Theoretische Physik II Elektrodynamik

Transkript

1 Theoretische Physik II Elektrodynamik basierend auf der orlesung von Dr. Harald Dorn Moritz Lemm Dorian Weber 5. Juni 200 Humboldt-Universität zu Berlin Institut für Physik

2 Dieses Dokument beschäftigt sich auf sehr detaillierte und theoretische Weise mit der Physik bewegter Ladungsträger, deren Wirkung aufeinander und auf ihre Umwelt. Es entstand zur orlesung Theoretische Physik II von Dr. Harald Dorn im Sommersemester 2008 und ist als Skript dazu zu verstehen. Dieses Skript ersetzt nicht den Gang zur orlesung, doch die Autoren hoffen, dass es unterstützend dazu beiträgt eigene Fragen für die orlesung zu entwickeln und sich auf die Prüfung vorzubereiten. Wir sind der Meinung, dass das erständnis der Techniken und Kniffe bei der Formulierung der Elektrodynamik essentiell für das erständnis der or- und Nachfolgevorlesungen ist (Analytische Mechanik und Quantenmechanik). An vielen Stellen werden Ergebnisse aus der Mathematik verwendet, die Informatiker im Laufe ihres Grundstudiums nicht lernen. Das ist uns bewusst und wir haben versucht, an diesen Stellen Rechnungen detailliert auszuführen und gegebenenfalls auf externe Quellen zu verweisen. Wir möchten bereits an dieser Stelle Dr. Harald Dorn dafür danken, dass er uns so geduldig bei den vielen erständnisfragen und der Suche nach inhaltlichen Fehlern unterstützt hat. Das ist nicht selbstverständlich und das wissen wir. Nachdem wir uns mit den verwendeten Konventionen vertraut gemacht haben, beschäftigen wir uns im ersten Teil mit der Herleitung der mathematischen Werkzeuge, die über das gesamte Dokument verteilt benutzt werden. Danach betrachten wir zeitlich unveränderliche Ladungskonfigurationen und leiten damit die Physik der Elektro- und Magnetostatik ab. Im darauffolgenden Abschnitt lassen wir die Einschränkung der zeitlichen Unveränderlichkeit fallen und untersuchen frei bewegliche Ladungsmengen im akuum sowie die durch diese induzierten Felder. Als nächstes schauen wir uns die Physik an, die entsteht, wenn das umgebende Medium selbst elektromagnetische Eigenschaften hat und kommen damit beispielsweise zur Erklärung optischer Effekte. Abschließend versuchen wir uns an einer Formulierung der Elektrodynamik, die ihre erknüpfung mit der speziellen Relativitätstheorie offensichtlich macht. iel Erfolg wünschen euch Moritz und Dorian!

3 INHALTSERZEICHNIS Inhaltsverzeichnis I. Mathematische Hilfsmittel 6 Konventionen 6. ektoranalysis 7.. Skalare und ektorfelder Gradient, Divergenz, Rotation Nabla-Operator Integralsätze Integrale Satz von Gauß Satz von Stokes Green sche Formeln Green Green Divergenz und Rotation als Quell- bzw. Wirbeldichte Die Deltafunktion Dekomposition eines ektorfeldes II. Elektrodynamik 3 3. Elektrostatik Grundgleichungen der Elektrostatik Coulomb sches Gesetz Übergang zu kontinuierlicher Ladungsdichte Elektrostatisches Potential Poissongleichung Multipolentwicklung Unabhängige Komponenten bei Multipolmomenten

4 INHALTSERZEICHNIS Multipolmomente und Kugelfunktion Laplace in Kugelkoordinaten erallgemeinerte Legendre sche Differentialgleichung Rodrigues Formel Multipolmomente der Ladungsverteilung Elektrostatik bei Anwesenheit von Leitern Effekt flächenhaft verteilter Ladungen Energie des elektrostatischen Feldes Magnetostatik Stationäre Ströme und Biot-Savart sches Gesetz Kontinuitätsgleichung Biot-Savart-Gesetz Lorentzkraft Ampère sches Gesetz Feld lokalisierter Stromverteilungen Magnetisches Dipolmoment Zeitabhängige Felder Maxwellgleichungen Faraday sches Induktionsgesetz Maxwell sche Gleichungen Potentiale und Eichtransformation Lorenzbedingung Inhomogene Wellengleichung Retardierte Potentiale Elektromagnetische Wellen im akuum Homogene Wellengleichung Ebene Wellen als Lösung der Wellengleichung Polarisation monochromatischer, ebener Wellen Energie und Impuls des elektromagnetischen Feldes Energiedichte des elektromagnetischen Feldes Poynting-ektor Impulsdichte

5 INHALTSERZEICHNIS 5.5. Erzeugung/Abstrahlung elektromagnetischer Wellen Feld einer bewegten Punktladung Lienard-Wichert Potentiale Dipolstrahlung Zeitgemittelte Gesamtabstrahlung Elektrodynamik in kontinuierlichen Medien ergleich mit dem akuumfall Ohm sches Gesetz Maxwell-Gleichungen Kraftgesetz Mikroskopische Theorie der Elektrodynamik in Kontinua Mittlere Ladungsdichte Elektromagnetische Wellen in kontinuierlichen Medien Phasengeschwindigkeit in Medien Gruppengeschwindigkeit in Medien Relativistisch invariante Formulierung 49 Glossar 56 5

6 KONENTIONEN Teil I. Mathematische Hilfsmittel Konventionen Im Laufe dieses Skriptes werden verschiedene etablierte Notationskonventionen verwendet, von denen die aufgelistet sind, die nicht im Text erläutert werden. Summenkonvention x i y i := i x i y i A ii := i A ii Partielle Ableitung Betrag eines ektors Matrixnotation x f(x) := f(x) x n x f(x) := n f(x) x n i f( r ) := f( r ) x i n i f( r ) := n f( r ) x n i r := r 2 a a m (a ij ) i=...n :=..... j=...m a n a nm 6

7 EKTORANALYSIS. ektoranalysis.. Skalare und ektorfelder Skalares Feld Definition (Skalares Feld). Es sei ϕ eine Funktion ϕ : R 3 R d. h. jedem Punkt des Raumes wird eine reelle Zahl zugeordnet. r R 3 ϕ( r ) R Dann nennen wir ϕ ein Skalarfeld. ektorfeld Definition 2 (ektorfeld). Es sei A eine Funktion A : R 3 R 3 d. h. jedem Punkt des Raumes wird ein 3-dimensionaler ektor zugeordnet. r R 3 A( r ) R 3 Dann nennen wir A ein ektorfeld..2. Gradient, Divergenz, Rotation Fakt. Es sei r ein beliebiger ektor. Dann lassen sich Einheitsvektoren e i finden, so dass r darstellbar ist als r = x e + x 2 e 2 + x 3 e 3, { e i } Orthonormalsystem Basis in R 3 7

8 EKTORANALYSIS Definition 3 (Gradient). Es sei ϕ( r ) ein Skalarfeld. Der Gradient von ϕ( r ) ist definiert als grad ϕ( r ) := ϕ x e + ϕ x 2 e 2 + ϕ x 3 e 3 = x x 2 x 3 ϕ( r ) Definition 4 (Divergenz). Es sei A( r ) ein ektorfeld. Die Divergenz von A( r ) ist definiert als div A( r ) := A + A 2 + A 3 3 A i = x x 2 x 3 x i Definition 5 (Rotation). Es sei A( r ) ein ektorfeld. Die Rotation von A( r ) ist definiert als ( rot A( r A3 ) := A ) ( 2 A e + A ) ( 3 A2 e 2 + A ) e 3 x 2 x 3 x 3 x x x 2 i=.2.. Nabla-Operator Alle drei Bildungen sind kompakt darstellbar unter erwendung des Nabla-Operators. Definition 6 (Nabla-Operator). Dann gilt Definition 7 (Laplace-Operator). := e + e 2 + e 3 x x 2 x 3 grad ϕ = ϕ div A = A rot A = A ϕ := ϕ = div grad ϕ = 2 ϕ x ϕ x ϕ x 2 3 8

9 EKTORANALYSIS Nützliche Relationen (ϕ ψ) = ϕ ψ + ψ ϕ grad(ϕ ψ) = ϕ grad ψ + ψ grad ϕ (ϕ A) = ϕ A + A ϕ div(ϕ A) = ϕ div A + A grad ϕ (ϕ A) = ϕ A A ϕ rot(ϕ A) = ϕ rot A A grad ϕ ( A B) = B A A B div( A B) = B rot A A rot B ( A B) = B j e i i A j + A j e i i B j = ( B ) A + B ( A) + ( A ) B + A ( B) grad( A B) = ( B ) A + ( A ) B + B rot A + A rot B ( A B) = ( B ) A B( A) + A( B) ( A ) B rot( A B) = ( B ) A B div A ( A ) B + A div B insbesondere rot grad ϕ 0 div rot A 0 9

10 2 INTEGRALSÄTZE 2. Integralsätze 2.. Integrale Uns begegnen in der Elektrodynamik Kurven-, Flächen- und olumenintegrale. (a) Kurve (b) Fläche (c) olumen γ F ϕ( r ) ds := γ t ϕ( r ) df := F t2 ϕ( r ) dv := r 3 (d r ) 2 ϕ ( r(t)) dt dt ϕ ( r(t, t 2 )) r 2 r dt dt 2 F t r 2 ϕ( r ) dr dr 2 dr }{{} 3 r = d 3 r 0

11 2 INTEGRALSÄTZE Bemerkungen r = r t und 2 r = r t 2 sind Tangentialvektoren an die Fläche F. r 2 r dt dt 2 ist der zum Parameterbereich [t, t + dt ], [t 2, t 2 + dt 2 ] gehörende Flächeninhalt. Es gilt weiter r 2 r = g mit g = det r r r 2 r r 2 r 2 r 2 r. d r dt ist ein Tangentialvektor an der Kurve. ( d r dt) 2 dt ist die infinitesimale Länge auf der Kurve, die zum Parameterintervall [t, t + dt] gehört. Weiter kann man mit ektorfeldern die folgenden Integrale definieren: F γ A df := F t2 A d r := γ t F t A( r(t, t 2 )) ( r 2 r ) dt dt 2 A( r(t)) d r dt dt Bemerkungen r 2 r ist ein Normalenvektor der Fläche. d r dt ist wie gehabt ein Tangentialvektor der Kurve. Dann gelten die beiden wichtigen Integralsätze:

12 2 INTEGRALSÄTZE 2... Satz von Gauß (div A) dv = A d f Satz von Stokes F (rot A) df = F A d r Dabei bezeichnet den zweidimensionalen Rand des dreidimensionalen olumens F den eindimensionalen Rand der zweidimensionalen Fläche F Die Orientierung wird per Konvention so gewählt, dass d f aus herauszeigt und d r einem Umlauf im positiven Sinne entspricht. Der Satz von Gauß sagt, dass es egal ist, ob die Effekte der Quellen bzw. Senken eines ektorfeldes im olumen aufsummiert werden, oder ob nur das betrachtet wird, was über den Rand zu- bzw. abfließt. Er hat damit den Charakter eines Erhaltungssatzes. 2

13 2 INTEGRALSÄTZE (a) olumen mit Rand (b) Fläche mit Rand 3

14 2 INTEGRALSÄTZE Beweisidee Zunächst werden die Sätze für Quader bzw. Rechtecke bewiesen. Der allgemeine Beweis wird dann durch Approximation beliebiger olumina durch Quader geführt. Satz von Gauß. div A dv = div A dv = b b2 b3 a a 2 b2 b3 a 2 b b2 + a a 3 ( A + A 2 + A ) 3 dx 3 dx 2 dx x x 2 x 3 a 3 (A (b, x 2, x 3 ) A (a, x 2, x 3 )) dx 3 dx 2 + a 2 ( ) A 3 (x, x 2, b 3 ) A 3 (x, x 2, a 3 ) dx 2 dx b b3 a a 3 (A 2 (x, b 2, x 3 ) A 2 (x, a 2, x 3 )) dx 3 dx Aus der folgenden Abbildung betrachten wir die schraffierte Fläche, die dem unterstrichenen Term entspricht. auf dem betrachteten Teil des Randes ist r(t, t 2 ) = t t 2 b 3 0 r = 0, 2 r = r 2 r = 0 A d f = A( r 2 r ) dt dt 2 = A 3 (t, t 2, b 3 ) dt dt 2 4

15 2 INTEGRALSÄTZE b 2 b 3 a 2 a b a 3 Box aus dem Beweisansatz für den Satz von Gauß 5

16 2 INTEGRALSÄTZE Das ist gerade der unterstrichene Term. Die anderen Terme folgen mit den entsprechenden Seiten des Quaders analog. Damit ist der Satz von Gauß für Quader beliebiger Kantenlängen bewiesen. Komplexere Formen lassen sich nun beliebig genau abschätzen (in Analogie zum bekannten Riemann-Integral, das den Flächeninhalt einer Kurve mithilfe des Flächeninhalts von Rechtecken annähert). Dabei beobachtet man, dass sich bei der Summation über all diese Würfel die inneren Seiten der Teilvolumina aufheben, so dass nur die Außenhülle des großen olumens übrig bleibt. Mit anderen Worten, dessen Oberfläche Green sche Formeln (ϕ ψ) = ϕ ψ + ϕ ψ Gauß(2..) Green ϕ grad ψ df = ( ϕ ψ + ϕ ψ) dv Green 2 Die Formel gilt allgemein, also auch unter ertauschung von ϕ und ψ. ertauschen wir die beiden und subtrahieren die entstandenen Formeln, entsteht 6

17 2 INTEGRALSÄTZE (ϕ grad ψ ψ grad ϕ) df = (ϕ ψ ψ ϕ) dv 2.3. Divergenz und Rotation als Quell- bzw. Wirbeldichte Sei F eine Fläche und A( r ) ein ektorfeld. Dann heißt A d f F auch Fluss des ektorfeldes durch F. Diese Bezeichnung wird allgemein für beliebige ektorfelder von der orstellung übernommen, dass A als Geschwindigkeitsfeld für einen Teilchenstrom interpretiert wird. In diesem Fall gibt obiges Integral gerade die pro Zeit durch die Fläche tretende Teilchenzahl an. Nach Gauß (2..) ist A df = div A dv d. h. wenn in div A = 0 ist, dann ist der Fluss durch ebenfalls gleich Null. Wenn aus ein von Null verschiedener Fluss herauskommen soll, muss div A in wenigstens stellenweise verschieden von Null sein. Da beliebig klein gewählt werden kann, wird div A auch als Quelldichte des ektorfeldes A interpretiert. Nach Stokes (2..2) ist A d r = rot A df F F 7

18 2 INTEGRALSÄTZE F (a) erwirbeltes ektorfeld (b) ektorfeld mit div 0 der Feldstärke eines Dipols 8

19 2 INTEGRALSÄTZE F A d r für geschlossene Kurven F ist insbesondere dann von Null verschieden, wenn A als Geschwindigkeitsfeld eines Teilchenstromes einen Wirbel hat, der durch F umlaufen wird. Da F beliebig klein werden kann, wird rot A als Wirbeldichte des ektorfeldes A interpretiert Die Deltafunktion Die Delta-Funktion δ(x) dient der mathematischen Modellierung diskreter Ereignisse in kontinuierlichen Systemen. Sie wird durch ihre Eigenschaft definiert, für alle x 0 zu verschwinden, jedoch trotzdem bei der Integration endlich und ungleich 0 zu sein, falls x = 0 im Integrationsintervall ist. Eine Funktion mit diesen Eigenschaften ist beispielsweise bei folgenden Anwendungen hilfreich: Idealisierung einer Ladungsverteilung auf Punktladungen Eingangsimpuls für die Untersuchung von Impulsantworten beispielsweise beim Test von Lautsprechern diskrete Kraftstöße in mechanischen Systemen Eine solche Funktion existiert nicht (siehe Lebesgue Integrationstheorie), allerdings lässt sich eine Distribution definieren, die die Definition für bestimmte, sogenannte Testfunktionen, erfüllt. Wir werden im Folgenden auf die Bildung r r stoßen. r r = r r x i r r = ( ( r r ) 2) x i = 2 (( r r ) 2) 32 2 (x i x i) = x i x i r r 3 2 9

20 2 INTEGRALSÄTZE δ ij = { falls i = j 0 sonst 2 x i x j r r = x j = 2 x i x j r r = das Kronecker-Delta x i x i r r 3 (x i x x i) (( r r ) 2) 3 2 j 3 (x i x i )(x j x j ) r r = (x i x r r 3 i )2 r r 5 falls i j falls i = j δ ij r r (x i x i )(x j x j ) r r 5 Zur Erinnerung: := 3 e i = x i i= 3 2 x 2 i= i Dann ist für r r : ( r r 3 ) {}}{{}} 2 { r r = δ ii r r (x i x i ) 2 r r 5 = 0 Was gilt für r = r? Zunächst regularisieren wir die Singularität bei r r = 0: 20

21 2 INTEGRALSÄTZE (2.4) (x i x i = ) x i ( r r ) 2 + ɛ 2 (( r r ) 2 + ɛ 2 ) (2.4) δ ij = x i x j ( r r ) 2 + ɛ 2 (( r r ) 2 + ɛ 2 ) 3 2 Wir sehen für den Grenzfall ɛ (x i x i )(x j x j ) (( r r ) 2 + ɛ 2 ) 5 2 ( r r ) 2 + ɛ = 3 (( r r ) 2 + ɛ 2) + 3 ( r r ) 2 2 (( r r ) 2 + ɛ 2 ) 5 2 3ɛ 2 = (( r r ) 2 + ɛ 2 ) 5 2 { lim ɛ 0 ( r r ) 2 + ɛ = 0 für r r 2 für r = r Was passiert mit dem Integral des regularisierten Ausdruckes bei ɛ 0? I(ɛ) := = 3ɛ 2 = 3ɛ 2 ( r r ) 2 + ɛ 2 d 3 r 0 (( r r ) 2 + ɛ 2 ) 5 2 4π r 2 (r 2 + ɛ 2 ) 5 2 dr = 2πɛ 2 x 2 (x + ɛ 2 ) dx d 3 r 2

22 2 INTEGRALSÄTZE Substitution mit y = x + ɛ 2. I(ɛ) = 6πɛ 2 ɛ 2 0 y= ɛ2 z = 6πɛ 2 I(ɛ) = 6π = 6π 0 0 y ɛ2 y 5 2 dy ɛ2 z 2 ɛ z ɛ 5 z 5 2 dz z z dz z dz }{{} 0 w dw= 2 3 I(ɛ) = 4π unabhängig von ɛ! Da 0, r r ( r r ) 2 + ɛ2 folgt weiter, dass für beliebige Funktionen f( r ), die differenzierbar mit schnellem Abfall im Unendlichen sind, gilt: lim f( r ) ( r r ) 2 + ɛ 2 d3 r = 4π f( r ) Damit haben wir gezeigt, dass ɛ 0 22

23 2 INTEGRALSÄTZE r r = 4π δ(3) ( r r ) δ (3) ( r r ) ist die dreidimensionale Delta-Distribution. Bemerkungen zur Distributionstheorie Eine Distribution (hier eindimensional) ist ein lineares, stetiges Funktional über dem Raum S der sogenannten Testfunktionen. Funktional Höhere Funktion, die aus dem Raum der Testfunktionen auf komplexe Zahlen abbildet. Testfunktion Beliebig oft differenzierbare Funktion, die für x schneller als jede Potenz gegen Null geht. l : S C ϕ, ψ S, a, b C : l[aϕ + bψ] = a l[ϕ] + b l[ψ] Beispiel Sei f(x) eine stetige Funktion. Dann definiert l[ϕ] := f(x) ϕ(x) dx, ϕ S ein sogenanntes reguläres Funktional. 23

24 2 INTEGRALSÄTZE δ-distribution δ[ϕ] := ϕ(0) (diese Distribution ist nicht regulär) Man schreibt aber trotzdem δ[ϕ] = δ(x) ϕ(x) dx = ϕ(0) bzw. allgemein δ x [ϕ] = δ(x x ) ϕ(x) dx = ϕ(x ) Es gilt aber: Zu jedem stetigen linearen Funktional l(ϕ) existiert eine Folge stetiger Funktionen f n, so dass l[ϕ] = lim f n (x) ϕ(x) dx n Falls l nicht regulär ist, heißt die Folge {f n (x)} eine Regularisierung von l. Diese Konstruktion lässt sich in analoger Weise für Testfunktionen im R 3 durchführen. Dann gilt insbesondere: δ (3) ( r r ) ϕ( r ) d 3 r = ϕ( r ) }{{} δ(x ) δ(x 2 ) δ(x 3 ) Bemerkung Die δ-distribution ist dazu geeignet punktförmige Anhäufungen einer physikalischen Größe im Rahmen einer Dichte- Formulierung zu beschreiben, z. B. stetig verteilte Ladung: Ladungsdichte ϱ( r ), Gesamtladung Q Q = ϱ( r ) d 3 r Punktladung q,..., q n in : 24

25 2 INTEGRALSÄTZE Q = = n i= q i q i δ (3) ( r r i ) d 3 r Rechenregeln Ableitung einer Distribution: l [ϕ] := l[ϕ ] Da per Konstruktion Testfunktionen beliebig oft differenzierbar sind, gilt das auch für Distributionen. Speziell für δ: δ (x x ) ϕ(x) dx = ϕ(x) }{{} 0 δ(x x ) δ(x x ) ϕ (x) dx = ϕ (x ) Sei θ(x) = { 0 für x < 0 für x > 0 die sogenannte Stufenfunktion. Sie ist natürlich im gewöhnliche Sinne bei x = 0 nicht differenzierbar, als Distribution aufgefasst gilt allerdings: θ (x) = δ(x) denn: θ (x) ϕ(x) dx = θ(x) ϕ (x) dx = ϕ( ) ϕ(0) = ϕ(0) }{{} =0 25

26 2 INTEGRALSÄTZE Es gilt δ(f(x)) = n f (x n ) δ(x x n), x n einfache Nullstelle von f(x) denn: δ(f(x)) ϕ(x) dx = δ(f(x)) ϕ(x) f (x) df Einfache Nullstelle Nullstelle x einer Funktion f, in der f (x) 0 ist Dekomposition eines ektorfeldes Seien ϱ( r ) und w( r ) hinreichend oft differenzierbare Skalar- bzw. ektorfelder mit schnellem Abfall im Unendlichen und div w( r ) = 0. Dann gibt es genau ein im Unendlichen hinreichend schnell verschwindendes ektorfeld A( r ) mit Weiter gilt div A( r ) = ϱ( r ) und rot A( r ) = w( r ) A( r ) = grad ϱ( r ) 4π r r d3 r + rot w( r ) 4π r r d3 r 26

27 2 INTEGRALSÄTZE Eindeutigkeit Beweis. Gäbe es zwei Felder A und A 2 mit den geforderten Quell- und Wirbeldichten, dann wäre B := A A 2 quellund wirbelfrei. Dann muss wegen div B = 0 gelten: rot B = 0 ϕ : B = grad ϕ Green (2.2.) ϕ = div grad ϕ = 0 ϕ grad ϕ df = ( ϕ ϕ + ϕ) dv Wegen ϕ = 0 gilt also für beliebige olumina ϕ grad ϕ df = ( ϕ) 2 dv Für sehr große olumina folgt grad ϕ = B 0 ϕ B df 0 ( ϕ) 2 dv 0 ϕ = 0 B = 0 Die beiden Felder sind identisch. 27

28 2 INTEGRALSÄTZE Explizite Formel Nun gilt allgemein (.2.) div A( r ) = r Wir müssen also berechnen = = ϱ( r ) rot A( r ) = rot rot Da r = r für r r ist, folgt Damit gilt ϱ( r ) 4π r r d3 r (div rot A = 0, A) ϱ( r ) δ (3) ( r r ) d 3 r w( r ) 4π r r d3 r rot rot B( r ) = ( B) ( ) B = grad div B B w( r ( ) grad r div r 4π r r = grad r ( w( r ) r ) = r (( w( r ) r ) (rot grad α = 0, α) ) 4π r r ) 4π r r = ( w( r ) r ) r 4π r r w( r ) grad r div r 4π r r = ( w( r ) r ) r 4π r r 28

29 2 INTEGRALSÄTZE grad r div r w( r ) 4π r r d3 r = * = = 0 ( w( r ) }{{} a r r ) r 4π r r d 3 r }{{} ( ) 4π r r w( r ) df ( r b 4π r r ) ( r w( r )) d 3 r da nichts beiträgt, wenn die Felder im Unendlichen hinreichend schnell abfallen und weil r w( r ) = 0 nach oraussetzung vom Anfang des Kapitels (Seite 26). Nebenrechnung(*) ϕ a df Gauß(2..) = (ϕ a) dv = ( ϕ a + ϕ a) dv Fassen wir ϕ nun als Komponente eines ektors b auf (also ein b i ), dann folgt b a df = ( b a + b a) dv = ( b a) dv + ( b a) dv ( b a) dv = b a df ( b a) dv 29

30 2 INTEGRALSÄTZE Damit folgt nach der eben geführten Diskussion rot A( r ) = w( r ) 4π r r } {{ } δ (3) ( r r ) d 3 r = w( r ) 30

31 3 ELEKTROSTATIK Teil II. Elektrodynamik 3. Elektrostatik 3.. Grundgleichungen der Elektrostatik Experimentelle Erkenntnis: Elektrische Ladung existiert und geladene Körper üben elektrostatische Kraft aufeinander aus. Im Falle der Idealisierung auf Punktladungen gilt das Coulomb sche Gesetz Coulomb sches Gesetz K 2 = k q q 2 r r 2 r r 2 3 k Coulombkonstante q,2 Punktladungen K 2 Kraft wirkend auf q (gleichnamige Ladungen stoßen sich ab) Maßsystem: SI (Système international d unités) Ladung als neue unabhängige Grundgröße. 3

32 3 ELEKTROSTATIK q 2 r r 2 r 2 q r [q] = As (Amperesekunde = Coulomb) Dann k = 4πɛ 0 mit ɛ 0 = As m In reiner Elektrostatik ließe sich die Coulombkraft auch als Fernwirkung verstehen, mit Blick auf die volle Elektrodynamik nutzen wir jedoch gleich den Feldstandpunkt: Die Ladung q 2 erzeugt um sich herum ein elektrisches Feld. E( r ) = 4πɛ 0 q 2 r r 2 r r 2 3 Wird in dieses Feld eine weitere Ladung q an die Stelle r eingebracht, wirkt auf sie die Kraft 32

33 3 ELEKTROSTATIK K( r ) = q E( r ) Feststellung. Das Feld ist ein eigenständiges physikalisches Objekt. Wir werden später sehen, dass es Energie und Impuls hat. Elektrisches Feld mehrerer Punktladungen E( r ) = 4πɛ Übergang zu kontinuierlicher Ladungsdichte N i= r r i r r i 3 q i E( r ) = 4πɛ 0 ϱ( r )( r r ) r r 3 d 3 r ϱ Ladungsdichte Bemerkung Aus obiger Formel erhält man rückwärts die Punktladungsversion mit Wegen ϱ( r ) = N q i δ (3) ( r r i ) i= 33

34 3 ELEKTROSTATIK r r r r 3 = grad r r E( r ) = grad φ( r ) Elektrostatisches Potential φ( r ) = 4πɛ 0 ϱ( r ) r r d3 r Weiter gilt div E( r ) = div grad 4πɛ 0 = 4πɛ 0 ϱ( r ) r r d3 r ϱ( r ) r r d 3 r }{{} = 4π δ (3) ( r r ) 34

35 3 ELEKTROSTATIK div E( r ) = ɛ 0 ϱ( r ) und wegen E = grad φ rot E( r ) = Poissongleichung Wegen φ = div( grad φ) = div E folgt auf der Ebene des Potentials die Poissongleichung des elektrostatischen Potentials: φ( r ) = ɛ 0 ϱ( r ) (für ϱ( r ) = 0 wird die Gleichung Laplacegleichung genannt) Wird die bisherige Argumentation umgekehrt, folgt die Lösungstheorie der Poissongleichung direkt: φ( r) = ϱ( r ) 4πɛ 0 r r d3 r ist eine Lösung der Poissongleichung. 35

36 3 ELEKTROSTATIK Die Funktion G( r, r ) = 4π r r heißt auch Green sche Funktion zur Poissongleichung im R3. Es gilt dann: G( r, r ) = δ (3) ( r r ) und φ( r ) = G( r, r ) ϱ( r ) ɛ 0 d 3 r Behauptung. Die Lösung ist eindeutig, falls gefordert wird, dass φ( r ) 0 für r. Beweis. Wir beweisen zunächst das folgende, hilfreiche Lemma. Lemma. Sei in einem endlichen Gebiet φ = 0. Dann nimmt φ seine Extremwerte auf dem Rand an. Beweis. Es genügt zu zeigen, dass im Inneren keine lokalen Extrema existieren. Sei bei r ein Extremalwert. Dann gibt es eine Umgebung U, so dass auf U die Funktion φ konstant ist, d. h. φ = φ 0 auf U. Green in U für ϕ = ψ = φ φ 0 ergibt U (φ φ 0 ) grad(φ φ 0 ) df = U U ( (φ φ 0 )) 2 + (φ φ 0 ) (φ φ 0 ) dv }{{} =0 (φ φ 0 ) grad φ df }{{} = ( φ) 2 dv =0 auf U U φ = 0 in ganz U φ konstant in U Widerspruch zur angenommenen Existenz eines Extremums im Inneren 36

37 3 ELEKTROSTATIK Höhenlinien um ein Extremum im zweidimensionalen Fall 37

38 3 ELEKTROSTATIK Nun wenden wir dieses Lemma auf ein immer größer werdendes endliches Gebiet mit r für alle r an. Wenn φ( r ) 0 für r, dann wird φ auf dem Rand beliebig klein. φ darf aber nicht größer als φ auf dem Rand sein. Also ist dort φ = 0, d. h. insgesamt φ = 0 und φ( r ) 0 für r. Seien φ, φ 2 zwei Lösungen. ψ = φ φ 2 erfüllt dann φ( r ) = 0 ψ = 0 und ψ 0, für r ψ = 0 φ = φ 2 Feldlinien und Feldlinienbild Feldlinie Kurve, die stets tangential zur Feldstärke läuft Will man Feldstärken im Analogbild als Geschwindigkeitsvektoren einer (inkompressiblen) Flüssigkeitsströmung interpretieren, entspricht der Betrag der Geschwindigkeit mit dem die Feldlinie durchlaufen wird genau dem Betrag des Feldstärkevektors. Feldlinien (bzw. Feldstärken) stehen senkrecht auf der Äquipotentialfläche E = grad φ Äquipotentialfläche Menge aller Punkte gleichen Potentials. Sei r(t) eine Kurve in der Potentialfläche 0 = dφ( r(t)) dt = i φ dx i x i dt 38

39 3 ELEKTROSTATIK d. h. 0 = grad φ d r dt Der Betrag der Feldstärke ist also gleich dem Gefälle von φ entlang der Feldlinien. die Dichte der Äquipotentialkurven korreliert mit der Feldstärke isualisierung des Feldes im Feldlinienbild approximative eranschaulichung mit endlich vielen Feldlinien (damit man sie einzeln zeichen kann) Qualität wird besser, je mehr Feldlinien benutzt werden dabei Kodierung des Betrages der Feldstärke in die Anzahl der Feldlinien, die durch eine kleine Fläche senkrecht zur aktuellen Feldlinie gehen 39

40 3 ELEKTROSTATIK Fluss der Feldstärke durch eine Fläche ist proportional zur Zahl der Feldlinien, die betroffende Fläche durchdringen Feldlinien können sich nicht schneiden (da die Feldstärke eindeutig ist) bei Feldern von Punktladungen: Feldlinien beginnen bzw. enden an Punkt positiver bzw. negativer Ladung (Quellen und Senken) (a) Feldlinien einer Punktladung (b) Feldlinien eines Dipols Beispiel: Potential/Feldstärke einer kugelsymmetrischen Ladungsverteilung Da das Potential kugelsymmetrisch ist, gilt für die Ladungsdichte ϱ( r ) = ϱ(r ), r = r 40

41 3 ELEKTROSTATIK x 3! r x 2! r " x näherungsweise kugelsymmetrische Ladungsverteilung 4

42 3 ELEKTROSTATIK Trotzdem gilt für das Potential φ( r ) = ϱ(r ) r r d3 r, wenn auch nur von r = r abhängig. Die direkte Rechnung ist umständlich, besser ist die Argumentation über den Satz von Gauß (2..). Wegen der Symmetrie des Problems ist auch φ nur vom Betrag von r abhängig. φ = φ(r) E( r ) = grad φ(r) = φ (r) grad r = φ (r) r r Also hat die elektrische Feldstärke die Form E( r ) = E(r) r r, mit E(r) = φ (r) div E = ϱ ϱ dv (2..) = E df ɛ 0 ɛ 0 Wir wählen für die Kugel mit dem Mittelpunkt im Ursprung und einem Radius r. Wir stellen fest, dass der Normalenvektor an in die gleiche Richtung zeigt wie der Radiusvektor. E df = E(r) r r r df }{{} r = = E(r) df = 4πr 2 E(r) 42

43 3 ELEKTROSTATIK E(r) = 4πr 2 = 4πr 2 = r ɛ 0 r 2 0 E d f ϱ( r ) ɛ 0 d 3 r ϱ(r ) r 2 dr E( r ) = r r ɛ 0 r 2 r 0 ϱ(r ) r 2 dr Spezialfall: homogen geladene Kugel vom Radius R mit Gesamtladung Q ϱ(r) = Q für r R 4/3 π R 3 0 sonst 43

44 3 ELEKTROSTATIK Falls r > R: E( r ) = r r R ɛ 0 r 2 Q 4/3 π R 3 r 2 dr = r r 3 Q 4πɛ 0 0 } {{ } 3 R3 ( E(r) = Q ) 4πɛ 0 r 2 Falls r R: E( r ) = r r r ɛ 0 r 2 Q 4/3 π R 3 r 2 dr = r R 3 Q 4πɛ 0 0 } {{ } 3 r3 ( E(r) = Q r ) 4πɛ 0 R 3 Bemerkungen Das Feld verhält sich außerhalb der Ladungswolke (auch bei beliebigem ϱ( r )) stets so, als wäre die Gesamtladung Q im Ursprung konzentriert. Im Inneren der Ladungswolke weicht die Feldstärke von der eines Punktladungsfeldes ab, insbesondere verschwindet die Divergenz für r Multipolentwicklung Wie wir eben gesehen haben, erscheint das Feld außerhalb der kugelsymmetrischen Ladungswolke wie das einer Punktladung. Als nächstes untersuchen wir das allgemeine erhalten beliebiger Ladungswolken in großen Abständen. Sei r := r, r := r und ϱ( r ) = 0 für r > R. 44

45 3 ELEKTROSTATIK φ( r ) = 4πɛ 0 ϱ( r ) r r d3 r Dann ist für r R und r R die Taylorentwicklung bei r = 0 eine gute Approximation. Sei m wie folgt definiert: r r = r x i i r + 2 x ix j i j r 3! x ix jx k i j k r +... i r = x i r 3 = r 2 xi r i j r = 3x ix j δ ij r 2 r 5 = r 3 ( 3 xix j r 2 δ ij ) i j k r = 3 (δ ijx k + δ ik x j + δ kj x i ) r 2 5 x i x j x k r 7. m (l) i...i l := m (0) := Q = ϱ( r ) x i... x i l d 3 r ϱ( r ) d 3 r ( φ( r ) = Q 4πɛ 0 r m() i i r + 2 m(2) ik ) i k r + ( ) l l! m(l) i...i l i... il r l=3 45

46 3 ELEKTROSTATIK Der Tensor m (2) ik ist symmetrisch, woraus folgt, dass es nur 6 unabhängige Komponenten gibt. Er wird aber nur in der Konstruktion mit dem Tensor i k r gebraucht. Dieser Tensor ist spurlos, weil seine Spur genau der Deltafunktion (2.4) r entspricht. Wegen der Spurlosigkeit von i k r gilt 2 m(2) ik i k r * = ( 2 = 6 m (2) ik 3 δ ikm (2) }{{} spurlos nach * jj I ) i k r ( ) 3 m (2) ik δ ikm (2) jj i k r Nebenrechnung(*) Lemma. Es gilt für beliebige (n n)-matrizen A und B mit tr B = 0: tr(a B) = tr((a tr A I) B) = tr(ã } n B) {{} =:Ã, tr Ã=0 Beweis. Die Spur einer (n n)-matrix A ist definiert als die Summe der Diagonalelemente. tr A := n i= A ii Also gilt folgende Überlegung 46

47 3 ELEKTROSTATIK tr((a n tr A I) B) = tr(a B tr(a) B) n n = tr(a B) tr (A) B ii n i= }{{} Zahl = tr(a B) n n tr(a) = tr(a B) n = tr(a B) i= B ii tr(a) tr (B) }{{} =0 Betrachte die Spur von à := A n tr A I: tr à = tr A n tr A n (I) = 0 i= }{{} =n Q := m := ϱ( r )d 3 r ϱ( r ) r d 3 r Gesamtladung Dipolmoment 47

48 3 ELEKTROSTATIK Q ik := ϱ( r ) ( 3 x ix k δ ik r 2 ) d 3 r Quadrupolmoment. höhere Ordnungen φ( r ) = ( Q 4πɛ 0 r m i i r + Q ik 6 i k * = 4πɛ 0 r + O( ) r 4 ) ) ( Q r + m r 2 r r + Q ik 2r 3 xi r xk r + O( r 4 ) Nebenrechnung(*) Wir wissen, dass Q ik spurlos ist, dass also tr Q ik = 0. Q ik 6 i k r = Q ik 6 ( 3 xi x k r 5 δ ) ik r 3 = Q ik 2r 3 xix k r 2 Q ik 6 δik r 3 = Q ik 2r 3 xix k r 2 tr Q }{{ ik } =0 Q ik 6 i k r = Q ik 2r 3 xi r xk r Dafür haben wir die Spurlosigkeit von Q ik ausgenutzt! 6r 3 48

49 3 ELEKTROSTATIK Unabhängige Komponenten bei Multipolmomenten Wir stellen fest Q ij ist symmetrisch und spurfrei 5 unabhängige Komponenten m hat 3 unabhängige Komponenten Im allgemeinen Fall für l 3 gilt: da der Tensor m (l) i...i l vollständig symmetrisch ist, also alle Permutationen von Indexanordnungen den gleichen Eintrag haben, ist die Anzahl der unabhängigen Komponenten kombinatorisch die Gleiche, als würde man l mal aus einem Topf mit drei verschiedenen Kugeln ziehen (mit zurücklegen). Die drei Kugeln repräsentieren in diesem Gedankenexperiment die drei Dimensionen, die jeder Index i k annehmen kann. Es gibt demnach ( ) ( ) 3 + l l + 2 (l + 2)! (l + ) (l + 2) = = = l l l! 2! 2 unabhängige Komponenten. Nur die spurlosen Anteile bezüglich jedes Indexpaares werden gebraucht, es fallen also so viele Komponenten weg, wie es Indexpaare gibt (jedes Paar erzeugt auch eine spurlose Hauptdiagonale). Bei ( l 2) = l (l ) 2 Indexpaaren werden also insgesamt unabhängige Komponenten benötigt. (l + ) (l + 2) 2 l (l ) 2 = 2l + Der Beitrag zum Potential φ( r ) in der Ordnung wird durch 2l + unabhängige Komponenten des r l+ 2 l -Polmomentes beschrieben. Diese Zahlen charakterisieren die Ladungswolke. 49

50 3 ELEKTROSTATIK a 2 b 2 q - a/ 2 a/2 - q q - b 2 - a 2 (a) Monopol (b) Dipol (c) Quadrupol (d) Oktupol Realisierung von Multipolen durch Punktladungen (und damit Erklärung des Wortes Multipol) Monopol Dipol Q = q m = (q δ (3) ( r a2 ) q δ(3) ( r + a2 ) ) r d 3 r = q a Für diese Anordnung zweier Punktladungen ist Q = 0, Q ik = 0 aber das Oktupolmoment ungleich 0. Quadrupol a b und a = b 50

51 3 ELEKTROSTATIK Q = 0 m = ( q δ (3) ( r a 2 ) + q δ(3) ( r + a 2 ) q δ(3) ( r b 2 ) q δ(3) ( r + ) b 2 ) = q a 2 q a 2 q b 2 + q b 2 = 0 ( Q ik = q δ (3) ( r a 2 ) + q δ(3) ( r + a 2 ) q δ(3) ( r b 2 ) q δ(3) ( r + ) b 2 ) ( ( = q 3 aia k a 2 ) ( ) ) δ ik 2 3 bib k δ b 2 ik 2 4 = q ( 2 3 (a i a k b i b k ) δ ik ( a 2 ) b 2 ) r d 3 r ( 3x ix k δ ik r 2 ) d 3 r Mit den Bedingungen a b und a = b ist das eine Parametrisierung durch 5 unabhängige Parameter (von a und b kommen vier, q ist der fünfte) Multipolmomente und Kugelfunktion φ ( r ) ist außerhalb der Ladungswolke eine Lösung der Laplacegleichung (3..4). Wir führen die Multipolentwicklung nun in Kugelkoordinaten durch. Da sich der Laplace-Operator auf kartesische Koordinaten bezieht, muss eine Transformation von kartesischen in Kugelkoordinaten erfolgen. x = r sin ϑ cos ϕ x 2 = r sin ϑ sin ϕ x 3 = r cos ϑ 5

52 3 ELEKTROSTATIK r = sin ϑ cos ϕ + sin ϑ sin φ 2 + cos ϑ 3 ϑ = r cos ϑ cos ϕ + r cos ϑ sin ϕ 2 r sin ϑ 3 ϕ = r sin ϑ sin ϕ + r sin ϑ cos ϕ 2 Das heißt r sin ϑ cos ϕ sin ϑ sin ϕ cos ϑ ϑ = r cos ϑ cos ϕ r cos ϑ sin ϕ r sin ϑ 2 ϕ r sin ϑ sin ϕ r sin ϑ cos ϕ 0 3 }{{} r 2 = A ϑ 3 ϕ =:A * det(a) = r 2 sin ϑ * A = sin ϑ cos ϕ r cos ϑ cos ϕ r sin ϕ sin ϑ sin ϑ sin ϕ r cos ϑ sin ϕ r cos ϕ sin ϑ cos ϑ r sin ϑ 0 Nebenrechnung (*) Zur Erinnerung: sin 2 α + cos 2 α =, α Mit dem Laplace schen Entwicklungssatz bekommt man: 52

53 3 ELEKTROSTATIK ( ) r cos ϑ cos ϕ r cos ϑ sin ϕ det(a) = cos ϑ det r sin ϑ sin ϕ r sin ϑ cos ϕ ( ) sin ϑ cos ϕ sin ϑ sin ϕ + r sin ϑ det r sin ϑ sin ϕ r sin ϑ cos ϕ = cos ϑ (r 2 cos ϑ sin ϑ cos 2 ϕ + r 2 cos ϑ sin ϑ sin 2 ϕ) + r sin ϑ (r sin 2 ϑ cos 2 ϕ + r sin 2 ϑ sin 2 ϕ) = r 2 sin ϑ cos 2 ϑ + r 2 sin ϑ sin 2 ϑ = r 2 sin ϑ Mit dieser Determinante lässt sich nun die inverse Matrix von A berechnen. ( ) ( ) ( ) A22 A det 23 A2 A det 23 A2 A det 22 A 32 A 33 A 3 A 33 A 3 A 32 ( ) ( ) ( ) adj(a) = A2 A det 3 A A det 3 A A det 2 ( A 32 A 33 A 3 A 33 A 3 A 32 ) ( ) ( ) A2 A det 3 A A det 3 A A det 2 A 22 A 23 A 2 A 23 A 2 A 22 r 2 sin 2 ϑ cos ϕ r 2 sin 2 ϑ sin ϕ r 2 sin ϑ cos ϑ = r sin ϑ cos ϑ cos ϕ r sin ϑ cos ϑ sin ϕ r sin 2 ϑ r sin ϕ r cos ϕ 0 T T A = adj(a) det(a) sin ϑ cos ϕ sin ϑ sin ϕ cos ϑ A = r cos ϑ cos ϕ r cos ϑ sin ϕ r sin ϑ r sin ϕ sin ϑ r cos ϕ sin ϑ 0 T 53

54 3 ELEKTROSTATIK 2 = x 2 i i ( ( = (sin ϑ cos ϕ) r + r ( + (sin ϑ sin ϕ) r + ) ( sin ϕ cos ϑ cos ϕ ϑ r sin ϑ ( ) ( cos ϕ cos ϑ sin ϕ ϑ + r r sin ϑ ) ϕ ) 2 ) ) 2 ( ( ) ) 2 ϕ + (cos ϑ) r r sin ϑ ϑ Laplace in Kugelkoordinaten Nach Ausmultiplizieren und Zusammenfassen der Terme, erhält man die folgende Form: = r 2 r 2 r + ( r 2 sin ϑ ϑ sin ϑ ϑ + sin 2 ϑ 2 ) ϕ 2 Wir betrachten den Fall φ = 0. Um die partielle Differentialgleichung in Kugelkoordinaten für das Potentialfeld φ lösen zu können, versuchen wir das Problem auf die Lösung gewöhnlicher Differentialgleichungen zu reduzieren. Das gelingt mit einem sogenannten Separationsansatz, d. h. gesucht werden Lösungen der Form φ = f (r) Y (ϑ, ϕ) }{{}}{{} radial winkelabhängig φ = 0 0 = Y (ϑ, ϕ) r 2 f (r) (r f (r)) + r2 r 2 ( ) r 2 (r f (r)) r 2 sin ϑ ϑ sin ϑ ϑ + sin = 2 ϑ 2 ϕ 2 f (r) Y (ϑ, ϕ) ( sin ϑ Y (ϑ, ϕ) ϑ sin ϑ ϑ + sin 2 ϑ 2 ) ϕ 2 Y (ϑ, ϕ) 54

55 3 ELEKTROSTATIK Rechts steht eine Funktion, die nur von den Winkeln ϕ und ϑ abhängig ist, links eine Funktion des Radius r. Das ist konsistent nur möglich, wenn beide Seiten gleich ein und derselben Konstanten λ sind, also gar nicht von den Winkeln oder dem Radius abhängen. Um das zu sehen überlegt man sich, dass diese Gleichung für alle Winkel ϕ, ϑ und r gelten muss. Würde eine oder mehrere der Funktionen doch vom Argument abhängig sein, wäre die Gleichheit bei leichter ariation dieses Argumentes verletzt. So ein λ könnten wir prinzipiell auch als l (l + ) darstellen, was zunächst noch unsinnig erscheint, sich aber im erlaufe der Rechnung als nützlich erweist. Radiale Komponente Als Lösung findet man: l (l + ) = r 2 r 2 (r f (r)) f (r) = r r (f (r) + r f (r)) f (r) = r (2 f (r) + r f (r)) f (r) l (l + ) f(r) = r 2 f (r) + 2r f (r) f(r) = A r l + B r l 55

56 3 ELEKTROSTATIK Winkelabhängige Komponente ( sin ϑ Es kann erneut separiert werden: ϑ sin ϑ ϑ + sin 2 ϑ 2 ) ϕ 2 Y (ϑ, ϕ) = l (l + ) Y (ϑ, ϕ) Y (ϑ, ϕ) = P (ϑ) Q (ϕ) Q (ϕ) sin ϑ ϑ sin ϑ ϑ P (ϑ) + sin 2 P (ϑ) Q (ϕ) = l (l + ) Q P ( ϑ sin 2 sin ϑ ϑ ) ϑ sin ϑ ϑ P (ϑ) + l (l + ) P (ϑ) Q (ϕ) = P (ϑ) Q (ϕ) Parametrisieren der Separationskonstanten mittels m 2 : Q (ϕ) + m 2 Q (ϕ) = 0 Q(ϕ) = A e imϕ + B e imϕ ) sin ϑ ϑ sin ϑ ϑ P (ϑ) + (l (l + ) m2 sin 2 P (ϑ) = 0 ϑ und der Notierung P (ϕ (z)) P (z) folgt die verallgemeinerte Legendre sche Diffe- d Mit cos ϑ = z, dϑ = sin ϑ d dz rentialgleichung. 56

57 3 ELEKTROSTATIK erallgemeinerte Legendre sche Differentialgleichung ( d ( z 2 ) ) d + l (l + ) m2 dz dz z 2 P (z) = 0 Damit Q (ϕ + 2π) = Q (ϕ) ist, muss m ganzzahlig sein. Die Lösungen der Differentialgleichung hängen über Pl m (z) = ( ) m ( m z 2) 2 d m dz m P l (z) mit denen der Legendre-Gleichung zusammen. Legendre-Gleichung ( z 2 ) P l (z) 2zP l + l (l + ) P l (z) = 0 Nur für ganze l 0 existieren im ganzen Intervall z [, ] =ϑ [0, π] reguläre Lösungen. Legendre sche Polynome P 0 (z) =, P (z) = z, P 2 (z) = ( 3z 2 ),

58 3 ELEKTROSTATIK und allgemein: P l (z) = ( 2 l l! dl z 2 ) l dz l Rodrigues Formel x l P l (z) = ( 2 xz + x 2 ) 2 l =0 Diese Formel müssen wir leider so akzeptieren, da die Herleitung zu kompliziert ist. Bemerkung Die Differentialgleichung hat für beliebiges l natürlich stets zwei linear unabhängige Lösungen. Die zweite Lösung ist aber bei ganzem l 0 bei z = ± singulär. Für ganze l 0 ist dann auch Pl m (z) bis auf den Faktor ( z 2 ) m 2 ein Polynom. Die zulässigen Werte von m sind dann weiter offenbar l m l, m ganzzahlig Die Funktionen 58

59 3 ELEKTROSTATIK Y lm (ϑ, ϕ) = (2l + ) (l m )! 4π (l + m )! heißen Kugelflächenfunktionen. Sie sind orthonormiert im Sinne von 2π 0 Y lm (ϑ, ϕ) Y l m (ϑ, ϕ) dϕ d z Pl m (cos ϑ) e imϕ }{{} cos ϑ = δ ll δ mm und bilden ein vollständiges Orthonormalsystem für Funktionen auf der Einheitskugel mit h (ϑ, ϕ) = h lm = 2π 0 l l=0 m= l h lm Y lm (ϑ, ϕ) Ylm (ϑ, ϕ) h (ϑ, ϕ) dϕ d cos ϑ Schließlich lässt sich die allgemeine Lösung der Laplacegleichung (3..4) darstellen als φ ( x) = (A r l + B r l ) l C lm Y lm (ϑ, ϕ) l=0 m= l 59

60 3 ELEKTROSTATIK Multipolentwicklung mittels Kugelfunktion φ ( r ) = 4πɛ 0 ϱ ( r ) r r d3 r ( r r = r 2r r 2 cos γ + r r 2 γ = ( r, r ) (3.2.5) = r Mithilfe eines Additionstheorems für Kugelfunktionen P l (cos γ) = 4π 2l + ( ) r l P l (cos γ) l =0 l m= l r ) 2 Y lm ( ϑ, ϕ ) Y lm (ϑ, ϕ) erhalten wir φ ( r ) = 4πɛ 0 l l=0 m= l r l+ (r ) l ϱ ( r ) 4π 2l + Y lm ( ϑ, ϕ ) Y lm (ϑ, ϕ) d 3 r 60

61 3 ELEKTROSTATIK Multipolmomente der Ladungsverteilung 4π q lm := 2l + (r ) l ϱ ( r ) Ylm ( ϑ, ϕ ) d 3 r Dann folgt φ ( r ) = 4πɛ 0 l=0 r l+ l m= l 4π 2l + q lm Y lm (ϑ, ϕ) Zu festen l gibt es 2l + Momente. Auf die gleiche Anzahl waren wir auch bei der Abzählung unabhängiger Komponenten von Q ik auf Seite 49 gekommen. Gegenüber der vorher behandelten Multipolentwicklung in kartesischen Koordinaten hat diese Darstellung den orteil der expliziten Kontrolle der Winkelabhängigkeit. Dazu kommt, dass wir an dieser Stelle die Entwicklung in allen Ordnungen erhalten haben Elektrostatik bei Anwesenheit von Leitern Leiter sind Materialien mit frei beweglichen Ladungsträgern. Im statischen Falle muss deshalb innerhalb von Leitern E = 0 sein, denn anderenfalls würden sich die frei beweglichen Ladungen noch verschieben. Da außerhalb E 0 sein kann, sind Leiteroberflächen zwangsweise Unstetigkeitsflächen des ektorfeldes E. Außerdem sitzen Ladungen gezwungenermaßen auf der Leiteroberfläche. 6

62 3 ELEKTROSTATIK Effekt flächenhaft verteilter Ladungen Sei σ die Flächenladungsdichte ( Ladung /Fläche) Wie wir festgestellt hatten (3..3), gilt div E = ϱ, rot E ɛ = 0 0 D γ E d f = ɛ 0 Gesamtladung in E d r = 0 Zunächst wird das erste Integral auf eine Dose der Höhe δ wie in der Abbildung ausgewertet. Dann gilt ( E (±) Grenzwerte oben/unten) 62

63 3 ELEKTROSTATIK D F ( E(+) E ( ) ) d f = lim δ 0 D = ɛ 0 D F E d f σ df Nach Ausführung dieses Grenzprozesses lassen wir die Grundfläche der Dose gegen Null gehen. ( E(+) E ) ( ) n = σ ɛ 0 n Einheitsnormalenvektor an Fläche F Das heißt die Normalkomponente von E macht einen Sprung, der gleich der Flächenladungsdichte ist. Nun wird das zweite Integral ausgewertet. ( E(+) E ) ( ) t = 0, t tangential zu F Das heißt die Tangentialkomponente von E ist an der geladenen Fläche stetig. 63

64 3 ELEKTROSTATIK Bemerkungen Diese Stetigkeitsaussagen gelten auch für den Fall, dass bis an die Fläche heran noch Ladungen mit der olumen- Ladungsdichte ϱ verteilt sind! Da das Feld im Inneren eines Leiters verschwindet ( E = 0), folgt die Feldstärke E steht senkrecht auf den Leiteroberflächen und Leiteroberflächen sind Äquipotentialflächen. Potentiale auf Leiteroberflächen und Ladungen können nicht völlig unabhängig vorgegeben werden. Das sieht man am einfachsten am idealen Plattenkondensator. zwei Leiteroberflächen mit Flächeninhalt A Die Randeffekte sind vernachlässigbar, wenn die Fläche A gegen geht und alles auf die Flächeneinheit bezogen wird. Für das Potential zwischen den Leitern ist φ = 0. Wegen der Symmetrie des Problems ist φ nur von x 3 abhängig. 64

65 3 ELEKTROSTATIK d 2 φ dx 2 3 = 0 φ hängt linear von x 3 ab E ( r ) = E e 3, E konstant E = φ φ 2 d Andererseits ist Q = σ A, Q 2 = σ 2 A, E = σ 2 /ɛ 0, E = σ /ɛ 0 Q = +Q 2 = Q, Q ɛ 0 A = (φ 2 φ ) /d Q = C (φ 2 φ ) C = ɛ 0A d ist die Kapazität des Plattenkondensators Wir wollen nun die allgemeine Situation mit mehreren beliebig geformten Leiteroberflächen diskutieren. Die Ränder von seien Leiteroberflächen. Diese sind dann Äquipotentialflächen. Dann gilt: Bei orgabe des Potentiales auf den Leiteroberflächen und der Ladungsverteilung ϱ ( r ) innerhalb von, ist die Lösung der Poissongleichung φ = ϱ ɛ 0 eindeutig fixiert. Das führt zum sogenannten Dirichlet schen Randwertproblem. Dirichlet sches Randwertproblem Liegt vor, wenn die Lösung einer partiellen Differentialgleichung in einem Gebiet durch die orgabe von Werten für die gesuchte Funktion auf dem Rand eindeutig bestimmt werden kann. Nachweis der Eindeutigkeit der Lösung Beweis. Seien φ, φ 2 zwei Lösungen und bezeichne φ die Differenz. φ = 0 in und φ = 0 auf 65

66 3 ELEKTROSTATIK Kompaktes dehnt sich bis ins Unendliche aus (a) Endliche Ausdehnung (b) Unendliche Ausdehnung mit der Zusatzforderung φ 0 für r 66

67 3 ELEKTROSTATIK (2.2.) ( ) (grad φ) 2 + φ φ d 3 r = (grad φ) 2 d 3 r = 0 φ = 0 φ grad φ d f φ = 0 folgt auch, wenn auf dem Rand grad φ n = 0 ist. Bei orgabe der Normalableitung von φ auf dem Rand und einer Ladungsverteilung ϱ ( r ) innerhalb von ist die Lösung der Poissongleichung (3..4) φ = ϱ ɛ 0 ebenfalls eindeutig fixiert. Die Suche nach der Lösung bezeichnet man in diesem Falle als Neumann sches Randwertproblem. Neumann sches Randwertproblem Liegt vor, wenn die Lösung einer partiellen Differentialgleichung in einem Gebiet durch die orgabe von Werten für die Normalableitung der gesuchten Funktion auf dem Rand eindeutig bestimmt werden kann. Bemerkungen Bei kompaktem kann n grad φ nicht völlig beliebig vorgegeben werden. Der von ϱ ( r ) erzeugte Fluss muss sich mit dem Fluss von aus ins Innere von zu 0 kompensieren. Da E n = grad φ n direkt an die Oberflächenladung von Leitern gekoppelt ist, bedeutet bei Anwendung auf von Leitern begrenzte Gebiete die Dirichlet-Randbedingung die orgabe der Potentiale der einzelnen Leiter sowie die Neumann-Randbedingung die orgabe der Ladungen der einzelnen Leiter. Wir wollen zumindest für den Dirichlet-Fall die Existenz der Lösung nachweisen. Eindeutigkeit Beweis. Dazu nehmen wir zunächst die Existenz einer Funktion G( r, r ) an (Green sche Funktion), mit 67

68 3 ELEKTROSTATIK r G( r, r ) = δ (3) ( r r ) und G( r, r ) = 0 für r φ( r ) = ɛ 0 G( r, r ) ϱ( r ) d 3 r ϕ( r ) grad r G( r, r ) d f Das ist eine Lösung von φ = ϱ( r ) ɛ 0, φ( r ) = ϕ( r ) für r, wie wir jetzt zeigen wollen. Mit Green 2 (2.2.2) (ϕ ψ ψ ϕ) d 3 r = (ϕ grad ψ ψ grad ϕ) df mit ϕ = φ( r ), ψ = G( r, r ) folgt: φ( r ) G( r, r ) G( r, r ) φ( r ) }{{}}{{} d3 r = φ( r ) grad G( r, r ) G( r, r ) grad φ( r ) df }{{} δ (3) ( r r ) ϱ( r ) =0 ɛ 0 φ( r ) + G( r, r ) ϱ( r ) d 3 r = φ( r ) grad G( r, r ) df ɛ 0 Existenz G( r, r ) = 4π r r + F 68

69 3 ELEKTROSTATIK erfüllt unsere Forderungen an G, falls gilt r F = 0 und F ( r, r ) = 4π r r, für r Da das Dirichletproblem für die Laplacegleichung (3..4) eindeutig lösbar ist, folgt die Existenz von G. Die explizite Konstruktion gestaltet sich im allgemeinen Fall allerdings schwierig. Entscheidend ist aber, dass G existiert und ausschließlich durch die Geometrie des Problems bestimmt ist! Symmetrie Wir wollen nun zeigen, dass die Green sche Funktion symmetrisch ist. Dazu verwenden wir Green 2 (2.2.2) mit ϕ( r ) = G( r, r ) und ψ( r ) = G( r, r ). (G( r, r ) grad }{{} r G( r, r ) G( r, r ) grad }{{} r G( r, r )) df =0 auf =0 auf = (G( r, r ) r G( r, r ) G( r, r ) }{{} r G( r, r )) d 3 r }{{} =δ (3) ( r r ) =δ (3) ( r r ) = G( r, r ) G( r, r ) = 0 G( r, r ) = G( r, r ) 69

70 3 ELEKTROSTATIK Spiegelladungsmethode im leitenden Halbraum halber R 3 =: H 3 Green sche Funktion im R 3 G( r, r ) = 4π r r Gesucht Wie wir bereits wissen, ist G H 3 eindeutig bestimmt. G H 3( r, r ) mit G = δ( r r ), r, r H 3 und G( r, r ) = 0 für r H 3 70

71 3 ELEKTROSTATIK Induzierte Spiegelladung Der Blick auf die Situation mit der Spiegelladung offenbart G H 3( r, r ) = ( ) 4π r r r r s mit r = x x 2 x 3 x r s = x 2 x 3 7

72 3 ELEKTROSTATIK Nun wird die bisherige Diskussion auf den folgenden Fall angewandt (allgemeine Kondensatorsituation): = i i, i j = i, j : i j, ϱ = 0 in Intuitiv ist die allgemeine Kondensatorsituation also eine Menge von disjunkten Leiterstücken, die die ganze Ladung halten. φ( x) = φ i für x i, d. h. φ i ist das Potential des i-ten Leiters Auf dem i-ten Leiter ist dann die Ladung Q i = σ df = ɛ 0 i i E d f = ɛ0 i grad φ d f Q i und φ i sind aber nicht unabhängig, denn d f = n df, n zeigt in den Leiter hinein! (aus heraus) φ( r ) (ϱ=0) = Q i = ɛ 0 Unter Benutzung von = j j entsteht φ( r ) grad r G( r, r ) d f i grad grad G( r, r ) φ( r ) d f d f 72

73 3 ELEKTROSTATIK Q i = j C ij φ j C ij := ɛ 0 grad grad G( r, r ) d f d f i j und wegen der Symmetrie-Eigenschaft der Green schen Funktion C ij = C ji C ij Kapazitätskoeffizienten (rein geometrisch) 3.4. Energie des elektrostatischen Feldes Gegeben sind N Punktladungen. Gesucht wird die Arbeit, die nötig ist, um die Punktladungen aus dem Unendlichen an ihre Positionen r,..., r N zu bringen. Ladung q : keine Arbeit W = 0 q Ladung q 2 : W 2 = q 2 4πɛ 0 r 2 r Ladung q 3 : W 3 = q 3. q 4πɛ 0 r 3 r + q 3 q 2 4πɛ 0 r 3 r 2 73

74 3 ELEKTROSTATIK W = N i= W i = i>j q i q j 4πɛ 0 r i r j = 2 q i q j 4πɛ 0 r i r j i j Übertragen auf eine kontinuierliche Ladungsverteilung kommen wir zu W = 2 ϱ( r ) ϱ( r ) 4πɛ 0 r r d3 r d 3 r Diese Arbeit bezeichnet man auch als elektrostatische Energie der Ladungsverteilung. Man kann W durch das zugehörige elektrische Feld beschreiben: ϱ( r ) 4πɛ 0 r r d3 r = φ( r ) W = 2 ϱ( r ) φ( r ) d 3 r ϱ( r ) = ɛ 0 φ W = ɛ 0 2 φ φ d 3 r W = ɛ 0 2 (φ φ) d 3 r + ɛ 0 2 φ φ d 3 r Das erste Integral wandeln wir über den Satz von Gauß (2..) in ein Oberflächenintegral über eine beliebig große Kugel um. Der Beitrag geht im Grenzwert dann gegen Null. φ = E 74

75 3 ELEKTROSTATIK W = ɛ 0 2 E 2 d 3 r Hier knüpft nun eine (in der reinen Elektrostatik nicht zwangsläufige) Uminterpretation an: die Energie des elektrostatischen Feldes ist auch dort, wo gar keine Ladungen sind. Die Energiedichte des elektrostatischen Feldes ist ɛ 0 2 E 2 75

76 4 MAGNETOSTATIK 4. Magnetostatik Die Beschreibung der Wechselwirkung von Permanentmagneten lässt sich völlig analog zur Elektrostatik gestalten, wenn man als zusätzliche Bedingung hinzunimmt: magnetische Monopole Magnetische Felder von Permanentmagneten werden von Dipolen hervorgerufen. Die Messung der Richtung des Feldes lässt sich mit kleinen Dipolen (Magnetnadeln) durchführen. Die Stärke des Feldes kann man beispielsweise über das auf die Magnetnadeln wirkende Drehmoment ermitteln. An diesem Punkt der Diskussion ist es noch nicht offensichtlich, dass Elektro- und Magnetostatik etwas miteinander zu tun haben, allerdings geht aus Experimenten hervor, dass bewegte elektrische Ladungen (Ströme) Magnetfelder erzeugen. 4.. Stationäre Ströme und Biot-Savart sches Gesetz Wir beginnen mit der allgemeinen Bilanzierung einer kontinuierlich verteilten physikalischen Größe, die weder erzeugt noch vernichtet werden kann, hier am Beispiel der elektrischen Ladung. Sei ϱ( r, t) die im Allgemeinen zeitabhängige Ladungsdichte und j ( v, t) die zugehörige elektrische Stromdichte ( Ladung /Fläche Zeit). Betrachten wir nun ein kompaktes Gebiet. Dann ist Q = ϱ d3 r die Ladung im Gebiet. Diese kann sich nur dann zeitlich ändern, wenn sie durch den Rand fließt. d ϱ d 3 r = j df dt (2..) = div j d 3 r 76

77 4 MAGNETOSTATIK Weil das auch für beliebig kleine Gebiete gilt, folgt die Kontinuitätsgleichung Kontinuitätsgleichung ϱ( r, t) t + div j ( r, t) = 0 Falls ϱ und j zeitunabhängig sein sollen, muss außerdem noch div j = 0 gelten. Das ist die oraussetzung für die Magnetostatik. Experimentelle Befunde Ein stromdurchflossener Leiter erzeugt ein Magnetfeld. Die Kraftwirkung des Magnetfeldes auf den stromdurchflossenen Leiter ist sowohl senkrecht zum Magnetfeld, als auch zur Stromrichtung Biot-Savart-Gesetz B( r ) = µ 0 4π j ( r ) ( r r ) r r 3 d 3 r 77

78 4 MAGNETOSTATIK I - B + Magnetfeld um einen stromdurchflossenen Leiter 78

79 4 MAGNETOSTATIK B ist die magnetische Induktion Kraftwirkung auf bewegte Ladungen bzw. Ladungsströme Betrachte eine Punktladung mit Ladung q und Geschwindigkeit v Lorentzkraft K = q v B Für die Kraft, die auf ein eindimensionales Leiterstück wirkt, das von Strom I durchflossen wird, ergibt sich: d k = I d l B Bemerkung zu den Maßeinheiten Im Prinzip könnte man für die magnetische Polstärke ( mgn. Dipolmoment /Länge) eine neue, unabhängige Größe einführen, wie bei der Ladung geschehen, man benutzt aber stattdessen eine Anbindung an die elektrische Ladung, d. h. im Ausdruck für die Lorentzkraft verzichtet man auf ein unabhängiges γ mit K = γ q v B und setzt γ =. Damit folgt für B [B] = kg m ( s 2 As m ) kg = s As 2 =: T = 04 Gauß 79