I) 1-dimensionale Modelle (= mit einer Systemvariablen)

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1 System = Menge von Objekten, zwischen denen Relationen bestehen statisches Modell kann keine zeitl. Veränderung beschreiben dynamisches Modell beschreibt zeitabhängige Antwort auf eine äussere Veränderung jedes dynamische Modell enthält implizit ein statisches Modell nichtautonome Modelle hängen explizit von der Zeit ab in diskreten Modellen treten Differenzengleichungen an Stelle der Diff.gleichungen I) 1-dimensionale Modelle (= mit einer Systemvariablen) 1-Box-Modell Visualisierung Modell = Konzept zur vereinfachten Darstellung eines komplexen Systems Aufstellen einer Diff.gl.: linear zeitunabhängige Parameter zeitabhängige Parameter (zeitabhängiger Input) nicht linear zeitunabhängige Parameter (Gl.gew.lsg., Stabilität) (zeitabhängige Parameter) a. lineare Systeme mit zeitunabhängigen Parametern dc/dt = k w C in k tot C Stationärzustände: Nullsetzen C = k w C in / k tot lineare Modelle haben max. 1 Attraktor (= asymptotisch stabil = global) Lösung = Lsg. des homogenen Systems + partikuläre Lsg. homogen: dc/dt = -k tot C C(t) = Ae -ktott A = Anfangsbedingung C(0) partikulär: z. B. Stationärlsg. C C(t) = Ae -ktott + C = (C 0 C )e -ktott + C Anpassungszeit: τ κ = -lnκ / k Anpassungszeit = Zeit, bis sich Modell innerhalb vorgegebener Grenzen seinem Stationärzustand angenähert hat b. lineare Systeme mit zeitabhängigen Parametern (= Input) dc/dt = j in (t) kc i. exponentiell wachsender/fallender Input j in (t) = j in (0)e βt dc/dt = j in (0)e βt kc β>0 wachsender Input β<0 fallender Input Lösung: C(t) = C(0)e -kt j in (0)e -kt /(k+β) + j in (0)e βt /(k+β) falls t>>k -1 e -kt = 0 C(t) = j in (0)e βt /(k+β) = j in (t)/(k+β) Stationärlsg. zum aktuellen Input: C (t) = j in (t)/k (falls j in zum Zeitpunkt t konst. bliebe, wäre C (t) die dazugehörige Gl.gewichtslsg.) Fall A: adiabatische Störung (β<<k) C(t) = j in (0)e βt /k = j in (t)/k = C (t) Gillian Grün, von 6

2 Fall B: nicht adiabatische Störung C(t) = j in (0)e βt /(k+β) = j in (t)/(k+β) β>0 wachsender Input C(t) < C β<0 fallender Input C(t) > C System hinkt immer dem aktuellen Gl.gewichtszustand hinterher ii. periodische Störung (z.b. Jahreszeiten) adiabatische Störung = so langsam, dass sich System ständig an verändernden Stationärzustand anpassen kann j in (t) = j 0 + j 0 sin(ωt) dc/dt = j 0 + j 1 sin(ωt) kc Lösung: C(t) = j 0 /k + (C 0 - j 0 /k)e -kt + j 1 sin(ωt atan(ω/k))/(ω²+k²) ½ + j 1 ωe -kt /(k²+ω²) falls t>>k -1 e -kt = 0 C(t) = j 0 /k + j 1 sin(ωt atan(ω/k))/(ω² + k²) ½ Fall A: adiabatische Störung (ω<<k) k² + ω² = k² atan(ω/k) = 0 C(t) = (j 0 +j 1 sin(ωt))/k = j in (t)/k = C (t) Fall B: (ω>>k) k² + ω² = ω² atan(ω/k) = π/2 C(t) = j 0 /k + j 1 sin(ωt π/2))/ω (Phasenverschiebung: -π/2) System hinkt dem Input um eine Viertelperiode hinterher grosses ω kleine Amplitude j 1 /ω lineare Systeme filtern externe Schwankungen, die wesentlich schneller sind als systemeigene Reaktionszeiten, aus System heraus c. nichtlineare Systeme nichtlineare Systeme lassen dc/dt = f(c) f(c) J kc sich oft stückweise durch lineare Modelle approximieren Stationärzustände: Nullsetzen mehr als 1 Möglichkeit: f(c) = 0 Stabilität der Stationärzustände: dc/dt = f(c) df/dc bestimmen C einsetzen df/dc C > 0 instabil invariante Bereiche = Abschnitte zw. Fixpunkten eines 1-dimensionalen, nichtlinearen Modells df/dc C < 0 stabil df/dc C = 0 labil Gillian Grün, von 6

3 II) mehrdimensionale Modelle (= mit mehreren Systemvariablen) (Analogien zum 1-dimensionalen Fall) Dimension eines Modells = Anzahl Systemvariablen a. lineare Systeme mit 2 Systemvariablen Mehrbox-Modelle stehen bezüglich ihrer Struktur zw. Einbox- und räumlich 2-Box-Modell Visualisierung kontinuierlichen Modellen Aufstellen eines Diff.gl.systems: dc 1 /dt = J 1 + k 11 C 1 + k 12 C 2 dc 2 /dt = J 2 + k 21 C 1 + k 22 C 2 Stationärzustände: Nullsetzen C 1 = (k 12 J 2 k 22 J 1 )/(k 11 k 22 k 12 k 21 ) C 2 = (k 21 J 1 k 11 J 2 )/(k 11 k 22 k 12 k 21 ) Lösung = Lsg. des homogenen Systems + partikuläre Lsg. homogen: C 1 (t) = A 11 e λ1t + A 12 e λ2t C 2 (t) = A 21 e λ1t + A 22 e λ2t λ aus charakteristischem Polynom: λ² SpurPλ + detp = 0 SpurP = k 11 + k 22 detp = k 11 k 22 k 12 k 21 λ 1,2 = (k 11 +k 22 ± ((k 11 +k 22 )²+4k 12 k 21 ) ½ ) / 2 A 11 = ((k 11 λ 2 )(C 1 C 1 ) + k 12 (C 2 C 2 )) / (λ 1 λ 2 ) A 12 = ((k 11 λ 1 )(C 1 C 1 ) + k 12 (C 2 C 2 )) / (λ 2 λ 1 ) A 21 = (k 21 (C 1 C 1 ) + (k 22 λ 2 )(C 2 C 2 )) / (λ 1 λ 2 ) A 22 = (k 21 (C 1 C 1 ) + (k 22 λ 1 )(C 2 C 2 )) / (λ 2 λ 1 ) partikulär: Stationärlsg.en C 1, C 2 C 1 (t) = A 11 e λ1t + A 12 e λ2t + C 1 C 2 (t) = A 21 e λ1t + A 22 e λ2t + C 2 Regeln zu den Eigenwerten: k 12, k 21 positiv Ew. reell k 12, k 21 positiv; k 11, k 22 negativ; -k 11 > k 21 ; -k 22 > k 12 Ew. reell, negativ -k 11 = k 21 ; -k 22 = k 12 ein Ew. = 0 Eigenwerte des linearen Systems bestimmen dessen zeitl. Verhalten betragsmässig kleinster Eigenwert bestimmt i.a. Anpassungszeit eines linearen Systems 2 Spezialfälle: i. hierarchisch: k 12 = 0 oder k 21 = 0 Dreiecksform der Matrix P C 1 (t) wie 1-dim. Modell, C 2 (t) wie exp. wachsender Input ii. komplexe Ew.: dc 1 /dt = k 1 C 2 C 1 (t) = A 11 e λ1t + A 12 e λ2t dc 2 /dt = k 2 C 1 C 2 (t) = A 21 e λ1t + A 22 e λ2t lineare Modelle mit rein imaginären Eigenwerten sind strukturell instabil charakt. Polynom: λ² + k 1 k 2 = 0 λ 1,2 = ±i(k 1 k 2 ) ½ = ±iω C 1 (t) = A 11 e iωt + A 12 e -iωt C 2 (t) = A 21 e iωt + A 22 e -iωt e iωt = cos(ωt) + isin(ωt) nur Realteil interessiert: C 1 (t) = B 11 cos(ωt) + B 12 sin(ωt) C 2 (t) = B 21 cos(ωt) + B 22 sin(ωt) Anfangsbedingungen einsetzen B s Gillian Grün, von 6

4 Fixpunkt = Zentrum Stabilität der Stationärzustände: Systemverhalten in dessen 1. λ 1, λ 2 < 0, reell stabiler Stern Nähe lässt sich nicht durch 2. λ Linearisierung ermitteln 1, λ 2 > 0, reell instabiler Stern 3. λ 1 > 0, λ 2 < 0 oder λ 1 < 0, λ 2 > 0 Sattelpunkt 4. λ 1, λ 2 komplex, Re(λ 1, λ 2 ) < 0 stabil mit Oszillation 5. λ 1, λ 2 komplex, Re(λ 1, λ 2 ) > 0 instabil mit Oszillation 6. λ 1, λ 2 komplex, Re(λ 1, λ 2 ) = 0 ungedämpfte Oszillation (= Zentrum) b. nicht lineare Systeme mit 2 Systemvariablen dc 1 /dt = f 1 (C 1, C 2 ) dc 2 /dt = f 2 (C 1, C 2 ) natürliche Modelle sind selten wirklich linear Stationärzustände: Nullsetzen mehr als 1 Lösung möglich Stabilität der Stationärzustände: Jacobi-Matrix Ew. Bestimmen Regeln verwenden Gillian Grün, von 6

5 III) Modelle in Raum und Zeit δc/δt = Input Output ± Produktion/Reaktion + Term für Advektion + Term für Diffusion Fluss F = Masse pro Fläche pro Zeit Konzentrationsgesetz (= Kontinuitätsgleichung = Satz von Gauss): δc/δt = -δf x /δx = -divf bei 3 Dimensionen: δc/δt = -(δf x /δx + δf y /δy + δf z /δz) δf x /δx < 0 δc/δt > 0 δf x /δx > 0 δc/δt < 0 a. Advektion (= gerichteter Transport, Geschw. v) Fluss F Adv = vc F x = v x C δc Adv /δt = -δ(vc)/δx = -vδc/δx Mischungszeit: τ Adv = l/v l: Strecke b. Diffusion (= ungerichteter Transport, Diffusionskoeff. D oder K z ) Fluss F Diff = -DδC/δx δc Diff /δt = -δ(-dδc/δx)/δx = Dδ²C/δx² (= 1. Fick sches Gesetz) (= 2. Fick sches Gesetz) Mischungszeit: τ Diff = l²/d Spezialfall: Gas/Wasser-Austausch innerhalb Grenzfilm über Wasseroberfläche: nur molekulare Diffusion Henry-Koeff.: H c = p/c Sättg. p: Partialdruck des Wassers in der Luft C 0 > C Sättg. Übersättigung C 0 < C Sättg. Untersättigung Grenzfilm: F = -DδC/δx = -D(C Sättg. C 0 )/ x (stationär, nur Diffusion linear) F = -v g (C Sättg. C 0 ) = -v g (C(x+ x) C(x)) v g : Gasaustauschgeschw. [m/s] falls Wasserkörper vollst. Durchmischt C 0 = C Änderung des Wasserinhalts: Verdunstung VdC/dt = -FA = Av g (C Sättg. C 0 ) dc/dt = Av g (C Sättg. C 0 )/V = v g (C Sättg. C 0 )/h = k g (C Sättg. C 0 ) k g : Austauschrate c. Diffusion und Advektion Mischungsvergleich: τ Diff /τ Adv = lv/d l* = D/v falls l<l* Diffusion dominant falls l>l* Advektion dominant δc/δt = J kc vδc/δx + Dδ²C/δx² Transportprozesse = gerichtet oder Folge vieler zufälliger Prozesse (=zeitabhängige Transportgleichung) Stationärzustände: Nullsetzen C(x) = A 1 e λ1x + A 2 e λ2x + J/k λ 1,2 = (v±(v²+4dk) ½ ) / 2D = v(1±(1+4dk/v²) ½ ) / 2D Anfangsbedinungungen A 1, A 2 Gillian Grün, von 6

6 dimensionslose Grössen: Peclet-Zahl: Pe = x r v/d x r : typische Länge (z.b. Bachbreite) Damköhler-Zahl: Da = Dk/v² 4 Extremfälle von Systemen mit Advektion und Diffusion: Da << 1, v² >> kd Advektion wichtig, Reaktion unwichtig Peclet-/Damköhler-Zahl messen rel. Einfluss von gerichtetem und diffusivem Transport und Transformation Pe >> 1, v >> D/x r x r >> D/v Adv. dominiert über Diff. schnelle Adv. Pe << 1, v << D/x r x r << D/v Diff. dominiert über Adv. langsame Adv. Da >> 1, v² << kd Advektion unwichtig, Reaktion wichtig k << D/x r Diff. dominiert über Reaktion langsame Reaktion k >> D/x r Reaktion dominiert über Diff. schnelle Reaktion Hysterese = Abhängigkeit eines Systems von seiner Vorgeschichte Synergismus = Zus.wirken verschiedener externer Kräfte, sodass Gesamtwirkung kleiner als Summe der Einzelwirkungen ist Gillian Grün, von 6