4.2 Reaktionsprozesse im gut durchmischten Strömungsreaktor

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1 4.2 Reaktionsprozesse im gut durchmischten Strömungsreaktor Als Idealisierung von Verbrennungsprozessen soll ein Reaktor betrachtet werden, in den ein brennbares Gemisch hineinströmt und den es als verbranntes Gemisch verlässt. Der turbulente Vermischungsprozess im Reaktor soll so stark sein, dass sich ein homogenes Temperatur und Konzentrationsfeld einstellt, in dem chemische Reaktionen ablaufen. Unmittelbar am Eintritt nimmt das Gemisch den Zustand im Reaktor an, der mit dem Abgaszustand identisch ist. Damit ist der Mischungsvorgang nicht der geschwindigkeitsbestimmende Schritt, sondern die Reaktionsvorgänge sind geschwindigkeitsbestimmend

2 Experimentelle Realisierung des gut durchmischten Reaktors, Longwell und Weiss. Kugelförmiger Brennraum aus feuerfestem Stein, Zentrale Beschickung mittels Lanze und Stahlkugel mit 68 Einlassbohrungen für den Brennstoff. Radialer Austritt des Abgases. Durch hohe Eintrittsgeschwindigkeit des Brennstoffes ergibt sich eine sehr gute Durchmischung. Es wurden globale Reaktionsgeschwindigkeiten von H 2 und Kohlenwasserstoffen gemessen

3 Das Konzept des gut durchmischten Reaktors findet Anwendung in sogenannten Lagrangeschen Rechenmodellen zur Beschreibung turbulenter reaktiver Strömungen. Jedes Lagrangesche Element wird als gut durchmischter Reaktor aufgefasst und auf seinem Weg durch das Strömungsfeld verfolgt. Ihm wird die mittlere Temperatur und Konzentration des turbulenten Strömungsfeldes zugeordnet, wobei es mit benachbarten Strömungselementen im turbulenten Austausch steht. Mit einem solchen Modell können mit den heute verfügbaren Rechnerressourcen detaillierte chemische Reaktionen berücksichtigt werden, während der turbulente Austausch durch stark vereinfachte Modelle approximiert wird. Dieses Vorgehen ist dann vorteilhaft, wenn die chemische Kinetik und nicht die turbulente Durchmischung geschwindigkeitsbestimmend ist. Diese Annahme ist bei technischen Verbrennungsvorgängen jedoch sehr selten zutreffend

4 4.2.1 Herleitung der Reaktorgleichungen Der Brennraum des Reaktors, ein Segment des Reaktors von Longwell und Weiss mit Volumen V enthält Gasmasse m und wird durch einen Massenstrom durchströmt. Der Einfluss der Masse und der Wärmekapazität der Gaszuführung und der Wände sollen unberücksichtigt bleiben. Der Einströmbedingungen, Index u, sind gegeben. Das Element wird stationär durchströmt. Im Inneren nimmt das Gas den verbrannten Zustand T, Y i, Index b, an mit dem es auch ausströmt

5 Zeitliche Änderung der Masse der Komponente i mit Die chemischen Reaktionen im Inneren werden durch den Quellterm erfasst. Mit m i =Y i m schreiben wir die Massenbruchgleichung: Dabei ist vorausgesetzt, dass sich die Gesamtmasse m im Reaktor nicht ändert

6 Der Reaktor soll adiabat sein und ohne Arbeitszufuhr. Wenn potenzielle und kinetische Energien vernachlässigt werden, liefert der erste Hauptsatz für den stationären Fließprozess, dass die Enthalpie konstant ist. Mit einer mittleren Wärmekapazität ergibt sich die Temperaturgleichung: 4.2-6

7 In der Temperaturgleichung lässt sich die letzte Summe umformen zu: Vereinfachend soll wieder eine einzige Globalreaktion angenommen werden und die Betrachtung ausschließlich auf sehr fette oder sehr magere Gemische beschränkt werden

8 Für sehr fette und sehr magere Gemische wird die Reaktionsgeschwindigkeit durch diejenige Komponente bestimmt, die im Unterschuss vorliegt. Es ist dies für mageres Gemisch: Brennstoff B fettes Gemisch: Sauerstoff O 2 Der Massenbruch der Mangelkomponente soll mit Y bezeichnet werden, und es sei angenommen, dass die Reaktionsgeschwindigkeit für diese Komponente von erster Ordnung ist Arrheniusansatz: Im Falle des mageren Gemisches ist ν B = -1, im Falle des fetten Gemisches ν O2 =

9 Aus dem Verhältnis von Gasmasse im Reaktor und Massenstrom lässt sich eine charakteristische Zeit für den Reaktor, die Verweilzeit definieren. Mit der Definition einer mittleren Dichte ρ = m/v erhält man die Reaktorgleichungen für die Mangelkomponente Y im Reaktor und die Temperatur T: Eine Integration gelingt leicht, falls Reaktionswärme und Wärmekapazität als konstant angenommen werden

10 Es ist zweckmäßig, dimensionslose Größen einzuführen, indem der Massenbruch und die Temperatur auf die Eintrittswerte und die Zeit auf die Verweilzeit bezogen werden: Es taucht als bestimmender dimensionsloser Parameter des Problems die Damköhlerzahl Da auf, die das Verhältnis der Verweilzeit im Reaktor zur charakteristische Reaktionszeit t r =1/B angibt. Daneben gehen noch dimensionslose Aktivierungsenergie und dimensionslose Verbrennungswärme als Kennzahlen in das Problem ein

11 Mit den dimensionslosen Variablen lautet das Gleichungssystem: Dabei ist die Indizierung mit dem *-Symbol der Einfachheit halber weggelassen worden. Vorgehen: - Untersuchung der stationären Lösung - Zünd- und Löschbedingungen anhand der stationären Lösung - Stabilität der stationären Lösung anhand der instationären Lösung

12 4.2.2 Stationäre Lösung der Reaktorgleichungen Im stationären Zustand, Index s, verschwinden die Zeitableitungen. Es ergibt sich: Multiplikation der ersten Gleichung mit Q und Subtraktion von der zweiten liefert die Beziehung durch die Y s elimiert werden kann:

13 Die letzte Gleichung legt auch den Bereich fest, innerhalb dessen T s variieren kann. Bei vollständigem Umsatz verschwindet Y s, so dass sich als maximale Temperatur ergibt. Findet dagegen keine Reaktion statt, lautet die minimale Temperatur:

14 Temperaturverlauf als Funktion der Damköhlerzahl bei einer dimensionslosen Reaktionswärme von Q = 4 für verschiedene Aktivierungsenergien E

15 Für sehr große Damköhler-Zahlen laufen alle Kurven auf die stationäre Temperatur von T s = T s,max = 5 und für sehr kleine Damköhler-Zahlen auf den Wert T s = T s,min =

16 Für E = 2 ist der Verlauf monoton, während für E = 10 ein s-förmiger Verlauf abgebildet ist. Für E = 10 ergeben sich in einem bestimmten Bereich, eingegrenzt durch Da Q und Da I, zu jeder Damköhler-Zahl drei Lösungen

17 Für E = 10 entspricht der obere Kurvenast zwischen Q und B der gezündeten Lösung. Es findet chemischer Umsatz, angezeigt durch die Temperaturerhöhung im Reaktor, statt. Je größer die Damköhler-Zahl, desto größer die Temperatur. Dieser Bereich wird nach unten durch den Löschpunkt Q (Quenching) abgegrenzt Vermindert man die Verweilzeit im Reaktor durch Erhöhung des Massenstromes, so fällt die Temperatur nach Erreichen des Löschpunktes Q auf den unteren Kurvenast. Die chemische Reaktion verlischt, die Temperatur im Reaktor ist nahe der Eintrittstemperatur. Der untere Kurvenast von U bis I stellt die verlöschte Lösung dar

18 Erhöht man nun durch Verringerung des Massenstroms die Verweilzeit und damit die Damköhler-Zahl, so steigt die Temperatur wieder leicht an, bis bei Da I der Punkt I (Ignition) erreicht ist. Es tritt Selbstzündung im Reaktor ein und innerhalb kurzer Zeit stellt sich die Temperatur des oberen Astes ein. Bei der Selbstzündung liefert die durch die langsam ablaufende Reaktion freiwerdende Wärme die Zündenergie. Dies entspricht physikalisch der im vorigen Abschnitt diskutierten thermischen Explosion bei Berücksichtigung von Wärmeverlusten und dem dort diskutierten Fall c)

19 Im Bereich von Damköhler-Zahlen zwischen Da Q und Da I kann ein Übergang vom unteren zum oberen Kurvenast auch durch Fremdzündung erfolgen, zum Beispiel durch einen Zündfunken. Der Kurvenast zwischen I und Q stellt eine instabile Lösung dar. Schon bei einer kleinen Störung würde ein stationärer Zustand auf diesem Ast auf den unteren oder den oberen Ast übergehen. Nachweis erfolgt in einem späteren Abschnitt

20 4.2.3 Lösch- und Zündbedingungen Löschpunkt Q und Zündpunkt I sind durch die Bedingung festgelegt. Mit und der Abkürzung ergibt sich mit und

21 Die Zünd- und Löschbedingung lautet daher: Dies führt mit schließlich auf: Quadratische Gleichung für T s mit zwei Lösungen: Zwei reelle Lösungen existieren für

22 Das positive Vorzeichen liefert die Löschtemperatur T s,q, das negative Vorzeichen die Zündtemperatur T s,i. Der Zünd- und Löschpunkt fallen zusammen, falls die Wurzel verschwindet und zwar für: Für kleinere Aktivierungsenergien ergeben sich keine Zünd- und Löscherscheinungen

23 Beispiel: Formen Sie in eine dimensionsbehaftete Beziehung um, und berechnen Sie für den Fall und die maximale Temperatur in einem Reaktor, bei der keine Lösch- und Zünderscheinungen auftreten, der Verlauf von T s also monoton mit der Damköhler-Zahl ansteigt. Lösung: Aus ergibt sich mit dimensionsbehafteten Größen: und für die Mit den Zahlenwerten folgt, dass T b = 1,25 T u =1250 K ist

24 Entwicklung für große Aktivierungsenergien, Symmetrie der s-förmigen Kurve Für den Grenzfall sehr großer Aktivierungsenergien dividiert man durch E und entwickelt den Wurzelausdruck sowie den Nenner in eine Reihe für große Aktivierungsenergien. Bricht man die Reihenentwicklung nach dem ersten Glied ab, so erhält man

25 Setzt man dies in ein und entwickelt wieder bis zum ersten Glied, so erhält man für die Zündtemperatur T s,i in erster Näherung: In dimensionsbehafteter Schreibweise bedeutet dies: Die Zündtemperatur ist um den sehr kleinen Betrag größer als eins. Setzt man die Zahlenwerte aus dem vorigen Beispiel ein, so führt eine Temperaturerhöhung um 5% bereits zur Selbstzündung

26 Für die Löschtemperatur T s,q ergibt sich dimensionsbehaftet bzw. Die Löschtemperatur ist also auch nur um einen kleinen Betrag niedriger als die Maximaltemperatur T b. Für den Zahlenwert des Beispiels und bei einer Temperatur von T b =2000 K würde bereits eine Temperaturabsenkung um 10% zum Verlöschen führen. Zwischen den Ergebnissen für die Zündtemperatur und die Löschtemperatur ist im Fall der hohen Aktivierungsenergie eine Symmetrie erkennbar

27 4.2.4 Stabilität der stationären Lösung Die drei Kurvenäste für E = 10 sollen auf ihre Stabilität hin untersucht werden. Wie im stationären Fall können die Gleichungen zusammengefasst werden: Zu Beginn soll sich der Reaktor in einem stationären Zustand befinden

28 Es gilt also für die Anfangsbedingung wieder der Zusammenhang Diese Anfangsbedingung (stationäre Lösung) ist dann natürlich auch (triviale) Lösung der instationären Gleichung: Es muss also auch im instationären Fall wieder die Kopplungsbedingung gelten, die uns zur Elimination von Y dient. Die Differentialgleichung lautet dann:

29 Um die Stabilität zu untersuchen, soll der stationären Lösung eine kleine Störung überlagert werden und der zeitliche Verlauf dieser Störung untersucht werden. Klingt die Störung mit der Zeit ab, ist die Lösung stabil, sonst instabil. Der Ansatz in die Dgl. eingesetzt liefert:

30 Die stationäre Lösung eingesetzt ergibt eine lineare Dgl.: Die Lösung ist mit der gegebenen Anfangsstörung T 0. Der Parameter λ kann umgeformt werden zu Das heißt, die Steigung der Kurve der stationären Lösung entscheidet über das Vorzeichen von λ, also darüber, ob kleine Störungen mit der Zeit anwachsen oder abklingen

31 Die Lösung zeigt: Falls λ<0 klingt die Störung ab (stabile Lösung), sonst wächst sie exponentiell (instabile Lösung). Aus der Beziehung dass Kurvenäste mit sieht man, da N s > 0 ist, instabil sind. Das trifft auf den Ast zwischen dem Löschpunkt Q und Zündpunkt I zu