung Rohrströmung mit Reibung Reibungsbeiwert λ R Reibungsbeiwert λ R Reibungsbeiwert λ R Reibungsbeiwert λ R Reibungsbeiwert λ R Widerstandsverringerung durch Additiva Widerstandsverringerung durch Additiva Widerstandsverringerung durch Additiva Widerstandsverringerung durch Additiva Widerstandsverringerung durch Additiva Zweiphasenströmungen mit Relativgeschwindigkeit Allgemeine Beziehungen Zweiphasenströmungen mit Relativgeschwindigkeit Allgemeine Beziehungen 158

6 5.4 Zweiphasenströmungen mit Relativgeschwindigkeit Allgemeine Beziehungen Zweiphasenströmungen mit Relativgeschwindigkeit Allgemeine Beziehungen Driftfluss Driftfluss Driftfluss Driftfluss Stationäre Strömungszustände, Wirbelschicht Stationäre Strömungszustände, Wirbelschicht Stationäre Strömungszustände, Wirbelschicht Stationäre Strömungszustände, Wirbelschicht Stationäre Strömungszustände, Wirbelschicht Druckverluste Druckverluste Druckverluste Sedimentation, kinematische Wellen Sedimentation, kinematische Wellen Sedimentation, kinematische Wellen Sedimentation, kinematische Wellen Sedimentation, kinematische Wellen 171

7 1 1 Einleitung und Überblick 1.1 Was ist Strömungslehre? Strömungslehre = Mechanik (insbes. Dynamik) der Flüssigkeiten und Gase (Fluid) Strömungsmechanik Bei Beschränkung auf Flüssigkeiten (konst. Dichte): Hydromechanik, Hydrodynamik Bei Berücksichtigung der Kompressibilität der Gase: Gasdynamik

8 2 1.2 Betrachtungsweisen Lagrange: Betrachtung der Zustandsänderung eines bewegten Masseteilchens. Otrskoordinate bezeichnet bewegtes Masseteilchen. (Bei Festkörpermechanik üblich, aber nicht bei Strömungsmechanik) Euler: Die Zustände der Flüssigkeit des strömenden Fluid werden in Abhängigkeit von Ort und Zeit beschrieben. Ortskoordinaten bezeichnen den Ort eines laborfesten Beobachters. U y Stromlinien x Koordinatensystem mit um- bzw. durchströmten Körper verbunden. (Bsp. gleichförmig fliegendes Flugzeug)

9 3 Strömung wird beschrieben durch Geschwindigkeitsvektor u = (u, v, w) Druck p Temperatur T als Funktion des Ortes (x, y, z) und eventuell der Zeit t. Stromlinien: Linien, deren Tangenten in jedem Punkt mit der Richtung des Geschwindigkeitsvektors übereinstimmen. Falls Strömung unabhängig von Zeit: stationäre Strömung falls Strömung abhängig von Zeit: instationäre Strömung

10 1.3 Teilgebiete der Strömungslehre Luft- und Raumfahrt Verkehrstechnik (Autos, Züge, Tunnel) Schiffstechnik Ozeanographie (Meeresstr., Oberflächenwellen) Astrophysik, Geophysik, Meteorologie Strömungsmaschinen (Dampf-, Gas- und Wasserturbinen, Pumpen) Motorenbau (incl. Vorgänge im Zylinder und Auspuffleitung) Bauwerksaerodynamik Heizungs- Klima- und Lüftungstechnik chemische Verfahrenstechnik (Str. mit chem. Reaktionen, Mehrphasenstr.) Elektrochemie (Str. von Elektrolyten) Metallurgie (Str. von Metallschmelzen) Glastechnologie (Glasschmelzen) Wärme- und Stoffübergang Str. in elektrischen Maschinen (zwischen Rotor und Stator) Magnetohydrodynamik 4

11 5 2 Nicht - Newtonsche Flüssigkeiten Vereinfachung: Einfache reine Scherströmungen u = u(y), v = 0. y u=u(y) v=0 x Couette Strömung voll ausgebildete Rohrstr. Folge der inneren Reibung: Schubspannung τ im Inneren des Fluids.

12 2.1 Viskose Flüssigkeiten Schubspannung τ hängt von der Schergeschwindigkeit ab! ( ) du Reibungsgesetz des Fluids, Fließgesetz: τ = f dy f ist eine monoton wachsende Funktion (folgt aus 2.HS der TD) spezielle Fließgesetze Newtonscher Schubspannungsansatz: τ = µ du dy (1) 6 µ... (dynamische) Viskosität (Zähigkeit) [µ] = Kraft Zeit/Fläche, Einheit = Pa.s, µ unabhängig von du/dy und t! Viele Gase und Flüssigkeiten folgen dem Newtonschen Reibungsgesetz, aber nicht alle.

13 7 Eigenschaften der dynamischen Viskosität - µ ist praktisch unabhängig vom Druck, ausgenommen in der Nähe des kritischen Punktes und bei sehr hohen Temperaturen. - µ ändert sich i.a. mit der Temperatur: Gase steigt mit wachsendem T, Flüssigkeiten sinkt mit wachsendem T. - kinematische Viskosität ν = µ ρ (2) [ν] = Fläche/Zeit, Einheit: m 2 /s.

14 8 Temperaturabhängigkeit von µ: Flüssigkeiten: Bei Scherung müssen vor allem intermolekulare Kräfte überwunden werden. T steigt... ρ sinkt (Ausnahme Wasser zw. 0 C und 4 C)...Molekülabstand steigt... Anziehungskraft sinkt. T steigt... Amplitude der thermischen Bewegung steigt... Häufigkeit von Platzwechseln steigt. beide Effekte bewirken: µ sinkt, wenn T steigt. Gase: In Gasen entsteht die Schubspannung durch Impulsaustausch (quer zur Strömungsrichtung) als Folge der molekularen Bewegung und der Stöße zwischen den Molekülen: T steigt...kinetische Energie der Moleküle steigt...µ steigt

15 9 Potenzansatz von Ostwald und de Waele m, n = const, du τ = m dy n 1 du dy (3) - n = 1 Newtonsche Fluid - n < 1 strukturviskoses Fluid - n > 1 dilatantes Fluid Ostwald - de Waele Ansatz ist unrealistisch für du/dy 0 bzw. τ 0..

16 10 Ansatz von Prandtl und Eyring τ = A.areasinh ( ) 1 du B dy A, B = const (4) Falls 1 B du dy 1: τ = A 1 B du dy 1 ( 1 6 B ) 3 du +... dy Prandl - Eyring - Ansatz für du 0 brauchbar, µ = A/B. Beschreibt dy strukturviskose Flüssigkeiten, Theoretisch mit Molekulardynamik begründbar.

17 11 Ansatz von Bingham τ = ±τ 0 + µ B du dy Vorzeichen von τ 0 entsprechend Vorzeichen von du dy. τ 0, µ B = const (5)

18 τ τ 0 Bingham Fluid strukturviskoses Fluid Newtonsches Fluid dilatante Flüssigkeit differentielle Viskosität scheinbare Viskosität γ = du dy µ d = dτ d γ µ s = τ γ 12 Strukturviskose Flüssigkeiten: Langkettige Moleküle; im Ruhezustand verknäult, mit zunehmender Schubspannung entflochten scheinbare und differentielle Viskosität nimmt ab. Dilatante Flüssigkeiten: Suspension fester Teilchen in Flüssigkeiten bei hoher Teilchenkonzentration. Bingham Medium: Fließspannung (Anfangsschubspannung) τ 0. damit Medium zu fließen beginnt. Zahnpasta, Farben und Lacke (damit sie nicht verlaufen)

19 2.2 Normalspannungseffekte 13 σ yy p τ zy τ xy τ yx z y x τ yz τ xz σ zz p τ zx σ xx p Für reine Scherströmung gilt (Symmetrie bezüglich z bzw. x-richtung) τ yz = τ zy = 0, bzw. τ xz = τ zx = 0 Normalspannungseffekt, wenn σ xx, σ yy, σ zz 0.

20 14 σ xx σ yy = ϕ( γ) (= 0 für New. Fl.) σ yy σ zz = ψ( γ) (= 0 für New. Fl.) τ xy = τ yx = f( γ) (= µ γ für New. Fl.) Beispiele: Weissenbergeffekt Strangaufweitung

21 15 Weissenbergeffekt A B A B Drucksensor Drucksensor Newtonsche Fl. p <p A B Polymer Anzeige A > Anzeige B

22 16 Weissenberg-Effekt Quelle Brodkey (1967)

23 17 Weissenberg-Effekt Quelle: Bird (1977)

24 e r e θ θ dθ/2 σ rr p eθ θ+dθ/2 Impulsbilanz für ein Kontrollvolumen Annahme: v r = 0, v θ = v θ (r), v z = 0, S Kraft pro Volumeneinheit 18 ρv 2 θ σ θθ p τ rθ dθ dr (σ θθ p)dθ r dθ σ rr p r ρv 2 θ τ rθ σ θθ p S rdrdθ [(r + dr)(σ rr p) r(σ rr p)]dθ (σ θθ p)dθdr + [τ rθ θ+dθ/2 τ rθ θ dθ/2 ]dr S = p r + 1 [ r r (rσ rr) σ θθ + τ ] rθ θ Nettoimpulsstrom in r-richtung dθ ( ρv 2 θ e θ θ dθ/2 ρv 2 θ e θ θ+dθ/2 ) er dr 1 r ρv2 θ rdr dθ

25 Weissenbergeffekt 19 Impulsbilanz in radialer Richtung ρvθ 2 0 = p ( 1 d + }{{} r }{{} r r dr (rσ rr) σ ) θθ r } {{ } Divergenz der r-komp. Druckgrad. Spannungen des Impulsstromes Zentrifugalbeschl. Umformung ergibt d dr (p σ rr)) = ρv2 θ r σ θθ σ rr r Drucksensoren bei A bzw. B zeigen p σ rr an! Newtonsche Fl: p A < p B da ρv 2 θ /r > 0 Polymer: Falls σ θθ σ rr hinreichend groß und positiv: p A σ rr,a > p B σ rr,b

26 20 Kräftegleichgewicht in z-richtung 0 = p z + 1 d r dr (rτ rz) + ρg Annahme unendlich langer Zylinder, keine Randeinflüsse: τ rz = 0. Somit p(r, z) = ρ g(z z 0 ) + p(r, z 0 ) = ( r = ρ g(z z 0 )+σ rr (r)+ ρ v2 θ r 0 r σ ) θθ σ rr dr+p(r 0, z 0 ) σ rr (r 0 ) r

27 21 Gesucht Flächen mit konstanter Gesamtspannung in z Richtung. const = p(r, z h (r)) σ zz (r) z h (r) = z [ r vθ 2 const ρ dr p(r ρg r 0 r 0, z 0 ) (σ rr (r) σ zz (r)) + r r 0 σ θθ σ rr r dr ] + σ rr (z 0 )

28 22 Strahlaufweitung Quelle: Brodkey (1967)

29 23 Strahlaufweitung Quelle: Schowalter (1978)

30 Viskoelastische Stoffe Weisen neben Eigenschaften einer Flüssigkeit (Fließen unter Scherspannung) auch elastische Eigenschaften eines Festkörpers auf. Beim Beenden der Scherbeanspruchung wird eine Teil der durch die Scherung verursachten Deformation rückgängig gemacht. Maxwellsche Flüssigkeit: τ + λ dτ dt = µ γ (µ, λ = const), [λ] = Zeit, Relaxationszeit hüpfender Kitt: λ dτ τ: langsame Spannungsänderung: Fließen dt τ: schnelle Spannungsänderung: wie elastischer Festkörper λ dτ dt

31 25 Zurückfedern Quelle: Brodkey (1967)

32 26 Selbstausguß Self Syphonig hoch polymerer Lösungen a) b) a) Zum Starten des Vorganges wird Rohr eingetaucht, sodass Strömung startet, und dann herausgezogen. Bei Newtonscher Fl. reißt Strömung ab. b) Zum Starten wird Gefäß geneigt und dann aufgerichtet. Bei Newtonschem Fluid kommt des Ausfließen zum Stillstand.

33 Flüssigkeiten mit Gedächtnis τ(t) = F t =0( γ(t t )) Spannung τ hängt nicht nur vom momentanen Wert von γ, sondern auch von γ zu früheren Zeitpunkten. τ γ rheopexe Fl. Newtonsche Fl. thixotrope Fl. t t Umrühren der Farbe: scheinnbare Viskosität sinkt: thixotrop. In Wasser suspendierter Gips wird durch Umrühren schneller fest (rheopex).

34 Beispiel: 28 τ(t) = µ λ 0 e t /λ γ(t t ) dt µ, λ = const Subsititution s = t t τ(t) = µ λ t e (t s)/λ γ(s) ds dτ dt = µ λ γ(t) 1 t e (t s)/λ γ(s) ds λ } {{ } τ/µ λ dτ dt = µ γ τ Maxwell-Flüssigkeit

35 29 3 Einfache Scherströmungen 3.1 Laminare Couette-Strömung u w bewegte Platte y u w b τ τ gedachter Schnitt u = u(y), v = 0 u ruhende Platte 0 Fluid haftet als Folge der inneren Reibung an Wand. (Braucht bei reibungsfreiem Fluid nicht erfüllt zu sein)

36 30 praktische Realisierung der Couette-Stömung: Dünner Spalt zwischen konzentrischen Zylindern, Anwendung: Lagerschmierung (leichte Exzentrizität nötig, damit Lagerkraft aufgenommen werden kann) R nahezu Couette Strömung

37 31 Geschwindigkeitsverteilung in der Couette-Strömung Voraussetzung: kein Druckgefälle, keine Volumenkraft, Flüssigkeitsteilchen bewegen sich mit konstanter Geschwindigkeit. τ 1 p p dy τ 1 = τ 2 = τ = const τ 2

38 32 Zeitunabhängiges Fließgesetz.: τ = f( γ) = const γ = du dy = const = C 1 u = C 1 y + C 2 Haftbedingung y = 0: u = 0 C 2 = 0 y = b: u = u w C 1 = u w /b lineares Geschwindigkeitsprofil u u w = y b

39 3.2 Laminare Rohrströmung Voll ausgebildete Strömung 33 τ y R p p + dp r u 0 τ dx In einiger Entfernung vom Rohreinlauf: Stromlinien gerade und parallel zur Achse, Geschwindigkeit ändert sich nicht in Längsrichtung: u = u(r), v = 0 Flüssigkeit muss gegen hemmende Wirkung der inneren Reibung durch das ruhende Rohr bewegt werden: Druckgefälle in x-richtung erforderlich. Da die Stromlinien gerade sind, und die Schwerkraft keine Rolle spielt: p = p(x).

40 34 Impulssatz für zylindrisches Flüssigkeitselement: Kräftegleichgewicht, da sich die Geschwindigkeit in x-richtung nicht ändert. ( πr [p 2 p + dp )] dx dx 2πrτdx = 0 beide Seiten sind const! 2 r τ dp = }{{} }{{} dx hängt nur von r ab hängt nur von x ab

41 dp dx = const 35 Druck ändert sich linear! p 1 p l p 2 x dp dx = p 2 p 1 l Beachte p 2 p 1 l < 0 folgt τ > 0 = p 1 p 2 l

42 36 Es gilt daher: 2 r τ(r) = const = p 1 p 2 l τ(r) = p 1 p 2 r 2l τ w = p 1 p 2 R 2l (6) τ = r τ w R (7) Geschwindigkeitsverteilung (Haftbedingung u(r) = 0) u = r R du dr }{{} = γ dr = R τ w τw τ γ(τ ) dτ (8)

43 37 Volumenstrom V = A u da = R mit r = R τ w τ erhalten wir 0 u 2πr dr = 2π ur2 V πr = 1 τw 3 τw R 0 } {{ } =0 Haftbed. R r 2 du 0 2 dr dr γ(τ)τ 2 dτ (9)

44 3.2.1 Newtonsche Flüssigkeit Voraussetzung µ = const, γ = τ/µ 38 V πr = 1 1 τw τ 3 dτ = τ w 3 τw 3 µ 0 4µ einsetzen von τ w V = π(p 1 p 2 ) R 4 8µl u = R τ w τw τ Gesetz von Hagen und Poiseuille 1 µ τ dτ = R µτ w ( u = (p 1 p 2 )R 2 4µl } {{ } u max ( τ 2 w 2 τ2 2 ) 1 r2 R 2 mittlere Durchflussgeschw. u m = V A = u max/2 )

45 Ostwald-de Waele-Flüssigkeit u = (τ w/m) 1/n R 1 + 1/n r [ ( ] r 1+1/n (1, R) n=0 n<1 n=1 u mmax u m n >oo = 1 + 3n 1 + n Kolbenstr. Parabolid Kegelstr. τ

46 Bingham Flüssigkeit τ > 0 du dr = τ τ 0 für τ τ 0 > 0 µ B du dr = 0 für τ 0 > τ 0 V = π(p [ 1 p 2 ) R µ B l 3 τ 0 p 1 p 2 l τ w ( ) ] τ0 4 Buckingham-Reiner Glg. mit τ w = R 2 u = (p 1 p 2 )R 2 1 r2 R 2 τ 0 (1 r 2 τ w R ) für R r R τ 0 ( τ w 4µ B l 1 τ ) 2 0 τ 0 = const für r R τ w τ w τ w

47 41 r r τ w u R τ 0 τ konstante Geschwindigkeit in Kernzone (wie fester Körper)

48 Kapillar-Viskosimeter Aus Gleichung (9) ( d dτ w τ 3 w γ(τ w ) = 1 τ 2 w ) V = τ 2 πr 3 w γ ( ) d V τw 3 dτ w πr 3 τw 3 V πr 3 τ w

49 3.3 Filmströmungen 43 Wand Fl. Gas (ruhend) u g (Schwerebeschl.) Volumenstrom pro Breiteneinheit V mittlere Geschwindigkeit u m = V /δ δ y Strömungsformen Experimenteller Befund (Re = u m δ/ν = V /ν): (i) Re < 4 nahezu einfache Scherströmung (ii) 4 < Re < 400: Wellenbewegung (Oberflächenwellen) (iii) Re > 400 turbulente Filmströmung

50 44 Bei Filmen mit welliger Oberfläche (ii) bleibt laminarer Zusammenhang zwischen Mittelwerten von u m und δ nahezu erhalten. Übergang (i), (ii) nicht scharf. Plötzlicher Übergang (ii),(iii) bei Re = Re = 400 kein Übergangsgebiet wie bei Rohrströmung! Re ist keine Stabilitätsgrenze! JFM 2 (1957), 554. Wellengebiet relativ schwierig zu behandeln, Einfluss der Oberflächenspannung.

51 Laminare Filmströmung Wand y δ τ u(y) g R δ o τ w 0 τ y δ δ R Kräftegleichgewicht τ = ρg(δ y)

52 Geschwindigkeitsprofil 46 Voraussetzungen Newtonsche Flüssigkeit, ν = µ/ρ = const Reine, stationäre Schichtenströmung keine Gasströmung entlang Oberfläche, Randbed. τ(δ) = 0 ρ Gas ρ Fl., Haftbedingung an Wand u(0) = 0 Geschwindigkeitsprofil: u(y) = gδ2 ν [ y δ 1 ( ) ] y 2 2 δ Volumenstrom: V = δ 0 u(y)dy = 1 gδ 3 3 ν, u m = V δ = 1 gδ 2 3 ν (10)

53 Turbulente Filmströmung (Ergebnisse) Ergebnis aus asymptotischer Theorie der Turbulenz: Logarithmisches Geschwindigkeitsprofil (gilt mit Ausnahme der viskosen Unterschicht und dünner Schicht in Nähe der freien Oberfläche) u u τ = C 1 ln u τy ν + C 2, C 1 2, 5; C 2 5, 5 aus Exp. mit u τ = τw ρ = gδ

54 48 Mittlere Geschwindigkeit: u max u τ = C 1 ln u τδ ν + C 2 Integration über Querschnitt u max u u τ = C 1 ln δ y u max u m u τ = 1 δ δ 0 u max u 1 dy = C 1 ln y ( ) y u τ 0 δ d = C 1 δ u m = C 1 ln g1/2 δ 3/2 + C 3, mit C 3 = C 2 C 1 3, 0 (11) gδ ν

55 Darstellung mittels Kennzahlen 49 Froudezahl Fr = u2 m gδ (12) (Anm: Manchmal u m / gδ oder gδ/u 2 m als Froudezahl bezeichnet). Ffoude-Zahl beschreibt Schwerkrafteinfluss auf Strömung! log Fr laminar ~log 400 turbulent log Re Fr = C1 ln Re Fr + C 3 (13) Laminare Filmströmung aus (10) Fr = 1 3 Re

56 4 Bewegung von festen Teilchen, Tropfen und Blasen Grundgleichungen Diff.-Gleichungen für inkompressible Strömungen inkompressibel: ρ = const, Voraussetzungen: 1.) v 2 c 2, 2.) hinreichend kleine Temperaturunterschiede, unabhängige Variable: x, y, z, t abhängige Variable: v = (u, v, w), p Kontinuitätsgleichung u x + v y + w z = 0 (14)

57 Bewegungsgleichung für inkompressibles Newtonsches Fluid D v = 1 }{{} Dt ρ p } {{ } Beschl. Druckkraft + ν v } {{ } Reibungskraft mit ν = µ/ρ kinematische Visk. [m 2 /s]. Schreibweisen: + g }{{} Schwerkraft (15) 51 = 2 = 2 x y z 2; Laplace-Operator gradp = p = ( p x, p y, p ) T ; Gradient z D Dt = t + v = t +u x +v y +w z, substantielle Ableitung

58 52 Substantielle Ableitung D v...zeitliche Änderung der Geschwindigkeit, in einem mit dem Dt Flüssigkeitselement mitbewegten Koordinatensystem ( mitbewegter Beobachter ) Bsp: eindimensionale stationäre Düsenströmung, Beobachter bewegt sich in der Zeit dt = dx/u um die Strecke dx = u dt weiter. Er erfährt dabei die Beschleunigung ( ) du = du dt d(x/u) = udu dx = Du Dt B

59 Randbedingungen vollst. Glgssystem: Erhaltungsgesetze + Zustandsgleichungen Randbedingungen feste Wand: Anfangsbedingungen v fest = v fl. Übereinstimmung der Tangentialkomponente v t (Haften) kann nur bei zähen Fl. (reibungsbehafteten Strömungen) gefordert werden, Ausnahme bei hochverdünnten Gasen: Gleiten Übereinsteimmung der Normalkomponente v n: Undurchlässigkeit der Wand

60 Randbed. an Flüssigkeitsoberfläche (Grenzfläche Flüssigkeit/Gas) 54 z Gas R Flüssigkeit, p F p G F(x, y, z, t) = 0 y x kinematische Randbedingung: An der Oberfläche befindliche Flüssigkeitsteilchen bleiben an der Oberfläche. Bahnkurve eines solchen Teilchens: (x(t), y(t), z(t)). Mit dx = u, dy dz = v, = w gilt daher dt dt dt d F(x(t), y(t), z(t), t) = u F dt x + v F y + w F z + F t = 0 (16)

61 55 Dynamische Randbedingungen: Spannungsgleichgewicht an Oberfläche (zu berücksichtigen sind: Druck, Reibungsspannungen, Oberflächenspannung) bei Vernachlässigung der Reibungsnormalspannung Druckdifferenz an Oberfläche gegeben durch ( 1 p G p F = σ RI + 1 ) R II auf F(x, y, z, t) = 0 (17) R I, R II Hauptkrümmungsradien der Oberfläche in (x, y, z). σ p F p G (p G p F )Rdφ Flüssigkeit σ Gas R dφ σ Oberflächenspannung, R Krümmungsradius σ dφ = (p G p F ) R dφ

62 4.2 Mechanische Ähnlichkeit Stoffwerte ρ, µ, oder ν, σ als const angenommen, dimensionslose Größen: x, y, z = x L, y L, z L, t = U L t, v = 1 U v, p = p ρu 2, 56 Referenzgeschw. U, Referenzlänge L, Referenzdruck= doppelter Staudruck ρu 2 Navier-Stokes Gleichungen D v Dt = p + ν UL }{{} 1/Re v + gl U 2 }{{} 1/Fr g (18) mit g = 1 g g.

63 Randbedingungen 57 feste Wände: stationäre RB: (Wand ruhend): v Fl = 0 instationäre RB, z.b. schwingende Wände v Fl = v fest (ωt) = v fest ( ωl U t ) = v fest (Srt ) ω charakteristische Frequenz, Strouhal-Zahl Sr = ωl U (19) freie Oberfläche p G p F = σ ρu 2 L ( 1 R I + 1 ) R II Weber-Zahl We = ρu2 L σ (20)

64 58 Vergleichströmungen Original und Modell, mind. eine Referenzgröße verschieden (z.b. Länge) Original und Modell müssen geometrisch ähnlich sein Die Vergleichsströmungen sind darüber hinaus mechanisch ähnlich (Übereinstimmung der dimensionslosen Variablen in entsprechenden Punkten), wenn die dimensionslosen Kennzahlen Re = UL ν Reynolds-Zahl Fr = U2 gl Sr = ωl U We = ρu2 L σ Froude-Zahl Strouhal-Zahl Weber-Zahl übereinstimmen.

65 59 Nicht immer sind alle Kennzahlen wichtig, We nur bei freier Oberfl. (Blasen, Tropfen), Sr nur bei instationären Randbedingungen, Fr nur, wenn Schwerkraft eine Rolle spielt. Nicht immer sind alle Kennzahlen unabhängig voneinander. z.b. Rieselfilm. U ist nicht gegeben, sondern muss aus dimensionsloser Beziehung der Form Fr = f(re) bestimmt werden. Sr bzw. We spielen dabei keine Rolle Aus Re, Fr, We lässt sich eine weitere Kennzahl (Morton-Zahl) bilden, die nur Stoffeigenschaften enthält: Mo = We3 ρ3 = Re 4 gν4 Fr σ 3 Wasser bei 20 C: Mo = 3,

66 60 Neben den Feldgrößen p und v sind vor allem die Kräfte auf umströmte Körper von Interesse. Auftrieb: normal auf Anströmrichtung (hier nicht behandelt) Widerstand F w : parallel zur Anströmrichtung dimensionsloser Widerstand (Widerstandsbeiwert) c w = F w 1 2 ρu2 L 2 (für Kugel πr 2 ). Aus Ähnlichkeitsgesetz folgt: c w = c w (Re, Fr, Sr, We) Widerstandsbeiwert stimmt bei Modell und Original überein Wenn zwei Flüssigkeiten vorkommen: Weitere Kennzahlen: ρ 1 /ρ 2, µ 1 /µ 2. Wenn Kompressibilität eine Rolle spielt: M = U/c Machzahl

67 61 Beispiel: Schiffskanal Re 1 = Re 2 U 1L 1 ν 1 = U 2L 2 ν 2 daraus folgt Fr 1 = Fr 2 U2 1 gl 1 = U2 2 gl 2 U 2 U 1 = ν 2 ν 1 = U 2L 2 U 1 L 1 = ( ) 1/2 L2 L 1 ( ) 3/2 L2 L 1 Für Modellversuch mit L 2 L 1 wäre Flüssigkeit mit ν 2 ν 1 = ν H2 0 nötig. Die gibt es aber nicht!

68 Hydrostatischer Auftrieb Bewegungsglg für Flüssigkeit D v Dt = 1 gradp + ν v + g ρ Zerlegung des Druckes p = p h + p U mit 1 ρ gradp h = g. Es bleibt D v Dt = 1 ρ gradp U + ν v z x Körper g V U y Flüssigkeit Bewegungsglg. ohne Schwerkraft, p h hydrostatischer Druckanteil zufolge g, p U Druckanteil zufolge Bewegung U 0.

69 63 Von Flüssigkeit auf Körper ausgeübte resultierende Kraft: F = F h + F U F h F U F U F W F A Kraft als Folge von p h Kraft als Folge von p u + Reibungsspannungen = F W + F A parallel U, Widerstand normal zu U, dyn. Auftrieb, lift Archimedessches Prinzip: Körper wird durch Flüssigkeit ersetzt gedacht. Flüssigkeit bleibt in Ruhe, d.h. resultierende Druckkraft auf Oberfläche = -Gewicht. F h = gρ Fl V

70 Schlußfolgerung: 64 Zur Berechnung der Strömung um einen festen Körper, Tropfen, oder Blase gegebener Gestalt wird von der Bewegungsglg. ohne Schwerkraftterm ausgegangen. Der sich daraus ergebende Druck gibt die Abweichung vom hydrostatischen Druck an. (Auf die Gestalt von Blasen und Tropfen kann die Schwerkraft einen wesentlichen Einfluss haben!) Für stationäres Steigen oder Fallen gilt Kräftegleichgewicht: somit gilt mit L 2 ρ V ρ Fl F h + F w + F G = 0 c w ρu 2 2 L2 = g ρ V ρ Fl V Querschnittsfläche Dichte des Körpers, der V ausfüllt Dichte der Flüssigkeit

71 Berechnung der Steig- bzw. Sinkgeschwindigkeit U erfordert Kenntnis von c w = c w (Re, We). dimsionslose Darstellung Fr = U2 gv/l = 2 2 c w ρ v ρ 1 Aufgabe: Steine werden aus einem Boot in einen See versenkt. a) Wie verhält sich der Wasserspiegel des Sees? Wie verhält sich das Boot (der Kiel) gegenüber dem Grund des Sees? 65 1? 2?

72 4.4 Schleichende Strömung Re 1 66 Hier Referenzwert für Druck µu/d = ρu 2 /Re: p = pd µu, Referenzlänge Kugeldurchmesser d = 2R ( Re D ) v = p Dt Re 1 : v = p div v = 0 weglassen von im folgenden. Wegen rotgradp = 0 Elimination von p: rot v = 0

73 Feste Kugel z ϕ θ y r e θ e ϕ e r U R e θ r θ e r ϕ x Kugelkoordinaten Aus Bronstein-Semendjajew (1993) Kap.10: Divergenz in Kugelkoordinaten ( 1 div v = r 2 sin θ r (r2 sin θ v r ) + θ (r sin θ v θ) + ) ϕ (r v ϕ) = 0 Rotation in Kugelkoordinaten v = v r e r + v θ e r + v ϕ e ϕ rot v = 1 [ r sin θ θ (v ϕ sin θ) v ] θ e r + ϕ [ 1 v r + r sin θ ϕ 1 ] (r v ϕ ) e θ + r r + 1 [ (r vθ ) v ] r e ϕ r r θ

74 68 Definiere Stokessche Stromfunktion ψ = ψ(r, θ) und setze v r = 1 ψ r 2 sin θ θ, v θ = 1 ψ r sin θ r, v ϕ = 0. somit ist die Kontinuitätsgleichung erfüllt. Wegen grad ψ = ψ r e r + 1 ψ r θ e θ + 1 ψ r sin θ ϕ e ϕ gilt v gradψ = 0 und daher ist ψ = const eine Stromlinie rot v = 1 r sin θ Lψ e ϕ v = rot rot v = 1 Lψ r sin θ r e θ 1 Lψ r 2 sin θ θ e r

75 69 mit d.h. L 2 ψ = Randbedingungen L = 2 r + sin θ 2 r 2 ( 1 θ sin θ rot v = 1 r sin θ L2 ψ e ϕ, [ 2 r + sin θ 2 r 2 ( 1 θ sin θ ) θ )] 2 ψ = 0 θ Haftbedingung bei r = 1: v r = v θ = 0 bzw. ψ θ = ψ r = 0 Anströmbedingung v r = cos θ, v θ = sin θ ψ 1 2 r2 sin 2 θ, für r

76 Lösungsansatz ψ(r, θ) = r λ sin 2 θ Lr λ sin 2 θ = ((λ 1)λ 2)r λ 2 sin 2 θ L 2 r λ sin 2 θ = ((λ 1)λ 2)((λ 3)(λ 2) 2)r λ 4 sin 2 θ führt auf die Gleichung vierten Grades 70 ((λ 1)λ 2)((λ 3)(λ 2) 2) = 0 mit den Lösungen λ = 1, 1, 2, 4 f(r) = A r 4 + B r 2 + C r + D r Anpassen an die Randbedingungen ergibt ψ (r, θ) = 1 (2(r ) 2 3r + 1 ) sin 2 θ 4 r

77 71 ( ψ(r, θ) = UR2 2 r2 4 R 3 r 2 R + R ) sin 2 θ r v r = U v θ = U ( ( ψ, v r, v θ unabängig von ν R r + 1 R 3 ) cosθ 2 r 3 R r 1 4 R 3 r 3 ψ = const symmetrisch bezgl. θ = π/2 v U ) sin θ bei r = 10R ca 10% Geschwindigkeitsstörung

78 Berechnung des Druckfeldes: 72 Einsetzen in die Bewegungsgleichung: gradp = µ v ergibt gradp = p r e r + 1 p r θ e θ = = µ v = µ r sin θ Lψ r e θ µ r 2 sin θ Lψ θ e r p r = µ Lψ r 2 sin θ θ = 2µ F(r) cosθ r2 p θ = µ Lψ r sin θ r = µf (r) sinθ p = 3µUR cosθ + p 2r 2 mit F(r) = 3 2 U R r

79 73 Widerstand F w = F p + F τ τ rr = 2µ v r r = 0 ( 1 v r τ rθ = µ r θ + v θ r v ) θ = r U τ rθ p τ rr R e θ e r e x 3µUR3 2r 4 sin θ F p = S S p e r e x ds = 2πµU R F τ = (τ rr e r + τ rθ e θ ) e x ds = 4πµU R

80 74 Stokessche Widerstandsformel, feste Kugel Re 1 F W = 6πµUR Widerstandsbeiwert c w = Fallgeschwindigkeit: F w πr 2 ρu 2 2 = 24 Ud, mit Re = Re ν = 2URρ µ 6πµU R = g(ρ V ρ) 4 3 πr3 U = 2 9 gr2ρ V ρ µ

81 4.4.2 Kugelförmige Tropfen und Blasen Ansatz für Stromfunktion: { (A r ψ = 4 + B r 2 + C r + D r 1 ) sin 2 θ r > R (A V r 4 + B V r 2 + C V r + D V r 1 ) sin 2 θ r < R 75 Randbedingungen: r : ψ = 1 2 Ur2 sin 2 θ folgt: A = 0, B = U/2. r = 0: v endlich: C V = D V = 0. r = R: v r (R ) = v r (R+) = 0 (Kugelform) v θ (R ) = v θ (R+) ist stetig (Haftbedingung) τ rθ (R ) = τ rθ (R+) ist stetig (dyn. RB in Tangentialrichtung) 4 Gleichungen für Unbekannte C, D, A V, B V, F W = 2µπU R 2µ + 3µ V µ + µ V Rybczynski & Hadamard, Re 1 (21)

82 76 µ V µ Stokes!, (fester Körper, Wassertropfen in Luft) µ V µ Gasblase in Flüssigkeit F W = 4πµU R U = 1 gr 2 3 ν, ρ V ρ, Re 1

83 77

84 Einfluss adsorbierter (oberflächenaktiver) Stoffe Experimente zeigen: Formel von Rybczynski-Hadamard stimmt nur in sehr reinen F lussigkeiten. Gerade bei Wasser i.a. nicht der Fall. Steiggeschwindigkeit weicht daher von (21) ab. Ursache: Oberflächenaktive Substanzen sammeln sich an Flüssigkeitsoberfläche und bilden einen adsorbierten Film. Film unterbindet Strömung des Gases im Inneren der Blase (sonst würde sich an einem Pol der Blase Substanz ansammeln kein Film! Gas im Inneren in Ruhe es gilt die Stokessche Formel Steiggeschwindigkeit daher aus ρ V ρ folgt U = 2 gr 2 9 ν, (2/3 der Steiggeschw. ohne Film!, experimentell gut bestätigt!)

85 Strömungen bei größeren Reynolds-Zahlen Euler-Gleichungen Navier-Stokes Gleichungen in dim. loser Form, ohne Schwerkraft Reibungsterme vernachlässigt: D v = p 1 + v Dt }{{} Re 1, falls Re 1 D v Dt = p (22)

86 Drehungsfreiheit und Helmholtzscher Wirbelsatz Mittlere Winkelgeschwindigkeit eines Flüssigkeitsteilchens Drehungsfreie (wirbelfreie) Strömung rot v = 0 ω = 1 rot v (23) 2 w y v z = 0 u z w x = 0 v x u y = 0

87 Helmholtzscher Wirbelsatz Euler-Glgen. ρ = const 81 D v Dt = 1 ρ gradp D v Dt = v v + ( v grad) v = t t + 1 grad( v v) 2 v ω 2 Bildung von rot von Euler-Glg: ω t rot( v ω) = 0 ω t ( ω grad) v ( v grad) ω + v div ω } {{ } ω =0, div rot=0 div v } {{ } =0, ρ=const = 0 D ω Dt = ( ω grad) v

88 82 speziell: Ebene Strömung v = (v x (x, y), v y (x, y), 0), ω = (0, 0, ω) Wirbelstärke bleibt erhalten! ( ω grad) v = 0 D ω Dt = 0

89 In drehungsfreier Strömung werden Flüssigkeitsteilchen nur verformt und translatorisch bewegt, aber nicht gedreht. Einfachstes Beispiel einer drehungsfreien Strömung: Parallelströmung mit konstanter Geschwindigkeit Nach dem Helmholtzschen Wirbelsatz bleiben reibungsfreie Strömungen drehungsfrei, wenn sie zu einem Zeitpunkt drehungsfrei waren. Die reibungsfreie Umströmung eines Körpers ist daher drehungsfrei, wenn die Anströmung eine Parallelströmung mit konstanter Geschwindigkeit ist (in der Praxis meist der Fall) Grundgleichungen für reibungsfreie, drehungsfreie Strömung div v = 0, rot v = 0 83

90 84 Ebene reibungs- und drehungsfreie Strömung u x + v y = 0, v x u y = 0, Cauchy-Riemannsche Differentialgleichungen Geschwindigkeitspotential: Ansatz v = grad φ, wegen rot grad φ = 0 Drehungsfreiheit erfüllt. Daher: drehungsfreie Strömung ist eine Potentialströmung. Einsetzen in Kontinuitätsgleichung div gradφ = φ = 0 Laplace-Gleichung

91 Beispiele von Potentialströmungen v n Q Ebene Quelle φ = C ln r, r = x 2 + y 2 v r = C/r, v θ = 0, Quellstärke Q = 2πrv r = 2πC φ = Q 2π ln r C Potentialwirbel ebene Quellströmung v θ φ = Γ 2π θ = Γ 2π arctany x, v r = 0, v θ = Γ 1 2π r t C Potentialwirbel Zirkulation (Kurvenintegral entlang Kurve C mit Tangentialvektor t. C v tds = 2πrv θ = Γ

92 räumliche Quelle φ = Q 4π 1 r 86 Singularitätenbelegung: Überlagerung von Quellen und Wirbeln, sodass Randbedingungen erfüllt sind: Umströmug eines schlanken Profils: U y y = h(x), v = U h (x) x 0 l Quellbelegung q(x) y = ±h(x) Quellbelegung q(x) auf x-achse derart, dass RB v = ±uh (x), auf Profil y = ±h(x) erfüllt ist. Lösung: q(x) = 2U h (x). φ(x, y) = U x + 1 l q(x ) ln (x x 2π ) 2 + y 2 dx 0

93 Potentialströmung um Kugel Φ = ( 2 r r r r 2 θ + cot θ 2 2 r 2 θ ) r 2 sin 2 φ = 0 θ ϕ 2 87 v r = φ r, v θ = 1 φ r θ, RB: r : v r = U cos θ, v θ = U sin θ RB r = R: v r = 0, v θ 0 (keine Haftbed.!) Separtionsansatz φ(r, θ) = Uf(r) cos θ r 2 f + 2rf 2f = 0 Lösung f = c 1 r + c 2 /r 2, aus RB c 1 = 1, c 2 = R 3 /2 ( ) φ = U r + R3 cosθ, 2r 2 v r = U ( 1 R3 r 3 ) cosθ, v θ = U ( 1 + R3 2r 3 ) sin θ.

94 88 Bernoulli Gleichung kann auf jedem Stromfaden angewandt werden, falls reibungsfreie, inkompressible Strömung vorliegt. p (statischer) Druck p 0 Ruhedruck (im Staupunkt) p Anströmdruck W = vr 2 + v2 θ p ρ W 2 = p 0 = p ρu2 Für r = R: W = v θ = 3 U sin θ, Druckverteilung auf Kugeloberfläche 2 p = p + ρu2 2 ( 1 9 ) 4 sin2 θ Da Druckverteilung symmetrisch bezüglich Äquator: kein Widerstand! d Alembertsches Paradoxon: kein Widerstand für geschlossene Körper in drehungsfreier, reibungsfreier Strömung!

95 4.5.4 Vergleich Potentialströmung mit realer Strömung um feste Körper, Grenzschicht und Totwasser 89 Re 1: Potentialströmung, die jedoch nicht im ganzen Strömungsfeld gültig sein kann (vgl. d Alembertsches Paradoxon). Potentialströmung erfüllt Haftbedingung für zähe Flüssigkeiten nicht. Dünne Strömungsgrenzschicht in Wandnähe, Reibungseffekte wichtig, obwohl Re 1. Grenzschicht fester Körper Fw Totwasser

96 Strömung in der Grenzschicht kann Druckanstieg auf der Rückseite eines dicken Körpers nicht folgen, die Strömung löst ab. Es entsteht ein stark verwirbeltes Totwasser- oder Nachlaufgebiet. Druck im Totwasser ist kleiner, als er gemäß Potentialströmung sein sollte. > auf den Körper wirkt resultierende Kraft in Anströmrichtung (Widerstand). Druckverteilung auf Vorderseite stimmt recht gut mit Potentialtheorie überein. F w = c W AρU 2 /2 mit c w = c w (Re), Re = Ud/ν. Weitere Vereinfachung: Druckverteilung an der Vorderseite entspricht Potentialströmung; Druckverteilung auf der Hinterseite durch Totwasser bestimmt, das hauptsächlich turbulent ist. > ν und damit Re spielt keine wesentliche Rolle für den Widerstand. Ablösepunkt hängt davon ab, ob Strömung laminar oder turbulent ist. 90

97 91 Turbulente Grenzschicht kann wegen intensiven Energie- und Impulsaustausch mit Außenströmung größeren Druckanstieg vertragen. Bei schlanken Körpern kann Ablösung nahezu ganz vermieden werden. ( Stromlinienkörper ), z.b. Tragflügelprofil, Potentialtheorie gibt in diesem Fall Stromlinien und Druckverteilung im ganzen Strömungsfeld recht gut wieder. Für Widerstandsberechnung aber natürlich nicht ausreichend - Grenzschichttheorie muss herangezogen werden.

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100 4.5.5 Tropfenzerfall 94 Tropfen in Gas Re 1: c w = const (wie bei festem Körper) Fallgeschwindigkeit U aus ρ v g πd3 6 = c ρu 2 πd 2 4 w 2 4 U = ρ v gd (24) 3c w ρ Kugelförmiger Tropfen: c w 0, 4 0, 5 unterkritsche Reynolds- Zahl 1 Re < 2, Bsp: Wassertropfen d = 1 mm > u = 5 m/s, Re 300. Bedingung für Kugelform: Oberflächenspannung muss gegenüber Trägheitskräften dominieren. p p v < 4σ d ρu2 2, We 8 1 praktisch ausreichend We < 6, (Wasser σ = 0, 07 N/m, d < 4mm)

101 95 We > 6: Zunächst Abplattung, dann hutartiges Auswölben Widerstandsbeiwert, Tropfen zerfallen bei Überschreiten einer kritischen Weber-Zahl We 12. (d Durchmesser der Kugel gleichen Volumens). Bsp: Wasser We = 12 d 6, 5 mm Falls innere Reibung im Tropfen eine Rolle spielt, zusätzliche Kennzahl: Ohnesorge-Zahl Oh = µ v ρv σd

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104 Vergleich von Potentialströmung mit realer Strömung; Widerstandsberechnung aus Dissipation Gasblasen mit adiabatem Film aus oberflächenaktiven Substanzen: Wie fester Körper, c w 0, 4...0, 5. Steigeschw. siehe (24) für Kugelform, Re 1, Gasblasen in reiner Flüssigkeit: An Grenzfläche Fl./Gas (µ v µ) braucht die Tangentialkomp. der Geschwindigkeit nicht verschwinden, Schubspannung verschwindet keine starke Geschwindigkeitsabnahme Grenzschicht verträgt größeren Druckanstieg, Ablösung erst ganz in der Nähe des hinteren Staupunktes. Potentialströmung ist im ganzen Raum eine gute Näherung für Geschwindigkeitsverteilung und Druck.

105 99 Abschätzung des Widerstandes mittels Leistungsbilanz Schleppleistung = Leistung der Reibungskräfte (Dissipation) F w U τ γv eff τ U π(3d) 3 µ U2 d 6 d 2 5πd3 10πµU 2 R F w 10πµUR, genauere Rechnung 12πµUR c w = 48 Re Doppelter Wert von Stokes, Widerstand prop. U (nicht U 2, obwohl Re 1!) Steiggeschwindigkeit (Re 1, ohne Film!) U = gd2 36ν

106 100 Steiggeschwindigkeit und Widerstandsbeiwert von Gasblasen

107 4.5.7 Stabilität der Blasenbewegung, Abweichungen von der Kugelge-10stalt, Schirmblasen und Blasen im Rohr Bei größeren Blasendurchmessern beträchtliche Abweichung: A Instabilität der stationären vertikalen Bewegung Schraubenförmige Bewegung oder Zick-Zack Bewegung. Experiment zeigen, dass bewegung stabil in reinen Fl. mit Mo < 10 8 falls We < 3 in reinen Fl. mit Mo >> 10 8, beliebige We Verunreinigungen wirken destabilisierend. B Bedingungen für Kugelgestalt (wie bei Tropfen) We 8 1 Gilt für Re 1; Theorie von Rybczynski-Hadamard zeigt, dass Differenz der Normalspannungen constant ist, Oberflächenspannung braucht gar nicht stark sein, In zähen Fl. auch große Blasen kugelförmig.

108 102 Zunehmende Blasengröße: We, Abweichungen von Kugelgestalt, Form ähnlich einem Kugelabschnitt (Regenschirm) U S Potentialströmung Blase B z θ B R 0 Totwasser Totwassergrenze etwa kugelförmig für Re < 110, offenes Totwasser für Re > 110

109 103 Wegen Re 1 We 1: Fr = U2 gr = f(re, We) = const U = k gr Theorie (Davis &Taylor): k = 2 3 θ B = 50.

110 104 Potentialströmung um Kugel: Oberflächengeschw. W = 3U sin θ 2 Bernoulli-Glg W gz + p ρ = gz s + p 0 ρ mit p 0 Druck im Staupunkt, z-koordinate des Staupunktes z s W 2 2 = g(z s z) p p 0 ρ = gr(1 cosθ) p p 0 ρ Druck im Inneren der Blase konstant, da µ v µ, ρ V ρ gilt, und die Oberflächenspannung vernachlässigbar ist, We 1. Folglich auf Blasenoberfläche. p = p 0

111 105 Es gilt daher W 2 2 = gr(1 cos θ) Unter Verwendung von W = 3 U sin θ erhalten wir: 2 gr(1 cosθ) = 9 8 U2 sin 2 θ U 2 = 8gR 9 1 cosθ sin 2 4 } {{ θ } 9 gr(1 + O(ϑ2 )) Fuer kleine Werte von θ nahezu konstant U 2 3 gr R oft nicht bekannt, aber Volumen bekannt, R kann dann aus θ B bestimmt werden.

112 106 Abschätzung von θ B : Blase ruhendes Totwasser W = 3 2 U sin θ B W = U Annahme: Totwasser ruhend Druck im Totwasser = hydrostatischer Druck, Im Unendlichen hydrost. Druck bei Geschwindigkeit U An Totwassergrenze daher U = W Bei B gilt daher: U = 3 2 U sin θ B θ B arcsin 2 = 41, 8 3 Theorie nicht ganz konsistent, weil W = U an Totwassergrenze Abweichung von Kugelgestalt des Totwassers erfordert.

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114 108 Große Gasblasen in Flüssigkeit. Links: Luftblase in Nitrobenzin R 3 cm, U 37 cm/s, Mitte: Luftblase mit Nachlauf in Wasser R 5 cm, U 45 cm/s, Rechts: Zwei-dimensionale Luftblase zwischen zwei parallelen Platten d = 6 mm, R 7 cm, U 40 cm/s, Strömungsvisualisierung mit festen Tracerpartikeln, Nachlauf und Blase nehmen Links bzw. Mitte etwa das Volumen einer Kugel, Rechts das eines Kreises ein (aus: Batchelor).

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116 110 Große Gasblasen in einem Rohr slug flow Wenn Re = UD 1 und We = ρu2 D 1 ν σ folgt aus Dimensionsgründen U = k R gd Experiment und Theorie (Dumitrescu) ergeben k R 0, 35 D kugelförmige Tropfen Blasen Schirm- Propfenfeste Partikel ohne adsorbierten blasen blasen Film Re 1 Stokes c w = 24 Re Rybczynski- Hadamard - - Re 1 c w = 48 Re Davis & Taylor Dumitrescu U aus gπ d3 6 ρ V ρ = c w (Re) ρu2 πd U = 2 3 gr U = 0.35 gd

117 Kavitationsblasen Wenn in Flüssigkeits- (Wasser-) Strömungen der Dampfdruck p D unterschritten wird (bei hohen Geschwindigkeiten) bilden sich Dampfblasen (oder Gasblasen von in Flüssigkeit gelösten Gasen). In Gebieten geringerer Stömungsgeschwindigkeiten steigt (eventuell) der Druck über den Dampfdruck, der Dampf in den Blasen kondensiert, Hohlräume stürzen zusammen, Lärm Beschädigungen (Korrosion bzw. Erosion) der Wände)

118 112 Zusammenstürzen einer kugelförmigen Blase t = 0 : R = R 0 p = { p0 für t < 0 p für t > 0 p = p 0 Wir betrachten eine Gasblase (ideales Gas mit konstanten spez. Wärmekapazitäten, Radius R 0 ) in einer ruhenden inkompressiblen Flüssigkeit bei Druck p 0. Bei t = 0 wird der Druck plötzlich auf p erhöht. Wie groß ist der in der Blase auftretende Maximaldruck?

119 Zusammenstürzen einer kugelförmigen Blase 113 p(t) R(t) v r = Ṙ In Flüssigkeit instationäre Potentialströmung v r = Ṙ(t) für r = R, v r 0 für r Lösung: Quell- (Senken)strömung mit Potential φ = Q(t) 4πr Quellstärke Q(t) = 4πr 2 v r = 4πR 2 Ṙ Geschwindigkeitsverteilung v = gradφ = R2 Ṙ r 2

120 kinetische Energie der Flüssigkeit 114 t t 0 p E kin = R (t) R(t) R (t) = 2πρ R(t) ρ v2 r 2 4πr2 dr = ( R 2 ) 2 Ṙ r 2 dr = r 2 = 2πρR 3 Ṙ 2 ( 1 R R ) Volumenänderungsarbeit pro Zeiteinheit 2πρR 3 Ṙ 2 Ẇ = 4πR v 2 r p = 4πp R 2 Ṙ Innere Energie der Gasblase (id. Gas, c v = const, isentrope ZÄ) ( ) 3(κ 1) R0 U = m G c v T = m G c v T 0 = 4πR3 0 R 3(κ 1) p 0 ( ) 3(κ 1) R0 R

121 115 Energiebilanz Änderung der inneren Energie der Flüssigkeit vernachlässigbar, da inkompressibel, d dt (E kin + U Gas ) = Ẇ Integration der Energiebilanz ergibt 4πR κ 1 p 0 U(t) U 0 + E kin (t) = [ (R0 ) 3(κ 1) ] R t 0 Ẇ dt + 2πρR 3 Ṙ 2 = 4π 3 p ( R 3 0 R 3)

122 116 Wir haben somit eine gewöhnliche Differentialglg. für R(t) erhalten Der Maximaldruck p in der Gasblase wird erreicht, falls der Blasenradius minimal wird Ṙ = 0. Der minimale Blasenradius R kann daher aus [ (R0 ) 3(κ 1) 1] = (κ 1) p [ ( ) 3 ] R 1 R p 0 R 0 berechnet werden. Wegen der isentropen ZÄ in der Gasblase gilt ( p p 0 ) 1 1/κ 1 pr 3κ = p 0 R 3κ 0 = (κ 1) p p 0 ( ) 1/κ p0 1 p

123 Näherungsweise Lösung unter der Ann. p 0 p : 117 p p 0 = (κ 1) κ κ 1 ( p p 0 ) κ κ 1 bzw. p p = (κ 1) κ κ 1 ( p p 0 ) 1 κ 1 Beispiel: κ = 1, 4, p /p 0 = 100 p /p Gasblase treten sehr hohe Drücke auf. = 4050 In der Ursache für Schäden: Konzentrische Strömung bei Annäherung an R instabil: Flüssigkeitsstrahl Erosion Geschwindigkeiten in der GO m/s!

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126 120 Kollabieren einer Blase und anschließendes Wiederausdehnen, allerdings Abweichung von der Kugelgestalt [Batchelor].

127 Zerfall von Flüssigkeitsstrahlen in Gasen Beobachtungen: 3 verschiedene Arten des Strahlzerfalls (abh. von Strömungsgeschwindigkeit) I Zertropfen II Zerwellen III Zerstäuben Reihenfolge mit zunehmender Strömungsgeschw.

128 122 Dimensionsanalyse: Parameter D,U, ρ, µ, σ: Daher zwei unabhängige Kennzahlen. Re = UDρ µ, Oh = µ ρσd Ohnesorge-Zahl, (alternativ We = ρu2 D σ = Oh 2 Re 2 ) Bereichsgrenzen zwischen I, II, und III durch Oh = f I,II (Re) bzw. Re = f II,III (Oh) darstellbar, Ohnesorge-Diagramm

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132 126 5 Zweiphasenströmungen Phase: Thermodynamisch homogener Teilbereich eines heterogenen Systems. (Gasförmig, flüssig,fest) Zweiphasenströmungen Gemisch von 2 Phasen strömt. (Gasf.- fest, gasf.-flüssig, flüssig-fest, aber auch flüssig-flüssig (unterschiedliche Flüssigkieten) Beispiele: Nebel, Rauch, Wolken, Schnee, Sandstürme, siedendes Wasser, Blutströmungen,... Verbrennungsvorgänge in Motoren, Brennkammern, Feuerlöscher,... viele Verfahrenstechnische Prozesse, In diser LVA: Beschränkung auf eindimensionale Strömungen

133 5.1 Strömungsformen 127 Morphologische Beschreibung der Strömung (Anordnung und Verteilung der Phasen) Grobe Einteilung der Strömungsform bei vertikaler Rohrströmung Tropfenströmung Ring- oder Filmströmung Propfenströmung Blasenströmung Bei vertikaler Strömung brauchen die beiden Phasen nicht notwendigerweise in dieselbe Richtung strömen. Gleich- bzw. Gegenstrom!

134 128 Bei horizontaler Strömung zusätzlich Schichtenströmung Schichtenströmung (mit bzw, ohne Wellen) wellige Schichtenströmung Kolbenströmung Schwallströmung Propfen strömung Kolbenströmung Strömungsform abhängig von vielen Parametern. Diagramme für Strömungsbereiche oft nicht in dimensionsloser Form, daher nur bedingt verwendbar.

135 5.2 Homogene Gleichgewichtsströmungen 129 Geschwindigkeits- und Temperaturunterschiede zwischen den Phasen Kräfte bzw. Wärmeübergänge (Wechselwirkung) bewirken Reduktion des Temp.- bzw. Geschwindigkeitsunterschiedes Oft WW so stark (Bsp. eine Phase in der anderen fein dispergiert), dass an jeder Stelle zu jedem Zeitpunkt a) die Geschwindigkeiten beider Phasen (homogene Zweiphasenstr.) b) die Temperaturen beider Phasen (thermisches GG.) übereinstimmen. homogene Gleichgewichtsströmung, kann wie Einphasenströmung behandelt werden.

136 Zustandsgrößen des Gemisches Phase Dichte Volumenanteil Massenanteil 1 ρ 1 1 α 1 x 2 ρ 2 α = V 2 /V x = m 2 /m a) homogene Strömung v 1 = v 2 = v b) thermisches GG. T 1 = T 2 = T c) zusätzlich p 1 = p 2 = p Ann c) berechtigt, falls bei 2 fluiden Phasen Oberflächenspannung keine Rolle spielt.

137 spezifische ZG 131 Zustandsgrößen des Gemisches ohne Index m = V ρ = V 1 ρ 1 + V 2 ρ 2 ρ = (1 α)ρ 1 + αρ 2 V = m ρ = m 1 + m 2 1 ρ 1 ρ 2 ρ = 1 x + x ρ 1 ρ 2 m 1 = (1 x)ρv = ρ 1 (1 α)v (1 x)ρ = (1 α)ρ 1 m 2 = xρv = ρ 2 αv xρ = αρ 2 spezifische (auf Masseneinheit bezogene) Größen werden additiv aus Massenanteilen zusammengesetzt e = (1 x) e 1 + xe 2 h = (1 x) h 1 + xh 2 c p = (1 x) c p,1 + xc p,2 s = (1 x) s 1 + xs 2

138 132 Bestimmung von x Ohne Phasenumwandlung (Bsp. Wasser/Luft) Massenerhaltung in homogener Strömung x = const (i.a. α const) Mit Phasenumwandlungen (z.b. Nassdampf) lokales thermodynamisches GG (LTG) vorausgesetzt x = x(p, ρ), oder x = x(p, s) T A B K x = const A B isentrope Expansion (z.b. in Düse), je nach Anfangszustand nimmt x zu oder ab. s

139 5.2.2 Schallgeschwindigkeit laufende Schallwelle in ruhendem Medium 133 Massen- und Impulsbilanz für Kontrollvolumen CV p + dp ρ + dρ v = dv c p v = 0 CV ρ KG. IG. dm dt = A ((ρ + dρ)c ρc) = A ((ρ + dρ)dv) c dρ = ρ dv di dt = A ((ρ + dρ)dv c) = A ( (ρ + dρ) (dv) 2 + (p + dp) p ) ρc dv = dp Schallgeschwindigkeit: (KG)+(IG) c 2 = dp dρ

140 Schallgeschwindigkeit von der Art der Zustandsänderung 134 abhängig homogene Strömung mit Phasenumwandlung im LTG ohne Reibung und andere irreversible Prozesse: c 2 = ( ) p = c s ρ s c...gleichgewichtsschallgeschwindigkeit, p = p(ρ, s) Zustandsglg. für thermodyn. Gleichgewicht homogene Strömung ohne Phasenumwandlung (x = const) 1 dρ ρ 2 dp }{{} c 2 x 1 ρ = 1 x ρ 1 + x ρ 2 = 1 x ρ 2 1 dρ 1 dp }{{} c 2 + x ρ 2 2 dρ 2 dp }{{} c 2 1 2

141 135 1 ρ 2 c 2 x = 1 x ρ 2 1 c x ρ 2 2 c 2 2 c x Schallgeschwindigkeit der homogenen Zweiphasenströmung ohne Phasenumwandlung Vereinfachung für Flüssigkeits (1) - Gas (2)-Gemische ρ = (1 α)ρ 1 + αρ 2 (1 α)ρ (1 α)ρ 1 c 2 x = α +... ρ 2 c 2 2 c 2 x = ρ 2 c 2 2 ρ }{{} 1 α(1 α)

142 c x c 2 (außer α 0 oder α 1) homogene Strömung vorausgesetzt, gut erfüllt bei Blasen (leicht), problematisch bei Tropfen (träge Relativgeschwindigkeit Schallwellen wie in Gas mit Dämpfung) ( ) p welche Zustandsänderung? ρ? falls homogenes Modell adäquat: lokales thermisches GG T = T 1 = T 2 Da sich außerdem Temp. der flüssigen Phase kaum ändert: T = T 1 = T 2 = const Für ideales Gas (2) ( ) p c 2 2T = ρ T = RT = p ρ 2 c 2 xt = p ρ 1 α(1 α) 136

143 5.2.3 Viskosität von Suspensionen U/2 τ w b/2 137 U/2 τ w Feste Teilchen bzw. Blasen in Flüssigkeit bewirken Störung des linearen Geschwindigkeitsprofils Lokale Abweichungen vom linearen Geschwindigkeitsprofil bzw. von konstanter Deformationsgeschw. (Scherrate) vom Wert für ein reines Fluid γ 1 = du dy = U b reine Newtonsche Fl.: Wandschubspannung: τ w,1 = µ 1 γ 1, Dissipation pro Volumen: D 1 = µ 1 γ 2 1

144 138 Suspension: Definiere scheinbare Viskosität durch τ w,s = µ S γ 1, Dissipation D S = µ S γ 2 1 γ s lokale Deformationsgeschwindigkeit (Scherrate) in der Suspension. für Suspen- Definiere Mittelwert des Quadrats der Scherrate γ s 2 sion: D s = µ 1 γ s 2 γ 2 s = D s µ 1 = µ s µ 1 γ 2 1 = τ w,s τ w,1 γ 2 1 Daher: D s D 1 = (µ s µ 1 ) γ 2 1 = µ 1 ( γ 2 s γ 2 1 )

145 139 Abschätzung: γ s 2 γ2 1 nur in der Nähe von Blasen bzw. festen Teilchen, also in Gebieten deren Volumen von Größenordnung der Teilchen bzw. Blasen ist. γ 2 s γ2 1 α γ2 1 Somit µ s µ 1 αµ 1 µ s µ 1 = 1 + Cα Genauere Rechnung (Einstein mit Rechenfehler) für α 1 µ s = µ 1 (1 + 5 α) 2 feste Kugeln µ s = µ 1 (1 + α) kugelförmige Gasblasen

146 140 Für größere Konzentrationen: Batchelor JFM 52 (1972), Erhöhung der scheinbaren Zähigkeit auch für Blasen (obwohl in Gasblase nahezu verschwindende Zähigkeit herrscht!) Lineares Geschwindigkeitsprofil minimiert Dissipation unter den Nebenbedingungen u( b/2) = U/2, u(b/2) = U/2. ( F y, u, du ) dy b/2 = µ b/2 ( ) 2 du dy Minimum dy Eulersche Differentialglg. für Variationsproblem mit der Lösung u/u = y/b. d 2 u dy 2 = 0