Abb. 1a: Isaac Newton, Medaille 1727 Abb. 1b: Newtons Werk Opticks, London, 1704

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1 Prof. Dr. F.-M. Rateike: Optische Technologien Teil : Grundlagen Licht. Historische Einleitung: Die Natur des Lichts Schon vor 000 Jahren hatten die griechischen Philosophen verschiedene Theorien über die Natur des Lichts. Demokrit, dem wir die Idee des Atoms verdanken, sprach von einem Strahl von Lichtatomen, die vom betrachteten Objekt ausgingen. Aristoteles sprach von einer Erregung des Durchsichtigen, die ebenfalls vom betrachteten Objekt ausging. In unserer heutigen physikalischen Terminologie können wir diese beiden Sichtweisen mit der Partikelnatur bzw. der Wellennatur des Lichts in Verbindung bringen. Euklid beschrieb schon 300 v. Chr. in seinem Buch Katadioptrik die geradlinige Ausbreitung des Lichts, die aus der Beobachtung der Schatten bekannt war. Im 7. Jahrhundert gab es eine wissenschaftliche Kontroverse über die Natur des Lichts. In seinem 704 erschienenen Buch Opticks vertrat Isaac Newton die Ansicht, Licht bestehe aus Teilchen, während die Wellentheorie von Christian Huygens und Robert Hooke vertreten wurde. Der Disput wurde schließlich durch die größere wissenschaftliche Autorität Newtons entschieden. Abb. a: Isaac Newton, Medaille 77 Abb. b: Newtons Werk Opticks, London, 704 Newton konnte Reflexion und Brechung des Lichts in seinem Teilchenmodell erklären, musste hierzu jedoch annehmen, dass die Lichtgeschwindigkeit in Glas und Wasser größer sei als in Luft. Huygens war in der Lage, Reflexion und Brechung des Lichts im Wellenbild zu erklären. Er musste dazu annehmen, dass die Lichtgeschwindigkeit in Medien kleiner wäre als in Luft. Newton verachtete diese Theorie, da sie anscheinend die geradlinige Ausbreitung des Lichts nicht erklären konnte. Lichtbeugung war zu Newtons Zeit unbekannt. 80 bestätigten die Experimente von Thomas Young die Wellennatur des Lichtes. Kurz darauf führte Augustin Fresnel gründliche Experimente zu Interferenz und Beugung des Lichts durch. 850 konnte Foucault zeigen, dass die Lichtgeschwindigkeit in Wasser kleiner ist als in Luft. 860 fasste Maxwell die Theorie des Elektromagnetismus zusammen. Aus den von ihm aufgezeigten Gleichungen konnte die Existenz elektromagnetischer Wellen vorhergesagt werden, die dann 887 von Heinrich Hertz erstmals künstlich erzeugt wurden (Radiowellen). Die Wellentheorie beschreibt die Ausbreitung des Lichts korrekt, jedoch kann sie die Wechselwirkung von Licht und Materie (Absorption bzw. Emission von Licht) und den photoelektrischen Effekt nicht erklären. Letzterer kann im Partikelbild des Lichts (Photonen) erklärt werden. Einstein stellte als erster die Gleichung für die Photonenenergie E = h ν auf und erklärte damit den Photoeffekt, wofür er 9 den Nobelpreis in Physik bekam.

2 Prof. Dr. F.-M. Rateike: Optische Technologien Teil : Grundlagen In den 0er Jahren wurde der Dualismus Partikel-Welle des Lichts verstanden. Man fand heraus, dass auch andere Teilchen, z.b. Elektronen diese Eigenschaft aufweisen. Die Quantentheorie der Atome und Moleküle half dann, auch die Absorption und Emission von Licht zu verstehen. Seitdem haben sich Optik und optische Technologien enorm entwickelt, wie die folgenden Beispiele zeigen: Lichtleiter für die Kommunikation, Optische Datenspeicherung, Numerische Methoden zur Entwicklung von optischen Bauteilen und Lichtwellenleitern, Herstellung von asphärischen Optiken.. Die Messung der Lichtgeschwindigkeit Der erste, der zu Beginn des 7. Jahrhunderts versuchte, die Lichtgeschwindigkeit zu messen, war Galileo Galilei. Er benutzte dazu Laternen, die abwechselnd verdunkelt wurden. Die Idee war, die Transitzeit des Lichts zwischen zwei Berggipfeln zu messen. Das Experiment scheiterte daran, dass die Lichtgeschwindigkeit zu groß war. t km (a) t (a) t=0: Galilei schaltet seine Laterne an. (b) (b) t= t: Mitarbeiter sieht Galileis Laterne und schaltet seine eigene an. t= t: Galilei sieht Laterne des Mitarbeiters. Abb. : Versuch der Messung der Lichtgeschwindigkeit durch Galileo Galilei.

3 Prof. Dr. F.-M. Rateike: Optische Technologien Teil : Grundlagen 675 gelang es Ole Römer, die Lichtgeschwindigkeit aus der Beobachtung der periodischen Verfinsterungen des innersten Jupitermondes Io die Lichtgeschwindigkeit zu bestimmen. Zu seiner Zeit war bekannt, dass dieser Mond alle 4,4 Tage in den Schatten Jupiters eintrat (moderner Wert: 4 h 8' 35,95"). Abb. 3: Messung der Lichtgeschwindigkeit durch Ole Römer, 675. Aus der Beobachtung der periodischen Verfinsterung des Jupitermondes Io an zwei verschiedenen Punkten der Erdbahn (A und C) konnte Römer als erster die Lichtgeschwindigkeit bestimmen. Sein Vorgehen lässt sich in drei Schritte einteilen:. Bei A bestimmte er die Periode der Verfinsterungen so genau wie möglich (Mittelwert über mehrere Perioden).. Er extrapolierte, wann die Verfinsterung eintreten sollte, wenn die Erde am Punkt C ihrer Bahn angekommen war. 3. Er maß den tatsächlichen Eintritt der Verfinsterung am Punkt C und fand einen verspäteten Eintritt t aufgrund des zusätzlichen Weges AC, den das Licht zurücklegen musste. Zu Römers Zeit war der beste Wert für die Entfernung der Erde zur Sonne (AC/) der von Cassini 67 bestimmte von 38,4 Millionen Kilometer. Die Lichtgeschwindigkeit ergab sich dann als c = AC/ t. Römer beobachtete eine Verzögerung von etwa Minuten. Dies führte zu einer Lichtgeschwindigkeit von c = km/s. 849 bestimmte Armand Fizeau mit einer Laufzeitmethode die Lichtgeschwindigkeit. Das Licht einer kontinuierlichen Lampe wurde durch ein schnell laufendes Zahnrad zerhackt. Anschließend lief es zu einem 8,63 km entfernten Spiegel, wurde dort reflektiert und musste wieder durch das Zahnrad, bevor es zum Beobachter kam. Dieser konnte das Licht aufgrund der endlichen Laufzeit nur sehen, wenn es durch die nächste Lücke zwischen zwei Zähnen ging. Die dazu benötigte Zeit wurde aus der Drehzahl und der Anzahl der Zähne des Zahnrads bestimmt. Fizeau erhielt für die Lichtgeschwindigkeit den Wert c = ± 500 km/s. 3

4 Prof. Dr. F.-M. Rateike: Optische Technologien Teil : Grundlagen Abb. 4: Messung der Lichtgeschwindigkeit nach Fizeau 849. Die Laufzeitmessung wurde mit Hilfe eines schnell rotierenden Zahnrads durchgeführt. Léon Foucault verbesserte 86 die Messmethode, indem er Fizeaus Zahnrad durch einen rotierenden Polygonspiegel ersetzte. Mit dieser Apparatur konnte er auch zeigen, dass die Lichtgeschwindigkeit in Wasser kleiner ist als in Luft. Foucault erhielt für die Lichtgeschwindigkeit den Wert c = ± 500 km/s. Abb. 5: Messung der Lichtgeschwindigkeit nach Foucault 86. Die Laufzeitmessung wurde mit Hilfe eines schnell rotierenden Polygonspiegels durchgeführt. Dieses Experiment benötigt einen wesentlich kürzeren Lichtweg als das von Fizeau. Seitdem wurde die Lichtgeschwindigkeit noch sehr oft und immer genauer mit Laufzeitmethoden gemessen. Da die Zeitmessung, bedingt durch Fortschritte in der Elektronik, viel genauer ist als die Längenmessung, wurde 983 die Vakuumlichtgeschwindigkeit neu definiert: c 0 = m/s. Damit war ein Längennormal überflüssig, denn Längenmessungen können jetzt durch Laufzeitmessungen ersetzt werden: Meter ist diejenige Strecke, die von Licht im Vakuum in / Sekunde zurückgelegt wird. 4

5 Prof. Dr. F.-M. Rateike: Optische Technologien Teil : Grundlagen.3 Lichtausbreitung Bereits Euklid kannte die geradlinige Ausbreitung des Lichts. Licht breitet sich entlang gerader Linien aus, die wir Lichtstrahlen nennen. Dadurch können wir die Entstehung von Schatten und Halbschatten erklären. Eine punktförmige Lichtquelle führt zu einer genau definierten Schattenzone. Bei ausgedehnten Lichtquellen müssen wir Schatten- (Umbra) und Halbschattenzone (Penumbra) unterscheiden. Diese Betrachtung lässt die Beugung von Licht außer acht. Beugung aufgrund der Wellennatur des Lichts führt stets zu unscharfen Schattenkanten, da das Licht gewissermaßen um die Ecke gelenkt wird. Beugung ist stets vorhanden und führt dazu, dass Abbildungen immer nur eine endliche Auflösung haben. Ganz extrem sind die Auswirkungen der Beugung bei der Verwendung von kohärentem Licht (Laserlicht). Eine Anwendung der geradlinigen Ausbreitung des Lichts ist die camera obscura. Das Prinzip war bereits Aristoteles bekannt, um das Jahr 000 wurde sie von dem arabischen Gelehrten Alhazen beschrieben, in der Renaissancezeit von Leonardo da Vinci. Abb. 6: Prinzip der camera obscura. Alle Lichtstrahlen gehen durch ein kleines Loch auf der Vorderseite der Kamera. Aufgrund der geradlinigen Ausbreitung des Lichts entsteht ein Bild auf der Rückseite der Kamera. Die Auflösung der camera obscura hängt von Lochdurchmesser und Länge der Kamera ab. Eine Reduzierung des Lochdurchmessers verbessert die Auflösung nur bis zu einem gewissen Wert. Eine weitere Verkleinerung des Durchmessers führt zu einer Verschlechterung durch Beugung (s. Huygensches Prinzip) aufgrund der Wellennatur des Lichts. Abb. 7: Auflösung der camera obscura bei verschiedenen Lochdurchmessern. Große Durchmesser führen zu einer Verschmierung des Bildes, kleine hingegen zu einer Bildverschlechterung durch Beugung. 5

6 Prof. Dr. F.-M. Rateike: Optische Technologien Teil : Grundlagen.4 Das Huygenssche Prinzip Christian Huygens entdeckte 678 eine geometrische Methode, die es gestattet, die Ausbreitung einer Welle im Raum zu beschreiben: Jeder Punkt einer bestehenden Wellenfront ist Ausgangspunkt einer neuen kreisförmigen Elementarwelle, die die gleiche Ausbreitungsgeschwindigkeit und Frequenz wie die ursprüngliche Wellenfront hat. Die Einhüllende aller Elementarwellen ergibt die Wellenfront zu einem späteren Zeitpunkt. Abb. 8: Das Huygenssche Prinzip. Konstruktion für die Ausbreitung von Wellen. (a) Ebene Welle, (b) Kugelwelle. Beide Wellen breiten sich nach rechts aus. Links jeweils die ursprüngliche Wellenfront. Huygens ignorierte in seiner Ableitung der Wellenfront die rücklaufenden Elementarwellen, so dass die Ausbreitungsrichtung erhalten blieb. Fresnel modifizierte viel später dieses Prinzip, so dass damit auch eine quantitative Berechnung der Wellenausbreitung möglich wurde. Es ist als Huygens-Fresnelsches Prinzip bekannt. Jeder Punkt einer bestehenden Wellenfront ist Ausgangspunkt einer neuen kreisförmigen Elementarwelle, die die gleiche Ausbreitungsgeschwindigkeit und Frequenz wie die ursprüngliche Wellenfront hat. Die neue Wellenfront kann man aus der alten durch Überlagerung aller Elementarwellen unter Berücksichtigung ihrer relativen Amplituden und Phasen berechnen..5 Reflexion Die Reflexion des Lichts ist vom ebenen Spiegel her bekannt. Einfallender Strahl und Normale (Senkrechte auf dem Spiegel) definieren die Einfallsebene. Der reflektierte Strahl liegt ebenfalls in dieser Ebene. Es gilt das Reflexionsgesetz: θ r = θ i, d.h. der Einfallswinkel θ i und der Reflexionswinkel θ r sind gleich. 6

7 Prof. Dr. F.-M. Rateike: Optische Technologien Teil : Grundlagen einfallender Strahl Normale Einfallsebene reflektierter Strahl θ i θ r Spiegel Abb. 9: Reflexion am ebenen Spiegel. In der einfachsten Form besteht ein Spiegel aus einer polierten Metalloberfläche oder aus einer Glasplatte, die mit einem reflektierenden Metall (Silber oder Aluminium) bedampft ist. Das Metall kann sich auf der Vorderseite oder Rückseite (Badezimmerspiegel) des Spiegels befinden. In der Optik und besonders in der Lasertechnik werden sog. dielektrische Spiegel verwendet, bei denen dünne Vielfachschichten mit abwechselnd hohem und niedrigem Brechungsindex durch Interferenzeffekte für die Reflexion sorgen. Auf diese Weise lassen sich beliebige Reflexionsgrade erzielen. Reflexion tritt aber auch an der Grenzfläche zweier Medien (mit unterschiedlichen Brechungsindices) auf. Die Richtung des reflektierten Strahls und das Reflexionsgesetz unterscheiden sich nicht vom ebenen Spiegel. Allerdings taucht jetzt noch ein transmittierter Strahl auf. Reflexion tritt jedoch nicht nur an glatten, sondern auch an rauen Oberflächen auf. Hier gilt jedoch das Reflexionsgesetz θ r = θ i nur noch lokal, da die Normale auf der Oberfläche von Punkt zu Punkt variiert. Raue Oberflächen weisen deshalb eine diffuse Reflexion auf: reflektierte Strahlen haben keine genau definierte Richtung mehr, sondern zeigen eine unterschiedlich stark ausgeprägte Winkelverteilung, wobei die Breite der Verteilung von der Rauhigkeit der Oberfläche abhängt. glatte Oberfläche (Rauhigkeit R< λ) : reguläre Reflexion raue Oberfläche (Rauhigkeit R> λ) : diffuse Reflexion sehr raue Oberfläche (Rauhigkeit R>> λ) : vollständig diffuse Reflexion Abb. 0: Reflexion an rauen Oberflächen 7

8 Prof. Dr. F.-M. Rateike: Optische Technologien Teil : Grundlagen.6 Brechung und Totalreflexion Brechung wird an der Grenzfläche zweier Medien mit verschiedenen Brechungsindices (z.b. Luft-Wasser, Luft-Glas) beobachtet. Sie wird dadurch verursacht, dass sich die Lichtgeschwindigkeit c beim Übergang von einem ins andere Medium ändert. In Materie gilt für die Lichtgeschwindigkeit: c = c 0 /n, wobei c 0 die Vakuumlichtgeschwindigkeit und n der Brechungsindex des betreffenden Mediums ist. Beispiele: Wasser n =,34 Glas (BK7) n =,5 Luft n Beim Übergang von einem Medium in ein anderes bleibt die Frequenz des Lichts erhalten, so dass sich die Wellenlänge ändert, d.h. für zwei Medien mit n n gilt: λ 0 λ = und n λ 0 λ =. n λ 0 ist die Vakuumwellenlänge des Lichts. Da in Materie, selbst in Luft, n> gilt, folgt daraus: Die Wellenlänge ist in Materie stets kleiner als im Vakuum. Für den Übergang von Lichtstrahlen aus einem Medium mit Brechungsindex n in ein anderes mit Brechungsindex n gilt das Snellius sche Brechungsgesetz: n sinθ = n sinθ θ θ r Medium #: n θ Medium #: n Abb : Snelliussches Brechungsgesetz. Hier zwei Medien mit verschiedenen Brechungsindices n und n. Falls n >n (hier gegeben), wird der Strahl zur Normalen hin gebeugt, im anderen Fall wird er von der Normalen weg gebeugt. Das Brechungsgesetz gilt für alle Arten von Übergängen zwischen zwei Medien, d.h. sowohl für n < n als auch für n > n. Gerade für den letzteren Fall, also für den Übergang von einem Medium mit größerem Brechungsindex in ein Medium mit kleinerem Brechungsindex beobachtet man die sogenannte Totalreflexion. 8

9 Prof. Dr. F.-M. Rateike: Optische Technologien Teil : Grundlagen Es sei n > n. Dann erhält man aus dem Brechungsgesetz: n sin θ = sin θ n Da für θ 90 gilt: sin θ, andererseits n /n >, gilt für genügend große Einfallswinkel θ dann: sin θ >, was mathematisch sinnlos ist. Für diese Fälle beobachtet man Totalreflexion, d.h. alles Licht wird an der Grenzfläche vom optisch dichteren Medium (größerer Brechungsindex) zum optisch dünneren Medium (kleinerer Brechungsindex) reflektiert. Totalreflexion wird unter den oben genannten Voraussetzungen beobachtet, wenn der Einfallswinkel des Lichts größer ist als der Grenzwinkel θ c der Totalreflexion. Dieser ergibt sich aus der Forderung, dass für θ = θ c gilt: θ = 90, so dass schließlich gilt: Beispiel: n sin θ c = (n < n) n Für die Grenzfläche zwischen Glas (n =,5) und Luft (n = ) gilt: sin θ c = θ c = 4,8,5 Medium # n= 90 n=.5 Medium # θ c Abb. : Totalreflexion beim Übergang vom einem Medium mit größerem Brechungsindex (n =,5) in ein Medium mit kleinerem Brechungsindex (n = ). Ist der Einfallswinkel kleiner als der Grenzwinkel θ c der Totalreflexion, beobachtet man transmittierten und reflektierten Strahl. Für größere Einfallswinkel wir alles Licht reflektiert. Die Anwendungen der Totalreflexion in den optischen Technologien sind vielfältig. Seit langen wird die Umlenkung des Lichts um 90 bzw. 80 mit Hilfe von Glasprismen in optischen Instrumenten, z.b. Ferngläsern zur Bildumkehr, ausgenutzt. (a) (b) Abb. 3: Totalreflexion in 90 -Prismen. (a) Umlenkung um 90, (b) Umlenkung um 80. Mit zwei Prismen nach (b) wird bei einigen Ferngläsern die Bildumkehr erreicht. 9

10 Prof. Dr. F.-M. Rateike: Optische Technologien Teil : Grundlagen Die wichtigste Anwendung der Totalreflexion sind jedoch die Lichtleiter, die die moderne Kommunikationstechnik erst ermöglicht haben. Im Prinzip besteht jeder Lichtleiter aus einem Kern (engl. core ) und einer Hülle (engl. cladding ), wobei der Brechungsindex n core des Kerns größer ist als der Brechungsindex n clad der Hülle: n core > n clad Dadurch wird Totalreflexion an der Grenzfläche zwischen Kern und Hülle ermöglicht, falls der Einfallswinkel der Lichtstrahlen dort größer als der Grenzwinkel θ c der Totalreflexion ist. Kern n core Hülle n clad Lichtstrahl Luft n= Abb. 4: Aufbau eines Lichtleiters. Ein Lichtleiter weist eine konzentrische Struktur aus verschiedenen nicht absorbierenden Materialien auf. Der Kern hat einen größeren Brechungsindex als die Hülle. Dadurch tritt an der Grenzfläche Kern-Hülle Totalreflexion auf, die einen verlustfreien Transport des Lichts im Kern erlaubt. Eine weitere wichtige Größe des Lichtleiters ist die Numerische Apertur, NA genannt. Sie bestimmt den maximalen Akzeptanzwinkel θ max der Lichtstrahlen an der Eintrittsfläche des Lichtleiters. Alle Lichtstrahlen innerhalb dieses Akzeptanzwinkels werden im Lichtleiter durch Totalreflexion geführt, während Strahlen außerhalb dieses Winkels nur partiell reflektiert werden und nach wenigen Reflexionen aus dem Lichtleiterkern verschwunden sind. Die Numerische Apertur berechnet sich aus den Brechungsindices von Kern und Hülle nach: Beispiel: NA = n core n clad Für einen Glaskern mit n core =,5 und eine Acrylathülle mit n clad =,4 ergibt sich: NA = 0,54, so dass θ max = 3,6 ist. Ein weiteres Phänomen im Zusammenhang mit der Brechung des Lichts ist die Dispersion des Brechungsindex, meist kurz Dispersion genannt. Schon Newton war bekannt, dass ein Strahl weißen Lichts beim Durchgang durch ein Glasprisma in die Regenbogenfarben zerlegt wird. Dies wird dadurch verursacht, dass der Brechungsindex schwach von der Wellenlänge des Lichts abhängt. weißes Licht ε Ablenkwinkel δ rot gelb grün violett Abb. 5: Prisma und Dispersion. Ein weißer Lichtstrahl, der auf ein Prisma fällt, wird in seine Farbkomponenten zerlegt. Der Brechungsindex nimmt zu, wenn die Wellenlänge abnimmt, so dass Licht mit kürzerer Wellenlänge stärker als Licht mit längerer Wellenlänge abgelenkt wird. 0

11 Prof. Dr. F.-M. Rateike: Optische Technologien Teil : Grundlagen.7 n Silicate flint glass.6.5 Borate flint glass Quartz Silicate crown glass λ / nm Abb. 6: Dispersion des Brechungsindex für verschiedene optische Gläser. Alle weisen eine normale Dispersion auf, d.h. mit zunehmender Wellenlänge nimmt der Brechungsindex ab. Bei symmetrischem Durchgang des Lichts durch ein Prisma wird das Licht am wenigsten abgelenkt (Winkel δ min ). Für ein Prisma mit dem Prismenwinkel ε an der brechenden Kante gilt dann: ε + δmin ε sin = n sin Da ε durch die Geometrie des Prismas fest vorgegeben ist, führt die Wellenlängenabhängigkeit des Brechungsindex (n = n(λ)) zu einer Wellenlängenabhängigkeit des Ablenkwinkels δ min. Die Messung von δ min bei bekanntem Prismenwinkel ε wird im Labor zur Bestimmung des Brechungsindex ausgenutzt. einfallender Lichtstrahl ε Prisma Ablenkwinkel δ min gebrochener Lichtstrahl Abb. 7: Symmetrischer Durchgang des Lichts durch ein Prisma. Diese Anordnung kann zur Bestimmung des Brechungsindex benutzt werden. Im Normalfall nimmt der Brechungsindex mit abnehmender Wellenlänge zu (normale Dispersion). Dies führt dazu, dass Licht mit kürzerer Wellenlänge (z.b. blaues Licht) stärker als Licht mit längerer Wellenlänge (z.b. rotes Licht) abgelenkt wird.

12 Prof. Dr. F.-M. Rateike: Optische Technologien Teil : Grundlagen.7 Das Fermatsche Prinzip Bisher sahen wir, dass die Ausbreitung des Lichts durch das Huygenssche Prinzip bestimmt wurde, welches die Ausbreitung im Wellenbild erklärt. Ein alternatives Prinzip wurde im 7. Jahrhundert durch Pierre de Fermat entdeckt und nach ihm Fermatsches Prinzip benannt. Dieses Prinzip benutzt jetzt Lichtstrahlen, da es nach der Länge des Lichtwegs fragt: Der Weg, den das Licht beschreibt, wenn es sich von einem Punkt zu einem anderen bewegt, ist stets so, dass die Zeit, die das Licht für das Zurücklegen des Weges benötigt, minimal ist. Diese erste Formulierung ist nicht ausreichend: die Länge des Lichtwegs kann auch ein Maximum sein. Daher gibt es die allgemeinere Formulierung, die Minima und Maxima einschließt: Der Weg, den das Licht beschreibt, wenn es sich von einem Punkt zu einem anderen bewegt, ist stets so, dass die Zeit, die das Licht für das Zurücklegen des Weges benötigt, gegenüber kleinen Änderungen des Wegs invariant ist. Man kann dies so interpretieren: Sei t = t(weg) die Zeit zum Zurücklegen des Weges. Wenn t 0 der maximale oder minimale Wert ist, so hat die Kurve t(weg) im übertragenen Sinne eine horizontale Tangente. Für kleine Wegänderungen x ändert sich t dann nicht: Entwickelt man t in eine Taylorreihe, so gilt: t = t 0 + t x +... Wegen des Extremums ist aber t = 0, d.h. für kleine x ändert sich die Zeit zum Zurücklegen des Weges nicht, wie behauptet. Man kann nun das Fermatsche Prinzip anwenden, um das Reflexions- und das Brechungsgesetz abzuleiten. A. Reflexion Der Lichtweg von A nach B mit Reflexion bei P verläuft stets im gleichen Medium. Deshalb genügt es, den geometrisch kürzesten Weg von A über P nach B zu finden. Aufgrund der Reflexion sind die Wege APB und A PB gleich lang. Der kürzeste Weg ist dann der, für den A, P und B auf einer Geraden liegen. Daraus folgt dann, dass Einfalls- und Reflexionswinkel gleich sein müssen. A B A P P min A Abb. 8: Fermatsches Prinzip und Reflexion B Abb. 9: Fermatsches Prinzip und Brechung

13 Prof. Dr. F.-M. Rateike: Optische Technologien Teil : Grundlagen B. Brechung Der Lichtweg von A über P nach B verläuft in zwei verschiedenen Medien, die entsprechend verschiedene Ausbreitungsgeschwindigkeiten für das Licht haben. A a l d d-x x θ P min l θ b B Abb. 0: Mathematische Behandlung des Fermatschen Prinzips für die Brechung von Lichtstrahlen. Das Ergebnis dieser Rechnung ist das Snelliussche Brechungsgesetz. Dieses wird in der mathematischen Behandlung durch die beiden verschiedenen Brechungsindices n und n berücksichtigt: Die zugehörigen Lichtgeschwindigkeiten sind c = c 0 /n und c = c 0 /n. Die Gesamtzeit von A nach B ist dann: t l l l n l = t + t = + = + = +. c c c0 n c0 n c0 c0 x Es gilt nach Pythagoras: l = a + und l = b + (d x. Die Bedingung für minimale Laufzeit führt mit und so dass = dt dx = c n l ) dl dx + n dl dx 0 0 ( ) a + x = ( a + x ) dl d x x = x = = = sin θ dx dx l ( a + x ) ( ) ( ) d x b + (d x) = b + (d x) (d x) ( ) = = θ dl d = sin dx dx l und es folgt sofort das Brechungsgesetz n sinθ n sinθ =0, n sinθ = n sinθ. Das Snelliussche Brechungsgesetz ist also eine Folge des Fermatschen Prinzips! n l, 3

14 Prof. Dr. F.-M. Rateike: Optische Technologien Teil : Geometrische Optik. Geometrische Optik. Ebene Spiegel Wenn man in einen ebenen Spiegel blickt, sieht man das Bild seines Gesichts hinter dem Spiegel. Es ist ein virtuelles Bild, denn das Licht, das man sieht, scheint vom Bild her zu kommen. In Wirklichkeit wird es lediglich vom Spiegel reflektiert. Im Bild scheinen rechts und links vertauscht zu sein. Dies ist eine Folge der Umkehrung von vorne und hinten bei Gegenstand und virtuellem Bild. Dass rechts und links nicht einfach vertauscht sein können, zeigt die folgende Argumentation: Mathematisch sind die horizontale und die vertikale Richtung bezüglich eines senkrecht stehenden ebenen Spiegels völlig gleichwertig. Wenn also der Spiegel rechts und links vertauscht, dann muss er auch oben und unten vertauschen. Dies ist offenbar nicht der Fall! In Wirklichkeit sind beim virtuellen Bild vorne und hinten vertauscht. Abb. : Der ebene Spiegel vertauscht bei der Abbildung vorne und hinten. Man sieht dies auch, wenn man das Bild eines rechtshändigen Koordinatensystems betrachtet: Es ist ein linkshändiges Koordinatensystem. Durch keine Drehung kann man diese beiden Systeme ineinander überführen. Abb. : Die Abbildung am ebenen Spiegel überführt rechtshändige (x, y, z) in linkshändige Koordinatensysteme (x,y,z ). Rechts- und linkshändige Koordinatensysteme spielen in der organischen Chemie eine wichtige Rolle: Es gibt Moleküle, welche zueinander spiegelbildlich sind. Sie haben dieselbe Summenformel, aber ihr chemisches Verhalten ist unterschiedlich. Man bezeichnet derartige Moleküle als Enantiomere. Dies ist eine spezielle Form der Isomerie. Sie haben außerdem die Eigenschaft, dass sie die Schwingungsebene von linear polarisiertem Licht drehen (optische Aktivität). Dies wird in der quantitativen Analytik (z.b. bei der Zuckerbestimmung) ausgenutzt. Man findet die Position des virtuellen Bildes sehr leicht, wenn man die reflektierten Strahlen zurückverfolgt (gestrichelte Linien in Abb. 3). 4

15 Prof. Dr. F.-M. Rateike: Optische Technologien Teil : Geometrische Optik Abb. 3: Bildkonstruktion am ebenen Spiegel. Man findet die Position des virtuellen Bildes B, wenn man die reflektierten Strahlen zurückverfolgt (gestrichelte Linien). Gegenstandsweite g und Bildweite b sind gleich. Wenn zwei ebene Spiegel einen Winkel kleiner als 80 miteinander einschließen, kann man mehrfache virtuelle Bilder erhalten.. Sphärische Spiegel Beim sphärischen Spiegel ist die Spiegeloberfläche ein Ausschnitt aus einer Kugel. Somit ist für jeden sphärischen Spiegel der Krümmungsradius eindeutig definiert. Für die Abbildung betrachten wir nur achsennahe Strahlen, die als paraxiale Strahlen bezeichnet werden. Die nun folgende Betrachtung ist als paraxiale Näherung bekannt. Wie der Name schon sagt, ist dies lediglich eine Näherung, die für achsennahe Strahlen gültig ist, die bei achsenfernen Strahlen jedoch zu falschen Aussagen führt. Abb. 4: Abbildung beim Hohlspiegel. In der paraxialen Näherung gibt es für jeden Punkt P in der Nähe der optischen Achse einen eindeutig definierten Bildpunkt P. Strahlen die weiter von der Achse entfernt sind oder unter einem größeren Winkel zu dieser verlaufen, treffen den Spiegel weiter entfernt von seiner Symmetrieachse und führen zu einem unscharfen Bild. Sie gehen nicht durch den paraxialen Bildpunkt, sondern verlaufen näher am Scheitelpunkt S des Spiegels. Dieser Abbildungsfehler, der auf die sphärische Form des Spiegels zurückzuführen ist, wird sphärische Aberration genannt. Abb. 5: Achsenferne Strahlen gehen nicht durch denselben Bildpunkt wie achsennahe Strahlen. Dieser Abbildungsfehler führt zu unscharfen Bildern. 5

16 Prof. Dr. F.-M. Rateike: Optische Technologien Teil : Geometrische Optik Zur Berechnung der Bildweite b betrachte man Abb. 6. Dort sind folgende Größen gegeben: Gegenstandsweite g Krümmungsradius r des sphärischen Spiegels Krümmungsmittelpunkt C Abb. 6: Bestimmung der Bildweite b beim Hohlspiegel. Die Strahlen vom Punkt P zum Spiegel (Punkt A) und zurück zum Bildpunkt P schließen den Winkel ein, denn die Strecke AC ist Normale und bei A gilt das Reflexionsgesetz. Der Winkel ist Außenwinkel am Dreieck APC. Also gilt: = + Der Winkel ist Außenwinkel am Dreieck APP. Dann gilt: = + so dass = +. Für kleine Winkel und gilt dann:, g Setzt man diese 3 Beziehungen ein, so ergibt sich: Oder gekürzt:, r. r g b g b Für g>>r ist, so dass vernachlässigt werden kann. Ferner ist für Gegenstandsweite g r g g = die Bildweite b = f, d.h. b f r.. r. b Die Brennweite f ist also gleich dem halben Krümmungsradius r: r f. 6

17 Prof. Dr. F.-M. Rateike: Optische Technologien Teil : Geometrische Optik Mit diesen Größen ergibt sich die Abbildungsgleichung für sphärische Spiegel: g b f Neben dieser numerischen Methode kann man das Bild aber auch geometrisch konstruieren. Man benutzt dazu sogenannte Hauptstrahlen, die besonders einfach verlaufen: 4 3 C F S Abb. 7: Hauptstrahlen beim sphärischen Spiegel. Parallelstrahlen (parallel zur Spiegelachse) verlaufen nach Reflexion durch den Brennpunkt F.. Brennstrahlen (die durch den Brennpunkt F gehen) werden parallel zur Spiegelachse reflektiert. 3. Radialstrahlen (die durch den Krümmungsmittelpunkt C gehen) werden in sich reflektiert. 4. Zentralstrahlen (die den Scheitelpunkt S des Spiegels treffen) werden unter einem gleichen Winkel zur optischen Achse reflektiert. Man kann leicht zeigen, dass der Abbildungsmaßstab m des Bildes durch m B G gegeben ist. Dabei sind B und G die Bild- bzw. Gegenstandsgröße. Man beachte, dass für reelle Bilder m < 0 ist, d.h. das Bild steht auf dem Kopf. Die folgende Tabelle gibt einen Überblick über typische Anwendungen sphärischer Spiegel: g b Bildeigenschaften Anwendung g>f f<b<f reell, verkleinert Spiegelteleskop f>g>f f<b reell, vergrößert f f reell, m= Projektionslichtquellen f --- Scheinwerfer g<f b<0 virtuell, vergrößert Rasierspiegel b g 7

18 Prof. Dr. F.-M. Rateike: Optische Technologien Teil : Geometrische Optik Vorzeichenkonvention für Abbildungen mit sphärischen Spiegeln Um die Abbildungsgleichung für sphärische Spiegel sinnvoll zu benutzen und auch zu interpretieren, gibt es eine Vorzeichenkonvention, die sowohl für konkave als auch für konvexe Spiegel gilt: g > 0 g < 0 b > 0 b < 0 Objekt vor dem Spiegel (reelles Objekt) Objekt hinter dem Spiegel (virtuelles Objekt) Bild vor dem Spiegel (reelles Bild) Bild hinter dem Spiegel (virtuelles Bild) r, f > 0 Krümmungsmittelpunkt vor dem Spiegel (Konkavspiegel) r, f < 0 Krümmungsmittelpunkt hinter dem Spiegel (Konvexspiegel) Konvexe Spiegel Diese Spiegel gehören ebenfalls zu den sphärischen Spiegeln, jedoch liegt der Krümmungsmittelpunkt auf der dem Gegenstand abgewandten Seite des Spiegels. Die mit diesem Spiegel erzeugten Bilder sind immer virtuell und verkleinert, stehen jedoch nicht auf dem Kopf, d.h. es gilt 0 < m <. Mathematisch wird die Abbildung mit der schon bekannten Abbildungsgleichung g b behandelt, wobei die Brennweite f negativ ist. Dies führt zu negativen Werten für die Bildweite b, d.h. das virtuelle Bild liegt hinter dem Spiegel. Anwendungen: f Autospiegel Überwachungsspiegel (Geschäft) Straßenspiegel (Ausfahrten, unübersichtliche Einmündungen) Die geometrische Bildkonstruktion verwendet Hauptstrahlen, wie beim Konkavspiegel: Konvexspiegel G g B b F C Abb. 8: Bildkonstruktion beim Konvexspiegel mittels Hauptstrahlen. Hier verwendet: Parallelstrahl und Radialstrahl. Das Bild ist virtuell, verkleinert und aufrecht. 8

19 Prof. Dr. F.-M. Rateike: Optische Technologien Teil : Geometrische Optik.3 Abbildung durch Brechung an sphärischen Flächen Abbildungsgleichung Gegeben sei eine sphärische Fläche, die zwei Medien mit verschiedenen Brechungsindices, n und n, trenne. Es sei n > n. Dann lässt sich in der paraxialen Näherung das Bild eines Gegenstands konstruieren. Medium Medium Abb. 9: Konstruktion der Abbildung an einer brechenden sphärischen Fläche in der paraxialen Näherung. Die Konstruktion des Bildes in der paraxialen Näherung ist in Abb. 8 beschrieben. Das Brechungsgesetz n sin n sin wird in der paraxialen Näherung ( sin ) zu n = n. Der Winkel ist Außenwinkel am Dreieck P'AC, so dass Der Winkel ist Außenwinkel am Dreieck PCA, so dass Aus den letzten beiden Gleichungen folgt Aus Abb. 8 entnimmt man: so dass n n = + n n (n n)., g Bei der Benutzung dieser Gleichung ist die Vorzeichenkonvention (Seite 8) zu beachten!, b, r n n n n g b r. Abbildungsmaßstab m Der Abbildungsmaßstab m ist wie beim Hohlspiegel das Verhältnis von Bildgröße B (negativ, da umgekehrt) zu Gegenstandsgröße G: B m G 9

20 Prof. Dr. F.-M. Rateike: Optische Technologien Teil : Geometrische Optik n n g b B Aus der Abb. 30 entnimmt man: Abb. 30: Abbildungsmaßstab bei Abbildung an einer brechenden sphärischen Fläche. tan tan G g B b Und mit dem Brechungsgesetz in der paraxialen Näherung ergibt sich so dass schließlich gilt: n = n G B n n g b, m B G n n b g.4 Dünne Linsen In der Näherung für "dünne Linsen" wird die Dicke der Linse nicht berücksichtigt. Dies ist für viele Linsen eine gute Näherung. Muss man aber die Linsendicke explizit berücksichtigen, so spricht man von "dicken Linsen", die in Abschnitt.6 behandelt werden. Die Abbildungsgleichung für eine dünne Linse wird abgeleitet, indem man zuerst die Abbildung durch die erste Linsenfläche mit den Gleichungen aus Abschnitt.3 berechnet und danach die Abbildung durch die zweite Linsenfläche. Dies ist in Abb. 3 dargestellt. Abb. 3: Ableitung der Abbildungsgleichung für eine dünne Linse. 0

21 Prof. Dr. F.-M. Rateike: Optische Technologien Teil : Geometrische Optik Das Linsenmaterial habe einen Brechungsindex n > und sei von Luft umgeben (n Luft = ). Die Krümmungsradien der beiden Linsenflächen seien r und r. Der Gegenstand P habe einen Abstand g zur ersten Linsenfläche. Das Bild P ' durch Brechung an der ersten Linsenfläche sei bei b. Dafür gilt die Abbildungsgleichung g n b n r Diese Gleichung liefert b < 0. Man muss dies so interpretieren: Die Abbildung durch die erste Linsenfläche liefert ein virtuelles Bild, das noch vor der Linse liegt. Dieses virtuelle Bild dient nun als Objekt für die Abbildung durch die zweite Linsenfläche. Die entsprechende Gegenstandsweite g muss positiv sein, d.h. g = b. Für den zweiten Abbildungsschritt, also die Abbildung durch die rechte Linsenfläche, gilt dann: n g b n n b r r Setzt man die obere Gleichung in diese ein, so ergibt sich die Abbildungsgleichung für die dünne Linse: b r Dabei ist die Vorzeichenkonvention (Seite 8) zu beachten! g b (n Zur Bestimmung der Brennweite f der dünnen Linse betrachten wir die folgende Situation: Das Objekt sei im Unendlichen. Dann ist die Bildweite gleich der Brennweite: b = f. Wir erhalten also: f (n ) ) r r Diese Gleichung wird auch als Linsenmacherformel bezeichnet, da sie die geometrischen Parameter der Linse (Krümmungsradien) mit den optischen Eigenschaften (Brechungsindex, Brennweite) verknüpft. Setzt man diesen Wert in die Abbildungsgleichung ein, so ergibt sich die bekannte Gleichung: r.. n. g b f Klassifizierung der Linsen Beim Benutzen der Linsenmacherformel muss man sorgfältig die Vorzeichenkonvention beachten, d.h. man muss das Vorzeichen der Krümmungsradien richtig einsetzen: Ist der Krümmungsmittelpunkt vor der Linse (hinter der Linse), so ist der Krümmungsradius negativ (positiv). Aus der Kombination von Form und Orientierung der zwei sphärischen Linsenflächen ergeben sich sechs verschiedene Linsentypen.

22 Prof. Dr. F.-M. Rateike: Optische Technologien Teil : Geometrische Optik Sammellinsen bikonvex plankonvex konkavkonvex Zerstreuungslinsen bikonkav plankonkav konvexkonkav C Rateike Abb. 3: Verschiedene Linsenarten und ihre Bezeichnungen. Die rechten Linsen in jeder Reihe werden auch als Meniskuslinsen bezeichnet. Eine typische Anwendung dieser Linsen sind Brillengläser. Sammellinsen (engl. "positive lenses") sind in der Mitte dicker als am Rand. Sie können das Licht fokussieren und reelle Bilder erzeugen, z.b. in einer Kamera. Zerstreuungslinsen (engl. "negative lenses") sind in der Mitte dünner als am Rand. Für sich allein erzeugen sie virtuelle Bilder, in Kombination mit Sammellinsen können auch reelle Bilder entstehen. Bestimmung der Brennweite einer Linse Man kann die Brennweite f einer Linse numerisch unter Benutzung der Abbildungsgleichung bestimmen. Diese kann man nach der Brennweite umstellen: f g b Wiederholt man die Messung bei verschiedenen Werten der Gegenstandsweite g und bildet man den Mittelwert f der ermittelten Brennweiten, so verbessert dies die Zuverlässigkeit der so bestimmten Brennweite. Die Bessel-Methode benutzt einen festen Wert für g + b, d.h. Gegenstand und Bildebene bleiben fest. Lediglich die Linse wird von der Position für ein vergrößertes Bild auf die Position für ein verkleinertes Bild verschoben. Der Verschiebeweg sei, ferner sei d = g + b. Dann kann man die Abbildungsgleichung umstellen und man erhält: f 4 d d

23 Bildweite b /b ibildweite b Prof. Dr. F.-M. Rateike: Optische Technologien Teil : Geometrische Optik Objekt Linse vergrößertes Bild g b Objekt Linse verkleinertes Bild g d b Abb. 33: Bestimmung der Brennweite einer Linse nach der Bessel-Methode. Der Abstand d vom Objekt zum Schirm ist fest, lediglich die Linse wird um die Strecke verschoben. Zusätzlich gibt es mehrere grafische Methoden, die die Brennweite aus einer größeren Anzahl von Messungen von Gegenstands- und Bildweite ableiten: Zeichnet man die Bildweite b als Funktion der Gegenstandsweite g, so erhält man eine Hyperbel. Diese wird von der Winkelhalbierenden (b = g) bei b = g =f geschnitten. Zeichnet man /b als Funktion von /g, so erhält man eine Gerade. Diese schneidet die Achsen bei /g = /f bzw. bei /b = /f. Datenpunkte b=f Winkelhalbierende g=f Gegenstandsweite g Trägt man die Bildweite b gegen die Gegenstandsweite g auf, so liegen alle Datenpunkte auf einer Hyperbel. Diese wird von der Winkelhalbierenden bei g=b=f geschnitten. /f Datenpunkte /g /f Trägt man die inverse Bildweite /b gegen die inverse Gegenstandsweite /g auf, so liegen alle Datenpunkte auf einer Geraden. Diese schneidet die Achsen bei /g=/b=/f. b=f Einzelmessungen g=f Gegenstandsweite g Für jede Einzelmessung zeichnet man g auf der g-achse, b auf der b-achse und verbindet diese Punkte durch eine Gerade. Alle Geraden schneiden sich in einem Punkt, der durch g=b=f gegeben ist. Abb. 34: Verschiedene grafische Methoden zur Bestimmung der Brennweite einer Linse. 3

24 Prof. Dr. F.-M. Rateike: Optische Technologien Teil : Geometrische Optik.5 Abbildungsfehler Die paraxiale Näherung benutzt nur das erste Glied in der Reihenentwicklung der Sinusfunktion: sin Sie wird deshalb auch als Theorie erster Ordnung bezeichnet. Diese Näherung führt zu einer Näherung des Brechungsgesetzes n Setzt man die Reihenentwicklung des Sinus fort, so erhält man sin Eine bessere Näherung als die paraxiale wäre demnach: n sin 3 3! Dieses liefert eine Theorie dritter Ordnung. In dieser Theorie finden wir die folgenden Abbildungsfehler (Aberrationen): Sphärische Aberration, Koma, Astigmatismus, Bildfeldwölbung, Verzerrung, 5 5! 3. 3! Unabhängig davon gibt es noch aufgrund der Dispersion des Brechungsindex die chromatische Aberration. Diese Fehler sollen nun eingehender besprochen werden. 7 7!... Sphärische Aberration Für eine sphärische Sammellinse werden die Randstrahlen stärker gebrochen als die paraxialen Strahlen. Als Folge davon ist die Brennweite für Randstrahlen kleiner als für paraxiale Strahlen (negative sphärische Aberration). Abb. 35: Sphärische Aberration. Der Schnittpunkt der Randstrahlen mit der Kaustik definiert den kleinsten Zerstreuungskreis 4

25 Prof. Dr. F.-M. Rateike: Optische Technologien Teil : Geometrische Optik Für einen gegebenen Strahl ist die sphärische Aberration der Abstand zwischen dem axialen Schnittpunkt des gebrochenen Strahls und dem paraxialen Brennpunkt. Für eine sphärische Zerstreuungslinse haben wir ebenfalls eine negative sphärische Aberration. Das Bild eines punktförmigen Objekts, z.b. eines Sterns besteht deshalb aus einem hellen zentralen Fleck, der von einem symmetrischen Halo umgeben ist. Für ausgedehnte Objekte wird der Bildkontrast reduziert, wodurch Details des Bildes verschwimmen. Man kann die sphärische Aberration minimieren, indem man den Lichtweg durch Linsen bezüglich der Linsenform so symmetrisch wie möglich macht. große sphärische Aberration kleine sphärische Aberration Abb. 36: Ein symmetrischer Lichtweg in der Linse minimiert die sphärische Aberration. Oben wird die Linse sehr asymmetrisch durchstahlt. Als Folge beobachtet man eine große sphärische Aberration. Unten ist der Lichtweg viel symmetrischer. Folge: Kleine sphärische Aberration. Koma Koma wird für Objekte beobachtet, die sich neben der optischen Achse der sphärischen Linse befinden. Das Bild eines Punkts ergibt einen Kegel. Abb. 37: In der einfachsten Theorie (a) wird ein paralleles Strahlenbündel auf einen Punkt der Brennebene fokussiert. In der realen Abbildung stimmt das nicht mehr (b). Die Bilder achsenferner Punkte werden radial verschmiert. 5

26 Prof. Dr. F.-M. Rateike: Optische Technologien Teil : Geometrische Optik Astigmatismus Man beobachtet Astigmatismus bei Objekten, die sich deutlich weit entfernt von der optischen Achse der Linse befinden. Die Lichtstrahlen treffen die Linse unsymmetrisch. Als Folge davon ist die Brennweite in der sagittalen und der meridionalen Ebene verschieden. optische Achse Zentralstrahl sagittale Ebene meridionale Ebene sagittaler Strahl: meridionaler Strahl: Abb. 38: Astigmatismus. Definition von sagittaler und meridionaler Ebene: Die sagittale Ebene enthält den Zentralstrahl und die optische Achse Die meridionale Ebene liegt senkrecht dazu Abb. 39: Astigmatische Abbildung. Für ein punktförmiges Objekt ergeben sich primäres und sekundäres Bild und dazwischen der Kreis kleinster Zerstreuung. Bildfeldwölbung Für ein ebenes Objekt ist die Bildfeldebene einer sphärischen Linse nicht eben, sondern hat die Form einer Rotationsparabel. Die Bildfeldwölbung kann durch eine geeignete Kombination verschiedener Linsen kompensiert werden. Objektebene Dünne Linse y Petzval- Bildebene x paraxiale Bildebene Abb. 40: Bildfeldwölbung. Für ein ebenes Objekt ist die Bildebene einer sphärischen Linse gewölbt. Die Verschiebung x eines Bildpunktes ist durch y x nf gegeben, wobei n und f der Brechungsindex und die Brennweite der Linse sind. 6

27 Prof. Dr. F.-M. Rateike: Optische Technologien Teil : Geometrische Optik Verzeichnung Die Ursache der Verzeichnung liegt darin, dass die Vergrößerung m eine Funktion des Abstands von der Achse der Linse ist. Bei der positiven oder kissenförmigen Verzeichnung (engl. pincushion distortion) nimmt m mit dem Abstand von der Achse zu. Die negative oder tonnenförmige Verzeichnung (engl. barrel distortion) ist dadurch gekennzeichnet, dass m mit dem Abstand von der Achse abnimmt. Während man alle anderen Aberrationen durch Abblenden der Linse verringern kann, bewirkt dies bei der Verzeichnung genau das Gegenteil. Abb. 4: Verzeichnungen: (a) unverzeichnetes Objekt, (b) kissenförmige Verzeichnung, (c) tonnenförmige Verzeichnung. Alle bisher dargestellten Aberrationen sind selbst bei Benutzung monochromatischen Lichts vorhanden. Sie können allerdings durch geeignete Linsenkombinationen kompensiert werden (z.b. im Kameraobjektiv). Chromatische Aberration Die Dispersion des Brechungsindex (vgl. Abschnitt.6) führt dazu, dass die Brennweite jeder Linse schwach von der Wellenlänge abhängt. Für Sammel- und Zerstreuungslinsen gilt: Je kürzer die Wellenlänge, desto kleiner ist der Betrag der Brennweite (Zerstreuungslinsen haben definitionsgemäß eine negative Brennweite). Dies hat zur Folge, dass die (laterale) Vergrößerung ebenfalls von der Wellenlänge abhängt, da sie durch die Brennweite mitbestimmt wird (s. Abb. 43). F blau F rot Kreis kleinster Zerstreuung Abb. 4: Longitudinale chromatische Aberration. Durch die Dispersion des Brechungsindex ist die Brennweite einer Linse wellenlängenabhängig. Je kürzer die Wellenlänge, desto kürzer die Brennweite. 7

28 Prof. Dr. F.-M. Rateike: Optische Technologien Teil : Geometrische Optik F blau F rot laterale chromatische Aberration Abb. 43: Laterale chromatische Aberration. Die Wellenlängenabhängigkeit der Brennweite führt zu einer wellenlängenabhängigen Vergrößerung. Für rotes Licht ist das Bild des Pfeils größer als für blaues Licht. Man kann die chromatische Aberration gut kompensieren. Durch die Kombination einer Sammellinse mit niedrigem Brechungsindex (Kronglas) und einer Zerstreuungslinse mit hohem Brechungsindex (Flintglas) wird eine so genannte achromatische Linse (Achromat) gebildet, die für zwei ausgewählte Wellenlängen (üblicherweise im Roten und Blauen) die gleiche Brennweite aufweist. Für die dazwischen liegenden Wellenlängen (z.b. im Gelben und Grünen) bleibt eine kleine chromatische Aberration. Benutzt man mehr als zwei Linsen, kann man auch bei drei Wellenlängen die gleiche Brennweite erreichen (so genannte apochromatische Linsen oder Apochromate). Weitere Details dazu findet man in Hecht: Optik, Kapitel 6. blau rot gelb Abb. 44: Achromatische Linse. Durch die Kombination einer Sammellinse mit niedrigem Brechungsindex und einer Zerstreuungslinse mit hohem Brechungsindex kann man bei zwei ausgewählten Wellenlängen die chromatische Aberration kompensieren..6 Berechnung eines achromatischen Objektivs Diese Rechnung benutzt die Näherung für dünne Linsen. Ausgangspunkt ist die Linsenkombinationsformel d. f f f f f Dabei sind f und f die Brennweiten der beiden verwendeten Linsen, d deren Abstand. Für jede Linse gilt die Linsenmacherformel (n ) f bzw. (n ) f Dabei sind n sind n die Brechungsindices der beiden Linsen, während und deren Form beschreiben 8

29 Prof. Dr. F.-M. Rateike: Optische Technologien Teil : Geometrische Optik r r (Linse ) und (Linse ). r r Dabei sind die r ij die Krümmungsradien der entsprechenden Linsenflächen. Für die Brennweite f von Linsen aus unterschiedlichen Gläsern (n bzw. n ) gilt deshalb: (n ) (n ) d (n ) (n ). f Für einen Achromaten gilt die Forderung f Rot = f Blau oder, fr f B so dass (nr ) (nr ) d (nr ) (nr ) (n ) (n ) d (n ) (n ) B B Wir betrachten hier speziell den Fraunhofer-Typ eines Achromaten. Er besteht aus einer verkitteten Kombination von Bikonvexlinse und (nahezu) Plankonkavlinse. B B Abb. 45: Ein Fraunhofer-Achromat besteht aus einer Bikonvexlinse, meist aus Kronglas, und einer (nahezu) Plankonkavlinse, meist aus Flintglas, die miteinander verkittet sind. Die sich berührenden Flächen haben folglich denselben Krümmungsradius: r = r. In der Näherung für dünne Linsen gilt dann: d = 0. Wegen d = 0 vereinfacht sich obige Gleichung zu ( n. R ) (nr ) (nb ) (nb ) Ausmultiplizieren dieser Gleichung liefert n n n. R R B nb Wie man sieht, kürzen sich die einzelnen i weg und es bleibt übrig n R nr nb nb oder ( nr nb ) (nb nr), und es folgt (nb nr). (+) (nb nr ) Für gelbes Licht liegt f Gelb etwa zwischen f R und f B. (ng ) fg und (ng ). f G 9

30 Prof. Dr. F.-M. Rateike: Optische Technologien Teil : Geometrische Optik Daraus folgt (ng ) fg. (ng ) fg Setzt man diesen Ausdruck mit (+) gleich, so ergibt sich f f (n (n ) ) (n (n ) ) (n (n n n ) ) (n (n n n )/(n )/(n G G G B R B R G. G G G B R B R G Zähler und Nenner des letzten Bruches sind nun aber genau die Abbe-Zahlen v bzw. v der beiden verwendeten Gläser: (nb nr ) (nb nr) v bzw. (ng ) (ng ) v. Damit folgt sofort: fg v fg v oder f G v fg v 0. (++) Etwas genauer: Man definiert die Abbe-Zahl v d eines optischen Glases durch v d nd nf nc Dabei bezeichnen d, C und F bestimmte normierte Wellenlängen: d-linie He 587,568 nm gelb, C-Linie H 656,86 nm rot, F-Linie H 486,37 nm blau. Für Fraunhofer-Achromaten werden gerne Bikonvexlinsen aus Kronglas (z.b. BK) und Plankonkavlinsen aus Flintglas (z.b. F) verwendet. Für diese Gläser gilt: BK v d = 63,46 n d =,5009 F v d = 36,37 n d =,6004 Als Brennweite soll zum Beispiel erreicht werden: f d = 0,5 m. Gleichung (++) und die Linsenkombinationsformel für gelbes Licht ergeben ein Gleichungssystem für f d und f d : f d v fd v 0. f f f Die Lösung ist: f d f d v d d d d vd vd v d d fd vd vd f Für die zu berechnende Linse war: f d = 0,5 m v d = 63,46 v d = 36,37, so dass D d f d 63,46 0,5 7,09 4,685dpt ) ) 30

31 Prof. Dr. F.-M. Rateike: Optische Technologien Teil : Geometrische Optik D d f d 36,37 0,5 ( 7,09),685dpt Man sieht sofort, dass fd fd fd also: f d = 0,5 m, wie gefordert. Mit Hilfe der Linsenmacherformel lassen sich jetzt die Krümmungsradien der beiden Linsen berechnen. Für die Bikonvexlinse ( r r r) liefert (nd ) fd r Mit n d =,5999 ergibt sich ein Krümmungsradius von r = 0,77 m. Die Konkavlinse hat wegen des Fraunhofer-Typs r r 0,77 m, so dass jetzt gilt: (nd ) f r. d r Dieses liefert r = -3,89 m. Die zweite Fläche der Konkavlinse ist also nahezu plan. Für gelbes Licht (d-linie) liefert diese Linse jetzt eine Brennweite von genau 0,5 m. Es ist noch interessant, wie weit f C (rot) und f F (blau) von diesem Wert abweichen. Die Linsenmacherformel liefert: ferner Mit ergeben sich f n C C nd fd f n C C nd fd f C f C f C und und und f n F F nd fd f n F F nd fd f F f F f F f C = 0,500 m und f F = 0,500 m. Man sieht sofort: f C = f F (Achromat). Die Abweichungen zu f d = 0,5000 m sind sehr klein.,..7 Dicke Linsen In der Näherung für dünne Linsen wird die Dicke der Linsen vernachlässigt. Die Beugung findet an der Mittenebene der Linse statt. Für Linsen mit geringer Dicke ist dies eine gute Näherung. Bei dicken Linsen wird die Dicke der Linse bei der Betrachtung der Brechung explizit berücksichtigt. Zur Beschreibung der Linse dienen die zwei Hauptebenen H und H, wobei H die objektseitige und H die bildseitige Hauptebene ist. Diese Hauptebenen definieren ebenfalls die Größe von Gegenstandsweite g und Bildweite b, da sie jeweils von der zugehörigen Hauptebene aus gemessen werden. Das Vorgehen bei der Bildkonstruktion ist aus Abb. 46 ersichtlich. Der vom Objekt ausgehende Parallelstrahl wird an der bildseitigen Hauptebene H gebrochen und verlässt die Lise als Brennstrahl. Der vom Objekt ausgehende Brennstrahl wird an der objektseitigen Hauptebene H gebrochen und verlässt die Linse als Parallelstrahl. Für den ebenfalls eingezeichneten Mittelpunktstrahl ist die Konstruktion komplizierter (vgl. Pedrotti & Pedrotti: Optik). 3

32 Prof. Dr. F.-M. Rateike: Optische Technologien Teil : Geometrische Optik H H' Objekt G g F f b F' Bild B Abb. 46: Dicke Linsen. Zur Bildkonstruktion benutzt man die beiden Hauptebenen H (objektseitig) und H (bildseitig). Die Brechung der Lichtstrahlen findet an diesen beiden Ebenen und nicht an den Linsenflächen statt. Die Lage der Hauptebenen einer dicken Linse kann leicht berechnet werden. Einige einfache Beispiele sind in Abb. 47 dargestellt. Für eine weitergehende Diskussion sei auf die Literatur verwiesen, z.b. Pedrotti&Pedrotti, Optik. d n H H' d n H H' d n Abb. 47: Lage der Hauptebenen bei einigen ausgewählten Sammel- und Zerstreuungslinsen. Obere Reihe: Bei der Bikonvexlinse liegen beide Hauptebenen innerhalb der Linse. Bei der Plankonvexlinse berührt die eingangsseitige Hauptebene den Scheitel der Linse. d n H H' d n HH' d n Untere Reihe: Bei der Bikonkavlinse liegen beide Hauptebenen innerhalb der Linse. Bei der Plankonvexlinse berührt die eingangsseitige Hauptebene den Scheitel der Linse. 3

33 Prof. Dr. F.-M. Rateike: Optische Technologien Teil : Geometrische Optik Das Konzept der Dicken Linsen kann man nun zur Beschreibung von Linsensystemen heranziehen, denn zwei Dicke Linsen, die jeweils durch ihre Hauptebenen und ihre Brennweite gekennzeichnet sind, kann man durch eine Dicke Linse ersetzen, deren Hauptebenen und Brennweite sich leicht berechnen lassen. Durch wiederholte Anwendung dieses Rechenverfahrens kann man dann Systeme mit N Linsen, z.b. komplizierte Objektive, als eine einzige Dicke Linse darstellen. Abb. 48: Eine Kombination von zwei Dicken Linsen (oben, Hauptebenen rot gestrichelt) kann man als eine Dicke Linse (unten, bildseitige Hauptebene rot gestrichelt) beschreiben. d ist der Abstand der eingezeichneten Hauptebenen, während z f die Lage der bildseitigen Hauptebene der Kombination charakterisiert. Für die nachfolgende Rechnung wird angenommen, dass der Strahlengang vom Objekt links zum Bild rechts geht. Die Rechnung liefert die Brennweite f der Kombination und die Lage der bildseitigen Hauptebene. Will man die objektseitige Hauptebene berechnen, so muss man die Kombination in umgekehrter Reihenfolge (gespiegelt) durchrechnen. Die Brennweite f der Kombination berechnet sich nach: f f f f oder f d d. f f f f f In der rechts dargestellten Form ist die Gleichung symmetrisch in f und f, d.h. wenn man die Linsen vertauscht und den Abstand der Hauptebenen beibehält, ändert sich die Brennweite der Kombination nicht. Für positives f liegt der Brennpunkt rechts der bildseitigen Hauptebene der Kombination, für negatives f links davon. f und f sind die effektiven Brennweiten (EFL) der beiden einzelnen Elemente. d ist der Abstand von der bildseitigen Hauptebene des ersten Elements zur objektseitigen Hauptebene des zweiten Elements. Für die Lage der eingezeichneten Hauptebenen ist d positiv. Falls diese vertauscht sind, ist d negativ. Die Lage des Brennpunkts der Kombination bestimmt sich durch s f f (f f d) d ''. Dies ist die Strecke von der bildseitigen Hauptebene des zweiten Elements bis zum Brennpunkt der Kombination. Sie ist positiv, wenn der Brennpunkt rechts der bildseitigen Hauptebene des zweiten Elements liegt. Man findet schließlich die Lage der bildseitigen Hauptebene der Kombination durch: z s ''. Dies ist der Abstand von der bildseitigen Hauptebene des zweiten Elements bis zur bildseitigen Hauptebene der Kombination. f 33

34 Prof. Dr. F.-M. Rateike: Optische Technologien Teil : Geometrische Optik Die nachfolgende Abbildung zeigt das Vorgehen bei der Berechnung eines Systems aus n optischen Bauelementen. Abbildung 49: Man kann eine Kombination aus n optischen Elementen (Dicke Linsen) als eine einzige Dicke Linse beschreiben, die durch ihre Brennweite f und die Lage der beiden Hauptebenen charakterisiert wird. Die dazu nötigen Schritte sind hier schematisch dargestellt. Die Berechnung der einzelnen Größen folgt dem auf der vorigen Seite vorgestellten Verfahren. 34

35 Linsenkombinationen Brennweite der Linsenkombination: f f f f f d oder (symmetrische Form): f f d f f f Ort des Brennpunkts der Linsenkombination: s " f f (f f d) d Ort der. Hauptebene der Linsenkombination z s " f Verwendete Symbole f = Brennweite der Kombination (EFL); positiv wenn der Brennpunkt der Kombination rechts von der. Hauptebene der Kombination liegt, sonst negativ. f = Brennweite (EFL) des. Elements f = Brennweite (EFL) des. Elements d = Abstand von der. Hauptebene des ersten Elements zur. Hauptebene des zweiten Elements (positiv wenn die. Hauptebene rechts von der. Hauptebene liegt, sonst negativ). s = Abstand von der. Hauptebene des zweiten Elements zum Brennpunkt der Kombination (Ort des Bildes für ein links im Unendlichen liegendes Objekt), positiv wenn der Brennpunkt rechts von der. Hauptebene des zweiten Elements liegt, sonst negativ. z = Abstand zur. Hauptebene der Kombination, gemessen von der. Hauptebene des zweiten Elements; positiv wenn die, Hauptebene der Kombination rechts von der. Hauptebene des zweiten Elements liegt, sonst negativ. Beachte: Diese paraxialen Formeln gelten für koaxiale Kombinationen von dicken oder dünnen Linsen in jedem Fluid mit konstantem Brechungsindex. Es wird angenommen, dass das Licht von links durch das optische System geht. Quelle: Melles-Griot - Optics Guide

36 Linsen-Kombinationsformeln Grafik nach Melles-Griot Optics Guide

37 Combination of Optical Elements From: Melles-Griot: Optics Guide, modified

38 Linsenkombination Nr. H Zwei Sammellinsen im Abstand d>f +f. f ist negativ, während sowohl s als auch z positiv sind. Linsensymmetrie nicht erforderlich. Grafik aus: Melles-Griot Optics Guide, modifiziert

39 Linsenkombination Nr. Achromatische Kombination Man kann Linsenkombinationen in Luft nahezu achromatisch machen, auch wenn beide Linsen aus demselben Material bestehen. Dazu muss man nur die Bedingung d=(f +f )/ erfüllen. Dies ist die Basis für Huygens- und Ramsden-Okulare. Grafik aus: Melles-Griot Optics Guide, modifiziert

40 Linsenkombination Nr.3 H Teleobjektiv Man kann die Brennweite f sehr viel größer machen als die Baulänge des Objektivs. Der hier gezeigte Aufbau ist lediglich schematisch. Mit f =7 mm, f =-50 mm und d=78, mm erhält man: s =4,7 mm und z=-567 mm. Grafik aus: Melles-Griot Optics Guide, modifiziert

41 Prof. Dr. F.-M. Rateike: Optische Technologien Kapitel 4 4. Wellenoptik 4. Elektromagnetische Wellen 4.. Wellengleichung Die Beschreibung des Lichts bedient sich der Maxwellschen Gleichungen, welche als Differentialgleichungen eine mikroskopische Beschreibung des Zusammenhangs von elektrischen und magnetischen Feldern mit freien Ladungen und Strömen darstellen. Diese Gleichungen waren zum großen Teil bereits vor Maxwells Zeit bekannt, jedoch war der schottische Physiker James Clark Maxwell 866 der erste, der sie in dieser vollständigen Form zusammenstellte und daraus die Existenz von elektromagnetischen Wellen folgerte, die dann 888 erstmalig von Heinrich Hertz künstlich erzeugt wurden. - Neben der Form als Differentialgleichungen lassen sie sich auch als global als Intergralgleichungen darstellen, worauf hier verzichtet wird. Die Maxwellschen Gleichungen im Vakuum lauten: Divergenz von E E, 0 Divergenz von B B 0, Rotation von E B E, t Rotation von B E B 0 j, c t wobei 0 0 c mit der Vakuum-Lichtgeschwindigkeit c 0. Im Vakuum, d.h. ohne freie Ladungen ( = 0) und ohne Ströme ( j 0) erhält man dann: E 0 B 0 B E t E B c0 t Bildet man jetzt die Rotation von Rotation E, so ergibt sich: B ( E) ( B). t t Ferner gilt in kartesischen Koordinaten immer ( E) ( E) E E, da E 0. Dabei ist der sogenannte Delta-Operator. x y z

42 Prof. Dr. F.-M. Rateike: Optische Technologien Kapitel 4 Die rechte Seite der Gleichung wird ebenfalls umgeformt: E ( B). t c 0 t Durch Einsetzen ergibt sich schließlich die sogenannte Wellengleichung für das elektrische Feld E E E c Völlig analog leitet man die entsprechende Gleichung für das Magnetfeld B ab: B B c Es gibt sehr viele verschiedene Lösungen der Wellengleichung. Von großem Interesse in der Physik sind die sogenannten ebenen Wellen und die Kugelwellen. Letztere werden hier nicht weiter diskutiert. Ebene Wellen sind aus der Anfängervorlesung her bekannt. So lässt sich das elektrische Feld und das magnetische Feld einer ebenen Welle als E(r,t) E0 sin(k r t) B(r,t) B0 sin(k r t) darstellen. Dabei ist E0 bzw. B0 die konstante Amplitude, k e der Wellenvektor (zeigt in Ausbreitungsrich- k tung) 0 T 0 t 0 t die Kreisfrequenz der entsprechenden Welle. Wie man leicht durch Ableiten nachweist, erfüllen beide Felder die Wellengleichung. Nun sagt ein Satz aus Mathematik, dass eine Differentialgleichung. Ordnung also auch die Wellengleichung zwei linear unabhängige Lösungen hat. Es fehlt also noch eine zweite Lösungsfunktion. Aus der Anfängervorlesung ist vom harmonischen Oszillator her bekannt, dass neben der Sinusfunktion auch die Kosinusfunktion eine Lösung ist. Dies kann man hier übernehmen und erhält als. Lösungsfunktion E(r,t) E0 cos(k r t) bzw. B(r,t) B0 cos(k r t). Die allgemeine Lösung ist dann eine Linearkombination beider Lösungsfunktionen: E(r,t) a sin(k r t) bcos(k r t) und B(r,t) csin(k r t) dcos(k r t)

43 Prof. Dr. F.-M. Rateike: Optische Technologien Kapitel Transversalität der Wellen Bis jetzt wurde noch nichts über die drei Vektoren a, b und k bzw. c, d und k ausgesagt. Welche Beziehung sie zueinander habe, folgt aus den beiden Maxwellschen Gleichungen E 0 bzw. B 0. Wertet man die erste dieser Gleichungen aus, so erhält man Die partielle Ableitung nach x ist E E x y E z E. x y z E x (E x x E k 0x 0x x sin(k cos(k x x x k x k y y y k z t) z y k z t) Entsprechende Ausdrücke erhält man für die partiellen Ableitungen nach y und nach z. Summiert man diese auf und setzt die Summe zu Null, so erhält man E E k cos(k x k y k z t). 0 0 x y z Wenn dies für alle x, y, z und t erfüllt sein soll, muss gelten: E 0 k E, k 0 d.h. der elektrische Feldvektor steht senkrecht auf der Ausbreitungsrichtung. Solche Wellen bezeichnet man als Transversalwellen. Wegen B 0gilt dies auch entsprechend für den magnetischen Feldvektor. Es bleibt die Frage, wie E und B zueinander stehen. Es sei eine elektromagnetische Welle gegeben, die sich in x-richtung ausbreite, d.h. k k ex. Da E 0 senkrecht auf k steht, möge es in y-richtung zeigen, d.h. E E, also: 0 y0 ey E(x,t) = E y0 sin(kx t) B Aus der 3. Maxwellschen Gleichung ( E ) erhält man t mit der Lösung so dass B t Insgesamt ergibt sich z ( E) z Ey x E y x Ey x z k E k Bz (x,t) Ey0 sin(kx t) Bz0 B z0 B E k E y0 E y0. c und B E c y0 cos(kx t) sin(kx t)

44 Prof. Dr. F.-M. Rateike: Optische Technologien Kapitel 4 Abb. 50: Elektrisches (rot) und magnetisches Feld (blau) einer elektromagnetischen Welle. Beide Felder stehen senkrecht aufeinander und senkrecht auf der Ausbreitungsrichtung, und es gilt E=B/c. 4. Polarisiertes Licht Im obigen Beispiel breitete sich die elektromagnetische Welle in x-richtung aus und der elektrische Feldvektor schwang in der xy-ebene. Dies ist ein Beispiel für linear polarisiertes Licht. Allgemein kann man sagen: Bei linear polarisiertem Licht schwingt der elektrische Feldvektor senkrecht zur Ausbreitungsrichtung in einer Ebene, welche den Wellenvektor k enthält. Normales Licht ist i.a. unpolarisiert, d.h. alle Schwingungsebenen sind gleich wahrscheinlich. Man kann das auch so deuten, dass jedes Photon seine eigene lineare Polarisation hat, unabhängig von den anderen Photonen. Überlagert man die beiden Lösungsfunktionen der Wellengleichung, so erhält man folgendes Ergebnis: E(x,t) E0 sin(kx t) E0 cos(kx t), wobei E 0 und E 0 senkrecht auf der Ausbreitungsrichtung stehen. Haben E 0 und E 0 dieselbe Richtung, ist die resultierende Welle linear polarisiert. Stehen Sie jedoch senkrecht aufeinander und haben sie denselben Betrag ( E 0 E 0 ), so ist das Licht zirkular polarisiert, d.h. der elektrische Feldvektor läuft auf einer Schraubenlinie um, während sich das Licht ausbreitet. Ein Beobachter, der der Welle entgegen schaut, sieht einen Feldvektor, der entweder im Uhrzeigersinn oder entgegen dem Uhrzeigersinn umläuft. Im ersten Fall spricht man von rechts zirkular polarisiertem Licht, im zweiten von links zirkular polarisiertem Licht. Für zirkular polarisiertes Licht sind alle linearen Polarisationsebenen gleich wahrscheinlich. Schickt man es durch einen Linearpolarisator, so wird unabhängig von dessen Stellung immer die gleiche Intensität durchgelassen. Im Fall ungleicher Amplituden ( E 0 E 0 ) kommt man zu folgendem Ergebnis: Das Licht ist elliptisch polarisiert, d.h. der elektrische Feldvektor läuft auf einer elliptischen Schraubenlinie um, während sich das Licht ausbreitet. Jetzt sind nicht mehr alle Polarisationsebenen gleich wahrscheinlich, vielmehr gibt es bevorzugte und senkrecht dazu weniger bevorzugte Ebenen. Schickt man es durch einen Linearpolarisator, so hängt die Intensität des durchgelassenen Lichts von dessen Stellung ab

45 Prof. Dr. F.-M. Rateike: Optische Technologien Kapitel Erzeugung von polarisiertem Licht Für die Erzeugung von polarisiertem Licht gibt es viele verschiedene Methoden, von denen jedoch nur wenige eine technische Bedeutung haben, während der Rest von untergeordneter Bedeutung ist. Sie sollen jetzt dargestellt werden. Folienpolarisatoren Diese Polarisatoren nutzen den Lineardichroismus ausgerichteter Moleküle aus: eine Polarisationsebene wird stark, die dazu senkrechte schwach oder gar nicht absorbiert. Nach dem Durchgang durch eine ausreichend dicke Folie wird eine Polarisationsebene praktisch ganz absorbiert sein und die dazu senkrechte übrigbleiben. Das Licht ist dann linear polarisiert. Zwar fand man den Lineardichroismus zuerst bei Kristallen (Turmalin), jedoch bestehen die heutigen großflächigen Polarisatoren, die in Displays (LCD-Bildschirme) benutzt werden, aus dünnen verstreckten Polymerfolien. Sie sind einfach herzustellen und können in ihren Eigenschaften den Erfordernissen des Displays angepasst werden. Ihr Nachteil ist, dass die Transmission von parallelen Folien und die Extinktion von gekreuzten Folien nicht unabhängig voneinander sind. Ein Beispiel für eine Polarisationsfolie ist die sogenannte Jodfolie, die älteste Polarisationsfolie. Hier wird der Lineardichroismus von orientierten Jodkristalliten, die in eine Polyvinylalkoholfolie eingelagert sind, ausgenutzt. Leistungsdaten einer solchen einfachen Folie zeigt die Abb. 5. Abb. 5: Leistungsdaten von Jod-Polarisationsfolien für unpolarisiertes Licht. Oben: Transmission von gekreuzten Folien, unten: Transmission von parallelen Folien. Im Idealfall (keine Reflexionsverluste) würde man eine Transmission von Null bzw. von 0,5 erwarten. Abweichungen von diesen Werten kommen durch nicht perfekte Ausrichtung der Kristallite bzw. zu geringe Absorption im Blauen ( nm) zustande. Kristallpolarisatoren Kristallpolarisatoren nutzen die Doppelbrechung bestimmter anisotroper Kristalle aus, deren Brechungsindex richtungs- und polarisationsabhängig ist. Bekanntester Vertreter dieser Kristalle ist der Calcit, das kristalline Calciumcarbonat, CaCO 3, auch als Doppelspat bekannt. Ein Lichtstrahl, der diesen Kristall durchquert, spaltet in zwei Teilstrahlen auf, die zueinander senkrecht linear polarisiert sind. optische Achse ordentlicher Strahl o a außerordentlicher Strahl Abb. 5: Aufspaltung eines Lichtstrahls in einem doppelbrechenden Kristall. Ordentlicher und außerordentlicher Strahl sind zueinander senkrecht linear polarisiert. Der ordentliche Strahl gehorcht dem Brechungsgesetz, der außerordentliche nicht

46 Prof. Dr. F.-M. Rateike: Optische Technologien Kapitel 4 Strahlen, die sich parallel zur optischen Achse des Kristalls ausbreiten erfahren den ordentlichen Brechungsindex n o =,66. Für senkrecht dazu verlaufende Strahlen variiert der Brechungsindex je nach Polarisation zwischen n o und dem außerordentlichen Brechungsindex n e =,49 (wir benutzen die englische Schreibweise n e für den extraordinary ray ). Kristallpolarisatoren, die linear polarisiertes Licht erzeugen, nutzen den Brechungsindexunterschied zwischen ordentlichem und außerordentlichem Strahl aus, indem einer der beiden Strahlen, in welche der Lichtstrahl aufspaltet, innerhalb des Polarisators durch Totalreflexion abgelenkt wird. Das durchgelassene Licht ist das linear polarisiert. Die älteste Bauform ist das Nicolsche Prisma (s. Abb. 53). Da seine Stirnflächen nicht senkrecht zur Richtung des einfallenden und austretenden Lichtstrahls stehen, verursacht es einen Strahlversatz. Es ist heute weitgehend durch den Glan-Thompson-Polarisator ersetzt. Andere Bauformen, welche ordentlichen und außerordentlichen Strahl getrennt durchlassen, sind das Rochon-Prisma und das Wollaston-Prisma (s. Abb. 53). Abb. 53: Verschiedene Kristallpolarisatoren. In allen Polarisatoren spaltet der einfallende Lichtstrahl in ordentlichen und außerordentlichen Strahl auf, die zueinander senkrecht linear polarisiert sind. Nicol- Prisma und Glan-Thompson-Polarisator eliminieren den ordentlichen Strahl durch Totalreflexion, während Rochon- und Wollaston-Prisma beide Strahlen räumlich getrennt durchlassen. Die Güte eines Kristallpolarisators hängt weitgehend davon ab, wie gering die bei der Herstellung vorhandenen mechanischen Spannungen sind, da diese zu einer zusätzlichen undefinierten Spannungsdoppelbrechung führen, welche die Güte des Polarisators herabsetzt. Mit einem Paar sehr guter Kristallpolarisatoren lässt sich in gekreuzter Stellung eine Extinktion von 8 (Transmission 0-8 ) erreichen

47 Prof. Dr. F.-M. Rateike: Optische Technologien Kapitel 4 Polarisation durch Reflexion Bei der Reflexion des Lichts an der Grenzfläche zweier Medien, z.b. Luft/Glas, hängt der Reflexionsgrad von den Brechungsindices der beteiligten Medien und dem Einfallswinkel ab. Falls der Einfallswinkel gleich dem Brewsterwinkel B ist, ist das reflektierte Licht linear polarisiert (s-polarisation). Dies ist in Abb. 54 dargestellt. Medium B B n Medium n Abb. 54: Polarisation durch Reflexion. Ist der Einfallswinkel gleich dem Brewsterwinkel, so ist das reflektierte Licht linear polarisiert. Der elektrische Feldvektor steht senkrecht auf der Einfallsebene (s- Polarisation). Der Brewsterwinkel berechnet sich nach der Formel tan B = n /n (n > n ). Für diese Art, Licht zu polarisieren, gibt es kaum Anwendungen. Linear polarisierte Lichtquelle Viele Laser sind linear polarisiert, da sie Bauelemente enthalten, die zur Vermeidung von Reflexionsverlusten unter dem Brewsterwinkel angeordnet sind. In diesem Fall ist das Licht p-polarisiert, der elektrische Feldvektor schwingt in der Einfallsebene. Das Laserlicht ist in diesem Fall 00: bis 000: linear polarisiert. Für extreme Ansprüche muss ein zusätzlicher Kristallpolarisator verwendet werden Erzeugung von zirkular polarisiertem Licht Zirkular polarisiertes Licht wird aus linear polarisiertem Licht durch Verwendung einer sogenannten Viertelwellenplatte (/4-Platte) hergestellt. Dies ist eine dünne Platte aus einem doppelbrechenden kristallinen Material (Quarz, Magnesiumfluorid), die einen Gangunterschied von /4 zwischen ordentlichem und außerordentlichem Strahl erzeugt. Abb. 55: Erzeugung zirkular polarisierten Lichts. Linear polarisiertes Licht, dessen Polarisationsvektor 45 zur optischen Achse der 4-Platte (gelb) steht, wird in den ordentlichen und außerordentlichen Strahl aufgespalten, die beide gleiche Amplituden haben. Nach Durchqueren der Platte haben beide Strahlen einen Gangunterschied von l/4, entsprechend eine Phasenverschiebung von 90. Aus linear polarisiertem Licht ist zirkular polarisiertes geworden

48 Prof. Dr. F.-M. Rateike: Optische Technologien Kapitel 4 Wie in Abb. 55 dargestellt, ist die Polarisationsebene des einfallenden Lichts um 45 gegen die optische Achse gedreht. Dadurch sind die beiden Amplituden E x und E y, die dem ordentlichen und dem außerordentlichen Strahl entsprechen, gleich groß und schwingen in Phase. Nach dem Durchqueren der /4-Platte sind sie um 90 außer Phase, so dass der elektrische Feldvektor auf einer Schraubenlinie umläuft, während die Welle sich ausbreitet. Je nachdem, wie der Umlaufsinn des Feldvektors um die Ausbreitungsrichtung ist, unterscheidet man rechts und links zirkular polarisiertes Licht. Man stellt /4-Platten aus doppelbrechendem Material her, welches parallel zur optischen Achse gespalten wird. Dadurch liegt die optische Achse in der Plattenebene. Für linear polarisiertes Licht, dessen elektrisches Feld parallel zu dieser Achse schwingt, ist der Brechungsindex n e, für dazu senkrecht polarisiertes Licht n o. Bei einer Plattendicke d ist die optische Dicke der Platte also d n o bzw. d n e. Ordentlicher und außerordentlicher Strahl haben nach dem Durchqueren der 4-Platte einen Gangunterschied (GU) GU = d (n o -n e ) = /4 Dies entspricht einem Phasenunterschied von 90 und ist genau der Wert, der zur Erzeugung von zirkular polarisiertem Licht erforderlich ist (vgl. Seite 36). Will man eine /4-Platte aus Quarz herstellen, so wird sie selbst für dieses Material so dünn, dass man sie nicht mehr mechanisch herstellen kann. Man hilft sich dann dadurch, dass man einen Gangunterschied GU = /4 + n herstellt (sog. low-order Platte), was wegen der Periodizität der Sinus- und Kosinusfunktion zu einer /4- Platte äquivalent ist. Bildet die Polarisationsebene des einfallenden Lichts keinen Winkel von 45 mit der optischen Achse, so sind die Amplituden von ordentlichem und außerordentlichem Strahl verschieden und das Licht ist nach dem Durchqueren der /4-Platte elliptisch polarisiert Drehung der Polarisationsebene von linear polarisiertem Licht Für optische Aufbauten ist es oftmals erforderlich, die Schwingungsebene von linear polarisiertem Licht um einen beliebigen Winkel zu drehen. Man benutzt dazu eine sogenannte Halbwellenplatte (/-Platte). Abb. 56: Drehung der Polarisationsebene von linear polarisiertem Licht mit einer -Platte. Die Polarisationsebene des einfallenden Lichts bildet einen Winkel mit der optischen Achse der -Platte. Nach dem Durchqueren der Platte ist eine Komponente des elektrischen Feldes um 80 phasenverschoben. Das resultierende Feld (rechts) ist gegenüber dem ursprünglichen um den Winkel gedreht

49 Prof. Dr. F.-M. Rateike: Optische Technologien Kapitel Transmission von gegeneinander verdrehten Polarisatoren Zwei hintereinander angeordnete Linearpolarisatoren, deren Polarisationsebenen gegeneinander um den Winkel verdreht sind, werden zur stufenlosen Abschwächung eines Lichtstrahls benutzt. unpolarisiertes Licht x Polarisationsebene E x x x' k Polarisator E x E x' Analysator Polarisationsebene E x' k Abb. 57: Zwei Linearpolarisatoren, die gegeneinander verdreht sind, werden zur Abschwächung eines Lichtstrahls benutzt. Der zweite Polarisator lässt nur die Projektion von E auf seine Polarisationsebene durch. Entsprechend ist die Transmission proportional zu cos. Das vom ersten Polarisator durchgelassene Licht mit dem Feldvektor E x schwingt in der x,k- Ebene. Der zweite Polarisator lässt nur die Projektion von E x auf die x,k-ebene durch. Für diese gilt: E x = E x cos Man beobachtet jedoch die durchgelassene Intensität oder Leistung. Beide sind proportional zu E x. Folglich ist die Transmission dieser Kombination proportional zu cos. Dies wird als Gesetz von Malus bezeichnet. T cos. Man sieht sofort, dass gekreuzte Polarisatoren ( = 0) kein Licht durchlassen, während die Transmission für parallele Polarisatoren ( = 90 ) maximal ist. In der Realität liefern gute gekreuzte Folienpolarisatoren T 0-5, während sehr gute Kristallpolarisatoren T=0-8 erreichen. Man benutzt in der Praxis allerdings die Extinktion (log 0 (/T), um diese zu beschreiben (für die hier angeführten Polarisatoren: E = 5 bzw. E = 8)

50 Prof. Dr. F.-M. Rateike: Optische Technologien Kapitel Mathematische Beschreibung von polarisiertem Licht Für die mathematische (quantitative) Beschreibung von polarisiertem Licht stehen uns zwei Verfahren zur Verfügung: Das Licht kann mit reellen Stokes-Vektoren oder mit komplexen Jones-Vektoren beschrieben werden, während die optische Bauelemente (Polarisatoren, /4- Platten usw.) durch die reellen Mueller-Matrizen (4x4-Matrizen) oder die komplexen Jones- Matrizen (x-matrizen) repräsentiert werden. Die Wirkung der Bauelemente auf das Licht wird durch Matrizenmultiplikation beschrieben. Für die folgende Darstellung werden Stokes- Vektoren und Mueller-Matrizen ausgewählt. Die Stokes-Parameter 85 publizierte G.G. Stokes seine Beschreibung von polarisiertem Licht mit Hilfe der vier Stokes-Parameter S 0, S, S und S 3. Man kann sich deren Ableitung wie folgt vorstellen (ausführliche Diskussion siehe Hecht Optik): Man hat vier verschiedene Filter, die alle für unpolarisiertes Licht die Transmission T = 0,5 haben. Das erste <Filter ist isotrop, lässt also, unabhängig vom Polarisationszustand, immer 50 % des einfallenden Lichts durch. Zweites und drittes Filter sind Linearpolarisatoren, deren Transmissionsachsen horizontal bzw. bei +45 stehen (Diagonale durch ersten und dritten Quadranten). Das vierte Filter ist ein Zirkularpolarisator, durchlässig für rechts zirkular polarisiertes Licht. Zur Analyse des Lichts werden diese vier Filter nacheinander in den Strahlengang gestellt und die durchgelassenen Intensitäten I 0, I, I und I 3 mit einem polarisationsunempfindlichen Detektor gemessen. Aus diesen Signalen berechnen sich die Stokes-Parameter zu: S 0 = I 0 S = I - I 0 S = I - I 0 S 3 = I 3 - I 0 Man sieht sofort, dass S 0 die einfallende Intensität beschreibt, während S, S und S 3 den Polarisationszustand angeben. Dabei ist zu beachten, dass auch partiell polarisiertes Licht mit den Stokes-Parametern beschrieben werden kann. Es ist üblich, für vollständig polarisiertes Licht die Stokes-Vektoren zu normieren. Man nutzt aus, dass S 0 = S + S + S 3 gilt. Dividiert man jeden Parameter S, S und S 3 durch S 0, so erhält man die normierten Stokes-Vektoren für vollständig polarisiertes Licht. Eine ähnliche Prozedur kann man auch für die Jones-Vektoren durchführen. Für einige ausgewählte Polarisationszustände sind die Stokes- und die Jones-Vektoren in den nachfolgenden Tabellen dargestellt

51 Prof. Dr. F.-M. Rateike: Optische Technologien Kapitel 4 Die Jones-Matrizen und die Mueller-Matrizen Bereits oben war gesagt worden, dass polarisationsoptische Bauelemente durch Matrizen repräsentiert werden. Dabei ist zu beachten, dass die Methode von Jones das elektrische Feld von vollständig polarisiertem Licht beschreibt, während Stokes-Vektoren und Mueller-Matrizen die Intensität beschreiben. Tabelle (oben): Stokes- und Jones-Vektoren für einige ausgewählte Polarisationszustände. Tabelle (rechts): Mueller-Matrizen für einige optische Bauelemente. Die Anwendung der Matrizen folgt den Gesetzen der Matrixmultiplikation. Der Durchgang von polarisiertem Licht mit dem Anfangszustand S i (i = initial) durch ein Element A führt zu Licht mit dem Endzustand S f (f = final) und wird mathematisch durch S f = A S i beschrieben. Geht Licht durch eine Reihe von optischen Elementen A, A,, A n hindurch, so rechnet man S f = A n A A S i. Diese Methode lässt sich wegen der verwendeten Matrixmultiplikation gut mit Rechnern durchführen. Verwendet man einen normierten Vektor S i (S i0 = ), so liefert S f den Polarisationszustand des Lichts nach Passieren des letzten Elements A n. S f0 gibt die Gesamttransmission an, während S f, S f und S f3 die Polarisation beschreiben

52 Prof. Dr. F.-M. Rateike: Optische Technologien Kapitel Interferenz von Licht 4.3. Interferenz von ebenen Wellen Die Interferenz von Licht ist die Folge des Superpositionsprinzips (Überlagerungsprinzip) für elektrische und magnetische Felder, also auch für elektromagnetische Wellen. In der Optik interessiert man sich vor allem für die Überlagerung von Wellen mit gleicher Wellenlänge und Frequenz, wobei die Amplituden und Phasen verschieden sein können. Für die folgende Modellrechnung werden ebene Wellen E (x,t) und E (x,t) verwendet, welche gleiche Amplituden E 0 aufweisen. Es zeigt sich, dass die Überlagerung wieder eine ebene Welle ist, deren Amplitude maßgeblich von der Phasenverschiebung zwischen beiden Wellen abhängt. Gegeben seien ebene Wellen, die sich in x-richtung ausbreiten: E (x,t) = E 0 sin(kx-t) E (x,t) = E 0 sin(kx-t+) Sie haben die gleiche Amplitude E 0, jedoch eine Phasenverschiebung gegeneinander. Die Überlagerung beider Wellen ergibt: E(x,t) = E (x,t)+e (x,t) = E 0 {sin(kx-t) + sin(kx-t+)} Zur Berechnung der geschweiften Klammer wird das Additionstheorem für Sinusfunktionen sin sin sin cos benutzt, wobei hier gilt: = kx-t, = kx-t+ Damit ergibt sich E(x,t) = E 0 sin(kx-t+/) cos/ Die Sinusfunktion stellt eine ebene Welle dar, die sich in x-richtung ausbreitet und eine effektive Amplitude A eff =E 0 cos/ hat. Da man aber die Feldstärke bei optischen Frequenzen (5 0 4 Hz für rotes Licht) nicht beobachten kann, sondern lediglich die Intensität I, für welche gilt I = ½ c 0 E 0 sieht man im Experiment I = I 0 cos (/). Für = 0 beobachtet man folglich die maximale Intensität (konstruktive Interferenz), während = 80 (im Bogenmaß = ) I = 0 liefert (destruktive Interferenz). Für ungleiche Amplituden der beiden Wellen ergibt = 0 maximale und = 80 minimale Intensität. Abb. 58: Überlagerung von ebenen Wellen mit gleicher Amplitude und Phasenverschiebung 0 (oben), 90 (Mitte) und 80 (unten)

53 Prof. Dr. F.-M. Rateike: Optische Technologien Kapitel Antireflex-Schichten Eine wichtige Anwendung der Interferenz sind sowohl Antireflexionsbeschichtungen (AR- Beschichtungen, engl.: AR Coating) als auch hochreflektierende Laserspiegel. Durch das Aufbringen von dielektrischen Schichten auf Substrate (z.b. Glas) lassen sich sowohl Breitband-AR-Beschichtungen (R<0,5%) für Brillen, Objektive und Solarzellen als auch hochreflektierende Breitbandspiegel (R>99%) für Laser herstellen. Die Idee der AR-Beschichtung lässt sich von den Bedingungen für destruktive Interferenz ableiten: Man bringe eine dünne Schicht auf das Substrat auf. Eine einfallende Welle wird dann an zwei Stellen reflektiert: an der Grenzfläche zwischen Luft und AR-Schicht und an der Grenzfläche zwischen AR-Schicht und Substrat, da dort jeweils Sprünge des Brechungsindex auftreten. Damit die beiden reflektierten Wellen (hier rot und grün gezeichnet) vollständig destruktiv interferieren können, müssen Forderungen erfüllt sein: Abb. 59: Einfachschicht als AR-Schicht. Destruktive Interferenz der reflektierten Wellen.. Die Dicke der AR-Schicht muss so groß sein, dass beide Wellen einen Gangunterschied von / zueinander haben.. Beide Wellen müssen dieselbe Amplitude haben. Die erste Forderung führt zu t 0, 4 nschicht während aus der zweiten Forderung näherungsweise folgt: Die Reflexionsgrade an den beiden Grenzflächen müssen gleich sein. Mit dem Reflexionsgrad für senkrechten Einfall n n R n n, wobei n und n die Brechungsindices der beteiligten Schichten sind, ergibt sich für die Grenzfläche Luft/AR- Schicht nschicht nluft R nschicht n, Luft während die Grenzfläche AR-Schicht/Substrat nsubstrat nschicht R nsubstrat n Schicht liefert. Berücksichtigt man, dass n Luft ist, so ergibt eine einfache Rechnung nschicht n Substrat

54 Prof. Dr. F.-M. Rateike: Optische Technologien Kapitel 4 Wendet man diese Beziehung auf BK7-Glas (n =,5) an, so ergibt sich: n Schicht =,. Leider gibt es derartige Materialien nicht. Das Material mit dem niedrigsten Brechungsindex, das für dielektrische Beschichtungen verwendet wird, ist Magnesiumfluorid (MgF ) mit n =,38. Als Konsequenz davon erreicht man selbst bei optimaler Schichtdicke niemals R = 0. Eine AR-Beschichtung besteht deshalb meist aus mehrere Schichten. Dies ist beispielhaft in Abb. 60 für eine Zweifachschicht auf einem Substrat gezeigt. Die obere Schicht hat einen niedrigeren Brechungsindex (n ) als die untere Schicht (n ), deren Brechungsindex größer als der des Subtrats (n 3 ) ist. Infolgedessen gibt es 3 reflektierte Strahlen: der erste wird an der Grenzfläche zwischen Luft (n 0 ) und der oberen Schicht reflektiert, der zweite an der Grenzfläche zwischen den beiden aufgedampften Schichten und der dritte an der Grenzfläche zum Substrat hin. Wählt man die Schichtdicken geeignet aus und berücksichtigt den Phasensprung an der Grenzfläche von der Luft zur hochbrechenden Schicht, so kann man erreichen, dass die Amplituden der drei reflektierten Strahlen sich zu Null addieren. Abb. 60: Um eine vollständige Auslöschung des reflektierten Lichts zu erreichen, kann man eine dielektrische Doppelschicht aufbringen. Die obere Schicht hat einen kleineren Brechungsindex (n=,38 MgF ) als die untere Schicht (n=,70 xxy), während das Substrat hier beispielsweise aus BK7 (n=,5) besteht. Durch Wahl der geeigneten Dicken erreicht man eine Phasenverschiebung von 80 zwischen Welle A und den Wellen B und C. Das Resultat ist vollständige Auslöschung bei zumindest einer Wellenlänge. Die bisherigen Betrachtungen galten alle für senkrechten Einfall. Will man eine AR-Schicht für schrägen Einfall berechnen, so muss man zweierlei berücksichtigen:. Der Reflexionsgrad einer jeden Grenzfläche ist jetzt vom Einfallswinkel, den Brechungsindices n und n der beiden beteiligten Schichten und von der Polarisation (soder p-polarisation) abhängig. Diese Abhängigkeit wird in den Fresnelschen Formeln beschrieben. Es gilt: Rs sin( ) sin( ) und tan( ) Rp tan( ) Ferner gilt das Brechungsgesetz n sin n sin. Gerade bei größeren Einfallswinkeln gibt es erhebliche Unterschiede zwischen R s und R p

55 Prof. Dr. F.-M. Rateike: Optische Technologien Kapitel 4. Die Phasendifferenz der reflektierten Strahlen hängt ebenfalls von der Dicke t, dem Einfallswinkel und dem Brechungsindex n der entsprechenden Schicht ab. Ggf. muss auch noch ein Phasensprung berücksichtigt werden. Abb. 6: Einfache MgF -Reflexionsschicht bei schrägem Einfall ( 0 ). Der Gangunterschied der beiden reflektierten Strahlen ist GU = n b-n a. Zusätzlich muss man beachten, dass die Amplituden der reflektierten Wellen von denen bei senkrechtem Einfall abweichen Herstellung von dünnen Schichten Üblicherweise werden dünne Schichten durch kontrolliertes Aufdampfen im Ultrahochvakuum (UHV) hergestellt. Dies ist in Abb. 6 dargestellt. Dieser Prozess erfordert neben dem eigentlichen Aufdampfen die thermische Vorbehandlung (Ausheizen) der Substrate zum Zwecke der Reinigung. Dabei werden oberflächliche Verunreinigungen ausgedampft. Die derart gereinigten Substrate werden dann im UHV bedampft, wobei dieser Vorgang ggf. durch gezieltes Bestrahlen mit Ionen (Ionenplasma-Verfahren) unterstützt und die Homogenität der Schichten verbessert wird. Die fertigen AR-Beschichtungen werden dann durch Aufbringen von vernetzten Siloxanen gegen fest haftende Verschmutzungen geschützt. Vorvakuum Die thermische Vorbehandlung im Vorvakuum sorgt für deutlich verbesserte Hafteigenschaften. Hauptkammer Die Super-Entspiegelung besteht aus sechs Schichten keramisch modifizierter Materialien, die im Ionen-Plasma-Prozeß aufgebracht werden. Entnahmetank Monomere Siloxane reagieren an der Glasoberfläche zu einer hochvernetzten Schicht, dem Clean-Coat. Abb. 6: Herstellung von dünnen Schichten: Vorbehandlung, Aufdampfen, Nachbehandlung

56 Prof. Dr. F.-M. Rateike: Optische Technologien Kapitel 4 Bei der thermischen Vorbehandlung werden die gereinigten Substrate zusätzlich aufgeheizt, um Verunreinigungen, die immer noch auf der Oberfläche haften, zu entfernen. Speziell Wasser, aber auch Lösungsmittelreste haften hartnäckig an der Oberfläche. Durch Temperaturerhöhung wird die thermische Desorption gefördert, so dass nach einiger Zeit kaum noch Verunreinigungen auf der Oberfläche des Substrats haften. Diese Reinigungsmethode wird in der Vakuumtechnik schon seit sehr langer Zeit angewendet. Der eigentliche Aufdampfprozess im Ultrahochvakuum hat zum Ziel, eine Anzahl dielektrischer Schichten mit definiertem Brechungsindex und definierter Dicke auf das Substrat aufzubringen. Üblicherweise werden alternierend Schichten mit abwechselnd hohem und niedrigem Brechungsindex aufgedampft. Dadurch kommt es an jeder Grenzfläche einer Schicht zu Reflexionen. Das Ziel ist, dass alle reflektierten Wellen zusammen sich durch Interferenz auslöschen. Der Spektralbereich, in dem dies erfolgen soll, hängt von der Verwendung des Substrats ab. Brillengläser sollen im gesamten sichtbaren Spektralbereich einen geringen Reflexionsgrad aufweisen, Laserspiegel können diese Eigenschaft bei einer Wellenlänge haben. Als Beispiel sei ein roter Helium-Neon-Laserspiegel angeführt: Auf der inneren Seite muss er einen hohen Reflexionsgrad für das Laserlicht ( = 633 nm) haben, auf der äußeren darf er bei dieser Wellenlänge kein Licht reflektieren. Die Dicke der Schichten ist so bemessen, dass die optische Dicke (geometrische Dicke x Brechungsindex) für AR-Schichten eine viertel Wellenlänge beträgt, während reflektierende Schichten (dielektrische Spiegel) optische Dicken bei einer halben Wellenlänge aufweisen. Bei der Berechnung der erforderlichen Dicken sind eventuell vorhandene Phasensprünge zu berücksichtigen. Heute werden solche Schichten ausschließlich mit Computerprogrammen berechnet. Diese erlauben auch, über größere Wellenlängebereiche hohe oder niedrige Reflexionsgrade zu erzielen. Eine sehr wichtige Aufgabe ist die Kontrolle der Schichtdicke. Dies geschieht üblicherweise mit Hilfe von Quarz-Schwingkristallen. Diese haben eine Resonanzfrequenz, die u.a. durch die Masse des Kristalls bestimmt wird. Ändert sich die Masse, wenn der Kristall zusammen mit dem Substrat bedampft wird, so ändert sich die Resonanzfrequenz. Diese wird ständig automatisch gemessen. Da man die Dichte des aufgedampften dielektrischen Materials kennt, kann man die Schichtdicke berechnen. Daneben gibt es auch optische Verfahren, welche ständig die Transmission von Substrat und bereits aufgedampften Schichten messen und so die Schichtdicken noch während der Deposition bestimmen. Die meisten dielektrischen Materialien haben einen sehr hohen Schmelzpunkt, über welchen hinaus sie erhitzt werden müssen. Das Erhitzen geschieht meist mit Hilfe von Elektronenkanonen, welche einen Elektronenstrahl mit hoher kinetischer Energie auf das feste dielektrische Material schießen. Die Elektronen geben ihre kinetische Energie an das Material ab, so dass es lokal verdampft. Da es im UHV praktisch keine Stöße mit dem Restgas gibt, können die verdampften Moleküle oder Atome in direkter Linie auf das Substrat fliegen und sich dort festsetzen. Allerdings sind derart deponierte Schichten nicht sehr homogen. Man kann die Homogenität und damit die mechanischen Eigenschaften der Schichten dadurch verbessern, dass man während der Deposition zusätzlich Ionen auf die Schichten schießt. Dieses sog. Ionenplasmaverfahren ist weit verbreitet. Brillengläser, die ständig der Verunreinigung ausgesetzt sind, können zusätzlich eine Schmutz abweisende Oberflächenschicht erhalten. Diese wird im Vakuum durch Plasmadeposition erzeugt. Man verwendet meist Siloxane, die durch diesen Prozess stark vernetzt werden und sehr haltbare Schichten ergeben

57 Prof. Dr. F.-M. Rateike: Optische Technologien Kapitel 4 Abb. 63: Vergleich der konventionellen Beschichtung (links) mit der Beschichtung nach dem lonenplasma-verfahren (rechts). Ohne Ionenbeschuss weist die Schicht eine lockere Struktur auf. Die Homogenität ist nicht optimal (links untern) Im Ionenplasma-Verfahren werden energiereiche Gasionen zugeführt (rechts oben), die durch Energieabgabe als Platzanweiser für die sich anlagernden Quarzatome wirken. Das Ergebnis ist eine in Härte und Abriebfestigkeit verbesserte Schicht (rechts unten). Abb. 64 zeigt noch einmal den Aufbau und die Wirkung einer Breitband-Antireflexschicht auf einem Brillenglas. Abb. 64: Links der Aufbau der AR-Schicht. Neben den für die optische Wirkung erforderlichen dielektrischen Schichten (hier 6 Stück) finden wir auch noch Hartschicht und Haftvermittlerschicht, sowie die Schmutz abweisende Siloxanschicht (Clean-Coat). Rechts die Wirkung der Schicht: der Reflexionsgrad im sichtbaren Spektralbereich liegt überall unter %. Zum Vergleich ist der Reflexionsgrad des unbeschichteten Substrats eingezeichnet

58 Prof. Dr. F.-M. Rateike: Optische Technologien Kapitel Farben dünner Schichten Dünne Schichten, wie z.b. die Lamellen von Seifenblasen oder Ölschichten auf Wasser zeigen im reflektierten Licht Interferenzfarben. Dieser Effekt kann sehr einfach erklärt werden, wenn man die Interferenz der beiden Lichtwellen, die auf der Vorderseite bzw. der Rückseite der Schicht reflektiert werden, untersucht. Abb. 66 zeigt einen einfallenden Lichtstrahl (0), der auf eine dünne Wasserschicht mit der Dicke t fällt. Es wird auf der Vorder- und der Rückseite der Schicht reflektiert (Strahl bzw. ). Abb. 65: Reflexion an einer Seifenblase. Durch Interferenzeffekt ist das reflektierte Licht bunt. Wegen des kleinen Brechungsindex des Wassers (n Wasser =,33) haben die beiden reflektierten Wellen ( bzw. ) annähernd gleiche Amplituden. Ferner erhält die an der Vorderseite der Schicht reflektierte Welle () wegen des Brechungsindexsprungs von (Luft) auf,33 einen zusätzlichen Phasensprung von 80. Weisen die reflektierten Strahlen nun einen Gangunterschied von / auf, also einen Phasenunterschied von 80 oder ein ungerades Vielfaches davon, so löschen sie sich gegenseitig aus, d.h. dieses Licht fehlt in der Reflexion. Benachbarte Wellenlängen werden nicht komplett ausgelöscht, sondern nur abgeschwächt. Das Auge nimmt das reflektierte Licht dann als bunt wahr. Abb. 67: Reflexion an dünnen Wasserfilmen (Seifenblasen) bei senkrechtem Einfall. Filmdicke 300 nm (blaue Kurve) bzw. 600 nm (rote Kurve). Man sieht, dass einzelne Wellenlängen (Farben) unterdrückt werden: Die Filme sehen bunt aus. Abb. 66: Licht, das auf eine dünne Wasserschicht (z.b. Seifenblase) fällt, wird an der Vorder- und Rückseite der Schicht reflektiert. Abb. 67 zeigt dies beispielhaft für zwei Wasserschichten (n=,33). Man sieht, dass der Reflexionsgrad, der hier auf im Maximum normiert ist, mit der Wellenlänge variiert. Da nun im reflektierten Licht nicht mehr alle Farben vertreten sind, wird es vom Auge als bunt empfunden. Ein interessanter Fall ergibt sich auch, wenn die Schicht so dünn ist (t 0), dass der durch die Dicke bedingte Teil des Gangunterschiedes Null wird. Dann bleibt aber immer noch der Phasensprung von 80 bei der Reflexion an der vorderen Grenzfläche: Unabhängig von der Wellenlänge werden die reflektierten Strahlen ausgelöscht. Die Schicht erscheint schwarz (vgl. Abb. 65)

59 Prof. Dr. F.-M. Rateike: Optische Technologien Kapitel Berechnung von Laserspiegeln Eine wichtige Anwendung der Interferenz an dielektrischen Vielfachschichten ist die Berechnung von Laserspiegeln. Hier werden ggf. sehr viele Schichten aufeinander angebracht, um die gewünschte Abhängigkeit des Reflexionsgrades von der Wellenlänge zu erhalten, insbesondere wenn ein größerer Wellenlängebereich abgedeckt werden soll. Ende der 70er Jahre versuchte die Firma Balzers Dünne Schichten (Liechtenstein), derartige hochreflektierende Laserspiegel (R>99%) für den sichtbaren Wellenlängenbereich herzustellen. Der Vorteil dieser Spiegel war, dass man damit Farbstofflaser mit den verschiedensten Laserfarbstoffen betreiben konnte, ohne die Spiegel wechseln zu müssen. Diese Spiegel bestanden aus etwa 00 Schichten und funktionierten hervorragend, nur waren sie leider unbezahlbar, so dass niemals ein kommerzielles Produkt daraus wurde. Heute werden Laserspiegel mit dem Computer entworfen und optimiert. Als Beispiel sei ein Einkoppelspiegel für einen Titan-Saphir-Laser genannt, der folgende Spezifikationen erfüllen muss:. Hohe Transmission (HT) im Bereich nm für das Pumplicht (54,5 nm von einem Argon-Ionenlaser oder 53 nm von einem frequenzverdoppelten Nd:YAG-Laser).. Hohe Reflexion (HR) im Bereich nm für das Ti:Saphir-Laserlicht. Abb. 68: Berechnung von Ti:Saphir-Laserspiegeln, erster Entwurf. Der erste Entwurf (Abb. 68) geht von nicht absorbierenden und nicht dispersiven Schichten aus ZnS als hoch brechendem (n=,35) und SiO als niedrig brechendem (n=,46) Material aus. Es werden 6 Doppelschichten verwendet. Die Schichtdicken betragen jeweils /4. In den folgenden Schritten (hier nicht gezeigt) optimiert der Rechner die Dicken der Schichten, berücksichtigt die schwache Absorption von ZnS, optimiert nochmals die Dicken, berücksichtigt die Dispersion und optimiert nochmals die Dicken. Der endgültige Entwurf ist in Abb. 69 dann dargestellt. Auf den ersten Blick scheint er schlechter zu sein als der erste Entwurf, man muss jedoch berücksichtigen, dass der erste Entwurf von idealisierten Daten ausgeht, während im endgültigen Entwurf die realen Materialparameter (Absorption und Dispersion) berücksichtigt sind. Die Transmission für das Pumplicht beträgt 97 98%, während das Licht des Ti:Saphir-Lasers bis auf die Bereiche der ZnS-Absorption besser als 99% reflektiert wird. Abb. 69: Berechnung von Ti:Saphir-Laserspiegeln, endgültiger Entwurf

60 Prof. Dr. F.-M. Rateike: Optische Technologien Kapitel Beugung von Licht 4.4. Vielstrahlinterferenz Wir betrachten den Fall, dass sich an einem Ort N Wellen mit gleicher Amplitude (hier A = ) überlagern, die jedoch gegeneinander eine konstante Phasendifferenz aufweisen, d.h. A 0 =, A = e i, A = e i A N- = e (N-)i Für die resultierende Amplitude A res erhalten wir mit der Summenformel für die geometrische Reihe: in e A e Wir beobachten jedoch die Intensität, d.h. I ~ A res also durch Multiplikation mit dem konjugiert Komplexen von A res : Ausmultiplizieren ergibt: oder als Gleichung I ~ A * res A res res ( e ( e i in i )( e )( e cos(n) sin ( I ~ cos sin ( N sin( ) I I 0 sin( ) Diese Verteilung ist in Abb. 70 für N = 0 dargestellt. N ) in i ) ) ) Abb. 70: Intensitätsverteilung bei der Überlagerung von 0 Strahlen mit gleicher Amplitude und konstanter Phasendifferenz. Die großen Maxima erhält man für = Beugung am Spalt Man kann das Ergebnis der Vielstrahlinterferenz nun anwenden, um die Intensitätsverteilung I() des an einen Spalt mit der Breite d gebeugten Lichtes (Wellenlänge ) zu berechnen. Die dazu benutzte Geometrie ist in Abb. 7 dargestellt. Der Spalt wird von links mit einer ebenen monochromatischen Welle, z.b. einem Laserstrahl, beleuchtet. Wir betrachten die Strahlen, die vom Spalt aus in eine Richtung gebeugt werden. Die beiden Randstrahlen weisen einen Gangunterschied (GU) GU = d sin zueinander auf

61 Prof. Dr. F.-M. Rateike: Optische Technologien Kapitel 4 Daraus resultiert eine Phasendifferenz = GU/. Teilt man das in Richtung gebeugte Strahlenbündel in N nebeneinander liegende Teilstrahlen, auf, so haben diese gegenseitig eine Phasendifferenz = /N und eine Amplitude A = A 0 /N. Abb. 7: Beugung an einem Spalt mit der Bereite d. Mit der Gleichung für die Vielstrahlinterferenz erhält man dann wegen = N: A sin( ) 0 I ~ N sin( ) N Macht man jetzt den Grenzübergang N, so wird N sehr klein und man kann den Nenner nähern durch und erhält jetzt I ~ I 0 sin sin( ( ) ) N I 0 N sin( ( dsin dsin ) Dieses ist die Gleichung für die Intensität des an einem Spalt der Breite d in Richtung gebeugten Lichts mit der Wellenlänge Diese Verteilung ist in Abb. 7 dargestellt. ) Abb. 7: Beugung von monochromatischem Licht der Wellenlänge an einem Spalt der Breite b

62 Prof. Dr. F.-M. Rateike: Optische Technologien Kapitel Beugung an einer Lochblende Abb. 73: Beugungsbild einer Lochblende mit dem Durchmesser d bei Beleuchtung mit monochromatischem Licht der Wellenlänge. Das Beugungsbild einer Lochblende besteht aufgrund der Rotationssymmetrie der Blende aus einem konzentrischen System von hellen und dunklen Ringen, wobei in der Mitte ein sehr helles Maximum vorhanden ist. Anstelle der Sinusfunktion tritt jedoch jetzt die Besselfunktion erster Ordnung J () auf, wobei die Phasendifferenz der Randstrahlen ist. Die analytische Beschreibung liefert: J( dsin )/ I( ) I0 ( dsin )/ Die Nullstellen der Besselfunktion liegen bei anderen Werten als die der Sinusfunktion, welche bei der Spaltblende auftritt, jedoch ergibt sich eine formale Ähnlichkeit der Abbildungen, wobei die Intensität der hellen Ringe geringer ist als bei den Nebenmaxima am Beugungsspalt. Die Nullstellen der Besselfunktion J (x) liegen bei x =,,,3, 3,3, Gerade die erste Nullstelle hat große Bedeutung bei der Berechnung der Winkelauflösung optischer Geräte und bei der Messung von Teilchengrößenverteilungen mit Hilfe von Laserlichtbeugung Beugung und Auflösung Wenn man über die Auflösung von optischen Instrumenten spricht, meint man deren Fähigkeit, sehr nah beieinander liegende Objekte noch getrennt wieder zu geben. Dabei muss man die Beugung an der Fassung der Objektivlinse berücksichtigen. Diese Fassung wirkt als Lochblende, und nach dem oben Gesagten erzeugt sie ein Beugungsmuster, das aus einem zentralen Maximum, abwechselnd von dunklen und hellen Ringen umgeben, besteht. Dieses Maximum ist so klein, dass Beobachter es bei normalen Instrumenten nicht wahrnehmen. Lediglich bei astronomischen Fernrohren kann man es erkennen, und es bestimmt die Größe des Bildes eines Sterns. Abb. 74 zeigt links das Beugungsmuster einer Kreisblende, die von zwei inkohärenten Quellen beleuchtet wird, wenn deren Winkelabstand viel gößer ist als, /d. Rechts liegt an der Grenze der Auflösung, d.h. = c =, /d. Für kleinere Werte von a kann man nicht mehr erkennen, ob es sich um zwei getrennte Objekte handelt. Da bei astronomischen Fernrohren d sehr groß ist, können diese zwei Sterne, die sehr nah beieinander stehen, noch getrennt wiedergeben

63 Prof. Dr. F.-M. Rateike: Optische Technologien Kapitel 4 Abb. 74: Zwei inhomogene Lichtquellen beleuchten eine Kreisblende. Bei genügend großem Winkelabstand kann man die Beugungsbilder trennen (links). Rechts ist der Winkelabstand gleich dem kritischen Winkel. Für noch kleinere Abstände kann man nicht entscheiden, ob es sich um eine oder zwei Quellen handelt. Das Hale-Teleskop auf dem Mt. Palomar hat einen Spiegeldurchmesser von 5 m. Nimmt man als Wellenlänge des Lichts einen Wert von 500 nm an, so erhält man: = c =, /d =, 0-7 rad. Bei einer Brennweite des Hauptspiegels von f = 6,76 m ergibt sich für den Durchmesser des Beugungsscheibchens ein Wert von 0, mm. Man muss dabei beachten, dass es sich dabei nicht um den Durchmesser des Bildes des betreffenden Sterns handelt, sondern um die Größe des Beugungsscheibchens

64 Doppelbrechung Bilder einer Linie bei Beobachtung durch einen Kochsalz- Einkristall (NaCl, isotrop, links) und einen Calcit-Einkristall (CaCO 3, doppelbrechend, rechts). Quelle: Hecht Optics

65 Brechungsindices einiger einachsig doppelbrechender Kristalle Kristall n o n e Turmalin Calcit Quarz Natriumnitrat Eis Rutil (TiO ) Tabelliert sind der ordentliche Brechungsindex n o und der außerordentliche Brechungsindex n e bei der Wellenlänge 589,3 nm (Natrium D-Linie).

66 Wellenlängenselektion doppelbrechendes Filter Zur Wellenlängenselektion wird das Filter um die Flächennormale gedreht. Quelle: Demtröder - Laserspektroskopie Transmissionskurve T() für ein dreistufiges doppelbrechendes Filter im Laserresonator (Plattendicken d =0,34 mm, d =4d, d 3 =6d ).

67 x z Indexellipsoid y Das Indexellipsoid eines einachsig doppelbrechenden Kristalls ist ein Rotationsellipsoid mit der z-achse als Symmetrieachse. Die Schnittpunkte mit den Achsen sind bei x=y=n o und z=n e. Die mathematische Darstellung ist: x n o y n o z n e Man benutzt das Indexellipsoid, um die Doppelbrechung bei Lichtausbreitung unter einem Winkel zur z-achse zu berechnen.

68 x z y Indexellipsoid Sei k die Ausbreitungsrichtung unter dem Winkel zur optischen Achse (Symmetrieachse). Man schneidet dann das Indexellipsoid mit einer Ebene, auf der k senkrecht steht und die durch den Koordinatenursprung geht (graue Ebene). Die Schnittfläche hat dann ebenfalls die Form einer Ellipse. Die große Achse hat den Wert n e ( ) die kleine den Wert n o und es gilt: cos n o ( ) sin ( ) n e n e. ( ) n o und n e sind die tabellierten ordentlichen und außerordentlichen Brechungsindices (Haupt-achsen des Indexellipsoids).

69 Stokes- and Jonesvektoren für einige Polarisationszustände

70 Jones- und Mueller-Matrizen

71 Anti-Reflection Coating Dieses Bild zeigt die Wirkung einer Antireflexbeschichtung: Die Mitte dieser Polycarbonatscheibe ist beschichtet. Man kann ohne störende Reflexe hindurch sehen. Der unbeschichtete Rand der Scheibe zeigt die Oberflächenreflexion. From: Tipler - Physics

72 Antireflex-Beschichtung Beispiel: Carat von Carl Zeiss Aufbau der Carat-Beschichtung Deutliche Minimierung des Restreflexes bei Carat Quelle: Carl Zeiss

73 Beschichtungsanlage Vorvakuum Die thermische Vorbehandlung im Vorvakuum sorgt für deutlich verbesserte Hafteigenschaften. Hauptkammer Die Super-Entspiegelung besteht aus sechs Schichten keramisch modifizierter Materialien, die im lonenplasma- Prozeß aufgebracht werden. Entnahmetank Monomere Siloxane reagieren an der Glasoberfläche zu einer hochvernetzten Schicht, dem Clean-Coat Quelle: Carl Zeiss

74 Ionenplasma-Verfahren Ohne Ionenbeschuss: lockere Struktur Mit Ionenbeschuss: höhere Packungsdichte Im lonenplasma-verfahren werden energiereiche Gasionen zugeführt, die durch Energieabgabe als Platzanweiser für die sich anlagernden Quarzatome wirken. Das Ergebnis ist eine in Härte und Abriebfestigkeit verbesserte Schicht. Quelle: Carl Zeiss

75 MgF -Einfachschicht auf Glas MgF -Einfachschicht bei schrägem Einfall Reflexionsgrad bei schrägem Einfall Quelle: Melles-Griot Optics Guide

76 MgF -Einfachschicht Einfluss des Brechungsindex des Substrats Reflexion bei schrägem Einfall Quelle: Melles-Griot Optics Guide

77 Dispersion des Brechungsindex Abhängigkeit des Brechungsindex von der Wellenlänge für verschiedene Gläser. From: Tipler - Physics

78 Brechungsindex verschiedener Gläser Quelle: Melles-Griot Optics Guide

79 Wavelengths of frequently used spectral lines From: TIE-9: Refractive Index and Dispersion (Schott)

80 Sellmeier-Gleichung Darstellung der Brechzahl vongläsern gegen die Wellenlänge. Im Diagramm werden die gemessenen Werte und entsprechende parametrische Anpassungen der Cauchy- bzw. Sellmeier-Gleichung miteinander verglichen. Die Sellmeier-Gleichung kann als Erweiterung der Cauchy-Gleichung aufgefasst werden, sie lautet: n B B B3 ( ) = C - C - C mit B,,3 und C,,3 als experimentell ermittelte Sellmeier-Koeffizienten. Die B,,3 sind dimensionslos, und die C,,3 werden gewöhnlich in μm² angegeben. Beispiel: Koeffizienten für das Borosilikatglas BK7 Koeffizient B,0396 B 0, B 3, Wert C 6, μm C, μm C 3 03, μm 3 Quelle: Wikipedia

81 Die Abbe-Zahl Zur Kennzeichnung der Dispersionseigenschaften eines Glases dient die Abbe-Zahl: n n n e F' C' Eine niedrige Abbe-Zahl kennzeichnet eine starke Dispersion. Die Abbe-Zahl sollte nicht kleiner als 30 sein, um störende Farbsäume beim Blick durch die Randbereiche eines Brillenglases zu vermeiden. Je höher die Brechzahl n, um so: höher der Reflexionsgrad niedriger der Transmissionsgrad höher die Hauptdispersion n niedriger die Abbe-Zahl Brechzahl und Abbe-Zahl Quelle: ZEISS

82

83 Materialeigenschaften verschiedener Gläser Quelle: Melles-Griot Optics Guide

84 Innere Transmission verschiedener Gläser Quelle: Melles-Griot Optics Guide

85 Quelle: Schott - Glasfilter

86 Neutralfiltersatz (Schott) die Tabelle.

87 Optisches Kronglas Brechungsindex Externe Transmission Quelle: Melles-Griot Optics Guide

88 Transmissionskurven Quelle: Melles-Griot Optics Guide

89 Cadmium Telluride Cadmium telluride has an infrared transmission range which extends from µm to greater than 5µm in the mid-ir. The absorptivity of II-VI electro-optic grade CdTe at 0.6µm is less than 0.00/cm, however, due to its thermal conductivity (about one third that of ZnSe) CdTe is limited to use in CO laser systems with CW power levels up to a few hundred watts. CdTe is an ideal choice for filter substrates in the to 5µm region where many materials have lowered or variable transmission due to the presence of absorption bands. Material Properties Optical Properties Bulk Absorption 0.6µm Temp. Change of Refractive 0.6µm Thermal Properties Thermal Conductivity Specific Heat Linear Expansion 0 C Mechanical Properties Young's Modulus Rupture Modulus Knoop Hardness Density Poisson's Ratio Electro-Optic Properties Clamped Unclamped Divide dyne/cm by 0 to give N/m <0.008/cm 07x0-6 / C 0.06W/cm/ C 0.J/g/ C 5.9x0-6 / C 3.70 dyne/cm.0 8 dyne/cm 45 kg/mm 5.85 g/cm 3 4.x0 - m/v 5.5x0 - m/v 0.4

90 Wavelength (µm) Index Wavelength (µm) Index Wavelength (µm) Index Wavelength (µm) Index From: II-VI, Inc.

91 Gallium Arsenide Semi-insulating optical GaAs provides an alternative to ZnSe in medium and high power CW CO laser systems for lenses and rear mirrors. GaAs is particularly useful in applications where toughness and durability are important. Its hardness and strength make GaAs a good choice where dust or abrasive particles tend to build up on, or bombard, the optical surface. Softer substrates allow particles to imbed in the optic, even when the best of coatings are used. Often in cases where frequent cleaning by wiping is required, use of GaAs will extend optic lifetime. Because most GaAs is manufactured for semiconductor, rather than optical applications careful screening of incoming material is vital in producing quality GaAs optics. At II-VI, we utilize our laser vacuum calorimetry capability and other techniques to screen out materials with voids, inclusions or other defects which cause inferior optical performance. GaAs optics are limited by crystal growth technology to diameters of typically less than 0cm. The material is non-hygroscopic, safe to use in laboratory and field applications, and chemically stable except when contacted with strong acids. Material Properties Optical Properties Bulk Absorption 0.6µm Temp. Change of Refractive 0.6µm Thermal Properties Thermal 0 C Specific Heat Linear Expansion 0 C Mechanical Properties Young's Modulus Rupture Modulus Knoop Hardness Density Poisson s Ratio Divide dyne/cm by 0 to give N/m <0.0/cm 49x0-6 / C 0.48W/cm/ C 0.35J/g/ C 5.7x0-6 / C 8.3X0 dyne/cm 3.8X0 8 dyne/cm 750 kg/mm 5.37g/cm 3 0.3

92 Wave length (µm) Index Wave length (µm) Index Wave length (µm) Index Wave length (µm) Index From: II-VI, Inc.

93 Germanium Germanium is a versatile infrared material used commonly in imaging systems and instruments in the to µm spectral region. It is utilized as a substrate for lenses, windows, and output couplers for low power CW, as well as pulsed TEA, CO lasers. The lowest absorbing Ge optics are limited to a throughput power range of 50 to 00 watts before the onset of thermal lensing or thermal runaway. These problems can be minimized by properly heatsinking the optic and by the careful maintenance of uncontaminated optical surfaces. Ge is non-hygroscopic and non-toxic, has good thermal conductivity, excellent surface hardness and good strength. II-VI carefully monitors the 0.6µm absorptivity of Ge used in laser applications to assure that thermal lensing or thermal runaway and fracture will be minimized. One ideal laser application for Ge is a >99% reflecting back mirror for CO lasers with built-in power meters. A high reflecting, low absorption dielectric coating is put on one side and an AR coating on the other. The laser operates on the feedback from the high reflecting side, but enough power leaks through for monitoring by a power meter. II-VI supplies these optics for a number of commercial laser models. Material Properties Optical Properties Bulk Absorption 0.6µm Temp. Change of Refractive 0.6µm Thermal Properties Thermal Conductivity Specific Heat Linear Expansion 0 C Mechanical Properties Young's Modulus Rupture Modulus Knoop Hardness Density Poisson's Ratio Divide dyne/cm by 0 to give N/m <0.03/cm 408x0-6 / C 0.59W/cm/ C 0.3J/g/ C 5.7x0-6 / C 00 dyne/cm dyne/cm 69 kg/mm 5.3 g/cm 3 0.7

94 Wavelength (µm) Index Wavelength (µm) Index Wavelength (µm) Index Wavelength (µm) Index From: II-VI, Inc.

95 Saphir Brechungsindex Externe Transmission Quelle: Melles-Griot Optics Guide

96 Zerodur Brechungsindex Linearer Ausdehnungskoeffizient Quelle: Melles-Griot Optics Guide

97 Zinc Sulfide Two grades of ZnS are available for use in imaging systems and instruments. Regular grade material is grown by the chemical vapor deposition process. This material is often used in the 3 to 5µm and 8 to µm region. It has reasonable hardness and is moderately priced. It is available in large sizes as well. ZnS regular grade MultiSpectral grade ZnS is treated after growth to eliminate microscopic voids and defects which occur in the Regular grade, thus extending the usefulness of this material to include the visible region. ZnS MultiSpectral Grade Material Properties Regular MultiSpectral Optical Properties Bulk Absorption 0.6µm Temp. Change of Refractive 0.6µm Temp. Change of Refractive 0.63µm Refractive Index Inhomogeneity Thermal Properties Thermal Conductivity Specific Heat Linear Expansion 0 C Mechanical Properties Young's Modulus Rupture Modulus Knoop Hardness Density Poisson's Ratio Divide dyne/cm by 0 to give N/m <0.5/cm 4x0-6 / C 0.6µm 0.67W/cm/ o C 0.469J/g/ o C 6.8x0-6 / o C 7.45X0 dyne/cm 0.3X0 8 dyne/cm 0-40 kg/mm 4.08 g/cm <0.0/cm 54x0-6 / C 63.8nm 0.7W/cm/ o C 0.57J/g/ o C 6.5x0-6 / o C 7.5X0 dyne/cm 6.9X0 8 dyne/cm kg/mm 4.09 g/cm 3 0.7

98 Wavelength (µm) Index Wavelength (µm) Index Wavelength (µm) Index Wavelength (µm) Index From: II-VI, Inc.

99 Tipler: Physik, Kapitel 3 Optische Instrumente - 3 -

100 Tipler: Physik, Kapitel 3 Optische Instrumente

101 Tipler: Physik, Kapitel 3 Optische Instrumente

102 Tipler: Physik, Kapitel 3 Optische Instrumente

103 Tipler: Physik, Kapitel 3 Optische Instrumente

104 Tipler: Physik, Kapitel 3 Optische Instrumente

105 Tipler: Physik, Kapitel 3 Optische Instrumente

106 Tipler: Physik, Kapitel 3 Optische Instrumente

107 Tipler: Physik, Kapitel 3 Optische Instrumente