Digitaltechnik. Peter Gober, Armin Sehr Beuth Hochschule für Technik Berlin

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1 Digitaltechnik Peter Gober, Armin Sehr Beuth Hochschule für Technik Berlin 8. August 25

2 Inhaltsverzeichnis Einführung 6 2 Zahlensysteme und Codes 7 2. Dualsystem Grundrechenarten mit Dualzahlen Zweierkomplement zur Darstellung negativer Zahlen Hexadezimalsystem Codes BCD-Code aus-n-code Gray-Code ASCII-Code Boolesche Funktionen 6 3. Wichtige boolesche Funktionen Identität (Identity) NOT (NICHT, Inverter, Negation) AND (UND, Konjunktion) OR (ODER, Disjunktion) NAND (NICHT-UND) NOR (NICHT-ODER) XOR (Exklusiv-ODER, Antivalenz) XNOR (Äquivalenz) Darstellung boolescher Funktionen Schaltplan Wahrheitstabelle Formel Disjunktive Normalform (DNF) Kanonische disjunktive Normalform (KDNF) Konjunktive Normalform (KNF) Kanonische konjunktive Normalform (KKNF) Boolesche Algebra Axiome

3 3.3.2 Gesetze mit einer Variablen Gesetze mit zwei und mehr Variablen Prinzip der Dualität Operatorrangfolge Synthese von booleschen Funktionen Minimierung mit dem KV-Diagramm Minimale DNF Minimale KNF Don't-Care-Minimierung Hazards Umwandlung in reine NAND-/NOR-Schaltungen Umwandlung in reine NAND-Schaltungen Umwandlung in reine NOR-Schaltungen Umwandlung der Zahl der Eingänge Häug verwendete kombinatorische Bausteine Schaltsymbole und Signalnamen Codeumsetzer Binärer Decoder Der 74x38 binäre 3-zu-8-Decoder Binärer Encoder Prioritäts-Encoder Der 74x48 binäre 8-zu-3-Prioritäts-Encoder Multiplexer und Demultiplexer Multiplexer Mehrfachmultiplexer Multiplexer zur Realsierung boolescher Funktionen Demultiplexer Arithmetische Schaltungen Vergleicher Ungleichheit Ungleichheit als iterative Schaltung Gröÿer als Addierer Carry-Lookahead-Addierer Arithmetisch-logische Einheit (ALU)

4 6 Flipops Bistabile Elemente Direktgesteuerte Flipops RS-Flipop RS-Flipop mit -aktiven Eingängen Taktzustandsgesteuerte Flipops Taktzustandsgesteuertes RS-Flipop Taktzustandsgesteuertes D-Flipop Taktankengesteuerte Flipops Taktankengesteuertes D-Flipop T-Flipop Überblick Synchrone getaktete Zustandsautomaten Struktur Analyse anhand eines Beispiels Entwurf und Synthese anhand eines Beispiels mit D-Flipops Aufgabenstellung Vorgehensweise Äquivalenz von Moore- und Mealy-Automat Häug verwendete Zustandsautomaten 6 8. Zähler Asynchrone Zähler Synchrone Zähler Dezimalzähler Anwendungsbeispiel Frequenzteiler Schieberegister

5 Literatur Fricke, K.: Digitaltechnik. Vieweg, Wiesbaden 27. Euro 26,9 Urbanski, K./Woitowitz, R.: Digitaltechnik. Springer, Berlin 23. Enthält auch VHDL. Euro 4,9 Tietze, U./Schenck, Ch.: Halbleiterschaltungstechnik. Springer, Berlin 29. Euro 89,95 Wakerly, J.: Digital Design. Prentice Hall, 25. Englisch, enthält auch VHDL, Basis dieses Skripts. ca. Euro 83

6 Einführung Eine Gröÿe, die jeden beliebigen Wert (ggf. innerhalb eines begrenzten Wertebereichs) annehmen kann, heiÿt analog. Eine Gröÿe, die nur eine endliche Anzahl bestimmter Werte annehmen kann, heiÿt digital (von lateinisch digitus = Finger). Ein Sonderfall einer digitalen Gröÿe ist eine binäre Gröÿe, die nur zwei Werte annehmen kann (lateinisch bini = je zwei). Diese beiden Werte werden üblicherweise mit und bezeichnet. Digitale Systeme werden zunächst basierend auf binären Gröÿen entworfen. Will man ein digitales System in der realen Welt realisieren, so muss man und durch eine analoge physikalische Gröÿe wie z. B. Spannung umsetzen. wird dabei beispielsweise als Spannung nahe V und als nahe 5 V repräsentiert. Zahlreiche Systeme, die früher rein analog realisiert wurden, werden heutzutage mit Digitaltechnik realisiert, z. B. Fotograe, Speicherung von Musik (MP3), Telefonie, Kinoeekte,.... Bei vielen Anwendungen ist dabei eine Analog-/Digital- oder eine Digital-/Analog-Umsetzung nötig. Zu den Vorteilen digitaler Systeme gehören: Reproduzierbarkeit: Wird die die binäre Gröÿe repräsentierende physikalische Gröÿe wie z. B. Spannung leicht verfälscht (z. B. durch Rauschen oder durch Bauteiletoleranzen), so lässt sich die binäre Gröÿe normalerweise fehlerfrei zurückgewinnen. Dadurch lassen sich sehr komplexe Systeme realisieren. Einfachheit: Der Entwurf digitaler Systeme gilt als einfacher als der Entwurf analoger Systeme.

7 2 Zahlensysteme und Codes 2. Dualsystem In dem alltäglich verwendeten Dezimalsystem stellen wir Zahlen durch eine Reihe von Ziern bis 9 dar, wobei deren Position die Wertigkeit als Potenz der Basis bestimmt (Stellenwertsystem), z. B. 457 = Eine entsprechende Zahlendarstellung ergibt sich nur mit den binären Ziern und und der Basis 2, z. B. 2 = =. (2.) Wo es zur Unterscheidung nützlich ist, hängen wir in diesem Skript Zahlen im Dualsystem (Dualzahlen, auch Binärzahlen, englisch binary numbers) tiefgestellt ihre Basis 2 an (z. B. 2 ). Die einzelnen binären Ziern heiÿen Bits. Das Bit ganz links wird auch MSB (für englisch most signicant bit = wichtigstes Bit), das Bit ganz rechts LSB (least signicant bit = am wenigsten wichtiges Bit) genannt. Analog zu Gleichung 2. kann man Dualzahlen in Dezimalzahlen umwandeln. Zur Umwandlung einer Dezimalzahl a in eine Dualzahl kann man sich die zunächst unbekannte Dualzahl (zum Beispiel W XY Z 2 ) folgendermaÿen zerlegt vorstellen: a = W XY Z 2 = W X Y 2 + Z 2 = [(W 2 + X) 2 + Y ] 2 + Z Der Ausdruck [(W 2 + X) 2 + Y ] 2 ist garantiert durch 2 teilbar. Z ist daher der Rest der Division von a durch 2. Das Ergebnis der Division ist [(W 2 + X) 2 + Y ]. Y ist der Rest der Division dieses Ausdrucks durch 2 usw. Beispiel: 37 : 2 = 8 Rest 8 : 2 = 9 Rest 9 : 2 = 4 Rest 4 : 2 = 2 Rest 2 : 2 = Rest : 2 = Rest 37 ist also als Dualzahl 2. Mit dieser vorzeichenlosen Darstellung (englisch unsigned) lassen sich mit n Bits die Zahlen bis 2 n darstellen. Beispielsweise reicht der darstellbare Zahlenbereich für n = 4 von bis 5.

8 + Abbildung 2.: Addition und Substraktion von 2 und Grundrechenarten mit Dualzahlen Die Addition von Dualzahlen erfolgt analog zur Addition von Dezimalzahlen, ggf. mit Überträgen (englisch carry). Die Summe zweier Dualzahlen kann bis zu eine Stelle mehr haben als der gröÿte Summand. Abbildung 2. zeigt ein Beispiel für eine Addition. Betrachtet man den Vorgang der Addition einer Dualstelle, so wird eine Zier A i des ersten Summanden mit einer Zier B i des zweiten Summanden und einem eventuellen Übertrag von der weiter rechts stehenden Stelle C i addiert. Es ergeben sich eine Summe S i und ein neuer Übertrag C i+. Tabelle 2. gibt alle dabei möglichen Fälle wieder. (Wir verwenden diese Tabelle später im Skript für eine Addier-Schaltung.) A i B i C i C i+ S i Tabelle 2.: Additionsfunktion Die Subtraktion erfolgt ebenfalls analog zur Subtraktion von Dezimalzahlen, ggf. mit Borgern (englisch borrow). Ein Beispiel ndet sich ebenfalls in Abbildung 2.. Beispiele für Multiplikation und Division nden sich in Abbildung 2.2. Bei der Multiplikation hat das Ergebnis maximal so viele Stellen wie die beiden Faktoren zusammen. 2.3 Zweierkomplement zur Darstellung negativer Zahlen In dem alltäglich verwendeten Dezimalsystem stellen wir negative Zahlen durch ein negatives Vorzeichen und den Betrag dar, z. B. 43. Diese Darstellung hat den Nachteil, dass wir bei einer Formel wie x + y, die eigentlich eine Addition vorsieht, bei negativem y doch eine Subtraktion (des Betrages) durchführen müssen. Um eine solche Fallunterscheidung zu vermeiden, ist für negative Dualzahlen eine andere Darstellung, das so genannte Zweierkomplement, üblich. Dabei ist wichtig, dass von einer festen Stellenzahl n ausgegangen wird. Gegeben eine positive Zahl x, wird x so dargestellt, dass (innerhalb der gewählten Stellenzahl n) x + ( x) = gilt. 8

9 : = Rest Abbildung 2.2: Beispiele für Multiplikation und Division Als Beispiel sei n = 4 gewählt. Gegeben sei x = 2 = 2. Addiert man zu dieser Zahl 2, so erhält man das Ergebnis, wenn man den über die gewählten n = 4 Stellen hinausgehenden Übertrag ignoriert : + repräsentiert also die Dezimalzahl 2 in dualer Zweierkomplementdarstellung. Will man allgemein zu einer Zahl x die Darstellung von x gewinnen, gilt: x + ( x) = 2 n x = 2 n x x = (2 n ) x + Der Ausdruck (2 n ) x bedeutet dabei einfach, dass alle Bits invertiert werden (Einerkomplement). Es ergibt sich folgendes Rezept zur Umwandlung einer Zahl x in ihr Zweierkomplement: Umwandlung negative Dezimalzahl Dualzahl (Zweierkomplementdarstellung). Betrag in eine Dualzahl mit n Stellen umwandeln. 2. Alle Bits invertieren. 3. addieren. Arbeitet man mit vorzeichenbehafteten (englisch signed) Zahlen, so interpretiert man üblicherweise diejenigen n-stelligen Zahlen, deren oberstes Bit (MSB) gleich ist, als positive Zahlen und die anderen als negative Zahlen. Mit n Bits lassen sich damit die Zahlen 2 n bis +2 n darstellen. Beispielsweise reicht für n = 4 der darstellbare Zahlenbereich von 8 bis +7. 9

10 Umwandlung vorzeichenbehaftete Dualzahl Dezimalzahl Falls oberstes Bit (MSB) gleich ist, so ist die Dualzahl positiv: Herkömmlich umwandeln. Falls oberstes Bit (MSB) gleich ist, so ist die Dualzahl negativ:. Alle Bits invertieren. 2. addieren. 3. Wie eine vorzeichenlose Dualzahl in Dezimalzahl umwandeln. 4. Negatives Vorzeichen ergänzen. Vorzeichenlose und vorzeichenbehaftete Dualzahlen Eine gegebene Folge von Bits (z. B. ) lässt sich also als vorzeichenlose Dualzahl ( 2 = ) oder als vorzeichenbehaftete Dualzahl ( 2s = 5) interpretieren. Der Folge von Bits alleine sieht man ihre Interpretation nicht an. Zur Kennzeichnung einer vorzeichenbehafteten Dualzahl verwenden wir hier im Skript den Index 2s (s für signed). Zahlenkreis und Bereichsüberschreitung Vorzeichenlose bzw. vorzeichenbehaftete Zahlen kann man in einem Kreis darstellen, siehe als Beispiel Abbildung 2.3 für n = 3. Bei einer Addition wandert der Zeiger im Uhrzeigersinn, bei der Substraktion entgegen dem Uhrzeigersinn. Bei Überschreitung der gestrichelten Grenzen der darstellbaren Zahlen tritt ein Bereichsüberlauf (englisch wrap around oder overow) auf, so ergibt sich z. B = Abbildung 2.3: Zahlenkrei für n = 3 Stellen, vorzeichenlos (links) und vorzeichenbehaftet (rechts) 2.4 Hexadezimalsystem Das Hexadezimalsystem stellt Zahlen zur Basis 6 dar. Über 9 hinausgehende Werte werden dabei durch Buchstaben dargestellt, siehe Tabelle 2.2. Beispielsweise gilt: 27 = B 6. Die besondere Bedeutung des Hexadezimalsystems liegt darin begründet, dass eine Hexadezimalzier genau 4 dualen Ziern entspricht und daher eine Umwandlung zwischen Dual- und Hexadezimalsystem sehr einfach ist. Hexadezimalzahlen werden daher als Abkürzung für schwer zu lesende Dualzahlen verwendet. Beispiel: 2 = A E 3 6

11 Hexadezimal Dual Dezimal A B C 2 D 3 E 4 F 5 Tabelle 2.2: Hexadezimalziern 2.5 Codes Eine Folge von Bits, die irgendetwas darstellt (codiert), wird als ein binäres Codewort bezeichnet. Eine Menge von Codewörtern bildet einen Code. Beispiel: Alle Folgen von n Bits bilden einen Code für die vorzeichenlosen Zahlen bis 2 n BCD-Code Tabelle 2.3 zeigt den BCD-Code (englisch Binary Coded Digit = binär codierte Zier), der die Dezimalziern bis 9 mit 4 Bits codiert. 5 Bitkombinationen bleiben ungenutzt. Dezimalzier BCD-Code nicht genutzt:... Tabelle 2.3: BCD-Code Zur Codierung von Zahlen mit mehr als einer Dezimalzier werden die BCD-Codes der einzelnen Ziern hintereinander gesetzt (zum Beispiel wird die Zahl 32 als dargestellt). Mit einem Byte (8 Bits) können also zwei Dezimalziern dargestellt werden.

12 aus-n-code Der BCD-Code wird manchmal bei kaufmännischen Anwendungen zur Darstellung von Geldbeträgen verwendet, um die bei der Umwandlung eines Betrages wie, e zu einer Dualzahl (nämlich, ) auftretenden Rundungsfehler zu vermeiden. Der -aus-n-code (auch One-Hot-Code) enthält n Codewörter mit jeweils n Bits, von denen genau eines und der Rest ist. Tabelle 2.4 zeigt ein Beispiel für einen -aus-5-code, der die Zahlen bis 4 codiert. Zahl -aus-5-code nicht genutzt:... Tabelle 2.4: -aus-5-code Gray-Code Für manche Anwendungen benötigt man einen Code, bei dem sich benachbarte Codewörter nur in einem Bit unterscheiden. Beim Dualcode ist dies nicht der Fall, da hier z. B. auf das Codewort das Codewort folgt. Diese beiden Codewörter unterscheiden sich in 4 Bits. Bei einem Gray-Code unterscheiden sich benachbarte Codewörter in genau einem Bit. Einen Gray-Code mit n = 3 Bits zeigt Tabelle Rekursive Konstruktion: 2. Ein Gray-Code mit n = ist (, ). Zahl Dualcode Gray-Code Tabelle 2.5: Gray-Code 2. Die ersten 2 n Codewörter eines Gray-Codes mit n Bits sind die Codewörter eines Gray-Codes mit n Bits, denen man eine voranstellt. 3. Die zweiten 2 n Codewörter eines Gray-Codes mit n Bits sind die Codewörter eines Gray-Codes mit n Bits, aber in umgekehrter Reihenfolge aufgeschrieben und eine vorangestellt.

13 2.5.4 ASCII-Code Der ASCII-Code (American Standard Code for Information Interchange) ordnet jeweils 7 Bits einem Zeichen zu. Auÿer druckbaren Groÿ-, Kleinbuchstaben, Ziffern und Sonderzeichen enthält der ASCII-Code auch nicht-druckbare Steuerzeichen. Nur einige von diesen haben heute noch Bedeutung, z. B. LF für line feed, welches z. B. in der Programmiersprache C als Codierung für \n verwendet wird. In der Praxis verwendet man pro Zeichen normalerweise 8 Bits (statt eigentlich 7 Bits), wobei das oberste Bit Null ist. Dez Hex Zeichen Dez Hex Zeichen Dez Hex Zeichen Dez Hex Zeichen NUL 32 2 SP ` SOH 33 2! 65 4 A 97 6 a 2 2 STX B b 3 3 ETX # C c 4 4 EOT $ D 64 d 5 5 ENQ % E 65 e 6 6 ACK F 2 66 f 7 7 BEL ' 7 47 G 3 67 g 8 8 BS 4 28 ( H 4 68 h 9 9 TAB 4 29 ) I 5 69 i A LF 42 2A * 74 4A J 6 6A j B VT 43 2B B K 7 6B k 2 C FF 44 2C, 76 4C L 8 6C l 3 D CR 45 2D D M 9 6D m 4 E SO 46 2E. 78 4E N 6E n 5 F SI 47 2F / 79 4F O 6F o 6 DLE P 2 7 p 7 DC Q 3 7 q 8 2 DC R 4 72 r 9 3 DC S 5 73 s 2 4 DC T 6 74 t 2 5 NAK U 7 75 u 22 6 SYN V 8 76 v 23 7 ETB W 9 77 w 24 8 CAN X 2 78 x 25 9 EM Y 2 79 y 26 A SUB 58 3A : 9 5A Z 22 7A z 27 B ESC 59 3B ; 9 5B [ 23 7B { 28 C FS 6 3C < 92 5C \ 24 7C 29 D GS 6 3D = 93 5D ] 25 7D } 3 E RS 62 3E > 94 5E 26 7E - 3 F US 63 3F? 95 5F _ 27 7F DEL Tabelle 2.6: ASCII-Code 3

14 Aufgaben 2.. Wandele folgende vorzeichenlose Dualzahlen in Dezimalzahlen um: a) b) c) 2.2. Wandele folgende vorzeichenbehaftete Dualzahlen (n = 8, Zweierkomplement) in Dezimalzahlen um: a) b) c) 2.3. Wandele folgende Dezimalzahlen in Dualzahlen um: a) 25 b) 29 c) 32 d) 78 (Zweierkomplement, n = 8) e) 22 (Zweierkomplement, n = 8) f) 232 (Zweierkomplement, n = 8 geht das?) 2.4. Führe folgende Rechnungen mit Dualzahlen direkt (d. h. ohne Umwandlung in Dezimalzahlen) durch. Gib dabei jeweils Überträge bzw. Borger an: a) + b) + c) d) e) f) g) : 2.5. Gib eine Wahrheitstabelle für die Subtraktion von Dualziern analog zu Tabelle 2. an Führe folgende Umwandlungen durch: a) =? 6 b) 85FE 6 =? c) 6FA 6 =? 2 d) 2 =? Welche Dualzahl a) folgt auf? b) geht voran? 2.8. Welche ist die negativste Zahl, die man mit n = 8 Bits (Zweierkomplement) darstellen kann? 4

15 2.9. Welche Zahl (dezimal) ergibt sich, wenn man mit vorzeichenbehafteten Zahlen (Zweierkomplement) und n = 8 Bits arbeitet und versucht, die Rechnung durchzuführen? 2.. Stelle die vier Ziern 9876 im BCD-Code dar. 2.. Wieviel Prozent der Codewörter bleiben beim -aus--code ungenutzt? 2.2. Konstruiere einen Gray-Code mit 4 Bits Gib die Folge der ASCII-Codes zum Drucken der Zahl 23 an. 5

16 3 Boolesche Funktionen In der Digitaltechnik arbeiten wir mit booleschen Variablen (benannt nach dem englischen Mathematiker George Boole, 85864). Diese können nur die Werte und annehmen. Die DIN bezeichnet die beiden Werte auch als Logik- Zustände einer Variablen, also -Zustand und -Zustand. Ein boolesche Funktion hat n binäre Eingänge und einen binären Ausgang. Sie ordnet jeder momentanen Eingangskombination einen Ausgangswert zu und hat also kein Gedächtnis. Boolesche Funktionen werden auch logische Funktionen, Schaltfunktionen oder Verknüpfungen genannt. Einfache logische Funktion (wie z. B. NOT, AND, OR) heiÿen auch Gatter. Bei der technischen Umsetzung einer booleschen Funktion spricht man auch von einer kombinatorischen Schaltung oder einem Schaltnetz. 3. Wichtige boolesche Funktionen 3.. Identität (Identity) Schaltsymbole DIN 667-2: USA auch: X F X F Wahrheitstabelle X F 3..2 NOT (NICHT, Inverter, Negation) Schaltsymbole DIN 667-2: USA auch: X F X F Der Negations-Punkt dient am Eingang bzw. Ausgang von Bausteinen allgemein zur Kennzeichnung einer vor- bzw. nachgeschalteten Negation, siehe z. B. Abschnitt In einem Schaltplan können nach DIN statt der Logik-Zustände und die Logik-Pegel L und H verwendet werden. Letztere repräsentieren die den Logik- Zuständen zugrundeliegende physikalische Gröÿe, z. B. Spannung, auÿerhalb von Bausteinen. Werden in einem Schaltplan Logik-Pegel verwendet, so wird statt des Kreises zum Kennzeichnen der Negation ein Pfeil benutzt, der gleichzeitig die Richtung des Signalusses angibt, z. B.: X F

17 Wahrheitstabelle X F Formelzeichen F = X F = X F = X (hier bevorzugt) 3..3 AND (UND, Konjunktion) Schaltsymbole DIN 667-2: USA auch: X Y F X Y F Wahrheitstabelle X Y F Formelzeichen F = X Y F = X Y (hier bevorzugt) 3..4 OR (ODER, Disjunktion) Die AND-Funktion (und alle anderen folgenden Funktionen mit zwei Eingängen) lässt sich sinngemäÿ auf beliebig viele Eingangsvariablen erweitern. Schaltsymbole DIN 667-2: USA auch: X Y F X Y F Wahrheitstabelle X Y F 7

18 Formelzeichen F = X + Y F = Y Y (hier bevorzugt) 3..5 NAND (NICHT-UND) Schaltsymbole DIN 667-2: USA auch: X Y F X Y F Wahrheitstabelle X Y F Formelzeichen F = X Y F = (X Y ) (hier bevorzugt) 3..6 NOR (NICHT-ODER) Schaltsymbole DIN 667-2: USA auch: X Y F X Y F Wahrheitstabelle X Y F Formelzeichen F = X + Y F = (X Y ) (hier bevorzugt) 3..7 XOR (Exklusiv-ODER, Antivalenz) Schaltsymbole DIN 667-2: X Y = F X Y USA auch: F 8

19 Wahrheitstabelle X Y F Formelzeichen F = X Y F = X Y (hier bevorzugt) 3..8 XNOR (Äquivalenz) Schaltsymbole DIN 667-2: USA auch: X Y = F X Y F Wahrheitstabelle X Y F Formelzeichen F = X Y F = X Y (hier bevorzugt) 3.2 Darstellung boolescher Funktionen 3.2. Schaltplan Wahrheitstabelle Es gibt mehrere äquivalente Möglichkeiten, eine boolesche Funktion darzustellen. Abbildung 3. zeigt ein Beispiel für einen Schaltplan für eine boolesche Funktion. Da eine boolesche Funktion mit n binären Eingängen 2 n verschiedene Eingangskombinationen hat, lässt sie sich vollständig mit einer Wahrheitstabelle (englisch truth table) mit 2 n Zeilen beschreiben. Abbildung 3. zeigt ein Beispiel. Die Zeilen der Wahrheitstabelle werden üblicherweise in der numerischen Reihenfolge der durch die Eingangskombinationen sich ergebenden Dualzahlen sortiert. 9

20 X Y Z F Zeile X Y Z F Abbildung 3.: Beispiel für einen Schaltplan und äquivalente Wahrheitstabelle Formel Disjunktive Normalform (DNF) Eine Formel ist in der disjunktiven Normalform (DNF) (englisch sum of products), wenn sie eine ODER-Verknüpfung (Disjunktion) von UND-Verknüpfungen von gewissen (ggf. negierten) Variablen ist. Beispiel: F = Y Z + X Y Z Kanonische disjunktive Normalform (KDNF) Eine Formel in disjunktiver Normalform ist in der kanonischen disjunktiven Normalform (KDNF) (englisch canonical sum of products), wenn in jeder UND-Verknüpfung alle Variablen genau einmal vorkommen und alle UND-Verknüpfungen voneinander verschieden sind. Beispiel: F = X Y Z + X Y Z + X Y Z (3.) Die einzelnen UND-Verknüpfungen heiÿen auch Minterme. Es gibt eine einfache Beziehung zwischen der Wahrheitstabelle und der KDNF einer Funktion: Man betrachtet diejenigen Zeilen in der Wahrheitstabelle, deren Funktionswert ist (im Beispiel von Abbildung 3. die Zeilen 3, 4 und 7). Für eine Zeile ergibt sich ein Minterm, indem alle Variablen UND-verknüpft werden, wobei eine Variable negiert wird, wenn sie in der Zeile mit auftritt (z. B. für Zeile 3: X Y Z). Die ODER-Verknüpfung dieser Minterme ist die KDNF. Für das Beispiel oben ergibt sich Formel 3. als KDNF. Eine besonders kompakte Darstellung der KDNF ist die -Notation, die die Zeilennummern derjenigen Zeilen auistet, deren Funktionswert ist. Für das Beispiel ergibt sich: F = X,Y,Z (3, 4, 7) Konjunktive Normalform (KNF) Eine Formel ist in der konjunktiven Normalform (KNF) (englisch product of sums), wenn sie eine UND-Verknüpfung (Konjunktion) von ODER-Verknüpfungen von gewissen (ggf. negierten) Variablen ist. Beispiel: F = (X + Y ) (Y + Z) (Y + Z) 2

21 Kanonische konjunktive Normalform (KKNF) Eine Formel in konjunktiver Normalform ist in der kanonischen konjunktiven Normalform (KKNF) (englisch canonical product of sums), wenn in jeder ODER- Verknüpfung alle Variablen genau einmal vorkommen und alle ODER-Verknüpfungen voneinander verschieden sind. Beispiel: F = (X + Y + Z) (X + Y + Z) (X + Y + Z) (X + Y + Z) (X + Y + Z) (3.2) Die einzelnen ODER-Verknüpfungen heiÿen auch Maxterme. Es gibt eine einfache Beziehung zwischen der Wahrheitstabelle und der KKNF einer Funktion: Man betrachtet diejenigen Zeilen in der Wahrheitstabelle, deren Funktionswert ist (im Beispiel von Abbildung 3. die Zeilen,, 2, 5 und 6). Für eine Zeile ergibt sich ein Maxterm, indem alle Variablen ODER-verknüpft werden, wobei eine Variable negiert wird, wenn sie in Zeile mit auftritt (z. B. für Zeile : (X + Y + Z)). Die UND-Verknüpfung dieser Maxterme ist die KKNF. Für das Beispiel oben ergibt sich Formel 3.2 als KKNF. Eine besonders kompakte Darstellung der KKNF ist die -Notation, die die Zeilennummern derjenigen Zeilen auistet, deren Funktionswert ist. Für das Beispiel ergibt sich: F = X,Y,Z (,, 2, 5, 6). 3.3 Boolesche Algebra 3.3. Axiome (A) X {, } (A2) X = X = X = X = (A3) = + = (A4) = + = (A5) = = + = + = Gesetze mit einer Variablen (G) X + = X X = X (Identität) (G2) X + = X = (Null-Element) (G3) X + X = X X X = X (Idempotenz) (G4) X = X (Doppelte Negation) (G5) X + X = X X = (Komplement) 2

22 3.3.3 Gesetze mit zwei und mehr Variablen (G6) X + Y = Y + X X Y = Y X (Kommutativgesetz) (G7) (X + Y ) + Z = X + (Y + Z) (X Y ) Z = X (Y Z) (Assoziativgesetz) (G8) X (Y +Z) = (X Y )+(X Z) X+(Y Z) = (X+Y ) (X+Z) (Distributivgesetz) (G9) X + X Y = X X (X + Y ) = X (Absorptionsgesetze) (G) X + X Y = X + Y X (X + Y ) = X Y (G) X Y + X Y = X (X + Y ) (X + Y ) = X (G2) X Y = X + Y X + Y = X Y (DeMorgan) Einige Gesetze lassen sich auf mehrere Variablen erweitern, z. B. G2a (DeMorgan): Prinzip der Dualität X X 2... X n = X + X X n Alle Gesetze bleiben gültig, wenn man en und en vertauscht (also alle vorkommenden Variablen negiert) und UND und ODER vertauscht. Beispiel: X + X Y = X X (X + Y ) = X X (X + Y ) = X (Gesetz G9a) (Variablen negiert, UND/ODER vertauscht) (Variablen umbenannt, Gesetz G9b) Operatorrangfolge Wie in der vertrauten Algebra der reellen/komplexen Zahlen üblich, gilt auch für boolesche Funktionen die Regel Punkt vor Strich. Das heisst, die UND-Verknüpfungen werden vor den ODER-Verknüpfungen ausgeführt, sofern keine Klammern gesetzt sind. Beispiele: A B + C D = (A B) + (C D) A + B C + D = A + (B C) + D A + B C + D (A + B) (C + D) Ein Verneinungstrich über einer Operation wirkt gleichzeitig auch als Klammer. Beispiel: Aufgaben A + B C + D = (A + B) (C + D) 3.. Gib für die XNOR-Verknüpfung eine äquivalente Schaltung nur aus NOT-, UND- und ODER-Verknüpfungen an Beweise mit einer Tabelle: Ein NAND mit zwei Eingängen ist äquivalent zu einem OR-Gatter mit zwei invertierten Eingängen Gib Formeln und Wahrheitstabellen für folgende Schaltungen an: 22

23 X Y Z F X Y F Z Y X F F Gib die Wahrheitstabelle für jede der folgenden Funktionen an: a) F = X Y + X Y b) F = X Y Z + X Y Z + X Y Z c) F = W X Y Z + W X Y Z + W X Y Z d) F = (X + Y ) (X + Y ) e) F = (X + Y + Z) (X + Y + Z) (X + Y + Z) f) F = (W + X + Y + Z) (W + X + Y + Z) (W + X + Y + Z) 3.5. Stelle für folgende Wahrheitstabellen die Formeln (i) in kanonischer disjunktiver, (ii) in kanonischer konjunktiver Normalform auf. a) b) X Y F X Y Z F 23

24 c) F = X,Y,Z (2, 3, 7) d) F = W,X,Y,Z (, 2, 3, 5, 6, 3, 4) 3.6. Stelle für folgende Funktionen die Formeln (i) in kanonischer disjunktiver, (ii) in kanonischer konjunktiver Normalform auf. a) XOR b) XNOR 3.7. Die kanonische konjunktive Normalform einer booleschen Funktion lautet: F = (X + Y + Z) (X + Y + Z) (X + Y + Z) Wie lautet die kanonische disjunktive Normalform? 3.8. Es soll eine boolesche Funktion mit drei Eingängen und einem Ausgang realisiert werden. Der Ausgang soll genau dann sein, wenn die Mehrheit der drei Eingänge (also alle drei oder irgendwelche zwei) ist. a) Gib die Wahrheitstabelle an. b) Gib die Schaltfunktion in kanonischer disjunktiver Normalform an. c) Gib die Schaltfunktion in kanonischer konjunktiver Normalform an Welches Schaltnetz mit den Eingängen X, Y, Z und dem Ausgang F zeigt folgendes Verhalten? Gib die Formel in kanonischer disjunktiver Normalform an. X Y Z F 3.. Vereinfache folgende Funktionen mit den Gesetzen der booleschen Algebra: a) X (X + Y ) b) X Y + X Y + X c) (X + Y Z) X d) X + X Y e) X (X + Y ) + Y (Y + Z) + Z f) (X + Y ) (X + Y ) X g) (Z + Y ) Y + Y X W + W h) (X + Y ) (X + Y + Z ) i) W X Y Z (W X Y Z + W X Y Z + W X Y Z + W X Y Z) j) A B + A B C D + A B D E + A B C E + A B C E 3.. Gib die Wahrheitstabellen für die folgenden Funktionen an: 24 a) F = X Y + X Y Z b) F = W X + Y Z + X Z c) F = M N + M P + N P

25 d) F = A B + A B C + A B C e) F = (X + Y + Z) (X + Y ) Z f) F = A B (C B A + B C) 3.2. a) Ersetze ein NOR-Gatter mit drei Eingängen ausschlieÿlich durch NORs mit je zwei Eingängen. Gib ein Schaltbild an. b) Ersetze ein NAND-Gatter mit fünf Eingängen ausschlieÿlich durch NANDs mit je zwei Eingängen. Gib ein Schaltbild an. 25

26 4 Synthese von booleschen Funktionen 4. Minimierung mit dem KV-Diagramm Eine boolesche Funktion wird häug ausgehend von ihrer DNF oder KNF als Schaltung realisiert. Dazu ist es sinnvoll, sie zuvor zu minimieren. Eine Minimierung mit den Gesetzen der booleschen Algebra (Abschnitt 3.3) ist häug unübersichtlich. Ein KV-Diagramm (Karnaugh-Veitch-Diagramm, benannt nach den amerikanischen Informatikern Maurice Karnaugh und Edward W. Veitch) ist eine grasche Darstellung einer Wahrheitstabelle, mit der man u. a. leicht eine minimale DNF oder KNF gewinnen kann. Die Wahrheitstabelle wird dazu zunächst in ein Schema gemäÿ Abbildung 4. eingetragen. Diese Schemata sind so aufgebaut, dass benachbarte Felder (auch über Diagrammgrenzen hinweg) sich in genau einer Variablen unterscheiden. (Die kleingedruckten grauen Zahlen sind die entsprechende Zeilennummer in der Wahrheitstabelle.) Y Y X X 2 3 Z Z XY 2 3 X W X W Y Z Y Z Y X Abbildung 4.: Schemata für KV-Diagramme mit zwei, drei und vier Variablen 4.. Minimale DNF 4..2 Minimale KNF. Mit möglichst wenigen, möglichst groÿen, ggf. überlappenden Blöcken alle en erfassen. Ein Block besteht dabei aus einem rechteckigen Bereich aus, 2, 4, 8 oder 6 benachbarten en, ggf. über Diagrammgrenzen hinweg. Tipp: Mit solchen en anfangen, die nur auf eine Weise von einem gröÿtmöglichen Block erfasst werden können. 2. Jeden Block in einen Konjunktivterm umwandeln, indem alle für den Block konstanten Variablen UND-verknüpft werden. 3. Die Konjunktivterme ver-odern. Abbildung 4.2 zeigt ein Beispiel. Eine minimale KNF wird entsprechend der minimalen DNF gebildet mit den Unterschieden, dass en erfasst werden und das Blöcke in Disjunktivterme umgewandelt werden, indem alle für den Block konstanten Variablen negiert ODER-verknüpft werden. Abbildung 4.3 zeigt ein Beispiel.

27 Zeile W X Y Z F X Y W X W Y Z Y X F = X Y + X Z + W X 9 4 Z X Z W X Abbildung 4.2: Beispiel für eine Wahrheitstabelle und ein KV-Diagramm mit vier Variablen und Gewinnung einer minimalen DNF W X W Y Z Y X 9 4 Z X + Z X + Z F = (X + Z) (X + Z) Abbildung 4.3: Beispiel für ein KV-Diagramm mit vier Variablen und Gewinnung einer minimalen KNF 27

28 4..3 Don't-Care-Minimierung Manchmal können aufgrund der Aufgabenstellung bestimmte Eingangskombinationen gar nicht auftreten. Die entsprechenden Ausgangswerte bezeichnet man in der Wahrheitstabelle dann mit d für don't care (englisch für egal). Bei der Minimierung mit dem KV-Diagramm kann man entsprechende Felder als oder als annehmen - je nachdem, welcher Wert die günstigere Minimierung zulässt. Ein Beispiel ist ein Primzahldetektor für BCD-codierte Ziern. Abbildung 4.4 zeigt die entsprechende Wahrheitstabelle und die Gewinnung einer minimalen DNF mit einem KV-Diagramm. Zeile W X Y Z F d d 2 d 3 d 4 d 5 d W X W Y Z 4 2 d 8 W Z 5 3 d 9 Y X d d 4 d d F = W Z + X Y Z X Y Abbildung 4.4: Beispiel für eine Wahrheitstabelle mit Don't cares und Gewinnung einer minimalen DNF 4..4 Hazards Realisiert man eine boolesche Funktion mit realen Bausteinen, die eine Verzögerung aufweisen, so kann es beim Umschalten zwischen verschiedenen Eingangskombinationen zu ungewollten kurzzeitigen Impulsen (so genannten Glitches (englisch für Störimpulse)) am Ausgang kommen. Denition: Ein statischer -Hazard (englisch hazard = Gefährdung) ist ein Paar von Eingangskombinationen, die (a) sich in genau einer Variablen unterscheiden und (b) beide eine als Ausgang ergeben, bei denen es jedoch die Möglichkeit besteht, dass beim Umschalten kurzzeitig eine am Ausgang auftaucht. Abbildung 4.5 zeigt ein Beispiel für eine Schaltung mit einem statischen -Hazard. Die Eingangskombinationen X, Y, Z = und X, Y, Z = unterscheiden sich beide nur in der Variable Z und ergeben beide eine am Ausgang. Wie man an dem Timingdiagramm sieht, kann je nach genauer Verzögerung der einzelnen Bausteine kurzzeitig eine am Ausgang erscheinen. Einen statischen -Hazard erkennt man im KV-Diagramm daran, dass zwei Felder von zwei verschiedenen Blöcken unmittelbar aneinander grenzen, ohne dass die Felder in einem weiteren Block gemeinsam zusammengefast sind (siehe Abbildung 4.6 (a)). Man kann den Hazard beseitigen, indem man das Hazard-Paar durch einen weiteren Block zusammenfasst (siehe Abbildung 4.6 (b)). Die Schaltung wird dadurch hazardfrei (ist aber natürlich nicht mehr minimal). 28

29 X Z Y ZN XZN Y Z F Z ZN Y Z XZN F Abbildung 4.5: Schaltung mit statischem -Hazard mit Timing-Diagramm (a) Z Z XY 2 3 X (b) Z Z XY 2 3 X Y Y F = X Z + Y Z F = X Z + Y Z + X Y Abbildung 4.6: Statischer -Hazard (links) und Beseitigung (rechts) im KV- Diagramm Schaltungsrealisierungen der disjunktiven Normalform können statische -Hazards enthalten, jedoch keine -Hazards. Entsprechend können Realisierungen der konjunktiven Normalform statische -Hazards enthalten, jedoch keine -Hazards. Bei den meisten Anwendungen stellen Hazards kein Problem dar: Bei der Ansteuerung von Leuchtdioden etwa nimmt der Mensch ein kurzes Aufblitzen einer falschen LED nicht wahr. In getakteten Schaltungen wartet man mit der Auswertung von Ergebnissen, bis alle Glitches vorüber sind. Kann in einer Anwendung ein kurzer Impuls jedoch z. B. einen Alarm auslösen, so muss man darauf achten, dass die ansteuernde Schaltung hazardfrei ist. 4.2 Umwandlung in reine NAND-/NOR-Schaltungen In manchen Fällen ist es wünschenswert oder erforderlich, eine boolesche Funktion ausschlieÿlich mit NAND- oder NOR-Gattern zu realisieren. Im Folgenden werden zwei Rezepte vorgestellt, mit denen man dies erreichen kann. Ausgangspunkt ist jeweils eine Formel, die nur NOT-, AND- und OR-Verknüpfungen enthält Umwandlung in reine NAND-Schaltungen. Jede noch nicht negierte OR-Verknüpfung wird doppelt negiert. 2. OR-Verknüpfungen werden nach DeMorgan (von innen nach auÿen) in AND-Verknüpfungen gewandelt. 3. Noch nicht negierte AND-Verknüpfungen werden doppelt negiert. 29

30 Beispiel A + B + C D + E = A + B + C D + E (Schritt ) = A B C D E (Schritt 2) (in Schritt 3 ist hier nichts zu tun) Abbildung 4.7 zeigt die Realisierung nur mit NANDs als Schaltbild. A B C D E Abbildung 4.7: Realisierung einer booleschen Funktion nur mit NAND Verknüpfungen Umwandlung in reine NOR-Schaltungen Beispiel. Jede noch nicht negierte AND-Verknüpfung wird doppelt negiert. 2. AND-Verknüpfung werden nach DeMorgan (von innen nach auÿen) in OR-Verknüpfungen gewandelt. 3. Noch nicht negierte OR-Verknüpfungen werden doppelt negiert. A + B + C D + E 4.3 Umwandlung der Zahl der Eingänge = A + B + C D + E (Schritt ) = A + B + C + D + E (Schritt 2) = A + B + C + D + E (Schritt 3) Häug stehen zur Realisierung von booleschen Funktionen nur Bausteine mit weniger oder mehr Eingängen zur Verfügung als eigentlich benötigt werden. In diesem Fall helfen algebraische Umformungen. Beispiel: Umwandlung eines NAND mit 3 Eingängen in NANDs mit 2 Eingängen Abbildung 4.8 illustriert dies. 3 X Y Z = (X Y ) Z

31 = Abbildung 4.8: Umwandlung eines NAND mit 3 Eingängen in NANDs mit 2 Eingängen Aufgaben 4.. Wandele die folgenden booleschen Funktionen um, so dass sie ausschlieÿlich mit (i) NAND- bzw. (ii) NOR-Verknüpfungen mit je zwei Eingängen realisierbar sind. Gib das Ergebnis als Schaltplan an. a) Y = (A + B + C) (D + E) b) Y = A B + C D + E c) Y = A [B + C (D + E) + A B F ] d) Y = A + B C 4.2. Bestimme für folgende Funktionen mit Hilfe eines KV-Diagramms jeweils (i) eine minimale disjunktive Normalform bzw. (ii) eine minimale konjunktive Normalform. a) b) X Y Z F Z Y X F c) F = X,Y,Z (, 3, 5, 6, 7) d) F = W,X,Y,Z (, 4, 5, 6, 7, 9, 4, 5) e) F = W,X,Y (, 4, 5, 6, 7) f) F = W,X,Y,Z (,, 6, 7, 8, 9, 4, 5) g) F = A,B,C,D (4, 5, 6, 3, 5) h) F = A,B,C,D (4, 5, 6,, 3, 4, 5) i) F = V,W,X,Y,Z (5, 7, 3, 5, 6, 2, 2, 23, 25, 27, 29, 3) 3

32 4.3. Bestimme für folgende Funktionen mit don't cares mit Hilfe eines KV- Diagramms jeweils (i) eine minimale disjunktive Normalform bzw. (ii) eine minimale konjunktive Normalform. a) W X Y Z F d d d d b) F = W,X,Y,Z (,, 3, 5, 4) + d(8, 5) c) F = W,X,Y,Z (,, 2, 8, ) + d(3, 9, 5) d) F = A,B,C,D (4, 6, 7, 9, 3) + d(2) e) F = A,B,C,D (, 5, 2, 3, 4, 5) + d(7, 9) f) F = W,X,Y,Z (4, 5, 9, 3, 5) + d(,, 7,, 2) 4.4. Ein Sägewerk produziert Holzbalken, die zur Qualitätskontrolle einer Prüfeinrichtung zugeführt werden. Hierzu enthält die Prüfeinrichtung vier Lichtschranken L, L2, B und B2, mit denen die Abweichungen der Balkenabmessungen Länge und Breite von den Nennmaÿen erfasst werden. Die Lichtschranken sind so ausgeführt, dass die Signale L, L2, B und B2 jeweils eine führen, wenn die zugehörige Lichtschranke unterbrochen ist und eine, wenn die zugehörige Lichtschranke nicht unterbrochen ist. Eine logische Schaltung soll die vier Lichtschrankensignale zu drei aktiv- Ausgangssignalen La, N a, Au verarbeiten, welche anzeigen, ob ein Balken zum: Lager (La), Nachschnitt (N a) oder Ausschuss (Au) gebracht werden soll. Gib Formeln für eine entsprechende Schaltung in minimaler DNF unter Nutzung von Don't-Cares an. L max L min L2 L B min BB2 B max 32

33 4.5. Entwirf eine möglichst einfache Schaltung in DNF, die eine Dualzahl zwischen und 9 (einschlieÿlich) X 3 X 2 X X in ein entsprechendes Gray-Codewort F 3 F 2 F F umwandelt. Gib Formeln an Entwirf einen Leading--Markierer: Von einem 8-Bit-Datenwort am Eingang X 7 X 6 X 5 X soll am Ausgang F 7 F 6 F 5 F die höchstwertige Bitstelle mit dem Wert markiert werden. Beispiel:. Gib Formeln an Finde statische Hazards in folgenden Funktionen und gib eine funktionsgleiche, aber Hazard-freie Schaltung als Formel an: a) F = W X + W Y b) F = W X Y Z + X Y c) F = W Y + W Z + X Y Z d) F = W X + Y Z + W X Y Z + W X Y Z e) F = (W + X + Y ) (X + Z) 33

34 5 Häug verwendete kombinatorische Bausteine 5. Schaltsymbole und Signalnamen Abbildung 5. zeigt den Aufbau von Logik-Bausteinen nach DIN Die Bausteine werden durch eine rechteckige Kontur (oder eine Kombination aus Konturen, siehe unten) begrenzt. Oben mittig steht eine Kennzeichnung der allgemeinen Funktion. Eingänge werden normalerweise links, Ausgänge rechts dargestellt. Der interne Logik-Zustand bezeichnet einen Logik-Zustand, der innerhalb einer Symbolkontur an einem Ein- oder Ausgang angenommen wird. Der externe Logik-Zustand bezeichnet einen Logik-Zustand, der auÿerhalb der Symbolkontur angenommen wird, und zwar bei einem Eingang vor und bei einem Ausgang nach irgendwelchen externen Kennzeichen des Ausgangs (z. B. einer Negation). interne Logik-Zustände Kennzeichnung Eingänge Ausgänge externe Logik-Zustände 5.2 Codeumsetzer 5.2. Binärer Decoder Abbildung 5.: Aufbau von Schaltsymbolen in der Digitaltechnik Zur Kennzeichnung von Signalen werden i. a. Groÿbuchstaben benutzt. Signalnamen sollten nach Möglichkeit die Bedeutung des Signals erkennen lassen. Dabei entspricht aktiv einer und nicht aktiv einer (kurz: aktiv- ). Beispiel: Ist RESET =, so ist RESET aktiv, und es soll etwas zurückgesetzt werden. Häug werden Signale auch aktiv- deniert. Wir kennzeichnen sie hier durch Anhängen von _N an den Signalnamen, z. B. RESET_N. Beispiel: Ist RESET_N =, so ist RESET_N aktiv. (Wir unterscheiden hier zwischen dem Signal RESET_N, das vor vorneherein aktiv- deniert wurde, und dem Ausdruck RESET, der das Signal RESET mit nachfolgender Negation ausdrückt.) Codeumsetzer wandeln einen Code (also eine Bitkombination) am Eingang in einen anderen Code am Ausgang um. Hat der Eingang weniger Stellen als der Ausgang, so spricht man i. a. von einem Decoder, im umgekehrten Fall von einem Encoder. Im Schaltsymbol werden die beiden Codes mit einem Schrägstrich getrennt angegeben. Ein binärer Decoder wandelt eine n-stellige Dualzahl am Eingang in einen -aus-2 n - Code am Ausgang. Es wird also am Ausgang genau jene von 2 n Leitungen aktiviert, die der Dualzahl am Eingang entspricht.

35 Abbildung 5.2 zeigt das Schaltsymbol, eine Realisierungsmöglichkeit sowie die Wahrheitstabelle für einen solchen binären Decoder für n = 2, auch bezeichnet als binärer 2-zu-4-Decoder. Dieser Decoder besitzt einen zusätzlichen Enable-Eingang (englisch enable = Freigabe). Der Decoder erfüllt seine normale Funktion nur, wenn EN =. Ist EN =, so sind unabhängig von den anderen Eingängen die Ausgänge immer (nicht aktiviert). Das Schaltsymbol nach DIN erklärt sich folgendermaÿen: In der allgemeinen Kennzeichnung des Bausteines werden der Code am Eingang und der Code am Ausgang getrennt durch einen Schrägstrich angegeben. BIN steht dabei für den binären (dualen) Code. Die DIN bezeichnet BIN als einen summierenden Code: Der interne Wert des Bausteins ist die Summe der Zahlen, die an jenen Eingängen stehen, welche sich im internen -Zustand benden. Der Ausgangscode -aus-4 ist ein Code der Direkt-Angabe: Die Ausgänge werden mit Zahlen bezeichnet, welche die internen Werte darstellen, die den internen -Zustand des jeweiligen Ausgangs bewirken. EN = erzwingt den -Zustand aller Ausgänge. I2 I EN Y Y I I2 EN BIN/-aus Y Y Y 2 Y 3 EN Eingänge Ausgänge EN I2 I Y 3 Y 2 Y Y x x Y 2 Y 3 Abbildung 5.2: Schaltsymbol, Realisierungsmöglichkeit und Wahrheitstabelle eines binären 2-zu-4-Decoders Der 74x38 binäre 3-zu-8-Decoder Der 74x38 ist ein kommerziell erhältlicher binärer 3-zu-8-Decoder. Das Schaltsymbol und die Wahrheitstabelle zeigt Abbildung 5.3. Der Baustein hat drei Enable- Eingänge, von denen zwei -aktiv sind. Im Schaltsymbol ist zu sehen, dass die UND-Verknüpfung der internen Zustände (alle aktiv-) der drei Enable-Eingänge die Enable-Funktion bewirkt. Es lassen sich leicht Formeln für die Funktion des Bausteins anhand der internen Zustände angeben, z. B. Y 5 = G } G2A {{ G2B } C } {{ B A } Enable Auswahl 35

36 A B C G G2A_N G2B_N BIN/-aus EN 6 7 Y _N Y _N Y 2_N Y 3_N Y 4_N Y 5_N Y 6_N Y 7_N G G2A_N G2B_N C B A Y 7_N Y 6_N Y 5_N Y 4_N Y 3_N Y 2_N Y _N Y _N x x x x x x x x x x x x x x x Abbildung 5.3: Schaltsymbol und Wahrheitstabelle 74x Binärer Encoder Die Beziehung zwischen innerem und äuÿerem Zustand ist: G2A = G2A_N G2B = G2B_N Y 5 = Y 5_N Die Formel ausgedrückt anhand der äuÿeren Zustände lautet entsprechend: Y 5_N = Y 5 = G G2A_N G2B_N C B A = G + G2A_N + G2B_N + C + B + A Ein 74x38 lässt sich leicht als binärer 2-zu-4-Decoder nutzen, indem der Eingang C auf gesetzt wird. Mehrere 74x38 lassen sich zu gröÿeren binären Decodern kaskadieren. Abbildung 5.4 zeigt dafür ein Beispiel. Anwendungsbeispiel: Adressdecoder Ein binärer Encoder wandelt einen -aus-n-code am Eingang in einen Dualcode am Ausgang um kehrt also quasi die Funktion eines binären Decoders um. Abbildung 5.5 zeigt ein Beispiel für einen binären 8-zu-3-Encoder. Die Zahlen neben den Eingängen bewirken gemäÿ der Kennzeichnung der Eingänge mit -aus-8 als Code der Direktangabe einen internen Zustand mit der angegebenen Zahl. Die Markierungen neben den Ausgängen beziehen sich auf den als BIN gekennzeichneten summierenden Code und stellen Gewichte dar, die in der Summe den internen Zustand des Bausteins ausgeben. Obwohl die Wahrheitstabelle sehr umfangreich ist, lassen sich Formeln für die Ausgänge leicht angeben zu: 36

37 A B C D EN_N BIN/-aus EN 6 7 Y _N Y _N Y 2_N Y 3_N Y 4_N Y 5_N Y 6_N Y 7_N BIN/-aus EN 6 7 Y 8_N Y 9_N Y _N Y _N Y 2_N Y 3_N Y 4_N Y 5_N Abbildung 5.4: Kaskadierung von zwei 74x38 zu einem binären 4-nach-6-Decoder H H H2 H3 H4 H5 H6 H7 -aus-8/bin A A A2 H7 H6 H5 H4 H3 H2 H H A2 A A Abbildung 5.5: Schaltsymbol und Teil der Wahrheitstabelle eines binären 4-zu-2- Encoders 37

38 A = H + H3 + H5 + H7 A = H2 + H3 + H6 + H7 A2 = H4 + H5 + H6 + H Prioritäts-Encoder Der binäre Encoder aus dem vorherigen Abschnitt hat zwei Unzulänglichkeiten:. Man kann nicht unterscheiden, ob überhaupt ein Eingang aktiviert wurde. 2. Wird mehr als ein Eingang aktiviert, so ist die Ausgabe unsinnig. Beispiel: Es werden H6 und H3 aktiviert. Die Ausgabe ist A2 = A = A =, also 2 = 7. Das erste Problem kann man lösen, indem man einen zusätzlichen Ausgang schat, der angibt, ob mindestens einer der Eingänge aktiviert wurde. Ein solcher Ausgang wird GS (Merkhilfe: got something) genannt. Es gilt: GS = H7 + H6 + H5 + H4 + H3 + H2 + H + H Eine Möglichkeit, das zweite Problem zu lösen, besteht darin, den Eingängen absteigende Prioritäten zuzuweisen. Ist die Eingangsleitung mit der höchsten Priorität aktiv, so werden die Eingangsleitungen mit niedrigerer Priorität blockiert usw. Wir können eine solche Prioritätenauösung unserem einfachen Encoder aus dem vorangegangenen Abschnitt vorschalten, um aus den priorisierten Eingänge I7 (höchste Priorität) bis I die Eingänge H7 bis H zu erhalten: H7 = I7 H6 = I6 I7 H5 = I5 I6 I7... H = I I I2 I3 I4 I5 I6 I Der 74x48 binäre 8-zu-3-Prioritäts-Encoder Abbildung 5.6 zeigt das Schaltsymbol für den kommerziell erhältlichen 8-zu-3- Prioritäts-Encoder 74x48. Das Schaltsymbol verwendet weitere spezielle Symbolik aus DIN Der Code am Eingang ist mit HPRI (für highest priority) gekennzeichnet. Der Schrägstrich an der Kennzeichnung der Eingänge trennt zwei verschiedene Funktionen. Die erste Funktion (links des Schrägstriches) bewirkt einen internen Zustand mit der angegebenen Zahl, wobei bei mehreren aktiven Eingängen gemäÿ Kennzeichnung als HPRI der Eingang mit dem höchsten Gewicht Priorität hat. Die zweite Funktion (rechts des Schrägstriches), gekennzeichnet mit Z m, ist eine Verbindungs-Abhängigkeit. Sie transportiert den internen Zustand des Eingangs an die Markierung m. Die horizontalen Striche führen diese Signale einer internen OR-Verknüpfung zu. Der mit V8 gekennzeichnete Eingang bewirkt, dass dieser mit dem mit 8 markierten Ausgang der OR-Verknüpfung noch einmal OR-verknüpft wird (ODER-Abhängigkeit). Der mit EN α gekennzeichnete Eingang gibt die mit α markierten Ausgänge frei; sind sie nicht freigegeben, so sind sie. Der griechische 38

39 Buchstabe α wird hierbei statt einer numerischen Markierung verwendet, um bei den Ausgängen Konikte mit der Kennzeichnung der internen Zustände zu vermeiden. I_N I_N I2_N I3_N I4_N I5_N I6_N I7_N EI_N HPRI/BIN /Z /Z 2/Z2 3/Z /Z4 4 5/Z5 5 α 6/Z6 6 7/Z7 7 V8 ENα α 2α 4α EO_N GS_N A_N A_N A2_N EI_N I_N I_N I2_N I3_N I4_N I5_N I6_N I7_N A2_N A_N A_N GS_N EO_N x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x Abbildung 5.6: Der binäre 8-zu-3-Prioritäts-Encoder 74x Multiplexer und Demultiplexer 5.3. Multiplexer Multiplexer verbinden einen von n Eingängen mit einem Ausgang. Die Auswahl des Eingangs erfolgt mit speziellen Select-Leitungen (englisch select = Auswahl). Abbildung 5.7 zeigt einen fach-4-zu--multiplexer (auch: -Bit-Multiplexer mit 4 Eingängen). Das Schaltsymbol nach DIN erklärt sich folgendermaÿen: Die geschweifte Klammer gruppiert Eingänge. Es wird die Summe der Gewichte der Eingänge gebildet, die sich im internen -Zustand benden. Wenn die Gewichte alle Zweierpotenzen sind, so können sie durch den Exponenten ersetzt werden. Das ist hier geschehen: steht für 2 =, für 2 = 2. G 3 beschreibt eine UND-Abhängigkeit auf die Eingangssignale mit den Markierungen bis 3. Es wird also Eingang i selektiert (und am Ausgang ausgegeben), genau dann wenn die oben gebildete Summe i ist. Abbildung 5.8 zeigt eine Realisierungsmöglichkeit sowie eine verkürzte Wahrheitstabelle. Abbildung 5.9 zeigt Schaltsymbol und Wahrheitstabelle eines kommerziellen fach 8-zu--Multiplexers (oder -Bit-Multiplexer mit 8 Eingängen) 74x5. Bei den grup- 39

40 (a) (b) (c) D D D2 D3 SS Y D D D2 D3 S, S Y S S D D D2 D3 2 3 MUX G 3 Y Abbildung 5.7: fach-4-zu--multiplexer: (a) häug verwendetes Schaltsymbol, (b) Illustration der Funktion, (c) Schaltsymbol nach DIN D D D2 D3 Y S S Y D D D2 D3 SS Abbildung 5.8: Realisierungsmöglichkeit und verkürzte Wahrheitstabelle eines fach-4-zu--multiplexers pierten Eingängen wurde die mittlere Zweierpotenz ( für 2 ), weggelassen, was nach DIN erlaubt ist. MUX EN_N EN S S S2 2 G 7 D D D2 D3 2 3 D4 4 D5 5 D6 6 D7 7 Y Y _N EN_N S2 S S Y Y _N x x x D D D D D2 D2 D3 D3 D4 D4 D5 D5 D6 D6 D7 D7 Abbildung 5.9: Schaltsymbol und Wahrheitstabelle eines 74x5 fach 8-zu-- Multiplexers Mehrfachmultiplexer Bei einem Mehrfachmultiplexer bestehen die Ein- und Ausgänge nicht aus einem, sondern aus mehreren Leitungen. Abbildung 5. zeigt einen kommerziellen 74x57 4fach 2-zu--Multiplexer (oder 4-Bit-Multiplexer mit 2 Eingängen). Im Schaltsymbol ist die obere Kontur ein gemeinsamer Steuerblock, der auf alle vier in der unteren Kontur abgeteilte fach-multiplexer wirkt. G ist wieder eine UND-Abhängigkeit mit Eingängen, die mit markiert sind. Bendet sich G im internen -Zustand, 4

41 wird also die mit markierte Leitung ausgewählt. Andernfalls wird die mit markierte Leitung ausgewählt. Alle vier fach-multiplexer werden auf diese Weise gesteuert. Die Symbole aus dem oberen Multiplexer brauchen in den unteren nicht wiederholt zu werden. EN_N S D D 2D 2D 3D 3D 4D 4D EN G MUX Y 2Y 3Y 4Y D D 2D 2D 3D 3D 4D 4D EN_N S Y 2Y 3Y 4Y x D 2D 3D 4D D 2D 3D 4D Abbildung 5.: Schaltsymbol, Veranschaulichung und Wahrheitstabelle eines 74x57 4fach 2-zu--Multiplexers S Y 2Y 3Y 4Y Multiplexer zur Realsierung boolescher Funktionen Demultiplexer Multiplexer können verwendet werden, um boolesche Funktionen zu realisieren. Demultiplexer kehren die Funktion von Multiplexern um. Abbildung 5. illustriert einen fach--zu-4-demultiplexer. (a) D SS Y Y Y 2 Y 3 (b) D S, S Y Y Y 2 Y 3 (c) S S D DMUX G Y Y Y 2 Y 3 Abbildung 5.: -zu-4-demultiplexer: (a) häug verwendetes Schaltsymbol, (b) Illustration der Funktion, (c) Schaltsymbol nach DIN Arithmetische Schaltungen 5.4. Vergleicher Ungleichheit Abbildung 5.2 zeigt eine Schaltung für einen Vergleicher (englisch comparator), der von zwei 4stelligen Dualzahlen A = (A 3 A 2 A A ) und B = (B 3 B 2 B B ) ausgibt, ob diese ungleich sind. Die Formel lautet: 4