DATENACQUISITION, SENSITIVITÄT, VALIDIERUNG

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1 DATENACQUISITION, SENSITIVITÄT, VALIDIERUNG GERTRUD DESCH 1. Grundwassermodellierung In diesem Skriptum werden drei verschiedene, wesentliche Aspekte der Modellierung aufgegriffen: Wie kommt man zu Daten? Wie pflanzen sich Fehler aus und wirken sich Schwankungen der Modellparameter aus? Wie überprüft man die Gültigkeit eines Modells? Alle diese Probleme müssen in einer Vorlesung über Modellierung unbedingt angesprochen werden, andererseits reicht die Zeit nicht für eine systematische theoretische Beschreibung. Wir werden daher an Hand von Beispielen aus der Grundwassermodellierung diese Aspekte skizzieren. Um unsere Beispiele zu verstehen, müssen wir die Prinzipien der Grundwassermodellierung verstehen. Wir können diese hier nur sehr skizzenhaft darstellen. Wenn Sie über dieses Thema mehr wissen wollen, empfehle ich das sehr praxisorientiert und verständlich geschriebene Lehrbuch [2] Prinzipien der Grundwassermodellierung Grundwasser und Head. Grundwasser ist das Wasser, das so tief liegt, dass nur mehr die Schwerkraft wirkt, also etwa nicht Wasser, das durch Kapillarwirkung hochgehalten wird, oder von Wurzeln aufgesogen wird. Der Boden besteht teils aus grundwasserleitenden Schichten (poröses Material, durch das Wasser hindurchsickern kann) und Schichten, die kein Grundwasser aufnehmen und führen können (Fels). Mehrere leitende und nichtleitende Schichten können übereinanderliegen. Wenn eine leitende Schicht von oben durch eine nichtleitende Schicht begrenzt wird, reden wir von einem gespannten Grundwasserleiter, sonst von einem freien Grundwasserleiter. Fixieren wir uns eine bestimmte Höhe als Referenzhöhe 0 (z.b. Meeresspiegel, Höhe des Dorfplatzes, oder was sonst passt). Wenn man an einer Stelle x den Grundwasserleiter mit einem Rohr anstechen würde, würde das Wasser in diesem Rohr zu einer Höhe h(x) ansteigen. Diese Höhe heißt Head oder Piezometerhöhe. In einem freien Grundwasserleiter ist der Head ganz einfach die Höhe des Wasserspiegels. In einem gespannten Grundwasserleiter kann der Head über die Obergrenze des Grundwasserleiters hinaussteigen, weil das Wasser unter Druck stehen kann. Würde man den Wasserdruck unter der Stelle x, auf dem Niveau t über Referenzhöhe, messen, erhielte man h(x) t Meter Wassersäule. Hydrologen geben sinnvollerweise den Druck in Metern Wassersäule an Grundwasserspeicherung. Wir betrachten zuerst den freien Grundwasserleiter. Stellen wir uns einen Kiesboden vor. Dieser besteht aus Steinchen, in die kein Wasser dringt, und den Hohlräumen dazwischen, die oberhalb des Grundwasserspiegels mit Luft, unterhalb mit Wasser gefüllt sind. Das Volumen der Hohlräume bezogen auf einen Kubikmeter Boden heißt Porosität S des Bodens. Wenn sich unter einem Quadratmeter Landfläche der Head um einen Wert h erhöht, dann erhöht sich die Grundwassermenge, die unter dieser Landfläche gespeichert ist, um S h, denn das Wasser dringt in h Kubikmeter Boden, von dem aber nur der Anteil S h Hohlräume sind, welche mit Wasser gefüllt werden. Im gespannten Grundwasserleiter ändert sich das wassergefüllte Bodenvolumen 1

2 2 G. DESCH nicht mehr. Wasser selbst ist inkompressibel, aber in den Poren des wasserführenden Gesteins gibt es noch kleine Gasbläschen, die durch den Wasserdruck zusammengepresst werden können, und damit Platz für etwas mehr Wasser lassen. Erinnern wir uns, dass der Head ja ein Maß für den Wasserdruck ist. Wird der Head um h erhöht, so erhöht sich auch die Menge des gespeicherten Grundwassers unter einem Quadratmeter Landfläche um S h mit einer Konstanten S, die nun allerdings nicht mehr die Porosität des Bodens, sondern die Kompressibilität der Gasbläschen beschreibt. Obwohl die physikalischen Prinzipien der Speicherung im freien und im gespannten Grundwasserleiter verschieden sind, kommen wir am Ende zur selben Gleichung: Grundregel (Gleichung der Grundwasserspeicherung). Wir legen über ein Landstück ein Koordinatennetz. Mit x bezeichnen wir die Koordinaten eines Punktes auf dem Landstück. Mit u(x) bezeichnen wir die Menge von Grundwasser, die an unter einer Bodenoberfläche von F Quadratmetern gespeichert ist. Ändert sich der Head h(x) an der Stelle x um einen Wert h(x), so ändert sich u(x) um den Wert u(x) = SF h(x). Die Konstante S heißt Speicherkoeffizient und hängt von der Beschaffenheit des Grundwasserleiters ab. Weil das Bodenmaterial ja nicht überall gleich beschaffen sein muß, kann S auch von x abhängen. Bemerkung Ein großer Speicherkoeffizient S weist darauf hin, dass wenig Head (Druck!) aureicht, um viel Wasser im Bodenmaterial unterzubringen. Bemerkung Hydrologen geben den Wasserdruck in Höhe Wassersäule, also typischerweise Metern, an. Daher ergibt sich für die Einheit des Speicherkoeffizienten: Volumsunterschied Speicherkoeffizient = Fläche. Druckunterschied = 1. Der Speicherkoeffizient ist eine dimensionslose Größe Grundwasserleitung. Der Head ist nicht unter der ganzen Landfläche gleich. Der Druckunterschied treibt die Grundwasserströmung an. Der Strömung entgegen wirken Reibungsverluste, der Boden setzt der Strömung also Widerstand entgegen. Die Menge des Wassers, das pro Sekunde strömt, wird umso größer, je größer der Druckunterschied ist, der die Strömung antreibt, je weitere Querschnittsflächen dem Wasser zur Durchströmung zur Verfügung stehen, je geringer die Strecke ist, die das Wasser überwinden muss, je durchlässiger das Bodenmaterial für die Strömung ist. Diese Zusammenhänge lassen sich im Darcyschen Gesetz zusammenfassen: Grundregel (Darcysches Gesetz). Eine Bodenprobe befindet sich in einem Rohr mit Querschnittsfläche F und Länge L. Am Anfang des Rohres wird Wasser mit einem Druck P A eingeleitet, der Druck P E am Ende des Rohres wird konstant gehalten. Es wird gemessen, welches Wasservolumen V in t Sekunden durch das Rohr sickert. Dann gilt V = K F (P A P E )t L mit einer Konstanten K, der sogenannten hydraulischen Leitfähigkeit oder Konduktivität des Bodenmaterials. Auch die hydraulische Leitfähigkeit kann von Ort zu Ort verschieden sein.

3 DATEN, SENSITIVITÄT, VALIDIERUNG 3 Bemerkung Es ist mathematisch und physikalisch vielleicht unbefriedigend, ein physikalisches Gesetz durch einen Laborversuch zu beschreiben, wie oben. 1 Eine abstraktere Formulierung ist: Der Strömungsvektor der Grundwasserströmung ist direkt proportional und exakt entgegengesetzt zum Druckgradienten: Q = K P. Dabei wird ein (gedachtes, infinitesimal kleines) Flächenstück mit Fläche F und Normaleinheitsvektor n innerhalb des Bodens pro Zeiteinheit von einem Volumen von F Q n durchströmt. Bemerkung Eine große hydraulische Leitfähigkeit K weist darauf hin, dass ein geringes Druckgefälle ausreicht, um eine starke Grundwasserströmung anzutreiben. Bemerkung Die Dimension der hydraulischen Leitfähigkeit ist eine Geschwindigkeit: Volumen. Länge [K] = Fläche. Druckunterschied. Zeit = Länge Zeit Grundwassermodelle Modellzweck. Grundwassermodelle beschreiben Head und Grundwasserströmungen unter Berücksichtigung äußerer Einflüsse (z.b. Niederschlag, Wasserverbrauch durch Landwirtschaft). Gründe für eine Modellierung können sein: Vorhersage der hydrologischen Daten, evtl. auch im Hinblick auf Auswirkungen menschlicher Eingriffe. (z.b. bei der Frage: Wird das Wasser ausreichen, wenn eine Stadt in den nächsten 10 Jahren stark wächst, oder wenn die Landwirtschaft intensiviert wird?) Planung von Eingriffen, die das Grundwasser betreffen. (z.b. An welchen Stellen und in welchen Mengen wird man Wasser abpumpen müssen, um eine geplante Baugrube trocken zu halten? An welchen Stellen soll man die Brunnen anlegen, um einen Ort zu versorgen? Wie lange wird es brauchen, bis ein geplanter Eingriff auch seine Wirkung zeigt?) Analyse der bestehenden Grundwasserströmungen im Hinblick auf den möglichen Transport von Schadstoffen. (z.b. bei der Frage: An welcher Stelle ist die Anlage einer Mülldeponie am wenigsten riskant? Kann man durch gezieltes Abpumpen von Wasser den Weg eines Schadstoffes an einem Ort vorbeilenken?) Um einen formalen Rahmen zu haben, in dem die laufend beobachteten hydrologischen Daten systematisch erfasst und katalogisiert werden können. Um ein allgemeines hydrologisches Problem besser zu verstehen. (z.b. welchen Einfluß nehmen Speicherkapazität und hydraulische Leitfähigkeit typischerweise auf die Absenkung des Grundwasserspiegels, wenn Grundwasser an einer Stelle abgepumpt wird?) Je nach Modellzweck kann ein einfaches, skizzenhaftes Modell genügen oder eine aufwendige Analyse des betreffenden Gebietes und eine Modellrechnung mit verteilten Parametern notwendig sein. Grundwassermodelle können statisch oder dynamisch sein. Statische Grundwassermodelle beschreiben Grundwassersysteme, die im Gleichgewicht sind, das 1 Es reicht aber für die Prüfung, wenn Sie die Beschreibung des Darcyschen Gesetzes in Prinzip verstehen.

4 4 G. DESCH heißt, der Head, die an den verschiedenen Orten gespeicherten Grundwassermengen, und die Geschwindigkeitsvektoren der Grundwasserströmungen bleiben über den betrachteten Zeitraum gleich. Selbstverständlich kann Grundwasser strömen, aber an jedem Punkt kommt immer genau so viel Wasser an, wie Wasser abfließt. Dynamische Grundwassermodelle sind dazu angelegt, auch die Veränderungen der hydrologischen Daten im Lauf der Zeit zu berücksichtigen Ein einfaches Modell. Das folgende Modell ist ein Standardwerkzeug in der Hydrologie (vgl. [4, p.128f] und [3, p.43f]): Modell Wir stellen uns eine sehr große (im Modell: unendliche) Ebene vor. Die Ebene liegt auf einem ebenen, horizontalen felsigen Untergrund, auf welchem eine grundwasserleitende Schicht aufliegt (z.b. Humus oder Sand). Diese Schicht ergibt einen freien Grundwasserleiter. Wir nehmen an, dass der Speicherkoeffizient S und die hydraulische Leitfähigkeit K an allen Orten gleich sind. An einem Punkt der Ebene wird nun Wasser abgepumpt, und zwar konstant Q Kubikmeter pro Tag. Es bildet sich ein Trichter: In der Nähe des Brunnens sinkt der Grundwasserspiegel am meisten, weiter entfernt vom Brunnen senkt sich das Grundwasser weniger ab. Wegen der Symmetrieen dieser Konfiguration hängt der Head h(r) (= Wasserstand, weil der Grundwasserleiter frei ist) nur vom Abstand r vom Brunnen ab. Befindet sich dieser Grundwasserleiter im Gleichgewicht, so gilt für zwei Orte mit Abständen r 1 < r 2 vom Brunnen die Gleichung von Dupuit-Thiem (1.2.1) h 2 (r 2 ) h 2 (r 1 ) = Q Kπ ln(r 2 r 1 ). Bemerkung Die Gleichung von Dupuit-Thiem lässt sich mit den Mathematikkenntnissen einer/s Studierenden der Systemwissenschaften durchaus herleiten, aber dafür fehlt uns hier die Zeit. Auch die Analyse des Modells kann mit Papier und Bleistift fortgesetzt werden Zellenmodell. Modell Um ein real world -Problem zu behandeln, legt man über die Karte des untersuchten Gebietes Gitterlinien, die das Gebiet in rechteckige Zellen unterteilt. Es ist nicht nötig, das alle Gitterlinien voneinander gleich entfernt sind, typischerweise belegt man das Gebiet, das erfasst werden soll, mit einem engmaschigen Netz, und setzt das Gitter mit weiteren Maschen noch tief in die Umgebung fort, damit nicht durch einen zu kleinen Modellhorizont die Einwirkungen der Umgebung unterschlagen werden. Wir nehmen vereinfachend an, dass innerhalb jeder Zelle der Head konstant ist. Wegen der Gleichung für die Grundwasserspeicherung hängen Head und die gespeicherte Grundwassermenge direkt proportional zusammen. Für jede Zelle stellt man nun eine dynamische Mengenbilanz des gespeicherten Wassers auf: Der Wasseraustausch mit den Nachbarzellen erfolgt nach dem Darcyschen Gesetz Weitere Zu- und Abflüsse können durch Versickerung, Niederschlag, Brunnen, Wasseraustausch mit Oberflächengewässern usw. erfolgen und werden entsprechend einmodelliert. Man kann Zellen auch einen festen Head zuweisen (z.b. Zellen am Rand zu Oberflächengewässern) oder Zellen als nichtleitend ausschließen (z.b Felsen). Die Mengenbilanzen führen zu einem System von gekoppelten Differentialgleichungen, eine für den Head jeder Zelle, welcher aber von den Nachbarzellen abhängt. Das System lässt sich mit Hilfe des Computers numerisch lösen und auswerten. Solche Programme schreibt man natürlich nicht selbst, man bekommt sie vorgefertigt. Gute Programme geben ihre Ergebnisse auch als Karten, z.b. mit Höhenschichtlinien für den Head und Stromlinien für die Grundwasserströmungen aus.

5 DATEN, SENSITIVITÄT, VALIDIERUNG 5 Bemerkung Lässt man in einem Zellenmodell die Abstände der Gitterlinien gegen Null gehen, erhält man eine partielle Differentialgleichung mit zwei Raumkoordinaten und einer Zeitkoordinate. Umgekehrt gibt es für partielle Differentialgleichungen Lösungsverfahren, die effektiver sind als das obige einfache Zellenmodell. Solche Verfahren finden in ausgeklügelten Grundwasserprogrammen oft Verwendung. 2. Zahlenwerte der Parameter 2.1. Wie man zu den Parametern kommt Anfgaben aus der Literatur. Typische Werte für Speicherkapazität und hydraulische Leitfähigkeit findet man in Lehrbüchern für Grundwassermodellierung. Zum Beispiel findet sich in [4, p.111] folgende Tabelle für die hydraulische Leitfähigkeit: 2 Bodenmaterial Leitfähigkeit (m/s) reiner Kies grobkörniger Sand 10 3 mittelkörniger Sand feinkörniger Sand schluffiger Sand toniger Schluff Ton < 10 9 Fachbücher enthalten auch oft Hinweise, wie man aus anderen Bodeneigenschaften auf S und K schließen kann. Zum Beispiel findet man in [4, p.141 f] Formeln für den Zusammenhang zwischen Körnigkeit (Durchmesser der Bodenteilchen) und Leitfähigkeit, z.b. 3 0, 7 + 0, 03t K = d , 4 Dabei ist t die Wassertemperatur in C, und d 10 das 10%-Perzentil des Korndurchmessers des Lockergesteins. Es ist auch ohnehin unumgänglich, die Literatur nach Arbeiten zum speziellen Gebiet abzusuchen. Vielleicht finden sich auch dort bereits Daten über die hydrologischen Parameter Laborversuche. Bodenproben können entnommen werden, indem man eine Probebohrung anlegt. In dem Rohr, das in den Boden getrieben wird, finden sich übereinander Proben der verschiedenen Bodenschichten. Diese lassen sich im Labor untersuchen. Einen typischen Laborversuch zur Bestimmung der hydraulischen Konduktivität haben wir zur Erklärung des Darcyschen Gesetzes in Prinzip beschrieben Feldversuche. Zunächst muss die Topografie des untersuchten Gebietes festgestellt werden, also welche Art von Grundwasserleiter wo liegt. Oft liegen unter einem freien Grundwasserleiter noch ein oder mehrere gespannte Grundwasserleiter. Man darf sich auch nicht vorstellen, dass die verschiedenen Bodenschichten eben wie die Schichten einer Dobostorte übereinanderliegen, sodass auch nach Durchführung von Probebohrungen oft noch viel Spielraum für Interpretation über die Lage der Grundwasserleiter verbleibt. Neben Bohrungen zur Entnahme von Bodenproben 2 Bitte diese Tabelle nicht auswendig lernen, nur ganz grob die Größenordnung, in denen sich die Parameter aufhalten. 3 Formel nicht lernen. Sie müssen nur wissen, dass man aus der Körnigkeit auf die Leitfähigkeit schließen kann. Können Sie sich erklären, warum Material mit einer größeren Körnigkeit besser leitet? Warum kommt es auf die Körnigkeit der kleineren Steinchen an?

6 6 G. DESCH kann durch Probebohrungen auch z.b. die elektrische Leitfähigkeit innerhalb einer Bodenschicht gemessen werden. [3, Chap.5] enthält ein Kapitel über die Gewinnung von Daten, das die Probenentnahme und Messungen ziemlich konkret beschreibt. Beispiel Um die hydraulische Leitfähigkeit eines Grundwasserleiters zu testen, kann man einen Brunnen anbohren, aus dem man gleichmäßig eine Wassermenge von Q Kubikmetern pro Tag abpumpt. In zwei unterschiedlichen Abständen r 1 und r 2 senkt man Peilrohre in den Grundwasserleiter, in denen man den Head h(r 1 ), h(r 2 ) misst. Man wartet so lange ab, bis sich die Heads in den Peilrohren nicht mehr ändern, also bis Gleichgewicht eintritt. Aus der Gleichung von Dupuit-Thiem (1.2.1) kann man nun die Leitfähigkeit berechnen: K = Q ln(r 2 /r 1 ) π (h 2 (r 2 ) h 2 (r 1 )). Wartet man das Gleichgewicht nicht ab, sondern verfolgt die zeitliche Entwicklung des Heads in den Peilrohren, kann man auch auf den Speicherkoeffizienten schließen [4, p.128 ff]. Bemerkung Aus einem statischen Versuch kann man niemals den Speicherkoeffizienten ermitteln, weil sich die Drücke und der Bestand an gespeichertem Grundwasser ja nicht mehr ändern. Der Speicherkoeffizient stellt aber gerade eine Beziehung zwischen Druckänderung und Änderung des gespeichertem Wasservolumens her Parameteridentifizierung. Zur Parameteridentifizierung (Parameteranpassung) benötigt man Daten über die hydrologischen Verhältnisse im modellierten Gebiet, die bereits beobachtet wurden, und vergleicht diese mit dem Modell. (1) Man setzt im Modell für die unbekannten Parameter zunächst willkürlich Werte ein, die möglichst realistisch erscheinen. (2) Mit dem Modell wird eine bekannte Situation nachgerechnet. Die ermittelten Heads (und gegebenenfalls andere Daten) werden mit den bekannten Beobachtungsdaten aus der Realität verglichen. (3) Passen die Modellrechnung und die Beobachtung gut zusammen, kann man den Vorgang beenden. Die geratenen Parameter scheinen sich für das beobachtete Gebiet zu eignen. (4) Passen die Modellrechnung und die Beobachtung nicht gut zusammen, müssen die Werte der unbekannten Parameter geändert werden. Dann werden die Modellrechnung aus Schritt 2 und der Vergleich aus Schritt 3 wiederholt, bis die Parameter passen. Grundsätzlich gibt es zwei Strategien zur Parameteranpassung: Personengesteuert: Natürlich werden die Modellrechnungen am Computer vorgenommen. Aber die Beurteilung der Ergebnisse und das Nachjustieren der Parameter führt eine Person auf Grund ihrer Erfahrung, ihres Fingerspitzengefühls und ihrer Anforderungen an das Modell durch. Diese sehr mühsame Methode hat auch Vorteile: In die Bewertung können auch stärker qualitative Kriterien und nicht reiner Vergleich der Zahlenwerte einfließen, vielleicht ist es wichtiger, dass ein bestimmtes Phänomen deutlich modelliert wird, als dass die Zahlenwerte der Heads im ganzen Bereich gut übereinstimmen. Im Prozess der Parametersuche gewinnt der/die HydrologIn Einblick in die spezielle Situation des modellierten Gebietes, und in die Auswirkung der Parameter auf die Ergebnisse. Automatisiert: Der ganze Prozess wird einem Optimumsuchprogramm übertragen und läuft automatisiert am Computer ab. Dazu muss eine Zielfunktion vorgegeben werden, die aus dem Vergleich zwischen Modellrechnung und Beobachtungsdaten

7 DATEN, SENSITIVITÄT, VALIDIERUNG 7 einen Zahlenwert ermittelt. Je kleiner die Zielfunktion, umso besser wird die Modellierung eingeschätzt. Beispielsweise könnte man an einigen Orten die Abweichungen der Heads aus Beobachtung und Modellrechnung quadrieren und die Fehlerquadrate für alle Stellen aufsummieren (Methode der kleinsten Quadrate). Das Computerprogramm sucht automatisch jene Parameterwerte, für die die Zielfunktion am kleinsten wird. Grundwassersimulationsprogramme haben oft eine solche Parameteridentifizierung eingebaut: man kann einige Gruppen von Zellen zusammenfassen, die dieselben hydrologischen Parameter K und S haben sollen. Diese Parameter sollen zur Identifizierung freigegeben werden. Dafür muss man Ergebnisse aus einer bekannten Sitation eingeben. Das Grundwasserprogramm führt dann die Identifizierung automatisiert durch. Es wäre problematisch, die Parameter jeder einzelnen Zelle separat zur Identifizierung freizugeben: Optimumsuche für viele Unbekannte ist sehr langsam und ungenau Sensitivität Sensitivität und Elastizität. Aus dem vorigen Abschnitt sehen wir, dass wir die Parameter oft nur ungenau kennen. Wir haben über Leitfähigkeit und Speicherkoeffizient geredet, die als geologische Parameter wenig anfällig für Änderung sind. Es kommen aber in Modellen auch Parameter vor, die sich im Lauf der Zeit ändern können, die man vielleicht sogar willkürlich ändern kann, um auf das Systemverhalten Einfluss zu nehmen. Es ist daher wichtig, zu verstehen, wie empfindlich die Ergebnisse auf Änderungen der Parameter reagieren. Definition (Naive Definition der Sensitivität und Elastizität). Es seien a 1,, a n Parameter eines Systems. f sei eine Beobachtungsgröße des Systems. Da diese von den Parametern abhängt, ist f letztlich eine Funktion der Parameter: f = f(a 1,, a n ). Wir halten alle Parameter fest, bis auf einen einzigen Parameter a i, der einer Veränderung a i unterworfen wird. Die Sensitivität von f bezüglich des Parameters a i ist Änderung von f Änderung von a i = f(a 1,, a i + a i,, a n ) f(a 1,, a i,, a n ) a i. Wir nehmen zusätzlich an, dass f(a 1,, a n ) > 0, und a i > 0. Die Elastizität von f bezüglich dem Parameter a i ist Relative Änderung von f Relative Änderung von a = i f(a 1,,a i + a i,,a n ) f(a 1,,a i,,a n ) f(a 1,,a n) a i. a i Bemerkung Sei also σ die Sensitivität und ϵ die Elastizität von f bezüglich des Parameters a i. Ändert man den Parameter a i um 0.001, so ändert sich f um 0.001σ zumindest ungefähr, siehe unten. Wir schließen: Ist σ > 0, so bewirkt eine Erhöhung von a i eine Erhöhung von f, ist σ < 0, so bewirkt eine Erhöhung von a i eine Verringerung von f. Je größer der Betrag von σ ist, desto stärker reagiert f auf Veränderungen von a i. Ändert man den Parameter a i um 5 %, so ändert sich f um ungefähr 5ϵ %. Beispiel Die Bestimmung der Elastizität ist besonders dann vorzuziehen, wenn die Größenordnung des Parameters und der Beobachtungsgröße sehr unterschiedlich sind. Wird eine Beobachtungsgröße mit Werten im Bereich von 10 4 durch einen Parameter mit Werten im Bereich von 10 3 beeinflusst, so bedeutet eine Änderung von 10 5 für den Parameter gerade 1 %. Wenn sich diese Änderung im

8 8 G. DESCH Verhältnis 1 : 10 6 auf die Beobachtungsgröße durchschlägt, wenn sich also die Beobachtungsgröße um 10 ändert, bedeutet sie für die Beobachtungsgröße bloß ein Promille. Betrachten wir nur die Sensitivität 10 6, so gewinnen wir den Eindruck, dass der Parameter auf die Beobachtungsgröße starken Einfluss hat. Die Berechnung der Elastizität 0,1 rückt unser Bild zurecht. Bemerkung MathematikerInnen sprechen angesichts der Definition einen Exorzismus, denn sie ist schwammig. Weil f typischerweise nicht linear von a i abhängt, werden für die Sensitivität unterschiedliche Werte herauskommen, je nachdem, wie groß die Veränderung von a i ist. Man zieht sich aus der Schlinge, indem man infinitesimal kleine Änderungen von a i betrachtet. Im Grenzübergang bekommt man partielle Ableitungen: f(a 1,, a i + a i,, a n ) f(a 1,, a i,, a n ) lim a i 0 a i = f(a 1,, a i,, a n ). a i Definition (Mathematische Definition der Sensitivität und Elastizität). Es seien a 1,, a n Parameter eines Systems. f sei eine Beobachtungsgröße des Systems. Da diese von den Parametern abhängt, ist f letztlich eine Funktion der Parameter: f = f(a 1,, a n ). Die Funktion f sei differenzierbar. Die Sensitivität von f bezüglich des Parameters a i ist a i f(a 1,, a i,, a n ). Wir nehmen zusätzlich an, dass f(a 1,, a n ) > 0, und a i > 0. Die Elastizität von f bezüglich dem Parameter a i ist f(a 1,, a i,, a n ) a i a i [f(a 1,, a i,, a n )] = a i [ln f(a 1,, a i,, a n )]. d da i ln(a i ) Sensitivitätsanalyse. Hat man die Parameter für ein Modell gefunden und die Modellrechnungen zum Laufen gebracht, so sollte man eine Sensitivitätsanalyse für alle Parameter durchführen, d.h., man bestimmt (zumindest näherungsweise) die Sensitivitäten bzw. Elastizitäten der wichtigsten Systemgrößen in Bezug auf alle Parameter. Parameter mit geringer Sensitivität nehmen wenig Einfluss auf das System und können daher eher ungenau erfasst werden, ohne viel Schaden anzurichten. (Vergleiche aber Bemerkung 2.2.3!) Möglicherweise können solche Parameter sogar aus dem Modell weggelassen werden. Parameter, auf die das System empfindlich reagiert, müssen genau bestimmt werden. Wenn es möglich ist, auf solche Parameter Einfluss zu nehmen, kann man damit vielleicht das System effizient steuern. Nur in wenigen Fällen wird es möglich sein, die Sensitivität und Elastizität mit Hilfe der mathematischen Definition zu bestimmen. Typischerweise sind die Modelle so komplex und die Rechnungen so langwierig, dass die partiellen Ableitungen der Ergebnisse nach den Parametern nicht greifbar sind. Beispiel Wir betrachten das Modell eines Brunnens, der aus einem freien Grundwasserleiter täglich Q Kubikmeter Wasser abpumpt. In den Abständen r 1 < r 2 sind Peilrohre zur Ermittlung des Heads in den Boden getrieben. Bei einer hydraulischen Leitfähigkeit von K ergibt sich (1.2.1): h 2 (r 2 ) h 2 (r 1 ) = Q Kπ ln(r 2 r 1 ).

9 DATEN, SENSITIVITÄT, VALIDIERUNG 9 Wir bestimmen die Sensitivitäten von f = h 2 (r 2 ) h 2 (r 1 ) bezüglich aller Modellparameter K, Q, r 1, r 2 : f K = Q K 2 π ln(r 2 ) = f r 1 K. Für die Elastizität von f bezüglich K ergibt sich somit exakt -1. Wir sehen auch: Je größer K, desto geringer wird der Unterschied der Heads an r 1 und r 2. Überlegen Sie sich mit Anschauung, ob dieses Ergebnis für Sie plausibel ist. f Q = 1 Kπ ln(r 2 ) = f r 1 Q. Wieder ist die Elastizität von f bezüglich Q exakt 1. Eine Erhöhung der Pumpleistung wirkt sich natürlich so aus, dass auch die durch das Abpumpen verursachten Wasserstandsunterschiede erhöht werden. f = Q f, = Q. r 1 Kπr 1 r 2 Kπr 2 Je größer r 1 und je kleiner r 2 ist, je näher also r 1 an r 2 liegt, desto weniger deutlich wird der Druckunterschied zwischen den beiden Messpunkten. Methode (Sensitivitätsanalyse). In komplexen Modellen führt man die Sensitivitätsanalyse näherungsweise durch, indem man die folgenden Schritte für alle Parameter separat durchführt: (1) Greife eine Modellgröße f heraus und berechne den Wert f unter den gewählten Werten für die Parameter. (2) Wähle den ersten Parameter a i = a 1. (3) Lasse alle Parameter außer a i unverändert, ändere a i um 1%. Es sei also ã i = 1, 01a i. (4) Führe die Modellrechnung zur Bestimmung von f i := f(a 1,, ã i,, a n ) durch. (5) Die Sensitivität von f bezüglich a i ist (näherungsweise) fi f 0.01a i, die Elastizität von f bezüglich a i ist (näherungsweise) 100( f i f 1). (6) Wähle den nächsten Parameter als a i und setze wieder bei Schritt 3 fort, bis alle Parameter untersucht sind. Das Ergebnis ist eine Tabelle der Sensitivitäten und Elastizitäten der Parameter, aus der sich die Bedeutung der Parameter für die wichtigen Systemgrößen ablesen lässt Fehlerfortpflanzung Fehler. Bei der Modellierung von Systemen kommen an vielen Stellen Unsicherheiten ins Spiel, zum Beispiel: Messungenauigkeiten bei der Datenerhebung. Weil man oft auf Stichproben angewiesen ist und nicht das gesamte System zur Datenerhebung heranziehen kann. Weil jedes Modell viele kleinere Einflussfaktoren im System vernachlässigen muss. Weil bei den Rechenvorgängen Rundungsfehler auftreten. Es kann sein, dass man für manche dieser Ungenauigkeiten abschätzen kann, wie groß die Abweichung ist. Man kennt zum Beispiel die Messgenauigkeit seiner Instrumente, kann für Stichprobenschätzungen Konfidenzintervalle bestimmen, kennt die Rechengenauigkeit des Computers.

10 10 G. DESCH Definition Sei x irgendeine Größe in irgendeinem System, die von unserer Rechnung erfasst wird. Es sei x der Wert von x, der sich aus der Rechnung ergibt, und der auf Grund von Unsicherheiten (wir sagen einfach: Fehlern) vom tatsächlichen Wert von x abweicht. Wir sagen, F > 0 ist eine Fehlerschranke für x, wenn x mit ausreichender Wahrscheinlichkeit im Bereich x ± F liegt. Es bleibt die Frage, wie sich diese Fehlerschranken im Lauf der Rechnung fortsetzen. Regel (Fehlerfortpflanzung). Seien x 1,, x n irgendwelche Größen, die von unserer Rechnung erfasst werden. Es sei x i der Wert von x i, der sich aus der Rechnung ergibt. Für jedes x i liege eine Fehlerschranke F (x i ) vor. Sei y eine weitere Systemgröße, die sich durch eine Funktion y = g(x 1,, x n ) errechnet. Dann ist n F (y) = g( x 1,, x n ) F (x i ) x i eine Fehlerschranke für y. i=1 Diese Regel geht davon aus, dass die Fehler so klein sind, dass man g durch die linearen Glieder der Taylorreihe ausreichend gut annähern kann: n g(x 1 + x 1,, x n + x n ) g(x 1,, x n ) + g(x 1,, x n ) x i. x i Beispiel Seien F (x 1 ), F (x 2 ) Fehlerschranken für x 1 und x 2. Wir geben Fehlerschranken für einige Größen an, die aus x 1 und x 2 berechnet werden: i=1 Für x 1 ± x 2 : F (x 1 ) + F (x 2 ), ( F (x1 ) für x 1 x 2 : x 1 x 2 + F (x ) 2), x 1 x 2 für x 1 : x ( 1 F (x1 ) + F (x ) 2), x 2 x 2 x 1 x 2 für x n 1 : n x 1 n 1 F (x 1 ) Gaußsche Fehlerfortpflanzung. Regel geht von einem worst case scenario aus, dass sich im schlechtesten Fall alle Fehler summieren. Häufig hat man Fehler aus unabhängigen Fehlerquellen und darf erwarten, dass sich die Fehler zum Teil auch gegenseitig aufheben. In diesem Fall behandelt man die Fehlergrenzen wie die Standardabweichungen von unabhängigen Zufallsvariablen. Bei so berechneten Fehlerschranken sprechen wir von statistischen Fehlerschranken. Beachten Sie, dass diese Behandlung von Fehlerschranken eine Konvention ist, und nichts mit einer tatsächlichen statistischen Analyse der Fehler zu tun hat. Regel (Statistische Fehlerfortpflanzung). Seien x 1,, x n Größen, die von unserer Rechnung erfasst werden. Es sei x i der Wert von x i, der sich aus der Rechnung ergibt. Für jedes x i liege eine statistische Fehlerschranke F (x i ) vor. Sei y eine weitere Systemgröße, die sich durch eine Funktion y = g(x 1,, x n ) errechnet. Dann ist F (y) = n g( x 1,, x n ) x 2 F (x i ) 2 i i=1 eine statistische Fehlerschranke für y.

11 DATEN, SENSITIVITÄT, VALIDIERUNG 11 Beispiel Die hydraulische Leitfähigkeit eines freien Grundwasserleiters wurde durch einen Pumpversuch bestimmt, wie in Beispiel beschrieben. Wir erhalten Q ln(r 2 /r 1 ) K = π (h(r 2 ) 2 h(r 1 ) 2 ). Wir gehen davon aus, dass die Lage unserer Bohrlöcher sehr genau ausgemessen werden konnte, die Pumpleistung aber nur auf ±5% genau eingestellt werden konnte, und die Messungen der Heads auf ±2% genau erfolgt sind. Wir wollen feststellen, wie genau wir K kennen. Weil alle Fehlerquellen voneinander unabhängig zu sein scheinen, berechnen wir statistische Fehlerschranken. Auf Grund unserer Angaben haben wir folgende Fehlerschranken: Für h(r i ) : 0, 02h(r i ), für Q : 0, 05Q. Wir bestimmen nun F (K): ( ) 2 F (K) 2 ln(r 2 /r 1 ) = π (h(r 2 ) 2 h(r 1 ) 2 F (Q) 2 ) ( ) 2 2h(r1 ) Q ln(r 2 /r 1 ) + π (h(r 2 ) 2 h(r 1 ) 2 ) 2 F (h(r 1 )) 2 ( ) 2 2h(r2 ) Q ln(r 2 /r 1 ) + π (h(r 2 ) 2 h(r 1 ) 2 ) 2 F (h(r 2 )) 2 ) 2 (0, 05Q) 2 ( 1 = K 2 Q ( ) 2 + K 2 2h(r 1 ) h(r 2 ) 2 h(r 1 ) 2 (0, 02h(r 1 )) 2 ( ) 2 + K 2 2h(r 1 ) h(r 2 ) 2 h(r 1 ) 2 (0, 02h(r 1 )) 2 [ = K 2 0, , 0016 (h(r 1) 4 + h(r 2 ) 4 ] ) (h(r 2 ) 2 h(r 1 ) 2 ) Modellgültigkeit Eine der schlimmsten Anfechtungen des Bösen Feindes für ModelliererInnen ist ein funktionierendes Computerprogramm und ein paar leuchtende bunte Kurven auf dem Bildschirm. Wir haben das Gefühl, etwas erreicht zu haben. In Wirklichkeit stehen wir erst am Anfang der Arbeit. Denn bloß, weil sich ein Modell durchrechnen lässt und Bilder liefert, muss es leider das modellierte System noch lange nicht adäquat wiedergeben. Modelle sind nicht richtig, sie sind stark vereinfachte Darstellungen von komplexen Systemen. Ob ein Modell brauchbar ist, kann nur an Hand des Modellzweckes beurteilt werden. Wir reden also bei Modellen nicht von Richtigkeit, sondern von Gültigkeit. Die Überprüfung, ab ein Modell gültig ist, heißt Validierung. Validierung und Modellentwicklung gehen Hand in Hand. Die Mängel, die bei der Validierung aufgedeckt werden, müssen behoben werden und geben dabei neue Einsichten in das System Strukturgültigkeit. Strukturgültigkeit bedeutet, dass das Modell so gebaut ist, dass es in sich konsistent ist, und alle (für den Modellzweck) bedeutenden Teile des Systems passend wiedergibt.

12 12 G. DESCH Innere Konsistenz. Gleichungen müssen formal richtig sein, die mathematischen Ableitungen der Gleichungen stimmen. Dimensionen und Einheiten müssen zusammenpassen. In den Computerprogrammen müssen effiziente Rechenverfahren eingebaut sein, die mit der Größe des Modells zu Rande kommen. (Nicht alles, was auf dem Papier mit drei Unbekannten funktioniert, geht auf dem Computer mit 2000 Unbekannten in einem feinen Zellenmodell.) Kann das Modell eine einfache Situation, die man auch mit Bleistift und Papier analysieren kann, korrekt durchrechnen? (Man könnte zum Beispiel ein Zellenmodell damit überprüfen, dass man die Situation von Modell im Zellenmodell nachbaut und rechnet. Beispiel Stimmen die Einheiten in der Dupuit-Thiem Gleichung (1.2.1)? Lösung: Es sind gegeben: r 1, r 2 in Metern, h(r 1 ), h(r 2 ) in Metern, Q in Kubikmetern pro Tag, K in Metern pro Tag, und π ist dimensionslos. Die beiden h 2 auf der linken Seite der Gleichung haben die Einheit m 2, dürfen also subtrahiert werden, und die Einheit der Differenz ist wiederum m 2. Das Verhältnis r 2 /r 1 ist dimensionslos, darf also in den Logarithmus eingesetzt werden, und ln(r 2 /r 1 ist wieder dimensionslos. Die rechte Seite hat also die Einheit m3 / s m / s = m2. Beispiel Grundwassermodelle mit Zellenmodellen führen sehr komplexe Rechnungen mit sehr vielen Unbekannten durch (Head und Strömungsvektoren für jede Zelle). Riesige Gleichungssysteme werden oft mit iterativen Verfahren gelöst, das heißt, das Rechenverfahren tastet sich Schritt für Schritt zu immer genaueren Lösungen vor. Typischerweise bricht das Verfahren ab und anerkennt die Lösung, wenn sich die neue Lösung von der alten ausreichend wenig unterscheidet. Damit aber im Fall von Problemen der Computer nicht endlos weiterrechnen kann, wird eine Höchstzahl von Schritten vorgegeben, die er rechnen kann, dann muss er abbrechen. Wenn er vorzeitig abbrechen muss, ist die Lösung natürlich ungenau. Eine Möglichkeit, die Genauigkeit der Rechnung zu überprüfen, ist die Wasserbilanz, die in vielen Computermodellen eingebaut ist. Es wird dabei eine Tabelle ausgegeben, wieviel Wasser auf welche Art in das System einlangt (Niederschläge, Einsickerung aus Oberflächengewässern, Grundwasserströmung von außen), und wieviel wieder aus dem System verschwindet (Abfluss durch Grundwasserströmung oder Übertritt in Oberflächengewässer, Drainage, Versickerung in tiefere Grundwasserleiter, Brunnen). Wird eine Gleichgewichtslage simuliert, müssen sich Zufluss und Abfluss die Waage halten. Natürlich wird das in den Zahlenwerten nicht ganz perfekt wiedergegeben. Aus der Differenz zwischen Zufluss und Abfluss in der Wasserbilanz kann man eine Vorstellung gewinnen, auf wieviel Stellen genau das Modell gerechnet hat Korrekte Wiedergabe der Systemteile. Sind zumindest nach derzeitigem Wissensstand alle Teile und Effekte, die für den Modellzweck Bedeutung haben, erfasst? Stimmen die Gleichungen und Naturgesetze in der Form, wie sie in das Modell eingebaut sind? Sind die geologischen Gegebenheiten richtig erfasst? Stimmen die Parameter? Beispiel Überlegen Sie selbst, welche Effekte auf das Grundwasser Einfluss nehmen könnten Verhaltensgültigkeit. Verhaltensgültigkeit heißt, dass das Modell das gleiche qualitative Verhalten zeigt, wie das System. Das System könnte sich auf einen Gleichgewichtszustand einspielen, es könnte sich eine periodische Schwingung aufschaukeln, es könnte chaotisch werden. Bei mehr Regen sollte der Grundwasserspiegel steigen, bei mehr Wasserentnahme sinken. In der Nähe der Brunnen sollte sich der Head trichterförmig absenken.

13 DATEN, SENSITIVITÄT, VALIDIERUNG Empirische Gültigkeit. Empirische Gültigkeit heißt, dass die Modellrechnung die Zahlenwerte des Systems ausreichend genau wiedergibt. Um das Modell zu validieren, müssen bekannte Situationen nachgerechnet werden. Eine besonders eindrucksvolle Form von empirischer Validierung ist eine Postaudit-Studie, in dem man überprüft, ob die Modellvoraussagen eingetroffen sind. Beispiel ([1]). In den 60-er Jahren wurde für ein etwa km großes Gebiet in Nebraska ein Grundwassermodell entwickelt. Zweck war die Voraussage der Grundwasserverhältnisse mit einem Zeithorizont im Hinblick auf vermehrte Nutzung des Grundwassers für intensive Landwirtschaft. Das Modell wurde damals an Hand der Daten von 1962 auf einem Analogrechner installiert und durchgerechnet. Im jahr 1986 wurden die tatsächlichen Grundwasserdaten dieses Gebietes erhoben und mit den Ergebnissen der Modellrechnung verglichen. Qualitativ zeigten Modellrechnung und Realität gute Übereinstimmung, es gab zwei Gebiete mit deutlicher Absenkung des Grundwasserspiegels, ungefähr dort, wo das Modell sie vorhergesagt hatte. Allerdings hatte das Modell die Grundwasserabsenkung um 50% (dem Volumen nach) überschätzt, obwohl der tatsächliche Bedarf von den Modellierern eher unterschätzt wurde. Die Autoren der Postaudit- Studie vermuten die Ursache darin, dass der Wasserabfluss durch die Flüsse stärker zurückgegangen war als erwartet Anwendungsgültigkeit. Anwendungsgültigkeit bedeutet, dass ein in sich sinnvolles Modell auch für den Zweck geeignet ist, für den es angewendet werden soll. Dies ist besonders zu hinterfragen, wenn ein Modell, das für einen anderen Zweck angefertigt wurde, auf eine neue Situation übertragen werden soll. Beispiel In [4, p.163] nimmt der Verfasser Stellung zur Verwendung von Computermodellen zur Grundwassersimulation in Deutschland. Grundwassermodelle bauen auf dem Darcyschen Gesetz auf, das für Sickerströmungen in porösem Material mit feinen Poren gilt. In z.b. karstigen Felsformationen erfolgt die Wasserausbreitung durch Risse und Hohlräume, durch die das Grundwasser wie ein Bach fließen kann. Hier wird das Wasser nicht entlang des Druckgradienten, sondern entlang der Richtung dieser Hohlräume transportiert. Die Grundlage für die Modellierung mit dem Darcyschen Gesetz ist somit in solchen Fällen nicht gegeben. Beispiel Überlegen Sie selbst, in welchen Situationen Sie Modell anwenden würden. Literatur [1] W. Alley and P. Emery, Groundwater Model of the Blue River Basin, Nebraska Twenty years after. J. Hydrology 85 (1986), [2] M. Anderson and W. Woessner, Applied Ground Water Modeling, Academic Press [3] Ph. Bedient, H. Rifai, C. Newell, Ground Water Contamination, Prentice Hall, [4] B. Hölting, Hydrogeologie, Enke Karl-Franzens-Universität Graz, Institut für Mathematik und wissenschaftliches Rechnen, Heinrichstraße 36, A-8010 Graz, Österreich address: