5 Lineare Optimierung

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1 5 Lineare Optimierung 51 Lineare Optimierungsprobleme Eine lineare Zielfunktion f : R n R, f(x) = c 0 + c 1 x c n x n, x = (x 1,,x n ), (Z) in n Variablen ist unter bestimmten linearen Nebenbedingungen a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n a 1 (NB) a m1 x 1 + a m2 x a mn x n a m und den Nichtnegativitätsbedingungen x 1 0,,x n 0 (NN) zu maximieren bzw zu minimieren Eine solche Aufgabe heißt lineares Optimierungsproblem (LOP) Definition 51 Die Menge ZB aller Punkte x = (x 1,,x n ) R n, deren Koordinaten den Bedingungen (N) und (NN) genügen, ZB = {x R n x erfüllt (NB) und (NN)} heißt zulässiger Bereich (ZB) für das LOP 81

2 5 Lineare Optimierung Definition 52 Ein Punkt x (0) = (x (0) 1,,x(0) n ) R n wird als optimale Lösung (oder Lösung) des LOP bezeichnet, falls c 0 +c 1 x (0) 1 + +c n x (0) n = f(x (0) ) f(x) = c 0 +c 1 x 1 + +c n x n für alle x ZB (Max) oder c 0 + c 1 x (0) c n x (0) n = f(x (0) ) f(x) = c 0 + c 1 x c n x n für alle x ZB (Min) gilt Im Fall (Max) heißt x (0) maximale, im Fall (Min) minimale Lösung Beispiel 53 Ein Erzeugnis E kann mittels zweier Verfahren V 1, V 2 aus drei Zwischenprodukten Z 1, Z 2, Z 3 hergestellt werden, die nur in bestimmten Umfang zur Verfügung stehen Die Materialverbrauchsnormen (Bedarf an Mengeneinheiten von Z 1, Z 2, Z 3 je Mengeneinheit von E) und die verfügbaren Mengeneinheiten von Z 1, Z 2, Z 3 sind tabellarisch gegeben: Zwischenprodukt Materialverbrauchsnormen verfügbare Mengeneinheiten für V 1 für V 2 Z Z Z Die Produktion von E bezüglich V 1 und V 2 ist so zu gestalten, dass die Gesamtproduktion maximal wird Bezeichnet man mit x 1 bzw x 2 die Mengeneinheiten (ME) von E, die nach V 1 bzw V 2 produziert werden, so ergibt sich das LOP z = x 1 + x 2 max (Z) mit den Nebenbedingungen (NB) und den Nichtnegativitätsbedingungen (NN) 04x x x x 2 40 (N) 20x 2 24 x 1 0, x 2 0 (NN) Diese Nichtnegativitätsbedingungen garantieren, dass die Lösung in einem praktisch sinnvollen Bereich gesucht wird Die Menge aller Punkte (x 1,x 2 ), die den Bedingungen (NN) und (NN) genügen, ist der zulässige Bereich ZB, siehe Bild: 82

3 51 Lineare Optimierungsprobleme 16 04x 1 + 2x 2 = x x 2 = x 2 = (15, 10) 8 6 ZB x 1 + x 2 = x 1 + x 2 = Betrachten wir nun Niveaumengen N C = {x ZB f(x) = C} {x R 2 x 1 + x 2 = C} Diese liegen auf parallelen Geraden x 1 + x 2 = C Daher können wir hier die Lösung auf graphischem Wege (15,10) einer der Niveaumengen mit dem Rand von ZB finden Wir erhalten die eindeutige Maximalstelle (15,10) mit dem Maximum z max = 25 Beispiel 54 Wir betrachten das LOP z = 2x 1 + x 2 max (Z) 04x x 2 26, 20x , 20x 2 24, (N) x 1 0, x 2 0 (NN) 83

4 5 Lineare Optimierung 16 04x 1 + 2x 2 = x x 2 = x 2 = (15, 10) 8 6 ZB x 1 + 2x 2 = x 1 + 2x 2 = In diesem Fall ist das LOP mehrdeutig lösbar: Für x 1 [15,20] und x 2 = 40 2x 1 ist z max = 40 das Maximum Beispiel 55 Wir betrachten das LOP z = x 1 + x 2 max (Z) 20x 2 24, (N) x 1 0, x 2 0 (NN) x 2 = ZB 4 2 x 1 + x 2 =

5 51 Lineare Optimierungsprobleme In diesem Fall existiert kein Maximum, z = x 1 + x 2 kann beliebig groß sein Beispiel 56 Wir betrachten das LOP z = x 1 + x 2 max (Z) 20x 2 24, (N) x 1 0, x 2 0 (NN) In diesem Fall gilt ZB =, da sich (N) und (NN) widersprechen Bemerkung 57 Diese Beispiele zeigen bereits die charakteristischen Eigenschaften eines LOP: Die optimalen Lösungen liegen außer im trivialen Fall f(x) = const immer auf dem Rand des zulässigen Bereichs ZB Genauer: Optimale Lösungen liegen in den Eckpunkten des zulässigen Bereiches und auf Hyperflächen auf den Rand von ZB, deren Ecpkunkte optimal sind Ein LOP kann eindeutig lösbar, mehrdeutig lösbar (in diesem Fall gibt es unendlich viele Lösungen) oder nicht lösbar sein Bemerkung 58 Eine graphische Lösung wie in den obigen Beispielen ist nur bei höchstens zwei Variablen möglich, wenn also ZB ein Bereich in der Ebene ist Bemerkung 59 Allgemein sind die Eckpunkte von ZB zu bestimmen, in denen das Optimum vorliegt Der zulässige Bereich ZB ist eine Teilmenge des R n, dessen Rand durch Hyperflächen beschrieben wird Eine solche Menge heißt auch Simplex Zu untersuchen sind also die Ecken des Simplizes ZB 85

6 5 Lineare Optimierung 52 Normalform der linearen Optimierung 521 Die Normalform Um zu einem allgemeinenverfahrenzur LösungvonlinearenOptimierungsproblemen (LOP) zu gelangen, betrachtet man eine Normalform der linearen Optimierung (NLO): z = f(x) = c 0 + c 1 x c n x n min (Z) a 11 x a 1n x n = a 1 (G) a m1 x a mn x n = a m, x 1 0,, x n 0 (NN) Mit Hilfe des Matrixkalküls kann eine NLO in der folgenden Weise dargestellt werden: z = f(x) = c 0 + c x min Ax = a, x 0, (Z) (G) (NN) wobei c = c 1 c n, x = x 1 x n, A = a 11 a 1n a m1 a mn, a = gelten und x 0 genau dann gilt, wenn x i 0 für alle i = 1,,n gilt a 1 a m 522 Überführung in die Normalform Jedes LOP ist falls es nicht bereits diese Form besitzt in die Normalform der linearen Optimierung (NLO) überführbar mit folgenden Überführungsregeln: (Ü 1 ) Überführung in Minimierungsproblem: Ist z max als Aufgabenstellung gegeben, so verwendet man stets z = z min, d h, c 0, c 1 bis c n werden durch c 0, c 1 bis c n ersetzt 86

7 52 Normalform der linearen Optimierung (Ü 2 ) Beseitigung aller Ungleichungen in (NN): Schrittweise werden alle Ungleichungen, die nicht in (NN) enthalten sind, mittels Schlupfvariablen in die Form von Gleichungen überführt: 1 Ist α 1 x α n x n α die erste in (NN) enthaltene Ungleichung, so wird sie durch die Einführung der Schlupfvariablen x n+1 0 zur Gleichung α 1 x α n x n +x n+1 = α Ist α 1 x α n x n α die erste in (NN) enthaltene Ungleichung, so wird sie durch die Einführung der Schlupfvariablen x n+1 0 zur Gleichung α 1 x α n x n x n+1 = α 2 Die Zahl der Variablen wird von n auf n + 1 erhöht 3 Die Ungleichung x n+1 0 wird (NN) hinzugefügt 4 Mit c n+1 = 0 wird die Zielfunktion erweitert zu f(x) = c 0 + c 1 x c n+1 x n+1 min 5 Sind noch Ungleichungen in (NN) enthalten, beginne man wieder mit mit dem ersten Schritt (Ü 3 ) Beseitigung aller freien Variablen: Falls es im LOP freie Variablen x k gibt, d h die nicht der Restriktion x k 0 unterliegen, werden sie schrittweise entfernt: 1 Ist x k die erste freie Variable, so wird x k durch die Differenz xdie erste in (NN) enthaltene Ungleichung, so wird sie durch die Differenz der neuen Variablen x k x n+1 ersetzt 2 Die Zahl der Variablen wird von n auf n + 1 erhöht 3 Die Ungleichung x n+1 0 wird (NN) hinzugefügt 4 Mit c n+1 = c k wird die Zielfunktion erweitert zu c 0 + c 1 x c n+1 x n+1 min 5 Sind noch freie Variable vorhanden, beginne man wieder mit dem ersten Schritt 87

8 5 Lineare Optimierung Bemerkung 510 In (Ü 3 ) kann man x k auch durch die Differenz x n+1 x n+1 ersetzen Es ergeben sich dann c k = 0, c n+1 = 1, c n+1 = 1 und entsprechende Änderungen und Ergänzungen in (G) und (NN) Im Unterschied zur obiger (Ü 3 ) wird die Zahl der Variablen dadurch um 2 statt nur um 1 größer Für die so gewonnene Normalform (NLO) eines LOP gelten folgende Äquivalenzaussagen: Satz 511 Entsteht ein NLO aus einem LOP nach den Regeln (Ü 1 ), (Ü 2 ), (Ü 3 ), so ist das NLO genau dann lösbar, wenn das zugrundeliegende LOP lösbar ist Satz 512 Entsteht ein NLO aus einem LOP nach den Regeln (Ü 1 ), (Ü 2 ), (Ü 3 ), so ergibt jede Lösung der NLO genau eine Lösung der LOP, indem die eingeführten Schlupfvariablen unberücksichtigt bleiben und ursprünglich freie Variablen wieder als Differenz ihrer zugehörigen Variablen geschrieben werden Beispiel 513 Wir betrachten das LOP z = 3x 1 x 2 + 2x max (Z) x 1 + 2x 2 8, x 3 4, (N) x 1 0, x 3 0 (NN) Durch Anwendung von (Ü 1 ) ergibt sich z = 3x 1 + x 2 2x 3 4 min (Z) x 1 + 2x 2 8, x 3 4, (N) x 1 0, x 3 0 (NN) Durch zweimalige Anwendung von (Ü 2 ) ergibt sich z = 3x 1 + x 2 2x 3 +0x 4 + 0x 5 4 min (Z) x 1 + 2x 2 +x 4 = 8, x 3 +x 5 = 4, (G) x 1 0, x 3 0, x 4 0, x 5 0 (NN) Da x 2 noch eine freie Variable ist, muss noch (Ü 3 ) angewendet werden: z = 3x 1 +x 2 2x 3 + 0x 4 + 0x 5 x 6 4 min (Z) x 1 +2x 2 + x 4 2x 6 = 8, x 3 + x 5 = 4, (G) x 1 0, x 2 0, x 3 0, x 4 0, x 5 0, x 6 0 (NN) Das nun erhalten LOP ist eine NLO 88

9 53 Lösung einer Normalform der linearen Optimierung 53 Lösung einer Normalform der linearen Optimierung 531 Bestimmung einer zulässigen Basisdarstellung von (G) Damit eine NLO lösbar ist, ist notwendig, dass ihr zulässiger Bereich ZB nichtleer ist Hiefür ist notwendig, dass (G) lösbar ist Wir nehmen daher nun die Lösbarkeit von (G) an, da andernfalls NLO nicht lösbar ist Zur Ermittlung der Lösungen von (G) wird diesem, wie schon mehrfach durchgeführt, dass Tableau (G) x 1 x n 1 y 1 a 11 a 1n a 1 y m a m1 a mn a m oder kurz x 1 y A a zugeordnet Mittels des Austauschverfahrens mit Spaltentilgung (AVS) erhält man nach Durchführung aller möglichen Austauschschritte und Sortieren ein Tableau folgender Form: (T) x ν1 x νq 1 x µ1 b 11 b 1q b 1 x µp b p1 b pq b p y τp+1 b p+11 b p+1,q b p+1 y τm b m1 b mq b m Da eine Fortführung des AVS nicht möglich ist, gilt b ij = 0 für i = p + 1,,m, j = 1,q Da (G) als lösbar vorausgesetzt wurde, muss auch b i = 0 für i = p + 1,,m gelten Wir können daher in (T) die Zeilen mit den nichtausgetauschten y i streichen und erhalten ein Tableau der Form (B) x νq x νq 1 x µ1 b 11 b 1q b 1 x µp b p1 b pq b p 89

10 5 Lineare Optimierung mit p + q = n Definition 514 Das Tableau (B) wird als eine Basisdarstellung von (G) bezeichnet und heißt eine Basis von (G) Die Variablen B = (x µ1,,x µp ) x µ1,, x µp bezeichnet man dann als Basisvariablen und als Nichtbasisvariablen x ν1,, x νq Bemerkung 515 Die Basisdarstellung (B) ist nicht eindeutig Sie hängt von der Wahl und Reihenfolge der Pivotelemente in AVS ab Lemma 516 Die Lösungsmenge von (G) ist q {x R n x µi = b ij x νj + b i für i = 1,,p, x νj R für j = 1,,q} j=1 Für den zulässigen Bereich der NLO gilt q ZB = {x R n x µi = b ij x νj + b i 0 für i = 1,,p, x νj 0 für j = 1,,q} j=1 Definition 517 Eine spezielle Lösung von (G), bei der die Nichtbasisvariablen x ν1,, x νq gleich Null gesetzt werden, heißt eine Basislösung (BL) von (G), x µ1 = b 1, x µ2 = b 2,, x µp = b p und x ν1 = 0, x ν2 = 0,, x νq = 0 Bemerkung 518 Die Menge allerbasislösungenvon (G), welche (NN) erfüllen, ist diemenge der Eckpunkte des zulässigen Bereiches ZB der NLO 90

11 53 Lösung einer Normalform der linearen Optimierung Beispiel 519 Wir betrachten x 1 x 2 x 3 = 0 2x 1 + x 2 + x 3 = 9 x 1 + x 2 + x 3 = 6 2x 1 2x 2 + 2x 4 2x 5 = 0 (G) Dann ergibt sich eine Basisdarstellung z B in folgender Weise mittels AVS: (G) x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 1 y y y y K x 1 x 2 x 4 x 5 1 x y y y K x 2 x 4 x 5 1 x y x y K x 2 x 4 1 x y x x d h, wir erhalten (B) x 2 x 4 1 x x x als eine Basisdarstellung von (G) Daher ist x 1 = 3, x 2 = 0, x 3 = 3, x 4 = 0, x 5 = 3 ist eine Basislösung von (G) 91

12 5 Lineare Optimierung Bemerkung 520 Fasst man die Basisvariablen (nach eventuellem Umsortieren) zu einem p-dimensionalen Vektor x und die Nichtbasisvariablen zu einem q-dimensionalen Vektor ˆx zusammen, so hat die Basisdarstellung (B) die Form x = Bˆx + b mit B = b 11 b 1q b p1 b pq und b = b 1 b p (B) ˆx 1 x B b Satz 521 Eine Basisdarstellung (B) existiert genau dann, wenn (G) lösbar ist 532 Simplextableau Nach den Bemerkungen 59 und 518 müssen wir die Basislösungen von (G) untersuchen, welche (NN) erfüllen, da gerade sie die Ecken des Simplizes ZB beschreiben Definition 522 Eine Basisdarstellung (B) der NLO heißtzulässig, wenn b 1 0,, b p 0 in (B) gilt Lemma 523 Ist (B) eine zulässige Basisdarstellung der NLO, so gilt x = (x 1,,x n ) ZB mit x µ1 = b 1, x µ2 = b 2,, x µp = b p und x ν1 = 0, x ν2 = 0,, x νq = 0 Beweis Nach Konstruktion ist x Basislösung, also insbesondere Lösung von (G) Da (B) zulässig ist, erfüllt x auch (NN) und liegt somit in ZB Bemerkung 524 Durchdie Menge allerzulässigenbasisdarstellungendernlowirdfolglich die Menge aller zulässigen Basislösungen der NLO und damit die Menge aller Eckpunkte des zulässigen Bereiches ZB der NLO beschrieben Zu bestimmen sind nun die Ecken (d h zulässigen Basislösungen, d h zulässigen Basisdarstellungen) in denen das Minimum vorliegt Definition 525 Ist (B) eine zulässige Basisdarstellung der NLO, so heißt (B) Simplextableau (ST) 92

13 53 Lösung einer Normalform der linearen Optimierung Den Wert d 0 = f(x) der Zielfunktion f an der Stelle der Basislösung x erhält man auch dadurch, dass man unmittelbar von dem Tableau (B) x 1 y A a z c c 0 ausgeht und die z-zeile in die Austauschschritte einbezieht, die zur Basisdarstellung führen Die Basisdarstellung (B) hat in der um die z-zeile erweiterten Form folgende (tabellarische) Darstellung (ST) x ν1 x νq 1 x µ1 b 11 b 1q b 1 x µp b p1 b pq b p z d 1 d q d 0 Satz 526 Es sei (ST) ein (erweitertes) Simplextableau 1 Es gilt d 0 = c 0 + c µ1 b c µp b p 2 Wenn x eine zulässige Lösung ist, dann gilt f(x) = q d j x νj + d 0 j=1 3 Wenn x eine zulässige Basislösung, dann gilt f(x) = d 0 Bemerkung 527 Nach Satz 521 wissen wir, dass die Menge der Basisdarstellungen zu (G) nichtleer ist Offen ist aber noch, ob es auch zulässige Basisdarstellungen der NLO gibt und wie man gegebenenfalls eine zulässige Basisdarstellungen der NLO bestimmt Diese Fragen werden später beantwortet 533 Optimalität und Simplexkriterium Definition 528 Ein Simplextableau heißt optimal, wenn die zugehörige Basislösung x eine optimale Lösung des NLO ist, d h, es gilt d 0 = z min := min f(x) = min (c 0 + c x) x ZB x ZB 93

14 5 Lineare Optimierung Wir betrachten nun die drei Fälle für ein ein um die z-zeile erweitertes Simplextableau (ST) der NLO: (S 1 ) = Es gilt d j 0 für alle j = 1,,q (S 2 ) = Es gibt mindestens eine Spalte τ {1,,q} mit d τ < 0 und b iτ 0 für alle i = 1,,p (S 3 ) = Es gilt weder (S 1 ) noch (S 2 ) Satz 529 (Simplexkriterium) Sei (ST) ein um die z-zeile erweitertes Simplextableau der NLO 1 Wenn (S 1 ) gilt, so ist (ST) ein optimales Simplextableau mit der zugehörigen optimalen Basislösung x mit x µ1 = b 1, x µ2 = b 2,, x µp = b p und x ν1 = 0, x ν2 = 0,,,x νq = 0 und dem Minimum f(x) = d 0 2 Wenn (S 2 ) gilt, so ist die NLO nicht lösbar Beweis 1 Nach Satz 526 gilt f(x) = q d j x νj + d 0 j=1 für alle x ZB Wegen d j 0 für j = 1,,q und da wegen (NN) auch x νj 0 für j = 1,,q gilt, minimiert die zu (ST) gehörende Basislösung die Funktion f, sie ist also eine optimale Basislösung 2 Sei ein solches τ fixiert Es sei { { α 0 := max 0,min b }} i j = 1,,p mit b iτ 0 b iτ Für α α 0 betrachten wir x(α) R n mit x ντ (α) = α, x νj (α) = 0 für j {1,,q} \ {τ}, x µi (α) = b iτ α + b i für i {1,,p} Dann erfüllt x(α) das Simplextableau (ST) und somit (G) Wegen α α 0 erfüllt x(α) auch (NN) Somit ist x(α) für jedes α α 0 eine zulässige Lösung Wegen d τ < 0 und f(x(α)) = d τ α + d 0 und kann f(x(α)) durch Wahl von α α 0 max{0,α 0 } beliebig klein gemacht werden Folglich existiert kein Minimum von f auf ZB und NLO ist nicht lösbar 94

15 53 Lösung einer Normalform der linearen Optimierung Aufgrund von Satz 529 definieren wir nun: Definition 530 Sei (ST) ein um die z-zeile erweitertes Simplextableau der NLO Es heißt entscheidbar im Fall (S 1 ) oder (S 2 ) und nicht-entscheidbar im Fall (S 3 ) Weiter zu behandeln ist also nur noch der Fall (S 3 ), in dem noch keine Entscheidung über Optimalität oder Nichtlösbarkeit getroffen werden konnte 534 Bestimmung des Minimums Wir behandeln nun den Fall (S 3 ) weiter Da und (S 3 ) = (S 1 ) (S 2 )= (S 1 ) (S 2 ) (S 1 ) = Es gibt ein τ {1,,q} mit d τ < 0 (S 2 ) = Für jedes j {1,,q} gilt d j 0 oder es gibt ein i {1,,p} mit b ij < 0 gilt (S 3 ) = Es gibt ein τ {1,,q} und ein i {1,,p} mit d τ < 0 und b iτ < 0 Wegen (S 3 ) sind folglich folgende Simplex-Regeln durchführbar: (SR 1 ) Wahl der Pivotspalte: Wähle ein τ {1,,q} mit d τ < 0 und als Pivotspalte (SR 2 ) Wahl der Pivotzeile: Berechne J(τ) := {i i {1,,p} und b iτ < 0} m(τ) := min { } bi b iτ i J(τ) 0 als den kleinsten Wert von b i b iτ, wobei der Zeilenindex i innerhalb J(τ) variiert wird, und wähle für die Pivotzeile σ ein σ J(τ) mit b σ b στ = m(τ) (SR 3 ) Austauschschritt: Man führe mit dem gemäß (SR 1 ) und (SR 2 ) gewähltem Pivotelement p = b στ den Austausch x µσ x ντ der Basisvariablen x µσ gegen die Nichtbasisvariablen x ντ mittels des Austauschverfahrens (AV) durch 95

16 5 Lineare Optimierung Dieses Simplexverfahren besitzt folgende wichtige Eigenschaften, die mit Ausnahme des Entartungsfalls m(τ) = 0 sichern, dass über die Lösbarkeit eines LOP entschieden wird und im Falle der Lösbarkeit eine Lösung gefunden wird: x opt mit z opt = f(x opt ) = min x ZB f(x) Satz 531 Die auf ein nichtentscheidbares Simplextableau (ST) stets anwendbaren Simplexregeln (SR 1 ), (SR 2 ), (SR 3 ) überführen ein nichtentscheidbares Simplextableau (ST) in ein neues Simplextableau (ST ) mit d 0 d 0 Gilt dabei m(τ) > 0, so gilt sogar d 0 < d 0 Beweis 1 Dass die Simplex-Regeln (SR 1 ), (SR 2 ), (SR 3 ) stets auf ein nichtentscheidbares Simplextableau (ST) anwendbar sind, wurde oben schon gezeigt als Folgerung aus der Nichtentscheidbarkeit des Tableaus (Fall (S 3 )) Wir betrachten das um die Kellerzeile erweiterte Tableau (ST) und das neue Tableau (ST ) (ST) x ν1 x ντ x νq 1 x µ1 b 11 b 1τ b 1q b 1 x µσ b σ1 b στ b σq b σ x µp b p1 b pτ b pq b p z d 1 d τ d q d 0 K b σ1 b στ b σp b στ b σ b στ (ST ) x ν1 x µσ x νq 1 x µ1 b 11 b 1τ b 1q b 1 x ντ b σ1 b στ b σq b σ x µp b p1 b pτ b pq b p z d 1 d τ d q d 0 K Es gelten b σ = b σ b στ = m(τ) 0 und b i = b i b σ b στ b iτ = b i + m(τ)b iτ 0 für i {1,,p} \ {σ} Folglich ist (ST ) wieder ein Simplextableau Wegen d τ < 0 gilt d 0 = d 0 b σ b στ d τ = d 0 m(τ) d τ { = d 0, falls m(τ) = 0, < d 0, falls m(τ) > 0 Satz 532 Falls der Entartungsfall im Verlauf der Austausch-Schritte nicht auftritt, überführt das Simplexverfahren ein nicht-entscheidbares Simplextableau in endlich vielen Schritten in ein entscheidbares Simplextableau 96

17 53 Lösung einer Normalform der linearen Optimierung Beweis Der zulässige Bereich ZB hat nur endlich viele Ecken Damit gibt es nur endlich viele Werte von f in den den Ecken zugehörigen Basislösungen Da der Wert des Simplextableaus in jedem Schritt abnimmt, muss das Verfahren abbrechen Da im Falle der Nicht-Entscheidbarkeit das Verfahren fortgesetzt werden könnte, muss einer der beiden Entscheidbarkeitsfälle vorliegen Beispiel 533 Zwei Motoren M 1 und M 2 können an den Fließbändern A und B montiert werden Am Fließband A können je Stunde n 1 = 60 Motoren M 1 oder n 2 = 60 Motoren M 2 hergestellt werden Am Fließband B können je Stunde n 3 = 90 Motoren M 1 oder n 4 = 60 Motoren M 2 hergestellt werden Die Montage ist so zu organisieren, dass einerseits innerhalb von 8 Stunden doppelt so viele Motoren M 2 wie M 1 hergestellt werden soll, und andererseits eine maximale Stückzahl bezüglich M 1 (und damit auch bezüglich M 2 ) erreicht wird Lösung: 1 Aufstellung des LOP: Bezeichnet man mit x 1 bzw x 2 die Montagestunden von A für M 1 bzw M 2 und mit x 3 bzw x 4 die Montagestunden von B für M 1 bzw M 2, so ergibt sich folgendes LOP: unter den Bedingungen z = f(x) = 60x x 3 max x 1 + x 2 8 x 3 + x (60x x 3 ) = 60x x 4 x 1 0, x 2 0, x 3 0, x 4 0 Dieses LOP ist kein NLO 2 Konstruktion einer zugehörigen NLO: Einführen der Schlupfvariablen x 5 und x 6 ergibt z = 60x 1 90x 3 min (Z) x 1 + x 2 +x 5 = 8, x 3 + x 4 +x 6 = 8, (G) 2(60x x 3 ) = 60x x 4, x 1 0, x 2 0, x 3 0, x 4 0, x 5 0, x 6 0 (NN) Die Schlupfvariablen x 5 bzw x 6 sind dabei als Stillstandszeiten von A und B interpretierbar 97

18 5 Lineare Optimierung 3 Ermittlung einer Basisdarstellung (B) von (G) mittels AVS: (G) x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 1 y y y z K x 1 x 2 x 3 x 4 x 6 1 x y y z K x 1 x 2 x 3 x 4 1 x x y z K (ST) x 1 x 2 x 3 1 x x x z (ST) ist nun eine Basisdarstellung von (G) mit folgenden Eigenschaften: x µ1 = x 5, x µ2 = x 6, x µ3 = x 4 sind die Basisvariablen x ν1 = x 1, x ν2 = x 2, x ν3 = x 3 sind die Nichtbasisvariablen Die Basislösung x = (x 1,,x 6 ) lautet x 1 = 0, x 2 = 0, x 3 = 0, x 4 = 0, x 5 = 8, x 6 = 8, der zugehörige Wert des Tableaus ist d 0 = f(x)= 0 (Diese Basislösung ist natürlich die schlechteste: Wegen x 5 = x 6 = 8 findet keine Montage statt) (ST) ist eine zulässige Basisdarstellung, also ein Simplextableau, da b 1 = 8, b 2 = 8, b 3 = 0 offensichtlich die Bedingung b i 0 für i = 1,2,3 erfüllt ist 98

19 53 Lösung einer Normalform der linearen Optimierung 4 Prüfung des Simplexkriteriums: (ST) ist nicht entscheidbar, da weder (S 1 ) (z B wegen d 1 = 60 < 0) noch (S 2 ) (z B wegen b 11 = 1 < 0 und b 23 = 4 < 0) erfüllt sind 5 Simplexverfahren: Entsprechend (SR 1 ) kommen die 1 oder 3 Spalte von (ST) als Pivotspalte in Frage Wir wählen τ = 3 Es gilt nun J(3) = {2}, m(3)= 8 4 und nach (SR 2) ergibt sich σ= 2 Entsprechend (SR 3 ) ist der Austausch x 6 x 3 durchzuführen Wir erhalten : (ST ) x 1 x 2 x 6 1 x x x z Das Simplextableau ( B 1 ) ist nicht entscheidbar, da weder (S 1 ) (z B wegen d 1 = 15 < 0) noch (S 2 ) (wegen z B b 1 = 1 < 0 und b 12 = 1 < 0) erfüllt sind Das Simplexverfahren ist also fortzusetzen Entsprechend (SR 1 ) kommen die 1 oder 2 Spalte von (ST ) als Pivotspalte in Frage Wir wählen τ = 2 Wegen ist nach (SR 2 ) { } { } b1 J(2) = {1,3} und m(2) = min b 12, b 3 8 = min b 32 1, 6 1 = 8 σ= 2 zu wählen Durchzuführen ist damit der Austausch x 5 x 2 in (SR 3 ) Durch AVS erhalten wir (ST ) x 1 x 5 x 6 1 x x x z

20 5 Lineare Optimierung Dieses Simplextableau (ST ) ist entscheidbar, da d 1 = 30 4, d 2 = 90 4, d 3 = 90 4 sind, also (S 1 ) erfüllt ist Die Basislösung nicht negativ x 1 = 0, x 2 = 8, x 3 = 4, x 4 = 4, x 5 = 0, x 6 = 0 ergibt eine optimale Lösung der NLO Auf das ursprüngliche Problem übertragen heißt das: Es werden 360 Stück von M 1 und 720 Stück von M 2 hergestellt Am Fließband A sind nur Motoren M 2, am Fließband B je 4 Stunden M 1 bzw M 2 herzustellen Die Stillstandszeiten x 5 und x 6 sind gleich Null 54 Ermittlung eines ersten Simplextableaus Wie bereits in Bemerkung 527 festgestellt wurde, führt die Ermittlung einer Basisdarstellung nicht notwendigerweise zu einer zulässigen Basisdarstellung, d h zu einem ersten Simplextableau Dieses Ziel ist aber über ein Hilfproblem erreichbar, bei dem die Pivotelemente bei den Austauschschritten, die von (G) zu (B) führen, bereits entsprechend (SR 1 ) und (SR 2 ) auswählt Wir gehen von einer originalen NLO z = f(x) = c 0 + c x min Ax = a, x 0 (Z) (G) (NN) mit c = c 1 c n, x = x 1 x n, A = a 11 a 1n a m1 a mn, a = aus Zusätzlich fordern wir nun, dass ohne Beschränkung der Allgemeinheit auch a 0, d h a 1 a m a i 0 für i = 1,,m gilt Dies ist stets dadurch erreichbar, dass die Zeilen in (G) mit a i > 0 mit 1 durchmultipliziert werden, d h, dass a i und die i-te Zeile von A mit 1 multipliziert werden, wenn a i > 0 gilt Wir betrachten das Hilfsproblem (H) m h = y i min (ZH) i=1 Ax y = a, (GH) x 0, y 0 (NNH) 100

21 54 Ermittlung eines ersten Simplextableaus Dieses ist eine NLO in den Variablen x und y Wenn x und y (GH) erfüllen, gilt m y i = i=1 m m a i1 x i a i i=1 i=1 Wir können also auch das äquivalente Problem m m h = a i1 x i + a i min (ZH) i=1 i=1 Ax y a = 0, (GH) x 0, y 0 (NNH) in den Variablenx undy betrachten Wir ergänzen dieses Problem noch um die z-zeile und erhalten folgendes Tableau: (H) x 1 x n 1 y 1 a 11 a 1n a 1 y m a m1 a mn a m h m a i1 m m i=1 a in i=1 z c 1 c n c 0 a i i=1 Offenbar hat dieses Tableau (ohnez-zeile) die Basislösung (x,y) mitx=0undy = a Da nach Voraussetzung a 0 gilt, ist (H) ohne z-zeile ein Simplextableau für das Hilfsproblem Auf (H) wird nun das Simplexverfahren mit den Schritten (SR 1 ), (SR 2 ) und (SR 3 ) angewandt bis (nach endliche vielen Schritten) ein entscheidbares Simplextableau entsteht Satz 534 Das letzte Simplextableau für (H) ist stets optimal Beweis Das Simplexverfahren bricht ab, sobald ein entscheidbares Tableau erreicht wird Es gilt also (S 1 ) oder (S 2 ) Wegen y 0 und h = m i=1 y i 0, ist die Zielfunktion des Hilfsproblems nach unten durch 0 beschränkt Der Fall (S 2 ) kann somit nicht auftreten 101

22 5 Lineare Optimierung Satz 535 Sei h min das Minimum des Hilfsproblems und sei (x,y) optimale Lösung des letzten aus (H) entstehenden Tableaus 1 Es gelte h min = 0 Nach Streichen der h-zeile, Streichen der y i -Zeilen, welche nur 0-Einträge haben, Streichen der y j -Spalten und nach Anwendung des AVS bis alle y i nach oben ausgetauscht worden sind, erhält man ein Simplextableau für die originale NLO 2 Wenn h min > 0 gilt, besitzt die originale NLO keine Lösung Beweis 1 Sei (x,y) optimale Lösungdes letzten aus (H) entstehendentableaus Als Lösung des Hilfsproblems ist (x,y) eine zulässige Lösung von (GH), es gilt also Ax y = a mit y 0 Aus h min = m i=1 y i > 0 und y 0 folgt y = 0 und somit Ax a = 0, d h x ist eine Lösung von (G) und (NN) Durch AV können somit alle noch links verbleiben y i noch oben ausgetauscht werden, sofern sie in den x j -Spalten nicht nur 0-Einträge haben Dann ist (x,y) auch zulässige Basislösung des letzten aus (H) entstehenden Tableaus war, d h, alle oben stehenden x i waren gleich 0 Stand nun noch ein y i links im Tableau, so war der entsprechende Eintrag in der 1-Spalte eine 0 Ein AV-Schritt zum Austausch eines solchen y i nach oben ändert die 1-Spalte also nicht, d h nach jedem AV-Schritt haben wir (x,y) wieder als eine optimale Lösung des Simplextableaus Das Hochtauschen der y i bricht ab, wenn kein y i mehr links steht, oder die noch da stehenden nur 0 Zeilen haben Streicht man diese Zeilen, die h-zeile und die y j -Spalten, so ist x zulässige Lösung des entstandenen Tableaus ohne y-variablen, das entstandene Tableau ist also ein Simplextableau für die originale NLO Dasselbe Tableau erhalten wir auch, wenn man die y i -Zeilen, welche nur 0-Einträge haben, und die y j -Spalten gleich streicht und AVS abwendet 2 Wenn h min > 0 gilt, dann gilt nicht y = 0 und x ist keine Lösung von (G) Da (x,y) aber optimale Lösung ist, kann m i=1 y i nicht kleiner gemacht werden Beispiel 536 Gegeben sei ein LOP mit z = f(x) = x 1 + x min x 1 + x 2 2x 3 1, x 1 + x 2 x 3 2, x 3 x 1, x 1 0, x

23 54 Ermittlung eines ersten Simplextableaus Durch Einführen der Schlupfvariablen x 4, x 5, x 6 und Multiplikation der ersten und zweiten Gleichung mit 1 ergibt sich die NLO Das Hilfsproblem lautet dann z = x 1 + x min x 1 x 2 + 2x 3 + x 4 = 1 (Z) +x 1 x 2 + x 3 + x 5 = 2 (G) x 1 + x 3 x 6 = 0 x i 0 für i = 1,,6 (NN) h = y 1 + y 2 + y 3 min y 1 = x 1 x 2 + 2x 3 + x y 2 = x 1 x 2 + x 3 + x (ZH) (GH) y 3 = x 1 + x 3 x 6 x i 0 für i = 1,,6, y j 0 für i = 1,2,3 (NNH) Das zugehörige Simplex-Tableau des Hilfsproblems hat dann unter Einbeziehung der z- Zeile die Form x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 1 y y y h z Entsprechend (SR 1 ) (bezüglich der h-zeile) kann τ = 6 als Pivotspalte gewählt werden Nach (SR 2 ) ergibt sich σ = 3 und somit der Austausch y 3 x 6 Ergänzen der Kellerzeile ergibt das Tableau: x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 1 y y y h z K Durch AVS nach (SR 3 ) folgt: x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 1 y y x h z

24 5 Lineare Optimierung Entsprechend (SR 1 ) (bezüglich der h-zeile) muss τ = 2 als Pivotspalte gewählt werden Nach (SR 2 ) ergibt sich σ = 1 und somit der Austausch y 1 x 2 Ergänzen der Kellerzeile ergibt das Tableau: Durch AVS nach (SR 3 ) folgt: x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 1 y y x h z K x 1 x 3 x 4 x 5 1 x y x h z Entsprechend (SR 1 ) (bezüglich der h-zeile) wird τ = 3 als Pivotspalte gewählt werden Nach (SR 2 ) ergibt sich σ = 2 und somit der Austausch y 2 x 4 Ergänzen der Kellerzeile ergibt das Tableau: x 1 x 3 x 4 x 5 1 x y x h z K Durch AVS nach (SR 3 ) folgt: x 1 x 3 x 5 1 x x x h z Das Verfahren bricht mit h min = 0 ab Durch Streichen der h-ziele erhalten wir ein Simplextableau zur originalen NLO Dieses Simplextableau ist sogar bereits entscheidbar: Es liegt ein optimales Simplextableau mit x 1 = 0, x 2 = 2, x 3 = 0, x 4 = 1, x 5 = 0, x 6 = 0 und z min = 5 vor 104

25 Inhaltsverzeichnis 1 Mengen und Funktionen 5 11 Grundlagen Logik Äquivalenz von aussagenlogischen Ausdrücken Prädikative Ausdrücke, Quantifikatoren Mengen Teilmengen Leere Menge Potenzmengen Mengenalgebra Komplement Regeln für das Rechnen mit Mengen Mengenfamilien Kartesisches Produkt und Relationen Abbildungen und Funktionen Abbildungsbegriff Verkettung von Funktionen Umkehrabbildung 20 2 Zahlen Natürliche Zahlen Menge der natürlichen Zahlen Induktionsprinzip Prinzip der rekursiven Definition Kombinatorik Permutationen Anordnung ohne Wiederholung Anordnung mit Wiederholung Variationen Auswahl mit Beachtung der Reihenfolge und ohne Wiederholung AuswahlmitBeachtungderReihenfolge undmitwiederholung Kombinationen Auswahl ohne Beachtung der Reihenfolge und ohne Wiederholung Auswahl ohne Beachtung der Reihenfolge und mit Wiederholung Zusammenfassung

26 Inhaltsverzeichnis 23 Rationale und Reelle Zahlen Weitere Zahlenbereiche Gemeinsame Eigenschaften der rationalen und reellen Zahlen Algebraische Eigenschaften Ordnungseigenschaften Unterschiede der rationalen und reellen Zahlen Rechnen mit Gleichungen und Ungleichungen Äquivalente Umformungen Rechnen mit Beträgen Weitere Definitionen und Aussagen Summen und Produkte Potenzen und Wurzeln Logarithmen 38 3 Matrizen und Determinanten Matrizen Matrizen und Gleichungssysteme Spezielle Matrizen Addition und Subtraktion von Matrizen Multiplikation mit einer reellen Zahl (Skalar) Multiplikation von Matrizen Lineare Gleichungssysteme in Matrizen-Darstellung Die inverse Matrix Determinanten Der Begriff der Determinante Das Rechnen mit Determinanten Anwendungen auf lineare Gleichungssysteme im Fall m=n Zusammenfassung 58 4 Das Austauschverfahren Motivation Das Austauschverfahren als Algorithmus Vorbereitung Theoretische Durchführung des ersten Austauschschrittes Praktische Durchführung des ersten Austauschschrittes Fortsetzung des Austauschverfahrens Anwendungen des Austauschverfahrens (AV) Inversion von Matrizen Lösung Linearer Gleichungssysteme Berechnung von Determinanten 79 5 Lineare Optimierung Lineare Optimierungsprobleme Normalform der linearen Optimierung Die Normalform

27 Inhaltsverzeichnis 522 Überführung in die Normalform Lösung einer Normalform der linearen Optimierung Bestimmung einer zulässigen Basisdarstellung von (G) Simplextableau Optimalität und Simplexkriterium Bestimmung des Minimums Ermittlung eines ersten Simplextableaus

28 Inhaltsverzeichnis 108

29 Index Äquivalenz, 5 Äquivalenzrelation, 14 äquivalent, 6 Abbildung, 14, 16 Abbildung, affin-lineare, 60 Abbildung, identische, 20 Abbildung, lineare, 59 Abbildung, surjektive, 18 Addition, 32 All-Quator, 7 Antisymmetrie, 33 Argument, 17 Assoziativgesetz, 6, 12, 32 Aussage, 5 Aussageform, 5 Aussagevariable, 5 Austauschregeln, 62 Basen, negative, 38 Basis, 90 Basisdarstellung, 90 Basisdarstellung, zulässige, 92 Basislösung, 90 Basisvariable, 90 Bereich, zulässiger, 81 Betrag, 35 Betragsungleichung, 36 Bijektion, 21 bijektiv, 21 Bild, 18 Definition, rekursive, 26 Definitionsbereich, 17 Determinante, 42, 51 53, 56, 57 Determinante, Eigenschaften, 54 Differenz, 11 Differenz von Matrizen, 45 Differenz, symmetrische, 11 disjunkt, 11 Disjunktion, 5 Distributivgesetz, 6, 12 Division, 32 Dreieck, Pascalsches, 30 Dreiecksmatrix, 52 Dreiecksungleichung, 37 Durchschnitt, 11, 13 durchschnittsfremd, 11 Einheitsmatrix, 44 Entwicklung, 53 Existenz-Quantor, 7 Fallunterscheidung, 36 Funktion, 14, 16 Funktion, eineindeutige, 18 Funktion, gleichheit, 17 Funktion, injektive, 18 Funktion, surjektive, 18 Gleichungssystem, allgemeines lineares, 59 Gleichungssystem, homogenes lineares, 56 Gleichungssystem, inhomogenes lineares,56 Gleichungssystem, lineares, 42, 55, 58 Graph, 17 Hauptstützelement, 62 Hilfsproblem, 100 Identität, 20 Implikation, 5 Indexmenge, 13 Input-Output-Koeffizient, 41 invertierbar, 50 Körper, 32 Körper, total angeordneter, 33 Kellerzeile,

30 Index Koeffizientenmatrix, 42 Kombination, 29 Kombinationen, 29 Kommutativgesetz, 6, 12 Komplement, 12 Komposition, 19 Konjunktion, 5 Lösung, 42, 82 Lösung, maximale, 82 Lösung, minimale, 82 Lösung, optimale, 82 Lehrsatz, binomischer, 37 linkseindeutig, 15 linkstotal, 15 Logarithmengesetze, 38 Logarithmus, 38 Matrix, 39, 51, 53, 56 Matrix, inverse, 50 Matrix, invertierbare, Matrix, quadratische, 44 Matrix, Rechenregeln, 51 Matrix, symmetrische, 44 Matrix, transponierte, 43 Matrixgleichung, 51 Menge, 7 Menge, leere, 10 Mengengleichheit, 9 Multiplikation, 32 Nebenbedingung, 81 Negation, 5 Nichtbasisvariable, 90 Nichtnegativitätsbedingungen, 81 Normalform, 59 Normalform der linearen Optimierung, 86 Nullmatrix, 43 Optimierungsproblem, lineares, 81 Ordnung, totale, 33 Ordnungsrelation, 14, 32 Output-Bilanz, 41 Paar, geordnetes, 14 Permutation, 26 Pivotelement, 62 Pivotspalte, 62 Pivotzeile, 62 Potenz, n-te, 37 Potenzen mit natürlichen Exponenten, 26 Potenzen mit rationalen Exponenten, 38 Potenzgesetze, 38 Potenzmenge, 37 Potenzmenge, 10 Prädikat, einstufiges, 6 Prädikat, zweistufiges, 6 Prinzip der vollständigen Induktion, 25 Produkt von Matrizen, 47 Produkt, kartesisches, 14 Produktionskoeffizient, 41 Produktmatrix, 47 Produktzeichen, 36 Quantifikator, restringierter, 7 rechtseindeutig, 15 Reflexivität, 33 Regel, Cramersche, 57, 58 Regeln, de Morgansche, 6, 12 Reihenfolge, 26, 29 Relation, 14 Sarrus-Regel, 43 Seite, rechte, 42 Simplex, 85 Simplex-Regel, 95 Simplextableau, 92 Simplextableau, entscheidbares, 95 Simplextableau, nicht-entscheidbares, 95 Simplextableau, optimales, 93 Simplexverfahren, 96 Skalarprodukt, 47 Spalte, 40 Spaltenvektor, 40 Subtraktion, 32 Summe von Matrizen, 45 Summenzeichen, 36 System linearer Funktionen, 60 Teilmenge, 9 110

31 Index Teilmengen, 30 Transitivgesetz, 33 Trichotomie-Eigenschaft, 33 Typ einer Matrix, 39 Umformungen, äquivalente, 34 Umkehrabbildung, 20 Urbild, 18 Variation, 28 Vektor, 40 Vektor der Absolutglieder, 42 Vektor der Unbekannten, 42 Vereinigung, 11, 13 Verkettung, 19 Wahrheitswert, 5 Wertebereich, 17 werteverlaufsgleich, 6 Wiederholung, 26, 29 Wurzel, n-te, 37 Zahl, irrationale, 38 Zahl, negative, 33 Zahl, nichtnegative, 33 Zahl, nichtpositive, 33 Zahl, positive, 33 Zahlengeraden, 36 Zeile, 40 Zeilenvektor, 40 Zielfunktion, lineare,