4. Stromfadentheorie. Aufgabe 4.1 [8]

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1 Stromfadentheorie Aufgabe 4.1 [8] In dem abgebildeten Gefäß wird der Wasserspiegel konstant gehalten. a) Wie groß ist die theoretische Ausflußgeschwindigkeit durch die 1,7 m unter dem Wasserspiegel liegende Öffnung? b) Welcher Druck herrscht in den Querschnitten A 1 und A 2 bei reibungsfreiem Fließen? c) Aus welcher Tiefe y kann theoretisch durch ein im Querschnitt A 2 angeschlossenes Rohr Wasser angesaugt werden? Aufgabe 4.2 [1] Aus einem Hochbehälter fließt Wasser durch ein senkrechtes Fallrohr aus (siehe Abbildung). Es sind h 1 = 3 m = const., h 2 = 10 m, der Luftdruck p at = 1, Pa, die Erdbeschleunigung g = 9,81 m/s² und die Dichte des Wassers ρ = kg/m³. 1. Schätzen Sie bei reibungsfreier Betrachtung ab, ob es zu einem Abreißen der Strömung im Fallrohr kommt. 2. Welchen Einfluß hat der Rohrwiderstand auf die Abrißhöhe? 3. Infolge einer Austrittsverengung am Rohrende soll statt des Rohrquerschnittes A 2 nur der Drosselquerschnitt A 3 durchströmt werden. Wie ändern sich die Verhältnisse? 4. Stellen Sie die Energielinie und den Druckverlauf für die verschiedenen Fälle dar! Aufgabe 4.3 [1] Ein kreiszylindrischer Behälter vom Durchmesser d = 4 m sei bis zu einer Höhe von h = 2,25 m mit Wasser gefüllt. 1. Wieviel Wasser fließt innerhalb einer Stunde durch eine Öffnung in Bodenmitte (A = 7,5 m²) aus, wenn die Kontraktionszahl µ = 0,667 beträgt? Die Spiegelhöhe bleibe konstant. 2. Was ist zu beachten, wenn sich die Ausflußöffnung seitlich in Bodennähe befindet?

2 4-2 Aufgabe 4.4 [6] Wie lange sinkt der Wasserspiegel des gezeigten Trichters um die Höhe x = H/2? Der Trichter besitzt die Höhe H = 1 m und am oberen Rand einen Durchmesser D von D = 0,8 m. Die Ausflußöffnung hat die Querschnittsfläche A = 3 cm². Hinweis: Die Ausflußströmung soll als reibungsfrei und als quasistationär angenommen werden (d. h. die zeitliche Ableitung der Geschwindigkeit in der Bernoulligleichung für instationäre Strömungen kann vernachlässigt werden). Aufgabe 4.5 [8] In einem prismatischen Behälter von A 0 = 8 m² Querschnittsfläche steht das Wasser h = 10 m über der Unterkante einer rechteckigen Seitenöffnung von b = 1,2 m Breite und a = 0,8 m Höhe. Berechnen Sie die Fallzeit des Wasserspiegels bis auf die Höhe, die dem Beharrungszustand entspricht, wenn ein konstanter Zufluß von Q z = 5 m³/s vorhanden ist! Der Ausflußbeiwert ist zu µ = 0,62 anzunehmen. Aufgabe 4.6 [2] Ein Gefäß ist in seinem Querschnitt A(z) bzw. r(z) so zu dimensionieren, daß die Sinkgeschwindigkeit des Oberspiegels v 1 = 0,01 m/s = const. beträgt. Wieviel Prozent des Gesamtflüssigkeitsvolumens ist nach der halben Ausflußzeit noch im Behälter? Die Anfangswasserhöhe beträgt H 0 = 2 m, der Austrittsquerschnitt A 2 = 7, m². Die Strömung verlaufe quasistationär und reibungsfrei. Berechnen Sie außerdem die Ausflußdauer!

3 4-3 Aufgabe 4.7 [6] In einen wassergefüllten Behälter A mit der Grundfläche A 1 sei in der skizzierten Weise ein zweiter, leerer Behälter B mit der Grundfläche A 3 eingetaucht. Den Behälter B denke man sich in der gezeichneten Lage fixiert. Die am Boden des Behälters B befindliche Öffnung mit der Fläche A 2 ist zunächst geschlossen. Zum Zeitpunkt t = 0 werde die Öffnung des Behälters B (Fläche A 2 ) ohne Verzögerung freigegeben. Unter Berücksichtigung des Einlaufverlustes p v = ζ E. (ρ/2). C 2 ² soll die Zeit T ermittelt werden, die bis zum Gleichstand der Wasserspiegel in den Behältern A und B verstreicht. Dabei soll beachtet werden, daß die Ausgangshöhe H des Behälters A abnimmt und daß sich die Strömung quasistationär verhält. Die Zeit T soll mit den folgenden Schritten ermittelt werden: a) Für das vorliegende Problem sollen die Bernoulligleichung und die Kontinuitätsgleichungen formuliert werden. b) Die Absinkgeschwindigkeit C 1 des Wasserspiegels im Behälter A und die Steiggeschwindigkeit C 3 des Wasserspiegels im Behälter B sollen in Abhängigkeit von der Geschwindigkeit C 2 angegeben werden. c) Es soll eine das Problem beschreibende Differentialgleichung formuliert werden. d) Die Differentialgleichung soll gelöst werden. Hinweis: Bei der Lösung der Differentialgleichung wird die Stammfunktion des folgenden Integrals benötigt: dx a x b a x+ b = 2 +. a Aufgabe 4.8 [6] Eine Badewanne mit der Höhe H = 0,6 m besitzt in der Höhe h = 0,5 m einen Überlauf mit der Querschnittsfläche A. Der maximale Zulauf beträgt V = 0, m³/s.wie groß muß der Querschnitt A des Überlaufs bemessen werden, damit bei geschlossenem Ablauf die Wanne nicht überläuft? Hinweis: Es soll eine reibungslose Strömung angenommen werden.

4 4-4 Aufgabe 4.9 [3] In einem senkrechten Wehr befindet sich eine quadratische Ausflußöffnung mit der Breite b und der Höhe a = b = 2 m. Ihre Oberkante liegt um h = 2 m unter dem Oberwasserspiegel. Der Unterwasserspiegel liegt unterhalb der Öffnung. (Kontraktion bleibt unberücksichtigt.) Wie groß ist der Volumenstrom durch die Öffnung? Aufgabe 4.10 [8] Der Auslaß eines Wasserbeckens besteht aus einer drehbaren Klappe mit einer Breite b = 1 m und einer Höhe r = 4 m. Um welchen Winkel α muß die Klappe gedreht werden, wenn bei einem Beckenwasserstand von h = 3 m der Abfluß Q = 2,6 m³/s betragen soll? Aufgabe 4.11 [4] Ein Behälter ist bis zur Höhe h mit Flüssigkeit der Dichte ρ gefüllt. Ein Ausflußrohr der Länge l wird einmal horizontal, einmal vertikal an den Behälter angeschlossen. a) Mit welchen Geschwindigkeiten U 1 und U 2 fließt die Flüssigkeit in den beiden Fällen aus? b) Wie verläuft in beiden Fällen der Druck p im Behälter und im Ausflußrohr (Skizze)? c) Welche Drücke p B1 und p B2 herrschen in beiden Fällen unmittelbar stromabwärts vom Rohreinlauf? d) Welche Ergebnisse erhält man unter a) bis c), wenn das Ausflußrohr jeweils in einer kurzen Düse endet, deren Endquerschnittsfläche das m-fache der Rohrquerschnittsfläche beträgt (m < 1)? Gegeben: h; l; m; p 0 ; ρ Hinweis: Bei dieser Aufgabe ist die Strömung nicht streng stationär (d. h. zeitunabhängig), da sich mit der Spiegelhöhe in den Behältern auch die Ausflußgeschwindigkeit ändert. Wenn aber die Querschnittsfläche der Austrittsöffnung hinreichend klein gegen die Behälterquerschnittsfläche ist, leert sich der Behälter so langsam, daß der ganze Vorgang als "quasistationär" angesehen und die Bernoullische Gleichung für stationäre Strömung verwendet werden kann. Die Ausflußgeschwindigkeit U (t) hängt dann in jedem Zeitpunkt t genauso von der Spiegelhöhe h (t) ab wie bei streng stationärer Strömung. Zudem kann man dann in der Bernoullischen Gleichung das Quadrat der Sinkgeschwindigkeit des Flüssigkeitsspiegels gegenüber dem Quadrat der Ausflußgeschwindigkeit vernachlässigen.

5 4-5 Aufgabe 4.12 [4] Einem großen zylindrischen Behälter (Querschnittsfläche A 0 ), der am Boden in eine kleine Öffnung mündet (Querschnittsfläche A 1 ), strömt von oben pro Zeiteinheit das Flüssigkeitsvolumen V! 0 zu. a) Welche Spiegelhöhe h 0 stellt sich im Behälter ein? b) Der Zufluß werde plötzlich auf V!! 1 = 2V 0 verdoppelt und behalte diesen Wert bei. Wie groß ist die Steiggeschwindigkeit!h des Flüssigkeitsspiegels in Abhängigkeit von h? c) Wie hoch muß der Behälter mindestens sein, damit bei dem erhöhten Zufluß keine Flüssigkeit überläuft? Gegeben: A 0 ; A 1 ; V! 0. Aufgabe 4.13 [3] Ein Säurebehälter wird durch einen Flüssigkeitsheber entleert. a) Wie groß sind die Geschwindigkeiten und Überdrücke bzw. Unterdrücke (gegen den Atmoshärendruck p B ) in den Querschnitten ? b) Sind die Höhen h und H beliebig für die Funktion des Hebers (verlustfrei) oder begrenzt? Gegeben: d a = 2 cm d b = 5 cm d c = 1 cm h = 1 m H = 3 m, ρ = kg/m³ Aufgabe 4.14 [4] Mit einem Heber wird Flüssigkeit der Dichte ρ a in eine andere Flüssigkeit der Dichte ρ b eingeleitet. a) Mit welcher Strahlgeschwindigkeit U tritt die Flüssigkeit "a" in die ruhende Flüssigkeit "b" ein? b) Wie groß muß bei gegebener Höhe h 2 die Spiegelhöhe h 1 mindestens sein, damit der Heber auch dann funktioniert, wenn ρ b < ρ a ist? Gegeben: h 1 ; h 2 ; ρ a ; ρ b.

6 4-6 Aufgabe 4.15 [3] Aus einem Hochbehälter fließt durch ein Rohr mit Querschnittsänderungen Wasser. Der Wasserspiegel ist groß gegenüber dem Ausflußquerschnitt. Berechnen Sie den Volumenstrom und die Geschwindigkeit v 1 im erweiterten Rohrstück! Gegeben: H = 5 m h = 2 m d 1 = 0,2 m d 2 = 0,1 m α = 60 Aufgabe 4.16 [8] Ein horizontal eingebautes Venturirohr, welches zur Durchflußmessung in einer Wasserleitung mit einem Durchmesser von d 1 = 150 mm dient, verengt sich im Meßquerschnitt auf d 2 = 140 mm. a) Zeichnen Sie die Druck- und Energielinie! b) Wie groß ist der Durchfluß Q, wenn am angeschlossenen, mit Tetrachlorkohlenstoff (ρ T = kg/m³) gefüllten Differenzdruckmanometer ein Meßausschlag von h = 80 cm abgelesen wird?

7 4-7 Aufgabe 4.17 [2] Eine Kolbenpumpe fördert verlustfrei Wasser aus einem Brunnen in einen Hochbehälter. Die Kolbengeschwindigkeit v K = ω r (sin (ωt) + r/(2 l) sin (2ωt)) ist von der Winkelgeschwindigkeit ω des Kurbeltriebes, dem Kurbelradius r und der Pleuelstangenlänge l abhängig. Die Massenträgheit der Flüssigkeit in den Rohrleitungen ist zu berücksichtigen. 1. Geben Sie den zeitlichen Verlauf der Ansauggeschwindigkeit v S und der Fördergeschwindigkeit v F in der Rohrleitung für einen Arbeitstakt an! 2. Welcher Druck p 2 (t) herrscht an der Stelle 2 unmittelbar oberhalb des Ventils an der Druckseite der Pumpe? 3. Welcher Druck p 1 (t) herrscht an der Stelle 1 unmittelbar unterhalb des Ventils an der Saugseite? 4. Wie groß darf H S sein, damit im Saugrohr der Dampfdruck p D nicht unterschritten wird? Tragen Sie zur Beantwortung dieser Frage den dimensionslosen Druck p1() t ( pb g ρ HS) AK 2 ρ ls ω r A über ϕ = t ω für π < ϕ < 2 π auf. Anmerkung: Treffen Sie die Fallunterscheidungen: 1.) Förderhub, dann Ventil 1 geschlossen. 2.) Saughub, dann Ventil 2 geschlossen.

8 4-8 Aufgabe 4.18 [4] Der Kolben einer Pumpe bewegt sich mit der Geschwindigkeit U K = U 0 sin ω t (U 0 = konstante Geschwindigkeitsamplitude, ω = Kreisfrequenz = 2 π n, wobei n = Drehzahl). a) Man gebe für den Ansaugtakt den Druckverlauf im Steigrohr unterhalb des Ventils als Funktion der Entfernung s 1 vom Einlauf und der Zeit t an. b) Man gebe für den Ausschubtrakt den Druckverlauf im Ausflußrohr als Funktion der Entfernung s 2 von der Ausflußöffnung und der Zeit an. c) An welcher Stelle s 1m und zu welchem Zeitpunkt t m herrscht im Steigrohr während des Ansaugtaktes der kleinste Druck und welchen Wert p min hat dieser? Gegeben: h; l; A 1 ; A 2 ; U 0 ; p 0 ; ρ; ω. Aufgabe 4.19 [4] Eine Kolbenpumpe fördert Flüssigkeit der Dichte ρ reibungsfrei durch eine Rohrleitung. Während eines Arbeitstaktes hängt die Geschwindigkeit U 1 am Pumpenaustritt wie folgt von der Zeit ab: U 1 (t) = U 0 sin ω t für 0 ω t π; U 1 (t) = 0 für π ω t 2 π. a) Mit welcher Geschwindigkeit U 2 (t) strömt die Flüssigkeit aus? b) Welcher Druck p 1 (t) herrscht bei konstantem Gegendruck p 2 an der Stelle 1? c) Wie groß sind an den Stellen 1 und 3 die kleinsten während eines Arbeitstaktes auftretenden Drücke p 1min und p 3min? Welcher Bedingung muß die Kreisfrequenz ω genügen, damit p 1min < p 3min ist? Wie groß darf ω höchstens sein, damit zu keiner Zeit an irgendeiner Stelle der Leitung der Dampfdruck p d unterschritten wird? d) An welcher Stelle der Rohrleitung tritt der größte Druck p max auf, und wie groß ist dieser? Gegeben: h; l 1 ; l 2 ; A 1 ; A 2 ; p 2 ; p d ; U 0 ; ρ; ω. Aufgabe 4.20 [1] Durch eine sich verzweigende Rohrleitung drückt eine Pumpe Flüssigkeit mit der Geschwindigkeit v 1 und dem Druck p 1 in die freie Atmosphäre. h 1 = 8 m h 2 = 12 m ρ = kg/m³ v 1 = 1 m/s p 1 = 1, Pa = 9, Pa p at 1. Wie groß sind die Austrittsgeschwindigkeiten v 2 und v 3 bei reibungsfreier Strömung? 2. Bei welchem Druck p 1 ist die Geschwindigkeit v 2 = 0? 3. Skizzieren Sie den Druckverlauf für 1.!

9 4-9 Aufgabe 4.21 [6] Aus einem hochgelegenen Behälter fließt Wasser der Dichte ρ durch ein Rohrsystem mit zwei Ausfluß-stellen. a) Wie groß sind die Ausflußgeschwindigkeiten C 1 und C 2 für die Höhenunterschiede h 1 und h 2? b) Wie groß muß das Querschnittsverhältnis A 1 /A 2 gewählt werden, damit an beiden Ausflußstellen gleiche Mengen ausfließen? Hinweis: Es soll eine reibungsfreie Strömung vorausgesetzt werden. Aufgabe 4.22 [8] Aus einem unter Druck p 0 = 200 kpa stehenden Behälter strömt Wasser in das skizzerte Rohrleitungssystem mit den Rohrdurchmessern D 1 = 50 mm, D 2 = 90 mm, D 3 = 25 mm und D 4 = 20 mm. Dabei wird der h 1 = 0,6 m über der horizontalen Rohrachse liegende Flüssigkeitsspiegel im Behälter durch einen entsprechenden Zufluß auf konstanter Höhe gehalten (stationäre Strömung). Die Wasseroberfläche im Behälter sei sehr groß im Vergleich zum anschließenden Rohrquerschnitt (v 0). Die freie Rohrausmündung (p 4 = 101,3 kpa) liegt h 2 = 1,4 m unterhalb der horizontalen Rohrachse. a) Berechnen Sie in den Querschnitten 1 bis 4 den statischen Druck und die mittlere Geschwindigkeit der Rohrströmung unter Annahme einer idealen (reibungsfreien) Flüssigkeit! b) Zeichnen Sie Druck-und Energielinie! c) Bestimmen Sie den kleinstmöglichen Durchmesser D 3 so, daß gerade noch kavitationsfreies Fließen möglich ist! Aufgabe 4.23 [3] Durch eine Rohrleitung 400 mm strömen 0,194 m³/s Wasser. Dieser Volumenstrom soll in zwei Teilströme! V 1 = 0,139 m³ und! V 2 = 0,055 m³/s aufgeteilt werden. Welchen Durchmesser müssen die Leitungen 1 und 2 haben, wenn die Geschwindigkeit in allen 3 Leitungen gleich sein soll?

10 4-10 Aufgabe 4.24 [8] Bei einer Rohrverzweigung ("Hosenrohr") haben die weiterführenden Stränge Kreisdurchmesser von d 2 = 150 mm und d 3 = 200 mm. Der Durchfluß im Strang 2 beträgt Q 2 = 26,5 l/s. Welchen Durchmesser d 1 muß der ankommende Strang erhalten, damit die Geschwindigkeit in allen drei Rohrleitungen gleich groß sein kann? Aufgabe 4.25 [4] Eine Pumpe fördert durch eine Leitung den Volumenstrom! V 1 einer Flüssigkeit der Dichte ρ, die als freier Strahl in einen zylindrischen Windkessel (Querschnittsfläche A 1 ) eintritt, der bis zur Höhe h über der Eintrittsöffnung mit Flüssigkeit gefüllt ist. Durch eine auf der Höhe der Eintrittsöffnung liegende Austrittsdüse mit der Öffnungsquerschnittsfläche A 2 (A 2 < A 1 ) tritt die Flüssigkeit in die Atmosphäre (Druck p 0 ) aus. Falls der Windkessel bis zur Höhe der Eintrittsöffnung von Flüssigkeit entleert ist, steht die Luft in ihm unter Atmosphärendruck p 0 : es kann angenommen werden, daß die Luft ihr Volumen isotherm ändert. a) Wie hoch steht die Flüssigkeit im Windkessel bei stationärem Zustand, d. h. wenn ebensoviel Flüssigkeit ein- wie ausläuft? b) Welcher Druck p 1 herrscht unter diesen Umständen in der Zuleitung? c) Der Zustrom! V 1 wird plötzlich, etwa durch Schließen eines Ventils, unterbrochen. Wie hängt dann die Geschwindigkeit v, mit der der Flüssigkeitsspiegel im Windkessel absinkt, von der Spiegelhöhe ab? d) Welches einfache Ergebnis erhält man im Teil c), wenn der Deckel des Windkessels geöffnet ist (p = p 0 )? Wie hängen die Sinkgeschwindigkeit v und der austretende Volumenstrom! V 2 dann von der Zeit t ab, wenn zur Zeit t = 0 die Zuleitung abgesperrt wird? Die Spiegelhöhe im Behälter zur Zeit t = 0 sei h 0. Gegeben: h 1 ; h 0 ; A 1 ; A 2 ;! V 1 ; p 0 ; ρ. Aufgabe 4.26 [3] Aus einem Wasserbehälter mit Zuflußregelung wird durch den Überdruck p Ü Wasser durch zwei Rohrleitungen des Durchmessers d =12 mm in verschiedenen Höhen h 1 = 14 m und h 2 = 17 m in die Atmosphäre gedrückt. In der Leitung 1 wurde ein Volumenstrom!V 1 = 1,585 dm³/s gemessen. Wie groß ist der Überdruck p Ü im Behälter, und wie groß ist der Volumenstrom! V 2 durch die Leitung 2?

11 4-11 Aufgabe 4.27 [4] Mit der skizzierten Anordnung läßt sich die kinetische Energie einer strömenden Flüssigkeit so ausnutzen, daß ein Teilstrom abgezweigt und in die Höhe h über dem Flüssigkeitsspiegel gefördert wird. a) Man berechne den Teilvolumenstrom! V in Abhängigkeit von der Strömungsgeschwindigkeit U, der Rohrquerschnittsfläche A und der gewünschten Förderhöhe h. b) Bei welcher Förderhöhe h m ist die pro Zeiteinheit gewonnene potentielle Energie am größten? Gegeben: h; A; U. Aufgabe 4.28 [6] An eine Windkanaldüse mit dem Kontraktionsverhältnis A 1 /A 2 = 4 ist vor der Verengung ein U-Rohrmanometer mit Wasserfüllung angeschlossen. Im Betrieb zeigt das Manometer eine Höhendifferenz h = 94 mm WS (mmws - Millimeter Wassersäule). Wie groß ist die Austrittsgeschwindigkeit C 2 aus der Düse, wenn die Dichte ρ W des Wassers im U-Rohr kg/m³ und die Dichte ρ L der Luft kg/m³ betragen? Hinweis: Es soll eine reibungsfreie Strömung angenommen werden. Aufgabe 4.29 [4] Am Ende eines senkrechten Rohres vom Durchmesser d 1 ist eine schlanke Düse angebracht, deren Durchmesser sich auf der Länge l linear auf d 2 verringert. a) Bei welchem Volumenstrom! V stimmen die statischen Drücke am Düsenanfang und -ende überein? b) Wie ist hierbei der Druckverlauf p (z) längs der Düse? c) Wie müßte der Düsendurchmesser d von z abhängen, damit für den unter a) berechneten Volumenstrom der Druck an jeder Stelle z denselben Wert p 0 hat? Gegeben: d 1 ; d 2 ; l; p 0 ; ρ.

12 4-12 Aufgabe 4.30 [2] Wir betrachten einen einfachen Fahrzeugvergaser. Durch die Düse wird Luft angesaugt und innerhalb der Düse auf die Geschwindigkeit v beschleunigt. In der Düsenwand befindet sich eine kleine Bohrung für die Kraftstoffzufuhr. Gegeben: A 2 = 2 mm² ρ F = 840 kg/m³ ρ L = 1,2 kg/m³!v F = 7,2 l/h p B = 10 5 Pa H = 0,02 m Wie groß muß die Geschwindigkeit v in der Düse sein, wenn 7,2 l/h Kraftstoff angesaugt werden sollen? Anmerkung: A 1 >> A 2, Vernachlässigung der Reibung. Aufgabe 4.31 [3] Im Wasserleitungsnetz eines Betriebes ändert sich der Rohrdurchmesser. Durch den skizzierten Rohrabschnitt (1... 3) strömen! V = 5 dm³/s Wasser. Im Querschnitt 1 beträgt der Druck p 1 = 0,4 Mpa, die Durchmesser sind d 1 = d 3 = 0,1 m und d 2 = 0,025 m. Zur Anzeige des Druckes befinden sich offene Steigrohre auf der Leitung. a) Bestimmen Sie die Drücke p 2 und p 3 sowie die Steighöhen des Wassers in den Steigrohren! b) Für betriebliche Zwecke wird zeitweilig der Druck p 1 abgesenkt, wobei! V erhalten bleibt. Welcher Querschnitt ist kavitationsgefährdet? (Wo beginnt das Wasser zu verdampfen?) c) Wie weit darf p 1 abgesenkt werden, ohne daß Kavitation auftritt? (Für die Rechnung kann der Dampfdruck p D = 0 angenommen werden.) Aufgabe 4.32 [8] Eine horizontal liegende Rohrleitung mit wechselnden Kreisquerschnitten von unterschiedlichem Durchmesser D führt einen Durchfluß von Q = 50 l/s. Ermitteln Sie die Lage der Energie- und Drucklinie (= Piezometerlinie), entlang der Rohrleitung unter der Annahme einer idealen (reibungsfreien) Flüssigkeit! Im Rohrabschnitt 1 mit dem Durchmesser D 1 herrscht ein Druck p 1 = 15 kpa. Die Rohrinnendurchmesser in den Abschnitten 1 bis 3 betragen D 1 = 20 cm; D 2 = 40 cm; D 3 = 10 cm.

13 4-13 Aufgabe 4.33 [4] Wie hängt der Volumenstrom! Vmit der vom Manometer angezeigten Druckdifferenz p = p 1 zusammen? Gegeben: A 1 ; A 2 ; p; ρ. Aufgabe 4.34 [4] Bis zu welcher Höhe h 1 steht die Flüssigkeit im Steigrohr und mit welcher Geschwindigkeit U strömt die Flüssigkeit aus? Gegeben: h 0 ; A 0 ; A 1. Aufgabe 4.35 [3] In der Skizze ist ein Wasserumlaufkanal mit bekannten Abmessungen (h 0, h M, A 1, A M ) für Kavitationsversuche dargestellt. In der Meßstrecke darf die Geschwindigkeit v M nur soweit anwachsen, daß der dort herrschende Druck p M im Grenzfall den Dampfdruck p D erreicht. a) Berechnen Sie v M für den Grenzfall p M = p D! b) Welchen Volumenstrom muß die Pumpe fördern, damit die Spiegellage gleich bleibt?

14 4-14 Aufgabe 4.36 [2] Mit einem Prandtlrohr soll die Strömungsgeschwindigkeit v der ungestörten Strömung bestimmt werden. Das U-Rohrmanometer, das mit einer Meßflüssigkeit der Dichte ρ M > ρ gefüllt ist, zeigt die Differenz h an. Gegeben: p w = 1, Pa ρ w = kg/m³ = kg/m³ ρ M v m = 0,2 m/s und 1,0 m/s Gesucht: Berechnen Sie die Größe h für die gegebenen Geschwindigkeiten (2 Fälle)! Aufgabe 4.37 [4] Mit Hilfe der skizzierten Anordnung soll der Volumenstrom! V einer Flüssigkeit der Dichte ρ a ermittelt werden. Die Flüssigkeit im U-Rohr hat die Dichte ρ b. a) Wie lautet der Zusammenhang zwischen! Vund h? b) Hängt der Manometerausschlag von der Durchflußrichtung ab? Gegeben: h; A 1 ; A 2 ; ρ a ; ρ b. Aufgabe 4.38 [4] Mit der skizzierten Manometeranordnung kann man Strömungsgeschwindigkeiten in offenen Gerinnen messen. Wie groß sind die Geschwindigkeiten U 1 und U 2? Gegeben: h 1 ; h; ρ a ; ρ b (< ρ a ).

15 4-15 Aufgabe 4.39 [3] Ein Wasserbehälter mit konstanter Spiegelhöhe besitzt einen waagerechten Ausflußstutzen. Ermitteln Sie den Verlauf der Bahnlinie und die Spritzweite x 0! Gegeben: H = 5 m h = 1 m Aufgabe 4.40 [4] Wie ändert sich die Querschnittsfläche A des austretenden Flüssigkeitsstrahls mit dem vertikalen Abstand x von der Austrittsöffnung, wenn diese die Querschnittsfläche A 0 besitzt und der Behälter bis zur Höhe h gefüllt ist? Gegeben: h; A 0. Aufgabe 4.41 [2] Zwischen zwei kreisförmigen, parallelen, ebenen Platten mit dem Durchmesser d = 1 m und dem Abstand a = 0,1 m strömt radial Wasser, das axial durch ein Rohr in Plattenmitte (d 0 = 0,2 m) mit einem Massenstrom!m = 300 kg/s zugeführt wird und am Plattenrand in die Atmosphäre austritt. Berechnen Sie, wie groß der Druck p 0 in der Mündung des Rohres ist!

16 4-16 Aufgabe 4.42 [4] Aus einem Flüssigkeitsbehälter strömt einem Rohr, das mit konstanter Winkelgeschwindigkeit ω um die vertikale Achse rotiert, Flüssigkeit der Dichte ρ zu. Die Flüssigkeit verläßt das rotierende Rohr an beiden Enden im Abstand r 0 von der Drehachse. Die Querschnittsfläche des vertikalen Fallrohres ist 2A, die des rotierenden Rohres A. a) Mit welcher Geschwindigkeit U m strömt die Flüssigkeit stationär aus? b) Wie groß sind der Druck p B im Punkt B unmittelbar stromab vom Einlauf in das Fallrohr und der Druck p C an der Stelle C am Einlauf in das rotierende Rohr? c) Der Ausfluß sei zunächst durch einen geschlossenen Schieber in dem Fallrohr blockiert. Zur Zeit t = 0 wird der Schieber geöffnet. Wie hängt dann die Ausflußgeschwindigkeit U von der Zeit ab? d) Welches Moment muß zum Drehen des Ausflußrohres bei stationärem Betrieb aufgebracht werden? e) Wie lauten die Antworten auf die Fragen a) bis d), wenn das rotierende Rohr an beiden Enden in Düsen mit der Endquerschnittsfläche αa endet (α < 1)? Gegeben: h; l; r 0 ; A; p 0 ; α; ρ; ω. Aufgabe 4.43 [2] Ein abgewinkeltes Rohr, dessen unteres Ende in Wasser eintaucht, wirkt als Pumpe, wenn das Rohr mit Wasser gefüllt ist und mit konstanter Winkelgeschwindigkeit ω um seine vertikale Achse rotiert. Die Reibung ist zu vernachlässigen! Gegeben: ω; h; A; r 0 ; ρ; p B ; p D 1. Welchen Volumenstrom! V fördert die Einrichtung? 2. Wie groß darf ω höchstens gewählt werden, damit im Rohr an keiner Stelle der Dampfdruck auftritt? 3. Welche Beschleunigung erfährt das Wasser im Rohr, wenn das Rohr zunächst durch ein Ventil am Austritt verschlossen war, das aber zur Zeit t = 0 plötzlich geöffnet wird. 4. Wie ändert sich in diesem Falle die Austrittsgeschwindigkeit w 2 mit der Zeit t?

17 4-17 Aufgabe 4.44 [6] Ein großer Behälter ist bis zur Höhe H mit Wasser gefüllt. An den Behälter ist ein langes Rohr der Länge l angeschlossen. Zum Zeitpunkt t = 0 ist das Rohr an der Stelle 2 verschlossen. Für t > 0 wird das Rohr an der Stelle 2 schlagartig geöffnet, so daß das Wasser ausfließen kann. Nachfolgend soll folgendes berechnet werden: a) die stationäre Ausflußgeschwindigkeit C 2e an der Stelle 2, also C 2 (t) für t. b) die Ausflußgeschwindigkeit C 2 (t) für t > 0. Hinweis: Es soll eine reibungslose Strömung vorausgesetzt werden. Aufgabe 4.45 [2] Berechnen Sie für die skizzierten Behälterformen die instationären Ausflußgeschwindigkeiten v 2 unter der Voraussetzung, daß die Spiegelhöhe H durch Zulauf in (l) konstant gehalten und daß der Absperrschieber in (2) plötzlich voll geöffnet wird (reibungsfrei)! Gesucht: 1. Nach welcher Zeit t erreicht v 2 98 % (ß = 0,98) der stationären Endgeschwindigkeit v 2B = 2gH? 2. Zeichnen Sie den Geschwindigkeitsverlauf ß = v 2 / v 2B in Abhängigkeit von der Zeit t! Aufgabe 4.46 [4] Eine Heberleitung konstanten Querschnitts taucht in einen großen Flüssigkeitsbehälter ein. Die Leitung ist zunächst am unteren Ende mit einer Klappe verschlossen und vollständig mit Flüssigkeit gefüllt. Die gesamte Länge der Leitung beträgt l, die Ausflußöffnung liegt um h unter dem Flüssigkeitsspiegel im Behälter. a) Mit welcher Anfangsbeschleunigung a 0 setzt sich die Flüssigkeit in der Leitung in Bewegung, wenn die Klappe zur Zeit t = 0 plötzlich geöffnet wird? b) Wie hängt die Ausströmgeschwindigkeit U von der Zeit t ab, und welche Endgeschwindigkeit U m stellt sich ein? c) Welcher Druck p B herscht im Punkt B unmittelbar nach Öffnen der Klappe (t = 0) und sehr lange nach Öffnen (t )? d) Man skizziere den Druckverlauf der sich in der Heberleitung 1) unmittelbar nach Öffnen und 2) sehr lange nach Öffnen der Klappe einstellt. Gegeben: h; h; l; p 0 ; ρ.

18 4-18 Aufgabe 4.47 [6] Ein großer Behälter ist bis zur Höhe H mit Wasser gefüllt. An den Behälter ist ein langer Diffusor der Länge l angeschlossen. Der Durchmesser des Diffusoreintrittsbzw. Austrittsquerschnittes sei d bzw. D. Zum Zeitpunkt t = 0 ist der Diffusor an der Austrittsstelle 2 verschlossen. Für t > 0 wird der Diffusor an der Stelle 2 schlagartig geöffnet. Nachfolgend soll folgendes berechnet werden: a) die stationäre Ausflußgeschwindigkeit C 2e an der Stelle 2, also C 2 (t) für t. b) die Ausflußgeschwindigkeit C 2 (t) für t > 0. Hinweis: Es soll eine reibungslose Strömung vorausgesetzt werden. Aufgabe 4.48 [4] Ein dünnes U-Rohr mit vertikalen Schenkeln und konstanter Querschnittsfläche ist zunächst in Ruhe und mit ruhender Flüssigkeit der Gesamt-Fadenlänge l gefüllt. Das U-Rohr wird dann ruckartig mit der konstanten Beschleunigung a in horizontaler Richtung in Bewegung gesetzt. a) Wie groß ist die Kreisfrequenz ω der Schwingung, die sich einstellt? b) Um welchen Betrag h 0 ändert sich maximal die Spiegelhöhe in den beiden Schenkeln, wenn diese um die Strecke b voneinander entfernt sind? Gegeben: l; b; a. Aufgabe 4.49 [4] An ein zylindrisches Rohr von der Querschnittsfläche A 1 schließt sich ein anderes Rohr mit der kleineren Querschnittsfläche A 2 an. Im Ruhezustand ist das weitere Rohr bis zur Höhe h mit Flüssigkeit gefüllt; der Flüssigkeitsfaden im anschließenden engeren Rohr hat dann die Länge l. Wie groß ist die Kreisfrequenz ω kleiner Schwingungen um die Ruhelage? Gegeben: h; l; A 1 ; A 2 ; ß.

19 4-19 Aufgabe 4.50 [2] Wie groß ist die Schwingungsdauer einer reibungsfreien Flüssigkeit in den abgebildeten zylindrischen Gefäßen, die durch ein Röhrchen verbunden sind, für kleine Schwingungsausschläge? Gegeben: a = 6 cm D 1 = 10 cm b = 1 cm D 2 = 1 cm c = 15 cm d = 3 cm e = 4 cm