Auswertung von Messungen Teil III

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1 Auswertung von Messungen Teil III 1. Nichtlineare Regression 1.1 Mehrfach-lineare Regression 1. Allgemeines Vorgehen bei nichtlinearen Funktionen. Entscheidungstheorie.1 Signifikanzzahl Signifikanzniveau. Vorgehen beim statistischen Test.3 Einseitige und zweiseitige Tests 3. Signifikanztests 3.1 Test für Mittelwert z-test 3. Test für Mittelwert t-test 4. Anpassungstest 4.1 Chi-Quadrat Test 4. Freiheitsgrade 4.3 Beispiele 1

2 1. Nichtlineare Regression 1.1 Mehrfach-lineare Regression Gesucht: y = m 1 x 1 + m x + + m k x k + b Es liegen j = 1... n Messwerte vor. Lösung mit Excelfunktion RGP (y 1 : y n ; x 11 : x kn ; WAHR ; WAHR) Ergebnisangabe: m k m k-1 m 1 b se k se k-1 se 1 se b mit: se k Standardabweichung r - Bestimmtheitsmaß r F se Y d f ss reg ss resid

3 1. Allgemeines Vorgehen bei nichtlinearen Funktionen Beispiel: Y = a e b X X c ln Y = c ln X + b X + ln a Überführen in die lineare Darstellung: Y = a X + a 1 X 1 + a 0 mit Y = ln y, X = ln x, X 1 = x, a `= c, a 1 = b, a 0 = ln a für Y(X 1, X ) dann die mehrfach-lineare Regression durchführen. 3

4 . Entscheidungstheorie Aufgabe: Aus Stichproben sind Entscheidungen über Grundgesamtheiten zu treffen (Mittelwerte, Varianz, Verteilungstyp) Häufigkeit H z.b. Frage: Genügen die grünen Ergebnisse auch der blauen Statistik, d.h. der roten Verteilungskurve? Mittelwert Mittelwert 4

5 . Entscheidungstheorie Aufgabe: Aus Stichproben sind Entscheidungen über Grundgesamtheiten zu treffen (Mittelwerte, Varianz, Verteilungstyp) Nullhypothese H 0 und Alternativhypothese H 1 aufstellen. Haltbarkeit der Hypothese an Hand von Stichprobenwerten prüfen. Bei Versagen von H 0 die Alternativhypothese annehmen. Signifikanzzahl α = Irrtumswahrscheinlichkeit Signifikanztest Entscheidungsregeln, ob signifikante oder bloß zufällige Abweichungen vom erwarteten Ergebnis vorliegen. ( Beispiel: 0 x Münzwurf, es fällt 16x Kopf! Ist die Münze präpariert?) Eine Nullhypothese kann angenommen oder verworfen werden. Dabei kann man Fehler machen: - Fehler 1. Art - Richtige Hypothese wird abgelehnt - Lieferantenrisiko - Fehler. Art - Falsche Hypothese wird akzeptiert - Kundenrisiko 5

6 .1 Signifikanzzahl - Signifikanzniveau Die Signifikanzzahl ist die maximale Wahrscheinlichkeit, mit der man willentlich einen Fehler 1. Art riskiert. z.b. bei α=0,05 (5% Niveau) wird zu 5% falsch geurteilt, d.h. wir entscheiden zu 95% richtig. Tests bei Normalverteilungen 1 Wahrscheinlichkeit 0.5 Fläche = 0.05 Fläche = x = x = 1.96= Messgröße 6

7 .1 Signifikanzzahl - Signifikanzniveau Tests bei Normalverteilungen 0,4 Akzeptanzfläche 0, Fläche = 0.95 Fläche = Z = Z = 1.96 Signifikanzfläche Zu 95% kann man sicher sein, dass z im Intervall (-1.96, 1.96) liegt 7

8 . Vorgehen beim statistischen Test 5-Schritte-Prozedur 1. Definition von Nullhypothese und Alternativhypothese. Signifikanzzahl wählen 3. Kritischen Wert aus Tabellen auswählen (ist ein normierter Wert) 4. Aus der Stichprobe die (normierte) Prüfgröße berechnen 5. Prüfen, ob die Prüfgröße den kritischen Wert verletzt. (Was verletzt bedeutet, hängt von der Testproblematik ab) 8

9 .3 Einseitige und zweiseitige Tests Einseitiger Test Risiko: Höchstwertüberschreitung Z < L Einseitiger Test Risiko: Mindestwertunterschreitung Z > L Zweiseitiger Test Risiko: außerhalb der Toleranzen L1<Z <L L 1 L 9

10 3. Signifikanztests 3.1 Test für den Mittelwert µ bei bekannter Varianz σ (z-test) Stichprobe vom Umfang n, Mittelwert Irrtumswahrscheinlichkeit α, Hypothese H 0 soll gelten: µ = µ 0. x Stichprobenwert: z st x μ σ 0 = n Grenzwert z 1-α aus F(z) bestimmen! µ > µ 0 µ < µ 0 µ µ 0 10

11 3. Signifikanztests 3.1 Test für den Mittelwert µ bei bekannter Varianz σ (z-test) Stichprobe vom Umfang n, Mittelwert, Irrtumswahrscheinlichkeit α, Hypothese H 0 soll gelten: µ = µ 0. x μ0 zst = n Stichprobenwert: σ wird berechnet aus Messdaten! x Grenzwert z 1-α aus F(z) bestimmen! Bei Alternativhypothese: µ > µ 0 H o annehmen für: z st z 1-α µ < µ 0 z st z 1-α µ µ 0 z α/ z st z 1-α/ 11

12 3. Test für den Mittelwert bei unbekannter Varianz σ (s bekannt) (t-test) Dieser Fall liegt gewöhnlich bei Messaufgaben vor! Es liegt eine Stichprobe vom Umfang n vor. Mittelwert und Standardabweichung s der Stichprobe werden daraus berechnet. Die Prüfgröße ist hier: x µ x µ t = = n s/ n s t genügt der STUDENT-Verteilung. Diese ist tabelliert und hängt vom Parameter Freiheitsgrad (n-1) ab. Auch die Grenzwerte der kumulativen (d.h. integrierten) STUDENT-Verteilung sind tabelliert: x 1

13 3. Test für den Mittelwert bei unbekannter Varianz σ (s bekannt) (Grenzwerte der STUDENT-Verteilung) Freiheitsgrade Flächen F(t) f 0,90 0,95 0,975 0,99 0,995 0, ,08 6,31 1,71 31,8 63,66 318,9 1,89,9 4,30 6,96 9,9,33 3 1,64,35 3,18 4,54 5,84 10,1 4 1,53,13,78 3,75 4,60 7,17 5 1,48,0,57 3,36 4,03 5,89 6 1,44 1,94,45 3,14 3,71 5,1 7 1,41 1,89,36 3,00 3,50 4,79 8 1,40 1,86,31,90 3,36 4,50 9 1,38 1,83,6,8 3,5 4, ,37 1,81,3,76 3,17 4, ,34 1,75,13,60,95 3,73 0 1,33 1,7,09,53,85 3, ,9 1,66 1,98,36,63 3, ,9 1,65 1,97,35,60 3, ,8 1,65 1,96,33,58 3,09 1-α/ Sicherheitswahrscheinlichkeit 13

14 3. Test für den Mittelwert bei unbekannter Varianz σ (s bekannt) Beispiel: Zweiseitiger Test In der Eingangskontrolle einer Maschinenbaufirma werden die Innendurchmesser von Kugellagern vermessen. Im Rahmen einer Stichprobenerhebung wurden 30 Lager einer Lieferung vermessen. Als Mittelwert ergab sich der Innendurchmesser 30,03 mm; die Standardabweichung wurde zu 0,09 mm gemessen. Zu testen ist, ob mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von 5% behauptet werden kann, dass der Sollwert 30,00 mm eingehalten wird? Bei Alternativhypothese µ µ 0 : H o annehmen für t α/ t st t 1-α/ µ? µ 0 14

15 3. Test für den Mittelwert bei unbekannter Varianz σ (s bekannt) Beispiel: Zweiseitiger Test In der Eingangskontrolle einer Maschinenbaufirma werden die Innendurchmesser von Kugellagern vermessen. Im Rahmen einer Stichprobenerhebung wurden 30 Lager einer Lieferung vermessen. Als Mittelwert ergab sich der Innendurchmesser 30,03 mm; die Standardabweichung wurde zu 0,09 mm gemessen. Zu testen ist, ob mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von 5% behauptet werden kann, dass der Sollwert 30,00 mm eingehalten wird? Stichprobe: x= 30, 03mm n= 30 s= 0,1 mm t =? st Testparameter: µ 0 = 30,0 mm α = 0,05 f = n 1= 9 t =? krit t St ( μ ) ( 30, 03 30) x n mm = = 30 = 1,86 s 0,09 mm Tabelle 15

16 3. Test für den Mittelwert bei unbekannter Varianz σ (s bekannt) (Grenzwerte der STUDENT-Verteilung) Freiheitsgrade Flächen F(t) f 0,90 0,95 0,975 0,99 0,995 0, ,08 6,31 1,71 31,8 63,66 318,9 1,89,9 4,30 6,96 9,9,33 3 1,64,35 3,18 4,54 5,84 10,1 4 1,53,13,78 3,75 4,60 7,17 5 1,48,0,57 3,36 4,03 5,89 6 1,44 1,94,45 3,14 3,71 5,1 7 1,41 1,89,36 3,00 3,50 4,79 8 1,40 1,86,31,90 3,36 4,50 9 1,38 1,83,6,8 3,5 4, ,37 1,81,3,76 3,17 4, ,34 1,75,13,60,95 3,73 0 1,33 1,7,09,53,85 3, ,9 1,66 1,98,36,63 3, ,9 1,65 1,97,35,60 3, ,8 1,65 1,96,33,58 3,09 1-α/ Sicherheitswahrscheinlichkeit t krit =,045 16

17 3. Test für den Mittelwert bei unbekannter Varianz σ (s bekannt) Beispiel: Zweiseitiger Test In der Eingangskontrolle einer Maschinenbaufirma werden die Innendurchmesser von Kugellagern vermessen. Im Rahmen einer Stichprobenerhebung wurden 30 Lager einer Lieferung vermessen. Als Mittelwert ergab sich der Innendurchmesser 30,03 mm; die Standardabweichung wurde zu 0,09 mm gemessen. Zu testen ist, ob mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von 5% behauptet werden kann, dass der Sollwert 30,00 mm eingehalten wird? Stichprobe: x= 30, 03mm n= 30 s= 0,1mm t = 1,86 st Testparameter: µ 0 = 30,0 mm α = 0,05 f = n 1= 9 t = ±,045 krit Der Vergleich des Stichprobenwertes t St mit dem Grenzwert t krit liefert das Testergebnis: Da t st =1,86 im Intervall zwischen dem unteren (-,045) und dem oberen (,045) kritischen Wert aus der t-tabelle liegt, wird die Nullhypothese angenommen. Mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von 5% kann behauptet werden, dass der Mittelwert 30 mm für den Innendurchmesser eingehalten wird. 17

18 3.3 Test für den Vergleich zweier Mittelwerte (t-test) x x Frage: Stammen Stichprobenmittelwerte und aus der gleichen 1 Grundgesamtheit oder nicht? (n 1 =n ). t x x 1 = s1 + s n Prüfgröße ist prüf Nullhypothese H 0 : µ 1 = µ Freiheitsgrade: f = (n-1) 18

19 3.3 Test für den Vergleich zweier Mittelwerte (t-test) Beispiel für zweiseitigen Test Hierzu ein Beispiel: Zur Überprüfung der Reproduzierbarkeit einer bei Abkühlversuchen benutzten Messmethode wurden zwei Versuchsreihen V1 und V angestellt. Die Temperaturmittelwerte unterscheiden sich. Ist der Unterschied der Mittelwerte dieser gemessenen Temperaturen signifikant? ( Zweiseitiger Test mit Irrtumswahrscheinlichkeit 5 %). Temperaturen beim Abkühlversuch [ C] V1 106,9 106,3 107,0 106,0 104,9 V 106,5 106,7 106,8 106,1 105,6 Stichprobe: n=5 Testparameter: f=8 x x t = 106, s = 0, st = 106,34 s = 0, x x 1 = n = s1 + s ( 1) 0,74 α = 0,05 =±,306 t krit 19

20 3.3 Test für den Vergleich zweier Mittelwerte (t-test) Beispiel für zweiseitigen Test Stichprobe: Testparameter: t = 0, 74 t = ±,306 st krit Einseitiger Test Einseitiger Test Zweiseitiger Test Nullhypothese H 0 µ 1 = µ µ 1 = µ µ 1 = µ Alternativhypothese H 1 µ 1 > µ µ 1 < µ µ 1 # µ t krit unten -1,860 -,306 t krit oben 1,860,306 Test-Ergebnis H 0 annehmen H 0 annehmen H 0 annehmen Da die Prüfgröße (t-wert der Stichprobe) zwischen den kritischen Werten der t -Verteilung liegt, wird die Nullhypothese angenommen. Der beobachtete Unterschied der Mittelwerte der beiden Stichproben ist mit 95%iger Sicherheit nicht signifikant. 0

21 3.4 Ein weiteres Beispiel für den t-test Frage: Es wird eine Entscheidungsregel gesucht, ob die Münze fair ist. 64 Münzwürfe sind möglich, das Signifikanzniveau soll 5% sein. Dazu betrachten wir wieder die tabellierten Grenzwerte der STUDENT-Verteilung: Freiheitsgrade f ,90 3,08 1,89 1,64 1,53 1,48 0,95 6,31,9,35,13,0 Flächen F(t) 0,975 0,99 1,71 31,8 4,30 6,96 3,18 4,54,78 3,75,57 3,36 0,995 63,66 9,9 5,84 4,60 4,03 0, ,9,33 10,1 7,17 5,89 6 1,44 1,94,45 3,14 3,71 5,1 7 1,41 1,89,36 3,00 3,50 4,79 8 1,40 1,86,31,90 3,36 4,50 9 1,38 1,83,6,8 3,5 4, ,37 1,81,3,76 3,17 4, ,34 1,75,13,60,95 3,73 0 1,33 1,7,09,53,85 3, ,9 1,66 1,98,36,63 3, ,9 1,65 1,97,35,60 3, ,8 1,65 1,96,33,58 3,09 µ = 64 ½ = 3, σ = 4, t =? Wenn die Kopfzahl zwischen 3 ± t σ = 3 ± 4 = (4.. 40) liegt, ist mit 95% Sicherheit die Münze fair. 1

22 3.4 Ein weiteres Beispiel für den t-test Frage: Es wird eine Entscheidungsregel gesucht, ob die Münze fair ist. 64 Münzwürfe sind möglich, das Signifikanzniveau soll 5% sein. Zahl der Meßwerte für statistische Sicherheit von 68% 95% 99% t 1-α (!) µ = 64 ½ = 3, σ = 4, t Wenn die Kopfzahl zwischen 3 ± t σ = 3 ± 4 = (4.. 40) liegt, so ist mit 95% Sicherheit die Münze fair.

23 4. Anpassungstest Problem: Gehören die Meßwerte einer Messreihe zu einer bestimmten Verteilungsfunktion? Antwort: Chi-Quadrat-Test durchführen - Messwerte y werden in M Gruppen zusammengefaßt. - Messwerte: y i erwartete bzw. berechnete Werte: Y i - Definition der Merit-Funktion χ M beobachteter Wert erwarteter Wert = 1 Standardabweichung y i Y i Die Standardabweichung innerhalb einer Gruppe kann als Ergebnis einer Zählstatistik (Poissonverteilung!) angenommen werden. d.h. Varianz = (Standardabweichung) = erwarteter Wert Y i χ i =1..M 3

24 4. Anpassungstest Problem: Gehören die Meßwerte einer Messreihe zu einer bestimmten Verteilungsfunktion? Antwort: Chi-Quadrat-Test - Messwerte y werden in M Gruppen zusammengefaßt. - Messwerte: y i erwartete bzw. berechnete Werte: Y i - Definition der Merit-Funktion χ y i Y i i =1..M χ M (yi Y) i χ = Y ist ein Maß dafür, wie gut die unsicheren Messwerte der angenommenen Verteilungsfunktion entsprechen. χ i= 1 Je größer, desto unwahrscheinlicher ist es, dass die Messwerte der Verteilungsfunktion entsprechen. i 4

25 4.1 Chi-Quadrat-Verteilung 1) Messwerte sind in M Klassen sortiert: M> 6, mehr als 5 Messwerte pro Klasse! ) Aus Stichprobe sind K Parameter zu berechnen 3) Zahl der Freiheitsgrade v : v = M K 1 4) Die Verteilungsfunktion für χ ist: P( χ, ν) ν χ χ e / = ν / Γ ( ν /) P( χ) v=4 v=6 v=0 Fazit: Kleine und große χ sind unwahrscheinlich, wenn die Verteilungsfunktion stimmen soll! χ 5

26 4.1 Chi-Quadrat-Verteilung Prüfgröße: χ St M = i= 1 ( y Y ) i Y i i Die Prüfgröße χ ist bei ausreichend vielen y i annähernd χ verteilt mit M-K-1 Freiheitsgraden. Wenn die Nullhypothese wahr ist, sollte der Unterschied zwischen der beobachteten und der theoretisch erwarteten Häufigkeit klein sein. Dazu wird eine kritische Prüfgröße χ krit bestimmt. Bei einem Signifikanzniveau α wird H o angenommen, wenn χ krit χ χ α ( 1, 1) St krit M K Man sagt: ist das (1-α)-Quantil der -Verteilung mit M-K-1 Freiheitsgraden. χ krit Es existieren Tabellen für die -Schwellenwerte in Abhängigkeit von der Anzahl der Freiheitsgrade ν und vom gewünschten Signifikanzniveau α. χ 6

27 4.1 Chi-Quadrat-Verteilung Wie funktioniert der Chi-Quadrat-Test? P(χ) v=4 v=6 v=0 Zufallswerte genügen der angenommenen Verteilungsfunktion, wenn χ χ exp krit χ W = P( χ ) dχ χ exp χ exp χ krit Es ist tabelliert: χ krit ( 1 a, ν ) Das Integral W(χ exp ) sollte größer als 5% sein! 7

28 4. Freiheitsgrade ein Beispiel v = Anzahl der beobachteten Daten Anzahl der aus den Daten berechneten Parameter d.h. Anzahl der Freiheitsgrade = Anzahl der Klassen Anzahl der Zwangsbedingungen -1 Beispiel: 100 γ-messungen mit Zählrohr. Frage: liegt hier Poisson-Verteilung vor? Zählwert Häufigkeit Klassennummer Beobachtung Erwartung Summe 100 8

29 4. Freiheitsgrade ein Beispiel Achtung: Mindestsen 6 Klassen, Zusammenfassung aller Zählwerte mit kleiner Häufigkeit in einer einzigen Klasse. Zählwert Häufigkeit Klassennummer Beobachtung Erwartung Summe 100 9

30 4. Freiheitsgrade ein Beispiel Zur Berechnung der erwarteten Werte nach der Poisson-Verteilung brauchen wir dem Mittelwert : m =,59 Wegen Poisson-Verteilung ist die Standardabweichung s = m = 1, 61 Zählwert Häufigkeit Klassennummer Beobachtung Erwartung , , , , , Summe ,1 30

31 Dichte f( χ ) der χ Verteilung 0,5 0,0 0,15 Dichte f(χ ) der χ -Verteilung f = 4 0,10 0,05 0, χ χ Kumulierte Verteilung = F( χ ) 1,0 0,8 0,6 0,4 0, Die kumulierte χ -Verteilung F(χ ) (Linksseitige Flächenanteile F(χ²) unter der Dichte f(χ²)) f = 4 0, χ² 31

32 4. Freiheitsgrade ein Beispiel 6 Klassen Zwangsbedingungen: - Summe der Klassenhäufigkeiten (hier 100) - Mittelwert der Poisson-Verteilung Freiheitsgrade: ν = 6 - = 4 exp χ exp = 1, 4 χkrit = 9,5 χ Damit ist Hypothese der Poisson-Verteilung gerechfertigt 3

33 4.3 Beispiel: Lottozahlen Sind die gezogenen LOTTO-Zahlen gleichverteilt? Zur Prüfung wurden die Zahlen aus Ziehungen ausgewertet Nullhypothese: Gleichverteilung mit H i = χ exp = Prüfgröße: Testgröße (95%, ν=48) gesucht! 33

34 Bestimmung der Testgröße aus der F( χ ) -Tabelle v F(x ) 0,9 0,95 0,975 0,99 0,995 0,999 Wahrscheinlichkeit 1,71 3,84 5,0 6,63 7,88 10,83 4,61 5,99 7,38 9,1 10,60 13,8 3 6,5 7,81 9,35 11,34 1,84 16,7 4 7,78 9,49 11,14 13,8 14,86 18,47 5 9,4 11,07 1,83 15,09 16,75 0, ,55 1,03 3,34 6, 8,30 3, ,81,36 4,74 7,69 9,8 34, ,06 3,68 6,1 9,14 31,3 36,1 15,31 5,00 7,49 30,58 3,80 37, ,54 6,30 8,85 3,00 34,7 39,5 17 4,77 7,59 30,19 33,41 35,7 40, ,99 8,87 31,53 34,81 37,16 4, ,0 30,14 3,85 36,19 38,58 43,8 0 8,41 31,41 34,17 37,57 40,00 45, ,6 43,77 46,98 50,89 53,67 59, ,81 55,76 59,34 63,69 66,77 73, ,17 67,50 71,4 76,15 79,49 86, ,40 79,08 83,30 88,38 91,95 99, ,53 90,53 95,0 100,43 104,1 11, ,58 101,88 106,63 11,33 116,3 14, ,57 113,15 118,14 14,1 18,30 137, ,50 14,34 19,56 135,81 140,17 149,45 ( P ) χ ν = 48, = 95% = 65 34

35 4.3 Beispiel: Lottozahlen Sind die gezogenen LOTTO-Zahlen gleichverteilt? Zur Prüfung wurden die Zahlen aus Ziehungen ausgewertet Nullhypothese: Gleichverteilung mit H i = Prüfgröße: χ st = Testgröße (95%, ν=48) χ = χ χ exp 0.95 Wegen kann die Nullhypothese angenommen werden ,0 35

36 4.3 Beispiel: Fahrspuren Auf einer 4-spurigen Autobahn werden die Fahrzeuge pro Spur gezählt (n=1000). Frage: Bevorzugen die Fahrer eine Fahrbahn? Spur Fahrzeuge Nullhypothese : Die 1000 Fahrer bevorzugen keine Spur, d.h. P i = ¼, H i = 50 Prüfgröße: (94 50) (76 50) (38 50) (19 50) χst = Wegen χ χ wird die Nullhypothese mit 95% Sicherheit abgelehnt. Test ν Testgröße für: =3, P =! 95% 0,95 = 4,48 χ Test (3; 95%) = 7,8 36

37 Literatur H.Gränicher, Messung beendet was nun?, Teubner 1994.R.Spiegel, L.J.Stephens, Statistik, McCraw_Hill 1999 T.Elser, Statistik für die Praxis, Wiley 004 L.Squires, Messergebnisse und ihre Auswertung, 1971 J.Mandel, The statistical analysis of experimental data, 1984 M.Drosg, Umgang mit Unsicherheiten, facultas 006 L.Kirkup, B.Frenkel, Uncertainty in Measurements, Cambridge 006 J.R.Taylor, Fehleranalyse VCH 1988 DIN 1319, Teil 3 und 4 DIN 55350, Teil 13 Messunsicherheiten Messunsicherheiten 37