Einführung in (Binäre) Bäume

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1 edeutung und Ziele inführung in (inäre) äume Marc Rennhard äume gehören ganz allgemein zu den wichtigsten in der Informatik auftretenden atenstrukturen, die Sie selbst schon oft angetroffen haben. Insbesondere inärbäume haben die igenschaft, dass aten effizient eingefügt, gefunden und gelöscht werden können. Nach dieser Lektion können Sie olgendes: Sie wissen, was äume in der Informatik sind Sie kennen die Terminologie von äumen und können sie richtig anwenden Sie kennen einige nwendungsgebiete von äumen in der Informatik Sie wissen, was inärbäume sind und kennen deren wichtigste igenschaften Sie kennen die drei Traversierungsmethoden von inärbäumen und können sie richtig anwenden 2 blauf Rückblick Kurzer Rückblick llgemeine etrachtung von äumen is jetzt haben Sie folgende atenstrukturen kennengelernt: Terminologie Lernkontrolle zur Terminologie Stack: LIO (last-in-first-out) Speicher efinition eines aumes eispiele von äumen in der Informatik Queue: IO (first-in-first-out) Speicher inärbäume als wichtiger Spezialfall allgemeiner äume efinition und igenschaften von inärbäumen Traversieren von inärbäumen Liste: eliebiger Zugriff auf einzelne lemente Lernkontrolle zum Traversieren ies waren alles lineare atenstrukturen, denn jedes lement hat immer maximal einen Vorgänger oder Nachfolger Mit äumen lernen Sie heute eine nicht-lineare atenstruktur kennen 3 4

2 äume findet man fast überall Terminologie (1) und efinition Josef rnst Mattthias Katrin Lukas hristine Roger laudia enise Marc Renato Tobias Kleiner hef rosser hef Leo Hanspeter Livio Saira Mirco Kleiner hef Wurzel (Root): einziger Knoten ohne Vorgänger Innere Knoten: Knoten mit Nachfolger Knoten (Vertices) gerichtete Kanten (dges) ist Vorgänger (Vater, Parent) Knoten von ist Nachfolger (Kind, hild) Knoten von Mitarbeiter Mitarbeiter Mitarbeiter Mitarbeiter Mitarbeiter Typische gemeinsame igenschaften all dieser äume: Pentium H J K lätter (Leaves): Knoten ohne Nachfolger L M und sind eschwister (Sibling) Knoten Mehrschichtige Hierarchie von lementen mit einem eindeutigen Ursprung Jedes lement (ausser dem Ursprung) ist zu genau einem lement in der darüber liegenden Herarchieschicht zugeordnet und kann einen ezug zu mehreren lementen in der darunterliegenden Hierararchieschicht haben 5 efinition eines aumes (informell): in aum besteht aus Knoten und gerichteten Kanten, wobei eine Kante jeweils zwei verschiedene Knoten verbindet. ie Wurzel ist der einzige Knoten ohne Vorgänger; alle anderen Knoten haben genau einen Vorgänger. lle Knoten haben eine beliebige nzahl von Nachfolgern. 6 Terminologie (2) Lernkontrolle Terminologie Stufe 0 Stufe 1 Stufe 2 ie Knoten mit der gleichen Pfadlänge k befinden sich auf der gleichen Stufe k H J K L s gibt genau einen Pfad (Path) von der Wurzel zu jedem anderen Knoten (z --K) ie nzahl der Kanten in einem Pfad ist die Pfadlänge (Path Length) (z 2 für --K) M ie Tiefe t eines aumes ist definiert als die maximale Pfadlänge + 1 (Hier = 3) eantworten Sie die folgenden ragen zum aum rechts: Welche(r) Knoten ist/sind die - Wurzel: - Inneren Knoten: - lätter: Vorgänger von L: Nachfolger von : eschwister von : Welche Knoten liegen auf dem Pfad von nach Q: Wie lange ist dieser Pfad? uf welcher Stufe befindet sich L? Tiefe des aums: O J K P L M Q R S H N c) Welches sind gültige äume? a) b) 7 8

3 ormale efinition aum als verallgemeinerte Liste Rekursive efinition: in aum T ist entweder leer oder besteht aus einer Wurzel r mit 0 n Teilbäumen T 1 T n T 1 T 2 T 3 T n r Knoten einer einfach verketteten Liste: Knoten eines aumes: us dieser efinition folgt: Jeder beliebige Knoten in einem aum kann als Wurzel eines neuen aumes betrachtet werden. us 1 n beliebigen Teilbäumen T 1 T n erhält man einen neuen aum, indem man die Wurzeln dieser Teilbäume zu den Nachfolgern einer neuen Wurzel macht. public class ListNode { ListNode next; ListNode(Object d) { public class TreeNode { LinkedList next; TreeNode(Object d) { Nicht-Rekursive efinition (vergleich mit efinition von raphen): in aum T=(V,) besteht aus einer Menge von Knoten V und einer Menge von gerichteten Kanten. ie Wurzel r V hat nur usgangskanten; alle anderen Knoten haben genau eine ingangskante. ür alle Kanten e gilt e = (v 1,v 2 ), wobei v 1,v 2 V und v 1 v eispiele äume in der Informatik (1) eispiele äume in der Informatik (2) ie Klassenhierarchie in Java kann in einem aum dargestellt werden, denn: ie Klasse Object ist die Wurzel der Klassenhierarchie lle anderen Klassen haben genau eine Superklasse Object String Number MyProg ateien in einem ilesystem werden oft in einem aum angeordnet as Wurzelverzeichnis (Root irectory) entspricht der Wurzel Verzeichnisse entsprechen den inneren Knoten ateien entsprechen den lättern as Navigieren durch das ilesystem entspricht dem ab- und aufsteigen entlang einer Kante ber: mit Mechanismen wie Links in Unix oder Shortcuts in Windows entspricht das ilesystem eigentlich nicht mehr einem aum! ecimal Integer Long omain Names im Internet (zhwin.ch, abb.ch, amazon.com) sind in einem aum angeordnet. ber: com org ch de uk ilt nicht für jede OO-Sprache (z ++ mit Mehrfachvererbung) amazon ethz zhwin abb 11 12

4 ragen zu äumen im llgemeinen? inäre äume (inärbäume) efinition als Spezialfall eines allgemeinen aumes : in inärbaum ist ein aum bei welchen ein Knoten maximal zwei Nachfolger hat. abei ist jeder Knoten ausser der Wurzel eindeutig als linker oder rechter Nachfolger seines Vorgängers gekennzeichnet. Rekursive efinition inärbaum: r in inärbaum T ist entweder leer oder besteht aus einer Wurzel r mit einem linken und einem rechten Teilbaum T L und T R T L T R Vom aum zum inärbaum Wozu eigentlich inärbäume? Knoten eines aumes: Knoten eines inärbaumes: isher haben wir allgemeine äume betrachtet, die sich vor allem zur allgemeinen arstellung und hierarchischen Strukturierung von aten eignen public class TreeNode { LinkedList next; TreeNode(Object d) { public class inarytreenode { ynarytreenode left; ynarytreenode right; inarytreenode(object d) { inärbäume sind durch die inschränkung auf maximal zwei Nachfolger eines Knotens dafür nicht geeignet ie atenstruktur inärbaum wird vielmehr dazu verwendet, aten so zu organisieren, dass sie effizient eingefügt, gefunden und gelöscht werden können Um dies zu erkennen, müssen wir einige spezielle igenschaften von inärbäumen anschauen 15 16

5 igenschaften Traversieren eines inärbaumes uf Stufe k befinden sich maximal 2 k Knoten In inärbaum heisst voll, wenn alle Stufen k ausser der untersten komplett besetzt sind, d.h. jeweils 2 k Knoten besitzen Stufe 0 Stufe 1 Stufe 2 Problem: Man möchte alle aten, die in einem inärbaum gespeichert sind, durchgehen; zum eispiel um sie als Liste auszugeben oder um ihre nzahl oder ihre Summe zu berechnen Mit Traversieren eines inärbaumes wird das systematische esuchen all seiner Knoten bezeichnet In eine Stufe k passt immer genau ein Knoten mehr als in allen darüber liegenden Stufen 0 (k 1) zusammen ein inärbaum der Tiefe t besitzt maximal 2 t 1 + (2 t 1 1) = 2 t 1 Knoten araus folgt, dass ein voller inärbaum mit n Knoten eine Tiefe von log 2 (n + 1) hat Stufe 0 Stufe 1 Stufe 2 s gibt viele verschiedene Reihenfolgen, in welchen man die Knoten eines inärbaumes ausgeben kann, zum eispiel:,,,,,,,,,,,, ie Tiefe eines vollen inärbaumes wächst also logarithmisch mit der nzahl der Knoten dies bildet die asis damit aten im inärbaum effizient eingefügt, gefunden und gelöscht werden können (mit ufwand O(log n), aber mehr dazu folgt später) 17 ie drei wichtigsten Reihenfolgen werden mit Preorder, Inorder und Postorder gekennzeichnet und lassen sich rekursiv definieren 18 Traversierungsalgorithmen eispiel: Traversierung in Preorder Traversieren eines inärbaumes in Preorder: 1. esuche die Wurzel esuche die Wurzel 2. urchlaufe den linken Teilbaum in Preorder 3. urchlaufe den rechten Teilbaum in Preorder Traversieren eines inärbaumes in Inorder: 1. urchlaufe den linken Teilbaum in Inorder 2. esuche die Wurzel 3. urchlaufe den rechten Teilbaum in Inorder Traversieren eines inärbaumes in Postorder: 1. urchlaufe den linken Teilbaum in Postorder 2. urchlaufe den rechten Teilbaum in Postorder 3. esuche die Wurzel T L r T R urchlaufe den linken Teilbaum in Preorder 1. esuche die Wurzel 1, 2 2. urchlaufe den linken Teilbaum in Preorder 1. esuche die Wurzel 1, 2, 3 3. urchlaufe den rechten Teilbaum in Preorder 1. esuche die Wurzel 1, 2, 3, 4 3. urchlaufe den rechten Teilbaum in Preorder 1. esuche die Wurzel 1, 2, 3, 4, 5 2. urchlaufe den linken Teilbaum in Preorder 1. esuche die Wurzel 1, 2, 3, 4, 5, 6 3. urchlaufe den rechten Teilbaum in Preorder 1. esuche die Wurzel 1, 2, 3, 4, 5, 6,

6 Lernkontrolle: Traversierung in Inorder ragen zu inärbäumen? Traversieren Sie den unten stehenden inärbaum in Inorder. Wie lautet die Reihenfolge der Knoten? T T O R L I N U Zusammenfassung äume bestehen aus Knoten und gerichteten Kanten lle Knoten ausser der Wurzel haben genau einen Vorgänger in Knoten kann mehrere Nachfolger haben llgemeine äume findet man in der Informatik häufig Zum eispiel Klassenhierarchie in Java, ilesysteme und omain Names im Internet inärbäume sind ein Spezialfall von allgemeinen äumen in Knoten hat maximal zwei Nachfolger, welche als linker und rechter Nachfolger bezeichnet werden Mit Traversieren bezeichnet man das systematische esuchen und uflisten aller Knoten in einem inärbaum Preorder, Inorder und Postorder bezeichnen die drei wichtigsten Traversierungsmethoden 23