Verlauf Material LEK Glossar Lösungen. Hoch und tief, schmal und breit veränderte Normalparabeln. Thomas Gyöngyösi, Halberstadt VORANSICHT

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1 Reihe 37 S 1 Verlauf Material LEK Glossar Lösungen Hoch und tief, schmal und breit veränderte Normalparabeln Thomas Gyöngyösi, Halberstadt Schüler bei der Arbeit mit GeoGebra Klasse: 8 Inhalt: Foto: Thomas Gyöngyösi Quadratische Funktionen (= Parabeln, Funktionen 2. Grades) im Alltag, Einluss von Parametern auf Parabeln, Scheitelpunktform, Eigenschaften quadratischer Funktionen, quadratische Ergänzung Dauer: 7 Stunden Ihr Plus: GeoGebra Den meisten Schülern ist nicht bewusst, dass Parabeln in unserem Alltag allgegenwärtig sind: beim Regenbogen, in Tunneln, bei Brücken oder als gestalterische Elemente in Kunst und Architektur. Lassen Sie die Schüler herausinden, welchen Einluss Parameter auf Form und Lage der Normalparabel haben.

2 Reihe 37 S 2 Verlauf Material LEK Glossar Lösungen Didaktisch-methodische Hinweise In Abhängigkeit von bestimmten Parametern ändert sich die Form und Lage der Normalparabel. Wie, das untersuchen Ihre Schüler in diesem Beitrag. Machen Sie den Lernenden das Konzept Ihres Unterrichts deutlich: Wie wollen Sie vorgehen? Eine Möglichkeit ist das hier vorgestellte Gruppenpuzzle. Unterrichtliche Voraussetzungen Typischerweise behandeln Sie dieses lehrplanrelevante Thema in der Jahrgangsstufe 8 (oder 9). Es ist im Lehrplan nach der Auseinandersetzung mit den linearen Funktionen angesiedelt. Sie wiederholen zunächst die Grundbegriffe dieses Kapitels, also den Funktionsbegriff, die unterschiedlichen Darstellungsformen von Funktionen (Gleichung, Graph und Wertetabelle) und ihre Eigenschaften. Ob Sie das Thema Quadratische Gleichungen behandelt haben, spielt für die Arbeit mit den vorliegenden Materialien keine Rolle. Einstieg Zur Motivation lassen Sie die Schüler Parabeln in ihrer Umwelt suchen, fotograieren und damit z. B. ein Plakat erstellen. Darauf sollen sie die vielfältigen Anwendungsmöglichkeiten von quadratischen Funktionen darstellen. Die gängigen Suchmaschinen im Internet sind für die Bildrecherche eine Hilfe. Wichtige Impulse erhalten die Schüler aus der Physik: Zum Beispiel spielen quadratische Funktionen bei der Ermittlung des Anhalteweges eines Fahrzeuges eine Rolle. Aufbauend auf dieser Einführungsphase lernen Ihre Schüler die Normalparabel als Graph der Funktion f(x) = x 2 kennen. Eine Funktionsdiskussion wie in der Oberstufe können Sie noch nicht durchführen, da Sie dazu den Ableitungsbegriff brauchen. Stellen Sie aber dennoch alle wichtigen Eigenschaften der Normalparabel zusammen. Für die nachfolgenden Materialien sind mindestens die folgenden Eigenschaften unverzichtbar: Deinitionsbereich, Scheitelpunkt, Monotonie, Wertebereich, Anzahl der Nullstellen, Schnittpunkt mit der y-achse, Symmetrieachse. Zeigen Sie Ihren Schülern, dass sich aus dem Scheitelpunkt einer quadratischen Funktion der Wertebereich und die Bereiche, in denen die Funktion monoton ist, leicht ermitteln lassen. Das Gruppenpuzzle Die Materialien M 2 bis M 4 bilden ein Gruppenpuzzle. Je nach Ausstattung des Computerraums Ihrer Schule teilen Sie die Schüler in Kleingruppen ein. Idealerweise arbeiten je zwei Schüler an einem Computer zusammen. Geeignet sind z. B. Vierergruppen, bei denen ein Zweierteam das Material M 2 und das andere Zweierteam Material M 3 bearbeitet. M 2 eignet sich eher für leistungsschwächere Teams. M 3 ist für leistungsstarke Teams gedacht (darauf weisen die Sterne in der oberen rechten Ecke hin). Beide Teams haben als gemeinsames Ziel die in M 4 gestellte Aufgabe. Hierzu gibt es eine Tippkarte. Für die Erarbeitungsphase in den Zweierteams benötigen Sie eine Unterrichtsstunde. Da beide Materialien außerdem Differenzierungsmöglichkeiten anbieten, nämlich Aufgaben für Experten, können Sie die Arbeit entspannt angehen. Auch, wenn die eine oder andere Gruppe schneller arbeitet, entstehen keine Probleme. Je nach Leistungsstand Ihrer Klasse lassen Sie je zwei Zweierteams, die dasselbe Material bearbeitet haben, ihre Ergebnisse im Rahmen einer Expertengruppe vergleichen. In den Erarbeitungsphasen arbeiten die Schüler mit der dynamischen Geometriesoftware GeoGebra.

3 Reihe 37 S 5 Verlauf Material LEK Glossar Lösungen Auf einen Blick Einstieg Material Thema Checkliste M 1 Der Alltag: Die Normalparabel ist verändert Das Thema Veränderung der Normalparabel motivieren und das Gruppenpuzzle vorbereiten Gruppenpuzzle zu den Verschiebungen der Normalparabel Material Thema Checkliste M 2 M 3 M 4 Parabeln auf Abwegen die Normalparabel verschieben Den Einluss des Parameters e auf die quadratische Funktion y = x 2 + e entdecken und die Eigenschaften der entsprechenden Funktion untersuchen Parabeln auf Abwegen die Normalparabel verschieben Die Auswirkungen des Parameters d auf die quadratische Funktion f(x) = (x d) 2 erkunden und ihre Eigenschaften untersuchen Dein Gebiss und lustige Fenster Beispiele für Parabeln Begreifen, dass die Parameter d und e in f(x) = (x d) 2 + e eine Verschiebung der Normalparabel verursachen Von der Normalform zur Scheitelpunktform Material_2.html, Parabelschablone Material_3.html, Parabelschablone Material_4.html, Parabelschablone Material Thema Checkliste M 5 M 6 Ordnung im Chaos die Scheitelpunktform Verknüpfung der Lageparameter d und e zur Scheitelpunktform, Untersuchung der Eigenschaften der Funktion f(x) = (x d) 2 + e So funktioniert die quadratische Ergänzung Ein Verfahren erlernen, um die Normalform in die Scheitelpunktform zu überführen Material_5.html, Parabelschablone Partnerarbeit Material Thema Checkliste M 7 M 8 Drücken, Ziehen die Normalparabel verändert ihre Form Die Auswirkungen des Formparameters a auf die quadratische Funktion y = ax 2 entdecken Neue Eigenschaften die Funktion f(x) = ax 2 untersuchen Die Eigenschaften der Funktion f(x) = ax 2 zusammenstellen und die allgemeine Scheitelpunktform kennenlernen: f(x) = a(x d) 2 + e Material_7.html Material_8.html

4 Reihe 37 S 6 Verlauf Material LEK Glossar Lösungen Das Gruppenpuzzle so geht s

5 Reihe 37 Verlauf Material S 1 LEK Glossar Lösungen M 1 Der Alltag: Die Normalparabel ist verändert Abb. 01: Parabelförmige Hecke Abb. 02: Wasserbogen Fotos: Thomas Gyöngyösi Abb. 03: Parabelförmige Fenster (Berufsakademie Lörrach) Foto: E-Punkt/fotocommunity.de

6 Reihe 37 Verlauf Material S 2 LEK Glossar Lösungen M 2 Parabeln auf Abwegen die Normalparabel verschieben Immer nur an der gleichen Stelle bleiben? Nein, das ist nichts für unsere Normalparabel! Sie wandert im Koordinatensystem: erst nach oben und unten, dann nach links und rechts. Aufgaben: Die Funktion f(x) = x 2 + e 1. Öffne die Datei Material_2.html. Untersuche den Einluss des Parameters e auf die Normalparabel, indem du den Schieberegler bewegst und damit die Werte für e änderst. 2. Zeichne mithilfe der Parabelschablone die Graphen der Funktionen f 1 (x) = x 2 1, f 2 (x) = x und die Normalparabel in dein Heft. Kontrolliere die Zeichnung mithilfe der Datei, indem du für e die Werte 1 bzw. 2 einstellst. 3. Unter deiner Zeichnung ergänzt du den folgenden Merktext. Vervollständige dabei die Lücken. Merke: Die Funktion f(x) = x 2 + e Der Summand e bewirkt eine Verschiebung der Normalparabel entlang der -Achse. Ist e < 0, so erfolgt die Verschiebung. Die Verschiebung erfolgt, falls e > 0 ist. Für e = 0 entsteht die. 4. Nun untersuchst du die Eigenschaften der Funktionen f 1 (x) = x 2 1 und f 2 (x) = x Erstelle dazu in deinem Heft eine Tabelle (wie unten). Gib für alle Funktionen die folgenden Eigenschaften an: Deinitionsbereich, Scheitelpunkt, Monotonie, Wertebereich, Anzahl der Nullstellen, Schnittpunkt mit der y-achse, Symmetrieachse. Überprüfe deine Ergebnisse mithilfe der Datei Material_2.html, indem du ein Häkchen in dem Kästchen Eigenschaften anzeigen machst. Eigenschaft f 1 (x) = x 2 1 f 2 (x) = x f(x) = x 2 + e (e r) Deinitionsbereich In der letzten Spalte musst du eine Fallunterscheidung vornehmen. Für Experten Öffne die Datei Versuche, mindestens 200 Punkte zu erreichen.

7 Reihe 37 Verlauf Material S 5 LEK Glossar Lösungen M 5 Ordnung im Chaos die Scheitelpunktform Aufgaben 1. Erarbeite dir mithilfe deines Schulbuches den Begriff der Scheitelpunktform. Rechts siehst du ein Beispiel. 2. Zeichne mithilfe deiner Parabelschablone die Graphen der Funktionen f 1 (x) = (x 4) 2 + 3, f 2 (x) = (x + 2) 2 4 und die Normalparabel in dein Heft. Kontrolliere die Zeichnung mithilfe der Datei Material_4.html, indem du für d und e entsprechende Werte einstellst. 3. Unter deiner Zeichnung ergänzt du den folgenden Merktext. Vervollständige dabei die Lücken. Merke: Die Funktion f(x) = (x d)² + e Der Graph der Funktion f(x) = (x d) 2 + e, wobei d, e r, entsteht aus einer Verschiebung der um e in Richtung der -Achse und einer Verschiebung um d in -Richtung. Der Scheitelpunkt des Graphen dieser Funktion hat die Koordinaten S( ). Diese Darstellung einer quadratischen Funktion heißt Scheitelpunktform. 4. Untersuche die Eigenschaften der Funktionen f 1 (x) = (x 4) 2 + 3, f 2 (x) = (x + 2) 2 4 und ganz allgemein f(x) = (x d) 2 + e. 3 Bei f(x) = (x d) 2 + e musst du eine Fallunterscheidung vornehmen. Erstelle dazu wieder eine Tabelle. Gib für alle Funktionen die folgenden Eigenschaften an: Deinitionsbereich, Scheitelpunkt, Monotonie, Wertebereich, Anzahl der Nullstellen, Schnittpunkt mit der y-achse, Symmetrieachse. Kontrolliere deine Ergebnisse mithilfe der Datei, indem du auf Eigenschaften anzeigen klickst. Für Experten Öffne die Datei Versuche, mindestens 200 Punkte zu erreichen.

8 Reihe 37 Verlauf Material S 6 LEK Glossar Lösungen M 6 So funktioniert die quadratische Ergänzung Zur Erinnerung Ziel der quadratischen Ergänzung ist es, einen beliebigen quadratischen Term in Normalform f(x) = ax 2 + bx + c so umzuformen, dass man den Scheitel der Parabel direkt ablesen kann. So muss man die Parabel nicht erst zeichnen. Dies ist bei der Form f(x) = a(x d) 2 + e der Fall. Deshalb heißt diese Form Scheitelpunktform. e ist der Extremwert, er wird für x = d angenommen. Der Scheitelpunkt ist daher S = (d e). Das Vorzeichen von a bestimmt die Art des Extremwertes: + Minimum Maximum Man kann jeden quadratischen Term durch quadratische Ergänzung in die Scheitelpunktform bringen. Beispiel: f(x) = 8x x + 5 So geht s 1. Klammere den Faktor vor dem x 2 (8) aus den beiden ersten Teiltermen 8x 2 und 32x aus: f(x) = 8[x 2 + 4x] Ergänze in der Klammer die Hälfte der Zahl vor x (4) und setze sie ins Quadrat: 2 4 = 4. Da du nun den Wert des Terms geändert hast, musst du diese Änderung 2 wieder abziehen ( 4): f(x) = 8[x 2 + 4x + 4 4] Wende für die ersten drei Terme in der Klammer eine der beiden binomischen Formeln ( ) a+ b = a + 2ab + b oder ( ) a b a 2ab b = + an. Also: f(x) = 8[x 2 + 4x + 4 4] + 5 = 8[(x + 2) 2 4] binomische Formel 4. Löse nun noch die eckige Klammer auf. Vergiss nicht, den Teilterm 4 beim Aulösen der Klammer mit 8 zu multiplizieren. f(x) = 8(x + 2) Dein Ergebnis: f(x) = 8(x + 2) S = ( 2 27). Also hat dieser Term den minimalen Wert 27 für x = 2. Aufgabe: Versuche nun selbst. Forme den Term so um, dass du den Scheitelpunkt ablesen kannst. Gib den minimalen oder maximalen Wert des Graphen an. a) f a (x) = x 2 2x + 1 b) f b (x) = 4x x c) f c(x) = x + 3x Zur Selbstkontrolle: f a (x) = (x 1) 2 f b (x) = 4(x + 2) f ( ) 2 c(x) = x

9 Den Einfluss von Parametern auf die Normalparabel untersuchen Reihe 37 Verlauf Material LEK Glossar Lösungen S 1 Lösungen und W Tipps zum Einsatz Erläutern Sie gegebenenfalls die Methode des Gruppenpuzzles. Verwenden Sie in Ihrem Unterricht die auf der CD-ROM 44 bereitgestellten HTML- und nicht die GeoGebra-Dateien (.ggb). Diese Dateien können Sie mit einem beliebigen Webbrowser öffnen. In der HTML-Version sind die meisten Funktionen von GeoGebra deaktiviert bzw. arbeiten im Hintergrund, sodass die Schüler nicht durch unnötige Buttons irritiert werden. Die Arbeitsoberläche ist auf das Wesentliche reduziert. Selbstverständlich können Sie die Materialien M 2 und M 3 unabhängig von M 1 und M 4 einsetzen. Finden Sie dann eine weitere interessante Aufgabenstellung, die übergeordnetes Ziel der Erarbeitungsphase ist. M 1 Der Alltag: Die Normalparabel ist verändert Nutzen Sie die Farbfolie M 1 als Hinführung zum Thema. Als Vorbereitung geben Sie Ihren Schülern als Hausaufgabe auf, Parabeln in ihrer Umwelt zu inden. Lassen Sie sie damit eine Wandzeitung oder Ähnliches erstellen. Vergleichen Sie die Abbildungen, die die Schüler gefunden haben. Zeigen Sie ihnen, dass man im Alltag eher selten die Normalparabel indet. Abb. 01 (Parabelförmige Hecke): Gespiegelte, gestauchte und verschobene Normalparabel Abb. 02 (Regenbogen): Gespiegelte Normalparabel. Je nachdem, unter wie viel Druck das Wasser steht, entsteht eine gestauchte oder gestreckte (und gespiegelte) Normalparabel. Abb. 03 (Parabelförmige Fenster): Nach oben verschobene Normalparabel M 2 Parabeln auf Abwegen die Normalparabel verschieben Die Schüler beschreiben die Veränderung eines Funktionsgraphen in Abhängigkeit von dem Parameter e. Weisen Sie sie darauf hin, dass sie erst am Ende der Erarbeitung den Button Eigenschaften anzeigen aktivieren sollen. Sie erkennen spätestens dann die Grenzen des Programms, wenn sie die Eigenschaften verallgemeinern müssen. Wenn Ihr Computerraum diese Option zulässt, aktivieren Sie das Internet erst dann, wenn die Schüler eine Rückmeldung über die erfolgreiche Bewältigung der Aufgaben 1 bis 4 gegeben haben Die Normalparabel verschiebt sich nach oben, falls e > 0 ist, und nach unten, falls e < 0. Man erkennt bereits bei der Beschreibung die Veränderung der Lage des Scheitelpunktes und kann die allgemeinen Koordinaten mit S(0 e) angeben. Es empiehlt sich, die Zeichnungen von den Schülern tatsächlich per Hand und Parabelschablone anfertigen zu lassen, um so deren psychomotorische Fähigkeiten weiter auszubauen.