2.2 Schwerepotentiale und Schwerefelder von Körpern einfacher Geometrie

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1 C:\soffelskript\Grav_01_12.docBibliothek Seite Gravimetrie (Schwerefeld und Schwerkraftmethoden) 2.1 Literatur, Allgemeines s. Skript, Bücher aus der Bibliothek 2.2 Schwerepotentiale und Schwerefelder von Körpern einfacher Geometrie Die Grundlagen zur Berechnung der Schwerewirkung im Außenraum von punktförmigen und von ausgedehnten Massen sind bereits besprochen worden. Es sollen im Folgenden nunmehr konkrete Körperformen behandelt werden, die in der Geophysik häufig verwendet werden Kugeln (Vollkugel, Hohlkugel, Aufpunkt P außerhalb und innerhalb der Kugeln) a) Vollkugel, Aufpunkt P außerhalb der Kugel Abbildung zur Ableitung der Formel für die Vollkugel Es ist hierbei zweckmäßig, für das Volumenelement nicht die kartesischen Koordinaten dv = dx dy dz zu verwenden. Besser ist die Verwendung sphärischer Koordinaten mit dem Massenelement dv = ρ 2 dρ sinϕ dϕ dθ. Für das Potential ergibt sich dann folgendes Integral: W = G σ (1/e) dv = G σ (1/e) ρ 2 dρ sinϕ dϕ dθ, mit folgenden Grenzen: 0 < ρ < R; 0 < ϕ < π; 0 < θ < 2π. Nach dem Cosinus-Satz ist e 2 = r 2 + ρ 2 2 ρ r cosϕ Über die totale Ableitung von e 2 (s. Skript) erhält man folgende Substitution: (1/e) sinϕ dϕ = de / ρ r Die Integration über dθ von 0 bis 2π liefert als Lösung für das Integral dθ den Wert 2π. Schließlich erhält man für das Potential folgenden Ausdruck: W = G σ 2 π (ρ 2 dρ / ρ r) de = G σ 2 π (1/r) (ρ dρ) de. Man integriert zunächst de von (r ρ) bis (r+ρ) und erhält 2ρ. Daraus folgt: W = G σ 4 π (1/r) ρ 2 dρ Dann integriert man ρ 2 dρ von 0 bis R und erhält mit der Lösung R 3 /3: W = G σ (4/3) π R 3 (1/r) = G M/r 1

2 C:\soffelskript\Grav_01_12.docBibliothek Seite Dieser Ausdruck für daspotential ist formal gleich dem Ausdruck für das Schwerepotential einer Punktmasse dm. Außerhalb der Kugel unterscheiden sich Schwerepotential und Feld nicht von dem einer Punktmasse im Zentrum. Kugeln gleicher Masse haben gleiche Potentiale und Felder: Äquivalenzprinzip der Gravimetrie. Dies führt bei der Gravimetrie zu Problemen mit der Eindeutigkeit der Interpretation. Ähnliches gilt in der Magnetik für magnetisierte Massen. Auch bei der Elektrik gibt es ein Äquivalenzprinzip. Das Schwerefeld ergibt sich dann durch den räumlichen Gradienten von W zu: g r = grad r W = G M (1/r) 2 r/r Das Schwerefeld hat nur eine radiale Komponente g r, tangentiale Komponente g t ist gleich Null. Wenn die Form des Körpers von der Kugelgestalt abweicht und man sich im sogenannten Nahfeld befindet, ist dies jedoch nicht mehr der Fall. Das Schwerefeld auf der Kugeloberfläche ergibt sich auch aus dem Gauß'schen Satz (s. Skript). b) Hohlkugel, Aufpunkt P im Außenraum Abbildung zur Ableitung der Formel Nimmt man eine Hohlkugel im Vollraum an und legt den Punkt P in den Vollraum außerhalb der Hohlkugel, so ist die Ableitung des Potentials formal gleich wie oben, für die Dichte σ muß man die negative Dichtedifferenz σ gegenüber dem Vollraum einsetzen. Man erhält für das Potential den Ausdruck: W = + G σ 4 π (1/r) ρ 2 dρ = + G σ (4/3) π R 3 (1/r) = + G M/r Das Schwerefeld ergibt sich zu: g r = grad r W = + G M (1/r) 2 r/r Anwendung: in der Geophysik kann man mit Hilfe von Schweremessungen unter Tage Hohlräume orten und ihre Geometrie berechnen. c) Hohlkugel, Aufpunkt P innerhalb der Hohlkugel Abbildung zur Ableitung der Formel Die Ableitung (s. Skript) ist ähnlich wie bei den beiden vorher behandelten Fällen, es gibt lediglich bei der Integration über r andere Integrationsgrenzen. Insgesamt erhält man für das Potential folgenden Ausdruck: W = G σ 2 π (ρ 2 dρ / ρ r) de = G σ 2 π (1/r) (ρ dρ) de. Die Integrationsgrenzen für das Integral de sind jedoch (ρ r) und (ρ+r) (s. Skript) mit der Lösung 2r und das Integral für das Potential lautet dann: 2

3 C:\soffelskript\Grav_01_12.docBibliothek Seite W = G σ 4 π ρ dρ = G σ 2 π R 2 = const. Das Potential ist in diesem Fall eine konstante Größe, die von der Dichtedifferenz σ zum Vollraum und vom Kugelradius R bestimmt wird. Das Schwerefeld ist gleich Null. Man kann sich das so erklären, daß im Aufpunkt P von allen Richtungen her gleich viel Schwerkraft wirkt und sich die Komponenten aufheben. Daß g = 0 ist ergibt sich auch aus dem Gauß'schen Satz (s. Skript). Eine Konsequenz dieser Ableitung ist auch, daß das Schwerefeld im Mittelpunkt der Erde (und aller Sterne) gleich Null ist, obwohl dort der Druck sehr groß sein kann (s , Dichte und Druck im Erdinnern). d) Vollkugel, Aufpunkt P im Innern der Vollkugel Abbildung zur Ableitung der Formel In diesem Fall setzt man das Potential aus zwei Anteilen zusammen, die wir schon abgeleitet haben: Potential am Außenrand einer inneren Vollkugel und Potential am inneren Rand einer Hohlkugel, das bekanntlich konstant ist. Der Aufpunkt P liegt in einem infinitesimal dünnen Zwischenraum, dessen Dicke d wir gegen Null gehen lassen. Es gilt für das Potential W: W(P) = lim [ W 1,a + W 2,i ] = = lim [ G σ (4 π/3) (r 3 /r) + G σ 4 π ρ dρ ] (ρ von r+d bis R) = lim [ G σ (4 π/3) r 2 + G σ 2 π (R 2 (r+d) 2 ] = G σ 2 π [R 2 + (2/3) r 2 r 2 ] = G σ 2 π [R 2 (1/3) r 2 ] für d 0. Auf Grund von Symmetrieeigenschaften des Modells gibt es nur eine radiale Komponente des Schwerefeldes: g r = grad r W. Für das Schwerefeld erhalten wir nach einer Umformung: g r = W/ r = G σ 2 π (2/3) r = G σ 4 π (1/3) r 3 /r 2 = G M i /r 2 Die Schwere wird bestimmt durch Radius und Masse der inneren Kugel M i. g r hängt linear vom Abstand zum Zentrum der Kugel ab. Dies ist wichtig für den Verlauf der Schwerkraft im Erdinnern, s ). Die Schwerewirkung der äußeren Hohlkugel liefert keinen Beitrag. Ein tangentialer Schnitt durch P zerlegt uns die äußere Hohlkugel in zwei äquivalente Körper, deren Schwerewirkung im Punkt P entgegengesetzt gleich groß ist. Zum gleichen Resultat für g im Innern der Vollkugel kommen wir auch über den Gauß'schen Satz (s. Skript). e) Kugelschalen, Aufpunkt P außerhalb (innerhalb) der Kugelschalen Bei P außerhalb der Kugelschalen erhalten wir die gleichen Potentiale und Schwerefelder wie im Außenraum einer Vollkugel mit gleicher Masse (voll äquivalente Körper). Wenn der Aufpunkt P innerhalb der Kugelschalen ist, ist g gleich Null und das Potential ist konstant. Abbildung mit W und g von Vollkugeln und Kugelschalen 3

4 C:\soffelskript\Grav_01_12.docBibliothek Seite Diskussion des Äquivalenzprinzips Vertikaler Zylinder, Platten als Grenzfall bei unendlich großem Zylinder Abbildung zur Ableitung der Formel für den vertikalen Zylinder Während sich für die Berechnung der Schwerewirkung von Kugeln sphärische Koordinaten am besten eigneten, sind es in diesem Fall Zylinderkoordinaten. Das Volumenelement dv wird darin beschrieben zu: dv = a da dϕ dζ ; das Massenelement ist dm = σ dv. In diesem Fall berechnen wir nicht zuerst das Potential und gewinnen daraus die Schwerkraft durch Ableitung, sondern wir berechnen für ein Volumenelement die Vertikalkomponente der Schwerkraft und integrieren dann über die Wirkung eines endlich ausgedehnten Körpers durch Nutzung folgender Beziehung: dg z = (dw)/ z = G σ dζ a da dϕ (z ζ) / e 3. Indem wir den Aufpunkt in die Ebene z = 0 legen erhalten wir: dg z = + G σ dζ a da dϕ ζ / e 3 Nacheinander sind folgende Integrale zu lösen (s. Integraltabellen): g z = dg z = G σ (ζ dζ/ e 3 ) a da dϕ zwischen den Grenzen ϕ 1 bis ϕ 2, a 1 bis a 2 und ζ 1 bis ζ 2. Einzelrechnungen können im Skript nachvollzogen werden. Folie mit der Ableitung der Formel Schließlich erhalten wir für Aufpunkte P auf der Zylinderachse folgenden Ausdruck: g z = G σ ( ϕ 2 ϕ 1 ) ( r 22 r 12 r 21 + r 11 ) Die r ij sind dabei die Abstände vom Punkt P zu den oberen und unteren Begrenzungen des Zylinders (s. Abbildung). Bei einem Vollzylinder der Dicke d ist g z gegeben durch: g z = 2 π G σ ( d + r 21 r 22 ) Folie mit der Ableitung der Formeln für Platte und Halbplatte Ist der Zylinder unendlich weit ausgedehnt ( r 21 r 22 ) und geht damit über in eine unendlich ausgedehnte Platte der Dicke d, so erhalten wir schließlich: g z = 2 π G σ d Dies ist die Schwerewirkung der sogenannten Bouguer-Platte. 4

5 C:\soffelskript\Grav_01_12.docBibliothek Seite Bei der halb-unendlichen Platte ist (ϕ 2 ϕ 1 ) = π und g z an der Kante beträgt nur noch: g z = ½ 2 π G σ d = π G σ d An dieser Stelle an der Kante ist die Vertikalkomponente der Schwerkraft nur halb so groß wie über den vollen Bouguer-Platte. Typische Form der Schwereanomalie am Rand einer Platte Sektoren von Zylindern lassen sich mit der gleichen Formel berechnen, wenn man für (ϕ 2 ϕ 1 ) den Öffnungswinkel im Bogenmaß einsetzt (für ϕ = 45 = π/4). Auf diese Körperformen kommen wir noch zurück, wenn wir uns mit den Reduktionen in der Gravimetrie beschäftigen (s ). Mit der Formel für die Bouguer-Platte lassen sich auch die Schwerewirkungen von Gesteinsplatten berechnen. Eine Gesteinsplatte der Dicke 1 Meter liefert einen Schwerebeitrag von 1 GU d.h. 0,1 mgal (Einzelrechnungen: siehe Skript) Andere Körper einfacher Geometrie, ideelle störende Schicht Die Schwerewirkung echt dreidimensionaler (3D) Körper einfacher Geometrie (Kugel, Quader, Prismen) ist schwierig zu berechnen und vielfach nur näherungsweise möglich. Recht einfach sind dagegen 2D Körper zu behandeln. Sie stellen in vielen Fällen gute Näherungen für 3D-Körper dar, so lange das Verhältnis Länge zu Breite mindestens 3 : 1 beträgt. a) Prototyp eines 2D-Körpers: unendlich lange Stange mit konstantem Querschnitt. Abbildung des Modells mit Ableitung der Formel Bei der Ableitung der Formel setzt man die Stange aus unendlich vielen gleichartigen Volumenelementen mit dem konstanten Querschnitt df (df = π R 2 für den Fall eines kreisförmigen Querschnitts) und der Länge ds zusammen und integriert über die Wirkung sämtlicher Massenelemente von bis +. Die Vertikalkomponente von g z in einem Profil senkrecht zur Stange mit kreisförmigem Querschnitt ergibt sich zu: g z = 2 G F σ z / e 2, mit F = π R 2. Auch hier gibt es wieder, wie bei den Kugeln, ein Äquivalenzprinzip, denn alle Zylinder in gleicher Tiefenlage (z = const.), bei denen das Produkt Querschnittsfläche x Dichte = (df σ) gleich groß ist, besitzen die gleiche Schwerenomalie. Quasi-äquivalente Störkörper sind z.b. Stangen mit rechteckigem Querschnitt, aber ebenfalls gleichem Wert für (df σ). Bei genügend großer Tiefenlage der Körper kann man meßtechnisch zwischen beiden nicht unterscheiden. Abbildung von äquivalenten Körpern für einen Zylinder Auch höher liegende körper mit einem mehr elliptischen Querschnitt können die selbe Form der Schwereanomalie erzeugen. Im Extremfall können sogar Dichtevariationen in der Oberfläche die gleichen Schwerevariationen von g z bedingen wie tiefer liegende Körper (s. Oberflächendichten). 5

6 C:\soffelskript\Grav_01_12.docBibliothek Seite b) Geneigte Platte Abbildung des Modells einer geneigten Platte Die Wirkung einer im Winkel α gegen die horizontale Oberfläche geneigten Platte endlicher Tiefenerstreckung läßt sich berechnen, wenn man die Platte der Dicke b aus parallel angeordneten horizontalen Stangen mit dem rechteckigen Querschnitt df = b ds zusammensetzt. Die Formel für die Schwerewirkung g z der Platte lautet: g z = 2 G b σ [ sinα ln (r 2 /r 1 ) + cosα ( ϕ 1 ϕ 2 ) ]. Die Formel enthält einen sogenannten Winkel-Term und einen logarithmischen Term. Auch hier hat man wieder äquivalente Körper, wenn das Produkt Dicke Dichte = (b σ) = konstant gehalten wird. Für den Fall einer horizontalen Platte (α = 0), die unendlich ( ϕ = π) oder halbunendlich ( ϕ = ½ π) ausgedehnt ist, erhält man die schon früher abgeleiteten Ausdrücke für deren Schwerewirkung g z : c) Gerade Stufe g z = 2 π G σ d (unendliche Platte) g z = π G σ d (halbunendliche Platte) Abbildung des Modells der geraden Stufe Die Wirkung g z einer solchen Stufe erhalten wir, indem wir sie aus mehreren übereinanderliegenden Platten (s. Modell b) zusammensetzen. Die Endformel lautet: g z = 2 G σ [ ( ϕ 2 ζ 2 ϕ 1 ζ 1 ) + x ln (r 2 /r 1 ) ]. Die Formel enthält wieder einen sogenannten Winkel Term und einen logarithmischen Term. Auch hier hat man wieder zumindest quasi-äquivalente Körper, wenn das Produkt Dicke Dichte = (b σ) = konstant gehalten wird. d) Schiefe Stufe Abbildung des Modells der schiefen Stufe Auch dieses Modell können wir aus einer Superposition dünner horizontaler Platten erhalten, wobei wir diesmal entlang der schiefen vorderen Flanke integrieren müssen. Die Formel lautet: g z = 2 G σ {(x n) sinα [(ϕ 2 ϕ 1 ) cosα + sinα ln (r 2 /r 1 )] + [ϕ 2 ζ 2 ϕ 1 ζ 1 ]} Auch hier ergibt sich wieder ein Winkel- und ein logarithmischer Term. 6

7 C:\soffelskript\Grav_01_12.docBibliothek Seite Körper dieser Art sind Grundkörper, aus denen sich 2D-Körper mit einem beliebigen Querschnitt nach dem sogenannten Talwani-Verfahren oder der Polygonmethode zusammensetzen lassen (s.2.7.2). e) Ideelle störende Schicht Platten im Untergrund können auch zu ideellen störenden Schichten entarten, wenn man die Masse in ihrer "Schwerpunktebene" kondensiert. Man kann dann eine Flächendichte σ* definieren, die sich aus dem Produkt Dichte Dicke (σ* = σ d) der Platte ergibt. Wie schon an früherer Stelle erwähnt, können Schwerewirkungen in g z tief liegender Körper auch durch äquivalente ideelle störende Schichten an der Oberfläche mit variabler Flächendichte σ* simuliert werden. f) Äquivalente und quasi-äquivalente Körper Vollständig äquivalente Körper wurden in den vorangegangenen Kapiteln ausführlich behandelt. Quasi-äquivalente Körper sind solche, die sich im Rahmen der Meßgenauigkeit nicht unterscheiden lassen (z.b. tief liegende Zylinder mit kreisförmigem oder anders gestaltetem Querschnitt bei df = const., Körper mit Löchern oder unregelmäßigen Umrissen). Abbildung für quasi-äquivalente Körper und ihren Näherungen g) Schwerewirkung von Kugeln, Zylindern und Platten im Vergleich Durchmesser D = 2 R der Kugeln, Zylinder und die Dicke D der Platten sollen gleich sein. Die Wirkungen g z = g z,max stehen in folgenden Verhältnissen zu einander: Zylinder : Kugel = 3 : 2 sowie Platte : Kugel = 3 : 1. Ableitung: s. Skript. h) Beispiele für typische Schwereanomalien von Kugeln und zweidimensionalen Körpern (Platten, Stufen, Quader, Prismen,... ) Abbildungen der Schwerewirkungen verschiedener Körper (Kugeln, horizontaler Zylinder, dünne Platten, gerade und geneigte Stufen), Auswirkung der Tiefenlage auf die Anomalien 2.3 Gesteinsdichte Die Dichte σ ist eine skalare Größe und wird entweder in g/cm 3 angegeben, neuerdings auch in kg/m 3 oder in Mg/m 3. Umrechnungen: 1 g/cm 3 = 1Mg/m 3. 1 g/cm 3 = 10 3 kg/m 3. Die mittlere Gesteinsdichte beträgt etwa 2,7 g/cm 3 = 2,7 Mg/m 3 bzw kg/m 3. Gesteine sind Gemische von Mineralien, deren Masse je nach Häufigkeit im Gestein (M m ) zusammen mit der Masse der Porenfüllung (M p ) die Dichte σ bestimmen. Rohdichte: σ = ( M m + M p ) / V Abbildungen mit Mineraldichten Schwankungen des Chemismus und der Realstruktur der Gesteine haben einen großen Einfluß auf die Dichte. Abbildungen mit Gesteinsdichten 7

8 C:\soffelskript\Grav_01_12.docBibliothek Seite Einfluß von Schwankungen der Zusammensetzung und der Porosität Messung der Gesteinsdichte a) Methode nach Archimedes: Bestimmung des Gewichts in Luft (G L ) und in Wasser (G W ). Daraus ergibt sich: σ Probe / σ Wasser = G L / ( G L G W ) = σ Probe, wenn die Dichte von Wasser mit 1 g/cm 3 angesetzt werden kann. Diskussion der Fehlerquellen und deren Vermeidung. Die natürliche Dichte σ natürlich hängt von der Porosität und von der Porenfüllung ab. Wenn man Wasser der Dichte σ = 1 g/cm 3 als Porenfüllung annimmt, kann man die Porosität aus Dichtemessungen im trockenen und wassergesättigten Zustand der Proben bestimmen (s. Skript). Davon wird bei Bohrlochmessungen und Messungen an Bohrkernen Gebrauch gemacht. Pyknometer für Dichtemessungen an Kleinproben (Cuttings). Schwereflüssigkeiten für Dichtemessungen an kleinen Mineralkörnern. Absorption von Gamma-Strahlen. Abbildungen mit Meßprinzip: Gamma-Absorptionsdichte. Abbildungen mit Dichteverlauf in einem Bohrkern von KTB Abbildungen mit Anisotropie und Heterogenität der Dichte (KTB-Kern) Bohrlochgravimetrie zur Bestimmung der Dichte von Gesteinspaketen. Die Dichte ergibt sich aus der Formel für die Bouguer-Platte, deren Dicke D = h gleich dem Abstand der zwei Meßpunkte ist, g ist die gemessene Schweredifferenz. σ = g / 4 π G h Abbildungen mit Dichtemessung aus Bohrlochgravimetrie (KTB) Bei einer komplizierten Gebirgsstruktur (Faltenbau, 3D-Körper) gibt diese Methode ungenaue Dichtewerte ( KTB). Gamma-Gamma-Dichtemessung in Bohrlöchern, dichteabhängige Absorption über die Comptonstreuung. Dichtemessung aus Feldmessungen: siehe Nettletonverfahren Korrelation der Dichte mit anderen petrophysikalischen Größen Abbildung: Einfluß von Phasenumwandlungen (z.b. Olivin) Abbildung: Abhängigkeit vom Druck (intrinsische Dichte) Abbildung: Abhängigkeit von der Temperatur (Tendenz) Abbildung: Abhängigkeit vom Chemismus der Gesteine Abbildung: Korrelation mit seismischen Geschwindigkeiten Abbildung: Korrelation mit der magnetischen Suszeptibilität 8

9 C:\soffelskript\Grav_01_12.docBibliothek Seite Abbildung: Abhängigkeit von der Porosität 9