Systemanalyse und Modellbildung

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1 Systemanalyse und Modellbildung Universität Koblenz-Landau Fachbereich 7: Natur- und Umweltwissenschaften Institut für Umweltwissenschaften Dr. Horst Niemes(Lehrbeauftragter)

2 Systemanalyse 1 Teil 1 1. Einführung 2. Mathematische Modelle 3. Statische Modelle Teil 2 5. Lineare Modelle mit mehreren Variablen Literatur: Dieter M. Imboden, Sabine Koch (2008): Systemanalyse. Einführung in die mathematische Modellierung natürlicher Systeme, 3. korrigierter Nachdruck der 1. Auflage 2003, ISBN , Springer Berlin Heidelberg New York.

3 4.1 Das lineare Einbox-Modell als Bilanzgleichung mit konstanten Koeffizienten Das System wird meist durch eine Differentialgleichung bzw. Bilanzgleichung erster Ordnung folgender Form beschrieben: ( ) = + ( )mit =Systemvariable =äußere Relation =Modellparameter Die marginale Änderung der Systemvariablen bilanziert sich aus den analog formulierten Produktions- und Verlustprozess: ( ) = [Produktionsprozess]:= + [Verlustprozess]:= + ( ) = + ( ) + = +

4 4.1. Das lineare Einbox-Modell als Bilanzgleichung mit konstanten Koeffizienten Durch die Division mit dem Volumen des System erhalten wir die folgenden Differentialgleichung bzw. Bilanzgleichungen erster Ordnung als Konzentrationen: ( ) = + ( )mit =Systemvariable r =äußere Relation =Modellparameter Die marginale Änderung der Systemvariablen bilanziert sich aus den analog formulierten Produktions- und Verlustprozess: ( ) = [Produktionsprozess]:= + [Verlustprozess]:= + ( ) = + ( ) + = +

5 4.1 Das lineare Einbox-Modell als Bilanzgleichung mit konstanten Koeffizienten Sonderfälle: 1. Nur Verlust ohne Beeinflussung durch die äußere Relation ( ) = = 2. Nur Produktion ohne Beeinflussung durch die äußere Relation ( ) = = Nur Verlust Nur Produktion

6 4.1. Das lineare Einbox-Modell als Bilanzgleichung mit konstanten Koeffizienten Grafische Darstellung der Sonderfälle in der allgemeinen Form: =

7 Zu 4.1: Vorgehensweise und Lösungsschritte am Beispiel eines Flusssystems (typisch für den klassischen Durchflussreaktor) 1. Formulierung und Präzisierung der Fragestellung 2. Festlegung der Systemgrenzen und Einteilung 3. Formulierung der Bilanz-und Reaktionsgleichungen Ä Mit den Termen:,, und den Symbolen und Dimensionen für die Durchflussrate : Konzentration im Flussarm : Reaktionskonstante 1. Ordnung : Konzentration im Zufluss :

8 Zu 4.1 Vorgehensweise und Lösungsschritte am Beispiel eines Flusssystems (typisch für den klassischen Durchflussreaktor) Hiermit erhalten wir die detaillierte Bilanzgleichung: Durch die Division mit dem Volumen und der wie folgt definierten Konzentration erhalten wir die Reaktionsgleichung: Mit der wie folgt definierten Austauschrate, und Aufenthaltszeit =, erhalten wir folgende lineare, inhomogene Differentialgleichung 1. Ordnung: = + Für die wir auch vereinfacht schreiben können: = wobei + die totale spezifische Verlustrate mit der Dimension und := sind.

9 Zu 4.1: Vorgehensweise und Lösungsschritte am Beispiel eines Flusssystems (typisch für den klassischen Durchflussreaktor) 4. Formales Lösen der Differentialgleichung und Beurteilen des zeitlichen Verhaltens der Lösungen Die Lösung einer linearen, inhomogen Differentialgleichung des Typs ( ) +, 0 0 = lautet: = 0 + Für den Sonderfall einer homogene Differentialgleichung des Typs ( ) =, 0 0 = ist die Lösung: = 0

10 Zu 4.1: Vorgehensweise und Lösungsschritte am Beispiel eines Flusssystems (typisch für den klassischen Durchflussreaktor) Für den linearen, inhomogenen Durchflussreaktor mit der Differentialgleichung erhalten wir für die stationäre Lösung 0 die Ergebnisse: steigt linear mit an verringert sich invers proportional mit der Reaktivität der Substanz Für Für

11 Zu 4.1 Vorgehensweise und Lösungsschritte am Beispiel eines Flusssystems (typisch für den klassischen Durchflussreaktor) 5. Die zeitabhängige Lösung Für den linearen, inhomogenen Durchflussreaktor mit der Differentialgleichung, = + erhalten wir durch die Integration die zeitabhängige Lösung: = +, =

12 Vorgehensweise und Lösungsschritte am Beispiel eines Flusssystems (typisch für den klassischen Durchflussreaktor) 6. Beurteilen des zeitlichen Verhaltens der Lösung Mit 0 können wir die zeitabhängige Lösung auch in die Form bringen: 1 Auswaschkurve von Einwachskurve von Grafische Darstellung des Zeitverhaltens, wobei die Zeitskala bestimmt

13 Zu 4.1: Vorgehensweise und Lösungsschritte am Beispiel eines Flusssystems (typisch für den klassischen Durchflussreaktor)

14 Zu 4.1: Vorgehensweise und Lösungsschritte am Beispiel eines Flusssystems (typisch für den klassischen Durchflussreaktor) 7. Bestimmen der Anpassungszeit als charakteristische Größe für das zeitlichen Verhaltens der Lösung Die Anpassungszeit ist eine Zeit, bis eine gewählte Abweichung unterschritten wird. Eine mögliche Wahl proportional zur Anfangsstörung ist: 0,1 Das Berechnen der Anpassungszeit erfolgt durch das Einsetzen von = = + in die Konzentrationsbedingung = =

15 Zu 4.1: Vorgehensweise und Lösungsschritte am Beispiel eines Flusssystems (typisch für den klassischen Durchflussreaktor) Wir erhalten aus die charakteristische Zeit, um die eine Anfangsstörung auf den Anteil abzubauen: Charakteristische Anpassungszeiten sind die Halbwertszeit (Abbau um minus die Hälfte), die so bezeichnete e-folding Zeit (Abbau um minus 1/e) und die 5% Zeit (Abbau um minus 5 Prozent) Die charakteristischen Anpassungszeiten zeigt die folgende Abbildung:

16 Zu 4.1: Vorgehensweise und Lösungsschritte am Beispiel eines Flusssystems (typisch für den klassischen Durchflussreaktor)

17 Zu 4.1: Vorgehensweise und Lösungsschritte am Beispiel eines Flusssystems (typisch für den klassischen Durchflussreaktor) Alternative Darstellung von Anpassungszeiten

18 4.2 Das lineare Einbox-Modell als Bilanzgleichung mit zeitabhängigen Koeffizienten Die Bilanzgleichung ist eine Differentialgleichung 1.Ordnung mit variablen inhomogen Term. Der lineare Durchflussreaktor (siehe Abbildung auf der nächsten Seite beispielsweise hat die Form:, = + Der stationäre Zustand, ( ) =0, ist also zeitabhängig: = Die zeitabhängige Lösung erhalten wir durch Integration: = + Auswaschkurve Einwachskurve

19 4.2 Das lineare Einbox-Modell als Bilanzgleichung mit zeitabhängigen Koeffizienten Beispiel A: Ein exponentiell wachsender Inputmit folgender zeitlicher Verlauf des Inputs: Die zeitliche Lösung ist: C bzw. nach der Integration des zweiten Terms, wenn,, Bei der Untersuchung der Eigenschaften sind drei Fälle interessant:

20 4.2 Das lineare Einbox-Modell als Bilanzgleichung mit zeitabhängigen Koeffizienten Fall 1 zu Beispiel A: Für lange Zeiten mit t folgt Fall 2 zu Beispiel A: Für langsame wachsende Änderungen mit β folgt das System der Störung (siehe Abbildung): Fall 3 zu Beispiel A: Für rasch Änderungen, d.h., kann β>0nicht vernachlässigt werden. Das System hinkt dem hypothetischen Stationärzustand hinter her (siehe Abbildung): <

21 4.2 Das lineare Einbox-Modell als Bilanzgleichung mit zeitabhängigen Koeffizienten

22 4.2 Das lineare Einbox-Modell als Bilanzgleichung mit zeitabhängigen Koeffizienten Beispiel B: Eine periodische Störung mit folgenden zeitlichen Verlauf des Inputs, wobei die Kreisfrequenz und die Amplitude sind:

23 4.2 Das lineare Einbox-Modell als Bilanzgleichung mit zeitabhängigen Koeffizienten Beispiel B: Eine periodische Störung Die zeitliche Lösung mit ist Folgende: Der grün markierte Teil entspricht der Lösung mit konstantem Input. Der rot markierte Teil enthält Schwingungsterme. Um die Eigenschaften dieser Lösung zu diskutieren, ist zwischen folgenden Fällen zu unterscheiden:

24 4.2 Das lineare Einbox-Modell als Bilanzgleichung mit zeitabhängigen Koeffizienten Diskussion zu Beispiel B: Eine periodische Störung Für lange Zeiten, d.h., reduziert sich die zeitliche Lösung zu: (1) Wird die periodische Störung ( ) in die allgemeine Bilanzgleichung ( ) eingesetzt, dann erhält für den stationären Zustand den Ausdruck: (2) Der Vergleich von Gleichung (1) mit (2) ergibt:

25 4.2 Das lineare Einbox-Modell als Bilanzgleichung mit zeitabhängigen Koeffizienten Diskussion zu Beispiel B: Eine periodische Störung a. Die Amplitude des periodischen Teils in (1) ist geringer als der von (2) b. Die Variation von (1) ist um die Phase verzögert. In der zeitlichen Lösung nennt man Dämpfung und die Phasenverschiebung. Hiermit können folgende Schlüsse gezogen werden:, = 0,1 die a. Falls =1ist, liegt keine Dämpfung vor; falls =0ist, liegt ein vollständige Dämpfung vor. b. Ist proportional zu folgt: Je schneller die Schwingung relative zu ist, desto stärker ist die Dämpfung.

26 4.2 Das lineare Einbox-Modell als Bilanzgleichung mit zeitabhängigen Koeffizienten Diskussion zu Beispiel B: Eine periodische Störung c. Ist proportional zu folgt: Je schneller die Schwingung relative zu ist, desto größer ist die Phasenverschiebung. d. Ist umgekehrt proportional zu folgt: Je schneller die Reaktion ist, desto kleiner ist die Phasenverschiebung Ferner gibt es noch die beiden Grenzfällen (siehe Abbildung): Spezialfall A: eine langsame Schwingung Wenn ist die Dämpfung gleich 1 und die Phasenverschiebung gleich 0; also ist ( ), d.h. es ist eine adiabatische Störung. Spezialfall B: eine sehr schnelle Schwingung Wenn ist die Dämpfung gleich 0 und die Phasenverschiebung gleich 2 ; also ist ( ), d.h. das System filtert externe Schwankungen aus dem System heraus.

27 4.2 Das lineare Einbox-Modell als Bilanzgleichung mit zeitabhängigen Koeffizienten