Entscheidungstheorie. Aufgabensammlung

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1 Entscheidungstheorie Aufgabensammlung Wintersemester 2004/2005

2 Aufgabe 1 In einer multikriteriellen Entscheidungssituation liege folgende Nutzenmatrix vor: k 1 k 2 k 3 k 4 a a a a) Welche der drei Aktionen sind ineffizient? b) Welche Bewertungsreihenfolge der drei Aktionen ergibt sich nach der... α) lexikographischen Ordnung mit k 1 k 2 k 3 k 4? β) Körth-Regel? γ) Methode des Goal-Programming mit den Zielvorgaben û p = 10 (p = 1,..., 4)? Aufgabe 2 Gegeben sei ein multikriterielles Entscheidungsproblem mit der Nutzenmatrix z 1 z 2 z 3 z 4 a a a a) Man bestimme die Bewertungsreihenfolgen der Körth-Regel sowie des Goal-Programming mit û j = max u kj (j = 1, 2, 3, 4). k b) Zeigen Sie, dass sich die in a) mithilfe der Körth-Regel bestimmte Bewertungsreihenfolge bei einer linearen Transformation der Nutzenfunktion ändern kann. Aufgabe 3 In einer multikriteriellen Entscheidungssituation liege folgende kardinale Nutzenmatrix vor: k 1 k 2 k 3 k 4 a a a a) Gibt es ineffiziente Aktionen? Wenn ja welche? b) Man bestimme die Bewertungsreihenfolge nach der lexikographischen Ordnung mit k 1 k 3 k 2 k 4. c) Welche Bewertungsreihenfolge ergibt sich nach dem Goal-Programming mit den Zielvorgaben û j = max k u kj (j = 1, 2, 3, 4)? 1

3 Aufgabe 4 Gegeben sei das Zielsystem {k 1, k 2 } und die zugehörige Nutzenmatrix 1 4 U = mit den möglichen Entscheidungsalternativen a 1, a 2, a 3. a) Bestimmen Sie die optimale Entscheidung nach der Körth-Regel. b) Für welche Zielgewichtungen g 1, g 2 0 mit g 1 + g 2 = 1 sind die Aktionen a 1, a 2, a 3 jeweils optimal? Aufgabe 5 Die Regierung eines Landes hat aus vier in die Endauswahl gelangten Bewerbern a 1,..., a 4 den Ort der nächsten Landesgartenschau auszuwählen. Folgende Nutzenmatrix liegt dieser Auswahl zu Grunde: k 1 k 2 k 3 a a a a Die unter k 1 bzw. k 2 stehenden Zahlen sind dabei Punktewertungen, die von je einem Gutachtergremium über die gärtnerische bzw. städtebauliche Qualität der eingereichten Bewerbungen abgegeben wurden (mit 5 als bestmöglicher,..., 1 als schlechtestmöglicher Wertung). In der Spalte unter k 3 kommt zum Ausdruck, ob die Entfernung eines Bewerbers zum Ort der letzten Landesgartenschau gering ( = Nutzenwert 1) oder hinreichend groß ist ( = Nutzenwert 2). a) Gibt es ineffiziente Bewerber? Wenn ja, welche? (Diese im Folgenden nicht streichen!) b) Welche Bewertungsreihenfolge der 4 Orte ergibt sich nach der lexikographischen Ordnung unter der Annahme k 1 k 2 k 3? c) Zu welcher Bewertungsreihenfolge der 4 Orte führt die Anwendung der Körth-Regel? d) Nehmen Sie an, in der entscheidenden (nicht-öffentlichen) Kabinettssitzung werde zusätzlich zu k 1, k 2, k 3 als vierte Zielgröße die Parteizugehörigkeit der Oberbürgermeister der Bewerberstädte eingeführt; dabei werde den Orten a 1 und a 4 der Nutzenwert 2 zugeordnet, weil ihr Oberbürgermeister der Regierungspartei angehört, den beiden anderen Orten dagegen in denen dies nicht der Fall ist der Nutzenwert 1. Welche Stadt bekäme unter dieser Annahme bei Anwendung der Körth-Regel die nächste Landesgartenschau? 2

4 Aufgabe 6 Die Invest GmbH kann kurzfristig einen Auftrag durchführen. Nach Prüfung der Situation bieten sich 3 Produktionsalternativen an, die sich durch folgende Ergebnismatrix beschreiben lassen: Alternative R L G Dabei bezeichnet R die jeweils benötigte Menge (in ME) des Rohstoffs, L die jeweilige Maschinenlaufzeit (in ZE) und G den jeweiligen Gewinn (in GE). Relevante Ziele sind die Gewinnmaximierung (k 1 ), ein möglichst geringer Rohstoffverbrauch (k 2 ) sowie eine möglichst geringe Maschinenlaufzeit (k 3 ). a) Erstellen Sie die Nutzenmatrix für den Fall, dass der Nutzen bei k 1 durch den Gewinn, bei k 2 durch die Differenz zwischen dem maximalen Rohstoffverbrauch der 3 Alternativen und dem tatsächlichen Verbrauch und bei k 3 durch die nicht beanspruchte Laufzeit gemessen wird. Bezüglich der Laufzeit ist davon auszugehen, dass maximal 60 ZE zur Verfügung stehen. b) Welche Bewertungsreihenfolge liefert die lexikographische Ordnung mit k 1 k 2 k 3? c) Welche Bewertungsreihenfolge liefert die Zielgewichtung mit k 1 : k 2 : k 3 = 6 : 2 : 2? d) Welche Bewertungsreihenfolge liefert die Körth-Regel? Aufgabe 7 Zur Durchführung eines bestimmten Auftrages stehen einer Firma drei verschiedene Handlungsalternativen zur Verfügung. Folgende Tabelle gibt an, welche Menge eines Rohstoffs R dabei verbraucht wird, wie lange eine Maschine M laufen muss beziehungsweise welchen Gewinn die Firma erwarten kann: Verbrauch von R Laufzeit von M Gewinn bei Alternative (in kg) (in Std.) (in 1000 ) Die Firma ist nicht nur an möglichst hohem Gewinn interessiert (Ziel k 1 ), sondern auch an möglichst sparsamem Umgang mit dem Rohstoff und der Maschinenzeit (Ziele k 2 und k 3 ). Dabei wird der Nutzen gemessen bei k 1 durch die angegebenen erwarteten Gewinnwerte (in 1000 ), bei k 2 durch die nach Durchführung des Auftrags verbleibende Rohstoffmenge (in kg), wobei vor Durchführung des Auftrags 100 kg von R vorhanden sind, bei k 3 durch die Differenz zwischen der maximal auftretenden Laufzeit von M (= 80 Std.) und der bei Alternative i tatsächlich auftretenden Laufzeit (in Std.). 3

5 a) Erstellen Sie die Entscheidungsmatrix. b) Gibt es ineffiziente Alternativen? Wenn ja, welche? c) Zu welcher Bewertungsreihenfolge führt die lexikographische Ordnung mit k 1 k 2 k 3? d) Welche Bewertungsreihenfolge liefert eine Zielgewichtung, wenn für die Ziele eine Dringlichkeitsordnung im Verhältnis k 1 : k 2 : k 3 = 8 : 1 : 1 gegeben ist? e) Welche Handlungsalternative ist optimal nach der Körth-Regel? Aufgabe 8 Ein Investor erhält per Telefax die Vorlage für die endgültige Auswahl einer von vier Anlagealternativen. Dabei wurden durch eine Leitungsstörung bei den Bewertungen der vier Ziele k 1 : Sicherheit, k 2 : Rendite, k 3 : Flexibilität der Kapitalbindung, k 4 : Abwägbarkeit des technologischen Risikos zwei Werte nicht übertragen. Die unvollständige kardinale Nutzenmatrix besitzt die folgende Gestalt k 1 k 2 k 3 k 4 a u 14 a a a 4 u a) Kann a 1 ineffizient sein? Welche Bedingungen sind dann an u 14 und u 41 zu stellen? b) Für welche u 14 und u 41 reduziert sich A auf zwei undominierte Alternativen? Der Investor gewichtet die vier Ziele im Verhältnis k 1 : k 2 : k 3 : k 4 gemäß 1 : 4 : 3 : 2. c) Bestimmen Sie Φ(a i ) für i = 1,..., 4 unter Verwendung dieser Zielgewichtung (mit g g 4 = 1). Für welche Bedingung wird a 1 der Alternative a 4 vorgezogen? d) Für welche Bedingung an u 14 und u 41 wird a 1 der Alternative a 4 bei Verwendung der lexikographischen Ordnung vorgezogen, wenn die Reihenfolge der Ziele bezüglich ihrer Wichtigkeit aus obiger Gewichtung abgelesen wird? e) Der Investor gibt für alle vier Ziele einen Zielwert von 5 = û p vor. Bestimmen Sie unter der Kenntnis von 0 u 14 = u 41 < 2 die Rangfolge aller Alternativen mittels Goal- Programming. (Fallunterscheidung erforderlich!) Aufgabe 9 Ein Reiseveranstalter steht vor der Entscheidung, eines von mehreren möglichen Zielgebieten als Jahresschwerpunkt für den Katalog 2002 festzulegen. Auf einer Skala von 1 ( = mangelhaft) bis 5 ( = hervorragend) bewertet er dabei die Zielgebiete a 1 : Costa Brava, a 2 : türkische Riviera, a 3 : Dominikanische Republik und a 4 : oberitalienische Seen nach den Zielkriterien k 1 : Preiswürdigkeit, k 2 : Wettersicherheit, k 3 : Wasserqualität, k 4 : Umweltverträglichkeit der Anreise sowie k 5 : Sozialverträglichkeit für die Bereisten wie folgt: 4

6 k 1 k 2 k 3 k 4 k 5 a a y 2 2 mit x, y {1,..., 5}. a x 1 2 a Die Werte in der Matrix lassen sich unmittelbar als Nutzenwerte interpretieren. a) Gibt es Werte x, y (und falls ja, welche), so dass bei Anwendung der Zielgewichtung mit g 1 = g 2 = g 4 sowie g 3 = g 5 = 1 6 und g g 5 = 1 die Alternative a 3 besser abschneidet als a 2? Der Reiseveranstalter legt im Folgenden die (zu maximierende) Bewertungsfunktion Φ(a i ) = Summe der drei höchsten für die Alternative a i vergebenen Nutzenwerte zu Grunde. (Mathematisch: Bezeichnet man mit u i(1),..., u i(5) die gemäß u i(1) u i(2) u i(5) geordneten Werte der i-ten Zeile der Nutzenmatrix, so gilt Φ(a i ) = u i(1) + u i(2) + u i(3).) b) Für welche x, y bewertet Φ die Alternativen a 2 und a 3 besser als a 1 und a 4? c) Für welche x, y bewertet Φ die Alternativen a 2 und a 3 schlechter als a 1 und a 4? d) Untersuchen Sie (unabhängig von den speziellen Werten in obiger Matrix), ob die Bewertungsfunktion Φ die Eigenschaft a i dominiert a k Φ(a i ) > Φ(a k ) besitzt. Aufgabe 10 Ein Unternehmer verfügt über einen stetigen Aktionenraum A = [0, 5] Ikern-.25mm R und verfolgt zwei Ziele, k 1 und k 2. Die Nutzenwerte u 1 bezüglich k 1 sowie u 2 bezüglich k 2 werden beschrieben durch die beiden Nutzenfunktionen { a, falls a [0; 3] u 1 (a) = und u 2 (a) = 5 a. 3, sonst a) Skizzieren Sie die beiden Funktionen u 1 (a) und u 2 (a). b) Welche Aktionen a A sind ineffizient? c) Welche Aktion a A ist optimal nach der Körth-Regel? Aufgabe 11 In einer Unternehmung können die beiden Produkte I, II hergestellt werden. Insgesamt muss die Unternehmung von beiden Produkten zusammen genau 840 Mengeneinheiten produzieren. Ferner sind von Produkt I mindestens 280 Mengeneinheiten zu erzeugen. Pro Mengeneinheit ist bei Produkt I ein Deckungsbeitrag von 2, bei Produkt II ein Deckungsbeitrag von 5 zu erzielen. Neben dem Ziel k 1 der Deckungsbeitragsmaximierung verfolgt die Unternehmung auch noch das Ziel k 2, möglichst viele Mengeneinheiten von Produkt I herzustellen. a) Skizzieren Sie den Aktionenraum. b) Welche Aktion ist optimal nach der lexikographischen Ordnung, wenn k 1 k 2 gilt? c) Welche Aktion ist optimal nach der Körth-Regel? 5

7 Aufgabe 12 Einem Entscheidungsträger stehen zwei Investitionsalternativen zur Verfügung. Bei der ersten beträgt der Gewinn T 2 mit Wahrscheinlichkeit 1 2, T 4 mit Wahrscheinlichkeit 3 7 sowie T 8 mit der verbleibenden Restwahrscheinlichkeit. Bei der zweiten Alternative stellt sich mit Wahrscheinlichkeit 3 4 ein Gewinn von T y (mit y 2) beziehungsweise mit Wahrscheinlichkeit 1 4 ein Gewinn von T 2 ein. Der Entscheidungsträger geht im Bereich x 2 (x gemessen in T ) von folgender Nutzenfunktion aus: u(x) = 4 x + x. a) Wie groß muss der Wert y sein, damit beide Alternativen gleich eingeschätzt werden? b) Ist der Entscheidungsträger im relevanten Bereich x 2 risikoavers, risikoneutral oder risikofreudig? Aufgabe 13 Bei Markteinführung eines neuen Produktes wird ein diskret verteilter Marktanteil X angenommen. Marktanteil (in %) Wahrscheinlichkeit 0,1 0,2 0,3 0,2 0,2 Mit der auf den möglichen prozentualen Marktanteilen definierten Nutzenfunktion u(x) = x2 5 bestimme man a) den erwarteten Marktanteil bei Markteinführung, b) den erwarteten Nutzen einer Markteinführung, c) das Sicherheitsäquivalent einer Markteinführung, d) die zu Grunde liegende Risikoeinstellung. e) Lösen Sie b), c), d) für ũ(x) = x 2 5. Aufgabe 14 Ein Entscheidungsträger erzielt bei einer bestimmten Investition jeweils mit Wahrscheinlichkeit 0,5 einen Gewinn X von 5 bzw. 2. Für zwei Nutzenfunktionen u 1 und u 2 mit u 1 (x) = ln x, u 2 (x) = 1 e x/2 berechne man jeweils a) den erwarteten Nutzen obiger Investition, b) das Sicherheitsäquivalent zu X, c) das Arrow-Pratt-Maß. 6

8 Aufgabe 15 Bei Markteinführung eines neuen Produktes wird ein Marktanteil X zwischen 10 % und 20 % angenommen und ferner unterstellt, dass X einer Gleichverteilung im Intervall [10; 20] genügt. Mit der auf den möglichen Marktanteilen x [10; 20] definierten Nutzenfunktion u der Unternehmung mit u(x) = 3 x berechne man a) den erwarteten Marktanteil bei Markteinführung, b) den erwarteten Nutzen einer Markteinführung, c) das Sicherheitsäquivalent einer Markteinführung, d) die zu Grunde liegende Risikoeinstellung. Aufgabe 16 Ein Manager beurteilt mögliche Jahreseinkommen gemäß der Risikonutzenfunktion u(x) = { 3 x, falls 0 x x , falls x > a) Er hat ein fixes Jahreseinkommen in Höhe von zu vergleichen mit einer gewinnabhängigen Entlohnung X, wobei P(X = 10 5 ) = P(X = ) = P(X = ) = 1 3 gelte. Welche Entlohnung würde er präferieren, wenn er zwischen beiden wählen könnte? b) Berechnen Sie für X das Sicherheitsäquivalent s. Aufgabe 17 Ein Unternehmer stuft eine Aktion, die einen Erlös von 2 000, mit einer Wahrscheinlichkeit von 25 %, einen Erlös von 400, mit einer Wahrscheinlichkeit von 50 % und mit der Restwahrscheinlichkeit keinen Erlös erbringt, als äquivalent ein zu einem sicheren Erlös von 700,. Sein Konkurrent geht bei derselben Aktion von Wahrscheinlichkeiten von je 40 % für die beiden Erlöswerte 2 000, beziehungsweise 400, aus und er wertet die Aktion als gleich gut wie einen sicheren Erlös von 1 000,. Wie sind Unternehmer und Konkurrent in Bezug auf ihre Risikofreudigkeit in der konkreten Entscheidungssituation einzustufen? 7

9 Aufgabe 18 Ein Entscheidungsträger beurteile sowohl deterministische Ergebnisse x 0 als auch Zufallsvariablen, die nur nicht-negative Werte annehmen können, nach der Nutzenfunktion a) Bestimmen Sie das Arrow-Pratt-Maß. u(x) = 2x + 1 mit x 0. Zur Beurteilung stehen Zufallsvariablen X a an, wobei a [0; 12] vom Entscheidungsträger festgelegt werden kann. X a nimmt den Wert 12 a mit Wahrscheinlichkeit und den Wert a mit Wahrscheinlichkeit an. b) Berechnen Sie die Nutzenerwartungswerte Eu(X a ) für a = 0, für a = 8 und für a = 12. c) Bestimmen Sie für a = 8 das Sicherheitsäquivalent zu X a. d) Welches a [0; 12] sollte der Entscheidungsträger optimalerweise wählen? Aufgabe 19 Für x-werte im Bereich [0; 50] sei folgende Bernoulli-Nutzenfunktion gegeben: u(x) = { x 2 100, für 0 x 10 0,4 x 3, für 10 < x 50 a) X sei eine Zufallsvariable mit folgender Verteilung: mögliche Werte von X 5 17,5 30 zugehörige Wahrscheinlichkeiten 0,4 0,4 0,2 Berechnen Sie den Erwartungswert von X den Nutzenerwartungswert von X das Sicherheitsäquivalent zu X. b) Berechnen Sie die Werte des Arrow-Pratt-Maßes r(x) für x = 5 und für x = 20. Aufgabe 20 Ein Unternehmer besitze ein Anfangsvermögen a = 10 5 sowie eine auf das Endvermögen x bezogene Risikonutzenfunktion u(x) = { x, für x 0 1,5 x, für x 0 Er rechnet mit Jahreseinnahmen mit der Dichtefunktion { 10 6, falls e f(e) = 0, sonst Wie hoch ist der Nutzenerwartungswert seines Jahresendvermögens? 8

10 Aufgabe 21 Handwerksmeister Harry Harmlos besitzt ein Anfangsvermögen in Höhe von sowie die auf Endvermögenspositionen x bezogene Risikonutzenfunktion u(x) = { 3 x, falls x 0 x, falls x > 0. Harry Harmlos wird im Planungszeitraum ein (sicheres) Einkommen in Höhe von erzielen. Zugleich ist er aber auch einem Risiko ausgesetzt, das mit einer Wahrscheinlichkeit von (insgesamt) 1 % zu finanziellen Schäden führen wird. Gehen Sie vereinfachend davon aus, dass im Schadensfall nur Schäden in Höhe von oder möglich sind, wobei der kleinere Schaden neunmal so wahrscheinlich ist wie der größere. Die Nepptuna-Versicherungs-AG bietet Harry Harmlos eine Vollversicherung dieses Risikos an. Wie hoch darf die von der Nepptuna geforderte Versicherungsprämie maximal sein, damit Harry Harmlos die Versicherung abschließt? Aufgabe 22 Zwei Aktionen a 1 bzw. a 2 haben risikobehaftete Einkommen X 1 bzw. X 2 zur Folge, wobei X 1 über dem Intervall [50 000; ] und X 2 über dem Intervall [40 000; ] gleichverteilt sind. Der Beurteilung werde die Risikonutzenfunktion u(x) = ln x zu Grunde gelegt, wobei x für die Realisationen von X 1 beziehungsweise X 2 steht. a) Berechnen Sie das Arrow-Pratt-Maß für die Risikoaversion. b) Bestimmen Sie die Sicherheitsäquivalente von X 1 beziehungsweise X 2. c) Welche der Aktionen a 1 oder a 2 wird präferiert? d) Was ändert sich am Ergebnis von a), b), c), wenn statt obigem u die Risikonutzenfunktion ũ(x) = 2,75 + 8,37 ln x zu Grunde gelegt wird? Hinweis: Eine Stammfunktion von ln x ist x ln x x. Aufgabe 23 Der Invest AG stehen insgesamt drei Produktvarianten A, B, C zur Auswahl. Drei Zustände z 1, z 2, z 3 werden als möglich erachtet. Bei Produktvariante A rechnet die Invest AG mit 15 % Wahrscheinlichkeit mit einem Gewinn von (bei Eintreten von z 1 ), mit 40 % Wahrscheinlichkeit mit einem Gewinn von (bei z 2 ) und mit 45 % Wahrscheinlichkeit mit einem Gewinn von (bei z 3 ). Bei Produktvariante B rechnet die Invest AG mit 55 % Wahrscheinlichkeit mit einem Gewinn von (bei z 1 oder z 2 ) und mit 45 % Wahrscheinlichkeit mit einem Gewinn von (bei z 3 ). Bei Produktvariante C schließt die Invest AG einen Lizenzvertrag ab, der einen sicheren Gewinn in Höhe von garantiert. Für welche Alternative entscheidet sich die Invest AG, wenn sie... a) risikoneutral ist? b) gemäß der Bernoulli-Nutzenfunktion u(x) = 10 x entscheidet? c) die Entscheidungsregel Φ(a i ) = ϕ(µ i, σ i ) = 20 µ i (µ 2 i + σ2 i ) verwendet? 9

11 Aufgabe 24 Die Invest AG will ein neues Produkt herstellen. Zur Auswahl stehen vier alternative Technologien. Die Unternehmensleitung geht von folgenden Annahmen aus: Bei Technologie 1 ist der Gewinn gleichverteilt in [ ; ]. Bei Technologie 2 ist der Gewinn gleichverteilt in [0 ; ]. Bei Technologie 3 kann ein Gewinn von , , bzw mit jeweils gleicher Wahrscheinlichkeit realisiert werden. Bei Technologie 4 entsteht entweder ein Verlust in Höhe von oder ein Gewinn in Höhe von Die Wahrscheinlichkeit für den Gewinn beträgt 0,8. Wie entscheidet sich die Geschäftsleitung, wenn sie... a) eine risikoneutrale Einstellung einnimmt? b) die Verlustwahrscheinlichkeit minimieren will? c) die Entscheidungsregel Φ(a i ) = ϕ(µ i, σ i ) = 10 6 µ i 0, σ 2 i verwendet? Hinweis: Die Varianz einer Gleichverteilung in [a; b] beträgt 1 12 (b a)2. Aufgabe 25 Der Geschäftsführer der Holz-Wurm GmbH, Willi Wurm, legt seinen Entscheidungen die Bernoulli-Nutzenfunktion u(x) = e c x zu Grunde, wobei c eine noch festzulegende Konstante aus IR \ {0} ist und x in Tausend Euro (T ) gemessen wird. Des Weiteren sei bekannt, dass Herr Wurm eine Alternative a, die einen sicheren Gewinn in Höhe von 2 T ermöglicht, mit einem Nutzen von 5 bewertet und indifferent bezüglich obiger Alternative a und einer Alternative b ist, die mit einer Wahrscheinlichkeit von p zu einem Gewinn in Höhe von 3 T führt und ansonsten zu einem Gewinn in Höhe von 1 T. a) Bestimmen Sie das Arrow-Pratt-Maß zur Bernoulli-Nutzenfunktion von Herrn Wurm. Welcher Einstellung zum Risiko entspricht dieser Zahlenwert? b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit p? c) Ermitteln Sie die zu Alternative b gehörende Risikoprämie. Willi Wurm behauptet, dass das Bernoulli-Prinzip bei Zugrundelegung obiger Nutzenfunktion mit einer (µ, σ)-regel verträglich sei. d) Unter welcher Voraussetzung ist die Behauptung von Willi Wurm zutreffend? Geben Sie die dann verträgliche (µ, σ)-regel an. Aufgabe 26 Ein Unternehmer, dessen Arrow-Pratt-Maß konstant gleich 0,1 ist, könnte eine Investition durchführen, die zu einem normalverteilten Endvermögen in Höhe von X Geldeinheiten führt. Bezüglich X sind folgende Momente bekannt: E(X) = 20 und E(X 2 ) = 500. Bestimmen Sie den Nutzenerwartungswert Eu(X), wenn u(0) = 0 und u (0) = 0,1 gilt. 10

12 Aufgabe 27 Gegeben sei die Entscheidungsmatrix z 1 z 2 z 3 z 4 z 5 a a a Man bestimme jeweils alle optimalen Aktionen nach der Wald-Regel, der Maximax-Regel, der Hurwicz-Regel, der Laplace-Regel, der Savage-Niehans-Regel sowie der Krelle-Regel mit w(u) = 10 u u 2. Aufgabe 28 Ein Reiseveranstalter hat die Möglichkeit, in einem Hotel für die kommende Saison 0, 1 000, oder Übernachtungen zu einem Preis in Höhe von 50, pro Übernachtung einzukaufen. Er plant, die Übernachtungen zu einem Stückpreis von 60, anzubieten. Leider ist ihm völlig unklar, wie sich im kommenden Jahr die Nachfrage entwickeln wird. Nehmen Sie an, dass für die nachgefragte Anzahl der Übernachtungen im kommenden Jahr in diesem Hotel auch nur genau einer der Werte 0, 1 000, oder möglich ist. Wie viele Übernachtungen kauft der Reiseveranstalter ein, wenn er sich am Gewinn orientiert und... a) extrem pessimistisch ist? b) extrem opistisch ist? c) die Hurwicz-Regel verwendet? Aufgabe 29 Trotz knapper Haushaltsmittel plant die Stadtverwaltung einer süddeutschen Kleinstadt die Modernisierung ihres Intranets. Der mit der Entscheidungsvorbereitung beauftragte Sachbearbeiter Karl-Otto Rupt holt dazu die Angebote zweier Firmen ein, nämlich der ortsansässigen Knobel KG sowie der in der Nachbargemeinde angesiedelten Netservice GmbH. Untersuchen Sie die im Folgenden geschilderte Entscheidungssituation aus Sicht von Konrad Knobel, dem Geschäftsführer und Komplementär der Knobel KG. Herrn Knobel ist bekannt, dass Karl-Otto Rupt nur Angebote der Knobel KG und der Netservice GmbH eingeholt hat. Bezüglich des Konkurrenzangebotes geht er davon aus, dass die Netservice GmbH nur einen der drei möglichen Angebotspreise , oder nennen wird. Leider ist Herrn Knobel völlig unklar, welchen dieser Preise die Netservice GmbH tatsächlich anbietet. Unterstellen Sie vereinfachend, dass auch Konrad Knobel genau einen der drei genannten Beträge verlangen wird. 11

13 Auf Grund ihrer knappen Haushaltsmittel wird die Kleinstadt den billigeren der beiden Anbieter beauftragen. Verlangen beide den gleichen Preis, so wird der Auftrag an die Knobel KG vergeben, da die ausschreibende Kleinstadt heimische Betriebe unterstützen will. Dieser Umstand ist Konrad Knobel bekannt. Erhält die Knobel KG den Auftrag, so entstehen ihr dadurch Kosten in Höhe von , ansonsten ist ihr Gewinn gleich null. Welchen Preis wird Konrad Knobel anbieten, wenn er... a) extrem pessimistisch ist? b) extrem optimistisch ist? c) jeden der drei möglichen Angebotspreise der Netservice GmbH als gleichermaßen wahrscheinlich einstuft? d) die Hurwicz-Regel mit λ = 1 2 verwendet? Aufgabe 30 In einer Entscheidungssituation unter Ungewissheit liege folgende Entscheidungsmatrix vor: U = Welche Bewertungsreihenfolge ergibt sich nach der... a) Maximin-Regel? b) Laplace-Regel? c) Krelle-Regel mit der Unsicherheitspräferenzfunktion ω(u) = (u 4) 2? Aufgabe 31 Gegeben sei die Nutzenmatrix z 1 z 2 z 3 z 4 z 5 a c a a a Bestimmen Sie, einzeln für jede der nachfolgenden Fragen, die kleinste natürliche Zahl c, so dass a 1 a) nach der Maximax-Regel optimal ist. b) nach der Maximin-Regel optimal ist. c) nach der Hurwicz-Regel mit λ = 1 2 optimal ist. d) nach der Savage-Niehans-Regel optimal ist. e) ineffizient ist. 12

14 Aufgabe 32 In einer Entscheidungssituation mit drei Handlungsalternativen und vier relevanten Zuständen liegt Ihnen folgende Entscheidungsmatrix vor: z 1 z 2 z 3 z 4 a a a Die darin enthaltenen Nutzenwerte werden in Geldeinheiten gemessen. a) Existieren ineffiziente Alternativen? Wenn ja, welche? b) Welche Bewertungsreihenfolge ergibt sich nach der Savage-Niehans-Regel? c) Nun sei zusätzlich bekannt, dass die Eintrittswahrscheinlichkeiten der ersten drei Zustände gleich groß sind: p 1 = p 2 = p 3 = p < 1 3. Außerdem bestehe die Möglichkeit, eine vollkommene Informationsquelle in Anspruch zu nehmen, die Kosten in Höhe von 2 Geldeinheiten verursacht. Für welche Werte von p lohnt sich die Inanspruchnahme dieser Informationsquelle, wenn Sie Ihren Entscheidungen die Bayes-Regel zu Grunde legen? Aufgabe 33 Gegeben sei die Nutzenmatrix z 1 z 2 z 3 a a Zeigen Sie, dass die Hurwicz-Regel für alle λ > 0 Aktion 1 gegenüber Aktion 2 präferiert. Aufgabe 34 Einem Entscheidungsträger liegt folgende kardinale Nutzenmatrix vor: z 1 z 2 z 3 z 4 z 5 a a a a a a Beurteilen Sie die folgenden Aussagen a) bis e) dahingehend, ob sie richtig oder falsch sind. Alle Antworten sind (verbal oder rechnerisch) zu begründen! a) Es existiert genau eine dominierte Aktion. b) Die Hurwicz-Regel bewertet a 1 und a 2 stets gleich, jedoch nie besser als a 3. 13

15 c) Nach Eliminierung aller dominierten Alternativen ist der Entscheidungsträger bei Anwendung der Wald-Regel bezüglich drei Alternativen indifferent. d) Nach der Savage-Niehans-Regel präferiert der Entscheidungsträger a 3 gegenüber a 1. e) Die Berücksichtigung der Unterlassungsalternative (d.h. keine der Aktionen a 1,..., a 6 durchführen) als Aktion a 7 verändert die Ergebnisse der Teile a) bis d) nicht. Aufgabe 35 In einem Entscheidungsproblem mit drei Aktionen und zwei Zuständen lautet die Nutzenmatrix 1 4 U = Beide Zustände werden als gleich wahrscheinlich angenommen, wobei diese Verteilung nur bedingt vertrauenswürdig ist. a) Welche Aktion ist optimal nach der 1. Hodges-Lehmann-Regel mit λ = 0,5? b) Berechnen Sie die Opportunitätskostenmatrix. c) Berechnen Sie den Erwartungswert der vollkommenen Information. Aufgabe 36 Gegeben sei folgende Entscheidungsmatrix z 1 z 2 z 3 z 4 a a a) Welche Aktion ist optimal nach der Savage-Niehans-Regel? b) Für welche Werte des Optimismusparameters λ wählt die Hurwicz-Regel a 1 aus? c) Im Folgenden liege eine lineare parzielle Information in Form der beiden Ungleichungen p 1 p 3 und p 1 p 4 vor. Bestimmen Sie die in diesem LPI-Modell optimale Aktion. Aufgabe 37 Gegeben sei folgende Entscheidungsmatrix z 1 z 2 z 3 a a a a a) Über die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zustände sei nichts bekannt. Bestimmen Sie die Bewertungsreihenfolge der vier Aktionen nach der Savage-Niehans-Regel. b) Nun sei bekannt, dass Zustand z 1 mit Wahrscheinlichkeit 0,2 vorliegt, und dass die beiden Zustände z 2, z 3 gleich wahrscheinlich sind. Berechnen Sie den Erwartungswert der vollkommenen Information. 14

16 Aufgabe 38 In einer Entscheidungssituation mit drei Handlungsalternativen und vier relevanten Zuständen liegt Ihnen folgende Entscheidungsmatrix vor: z 1 z 2 z 3 z 4 a a a Die darin enthaltenen Nutzenwerte werden in Geldeinheiten gemessen. a) Existieren ineffiziente Alternativen? Wenn ja, welche? b) Welche Bewertungsreihenfolge ergibt sich nach der Savage-Niehans-Regel? c) Nun bestehe die Möglichkeit, eine Kosten verursachende vollkommene Informationsquelle in Anspruch zu nehmen. Wie hoch dürfen die Kosten dieser Informationsquelle maximal sein, damit sich ihre Inanspruchnahme lohnt, wenn Sie Ihren Entscheidungen die Wald- Regel zu Grunde legen? d) Um die Realisationswahrscheinlichkeiten p j der Zustände z j zu bestimmen, ziehen Sie einen Experten zurate. Dieser gibt Ihnen folgende Auskünfte: z 1 ist mindestens so wahrscheinlich wie z 2. z 3 und z 4 sind gleich wahrscheinlich. Betrachten Sie diese Auskünfte als eine lineare partielle Information und bestimmen Sie die in diesem LPI-Modell optimale Alternative. Aufgabe 39 Geben Sie eine (2 2)-Nutzenmatrix an, bei der EWVI = 0 unabhängig von der Verteilung der Zustände gilt. Aufgabe 40 Die Analyse eines Entscheidungsproblems führt zur Entscheidungsmatrix ( ) c U = Die fünf relevanten Zustände werden mit folgenden Wahrscheinlichkeiten 1 10, 2 10, 4 10, 2 10, 1 10 für möglich gehalten. Bestimmen Sie den erwarteten Wert der vollkommenen Information a) für c = 5 und für c = 15. b) für jeden beliebigen reellen Wert c. 15

17 Aufgabe 41 Ein risikoneutraler Unternehmer erwägt, ein neues Produkt A einzuführen. Der Verkaufserfolg dieses Produktes ist nicht sicher: Es ist davon auszugehen, dass Produkt A mit einer Wahrscheinlichkeit von 25 % einen Gewinn in Höhe von , und mit einer Wahrscheinlichkeit von 35 % einen Verlust in Höhe von , generiert. In allen anderen Fällen (auch bei Verzicht auf eine Produkteinführung) ist der Gewinn gleich null. Ferner könnte der Unternehmer die Unternehmensberatung Schlau & Berger beauftragen, eine Marktanalyse durchzuführen. Diese würde Kosten in Höhe von 5 000, verursachen und eine sichere Vorhersage des Gewinns ermöglichen. a) Sollten Schlau & Berger beauftragt werden? b) Nehmen Sie nun an, dass der Unternehmer alternativ zu A ein anderes Produkt B einführen könnte, das einen sicheren Gewinn in Höhe von , ermöglicht. Sollte der Unternehmer nun Schlau & Berger beauftragen? Aufgabe 42 In einer Entscheidungssituation besteht die Möglichkeit, sich durch Ziehen einer Stichprobe Informationen über den unbekannten wahren Umweltzustand zu beschaffen. Die Erhebung dieser Stichprobe würde Kosten in Höhe von n verursachen, die vom Stichprobenumfang n abhängen. Dieser ist zwischen 1 und wählbar, wobei n = einer Vollerhebung gleichkommt und damit vollkommene Information liefert. Für n beträgt der erwartete Wert der Stichprobeninformation n n. a) Lohnt sich die Inanspruchnahme der Stichprobe vom Umfang als vollkommener Informationsquelle? b) Welcher Stichprobenumfang ist maximal vertretbar? c) Bestimmen Sie den optimalen Stichprobenumfang und den mit ihm erreichbaren Nettogewinn (das heißt die Differenz von erwartetem Wert der Stichprobeninformation und den damit verbundenen Kosten). Aufgabe 43 Die beiden Teenager Max und Moritz möchten gerne (jeweils) eine ihrer Mitschülerinnen als Freundin gewinnen. Beide finden Julia besonders attraktiv, könnten sich aber auch Verena als Alternative vorstellen. Da sowohl Julia als auch Verena aus einem konservativen Elternhaus stammen, kommt für beide (jeweils) maximal ein Freund infrage. Deshalb werden Max und Moritz erfolglos bleiben, falls sie die selbe Dame umwerben (entspricht einer Auszahlung in Höhe 0 für Max und für Moritz). Ansonsten, wenn sich also einer der beiden Schüler für Julia und der andere für Verena entscheidet, werden beide Annäherungsversuche erfolgreich sein. Da Julia gemeinhin als attraktiver gilt, erreicht der künftige Partner von Julia im letzteren Fall einen höheren Nutzen (Auszahlung 20) als der Partner von Verena (Auszahlung 10). 16

18 Interpretieren Sie die geschilderte Situation als ein nichtkooperatives Zweipersonenspiel in Normalform mit den Spielern Max und Moritz. a) Erstellen Sie die Auszahlungsmatrizen für Max und Moritz. b) Ermitteln Sie den Garantiepunkt sowie sämtliche Maximinstrategien von Max und Moritz. c) Bestimmen Sie alle Gleichgewichtspunkte. Aufgabe 44 Gegeben sei ein Matrixspiel Γ mit folgender Auszahlungsmatrix für Spieler 1: U = a) Bestimmen Sie den unteren und den oberen Spielwert von Γ. b) Besitzt Γ einen Gleichgewichtspunkt? c) Bestimmen Sie für für die gemischte Erweiterung Γ E den Spielwert sowie die optimalen Strategien beider Spieler. Aufgabe 45 Ein Matrixspiel Γ werde durch folgende Auszahlungsmatrix für Spieler 1 beschrieben: 1 0 p 1 U = a) Bestimmen Sie den unteren und den oberen Spielwert in Abhängigkeit von p IR. b) Für welche Werte p besitzt Γ optimale (nicht gemischte) Strategien? c) Nun sei p = 2. Ist die gemischte Erweiterung Γ E fair? Aufgabe 46 Gegeben sei ein Matrixspiel Γ mit folgender Auszahlungsmatrix für Spieler 1: 4 γ 2 5 U = Bestimmen Sie alle Werte des reellen Parameters γ, so dass die Partie a) (a 1, b 1 ) b) (a 1, b 2 ) c) (a 3, b 4 ) einen Gleichgewichtspunkt darstellt. 17

19 Aufgabe 47 Gegeben sei ein Matrixspiel Γ mit folgender Auszahlungsmatrix für Spieler 1: c U = a) Gibt es einen Wert c, so dass Γ determiniert ist? Nun sei bekannt, dass p = ( 1 3, 0, 2 3 )T eine optimale gemischte Strategie von Spieler 1 ist. b) Wie groß ist c? c) Geben Sie eine optimale gemischte Strategie von Spieler 2 sowie den Spielwert der gemischten Erweiterung Γ E von Γ an. Aufgabe 48 In einem Nullsummenspiel Γ = (A, B, u) seien B = {b 1 ; b 2 } und u(a, b 1 ) = 10 a 5 sowie u(a, b 2 ) = 2 (5 a 3) 2 2 für alle a A IR. I. Zunächst sei A = { 1 5 ; 2 5 ; 3 5 ; 4 5 }. a) Erstellen Sie die Auszahlungsmatrix für Spieler 1. b) Berechnen Sie den unteren und den oberen Spielwert. c) Bestimmen Sie ein Paar optimaler Strategien sowie den Spielwert falls möglich, im Spiel Γ anderernfalls in der gemischten Erweiterung Γ E. II. Nun sei für A das Intervall [0; 1] zugelassen. d) Zeigen Sie, dass gilt: u(a, b 1 ) u(1, b 1 ) a A und u(1, b 1 ) u(1, b 2 ) e) Bestimmen Sie ein Paar optimaler Strategien sowie den Spielwert falls möglich, im Spiel Γ anderernfalls in der gemischten Erweiterung Γ E. Aufgabe 49 Gegeben sei ein Matrixspiel mit folgender Auszahlungsmatrix für Spieler 1: u 14 U = Bestimmen Sie für jeden möglichen Wert u 14 IR a) das Indeterminiertheitsintervall von Γ ; b) einen Gleichgewichtspunkt sowie den Spielwert der gemischten Erweiterung. 18

20 Aufgabe 50 Gegeben sei das Bimatrixspiel Γ = (A, B, u 1, u 2 ) mit ( ) 2 1 U 1 = 4 7 ( ) 5 4 und U 2 =. 2 0 a) Zeichnen Sie das kooperative Auszahlungsdiagramm K(Γ). b) Bestimmen Sie den Garantiepunkt (u 1, u 2 ). c) Berechnen Sie die Nash-Lösung zur Verhandlungssituation K(Γ) mit (ū 1, ū 2 ) = (u 1, u 2 ). Aufgabe 51 Gegeben sei ein kooperativ gespieltes Bimatrixspiel Γ = (A, B, u 1, u 2 ) mit ( ) 2 6 U 1 = 3 3 ( ) 3 1 und U 2 =. 2 1 a) Zeichnen Sie das kooperative Auszahlungsdiagramm K(Γ). b) Bestimmen Sie den Garantiepunkt (u 1, u 2 ). c) Berechnen Sie die Nash-Lösung zur Verhandlungssituation K(Γ) mit (ū 1, ū 2 ) = (u 1, u 2 ). d) Welche Auszahlungserwartungswerte ergeben sich, wenn in der gemischten Erweiterung die Strategien p = (1, 0) T, q = ( 1 2, 1 2 )T gespielt werden? Aufgabe 52 Gegeben sei das Bimatrixspiel Γ = (A, B, u 1, u 2 ) mit ( ) U 1 = ( ) und U 2 = a) Zeichnen Sie das kooperative Auszahlungsdiagramm K(Γ). b) Bestimmen Sie den Garantiepunkt (u 1, u 2 ) sowie sämtliche (nicht gemischte) Maximinstrategien der beiden Spieler. c) Geben Sie alle Gleichgewichtspunkte von Γ an. d) Berechnen Sie die Nash-Lösung zur Verhandlungssituation K(Γ) mit (ū 1, ū 2 ) = (u 1, u 2 ). Auf welche Weise können die resultierenden Auszahlungen erreicht werden? 19

21 Aufgabe 53 Gegeben sei das Bimatrixspiel Γ = (A, B, u 1, u 2 ) mit ( ) 3 2 U 1 = 0 4 ( ) 0 3 und U 2 =. 4 2 a) Bestimmen Sie alle Gleichgewichtspunkte von Γ. b) Zeichnen Sie das kooperative Auszahlungsdiagramm K(Γ). c) Bestimmen Sie den Garantiepunkt (u 1, u 2 ), geben Sie je eine Maximinstrategie a bzw. b von Spieler 1 bzw. Spieler 2 an und bestimmen Sie den aus dem Einsatz von a und b resultierenden Auszahlungsvektor (u 1, u 2 ). d) Berechnen Sie die Nash-Lösung zur Verhandlungssituation K(Γ) mit (ū 1, ū 2 ) = (u 1, u 2 ). Aufgabe 54 Gegeben sei das Bimatrixspiel Γ = (A, B, u 1, u 2 ) mit U 1 = und U 2 = 1 1 c I) Unterstellen Sie c = 3 und (ū 1, ū 2 ) = ( 6, 3). a) Auf welche Strategien ziehen sich die Spieler bei Scheitern der Verhandlungen zurück? b) Ermitteln Sie die Nash-Lösung. Durch welches Spielverhalten wird sie erreicht? II) Nehmen Sie nun c IR an. c) Ist die Nash-Lösung (für beliebige (ū 1, ū 2 )) Pareto-optimal? Aufgabe 55 Das kooperative Auszahlungsdiagramm eines Bimatrixspiels ist ein konvexes Polyeder mit den Ecken (20, 20), (20, 60), (40, 130), (60, 20), (60, 120), (120, 60) und (130, 40). Als Konfliktpunkt wird (ū 1, ū 2 ) = (80, 80) gewählt. a) Beurteilen Sie ohne Berechnung der tatsächlichen Nash-Lösung!, ob die im Folgenden angegebenen Punkte Nash-Lösungen sind: A = (85, 85), B = (125, 50), C = (70, 110), D = (100, 100). Begründen Sie Ihre Aussagen! b) Berechnen Sie die Nash-Lösung (û 1, û 2 ). c) Im vorliegenden Fall kann die Bestimmung von (û 1, û 2 ) einfacher durch Lösung der Gleichungen û 2 = û 1 = g(û 1 ) erfolgen, wobei g die Gleichung einer bestimmten Geraden ist. Wie lautet diese Gerade, welchen Umstand beschreibt sie, und aus welchem Grund ist dieser Lösungsweg zulässig? 20

22 Aufgabe 56 Gegeben sei das Bimatrixspiel Γ = (A, B, u 1, u 2 ) mit A = {a 1 ; a 2 } = {1; 2}, B = {b 1 ; b 2 } = {1; 2}, u 1 (a i, b j ) = (a i b j ) 2 und u 2 (a i, b j ) = (b j a i ) 2. a) Ist Γ ein Konstantsummenspiel? Nullsummenspiel? Beide Antworten sind zu begründen! b) Bestimmen Sie den Garantiepunkt sowie sämtliche (nicht gemischten) Maximinstrategien der beiden Spieler. c) Geben Sie alle Gleichgewichtspunkte von Γ an. d) Ermitteln Sie ohne Berechnung (!) die Nash-Lösung und erläutern Sie, warum diese im hier betrachteten Spiel nicht von der Lage des Konfliktpunktes abhängt. 21

23 Lösung zu Aufgabe 1 a) a 2 (wird von a 3 dominiert) b) α) a 1 a 3 a 2 β) a 3 a 2 a 1 γ) a 3 a 1 a 2 Lösung zu Aufgabe 2 a) Körth-Regel: a 1 a 2 a 3 ; Goal-Programming: a 1 a 3 a 2 b) z.b. Transformation u ij u ij + 1 führt bei Körth-Regel zu a 1 a 3 a 2 Lösung zu Aufgabe 3 a) Alle Alternativen sind effizient. b) a 2 a 3 a 1 c) a 2 a 3 a 1 Lösung zu Aufgabe 4 a) a 3 b) Unter Verwendung von g 1 = g, g 2 = 1 g erhält man Φ(a 1 ) = g + 4 (1 g) = 4 3 g Φ(a 2 ) = 5 g + 2 (1 g) = g Φ(a 3 ) = 3 g + 3 (1 g) = 3 Damit ist a 1 optimal, falls (4 3 g > g) (4 3 g > 3) g < a 2 optimal, falls (2 + 3 g > 4 3 g) (2 + 3 g > 3) g > a 3 optimal, falls g = 1 3 (dann gilt a 1 a 2 a 3 ) Lösung zu Aufgabe 5 a) a 3 und a 4 (werden beide von a 2 dominiert) b) a 2 a 3 a 4 a 1 c) a 2 a 4 a 1 a 3 d) a 4 Lösung zu Aufgabe 6 a) U = b) a 2 a 1 a 3 c) a 1 a 2 a 3 d) a 1 a 3 a 2 22

24 Lösung zu Aufgabe 7 a) U = b) Alle Alternativen sind effizient. c) a 1 a 3 a 2 d) a 3 a 1 a 2 e) a 3 Lösung zu Aufgabe 8 a) ja; zwei Fälle möglich: u 41 3 i.v.m. u 14 < 2 oder u 41 > 3 i.v.m. u 14 2 b) u 41 4 i.v.m. u 14 2 c) Φ(a 1 ) = 2,2 + 0,2 u 14 ; Φ(a 2 ) = 1,8; Φ(a 3 ) = 1,7; Φ(a 4 ) = 2,3 + 0,1 u 41 a 1 a 4 u 14 > 1 2 (1 + u 41) d) zwei Fälle möglich: u 14 > 2 oder u 14 = 2 i.v.m. u 41 < 3 e) mit u = u 14 = u 41 : Φ(a 1 ) = 12 u; Φ(a 2 ) = 12; Φ(a 3 ) = 11; Φ(a 4 ) = 13 u vier Fälle möglich: u = 0 a 3 a 1 a 2 a 4 u (0, 1) a 3 a 1 a 2 a 4 u = 1 a 1 a 3 a 4 a 2 u (1, 2) a 1 a 3 a 4 a 2 Lösung zu Aufgabe 9 a) Mit g 1 = g 2 = g 4 = 1 3 (1 2 6 ) = 2 9 = g und g 3 = g 5 = 1 6 = h gilt } Φ(a 2 ) = y Φ(a 3 ) = x a 3 a x > y x > y + 4 3, also für alle (x, y) {(3; 1), (4; 1), (5; 1), (4; 2), (5; 2), (5; 3)}. b) Offensichtlich sind Φ(a 1 ) = 12 und Φ(a 4 ) = 13, es muss also Φ(a 2 ) > 13 und Φ(a 3 ) > 13 erfüllt werden. Dies ist nur möglich für x = y = 5. c) Nun muss Φ(a 2 ) < 12 und Φ(a 3 ) < 12 gelten. Dies ist nur möglich für x, y {1; 2}. d) Die Bedingung ist i.a. nicht erfüllt; Gegenbeispiel: obwohl a 1 von a 2 dominiert wird. ( ) U = Φ(a 1 ) = Φ(a 2 ), 2 23

25 Lösung zu Aufgabe 10 a) Siehe Skizze unten (links). b) alle a (3, 5] (werden von a = 3 dominiert) c) Φ(a) = min{u 1 (a)/3, u 2 (a)/5} = min{ a 3, 1 a 5 } (nach Streichung ineffizienter Aktionen) Φ(a) maximal a 3 = 1 a 5 a = 15 8 = 1,875 (siehe Skizze rechts) 5 u 1 1 Φ aµ u Lösung zu Aufgabe 11 Im Folgenden bezeichne x die Anzahl Mengeneinheiten von Produkt I und y die Anzahl Mengeneinheiten von Produkt II. a) Im (x, y)-koordinatensystem eine Strecke, die die Punkte (280; 560) und (840; 0) verbindet. b) Wegen k 1 k 2 ist u 1 (x, y) = 2 x + 5 y maßgeblich; da II den größeren Deckungsbeitrag bringt, wird y maximal gewählt x = 280, y = 560. c) Vorgehensweise analog zu Aufgabe 10, wobei u 1 (x, y) = 2 x + 5 y sein Maximum bei x = 280, y = 560 (vgl. b) und u 2 (x) = x sein Maximum bei x = 840, y = 0 erreicht. { } 2 x + 5 y Φ(x, y) = min ; x 840 (Unter Beachtung von x + y = 840.) maximal 2 x + 5 y = x (x, y) = (600, 240) 840 Lösung zu Aufgabe 12 a) Eu(X a1 ) = 19 4 = y y = Eu(X a 2 ) 3 y 2 15 y + 12 = 0 y = 4 (die zweite Lösung y = 1 entfällt wegen der Bedingung y 2). b) u (x) = 8 x 3 > 0 risikofreudig Lösung zu Aufgabe 13 a) E(X) = 15,5 b) Eu(X) = 50,22 c) u 1 (y) = 5 y s = 5 50,22 = 15,85 d) s > E(x) risikofreudig e) Lineare Transformation ũ(x) = 5 u(x) 5 Eũ(X) = 5 50,22 5 = 246,1. s und die Risikoeinstellung ändern sich bei linearer Transformation von u nicht. 24

26 Lösung zu Aufgabe 14 a) Eu 1 (X) = 1,15; Eu 2 (X) = 0,78 b) u 1 1 (y) = ey s 1 = 3,16; u 1 2 (y) = 2 ln(1 y) s 2 = 3,03 c) r 1 (x) = 1 x ; r 2(x) = 1 2 Lösung zu Aufgabe 15 a) E(X) = b) Eu(X) = 3 [ ] 20 x 1 10 dx = x 3 2 = 11, c) u 1 (y) = 1 9 y2 s = 14,85 d) s < E(X) risikoavers Lösung zu Aufgabe 16 a) u( ) = > Eu(X) = ,33 Fixlohn wählen b) u(s) = ,33 bei Zweig 1 unmöglich (0 x u(x) = 3 x ) u(s) = s = ,33 s = ,33. Lösung zu Aufgabe 17 Der Unternehmer ist wegen E(X) = 700 = s risikoneutral, der Konkurrent ist wegen E(X) = 960 < = s risikofreudig. Lösung zu Aufgabe 18 a) r(x) = 1 2x+1 b) Eu(X 0 ) = u(12) = 5; Eu(X 8 ) = c) u 1 (y) = 1 2 y2 1 2 s = 19,03 d) Eu(X a ) = 25 2 a a max a : a Eu(X a) = 1 40 Wegen ( 2 Eu(X a 2 a ) Lösung zu Aufgabe a = 6,25; Eu(X 12) = = 5, a ) = a = a a = a a = 8 = 25 < 0 liegt ein Maximum vor. a=8 a) E(X) = 15; Eu(X) = 1,5 u(s) = 1,5 bei Zweig 1 unmöglich (0 x 10 u(x) = x ) u(s) = 0,4 s 3 = 1,5 s = 13,125 b) { 1 r(x) = x, für 0 x x 15, für 10 < x 50 r(5) = 1 5 ; r(20) =

27 Lösung zu Aufgabe 20 Eu(X) = = = = u(a + e) f(e) de ,5 ( e) de + ( [ e 1, , ] e de [ e ] ) Lösung zu Aufgabe 21 Ohne Versicherung: mit Wahrscheinlichkeit 0,99 X 1 = mit Wahrscheinlichkeit 0, mit Wahrscheinlichkeit 0,001 Eu(X 1 ) = , , ,001 = Mit Versicherung (wobei Prämie = p): x 2 = p u(x) = p Abschluss u(x 2 ) Eu(X 1 ) p p Lösung zu Aufgabe 22 a) r(x) = 1 x b) u 1 (y) = e y Eu(X 1 ) = Eu(X 2 ) = lnx dx = [x ln x x] = 11,21 s 1 = ,41 1 lnx dx = [x ln x x] = 11,24 s 2 = ,95 c) s 2 > s 1 a 2 a 1 d) Lineare Transformation es ändert sich nichts. Lösung zu Aufgabe 23 a) E(X A ) = , , ,45 = E(X B ) = , ,45 = E(X C ) = = A b) lineare Bernoulli-Nutzenfunktion = Risikoneutralität ebenfalls A 26

28 c) Var(X A ) = ( ) 2 0,15 + +( ) 2 0,45 = Var(X B ) = ( ) 2 0,55 +( ) 2 0,45 = Var(X C ) = = 0 damit sind Φ(A) = ( ) = Φ(B) = ( ) = Φ(C) = = C Lösung zu Aufgabe 24 a) E(X a1 ) = 1 2 ( ) = E(X a2 ) = = E(X a3 ) = 1 a 1 a 3 4 ( ) = E(X a4 ) = , ,8 = b) Verlustwahrscheinlichkeit P(Gewinn < 0) bei a 2 minimal, da dies die einzige Alternative ohne Verlustgefahr ist (d.h. P(Gewinn < 0) = 0; andere Alternativen: P(Gewinn < 0) > 0). c) Var(X a1 ) = 1 12 ( )2 = Var(X a2 ) = = 7, Var(X a3 ) = 1 4 [( )2 + ( ) ] = Var(X a4 ) = ( ) 2 0,2 + ( ) 2 0,8 = 1, damit sind Φ(a 1 ) = , = 1,3 Φ(a 2 ) = , , = 0,225 Φ(a 3 ) = , = 2,3 Φ(a 4 ) = , , = 0,8 a 2 Lösung zu Aufgabe 25 a) Lineare Transformation einer exponentiellen Risikonutzenfunktion APM = c ohne Rechnung klar. Zahlenwert: ln 54,6 = 5 c = e 2c 2 2 b) p ( ) ( ) e + (1 p) e = 72,54 p 58,89 = 5 2 p = 63,89 72,54 = 0,88 c) π = 0, ,12 2 = 0,76 d) X N(µ; σ 2 ); Φ(µ, σ) = µ σ 2 Lösung zu Aufgabe 26 Mit konstantem Arrow-Pratt-Maß, u(0) = 0, u (0) = 0,1 ist u(x) = 1 e 0,1x eindeutig festgelegt. Auf Grund der Normalverteilungsannahme gilt weiter s = E(X) 1 2 0,1 Var(X), wobei sich Var(X) gemäß Verschiebungssatz als E(X 2 ) E 2 (X) = = 100 ergibt. Somit ist s = 20 0, = 15 und der Nutzenerwartungsert Eu(X) = u(s) = 1 e 0,1 15 0,78. 27

29 Lösung zu Aufgabe 27 Wald: a 1 ; Maximax: a 2 ; Laplace: a 1 ; Savage-Niehans: a 1 a 2 ; Krelle: a 1 Hurwicz: Φ(a 1 ) = 1, Φ(a 2 ) = 2 λ a 1 a 2, für λ < 1 2 a 2 a 1, für λ > 1 2 a 1 a 2, für λ = 1 2 Lösung zu Aufgabe 28 Es gilt {a 1, a 2, a 3, a 4 } = {z 1, z 2, z 3, z 4 } = {0, 1 000, 2 000, 3 000} und für die Nutzenfunktion u(a i, z j ) = 60 min{a i, z j } 50 a i (da nur eine Nachfrage a i bedient werden kann). Also: U = a) 0 Übernachtungen b) Übernachtungen c) Φ(a 1 ) = 0; Φ(a 2 ) = 60 λ 50; Φ(a 3 ) = 120 λ 100; Φ(a 4 ) = 180 λ 150 Wegen Φ(a 3 ) = 2 Φ(a 2 ) und Φ(a 4 ) = 3 Φ(a 2 ) genügt der Vergleich von a 1 und a 4 : 60 λ 50 > 0 λ > 5 6 Entscheidung: 0 Übernachtungen falls λ < Übernachtungen falls λ > 5 6 beliebige Anzahl Übernachtungen falls λ = 5 6 Lösung zu Aufgabe 29 Es gilt {a 1, a 2, a 4 } = {z 1, z 2, z 3 } = {20, 30, 40} (in T, wobei die a i den Preisen von Knobel und die z j den Preisen der Netservice GmbH entsprechen). Ferner ist u ij = a i 15, falls a i z j (d.h. Knobel erhält den Zuschlag), sonst ist u ij = 0. Also: a) b) c) d) U =

30 Lösung zu Aufgabe 30 a) a 2 a 3 a 1 b) a 2 a 3 a 1 c) a 2 a 3 a 1 Lösung zu Aufgabe 31 a) c = 15 (c = 14 auch in Ordnung; dann a 1 a 4 ) b) Wegen min j u 1j = min{1; c} < 3 = min j u 2j kann a 1 nie optimal sein. c) Φ(a 2 ) = 13 2 ; Φ(a 3) = 11 2 ; Φ(a 4) = 15 2 Wegen Φ(a 4 ) > Φ(a 2 ) > Φ(a 3 ) genügt ein Vergleich von a 1 und a 4 : Für c 10 ist Φ(a 1 ) = 11 2 < Φ(a 4); folglich sind nur Werte c > 10 relevant, so dass Φ(a 1 ) = c+1 2 gilt. Aus c+1 2 > 15 2 folgt c > 14, so dass der kleinste Wert für c 15 ist. d) Wählt man c 8, so ist Φ(a 1 ) = 5; Φ(a 2 ) = max{6; c 8} > Φ(a 1 ); Φ(a 3 ) = max{11; c} > Φ(a 1 ); Φ(a 4 ) = max{5; c 2} Φ(a 1 ) und damit a 1 optimal. Für c [2; 8) ist Φ(a 1 ) = max{5; 8 c} 6; Φ(a 2 ) = 6; Φ(a 3 ) = 11; Φ(a 4 ) = 6 und damit ebenfalls a 1 optimal. Im Fall c = 1 schließlich ist Φ(a 1 ) = 7 > 6 = Φ(a 2 ), so dass a 1 nicht optimal ist. Folglich ist a 1 optimal im Sinne der Savage-Niehans-Regel für alle c 2, so dass der kleinste Wert für c 2 ist. e) Für c 2 wird a 1 von a 4 dominiert. Lösung zu Aufgabe 32 a) Nein, alle Alternativen sind effizient. b) a 2 a 3 a 1 c) EWVI = min{12 p; 12 p + 4 (1 3 p); 8 p} = min{8 p; 4} = {4, falls p p, sonst = 8 p, da nach Angabe p < 1 3. Informationsbeschaffung lohnt sich, wenn EWVI = 8 p 2 p 1 4. Insgesamt: p [ 1 4 ; 1 3 ) Lösung zu Aufgabe 33 Φ(a 1 ) = 2 λ + 3 > λ + 3 = Φ(a 2 ) 2 λ > λ λ > 0 Lösung zu Aufgabe 34 a) Falsch: Es existieren zwei dominierte Aktionen, a 5 und a 6. b) Falsch: Es gilt zwar a 1 a 2, u.u. aber auch a 1 a 2 a 3 (für λ < 1 3 ). c) Richtig: a 1 a 2 a 4. d) Falsch: Φ(a 1 ) = Φ(a 3 ) = 3. e) Richtig: a 7 = (0, 0, 0, 0, 0, 0) a i a 7 i = 1,..., 6 (auch a) bleibt falsch!). 29

31 Lösung zu Aufgabe 35 a) a 1 ( 2 0 ) b) S = c) EWVI = 1 Lösung zu Aufgabe 36 a) a 2 b) Φ(a 1 ) = 15 λ + 6 > 17 λ + 5 = Φ(a 2 ) 1 > 2 λ λ < 1 2 c) Zulässige zusammenhängende Träger: {z 1 }, {z 2 }, {z 1, z 3 }, {z 1, z 4 }, {z 1, z 3, z 4 } g(a i, p j ) p 1 p 2 p 3 p 4 p 5 min a , a , a 2 a 1 Lösung zu Aufgabe 37 a) a 1 a 2 a 4 a 3 b) EWVI = 1,6 Lösung zu Aufgabe 38 a) Nein, alle Alternativen sind effizient. b) a 1 a 3 a 2 c) c 3 d) a 1 Lösung zu Aufgabe 39 Vollkommene Information ist insbesondere dann wertlos, wenn mit bzw. ohne Information die gleiche Entscheidung getroffen wird, etwa weil nur eine undominierte Aktion existiert, z.b. ( ) 3 3 U =. 5 5 Lösung zu Aufgabe 40 a) c = 5 : EWVI = 2; c = 15 : EWVI = 1,6 b) Es ist eine Fallunterscheidung erforderlich. (I) c < 10: Die Schadensmatrix ist dann ( ) 10 c S = und damit { 2 für 2 2,6 0,1 c c 6 EWVI = min{2,6 0,1 c; 2} = 2,6 0,1 c für 2 > 2,6 0,1 c 6 < c < 10 30

32 (II) c 10: Die Schadensmatrix ist dann ( ) S = und damit c { 1,6 für 1, ,1 c c 6 EWVI = min{1,6; 1 + 0,1 c} = 2 + 0,1 c für 1,6 > 1 + 0,1 c c < 6 Da c < 6 im Widerspruch zu Fall (II) c 10 steht, ist der Zweig 2 irrelevant. Insgesamt erhalten wir: 2 für c 6 EWVI = 2,6 0,1 c für 6 < c < 10 1,6 für c 10 Lösung zu Aufgabe 41 a) Mit a 1 : keine Produkteinführung, a 2 : Produkt A einführen ist ( ) U = S = ( ) und damit EWVI = min{25 000; 3 500} = < Somit lohnt es sich nicht, Schlau & Berger zu beauftragen. b) Nun zusätzlich a 2 : Produkt B einführen. Dann ist U = S = und damit EWVI = min{32 500; ; } = > Nun lohnt es sich, Schlau & Berger zu beauftragen. Lösung zu Aufgabe 42 a) Nein: EWVI = b) n n2 100 c) Nettogewinn = n Ableitung: 2n 100 Nettogewinn = Lösung zu Aufgabe = < = n n (20,87; 479,13), also maximal 479. n n n = n 100 max. n = 0 n = 250; 2. Ableitung: 100 < 0 o.k = 525 a) J V J (0, 0) (20, 10) V (10, 20) (0, 0) b) J, V sind Maximinstrategien beider Spieler; Garantiepunkt: (0, 0) c) (J, V), (V, J) 31

33 Lösung zu Aufgabe 44 a) u = 1, u = 0 b) Nein c) a 1 streichen; Graphische Lösung: g 1 (p) = g 3 (p) 2 p 1 = p p = 1 3 p = (0, 1 3, 2 3 )T, v = g 3 ( 1 3 ) = 1 3. Ferner: j u = 1, j o = 3 q! = 1 3 q = 1 3 q = ( 1 3, 0, 2 3 )T. Lösung zu Aufgabe 45 a) u : Fallunterscheidung: I) p > 0 u = max{0; 2; 2} = 0 II) p 0 u = max{p; 2; 2} = max{p; 2} 2, falls p 2 u = p, falls 2<p 0 0, falls p > 0 u : Fallunterscheidung: I) p 1 u = min{1; 1; p; 2} = min{1; p} II) p < 1 u = min{1; 1; 1; 2} = 1 1, falls p < 1 u = p, falls 1 p< 1 1, falls p 1 b) u = u = p 2 < p 0 1 p < 1 p ( 2; 0] [ 1; 1) = [ 1; 0] c) Nein, da u = 2 v 1 = u v < 0 Lösung zu Aufgabe 46 a 3 dominiert a 2 und b 2 dominiert b 1. Nach Reduktion: u b 2 b 3 b 4 min a 1 γ 2 5 min{γ; 2} a max max{γ; 8} 7 6 Wegen min{γ; 2} 2 < 6 a = a 3 und max{γ; 8} 8 > 6 b = b 4 ist (a 3, b 4 ) unabhängig von γ! einziger Gleichgewichtspunkt. Daraus ergeben sich sofort folgende Antworten: a) (a 1, b 1 ) ist für kein γ Gleichgewichtspunkt. b) (a 1, b 2 ) ist für kein γ Gleichgewichtspunkt. c) (a 3, b 4 ) ist für alle γ Gleichgewichtspunkt. 32