Mathe mit OpenOffice. Größen, Zinsen, Daten und Zufall, Funktionen. Lehrerband mit CD

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1 Hannes Klein, Thilo Schmid, Thomas Schultis, Dieter Baum 1. Auflage, 2012 ISBN: Mathe mit OpenOffice Größen, Zinsen, Daten und Zufall, Funktionen Windows 7 und OpenOffice Calc Lehrerband mit CD RS-MA-OO_LMP

2 3.3 Wachstumsprozesse und Diagramme Programmspezifisch Inhalte Wachstumsprozesse in Tabellen und Diagrammen veranschaulichen Voraussetzungen Systematisches Darstellen von Größen in einer Tabelle Diagramme erstellen Absolute Zellbezüge verwenden Mathematisch Verschiedene Wachstumsarten unterscheiden Wachstumsprozesse mathematisch abbilden Exponentielles Wachstum Beschränktes Wachstum Logistisches Wachstum Methodisch-didaktische Hinweise Die in der Schule gängigen Wachstumsprozesse sind lineares, exponentielles, beschränktes und logistisches Wachstum. Auf das lineare Wachstum wird in diesem Teilkapitel nicht eingegangen, da diese Wachstumsart implizit im Kapitel Lineare Funktionen behandelt wird. Kern dieses Teilkapitels ist es, die genannten Wachstumsprozesse sowohl in Datentabellen als auch darauf aufbauend in Diagrammen zu veranschaulichen. Der Vorteil von OpenOffice Calc liegt darin, dass Veränderungen der Wachstumsrate bzw. des Grenzwerts sofort in den Datenta bellen und im Diagramm abgebildet werden, sodass der Fokus auf dem Wachstumsprozess selbst und nicht auf der Berechnung der Teilschritte liegt. Als Einstieg könnte die Klasse verschiedene Wachstumskurven den zugehörigen Wachstumsarten und Beispielen zuordnen. Als Vorlage für die Schaubilder kann die Lehrerin bzw. der Lehrer die Diagramme aus den Lösungsdateien der 2. und 3. Übungsaufgabe verwenden. Es ist auch denkbar, die Schülerinnen und Schüler im Arbeitsheft die wesentlichen Eigenschaften und Unterscheidungsmerkmale der verschiedenen Wachstumsprozesse entdecken und ihre Ergebnisse in der Klasse präsentieren zu lassen. Die Übungsaufgaben sind kleinschrittig aufgebaut, sodass sie in Einzelarbeit oder ggf. in Partnerarbeit lösbar sind. In der 1. und 2. Übungsaufgabe benötigen die Schülerinnen und Schüler den absoluten Zellbezug, um die Zuwachsformeln in nachfolgende Zeilen kopieren zu können. Die 3. Übungsaufgabe sollten die Schülerinnen und Schüler zunächst mit einem Blatt Papier ausprobieren und erst dann zur Berechnung in OpenOffice Calc übergehen. Es empfiehlt sich, die Anzahl möglicher Faltungen zunächst schätzen zu lassen. Vermutlich liegen die Schätzwerte weit über einer realistischen Anzahl. Kompetenzen Die Schülerinnen und Schüler können unterschiedliche Wachstumsarten in einer Tabelle darstellen; wissen, wie sie einen Wachstumsprozess in einem Diagramm veranschaulichen; erkennen die Unterschiede verschiedener Wachstumsprozesse; 40 HERDT-Verlag

3 Sachrechnen 3 können einen alltäglichen Wachstumsprozess mithilfe von Formeln nachbilden. Differenzierung Schnell arbeitende Schülerinnen und Schüler können die 2. Übungsaufgabe dahin gehend erweitern, dass der minütliche Änderungsfaktor variiert wird. Ein Ziel könnte es zum Beispiel sein, die Schale bereits nach 15 Minuten auf eine Temperatur von 110 C zu erwärmen. Die Schülerinnen und Schüler sollen einen dafür passenden minütlichen Änderungsfaktor durch systematisches Probieren ermitteln. Es ist auch denkbar, dass die Lernenden im Internet nach Wachstumsprozessen und damit verbundenen Kennwerten für die Abbildung des Wachstums in OpenOffice Calc suchen. Checkliste zur Unterrichtsvorbereitung Eventuell Ausdrucke von Wachstumskurven und zugehörigen Begriffen samt charakteristischen Beispielen (z. B. die Diagramme aus den Lösungsdateien der 2. und 3. Übungsaufgabe oder aus einem Biologiebuch) DIN-A4-Blätter in unterschiedlichen Stärken für die 3. Übungsaufgabe Lösungen / Überlege dir, warum es beim Bakterienwachstum einen Grenzwert gibt. Es gibt bei Bakterienwachstum in der Natur aufgrund beschränkter Ressourcen (Nahrung und Platz) einen Grenzwert. 1 a) bis c) Musterlösung siehe Datei Bakterienwachstum _Loesung.ods. d) Bei halbem (doppeltem) Grenzwert ist der Zuwachs kleiner (größer) und der Grenzwert wird später (früher) erreicht. 2 a) und b) Musterlösung siehe Datei Schale_Loesung.ods. Die Schale erreicht nach ca. 46 Minuten die geforderte Temperatur. 3 a) Man kann ein handelsübliches DIN-A4-Papier mit einer Dicke von etwa 0,12 mm angeblich bis zu 7-mal falten. Die Testpersonen schafften allerdings nur 6 Faltungen. b) Individuelle Lösung der Aufgabe Musterlösung siehe Datei Papier_Loesung.ods. c) Es handelt sich dabei um exponentielles Wachstum. HERDT-Verlag 41

4 4.5 Varianz und Standardabweichung Programmspezifisch Inhalte Varianz berechnen Standardabweichung mithilfe von OpenOffice-Calc-Funktionen berechnen Voraussetzungen Funktionen verwenden Kennwerte bestimmen Mathematisch Streuung Varianz Standardabweichung Daten interpretieren Modellieren Statistische Kennwerte Normalverteilung Methodisch-didaktische Hinweise Die Kennwerte Varianz und Standardabweichung sind wichtige Messinstrumente in der Statistik, mit deren Hilfe das Maß der Streuung in einer Datenreihe bestimmt werden kann. Die Schülerinnen und Schüler lernen in diesem Teilkapitel, was Streuung, Varianz und Standardabweichung bedeuten und wie sie mithilfe des Programms bestimmt werden können. Das Eingangsbeispiel kann als Einstieg in die Unterrichtsstunde verwendet werden, um den Schülerinnen und Schülern mithilfe der vorliegenden Diagramme die Bedeutung der Begriffe zu veranschaulichen. Sie erfahren dabei, wie die Kennwerte berechnet werden und welche Hilfe sie in statistischen Auswertungen bieten können. In der 1. Übungsaufgabe vollziehen die Schülerinnen und Schüler die Bedeutung der statistischen Kennwerte nach und erkennen dabei die mathematischen Zusammenhänge. In der 2. Übungsaufgabe wenden die Schülerinnen und Schüler zunächst ihre Kenntnisse an, um den Verlauf von Lufttemperaturwerten näher zu erkunden. Die Standardabweichung soll ihnen dabei helfen, die Temperaturerhöhung der letzten Jahre besser einzuordnen. Kompetenzen Die Schülerinnen und Schüler können die Varianz und die Standardabweichung einer Datenreihe berechnen; können mithilfe von Varianz und Standardabweichung Daten interpretieren. Differenzierung Die 2. Übungsaufgabe ist in sich differenziert und lässt viele Vergleiche und Interpretationen der Temperaturwerte in unterschiedlichen Ausprägungsgraden zu. Die Aufgabe bietet damit sowohl leistungsstärkeren als auch leistungsschwächeren Schülerinnen und Schülern gute Möglichkeiten zum individuellen Lernen. Die Aufgabe ist auch gut als Partner- oder Gruppenarbeit einsetzbar. 54 HERDT-Verlag

5 Daten darstellen und auswerten 4 Checkliste zur Unterrichtsvorbereitung Übungsdatei Testergebnisse.ods Übungsdatei Lufttemperatur.ods Beispiel einer Normalverteilung zur Veranschaulichung bzw. Wiederholung des Begriffs Lösungen 1 Siehe Datei Testergebnisse_Loesung.ods. a) Die Summe aller Abweichungen ergibt null. Daher ist auch der Mittelwert null. b) Siehe Datei Testergebnisse_Loesung.ods. c) Siehe Datei Testergebnisse_Loesung.ods. d) Der Mittelwert der Quadratabweichungen ist (auch definitionsgemäß) die Varianz und die Wurzel daraus die Standardabweichung. 2 Siehe Datei Lufttemperatur_Loesung.ods. a) Siehe Datei Lufttemperatur_Loesung.ods (Tabellenblatt 2a). b) Das Jahr 2007 war überdurchschnittlich warm. Der Januar und das Jahresmittel bilden das Maximum der jeweils 250 Messwerte. In den meisten Monaten liegt die Temperatur teilweise deutlich über dem Durchschnitt. c) Die Abweichung des Aprilwertes von 2009 vom Mittelwert beträgt das 2,74-fache der Standardabweichung (2,74 s). Statistisch gesehen gibt es nur wenige Werte, die stärker vom Mittelwert abweichen. Dies belegt u. a. auch die Nähe des Wertes zum Maximum (12 C). d) Individuelle Lösung der Aufgabe Die Beispieldatei Lufttemperatur_Loesung.ods (Tabellenblatt 2d) zeigt den tendenziellen Temperaturzuwachs in den letzten 200 Jahren. HERDT-Verlag 55

6 7.1 Quadratische Funktionen grafisch darstellen Programmspezifisch Inhalte Graphen von quadratischen Funktionen im Koordinatensystem darstellen Tabellenblatt so einrichten, dass durch die Veränderung der Funktionsgleichung der zugehörige Graph angezeigt wird Funktionsgleichungen in OpenOffice- Calc-Formeln umwandeln Voraussetzungen Relativer und absoluter Zellbezug Formeln kopieren Punktdiagramme mithilfe des Diagramm- Assistenten erstellen Tabellen und Diagramme formatieren Mathematisch Funktionsgleichungen variieren Zusammenhänge verstehen Bedeutung der Parameter Wechsel zwischen den Darstellungsformen Quadratische Funktionen Verschiedene Darstellungsformen Punktkoordinaten ablesen Schnittpunkte mit Koordinatenachsen Methodisch-didaktische Hinweise In diesem Kapitel liegen die Vorteile der Nutzung des Programms in den vielfältigen Möglichkeiten, Veranschaulichungen und Berechnungen rasch durchzuführen. Bei der Umsetzung müssen sich die Schülerinnen und Schüler den Aufbau von Gleichungen und deren Umformungen bewusst machen. Das Verständnis wird hierbei gefördert. Am Beispiel der einfachsten Form einer quadratischen Funktion können die Schülerinnen und Schüler nochmals wiederholen, wie eine Wertetabelle und ein Koordinatensystem in Diagrammform erstellt werden. Bei den folgenden quadratischen Funktionen soll das Tabellenblatt so eingerichtet werden, dass durch die Änderung der Parameter in der Funktionsgleichung der zugehörige Graph sofort angezeigt wird. Dadurch können Graphen rasch veranschaulicht und die Tabellenblätter zum experimentellen Arbeiten genutzt werden. Das Verständnis der Zusammenhänge zwischen der Veränderung der Parameter in der Funktionsgleichung und ihren Auswirkungen auf den Graphen wird weiter vertieft. In der 1. Übungsaufgabe müssen die Schülerinnen und Schüler den erstellten Graphen mit der Normalparabel vergleichen und verschiedene Werte ablesen. In der 2. und 3. Übungsaufgabe werden sie aufgefordert, verschiedene Variationen der Funktionsgleichung zu erkunden und deren Zusammenhänge zu formulieren. Kompetenzen Die Schülerinnen und Schüler können Graphen von quadratischen Funktionen mithilfe des Programms darstellen; wissen, wie man ein Tabellenblatt einrichtet, sodass nur noch die Funktionsgleichung verändert werden muss, um den jeweiligen Graphen anzuzeigen; können Zusammenhänge zwischen Parametern in der Funktionsgleichung und der Lage des Graphen im Koordinatensystem erkennen und formulieren. 82 HERDT-Verlag

7 Quadratische Funktionen 7 Differenzierung Je nach Leistungsstand der Klasse kann von Beginn an das Tabellenblatt so aufgebaut werden, dass nur noch die Parameter in den Funktionsgleichungen verändert werden müssen, um die Wertetabelle und den Graphen anzupassen. Schnell arbeitende Schülerinnen und Schüler können versuchen, den Brückenbogen (Randspalte) mithilfe des Programms grafisch zu veranschaulichen und z. B. die Breite der Brücke zu bestimmen. Checkliste zur Unterrichtsvorbereitung Dateien Quadratische Funktion y=x²_loesung.ods, Quadratische Funktion y=ax²+b_loesung.ods und Quadratische Funktion y=(x+c)²+b_loesung.ods zur Demonstration bereithalten Lösungen / Vergleiche den Graphen mit der Normalparabel. [...] Die Parabel ist auch nach oben geöffnet, ihre Symmetrieachse ist ebenso die y-achse. Die Parabel wurde um eine Einheit nach unten verschoben und ist breiter als die Normalparabel. / Richte das Tabellenblatt so ein, dass Siehe Datei Quadratische Funktion y=(x+c)²+b_loesung.ods. 1 Siehe Datei Quadratische Funktion y=-x²_loesung.ods. a) Der Graph der Funktion y = x ² ist nach unten geöffnet. Der Scheitelpunkt S(0 0) ist der höchste Punkt. Die Normalparabel wurde an der x-achse gespiegelt. b) x 1 = 1,5 y 1 = 2,25 ; x 2 = 2 y 2 = 4 ; y 3 = 0 x 3 = 0; y 4 = 1 x 4 = 1 2 Siehe Datei Quadratische Funktion y=ax²+b_loesung.ods. a) Für a > 1 oder a < 1 wird die Parabel schmaler als die Normalparabel, für 0 < a < 1 oder 0 > a > 1 wird die Parabel breiter als die Normalparabel. b) Der Wert von b bestimmt die Verschiebung der Parabel entlang der y-achse. c) Zwei Schnittpunkte mit der x-achse: bei a > 0 und b < 0 sowie bei a < 0 und b > 0 3 Siehe Datei Quadratische Funktion y=(x+c)²+b_loesung.ods. a) Verändert man den Wert für c, wird die Normalparabel entlang der x-achse verschoben. Verändert man dann den Wert für b, erfolgt eine Verschiebung in y-richtung. b) Individuelle Lösung der Aufgabe Die Graphen der Funktionen y = (x + c) ² + b haben den Scheitelpunkt S( c b). c) S1(2 3) y = (x 2) ² 3; S2( 1 2,5) y = (x + 1) ² + 2,5 ; S3( 3,5 2) y = (x + 3,5 ) ² 2 d) Individuelle Lösung der Aufgabe Parabeln, die keinen Schnittpunkt mit der y-achse haben, gibt es nicht. HERDT-Verlag 83