WAchhalten und DIagnostizieren

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1 Staatliches Seminar für Didaktik und Lehrerbildung (Gymnasien) Tübingen WAchhalten und DIagnostizieren von Grundkenntnissen und Grundfertigkeiten im Fach Mathematik Klassenstufe 7/8 Teil Heidi Buck Rolf Dürr Hans Freudigmann Alexander Ackermann Miriam Binder Catalina Filler Frank Hauser Michael Kölle Christian Langmann Sven Rempe Christina Utech Anders Zmaila

2 Inhaltverzeichnis Einführung Aufgaben Lösungen B Kongruente Figuren 7 B* Kongruente Dreiecke 4 8 B4 Konstruktion von ebenen Figuren 5 9 B4* Konstruktive Bestimmung wahrer Größen im Raum 6 0 A 9 Quadratwurzel - Verständnis 7 A 9* Quadratwurzel 8 A 0 Rechnen mit Quadratwurzeln 9 A 0* Rechnen mit Quadratwurzeln 0 4 C 5 Quadratische Funktionen 5 C 5* Quadratische Funktionen 6 C 6 Potenzfunktionen 7 C 6* Potenzfunktionen 4 8 A Terme vereinfachen 5 9 A * Terme vereinfachen 6 40 A Distributivgesetz 7 4 A * Verbindung von Rechengesetzen 8 4 A Quadratische Gleichungen ohne Lösungsformel 9 4 A * Quadratische Gleichungen ohne Lösungsformel 0 44 A 4 Quadratische Gleichungen mit Lösungsformel 45 A 4* Quadratische Gleichungen mit Lösungsformel 46 D Mehrstufige Zufallsversuche 47 D * Mehrstufige Zufallsversuche 4 48 D 4 Mehrstufige Zufallsversuche 5 49 D 4* Reduzierte Baumdiagramme 6 50 Hinweis: In dieser elektronischen Version sind die Seiten verlinkt. WADI 7/8 Teil Seite

3 Einführung Wie bei den beiden Bänden zu den Klassenstufen 5/6 und dem ersten Band zu den Klassenstufen 7/8 sollen die 4 thematisch geordneten Aufgabenblätter Grundwissen und Grundfertigkeiten abbilden, die für einen kompetenzorientierten Mathematikunterricht ab der Klassenstufe 7 von zentraler Bedeutung sind. Dabei wird zwischen zwei Niveaustufen unterschieden. Aufgabenblätter, deren Nummerierung mit einem Stern versehen sind, beinhalten Aufgaben, die i.a. über eine reine Reproduktion von Wissen und einfache Anwendungen hinausgehen oder einen erhöhten Schwierigkeitsgrad haben. Der größte Teil der Aufgaben sollte ohne Hilfsmittel bearbeitet werden. Ist der Einsatz des Taschenrechners angebracht, so ist dies durch das Zeichen gekennzeichnet. Die Aufgabenblätter können unterschiedlich verwendet werden. Wichtige Grundkenntnisse und Grundfertigkeiten wach halten. Die Aufgabenblätter können in lockerer Reihenfolge zu Beginn oder am Ende von Unterrichtsstunden in den Klassen 8,9 oder auch noch später den Schülern zur Bearbeitung vorgelegt werden. Auch eine häusliche Bearbeitung ist möglich. Die Schriftgröße ist dabei so gewählt, dass jeweils zwei Aufgabenblätter auf ein DIN A4-Blatt kopiert werden können oder ein Aufgabenblatt auf eine Folie gedruckt werden kann. Die Lösungsblätter ermöglichen eine schnelle Ergebniskontrolle. Diagnostizieren von Stärken und Schwächen. In der rechten Spalte der Aufgabenblätter kann die Schülerleistung bei jedem Aufgabenteil notiert werden (r: richtige Lösung; f: falsche Lösung; n: nicht bearbeitet). Die klare inhaltliche Zuordnung der Aufgabenblätter erleichtert das Aufarbeiten von festgestellten Defiziten mithilfe des eingeführten Schulbuchs oder spezieller Übungshefte. Die Aufgabenblätter können aber auch im Rahmen einer Nachmittagsbetreuung durch Schülertutoren eingesetzt werden. Die Tutoren können dann im Einzelgespräch oder in Kleingruppen auf festgestellte Defizite eingehen. Es sei nochmals darauf hingewiesen, dass zum Erwerb von Kompetenzen, die über die Grundlagen hinausgehen, der Einsatz anderer Aufgaben unerlässlich ist. Für die Erstellung interessanter Aufgaben mit Lösungen danken wir herzlich Alexander Ackermann, Miriam Binder, Catalina Filler, Frank Hauser, Michael Kölle, Christian Langmann, Sven Rempe, Christina Utech und Anders Zmaila. Für die Kontrolle der Lösungen danken wir sehr herzlich Torsten Schatz. Wir wünschen allen Nutzern dieses Heftes viel Spaß und Erfolg. Reutlingen, im Oktober 009 Heidi Buck, Rolf Dürr und Hans Freudigmann WADI 7/8 Teil Seite

4 WADI 7/8 Aufgaben B Kongruente Figuren Name: Klasse: Sind die Figuren auf jeden Fall kongruent? zwei Figuren mit gleichem Umfang zwei Strecken mit gleicher Länge eine Figur und ihr Bild bei einer Punktspiegelung zwei Figuren mit gleichem Flächeninhalt Finde kongruente Figuren. ja nein bedeutet ist kongruent zu F F F F4 F5 F5 F6 F7 F8 F9 F0 F F F F4 F7 F 4 Die zwei Dreiecke sind zueinander kongruent. Gib die fehlenden Größen an. α, α 88 α ,5 α = α = a = α = α 4 = a = α 4 a a α a = 5 Gegeben sind die Punkte A(- ), B(-4 ), C(- -), D( ) und E(6 -). Die Dreiecke ABC und DEF sind zueinander kongruent. Gib alle möglichen Koordinaten von F an. 6 Richtig oder falsch? Kreuze an. Zwei gleichschenklige Dreiecke sind kongruent, wenn sie zusätzlich übereinstimmen im Winkel an der Spitze in einem Schenkel und der Basis in der Basis in allen drei Winkeln e) in der Basis und dem Winkel an der Spitze F( ) oder F( ) e) richtig falsch WADI 7/8 Teil Seite

5 WADI 7/ 8 Aufgaben B* Kongruente Dreiecke Name: Klasse: Gibt es einen Kongruenzsatz, der die eindeutige Konstruierbarkeit des Dreiecks ABC garantiert? Wenn ja, gib den Kongruenzsatz an. a = 8 cm; b = 5 cm; γ = 50 α = 6 ; β = 96 ; γ = 48 a = 4 cm; b = 5 cm; c = 6 cm b = 4,6 cm; α = 40 ; γ = 55 e) a =,8 cm; β = 60 ; γ = 9 Kongruenzja nein satz e) _ Entscheide, ob die beiden Dreiecke ABC und A B C zueinander kongruent sind. Gib ggf. den jeweiligen Kongruenzsatz an. a = 4,4 cm; b = 6 cm; γ = 76 c = 6 cm; b = 4,4 cm; α = 76 a =,8 cm; b = 4,6 cm; c = 5, cm b = 5, cm; c =,8 cm; a = 4,6 cm c = 6, cm; b = 5 cm; γ = 0 b = 6, cm; a = 5 cm; β = 0 c = 5, cm; b = 4 cm; β = 40 c = 5, cm; b = 4 cm; α = 40 Kongruenzja nein satz Richtig oder falsch? Kreuze an. Zwei kongruente Dreiecke haben den gleichen Umfang. Zwei Dreiecke sind zueinander kongruent, wenn sie den gleichen Umfang haben. Zwei Dreiecke sind zueinander kongruent, wenn sie gleichseitig sind und den gleichen Flächeninhalt haben. Zwei Dreiecke sind zueinander kongruent, wenn sie gleichschenklig sind und den gleichen Flächeninhalt haben. e) Zwei kongruente Dreiecke haben den gleichen Flächeninhalt. e) richtig falsch WADI 7/8 Teil Seite 4

6 WADI 7/8 Aufgaben B4 Konstruktionen von ebenen Figuren Name: Klasse: Der in der Klammer angegebene Kongruenzsatz soll garantieren, dass das Dreieck eindeutig konstruiert werden kann. Welche Größenangabe fehlt dann noch? b = 5,0 cm ; γ = 0 ; (wsw) a = 4 cm; γ = 46 ; (sws) a = 5, cm; b = 7, cm; (sss) β = 40 ; γ = 80 ; (wsw) e) c = 8 cm; b = 5 cm; (Ssw) f) b = 5 cm; α = 80 ; (Ssw) e) f) Konstruiere das Dreieck und entnimm deiner Zeichnung die fehlenden Seitenlängen und Winkel. a = 4,0 cm; β = 95 ; γ = 46 a = b = 5,0 cm; γ = 68 b = 5 cm; c =,6 cm; β = 40 Konstruiere ein Viereck ABCD. Gib die Koordinaten der fehlenden Eckpunkte an. A(0 ); B(0 ); AD = BC = 4, cm; α = 04 ; β = 76 B(- -); C(4 -); CD = 5 cm; BD = 5,7 cm; AC = 7, cm; β = 76 4 Die Entfernung zwischen Stuttgart und Berlin beträgt 50 km (Luftlinie). Zwischen Düsseldorf und Stuttgart sind es km. Zeichnet man die Linien auf einer Karte, so bilden sie einen 6 Winkel. Bestimme zeichnerisch die Entfernung zwischen Düsseldorf und Berlin (Luftlinie). 5 Der Schatten von Peter ist, m lang. Die Sonnenstrahlen treffen in einem 0 Winkel auf den Boden. Wie groß ist Peter? Marie ist,6 m groß. Wie lang ist ihr Schatten, wenn sie neben Peter steht? b = cm; c = cm α = c = cm; α= β = a = cm: α= γ = C( ); D( ) oder C( ); D( ) A( ); D( ) oder A( ); D( ) km. m m WADI 7/8 Teil Seite 5

7 WADI 7/8 Aufgaben B4* Konstruktive Bestimmung wahrer Größen im Raum Name: Klasse: Ermittle zeichnerisch die Länge der Raumdiagonale eines Würfels mit der Kantenlänge 4 cm. d = cm Gegeben ist der Quader ABCDEFGH mit AB = 5 cm; BC = 4 cm und AE = 6 cm. M ist der Mittelpunkt der Kante HE und N der Schnittpunkt der Diagonalen des Rechtecks ABCD. H G E M D N A B Gib drei Strecken an, die zu der Strecke AG kongruent sind. Gib drei Dreiecke mit der Ecke H an, die zu dem Dreieck AED kongruent sind. Gib drei Dreiecke mit der Ecke E an, die zu dem Dreieck AHC kongruent sind. Bestimme die Längen der Strecken AC, AG, EN und MN. Ein Zelt hat die Form einer Pyramide mit gleich langen Seitenkanten und einer quadratischen Grundfläche mit der Seitenlänge 4,6 m. Die Pyramide ist 6,0 m hoch. Bestimme die Länge der Seitenkante. Wie hoch wäre die Pyramide, wenn die Seitenkante 5, m lang wäre? F C Seitenkante,, AC = cm AG = cm EN = cm MN = cm m m WADI 7/8 Teil Seite 6

8 WADI 7/8 Aufgaben A9 Quadratwurzel Verständnis Name: Klasse: Gib alle Zahlen an, die quadriert e) f) g) 6 h) 0,8 ergeben e)... f)... g)... h)... Welche Antworten sind richtig? Kreuze an. 5 4 ( 9) e) 6 f) 0 Vereinfache, wenn möglich. 5 5 gibt s nicht ,5 e) 4 4 gibt s nicht f) 0 gibt s nicht ( 9) Gib alle Lösungen an. x² = 9 x² = x² = x² = 0,64 e) x² = 0 f) x² = g) x² = 7 h) x² - = 5 Wie lang ist die Seite eines Quadrats, wenn sein Flächeninhalt 400 cm² ist? Welche Kantenlänge hat ein Würfel, dessen Oberflächeninhalt 600 cm² ist? 6 Gib auf zwei Dezimalen gerundet an. 5 0, 78 g) e) 7 f) h) 5 8 i) e)... f)... g)... h) cm =... dm... cm =... dm WADI 7/8 Teil Seite e)... f)... g)... h)... i)...

9 WADI 7/8 Aufgaben A9* Quadratwurzel Name: Klasse: Vereinfache e) 0000 f) 0000 Bestimme die Wurzel im Kopf. 0, 0 0,6 0, e)... f) e) f) 4 Welche Antworten passen? Kreuze an. ( ) 4 e) 4 f) ( 4) 4 Ordne die Zahlen der Größe nach. Beginne mit der kleinsten Zahl. A B C D E F G,5,4,44, Handelt es sich um eine rationale oder um eine irrationale Zahl? e),76 f) 0, Es ist a > 0. Vereinfache. a a 4 a 9 4 a e)... f) gibt s nicht e) -4 - gibt s nicht f) -4 4 gibt s nicht Buchstabenfolge: e) f) rational irrational WADI 7/8 Teil Seite 8

10 WADI 7/8 Aufgaben A0 Rechnen mit Quadratwurzeln Name: Klasse: Vereinfache e) g) 8 6 h) f) i) e)... f)... g)... h)... i)... Kreuze alle richtigen Antworten an e) Welche Zahl kann in der Form stehen? e) oder......oder ,0 0, Es ist a > 0. Welche Terme sind äquivalent? A: a a B: a a C: a a D: a E: a a F: 4a 5 a G: 5a 4a H: a I: a J: a K: a L: 6 a M: 7 a A und... B und... C und... D und... E und... F und... G und... N: O: 6 P: a Q: R: a S: 6 a WADI 7/8 Teil Seite 9

11 WADI 7/8 Aufgaben A0* Rechnen mit Quadratwurzeln Name: Klasse: Welche Terme sind äquivalent? A: 6 7 B: 8 C: 7 8 E: 48 F: 4 G: : : D: 4 7 H: 8 : 7 4: 4 5: 7 6: 6 7 7: 7 6 8: 4 7 Richtig oder falsch? ,4 0,,6 0, 4 Ergänze. A und... B und... C und... D und... E und... F und... G und... H und... richtig falsch a a 4 Vereinfache. a a e) 5 Vereinfache so weit wie möglich ( 5 ) 5 = =. = =. = e) WADI 7/8 Teil Seite 0

12 WADI 7/8 Aufgaben C5 Quadratische Funktionen Name: Klasse: Gib an, welche Punkte auf der Normalparabel y = x liegen: A(/), B(/4), C(-/6), D(-4/6), E(-/-) Gegeben ist die Parabel mit der Gleichung y = 5x. Ergänze die Koordinaten so, dass die Punkte auf der Parabel liegen. Eventuell gibt es zwei Lösungen. Gib den Scheitel der Parabel an. A: y = x B: y = x C: y = (x ) D: y = x E: y = - x F: y = -(x² + ). A(.)... B(.)... C(... 0)... D(. 0)... A:S(......) B:S( ) C:S(......) D:S( ) E:S(......) F:S( ) 4 Ordne jedem Graphen die richtige Gleichung zu. A: y = x + B: y = x C: y = (x ) D: y = (x + ) E: y = - x F: y = (x ) G: y = -(x + ) 5 Gib die Gleichung der verschobenen Normalparabel an. Die Parabel ist um 5 Einheiten auf der y- Achse nach unten verschoben. Die Parabel ist um,75 Einheiten in positive x-richtung verschoben. Die Parabel ist an der x-achse gespiegelt und anschließend um Einheit in positive y-richtung verschoben. :. :. :. 4:. y =. y =. y =. WADI 7/8 Teil Seite

13 WADI 7/8 Aufgaben C5* Quadratische Funktionen Name: Klasse: Gib den Scheitel der Parabel an. A: y = (x 5) + 6 B: y = (x + ),5 C: y = - (x 4) + S ist der Scheitel einer verschobenen Normalparabel. Gib die Gleichung des Graphen in Scheitelform an. S(- ) S(5 ) S( -8) Gib die Gleichung der Parabel in Scheitelform und in Normalform an. A: S( ) B: S( ) C: S( ) y =. y =. y =. A: y =. y =. B: y =. y =. C: y =. y =. 4 Die Normalparabel mit y = x² wird so verschoben, dass ihr Scheitel in S(7 4) liegt. Ergänze die fehlenden Koordinaten so, dass die Punkte auf der verschobenen Parabel liegen. Prüfe jeweils, ob es zwei Lösungen gibt. 5 Berechne die Nullstellen der Funktion mit f(x) = x² - 4x +. Eine Parabel schneidet die x-achse in den Punkten P(- 0) und Q( 0). Welche x-koordinate hat der Scheitel? 6 Berechne die Scheitelkoordinaten der Parabel. Ist der Scheitel der höchste oder der tiefste Punkt der Parabel? y = x x - y = -x - x Bestimme den Scheitel S der Parabel mit der Gleichung y =,x 0,5x 0,5 und ihre Schnittpunkte P und Q mit der x-achse. A( 9 ), A( 9 ) B( 6 ), B( 6 ) C( ), C( ) x =... x =... x =... S( )... S( )... S( ) P( ), Q( ) WADI 7/8 Teil Seite

14 WADI 7/8 Aufgaben C6 Potenzfunktionen Name: Klasse: Vervollständige die Wertetabellen. x ,5 - y = x -8 0 y = x 4 e) 6 f) Kreuze an, welche Punkte auf dem Graphen der Funktion f mit f(x) = x 5 liegen. A(0/5), B(/5), C(-/-), D(/), E(-/-), F(-0,5/- ) Gegeben ist y = x 4. Ergänze die fehlenden Koordinaten der Punkte A,B,C und D. 4 Ordne jedem der vier Graphen die zugehörige Funktionsgleichung aus der Liste zu. A B () y = 0, x 6 () y = - 0, x e).. f).. A B C D E F A( ); B(-. ) C( 0); A:.. B:.. D(-4..) () y = x (4) y = - x C D (5) y = 0, x 5 C:.. (6) y = - 0, x D:. (7) y = x 4 5 Ein Würfel hat das Volumen 8 cm. Welches Volumen hat ein Würfel mit der doppelten Kantenlänge? Welches Volumen hat ein Würfel mit der dreifachen Kantenlänge? Welches Volumen hat ein Würfel mit der halben Kantenlänge? V=. V=. V=. WADI 7/8 Teil Seite

15 WADI 7/8 Aufgaben C6* Potenzfunktionen Name: Klasse: Gib jeweils einen Funktionsterm der Form f(x) =a x n an, der zu der Wertetabelle passt. x f(x) f(x) f(x) f(x) -6-0,5 0 0,5 6 f(x) =.. f(x) =.. f(x) =.. f(x) =... Ist die Aussage wahr oder falsch? Kreuze an. Hat die Potenzfunktion f mit f(x) = x n (n IN) eine ungerade Hochzahl, so geht ihr Graph immer durch den Punkt P(-/-). Hat die Potenzfunktion f mit f(x) = x n (n IN) eine gerade Hochzahl, so geht ihr Graph immer durch den Punkt Q(/). Die Graphen aller Potenzfunktionen f mit f(x) = x n (n IN) gehen durch den Punkt R(0/). Die Graphen von Potenzfunktionen der Form f(x) = x n (n IN) mit ungeraden Hochzahlen sind achsensymmetrisch zur y-achse. wahr falsch Ergänze die Aussagen. Verdoppelt man bei der Funktion mit y = x den x-wert, so wird der y-wert.. so groß. Halbiert man bei der Funktion mit y = 0, x 4 den x-wert, so wird der y-wert.. so groß. Um bei der Funktion mit y = x einen y-wert auf ein Millionstel seines Werts zu verkleinern, muss man den x-wert auf seines Werts verkleinern. 4 Welche der Funktionen f mit f(x)=x, g mit g(x)= -x 6, h mit h(x)=0,5x, k mit k(x)=x 4 haben einen Graphen mit folgenden Eigenschaften? er ist achsensymmetrisch zur y-achse; er verläuft nie oberhalb der x-achse; er geht durch den Punkt P( 4). mal mal f g h k WADI 7/8 Teil Seite 4

16 WADI 7/8 Aufgaben A Terme vereinfachen Name: Klasse: Vereinfache so weit wie möglich. b + b + b x + x 4x,y + 4,7y y 40,a 8a + 7,7a f) g g 6 e) c c Fasse so weit wie möglich zusammen. 8x 4x +8 8y 8y x 8 x 8x 8x + 8xy + yx Richtig oder falsch? Kreuze an. a a = 4a xy xy = x y t t = t a a = 6 a e) 5 t + t = 7 t 6 4 Vereinfache so weit wie möglich. 6n 7 m 6m m 4x + x - x 4x x (-x) e) 8xy : 4x f) 40 cd : (-8 5 Welche der Terme () bis (6) sind äquivalent zu 6 A : 4x B : -4x C : x? () - (x) () (- x) () (-) x (4) (- ) x (5) (-x) (6) (-x) x x Welche Terme beschreiben das Volumen des Quaders? x x 6 x 9 x 9 x e) x x e) f) richtig e) falsch e) f) Äquivalent zu A: B: C: e) WADI 7/8 Teil Seite 5

17 WADI 7/8 Aufgaben A * Terme vereinfachen Name: Klasse: Vereinfache den Term so weit wie möglich. x + x x x x x a a a a ab + ab + b e) (x+) + 5 (x+) f) xy + yxy + x y - xyx e) f) Löse die Klammern auf und vereinfache. u + (u + 4u) (a + + a (x + y ) (y x) (k + ) (k + ) + e) (0,5x,y) (,y + 0,5x) Vereinfache so weit wie möglich. p (p q) x + 0,5x (x ) (5 m) n + ( n) 5n x ( x ) x 4 Welcher Term muss in dem Kästchen stehen? 6 x = x v = 88v w x ( x + y ) = x + x + x = x e) 8a b + 6ab = ab 5 Welche Terme sind äquivalent? () (x + y) -y () y (x + ) y () x ( + y) xy (4) xy + x (5) (y + ) x x (6) x (y + ) e) e) und und und WADI 7/8 Teil Seite 6

18 WADI 7/8 Aufgaben A Distributivgesetz Name: Klasse: Wurde der Term richtig umgeformt? Kreuze an. (x + ) (x + 4) = x² + (x + 4) = x + 4 (x + ) (x - 7) = x² + x - 4 (a + (-a + = -a² + 9ab ab + b² e) (4x + y) (x - ) = 4x x +y x + 4x +y f) (r + 4s)² = r² + 6rs + 4s² Multipliziere aus. (x + 7) (t + 8) (5 + r) ( s - 7) (4a - ) (a + 4) (c - 5) (c - ) e) (x + 5y) (6y - x) Klammere so weit wie möglich aus. 4 5x 5y 0x 5xy 5x 5xy 5x 5x e) 6a + b 9c f) a b + ab + a g) 4u 8uv + u b c a Beschreibt der Term den Flächeninhalt des gesamten Rechtecks? a b + a c a c + b c a (b + a b + c e) a b c ja nein ja nein ja nein ja nein e) ja nein f) ja nein e) e) f) g) ja nein ja nein ja nein ja nein e) ja nein WADI 7/8 Teil Seite 7

19 WADI 7/8 Aufgaben A * Verbindung von Rechengesetzen Name: Klasse: Multipliziere aus und fasse zusammen. a (x y) a x (x + ) (x + ) (x ) a a ( ) ( ) ( u +8) (8u + ) e) (0,z + 0,y) 0z z ( + 5y) Klammere so weit wie möglich aus. 4x y + 6xy + xy a (x + ) + b (x + ) ( x) y ( x) x (x + ) + (x + ) e) Vereinfache so weit wie möglich. ( x ) x x ( a ) ( a ) ( a ) a b x x x 4 Schreibe als Term und vereinfache ihn so weit wie möglich. Subtrahiere das Fünffache der Differenz von a und b von dem Dreifachen ihrer Summe. Multipliziere die Summe von x und y mit sich selbst und subtrahiere davon das Quadrat ihrer Differenz. WADI 7/8 Teil Seite 8

20 WADI 7/8 Aufgaben A Quadratische Gleichungen ohne Lösungsformel Name: Klasse: Bestimme die Lösungen x = 9 x 49 = 0 x = z e) 4u + = 0 f) 7x = 0 g) 50 = x + h) x + 6 = 0 Die Gleichung soll die vorgegebene Anzahl von Lösungen haben. Kreuze alle Zahlen an, die in diesem Fall für eingesetzt werden können. x 80 Lösungen v Lösung e) f) g) h) 80; -80; 0; 8 0; -; ; Welche Zahlen sind Lösung der Gleichung? x 5 x Bestimme die Lösungen. (x ) = 4 ( + x) = 49 (x 5) = 0 x + x = 0 e) x + x = 0 f) x + 5 = - g) x = x + h) (w ) = 8 5 Kreuze an. Die Gleichung x 6 hat dieselben Lösungen wie A: x 4,B: x 6 0, C: 6 x 0, D: 6 x 0 x = 7 hat die gleichen Lösungen wie A: x = 9;: B: x = ; C: x = 4; D: x = (x 5) 00 hat dieselben Lösungen wie A: x 5 0,B: x 5 00, C: x 95, D: x 5 0 ; -; -7; 5 ; 5; -; e) f) g) h) A B C D A B C D A B C D WADI 7/8 Teil Seite 9

21 WADI 7/8 Aufgaben A* Quadratische Gleichungen ohne Lösungsformel Name: Klasse: Bestimme die Lösungen ohne Lösungsformel. x x 0 x x 0 7x x z 0 Bestimme die Lösungen ohne Lösungsformel. ( x ) ( x ) 0 x x 0 5x 5x x x (x ) 0 z 6 e) z 6 _ e) In welchen Punkten schneidet die Parabel die x-achse? A: y x 6 B: y (x ) 8 C: y (x ) 4 D: y (x 8) Die Normalparabel wird um 4 Einheiten nach unten verschoben. In welchen Punkten schneidet sie die x- Achse? 4 Ein Quader mit quadratischer Grundfläche hat eine Höhe von cm und ein Volumen von 08cm. Wie lang ist eine Kante der Grundfläche? Ein Würfel hat eine Oberfläche von 54cm. Wie lang ist eine Kante? A:_ B:_ C:_ D: 5 Subtrahiert man vom fünffachen Quadrat einer Zahl ihr Zehnfaches, so erhält man als Ergebnis Null. Wie heißen mögliche Zahlen? 6 Formuliere eine möglichst einfache quadratische Gleichung mit den Lösungen und -7. WADI 7/8 Teil Seite 0

22 WADI 7/8 Aufgaben A4 Quadratische Gleichungen mit Lösungsformel Name: Klasse: Gib die Werte von a, b und c an, wenn man die Gleichung in der Form ax bc c 0 schreibt. x x 0 x x 0 x x x x 5 e) 5x x 0 f) x 8x x g) x x 7 h) x 7x 0 Welche Antwort ist richtig? Kreuze an. Die Lösungen der Gleichung x 6x 5 0 können mithilfe der folgenden Lösungsformel bestimmt werden: A: C: x, B: 4 x, D: 4 Bestimme die Lösungen x, x, x 4x 0 x 8x 8 0 x x 0 0 0x x 0 e) 0 5x 5x f) x 5x x g) 5x 7x 0 h) y 7 0 a b c e) f) g) h) A C B D e) f) g) h) 4 Kreuze die Zahlen an, die man für einsetzen kann, so dass die Gleichung die vorgegebene Anzahl von Lösungen hat. 9x 6x 0 Lösungen z 4z 0 Lösung 5 Bestimme die Lösungen mithilfe des GTR.,z,56z 5,65 0,x 4,8x 60 4, ,9 7,x,75x a 5,a 6 6 Bestimme mithilfe des GTR die Nullstellen der quadratischen Funktionen mit y x x 6 y 0,x 4x 4, ; -; 0; -7, 4; -4; 0; 6 ; ; WADI 7/8 Teil Seite

23 WADI 7/8 Aufgaben A4* Quadratische Gleichungen mit Lösungsformel Name: Klasse: Forme erst um und bestimme dann die Lösungen. x 6 x 7, 5 x(5x ) x x x 7x 5 4 Bestimme mithilfe des GTR die Lösungen.,x x 4 0,4 5 x (w 7)(w 8) 6w Wahr oder falsch? Wenn die Normalparabel um 4 nach rechts und... um nach unten verschoben wird, dann schneidet die verschobene Parabel die x-achse in P( 0) und Q(5 0).... um nach unten verschoben wird, dann schneidet die verschobene Parabel die x-achse in P( 0) und Q(6 0). 4 a (in cm) wahr falsch a (in cm) Der Flächeninhalt des Rechtecks beträgt 9,5cm. Wie lang sind die Seiten? 5 Das Produkt zweier aufeinander folgender natürlicher Zahlen ist um größer als ihre Summe. Wie heißen die Zahlen? WADI 7/8 Teil Seite

24 WADI 7/8 Aufgaben D Mehrstufige Zufallsversuche Name: Klasse: Eine Münze wird zweimal hintereinander geworfen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit (in Prozent) dafür, dass im ersten Wurf Zahl kommt; im zweiten Wurf Zahl kommt; nur im zweiten Wurf Zahl kommt; höchstens einmal Zahl kommt; e) in beiden Würfen Zahl kommt. Das abgebildete Glücksrad wird zweimal gedreht. Berechne die Wahrscheinlichkeit 4 (als Bruch), dass zuerst die 4 und dann die auftritt; beide Male eine gerade Zahl auftritt; die Summe der beiden Zahlen 7 ergibt; die Summe der beiden Zahlen 5 ergibt; e) beide Zahlen gleich sind; f) die zweite Zahl größer ist als die erste; g) das Produkt der beiden Zahlen 0 ergibt. e) e) f) g) Vervollständige das Baumdiagramm. X X = Y = Y Z = Z V U = V = U WADI 7/8 Teil Seite

25 WADI 7/8 Aufgaben D* Mehrstufige Zufallsversuche Name: Klasse: Vervollständige das Baumdiagramm. a a= b= b d f g c= d= c e h e= f= g= h= In einer Urne sind zwei rote, drei grüne und vier blaue Kugeln. Es werden nacheinander drei Kugeln gezogen und jeweils auf den Tisch gelegt. Bestimme die Wahrscheinlichkeit für zuerst werden zwei grüne und dann eine rote Kugel gezogen ; alle gezogenen Kugeln sind rot ; beide rote Kugeln wurden gezogen, aber keine blaue ; blau wurde frühestens im.zug gezogen ; e) es wurde höchstens zwei Mal blau gezogen. Aus dem Lostopf wird dreimal nacheinander eine Kugel gezogen, wobei die gezogene Kugel wieder zurück gelegt wird. 5 4 Welche Terme geben die Wahrscheinlichkeit an, dass dabei höchstens zweimal eine gerade Zahl gezogen wird? e) e) e) WADI 7/8 Teil Seite 4

26 WADI 7/8 Aufgaben D4 Mehrstufige Zufallsversuche Name: Klasse: Richtig oder falsch? Kreuze an. Die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses erhält man, indem man im Baumdiagramm die Wahrscheinlichkeiten längs des zugehörigen Pfades multipliziert. Die Summe aller Wahrscheinlichkeiten längs eines Pfades beträgt immer. Die Wahrscheinlichkeit bei Situationen mit mehreren Ergebnissen berechnet man, indem man die Wahrscheinlichkeiten aller Ergebnisse multipliziert. In einem Baumdiagramm sind alle Pfade gleich lang. Bei einem Spiel soll ein Chip mit einer roten und einer grünen Seite dreimal nacheinander geworfen werden. Leider ist der Chip verloren gegangen. Um das Spiel dennoch spielen zu können, gibt es folgende Vorschläge. I. In einer Urne befinden sich fünf rote und fünf grüne Kugeln. Ziehe aus der Urne nacheinander drei Kugeln, wobei jede gezogene Kugel wieder zurückgelegt wird; nicht wieder zurückgelegt wird. II. Würfle mit einem üblichen Spielwürfel dreimal und achte darauf, ob die gewürfelte Zahl gerade oder ungerade ist; > oder ist; durch teilbar ist. III. Drehe ein Glücksrad einmal. Das Glücksrad hat acht gleich große Felder, die mit den Zahlen bis 8 beschriftet sind. Das Glücksrad hat sechs gleich große Felder, die mit den Zahlen bis 6 beschriftet sind. Bei welchen Vorschlägen verändern sich die Gewinnchancen des Spiels nicht? r f r f r f r f Wahrscheinlichkeit ändert ändert sich sich nicht I. I. II. II. II. III. III. WADI 7/8 Teil Seite 5

27 WADI 7/8 Aufgaben D4* Reduzierte Baumdiagramme Name: Klasse: Fußballstar Kanone trifft beim Elfmetera 0,8 schießen mit einer Wahrscheinlichkeit von 80%. Gesucht 0,8 b ist die Wahrschein- 0,8 lichkeit, dass er bei drei Versuchen min- 0,8 d destens zweimal trifft. Mithilfe des Baumdiagramms kann man diese Wahrscheinlichkeit berechnen. Bestimme die im Diagramm fehlenden Wahrscheinlichkeiten a bis e. Berechne die gesuchte Wahrscheinlichkeit. 0,8 e c a = b = c = d = e = % Welche der folgenden Fragestellungen können mithilfe des nebenstehenden Baumdiagramms gelöst werden? A: Eine Münze wird zweimal geworfen. Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit, dass dabei mindestens einmal Wappen erscheint? B: Aus einer Urne mit zwei roten und zwei weißen Kugeln werden nacheinander zwei Kugeln (ohne Zurücklegen) entnommen. Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit, dass beide Kugeln die gleiche Farbe haben. C: Aus einer Urne mit zwei roten und zwei weißen Kugeln werden nacheinander zwei Kugeln (mit Zurücklegen) entnommen. Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit, dass beide Kugeln die gleiche Farbe haben. D: Ein Würfel wird zweimal geworfen. Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der gewürfelten Zahlen ist. A: B: C: D: ja nein WADI 7/8 Teil Seite 6

28 WADI 7/8 Aufgaben B Kongruente Figuren Lösungen Sind die Figuren auf jeden Fall kongruent? zwei Figuren mit gleichem Umfang zwei Strecken mit gleicher Länge eine Figur und ihr Bild bei einer Punktspiegelung zwei Figuren mit gleichem Flächeninhalt Finde kongruente Figuren. ja nein bedeutet ist kongruent zu F F F F4 F5 F5 F6 F6 F7 F8 F9 F0 F F8 F F9 F F F F4 F7 F0 F F F4 F 4 Die zwei Dreiecke sind zueinander kongruent. Gib die fehlenden Größen an. α, α 88 α ,5 α = 88 α = 5 α = 5 α 4 = 40 a =, a = 6,5 α 4 a a α a = 5 5 Gegeben sind die Punkte A(- ), B(-4 ), C(- -), D( ) und E(6 -). Die Dreiecke ABC und DEF sind zueinander kongruent. Gib alle möglichen Koordinaten von F an. 6 Richtig oder falsch? Kreuze an. Zwei gleichschenklige Dreiecke sind kongruent, wenn sie zusätzlich übereinstimmen im Winkel an der Spitze in einem Schenkel und der Basis in der Basis in allen drei Winkeln e) in der Basis und dem Winkel an der Spitze F(6 ) oder F( -) e) richtig falsch WADI 7/8 Teil Seite 7

29 WADI WADI 7/ 8 Aufgaben B* Kongruente Dreiecke Lösungen Gibt es einen Kongruenzsatz, der die eindeutige Konstruierbarkeit des Dreiecks ABC garantiert? Wenn ja, gib den Kongruenzsatz an. a = 8 cm; b = 5 cm; γ = 50 α = 6 ; β = 96 ; γ = 48 a = 4 cm; b = 5 cm; c = 6 cm b = 4,6 cm; α = 40 ; γ = 55 e) a =,8 cm; β = 60 ; γ = 9 Entscheide, ob die beiden Dreiecke ABC und A B C zueinander kongruent sind. Gib ggf. den jeweiligen Kongruenzsatz an. a = 4,4 cm; b = 6 cm; γ = 76 c = 6 cm; b = 4,4 cm; α = 76 a =,8 cm; b = 4,6 cm; c = 5, cm b = 5, cm; c =,8 cm; a = 4,6 cm c = 6, cm; b = 5 cm; γ = 0 b = 6, cm; a = 5 cm; β = 0 c = 5, cm; b = 4 cm; β = 40 c = 5, cm; b = 4 cm; α = 40 Kongruenzja nein satz s w s _ s s s w s w e) w s w Kongruenzja nein satz s w s s s s S s w _ Richtig oder falsch? Kreuze an. Zwei kongruente Dreiecke haben den gleichen Umfang. Zwei Dreiecke sind zueinander kongruent, wenn sie den gleichen Umfang haben. Zwei Dreiecke sind zueinander kongruent, wenn sie gleichseitig sind und den gleichen Flächeninhalt haben. Zwei Dreiecke sind zueinander kongruent, wenn sie gleichschenklig sind und den gleichen Flächeninhalt haben. e) Zwei kongruente Dreiecke haben den gleichen Flächeninhalt. e) richtig falsch WADI 7/8 Teil Seite 8

30 WADI 7/8 Aufgaben B4 Konstruktionen von ebenen Figuren Lösungen Der in der Klammer angegebene Kongruenzsatz soll garantieren, dass das Dreieck eindeutig konstruiert werden kann. Welche Größenangabe fehlt dann noch? b = 5,0 cm ; γ = 0 ; (wsw) a = 4 cm; γ = 46 ; (sws) a = 5, cm; b = 7, cm; (sss) β = 40 ; γ = 80 ; (wsw) e) c = 8 cm; b = 5 cm; (Ssw) f) b = 5 cm; α = 80 ; (Ssw) Konstruiere das Dreieck und entnimm deiner Zeichnung die fehlenden Seitenlängen und Winkel. a = 4,0 cm; β = 95 ; γ = 46 a = b = 5,0 cm; γ = 68 b = 5 cm; c =,6 cm; β = 40 Konstruiere ein Viereck ABCD. Gib die Koordinaten der fehlenden Eckpunkte an. A(0 ); B(0 ); AD = BC = 4, cm; α = 04 ; β = 76 B(- -); C(4 -); CD = 5 cm; BD = 5,7 cm; AC = 7, cm; β = 76 4 Die Entfernung zwischen Stuttgart und Berlin beträgt 50 km (Luftlinie). Zwischen Düsseldorf und Stuttgart sind es km. Zeichnet man die Linien auf einer Karte, so bilden sie einen 6 Winkel. Bestimme zeichnerisch die Entfernung zwischen Düsseldorf und Berlin (Luftlinie). 5 Der Schatten von Peter ist, m lang. Die Sonnenstrahlen treffen in einem 0 Winkel auf den Boden. Wie groß ist Peter? Marie ist,6 m groß. Wie lang ist ihr Schatten, wenn sie neben Peter steht? α b c a e) γ f) a b =6,cm; c =4,6cm α = 9 c =5,6 cm; α=56 β =56 a =6,7cm: α= 0 γ = 0 C(4( ); D(4 4) oder C(-4 ); D(-4 4) A(- ); D( ) oder A(- -5); D( -5),8 m,8 m 460 km WADI 7/8 Teil Seite 9

31 WADI 7/8 Aufgaben B4* Konstruktive Bestimmung wahrer Größen im Raum Lösungen Ermittle zeichnerisch die Länge der Raumdiagonale eines Würfels mit der Kantenlänge 4 cm. Gegeben ist der Quader ABCDEFGH mit AB = 5 cm; BC = 4 cm und AE = 6 cm. M ist der Mittelpunkt der Kante HE und N der Schnittpunkt der Diagonalen des Rechtecks ABCD. H G E M D N A B Gib drei Strecken an, die zu der Strecke AG kongruent sind. Gib drei Dreiecke mit der Ecke H an, die zu dem Dreieck AED kongruent sind. Gib drei Dreiecke mit der Ecke E an, die zu dem Dreieck AHC kongruent sind. Bestimme die Längen der Strecken AC, AG, EN und MN. Ein Zelt hat die Form einer Pyramide mit gleich langen Seitenkanten und einer quadratischen Grundfläche mit der Seitenlänge 4,6 m. Die Pyramide ist 6,0 m hoch. Bestimme die Länge der Seitenkante. Wie hoch wäre die Pyramide, wenn die Seitenkante 5, m lang wäre? F C Seitenkante d = 6,9cm BH,CE,DF DHE ADH AHE EGB EDB EDG AC = 6,4 cm AG = 8,8 cm EN =6,8 cm MN = 6,5 cm 6,8 m 4, m WADI 7/8 Teil Seite 0

32 WADI 7/8 Aufgaben A9 Quadratwurzel Verständnis Lösungen Gib alle Zahlen an, die quadriert e) f) g) 6 h) 0,8 ergeben. Welche Antworten sind richtig? Kreuze an. 5 4 ( 9) e) 6 f) 0 Vereinfache, wenn möglich. ; - 0; e) ; - f) - g) ; 4 4 h) 0,9; -0,9 5 5 gibt s nicht ,5 e) 4 4 gibt s nicht f) 0 gibt s nicht Gib alle Lösungen an. x² = 9 x² = x² = x² = 0,64 e) x² = 0 f) x² = g) x² = 7 h) x² - = ( 9) 9 9 ; - ; - - 0,8; - 0,8 e) 0 f) ; g) 6; - 6 h) ; - 5 Wie lang ist die Seite eines Quadrats, wenn sein Flächeninhalt 400 cm² ist? Welche Kantenlänge hat ein Würfel, dessen Oberflächeninhalt 600 cm² ist? 6 Gib auf zwei Dezimalen gerundet an. 5 0, 78 g) e) 7 f) h) 5 8 i) 0 cm = dm 0 cm = dm,4 0, 6,80 0,8 e),65 f),5 g) 0,7 h) 6, i) 0,4 WADI 7/8 Teil Seite

33 WADI 7/8 Aufgaben A9* Quadratwurzel Vereinfache. Lösungen e) 0000 f) 0000 Bestimme die Wurzel im Kopf. 0, 0 0,6 0,006 5 e) f) 4 Welche Antworten passen? Kreuze an. ( ) 4 e) 4 f) ( 4) 4 Ordne die Zahlen der Größe nach. Beginne mit der kleinsten Zahl. A B C D E F G,5,4,44, Handelt es sich um eine rationale oder um eine irrationale Zahl? e),76 f) 0, Es ist a 0. Vereinfache. a 9 4 a a 4 a e) 00 f) 0 0, 0,4 0,04 5 e) 7 8 f) gibt s nicht e) -4 - gibt s nicht f) -4 4 gibt s nicht Buchstabenfolge: E G C D F B A rational e) f) irrational a a a a² WADI 7/8 Teil Seite

34 WADI 7/8 Aufgaben A0 Rechnen mit Quadratwurzeln Vereinfache. Lösungen e) g) 8 6 h) 6 Kreuze alle richtigen Antworten an e) f) i) e) f) g) 4 9 i) h) e) Welche Zahl kann in der Form stehen? oder 0 6 oder ,0 0, 4 Es ist a > 0. Welche Terme sind äquivalent? A: a a B: a a C: a a A und H B und N D: a E: a a F: 4a 5 a G: 5a 4a H: a I: a J: a K: a L: 6 a M: 7 a N: O: 6 P: a Q: R: a S: 6 a C und J E und I G und K D und L F und M WADI 7/8 Teil Seite

35 WADI 7/8 Aufgaben A0* Rechnen mit Quadratwurzeln Lösungen Welche Terme sind äquivalent? A: 6 7 B: 8 C: 7 8 E: 48 F: 4 G: : : D: 4 7 H: 8 : 7 4: 4 5: 7 6: 6 7 7: 7 6 8: 4 7 Richtig oder falsch? ,4 0,,6 0, 4 Ergänze. a a 4 Vereinfache. a a e) 5 Vereinfache so weit wie möglich ( 5 ) 5 A und 8 B und C und 5 D und 6 E und 4 F und 7 G und H und richtig = falsch = = = a = a e) WADI 7/8 Teil Seite 4

36 WADI 7/8 Aufgaben C5 Quadratische Funktionen Lösungen Gib an, welche Punkte auf der Normalparabel y = x liegen: A(/), B(/4), C(-/6), D(-4/6), E(-/-) Gegeben ist die Parabel mit der Gleichung y = 5x. Ergänze die Koordinaten so, dass die Punkte auf der Parabel liegen. Eventuell gibt es zwei Lösungen. Gib den Scheitel der Parabel an. A: y = x B: y = x C: y = (x ) D: y = x E: y = - x F: y = -(x² + ) 4 Ordne jedem Graphen die richtige Gleichung zu. A: y = x + B: y = x C: y = (x ) D: y = (x + ) E: y = - x F: y = (x ) G: y = -(x + ) 5 Gib die Gleichung der verschobenen Normalparabel an. Die Parabel ist um 5 Einheiten auf der y- Achse nach unten verschoben. Die Parabel ist um,75 Einheiten in positive x-richtung verschoben. Die Parabel ist an der x-achse gespiegelt und anschließend um Einheit in positive y-richtung verschoben. B, D A( 5) - 5 B( ) - 4 C(0 0) - D( 0) D (- 0) A:S(0 -) B:S(0 0) C:S( 0) D:S(0 -) E:S(0 0) F:S(- 0) : D : A : C 4: E y = x² - 5 y = (x,75)² y = -x² + WADI 7/8 Teil Seite 5

37 WADI 7/8 Aufgaben C5* Quadratische Funktionen Gib den Scheitel der Parabel an. A: y = (x 5) + 6 B: y = (x + ),5 C: y = - (x 4) + Lösungen S ist der Scheitel einer verschobenen Normalparabel. Gib die Gleichung des Graphen in Scheitelform an. S(- ) S(5 ) S( -8) Gib die Gleichung der Parabel in Scheitelform und in Normalform an. 4 Die Normalparabel mit y = x² wird so verschoben, dass ihr Scheitel in S(7 4) liegt. Ergänze die fehlenden Koordinaten so, dass die Punkte auf der verschobenen Parabel liegen. Prüfe jeweils, ob es zwei Lösungen gibt. 5 Berechne die Nullstellen der Funktion mit f(x) = x² - 4x +. Eine Parabel schneidet die x-achse in den Punkten P(- 0) und Q( 0). Welche x-koordinate hat der Scheitel? 6 Berechne die Scheitelkoordinaten der Parabel. Ist der Scheitel der höchste oder der tiefste Punkt der Parabel? y = x x - y = -x - x Bestimme den Scheitel S der Parabel mit der Gleichung y =,x 0,5x 0,5 und ihre Schnittpunkte P und Q mit der x-achse. A: S( 5 6 ) ) B: S(, 5 C: S( 4 ) y = (x + ) + y = (x 5)² + y = (x - 0 )² - 8 A: y = (x + )² - y = x² + x - B: y = -(x - )² + y = -x² + 4x - C: y = x A( 9 8), A(9 -) B(6 5), B(6 -) C( 4 ),C(0 ) x = x = - 0,5 S( - 4 ) tiefster Punkt S(-0,5 6,5 ) höchster Punkt S(, 0,595), P(0,09 0),Q(,90 0) WADI 7/8 Teil Seite 6

38 WADI 7/8 Aufgaben C6 Potenzfunktionen Lösungen Vervollständige die Wertetabellen. x ,5 - y = x -8 0 y = x 4 e) 6 f) Kreuze an, welche Punkte auf dem Graphen der Funktion f mit f(x) = x 5 liegen. A(0/5), B(/5), C(-/-), D(/), E(-/-), F(-0,5/- ) Gegeben ist y = x 4. Ergänze die fehlenden Koordinaten der Punkte A,B,C und D. 4 Ordne jedem der vier Graphen die zugehörige Funktionsgleichung aus der Liste zu. A B ) y = 0, x 6 ) y = - 0, x 5-0,5-6 e) 0 f) A B C D E F A( 4); B(- ) C(0 0); A: () B: () D(-4 84) ) y = x C D 4) y = - x 5) y = 0, x 5 C: (7) 6) y = - 0, x D: () 7) y = x 4 5 Ein Würfel hat das Volumen 8 cm. Welches Volumen hat ein Würfel mit der doppelten Kantenlänge? Welches Volumen hat ein Würfel mit der dreifachen Kantenlänge? Welches Volumen hat ein Würfel mit der halben Kantenlänge? V= 64 cm V= 6 cm V= cm WADI 7/8 Teil Seite 7

39 WADI 7/8 Aufgaben C6* Potenzfunktionen Lösungen Gib jeweils einen Funktionsterm der Form f(x) =a x n an, der zu der Wertetabelle passt. x f(x) f(x) f(x) f(x) -6-0,5 0 0,5 6 f(x) = x f(x) = - x 4 f(x) = - x 5 f(x) = 0,5x 5 Ist die Aussage wahr oder falsch? Kreuze an. Hat die Potenzfunktion f mit f(x) = x n (n IN) eine ungerade Hochzahl, so geht ihr Graph immer durch den Punkt P(-/-). Hat die Potenzfunktion f mit f(x) = x n (n IN) eine gerade Hochzahl, so geht ihr Graph immer durch den Punkt Q(/). Die Graphen aller Potenzfunktionen f mit f(x) = x n (n IN) gehen durch den Punkt R(0/). Die Graphen von Potenzfunktionen der Form f(x) = x n (n IN) mit ungeraden Hochzahlen sind achsensymmetrisch zur y-achse. wahr falsch Ergänze die Aussagen. Verdoppelt man bei der Funktion mit y = x den x-wert, so wird der y-wert.. so groß. Halbiert man bei der Funktion mit y = 0, x 4 den x-wert, so wird der y-wert.. so groß. Um bei der Funktion mit y = x einen y-wert auf ein Millionstel seines Werts zu verkleinern, muss man den x-wert auf seines Werts verkleinern. 4 Welche der Funktionen f mit f(x)=x, g mit g(x)= -x 6, h mit h(x)=0,5x, k mit k(x)=x 4 haben einen Graphen mit folgenden Eigenschaften? er ist achsensymmetrisch zur y-achse; er verläuft nie oberhalb der x-achse; er geht durch den Punkt P( 4). 8 mal mal f g h k WADI 7/8 Teil Seite 8

40 WADI 7/8 Aufgaben A Terme vereinfachen Lösungen Vereinfache so weit wie möglich. b + b + b x + x 4x,y + 4,7y y 40,a 8a + 7,7a f) g g 6 e) c c Fasse so weit wie möglich zusammen. 8x 4x +8 8y 8y x 8 x 8x 8x + 8xy + yx Richtig oder falsch? Kreuze an. a a = 4a xy xy = x y t t = t a a = 6 a e) 5 t + t = 7 t 6 4 Vereinfache so weit wie möglich. 6n 7 m 6m m 4x + x - x 4x x (-x) e) 8xy : 4x f) 40 cd : (-8 5 Welche der Terme () bis (6) sind äquivalent zu 6 A : 4x B : -4x C : x? () - (x) () (- x) () (-) x (5) (- ) x (5) (-x) (6) (-x) x x Welche Terme beschreiben das Volumen des Quaders? x x 6 x 9 x 9 x e) x x b x 4y 0a e) - c f) g 4x+8 -x 8-9x 8x+9xy richtig falsch e) 6nm 6m x+x -4x 4 e) y f) 5c äquivalent zu A: (), (4), (6) B: () C: (5) e) WADI 7/8 Teil Seite 9

41 WADI 7/8 Aufgaben A * Terme vereinfachen Lösungen Vereinfache den Term so weit wie möglich. x + x x x x x a a a a ab + ab + b e) (x+) + 5 (x+) f) xy + yxy + x y - xyx Löse die Klammern auf und vereinfache. u + (u + 4u) (a + + a (x + y ) (y x) (k + ) (k + ) + e) (0,5x,y) (,y + 0,5x) Vereinfache so weit wie möglich. p (p q) x + 0,5x (x ) (5 m) n + ( n) 5n x ( x ) x x + x 0 -a a ab+b e) 8 (x+) f) xy u +u a-b x k e) -0,5x -5p + q 0,5x mn +5n x x 4 Welcher Term muss in dem Kästchen stehen? 6 x = x v = 88v w x ( x + y ) = x + x + x = x e) 8a b + 6ab = ab e) x 8vw xy (x + ) (4a + 5 Welche Terme sind äquivalent? () (x + y) - y () y (x + ) y () x ( + y) xy (4) xy + x (5) (y + ) x x (6) x (y + ) () und () () und (5) (4) und (6) WADI 7/8 Teil Seite 40

42 WADI 7/8 Aufgaben A Distributivgesetz Lösungen Wurde der Term richtig umgeformt? Kreuze an. (x + ) (x + 4) = x² + (x + 4) = x + 4 (x + ) (x - 7) = x² + x - 4 (a + (-a + = -a² + 9ab ab + b² e) (4x + y) (x - ) = 4x x +y x + 4x +y f) (r + 4s)² = r² + 6rs + 4s² Multipliziere aus. (x + 7) (t + 8) (5 + r) ( s - 7) (4a - ) (a + 4) (c - 5) (c - ) e) (x + 5y) (6y - x) Klammere so weit wie möglich aus. 4 5x 5y 0x 5xy 5x 5xy 5x 5x e) 6a + b 9c f) a b + ab + a g) 4u 8uv + u b c a Beschreibt der Term den Flächeninhalt des gesamten Rechtecks? a b + a c a c + b c a (b + a b + c e) a b c ja nein ja nein ja nein ja nein e) ja nein f) ja nein xt + 7t + 8x +56 5s + rs -5-7r a + 7a - c 8c + 5 e) xy + 0y -x 5(x y) 5x( y) 5x( y) 5x(x ) e) (a + b f) a(ab + b + ) g) 4u(u v + ) ja nein ja nein ja nein ja nein e) ja nein WADI 7/8 Teil Seite 4

43 WADI 7/8 Aufgaben A * Verbindung von Rechengesetzen Lösungen Multipliziere aus und fasse zusammen. a (x y) a x (x + ) (x + ) (x ) a a ( ) ( ) ( u +8) (8u + ) e) (0,z + 0,y) 0z z ( + 5y) Klammere so weit wie möglich aus. 4x y + 6xy + xy a (x + ) + b (x + ) ( x) y ( x) x (x + ) + (x + ) Vereinfache so weit wie möglich. ( x ) x x ( a ) ( a ) ( a ) - ay x + 5 4u + 65u + 6 e) z yz - z xy(4x + 6y + ) (x + )(a + ( x)(y ) (x+)(x+)=(x+) x - 0 a b a + b x x x x + 4 Schreibe als Term und vereinfache ihn so weit wie möglich. Subtrahiere das Fünffache der Differenz von a und b von dem Dreifachen ihrer Summe. Multipliziere die Summe von x und y mit sich selbst und subtrahiere davon das Quadrat ihrer Differenz. (a + - 5(a - = -a +8b (x + y) (x - y) = 4xy WADI 7/8 Teil Seite 4

44 WADI 7/8 Aufgaben A Quadratische Gleichungen ohne Lösungsformel Lösungen Bestimme die Lösungen. x = 9 x 49 = 0 x = z e) 4u + = 0 f) 7x = 0 g) 50 = x + h) x + 6 = 0 Die Gleichung soll die vorgegebene Anzahl von Lösungen haben. Kreuze alle Zahlen an, die in diesem Fall für eingesetzt werden können. x 80 = Lösungen -v + = Lösung Welche Zahlen sind Lösung der Gleichung? (x + ) = 5 (x 6) = 9 4 Bestimme die Lösungen. x 4 x 49 (x 5) 0 x x 0 e) x x 0 f) x 5 8 g) x x h) w 5 Kreuze an. Die Gleichung x = 6 hat dieselben Lösungen wie A: x = 4, B:x 6 = 0, C:6 x = 0, D: 6 + x = 0 x² = 7 hat dieselben Lösungen wie A: x = 9, B: x 9, C: x = 4; D: x 7 (x 5) 00 hat dieselben Lösungen wie A: x 5 0,B: x 5 00, C: x 95, D: x 5 0 ; - 7; -7 4; -4 6; -6 e) 5; -5 f) 0 g) 7; -7 h) - 80; -80; 0; 8 0; -; ; ; -; -7; 5 ; 5; -; -; 5; ; - e) 0; f) - g) - h) 5; -4 A B C D A B C D A B C D WADI 7/8 Teil Seite 4

45 WADI 7/8 Aufgaben A* Quadratische Gleichungen ohne Lösungsformel Lösungen Bestimme die Lösungen ohne Lösungsformel. x x 0 x x 0 7x x z 0 Bestimme die Lösungen ohne Lösungsformel. ( x ) ( x ) 0 x x 0 5x 5x x x (x ) 0 z 6 e) z 6 In welchen Punkten schneidet die Parabel die x-achse? A: y x 6 B: y (x ) 8 C: y (x ) 4 D: y (x 8) Die Normalparabel wird um 4 Einheiten nach unten verschoben. In welchen Punkten schneidet sie die x-achse? 4 Ein Quader mit quadratischer Grundfläche hat eine Höhe von cm und ein Volumen von 08cm. Wie lang ist eine Kante der Grundfläche? Ein Würfel hat eine Oberfläche von 54cm. Wie lang ist eine Kante? 5 Subtrahiert man vom fünffachen Quadrat einer Zahl ihr Zehnfaches, so erhält man als Ergebnis Null. Wie heißen mögliche Zahlen? 0; -; 0;4 ;- -; 0; 0; -7 - e) 5; -5 A: P(-4 0);Q(4 0) B: - C: P( 0);Q(- 0) D: P(8 0) P(- 0);Q( 0) 6 cm cm 0; 6 Formuliere eine möglichst einfache quadratische Gleichung mit den Lösungen und -7. (x )(x + 7) = 0 oder x² + 4x = 0 WADI 7/8 Teil Seite 44

46 WADI 7/8 Aufgaben A4 Quadratische Gleichungen Lösungen Gib die Werte von a, b und c an, wenn man die Gleichung in der Form ax bc c 0 schreibt. x x 0 x x 0 x x x x 5 e) 5x x 0 f) x 8x x g) x x 7 h) x 7x 0 Welche Antwort ist richtig? Kreuze an. Die Lösungen der Gleichung x 6x 5 0 können mithilfe der folgenden Lösungsformel bestimmt werden: A: C: x, B: 4 x, D: 4 Bestimme die Lösungen x, x, x 4x 0 x 8x 8 0 x x 0 0 0x x 0 e) 0 5x 5x f) x 5x x g) 5x 7x 0 h) y Kreuze die Zahlen an, die man für einsetzen kann, so dass die Gleichung die vorgegebene Anzahl von Lösungen hat. 9x 6x 0 Lösungen z 4z 0 Lösung 5 Bestimme die Lösungen mithilfe des GTR.,z,56z 5,65 0,x 4,8x 60 4, ,9 7,x,75x a 5,a 6 6 Bestimme mithilfe des GTR die Nullstellen der quadratischen Funktionen mit y x x 6 y 0,x 4x 4, a b c e) - 5 f) 6 g) - 6 h) A C B D ;-7 - ;-5 4 ; 5 e) ; - f) g) 0; 5 7 h) - ; -; 0; -7, 4; -4; 0; 6,5; -,7 5,96 -,78;,47 -,7 ;,464 - ; WADI 7/8 Teil Seite 45

47 WADI 7/8 Aufgaben A4* Quadratische Gleichungen mit Lösungsformel Lösungen Forme erst um und bestimme dann die Lösungen. x 6 x 7, 5 x(5x ) x x x 7x 5 4 Bestimme mithilfe des GTR die Lösungen.,x x 4 0,4 5 x (w 7)(w 8) 6w Wahr oder falsch? Wenn die Normalparabel um 4 nach rechts und... um nach unten verschoben wird, dann schneidet die verschobene Parabel die x-achse in P( 0) und Q(5 0).... um nach unten verschoben wird, dann schneidet die verschobene Parabel die x-achse in P( 0) und Q(6 0). 4 a (in cm),5; -0,5 ; -; - -0,5; 0,8-7; wahr falsch a (in cm) Der Flächeninhalt des Rechtecks beträgt 9,5cm. Wie lang sind die Seiten? 5 Das Produkt zweier aufeinander folgender natürlicher Zahlen ist um größer als ihre Summe. Wie heißen die Zahlen? 4,5cm; 6,5 cm 4 und 5 WADI 7/8 Teil Seite 46

48 WADI 7/8 Aufgaben D Mehrstufige Zufallsversuche Lösungen Eine Münze wird zweimal hintereinander geworfen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit (in Prozent) dafür, dass im ersten Wurf Zahl kommt; im zweiten Wurf Zahl kommt; nur im zweiten Wurf Zahl kommt; höchstens einmal Zahl kommt; e) in beiden Würfen Zahl kommt. Das abgebildete Glücksrad wird zweimal gedreht. Berechne die Wahrscheinlichkeit 4 (als Bruch), dass zuerst die 4 und dann die auftritt; beide Male eine gerade Zahl auftritt; die Summe der beiden Zahlen 7 ergibt; die Summe der beiden Zahlen 5 ergibt; e) beide Zahlen gleich sind; f) die zweite Zahl größer ist als die erste; g) das Produkt der beiden Zahlen 0 ergibt. Vervollständige das Baumdiagramm. X 50% 50% 5% 75% e) 5% e) f) g) 0 X = Y = Y Z = Z V U = V = U WADI 7/8 Teil Seite 47

49 WADI 7/8 Aufgaben D* Mehrstufige Zufallsversuche Lösungen Vervollständige das Baumdiagramm. a = b = a c = d = b d f g c e h e = f = g = h = In einer Urne sind zwei rote, drei grüne und vier blaue Kugeln. Es werden nacheinander drei Kugeln gezogen und jeweils auf den Tisch gelegt. Bestimme die Wahrscheinlichkeit für zuerst werden zwei grüne und dann eine rote Kugel gezogen ; alle gezogenen Kugeln sind rot ; beide rote Kugeln wurden gezogen, aber keine blaue ; blau wurde frühestens im.zug gezogen ; e) es wurde höchstens zwei Mal blau gezogen. Aus dem Lostopf wird dreimal nacheinander eine Kugel gezogen, wobei die gezogene Kugel wieder zurück gelegt wird. 5 4 Welche Terme geben die Wahrscheinlichkeit an, dass dabei höchstens zweimal eine gerade Zahl gezogen wird? e) 0 e) e) WADI 7/8 Teil Seite 48

50 WADI 7/8 Aufgaben D4 Mehrstufige Zufallsversuche Lösungen Richtig oder falsch? Kreuze an. Die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses erhält man, indem man im Baumdiagramm die Wahrscheinlichkeiten längs des zugehörigen Pfades multipliziert. Die Summe aller Wahrscheinlichkeiten längs eines Pfades beträgt immer. Die Wahrscheinlichkeit bei Situationen mit mehreren Ergebnissen berechnet man, indem man die Wahrscheinlichkeiten aller Ergebnisse multipliziert. In einem Baumdiagramm sind alle Pfade gleich lang. Bei einem Spiel soll ein Chip mit einer roten und einer grünen Seite dreimal nacheinander geworfen werden. Leider ist der Chip verloren gegangen. Um das Spiel dennoch spielen zu können, gibt es folgende Vorschläge. I. In einer Urne befinden sich fünf rote und fünf grüne Kugeln. Ziehe aus der Urne nacheinander drei Kugeln, wobei jede gezogene Kugel wieder zurückgelegt wird; nicht wieder zurückgelegt wird. II. Würfle mit einem üblichen Spielwürfel dreimal und achte darauf, ob die gewürfelte Zahl gerade oder ungerade ist; > oder ist; durch teilbar ist. III. Drehe ein Glücksrad einmal. Das Glücksrad hat acht gleich große Felder, die mit den Zahlen bis 8 beschriftet sind. Das Glücksrad hat sechs gleich große Felder, die mit den Zahlen bis 6 beschriftet sind. Bei welchen Vorschlägen verändern sich die Gewinnchancen des Spiels nicht? r f r f r f r f Wahrscheinlichkeit ändert ändert sich sich nicht I. I. II. II. II. III. III. WADI 7/8 Teil Seite 49

51 WADI 7/8 Aufgaben D4* Reduzierte Baumdiagramme Lösungen Fußballstar Kanone trifft beim Elfmetera 0,8 schießen mit einer Wahrscheinlichkeit von 80%. Gesucht 0,8 b ist die Wahrschein- 0,8 lichkeit, dass er bei drei Versuchen min- 0,8 d destens zweimal trifft. Mithilfe des Baumdiagramms kann man diese Wahrscheinlichkeit berechnen. Bestimme die im Diagramm fehlenden Wahrscheinlichkeiten a bis e. Berechne die gesuchte Wahrscheinlichkeit. 0,8 e c a = 0, b = 0, c = d = 0,8 e = 0,64 89,6 % Welche der folgenden Fragestellungen können mithilfe des nebenstehenden Baumdiagramms gelöst werden? A: Eine Münze wird zweimal geworfen. Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit, dass dabei mindestens einmal Wappen erscheint? B: Aus einer Urne mit zwei roten und zwei weißen Kugeln werden nacheinander zwei Kugeln (ohne Zurücklegen) entnommen. Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit, dass beide Kugeln die gleiche Farbe haben. C: Aus einer Urne mit zwei roten und zwei weißen Kugeln werden nacheinander zwei Kugeln (mit Zurücklegen) entnommen. Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit, dass beide Kugeln die gleiche Farbe haben. D: Ein Würfel wird zweimal geworfen. Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der gewürfelten Zahlen ist. A: B: C: D: ja nein WADI 7/8 Teil Seite 50