Speculative Investor Behavior in a Stock Market with Heterogeneous Expectations

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1 Speculative Investor Behavior in a Stock Market with Heterogeneous Expectations Institut für Stochastik und Wirtschafstmathematik Seminararbeit Autor:, Betreuer: Privatdoz. Dipl.-Ing. Dr.techn. Gerhold Stefan

2 Inhaltsverzeichnis 1 Einführung Das einfache Model Beispiel Allgemeines Model Lehrsätze Proposition Proposition Proposition Zurück zum Beispiel Schwächrere Anforderungen Schlussfolgerungen Anhang Fundamental Analyse Efficient Market Hypothesis Short-Sale Vollkommener Markt Literaturverzeichnis

3 Motivation Die Marktpreise von gewöhnlichen Aktien werden heutzutage nicht mehr nur durch Angebot und Nachfrage beeinflusst, sondern auch durch viele weitere Faktoren. Sepkulatives Verhalten von Investoren im 21.Jh nimmt immer mehr an Bedeutung zu und hat einen starken Einfluss auf die Wertvorstellungen von Käufern und Verkäufern. Die Transaktionen am Aktienmarkt finden teilweise in Millisekunden statt und sind schwer zu beurteilen.. Ein Beispiel dafür ist der 6.Mai 2010, wo die Börse in New York innerhalb von ein paar Minuten um rund 9% gefallen ist. Viele Investoren versuchen die winzigen Schwankungen während ein paar Sekunden auszunützen,um somit Gewinne erzielen zu können. Man sollte also bedenken, dass dieses Phänomen nicht von sich alleine entstanden ist, sondern durch das Managerverhalten hervorgerufen wurde und surch diese beeinflusst wird. Die Frage, die man sich also stellen sollte ist nicht, ob es ein spekulatives Verhalten gibt, sondern wann dieses zu irreführenden Kurspreisen führt. In dieser Arbeit werden hauptsächlich die technischen und mathematischen Hintergründe von Investoren mit heterogenen Vorstellungen am Aktienmarkt betrachten und anhand von einem einfachen Beispiel erläutert. 2

4 Was ist Spekulation? Im allgemeinen Sprachgebrauch wird jede Entscheidung, die ein Risiko oder eine Prognose über die Zukunft beinhaltet, als spekulativ betrachtet. Wir fokussieren uns in diesem Fall auf die bekannte Definition von Kaldor: Speculation... may be defined as the purchase (or sale) of goods with a view to resale (repurchase) at a later date, where the motive behind such action is the expectation of a change in the relevant prices relatively to the ruling price and not a gain accruing through their use, or any kind of transformation effected in them, or their transfer between markets (Kaldor (1939), p. 1). Aus dieser Definition kann man schließen, dass in einem complete contingent market ein Makler (Investor) sowohl keine Möglichkeit als auch keine Lust zum Spekulieren hat. Falls der Markt unvollständig ist, werden aber alle Makler bis auf ein paar Einzelfälle spekulieren. Das heißt sie werden spekulativ handeln, um Vorteile aus den Auswirkungen der neuen ökonomischen Informationen über Aktienpreise am Markt zu ziehen. In einem extremen Fall, wo der Makler die Weise, wie die anderen ihre Erwartungen analysieren, kennt, wird seine Handlung eindeutig. Diese Betrachtungsweise stellt die Hirshleifer s Verallgemeinerung seiner Definition über das spekulative Verhalten dar. Investoren spekulieren also, dass die Gesamtheit an Gütern, mit denen sie gerade handeln, nach einigen Preisbewegungen profitabel sein wird. In noch allgemeineren Fällen wird man dann mit viel komplizierteren Portfolios konfrontiert. Es gibt verschiedene Gründe warum die Märkte unvollständig sind und bleiben. Man wird sehen, dass die Unvollständigkeit der Märkte genau eines impliziert, und zwar, dass die Investoren im Alltag spekulieren. Anders gesagt, dass sie das wiederholte Handeln eigentlich gar nicht vermeiden können. Die besondere Motivation der relativ kleinen Anzahl an echten Spekulanten, die an organisierten spekulativen Märkten handeln, wird in dieser Arbeit nicht betrachten. Es gibt eine formale Darstellung von diesem Verhalten, die sog. news trading -Spekulation. Die Investoren suchen dann ständig nach neuen Informationen, um aus diesen Gewinne erzielen zu können. Ungeklärt bleibt jedoch, warum nicht alle Investoren diese Strategie verfolgen und warum nicht alle an den organisierten spekulativen Märkten teilnehmen. 3

5 1 Einführung Als erstes stellen wir uns eine gewönliche Aktie vor, die die Dividenden zu diskreten Zeitpunkten t = 1, 2,... ausbezahlt und definieren uns für diese einige wichtige Kenngrößen, die dann in der gesamten Arbeit verwendet werden: d t (x t ) bezeichnet die Dividende ausbezahlt zum Zeitpunkt t bedingt auf x t β t (x t ) bezeichnet den herrschenden Preis von einer 1$ Forderung zum Zeitpunkt t bedingt auf x t t x t β t (x t )d t (x t ) stellt dann den aktuellen Preis der Aktie dar. In diesem Fall macht es keinen Unterschied, ob die Märkte nach dem Handel wiedereröffnen oder nicht. Falls ja, wären die Investoren mit der Position, die sie gerade erhalten haben, zufrieden und würden diese weiterhin behalten wollen. Die Situation wird komplizierter, wenn die Märkte unvollkommen, unvollständig oder beides sind. Das heißt die Investoren bekommen das Recht den Dividendenstrom zu einem späteren Zeitpunkt zu verkaufen. Dies führt dann dazu, dass die Investoren nicht die Positionen erreichen können, mit denen sie für immer zufrieden wären. Somit wird der aktuelle Aktienpreis auch dadurch beeinflusst, ob die Märkte in der Zukunft wiedereröffnen oder nicht. Wenn die Märkte wiedereröffnen, kann es zu einem spekulativen Verhalten führen, d.h. ein Investor kauft eine Aktie um sie in der Zukunft für mehr zu verkaufen. Er glaubt, dass sie es Wert ist und kann somit seinen Gewinn erzielen. Diese Möglichkeit wird sich dann natürlich im aktuellen Aktienpreis wiederspiegeln. Man kann also sagen, dass die Investoren ein spekulatives Verhalten vorweißen, wenn sie das Recht die Aktie wieder zu verkaufen dazu bringt, mehr zu bezahlen als sie zahlen würden, wenn es verpflichtend wäre, die Aktie zu behalten. Dieses Phenomän tritt nicht auf: wenn nur noch eine Periode übrig ist wenn alle Investoren identisch sind an einem vollkommenen oder vollständigen Kapitalmarkt. 4

6 Im Kapitel 2 wird anhand eines sehr einfachen Models das spekulative Verhalten erklärt. Die Investoren werden in homogene Klassen eingeteilen, wobei jede Klasse ein unbeschränktes Vermögen besitzt und alle Invesoren Zugang zu den gleichen ökonomischen Informationen haben. Außerdem sind die Investoren risiko-neutral, d.h. sie orientieren sich nur anhand des mathematischen Erwartungswerts des Barwerts. Alle Blankoverkäufe der Aktien sind in diesen Fall verboten. Das Kapitel 3 zeigt anhand eines kurzen numerischen Beispieles zu unserem Modell die Empfindlichkeit des Preisgleichgewichtes. Dieses verändert sich, wenn die Investoren einer Klasse eine Aktie anbieten, in Erwartung, sie könnten es an die Mitglieder einer anderen Klasse zu höheren Preisen verkaufen, als sie selber zahlen würden. Dies führt dann dazu, dass der Preis eigentlich höher sein muss als der, den jede Klasse zahlen würde, damit es ein Gleichgewicht geben kann. Mit diesen Kenntnissen kommen wir dann im Kapitel 4 zu unserem allgemeinen Modell zurück und passen das Radner Kriterium für Preisgleichgewicht mit Hilfe von unserem Teil-Gleichgewichten unseres Modells an. Dieses Preismodell heißt dann kosistent, wenn es keinem Investor durch geschickte Spekulationen erlaubt ist, Gewinne zu machen. Mathematisch kann man die Konsistenz als ein einfaches Martingal, mit einem minimalen einheitlichen Preis, betrachten. Wir werden sehen, dass dieses Minimum jeden Barwert der zukünftigen Dividenden übersteigen wird und die Investoren wären dann bereit ein sogenanntes spekulatives Premium zu bezahlen, damit sie in Zukunft mit Gewinne rechnen können. Die explizite Berechnung des minimalen einheitlichen Preises für unsere Beispiel erfolgt dann in Kapitel 5. Die Ergebnisse werden anschließend in Kapitel 6 besprochen. Im Wesentlichen sieht man dann, dass die Preise vor allem von den Annahmen über die Risikoneutralität, unbeschränkten Vermögen und dem Verbot der Blankoverkäufen abhängt. Trotz alleden wird behauptet, dass dieses Model auch eine gute Annäherung an eines ist, in dem Blankoverkäufe erlaubt sind und dass auch dort das Phänomen der Spekulation auftreten könnte, man würde es nur nicht so deutlich sehen. Kapitel 7 beihnaltet zum Schluss verschiedene Bemerkungen bezüglich des Zusammenhanges zwischen dem einfachen Modell, den fundamentalen Theorien der Analysis und der Irrfahrtshypothese. 5

7 2 Das einfache Model Zur besseren Veranschaulichung betrachten wir den Markt nur für eine einzige Aktie,wo das Handeln zu diskreten Zeitpunkten t = 0, 1,... stattfindet, wobei der Zeitpunkt t = 0 die Gegenwart darstellt. Somit werden die zukünftigen Dividenden d 1, d 2,... zu den Zeitpunkten t = 1, 2,... ausbezahlt, mit d t > 0. Weiters nehmen wir an, dass die Dividenden d t kurz vor dem Handelszeitpunt t bekannt gegeben werden und zwischen den Zeitpunkten t 1 und t an jemandem, der die Aktie besitzt, ausbezahlt werden. Als nächstes werden die neuen ökonomischen Informationen ξ t, t = 1, 2,..., die den Investoren zwischen den Zeitpunkten t 1 und t bekannt geworden sind, definiert. Somit stellt der Vektor: χ t = (ξ 1, ξ 2,..., ξ t ) die gesammte ökonomische Information dar. Weiters gilt: d t ist bekannt zum Zeitpunkt t und somit in der Information χ t beinhaltet (um diese Abhängigkeit zu erläutern schreiben wir auch d t (χ t )) X t bezeichnet alle Möglichkeiten zur Durchführung von χ t x t stellt einen Punkt in X t dar, d.h. eine einzige Durchführung alle X t sind zählbar (um technische Schwierigkeiten zu vermeiden) Zur Vervollständigung wird noch X 0 als Singleton x 0 und χ 0 als einen trivialen zufälligen Vektor definiert, der identisch mit x 0 ist. Man könnte x 0 auch als einen Vektor mit den ökonomischen Informationen, die den Investoren zum Zeitpunkt t = 0 bekannt sind, betrachten. Es wird angenommen, dass die Investoren einer bestimmten Firma keinen Einfluss auf die Wahl, mit wessen Aktien gehandelt werden, haben. Somit sehen alle Investoren den Dividendenstrom d t, als auch die ökonomischen Informationen χ t als eine exogene Quelle der Ungewissheit. Die Investoren werden dann in verschiedene Klassen eingeteilt und mit A wird die endliche Menge der Investorenklassen bezeichnet. Jeder Investor besitzt eine subjektive Wahrscheinlichkeitsverteilung für den Prozess χ t und man nimmt an, dass Investoren der gleichen Klasse die gleiche Wahrscheinlichkeitsverteilung verwenden und auch Investoren verschiedener Klassen können verschiedene Verteilungen annehmen. Wir bezeichnen mit E a [ ] den Erwartungswert für die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Investorenklasse a A und nehmen an, dass alle Investoren risiko-neutral sind. Der Diskontierungsfaktor γ wird pro Periode gerechnet. Somit ist zum Zeitpunkt t der Zufälligkeit x t einer Investorenklasse a der zufällige Zahlungsstrom {y t+s (χ t+s ); s = 0, 1, } nicht unterschiedlich von der sicheren Zahlung in der Höhe E a [ γ s y t+s (χ t+s ) χ t = x t ] s=0 6

8 Jede Investorenklasse ist weiters groß genug um eine Absprache zwischen den Investoren zu vermeiden und hat genug Kapital um alle Aktien kaufen zu können. Die Hauptannahme in unserem Modell ist, dass die angefragten Aktien nicht kurzfristig verkauft werden dürfen. 3 Beispiel Zur Veranschaulichung stellt man sich zwei Investorenklassen vor, bezeichnend mit 1 und 2, wobei die Dividenden in jeder Periode entweder 0 oder 1 sind. Beide Klassen sind davon überzeugt, dass die einzig relevante Information χ t die größtmögliche Dividende d t ist. Der Prozess d 1, d 2,... wird von jeder Klasse als ein stationärer Markovprozess mit Zustandsraum 0, 1 betrachtet, d.h. der Markt befindet sind im Zustand d wenn die größtmögliche Dividende d ist. Wir bezeichnen mit q a (d, d ) die Übergangswahrscheinlichkeit einer Klasse a von d nach d. Somit definieren wir die Übergangsmatrix: [ ] q Q a = a (0, 0) q a (0, 1) q a (1, 0) q a a = 1, 2 (1, 1) und für unseres numerisches Beispiel betrachten die Übergangsmatrizen: [ ] [ ] 1/2 1/2 2/3 1/3 Q 1 = Q 2 = 2/3 1/3 1/4 3/4 und γ = 0.75 Zuerst wir der Wert für den Kauf einer Aktie berechnet, die die Investoren für immer behalten würden, um anschließend das Preisgleichgewicht zu bestimmen. Der Wert der Aktie ist durch die Höhe der zukünftigen Dividenden gegeben, deren Barwert für eine Investorenklasse a im Zustand d mit p a (d) bezeichnet wird. Durch einfaches Nachrechnen bekommen wir dann: p 1 (0) = 4/3 = 1.33, p 1 (1) = 11/9 = 1.22, p 2 (0) = 16/11 = 1.45, p 2 (1) = 21/11 = 1.91 Man sieht, dass die Investoren der Klasse 2 höhere Barwerte der zukünftigen Dividenden aufweisen, als die der Klasse 1, unabhängig von dem Zustand d. Man könnte also vermuten, dass die Investoren der Klasse 2 die Aktie für immer behalten würden und dass der Preis in jedem Zustand d gleich p 2 (d) sein wird. Wenn aber die Investoren der Klasse 1 diese Preise voraussehen könnten, wäre der Markt nicht im Gleichgewicht. Ein Investor der Klasse 1 kann also im Zustand 0 die Aktie mit der Absicht kaufen, um diese dann später für 1.91 zu verkaufen, d.h. im ersten Übergang in den Zustand 1, wo die Dividenden zum ersten Mal erklärt werden. Von seiner Sicht aus, ist der Barwert der Aktie, bei Umsetzung dieses Planes: [(1/2)(0.75) + (1/2) 2 (0.75) 2 + ]( ) =

9 und diese übersteigt den Kaufpreis im Zustand 0. Das heißt, wenn der Preis im Zustand Eins 1.91 oder mehr beträgt, muss er im Zustand null mindestens 1.75 betragen. Um zu vestehen, was in diesem Abschnitt passiert ist, schauen wir uns zuerst die zwei Übergangsmatrizen an. Wenn sich der Aktienmarkt im Zustand Eins befindet, sind die Investoren der Klasse 2 optimistisch und glauben an Gewinne von den Dividenden in naher Zukunft. Dies geschieht mit der großen Wahrscheinlichkeit von 3/4, dass die Dividenden in nächster Periode bekannt gegeben werden. Man kann andererseits sehen, dass die Investoren der Klasse 1 ausgehend vom Zustand Eins pessimistich denken, sie dürfen aber diese nicht kurzfristig verkaufen. Im Zustand Null, sind wiederum die Investoren der Klasse 1 optimistischer über den Übergang in den Zustand Eins als die der Klasse 2. Dies gibt ihnen die Möglichkeit Kapitalgewinne zu erwarten. Sie können also die Aktie solange halten, bis Dividenden erklärt werden und somit wissen, dass die Investoren der Klasse 2 dieses Verhalten positiv betrachten werden. Zu dem Zeitpunkt kann die Klasse 1 die Aktie verkaufen, im Glauben, dass der Preis überhöht ist. Die Mitglieder der Klasse 1 wären bereit auch mehr als 1.45 im Zustand Null zu bezahlen, aber nicht weil sie viele 1$ Dividenden erwarten, sondern weil sie glauben, dass diese Entwicklungen am Markt ein gutes Signal für die Mitglieder der Klasse 2 sein werden. Wenn dann das Preisgleichgewichtsmodel wieder betrach wird, würde das heißen, dass der Preis im Zustand Null von 1.91 zu niedrig ist. Mitglieder der Klasse 2 können also im Zustand Eins kaufen, warten bis es zum Zustand Null kommt, um es dann den Mitgliedern der Klasse 1 zu einem Kurs von mindestens 1.75 verkaufen. Dies lukriert ihnen Einnahmen mit einem Barwert in der Höhe von mindestens Wenn wir dann zwei Schritte zurückschauen, in dem es offensichtlich eine unendliche Enwicklung gegeben hat, sollten wir uns fragen, wo das Ganze enden wird. 8

10 4 Allgemeines Model Während Dividenden exogen betrachtet wurden, könnten die Aktienpreise einige Schwierigkeiten bereiten. Gewöhnlich bestimmen die Investoren gemeinsam den aktuellen Wert der Aktie anhand ihres aktuellen Benehmens. Ab dem Zeitpunkt, wo der Aktienpreis der heute angesetzt wurde den Preis, der in der Zukunft angeboten wird, beinhalten soll, müssen die Investoren ein Konzept erstellen, wie sich dieser in Zukunft entwickeln wird. Um jetzt ein Preisgleichgewichtsmodell präsentieren zu können, muss aber noch einiges genauer definiert werden. ein allgemeines Preisschema definieren wir als eine Folge von nichtnegativen Funktionswerten p o, p 1,, wobei der Definitionsbereich von p t gleich X t für alle t = 0, 1, 2, ist, und somit kann dann eine Folge von ökonomischen Abwicklungen {x 1, x 2, } in eine Preisfolge {p 0, p 1 (x 1 ), } umgewandelt werden ein t-rechtsmäßige Verkaufsstrategie definieren wir als ganzzahlige beliebige Variable T, welche fakultativ von {χ t } abhängt und t + 1 T erfüllt jede solche Strategie T stellt einen möglichen Plan, wenn man also eine Aktie zum Zeitpunkt t betrachtet, wird es im Fall {T = t + k} entsprechend allen Umständen die Investoren dazu führen, die Aktie zum Zeitpunkt t + k zu verkaufen die Tatsache, dass T möglicherweise von {χ t } abhängt,bedeutet, dass die Wahl ob man zum Zeitpunkt t + k verkauft oder nicht allein nur von der Information χ t+k abhängt, die zu diesem Zeitpunkt bekannt ist wir sagen, dass ein Preisschema {p 0, p 1, } konsistent ist, wenn gilt p t (x t ) = max sup a A T E a [ T k=t+1 für alle t = 0, 1, und alle x t X t γ k t d k (χ k ) + γ T t p T (χ T ) χ t = x t ] (1) Jetzt versuchen wir zu argumentieren, warum die oben gegebene Gleichung eine Bedingung für ein Gleichgewicht am Markt darstellen muss. Als erstes nehmen wir an, dass das Preisschema {p t ( )} zu folgen ist. Dann können wir sagen, dass sup T E a [ T k=t+1 γ k t d k (χ k ) + γ T t p T (χ T ) χ t = x t ] den maximalen Barwert, den ein Investor der Klasse a aus einer Aktie zum Zeitpunkt t realisieren kann, darstellt, wenn er die Strategie T befolgt und die ökonomische Information χ t zum Zeitpunkt t gegeben ist. Somit stellt die rechte Seite der obigen Gleichung die maximale Höhe, die eine Aktie für einen Investor zum Zeitpunkt t an Wert haben kann, dar. Streng genommen, wenn jetzt aber dieser Wert größer als der Preis p t (x t ) selbst wäre, würde sich die maximierende Klasse selbst konkurrieren und den Preis in die Höhe treiben. Wenn es kleiner wäre, würde jeder, der die Aktie besitzt, diese zum 9

11 Zeitpunkt t verkaufen wollen, jedoch aber keinen Käufer finden und somit müsste der Preis fallen. Unsere Bedingung für die Konsistenz ist äquivalent zu dem einfachen Partialgleichgewicht von Radner s (1972) über Pläne, Preise und Preiserwartungen. Diese basiert auf der starken Annahme über die sog. perfect contingent foresight. Wir analysieren alle Marktentwicklungen als ob der aktuelle und zukünftige Preis gleichzeitig in einer ganzen Reihe an unvollkommenen Derivatebörsen bestimmt wäre. In Hinblick auf den aktuellen Aktienpreis entwickeln die Investoren ein klares Konzept, der dann in jeder künftigen Periode durchgesetzt wird. Dieser muss dann sowohl konsistent sein, als auch mit exogenen Daten arbeiten. Das Ausmaß mit dem unsere Annahmen die Resultate widerspiegelen, sollte mit größter Vorsicht gesehen werden. 4.1 Lehrsätze Proposition 1 Ein Preisschema {p t } ist genau dann und nur dann einheitlich, für alle t und x t, wenn p t (x t ) = max a A Ea [γd t+1 (χ t+1 ) + γp t+1 (χ t+1 ) χ t = x t ] (2) Beweis. Angenommen die gegebene Gleichung ist erfüllt, dann gilt für alle a A, p t (x t ) E a [γd t+1 (χ t+1 ) + γp t+1 (χ t+1 ) χ t = x t ] und somit finden alle Investoren das Spekulieren schlimmer als das faire Spiel. Weil d t und p t nicht negativ, unbeschränk und sogar unendlich, wobei Stoppzeiten zulässig sind, gilt p t (x t ) max sup a A T E a [ T k=t+1 γ k t d k (χ k ) + γ T t p T (χ T ) χ t = x t ] für alle a A und für alle möglichen T t. Die Geichung (1) für ein einheitliches Schema folgt dann sofort. Umgekehrt wenn die Gleichung (1) gilt, ist ersichtlich, dass p t (x t ) max a A Ea [γd t+1 (χ t+1 ) + γp t+1 (χ t+1 ) χ t = x t ] für alle x t. Wir nehmen an, dass eine strikte Ungleichheit für ein beliebiges x t gelten würde. Wenn wir dann für dieses x t die Stoppzeit t + 1 für ein bel. T t + 1 anwenden, ergibt sich dann p t (x t ) > max a A Ea [γd t+1 (χ t+1 ) + γp t+1 (χ t+1 ) χ t = x t ] T max E a [ γ k t d k (χ k ) + γ T t p T (χ T ) χ t = x t ] sup a A T k=t+1 Dies widerspricht der Gleichung (1) und somit impliziert diese unsere Proposition. 10

12 Was bedeutet eigentlich diese Proposition ökonomisch? Die Investoren können anhand von geschickten Handelsstrategien einen Nettobarwert größer Null genau dann und nur dann erreichen, wenn sie diese zu einem beliebigen Zeipunkt durch eine einfache Stategie (kaufen für eine Periode behalten verkaufen) erzielen können. Um ein explizites einheitliches Preisschema bestimmen zu können, setzen wir zuerts p 0 t 0 und für n = 1, 2, definieren wir rekursiv: p n t (x t ) = max a A Ea [γd t+1 (χ t+1 ) + γp n 1 t+1 (χ t+1 ) χ t = x t ] (3) Wir beobachten, dass das p n t (x t ) in n nicht abnehmend ist und daher wird es sich einem möglicherweise unendlichen Limes p t (x t ) für n annähern Proposition 2 Ein Preisschema {p t } ist einheitlich. Wenn es noch ein einheitliches Preisschema {p t } gibt, dann ist p t (x t ) p t (x t ) für alle t und x t, d.h. {p t } ist das kleinste einheitliche Schema. Beweis. Um zu zeigen, dass {p t } (2) genügt und somit einheitlich ist, lassen wir das n in (3) gegen unendlich gehen. Auf der rechten Seite der Gleichung, kann der Limes in das Integral reingezogen werden, da dieser monoton konvergent ist. Wenn {p t } ein einheitliches Preisschema ist, dann gilt p t (x t ) 0 = p 0 t (x t ). Mit Hilfe der vollständigen Induktion kann man dann zeigen, dass p t (x t ) p n t (x t ) für alle n gilt und somit auch p t (x t ) p t (x t ). Es hat aber keine Bedeutung, dass es ein nicht minimales einheitliches Preisschema gibt, solange {p t } nicht identisch unendlich ist. Zum Beispiel kann man gleich bemerken, dass das Preisschema p t = p t + cγ 1 für c 0 einheitlich ist. Der Abweichung zwischen einem nicht minimalen Preisschema und {p t } ist ähnlich einer Spekulationsblase (sog. Ponzi Schema). Damit diese Blase überhaupt rentabel sein kann, muss das Zeitfenster unendlich sein. Falls es aber ein neutrales n geben würde, sodass d t 0 für t n und deshalb p t 0 für n, dann wäre {p t } das einzige einheitliche Preisschema. Weil T eine rechtmäßige Verkaufsstrategie ist, folgt aus (1), dass für jedes einheitliche Preisschema {p t } gelten muss: p t (x t ) max a A Ea [ k=t+1 γ k t d k (χ k ) χ t = x t ] Das heißt, ein einheitlicher Preis muss mindestens so groß sein wie der Barwert der zukünftigen Dividenden, die jeder Investor erwartet. Im Falle, dass es sich um heterogene Investoren handelt, gilt sogar, so wie in unserem Beispiel eine strickte Ungleichheit. Für homogene Investorklassen müssen die Ergebnisse noch näher beschreiben werden. 11

13 4.1.3 Proposition 3 Wenn es nur eine einzige Investorenklasse a gibt, dann ist das minimale einheitliche Preisschema gleich dem Barwert der zukünftigen Dividenden. Außerdem ist ein anderes Preisschema {p t } für {p t } genau dann und nur dann einheitlich, wenn p t (x t ) = p t (x t ) + γ t Z t (x t ), wobei das {Z t } ein nicht negativer Martingal abhängig von {χ t } ist und die Wahrscheinlichkeitsbewertung darstellt, E a [Z t+1 (χ t+1 ) χ t = x t ] für alle t und x t Beweis. Induktionsbeweis: p n t (x t ) = E a [ und wegen der monotonen Konvergenz n γ k d t+k χ t = x t ] k=1 p t (x t ) = E a [ γ k d t+k χ t = x t ] k=1 Die Definition für ein nicht minimales Preisschema folgt dann aus der Subtraktion von {p t } in (2) für ein anderes einheitliches Schema {p t }. 12

14 5 Zurück zum Beispiel Die Zeitunabhägigkeit von dem minimalen einheitlichen Perisschema {p t } wird durch die Stationärität unseres Beispiels gewährleistet. Das heißt, es besteht aus den Preisen p (0) und p (1) für den Zustand Null und Eins. Wenn wir es dann in die Gleichung (2) einsetzen, bekommen wir: p (0) = max {(3/4)(1/2)p (0) + (3/4)(1/2)(1 + p (1)), (3/4)(2/3)p (0) + (3/4)(1/3)(1 + p (1))} p (1) = max {(3/4)(2/3)p (0) + (3/4)(1/3)(1 + p (1)), (3/4)(1/4)p (0) + (3/4)(3/4)(1 + p (1))} Die einzige Lösung dieses Gleichungsystems ist p (0) = 24/13 = 1.85 und p (1) = 27/13 = Zu diesen Preisen wird die Aktie von den Investoren der Klasse 1 im Zustand Null und von den Investoren der Klasse 2 im Zustand Eins gehalten. Im Kapitel 3 haben wir eine Preisiteration beschrieben [ T ] p n t (x t ) = max E a γ k t d k (χ k ) + γ T t pt n 1 (χ T ) χ t = x t sup a A T k=t+1 mit p 0 t = 0. Diese Verfahren ist von unserem Preisschema {p t } unterschiedlich, aber sie können im allgemeinen den gleichen Limes für n liefern. 13

15 6 Schwächrere Anforderungen Wir definieren uns für jede Klasse a A eine Folge von nicht negativen Funktionen {γt a } mit dem Definitionsbereich von X t. Weiters sei ein beliebiger Zahlungstrom {y t, y t+1,...} so wie in Kapitel 2 gegeben. Wir verallgemeinern jetzt das Ganze und sagen: Die Investoren einer Klasse a bewerten ein Zahlungsstrom {y t+s } unter der Beobachtung von allen möglichen x t zum Zeitpunkt t wie folgt: [ ( s ) ] E a γt+k(χ a t+k ) y t+s (χ t+s ) χ t = x t s=0 k=1 Das heißt, in einer einzigen Periode kann es sogar ermäßigte Raten geben, die für jede Investorenklasse bestimmt sind. Diese hängen dann auch von den Umständen ab, unter dessen der ermäßigte Gewinn ausbezahlt wurde. Genauer gesagt und in (2) eingesetzt : p t (x t ) = max a A Ea [ γ a t+1(χ t+1 )(d t+1 (χ t+1 ) + p t+1 (χ t+1 )) χ t = x t ] Die Funktion {γ a t } muss exogen gewählt werden, damit wir durch diese Erweiterung nicht zu der allgemeinen Risikoscheu gelangen. Somit können wir uns jetzt eine Situation vorstellen, in der wir dann die Risikoneutralität und die Annahme über das unendliche Vermögen weglassen. Diese stellt dann eine gute Annäherung für unser Modell dar. Die Annahme, es gäbe keine Blankoverkäufe, muss aber strikt bleiben. Wir nehmen jetzt also an, dass alle Investoren risikoscheu sind und das Nutzen maximieren wollen. Weiters sollen einperiodische risikolose Anleihen, die am perfekten Markt gehandelt werden, die einzige sichere Gewinnmöglichkeit darstellen und alle anderen Preise und Einkommen bestimmt sein. Das γ t+1 (x t ) ist der ausgeglichene Preis zum Zeitpunkt t für ein x t von einer Anleihe im Wert von 1 $. Wenn nun eine Investorenklasse groß genug ist, können wir behaupten, dass die Investoren ihr Einkommen aus den spekulativen Geschäften anhand von ihren erwarteten Barwerten, diskontiert auf {γ t ( )}, bewerten werden. Im Gleichgewicht behalten dann die Investoren keine große Menge an Aktien, die ihre Risikoscheu signifikant machen würden, weil es andere optimistische Investoren gibt, die sich die fixe Menge von Aktien aufteilen können. Wir können also mit Hilfe von risikolosen Anleihen den Übergang von einer Periode in die nächste von allen Raten (Martingale) auf das {γ( )} anpassen. Die Anleihen ermöglichen uns weiters das Auslassen der Annahme über das unendliche Vermögen der Investoren, solange der Einkauf von Aktien durch deren Verkauf finanziert werden kann. Mit angemessenen Annahmen, kann man sogar die Anforderungen, dass der einzige Weg wie man Vermögen umwandeln kann, die risikolosen Anleihen darstellen und alle anderen Preise und Gewinne bestimmt sind, schwächen. Wir müssen uns aber bewusst sein, dass die Annahme über alle Blankoverkäufe immer noch gilt. Falls die Aktienmärkte perfekt wären, wäre der Preis zum längerfristigen Behalten der Aktie nicht fixiert. Es würde jedoch steigen, wenn die anderen weniger optimistischen Investoren die Aktie leerverkaufen würden. Der einzige Weg, um ein Gleichgewicht erreichen zu können, wäre dann, dass die Investoren ausreichend unterschiedliche Positionen annehmen, sodass ihre Risikoaversion unbedeutsam wird. 14

16 7 Schlussfolgerungen In Wirklichkeit können wir feststellen, dass das im Kapitel 4 beschriebene minimale konsistente Preismodel {p t } im endlichen Fall eindeutig ist. Im Allgemeinen, stellt {p t } das einzig konsistente Preismodell dar, das für reale Sequenzen von endlichen Annäherungsproblemen angegeben werden kann. Man kann also festlhalten, dass dieses Preismodell eindeutig sinnvoll erscheint. Wie würde aber ein Fundamentalist diese Entwicklungen betrachten? Ein Fundamentalist ist ein Investor, der die Aktien zum Kaufen und Verkaufen mit Hilfe der Fundamentalanalysis auswählt. Der Grundgedanke vom Fundalismus im Sinne der Finanzmathematik reicht in die 40-er Jahre zu J.B.Williams (Ökonom) zurück. Es besagt, dass sobald eine Aktie im Eigentum eines Unternehmens ist und die Dividenden die Unternehmensgewinne darstellen, beinhalten die Aktie sogenannte innere Werte, welche sich auf die in der Zukunft ausbezahlten Dividenden beziehen. Einfacher gesagt, wir glauben dass unsere Analysen mit dem fundamentalen Gedanken übereinstimmen, jedoch durch ein subjektives Betrachten der Wahrscheinlichkeit gehärtet werden müssen. Man kann somit sagen, dass die Aktienpreise indirekt duch das Verhalten der Investoren erstellt werden. In Wirklichkeit muss man aber einsehen, dass die Investoren verschiedene Betrachtungsweisen annehmen, obwohl die ökonomischen Informationen, die ihnen zur Verfügung stehen, alle die Gleichen sind. Deswegen wird behauptet, dass es keinen echten Aktienpreis geben kann. Stattdessen wird vorgeschlagen, die relevante Vorstellung über den wesentlichen Bestandteil des Aktienpreises aus der Zusammensetzung verschiedener Bewertungen von Investoren zu erhalten. Solange wir die Einstellungen und Überzeugungen über die zukünftigen Dividenden von den Investoren, über die wir von Anfang an reden, zusammen in Betracht ziehen, stellen diese die fundamentalen Andeutungen dar, wie sich der Preis in der Zukunft entwickeln wird. Unter dieser Annahme, könnten sich natürlich auch sehr seltsame Preiseigentschaften ergeben. Insbesondere bewerten die Investoren den Besitz einer Aktie höher, als den des Dividendenstroms, den die Aktie mitsichbringt, was nicht unbedingt schöne Ergebnisse aus der fundamentalen Sicht darstellt. Wenn die Investoren den Preis ihrer Wertpapiere nicht unterbewerten möchten, müssen sie die Prioritäten, den Glauben, usw. von ihren Kollegen kennen und anschließend in Betracht ziehen. Außerdem ist es wichtig eine Vorstellung davon zu haben, wie sich die verschiedenen Informationen auf den Preis der Aktie auswirken könnten. Diese Handlungen nähern sich dem großen Problem, möglichst gute Voraussichten zu haben. Wenn man aber diese Annahme außer Acht lässt und so wie im realen Leben als eine bevorzugte Information bezeichnet, kommt man darauf, dass die Investoren auf die öffentlichen Informationen, so wie die Preise und das Volumen der gehandelten Aktien angewiesen sind, um einschätzen zu können, was die anderen Investoren wissen und wie sie dann später darauf reagieren werden. Auch wenn diese Aussage übetrieben klingen könnte, glaubt man, dass diese Denkmethode zu einer rechtfertigten Theorie der technischen Analysis führen kann. 15

17 Die Befürwörter der effizienten Marktstrategie sagen, dass die einzige rationale Portfoliostrategie, in Bezug auf die Transaktionskosten und Risikoscheu, ein sehr abwechslungsreiches Portfolio zu kaufen und dieses zu halten, ist. Das Modell zeigt eine komplett unterschiedliche Betrachtungsweise von einem rationalen Portfoliomanagement. Wenn man jetzt zu dem Beispiel aus dem Kapitel 3 erneut betrachtet, stellt man folgendes fest. Die Investoren der Klasse 1 können den erwarteten Barwert der im Zustand Eins gekauften Aktie der Klasse 0 nicht erreichen und sie können diesen im Zustand Null der gekauften Aktie dann und nur dann erreichen, wenn sie die Aktie vor oder zu dem Zeitpunkt, wo die 1$ Dividenen ausgeschütet werden, verkaufen. In diesen allgemeinen Modell können die Investoren den erwarteten Barwert von Null einer gekauften Aktie unter bestimmten Umständen nur dann erreichen, wenn sie bestimmte Verkaufsstrategien befolgen. Die Strategie, wo man nach der ersten Periode verkauft, was das Portfolio natürlich durcheinander bringt, funktioniert immer. Die Strategie, die Aktien in günstigen Umständen zu kaufen und für mehrere Perioden zu halten, führt meistens zu einem erwarteten Verlust. Das heißt, die Investoren müssen ständig ihre Portfolios managen, egal welche Strategie sie befolgen, um später angemessene Rendite erwarten zu können. Wenn man aber das Modell um die Transaktionskosten und die Risikoscheu erweitern würden, würde man sagen, dass die Vorstellung über das rationale Portfoliomanagement mehr mit der Hypothese über effiziente Märte übereinstimmt. Das Problem zwischen unserem Model und der Hypothese liegt aber eher auf einem phylosophischem Niveau. So wie wir das verstehen brauchen subjektivistische Aussagen über die Hypothese implizit die Voraussetzung, dass die Wirtschaftsteilnehmer, die die gleichen Informationen zur verfügung haben, auf die gleichen subjektiven Annahmen über die Wahrscheinlichkeit. Die Hypothese besagt also: Obwohl die Investoren urspünglich nicht die gleichen Informationen besitzen, die Preise spiegeln diese Informationen dermaßen wieder, dass es zu den gleichen Handlungen führt, als die sie mit der kompletten Information unternehmen würden. Daraus folgt, die Investoren sind in einem effizienten Markt tatsächlich homogen und es gibt keine Spekulationen. In unserem Model haben alle Investoren die vollständigen Informationen von vornherein, sie kommen aber noch immer auf verschiedene subjektive Abschätzungen. Die Spekulation und ein laufendes Portfoliomanagement folgen dann unvermeidlich. 16

18 8 Anhang 8.1 Fundamental Analyse Fundamentalanalyse beinhaltet Auswertungen über die Finanzumwelt und das Vermögen, über das Management und die Konkurrenzfähigkeit eines Unternehmens. Angewendet an die Futures und Devisenmärkte, fokussiert diese auf das allgemeine ökonomische Umfeld und beinhaltet Faktoren wie zum Beispiel die Produktion, die Löhne, den Beschäftigungsgrad,.... Wenn man eine Aktie, ein Future oder eine Währung mit der Fundamentalanalyse betrachten möchte, gibt es zwei verschiedene Möglichkeiten: Bottom up Analyse Top down Analyse Diese Art der Analyse basiert an historischen und gegewartigen Daten, mit der Absicht Finanzprognosen zu machen. Das Ziel dieser Analyse ist unter anderem die Aktienbewertung eines Unternehmens ableiten zu können, um die möglichen Preisentwicklungen vorherzusagen und das Kreditrisiko berechnen zu können. Die Fundamentalanalyse besagt vor allem, dass die Märkte manchmal in kurzen Abschnitten den Aktienpreis unterbewerten, aber im Endeffekt den richtigen Preis erreichen. 8.2 Efficient Market Hypothesis Die Efficient Market Hypothesis ist per Definition eine Investmentstrategie, die besagt, dass es unmöglich sei den Markt zu besiegen, weil durch die Effizienz eines Marktes die Börsenkurse immer alle relevanten Informationen beinhalten und reflektieren. Laut dieser Hypothese werden die Aktien immer zu fairen Preisen gehandelt und es ermöglicht den Investoren keine unterschätzten Aktien zu kaufen oder zu überhöhten Preisen zu verkaufen. Der einzige Weg, wie ein Investor höhere Gewinne erwarten kann, ist auschließlich durch den Kauf von riskanten Aktien gegeben. In der modernen Finanztheorie ist die EMH sehr kontrovers und oft sehr umstritten. Die Befürwörter glauben, es sei sinnlos, unterschätzte Aktien zu suchen oder mit Hilfe der Fundamental- oder Technischen Analyse die Entwicklungen am Markt vorherzusagen. 17

19 8.3 Short-Sale Short Sale oder auch Blankoverkauf genannt, bezeichnet eine Markttransaktion, in der ein Investor ausgeborgte Aktien verkauft und dabei auf eine Preissenkung hofft. Er verpflichtet sich aber zum späteren Zeitpunkt die gleiche Menge an Aktien zu liefern. Die Pointe von einem Leerverkauf ist der genaue Gegesatz von einer langanhaltenden Strategie. Der Verkäufer macht seinen Gewinn, wenn der Aktienpreis fällt, während bei einer dauerhaften Position der Investor auf steigende Preise hofft und somit einen Gewinn erzielen will. Der Profit von einem Investor ist bei einer leerverkauften Aktie gleich dem Wert der ausgeborgten Aktie zum Verkaufszeitpunkt minus den Wiederkaufskosten. 8.4 Vollkommener Markt Ein vollkommener oder auch perfekter Markt ist ein Kapitalmarkt in dem niemand groß genug ist, um die Macht über den ganzen Markt zu haben und die Preise von homogenen Produkten setzen kann. Weil die Bedingungen für einen perfekten Markt strikt sind, gibt es auch sogenannte vereinfachte Modelle. Des weiteren gibt es aber zwei verschiedene Betrachtungsweisen von einem vollkommenen Markt. Die eine basiert auf der Annahme, dass die Makler die Preise nicht beeinflüssen können. Die andere besagt wiederum, dass die Makler verschiedene Vorteile aus den profitablen Handelsmöglichkeiten haben. Je schneller die Arbitrage stattfindet, desto vollkommener ist der Markt. Homogenität der Wirtschaftsgüter Marktteilnehmer haben keine Präferenzen unendlich schnelle Reaktionsfähigkeit vollkommene Markttransparenz das Ziel ist die Gewinnmaximierung 18

20 9 Literaturverzeichnis 1. Harrison,J.M.; Kreps,D.M.,Speculative Investor Behavior in a Stock Market with Heterogeneous Expectations, The Quarterly Journal of Economics, Vol.92, No.2 (Mai, 1978), S Feiger,G.,What is Speculation?, The Quarterly Journal of Economics, Vol. 90, No. 4 (Nov., 1976), S Hirshleifer, J., Foundations of the Theory of Speculation: Information, Risk and Markets, The Quarterly Journal of Economics, Vol. 89, No. 4 (Nov., 1975), S Vol. 4. Radner, R., Existence of Equilibrium Plans, Prices, and Price Expectations in a Sequence of Markets, Econometrica, Vol. 40, No. 2(1972), S analysis competition 10. NEU 2009/ TU Logos 2009/TULogo.jpg 11. %28finance%29.png 19

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