Abitur Mathematik Zusammenfassung. von Florian Sure. FAG ABI Schulhomepage

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1 Mathematik Zusammenfassung von Florian Sure Abitur 2012 FAG ABI Schulhomepage fsure.bplaced.net/fagabi12/ fsure@web.de Zum Abitur muss noch einiges gelernt werden. Vor allem das Fach der Mathematik liegt tendenziell eher den wenigsten. Deshalb habe ich eben für das Abitur noch einmal alles an Stoff zusammengeschrieben, was ich so gefunden habe. Und all das findet ihr auf den kommenden knapp 50 Seiten, eine Wiederholung der Mathematik der letzten zwei Jahre.

2 Inhaltsverzeichnis I. Ableitung 1. Was ist eine Ableitung? Definition Beispiel Allgemeine Schreibweise Bedeutung Lösung mit dem GTR Bestimmen von Tangenten und Normalen Was sind Tangente und Normale? Bestimmung einer Tangente Bestimmung einer Normale Bestimmung einer Tangente mit dem GTR Die Ableitungsfunktion Was ist die Ableitungsfunktion? Wie bestimme ich die Ableitungsfunktion? Potenzregel Summenregel Produktregel Quotientenregel Kettenregel Sonstige Regeln...9 II. Integral 1. Was ist das Integral? Definition Beispiel Allgemeine Schreibweise Bedeutung Lösen mit dem GTR Die Integralfunktion Was ist die Integralfunktion? Seite 2

3 2.2. Bestimmen der Integralfunktion Potenzregel Summenregel Kettenregel Produkte und Quotienten Sonstige Regeln Der Hauptsatz der Integralrechnung Der Hauptsatz der Integralrechnung bei Integralfunktionen Das Integral zwischen mehreren Funktionen Mittelwerte bestimmen Rotationskörper unbegrenzte Flächen III. Kurvendiskussion 1. Definitionsbereich, Definitionslücken Asymptoten senkrechte Asymptoten Waagerechte Asymptote Verhalten gegen Symmetrie Nullstellen bestimmen Einfaches Umformen Ausklammern ABC-Formel Substitution Extremstellen bestimmen Wendestellen Monotonie IV. Wachstum 1. Formen des Wachstums Darstellungsformen des Wachstums Rekursive Darstellung Explizite Darstellung Diskrete Darstellung Seite 3

4 Kontinuierliche Darstellung Lineares Wachstum Exponentielles Wachstum Halbwerts- und Verdopplungszeit Beschränktes Wachstum Wachstumsmodellierungen mit dem GTR Differentialgleichungen V. Vektoren 1. Punkte Vektoren Definition Rechenregeln Länge eines Vektors und Einheitsvektor Parallelität und Orthogonalität Geraden Definition Punktprobe Geradengleichung aus zwei Punkten erstellen Lage von Geraden Ebenen Definition Ebenengleichung finden Zwei sich schneidende Geraden Zwei parallele Geraden Eine Geraden und ein Punkt Drei Punkte Proben Punktprobe Geradenprobe Verschiedene Gleichungsformen Paramterform Normalenform Koordinatenform Umformungen Seite 4

5 5. Lagebeziehungen Ebene Gerade Ebene in Parameterform Ebene in Koordinatenform Ebene in Normalenform Ebene Ebene Zwei Parametergleichungen Zwei Koordinatengleichungen Eine Koordinatengleichung und eine Parametergleichung Abstände Punkt von einer Ebene Über Lotgerade (komplizierter dauert länger) Die Hesse sche Normalenform Punkt von einer Gerade Extremwertbindung Orthogonalitätsbindung Hilfsebene Gerade von einer zu ihr windschiefen/parallelen Gerade Orthogonalitätsbedingung Hilfsebene (nur bei windschiefen Geraden!) Schnittwinkel Winkel zwischen zwei Vektoren Winkel zwischen zwei Geraden Winkel zwischen einer Gerade und einer Ebene Winkel zwischen zwei Ebenen Zeichnen einer Ebene VI. Schlusswort des Autors Seite 5

6 I. Ableitung 1. Was ist eine Ableitung? 1.1. Definition Die Ableitung einer Funktion an einem bestimmten Punkt ist die Steigung die eine an eben diesem Punkt angelegte Tangente hätte. Anders gesagt die momentane Änderungsrate einer Funktion Beispiel Nehmen wir uns also eine Beispielfunktion und wir wollen die Ableitung im Punkt bestimmen. Wir wollen nun also die Steigung der Funktion in diesem Punkt haben und dazu legen wir in diesem Punkt eine Tangente an. An der Stelle erhalten wir folgende Tangente. Die logische Konsequenz ist, dass die Steigung der Funktion an der Stelle gleich der Steigung der Tangente sein muss, sie ist also Allgemeine Schreibweise Das ganze lässt sich auch kürzer fassen. Die Ableitung der Funktion wird allgemein als geschrieben und anstatt schreiben wir nun einfach den betrachteten x-wert: 1.4. Bedeutung Der Begriff der momentanen Änderungsrate oder Ableitung ist einer der Begriffe die sicherlich schwer vorstellbar sind, von daher hier zunächst einmal ein praktisches Beispiel. Wenn man mit dem Auto auf der Autobahn fährt legt man eine Strecke zurück, das ist soweit klar. Würden wir diese Strecke in einem Koordinatensystem über der Zeit auftragen erhielten wir vermutlich irgendeine Funktion deren Wert immer größer wird, desto weiter die Zeit läuft. Was ist hier nun die Ableitung? Die momentane Änderungsrate heißt es in der Definition. Aber wann ändert sich die zurückgelegte Strecke am meisten, wann am wenigsten? Allein durch logisches Nachdenken erkennt man, dass die Strecke sich am meisten ändert, wenn das Auto schnell fährt und weniger wenn es langsam fährt. Die Ableitung der Strecke über der Zeit ist also scheinbar die Geschwindigkeit Lösung mit dem GTR Die Ableitung in einem Punkt lässt sich am GTR mittels der Funktion brauchen wir drei Werte, die sich allerdings leicht bestimmen lassen! Die Funktion bestimmen. Dazu braucht Seite 6

7 die Funktion die abzuleiten ist, dann die Stelle an der abgeleitet wird und eine Variable nach der abgeleitet wird. Machen wir auch das einmal an einem Beispiel klar. Wir wollen (wie oben) die Ableitung der Funktion an der Stelle. Direkt ablesen können wir wiederum die Funktion ( ) und die Stelle ( ). Komplizierter scheint die Variable. Sie ist aber ebenfalls aus dem Funktionsterm abzulesen. Hier steht sie hinter dem in den beiden Klammern. Es ist also. Im GTR geben wir also jetzt zunächst ein. Wir finden diese Funktion im Math -Menü. Haben wir mathematische Visualisierungen ausgestellt müssen wir nun zunächst die Funktion, anschließend die Variable und am Ende die Stelle eingeben. Wir erhalten also Klick auf Enter erhalten wir die Lösung: 2. nach Haben wir Visualisierungen eingestellt sehen wir statt so etwas wie. In die erste Lücke tragt ihr nun die Variable ein, sie erscheint dann gleichzeitig in der vorletzten Lücke:. Zwischen die Klammern kommt nun die Funktion und in die letzte verbliebene Lücke natürlich dann die Stelle. Wir haben also. Mit Klick auf Enter erhalten wir wieder die Lösung: Bestimmen von Tangenten und Normalen 2.1. Was sind Tangente und Normale? Tangenten schneiden eine Figur oder Funktion in einem Punkt und haben dabei dieselbe Steigung wie die Funktion selber in diesen Punkt hat. Das führt dazu, dass die Tangente die Funktion im näheren Umfeld nur einmal schneidet. Die Normale ist orthogonal zur Tangente und schneidet die Funktion im angegebenen Punkt Bestimmung einer Tangente Zur Bestimmung einer Tangente hilft die Tangentengleichung: Tangentengleichung liefert die Tangente im Punkt. Diese. Nehmen wir also wie in der Abbildung oben den Punkt. Nun brauchen wir noch die Steigung in dem Punkt ( ), diese ist wie aus obiger Rechnung bekannt. Setzen wir also alles einmal in die Tangentengleichung ein: Seite 7

8 2.3. Bestimmung einer Normale Auch zur Bestimmung einer Normale gibt es eine einfache Gleichung, die Normalenform. Sie lautet. Hier können wir ebenso einfach einsetzen und wir erhalten am Ende die normale. Hier wieder das ganze Beispiel mit dem Punkt Bestimmung einer Tangente mit dem GTR Zur Bestimmung einer Tangente mit dem GTR muss zunächst die Funktion im y=-editor eingeben um sie zeichnen zu lassen. Die gezeichnete Funktion lässt man sich dann über Klick auf Trace anzeigen. Um die Tangente zu berechnen drückt man [2nd]+[PRGM], sodass man ins Draw -Menü kommt (Abbildung oben). Im sich öffnenden Menü findet man als 5. Menüpunkt Tangent. Diese Funktion wählen wir und dadurch kommen wir wieder in die Anzeige. Dort können wir dann den x-wert eingeben, bei dem wir die Tangente haben wollen (also 1). Daher drücken wir [1]+[Enter]. Dann wird die Tangente eingezeichnet und unten wird die Gleichung angezeigt. 3. Die Ableitungsfunktion 3.1. Was ist die Ableitungsfunktion? Die Ableitungsfunktion ist die Ableitung einer Funktion an einer variablen Stelle. Wir haben also die Steigung an jeder Stelle der Funktion. Das ist sehr praktisch und man braucht es eben für einige Aufgaben Wie bestimme ich die Ableitungsfunktion? Zur Bestimmung der Ableitungsfunktion aus der normalen Funktion gibt es einige Regeln, die zu befolgen sind, sodass man die Ableitung erhält Potenzregel Beim Ableiten wird die Hochzahl der Variable davor geschrieben. Anschließend wird die Hochzahl um eins verringert: Summenregel Zwei Summanden werden getrennt voneinander abgeleitet. Wenn zwei Funktionen addiert werden, wird jede allein abgeleitet: Seite 8

9 Produktregel Beim ableiten von zwei Funktionen die mit einander multipliziert werden, muss man nach einer fixen Regel vorgehen Quotientenregel Beim ableiten von zwei Funktionen die durcheinander dividiert werden, geht es auch nach einer fixen Regel Kettenregel Wenn zwei Funktionen verkettet sind geht s auch nach einer bestimmten Regel: Sonstige Regeln Es gibt noch ein paar andere Funktionen, die eine eigene Ableitung haben: Seite 9

10 II. Integral 1. Was ist das Integral? 1.1. Definition Als das Integral einer Funktion zwischen zwei Zahlen bezeichnet man die Fläche zwischen der x-achse und der Funktion, die zwischen den beiden Zahlen auf der x-achse entsteht Beispiel Hier haben wir die Funktion. Möchten wir hier das Integral zwischen 1 und 5 bestimmen, so wäre das Integral 14. Man könnte nämlich 14 Quadrate der Größe 1cm² unter der Funktion zählen. Diese Arbeit ist relativ Aufwendig, von daher gibt es eine einfache Bestimmungsweise, aber dazu später. Hier sei noch einmal gesagt, wie man hier mit den Vorzeichen hantieren muss. Denn auch das ist ein wenig komplizierter. Alle Quadrate die man ihm oben rechten Quadranten zählt werden genau wie alle unten links positiv gezählt, alle unten rechts werden genau wie alle oben links negativ gezählt, sodass sich tatsächlich Flächeninhalte aufheben können! Möchte man dies nicht spricht man vom orientierten Flächeninhalt. Dazu muss man den Flächeninhalt in jedem Quadranten einzeln berechnen und die anschließend (ohne Vorzeichen) addieren Allgemeine Schreibweise Bei der allgemeinen Schreibweise werden untere Grenze nach unten, die obere Grenze nach oben und die Funktion rechts neben ein großes S-ähnliches Gebilde geschrieben. Hinten dran schreibt man ein d und anschlie0end die Variable nach der integriert wird (normalerweise x). Hinter ein = schreibt man dann das Ergebnis des Integrals. Das ganze sieht dann so aus: 1.4. Bedeutung Das Integral hat schon allein deshalb eine wichtige Bedeutung, da es das Gegenstück zur Ableitung ist! Machen wir dies wieder an dem Beispiel des Autofahrers fest. Haben wir von einem Autofahrer also die Gleichung die die Geschwindigkeit des Autos während der Fahrt angibt so können wir hier mit dem Integral die zurückgelegte Strecke bestimmen. Nehmen wir also beispielsweise das Integral der Geschwindigkeitsfunktion von 0 bis 1h dann erhalten wir die währenddessen zurückgelegte Strecke, und das ist ziemlich hilfreich! 1.5. Lösen mit dem GTR Auch der GTR kann uns das Integral wieder berechnen und übrigens auch so schön darstellen seit dem neuen Update. Dazu drücken wir [ALPHA]+[WINDOW] und im sich öffnenden Menü können wir dann unter 4 fnint( auswählen, und dass machen wir auch, sodass wir in der leeren Vorlage einfach Seite 10

11 alles eintragen können. Untere Grenze unten, obere oben, die Funktion in der Mitte und ganz am Ende die Variable. Mit Klick auf [ENTER] erhalten wir dann nach kurzer Zeit die Lösung angegeben. 2. Die Integralfunktion 2.1. Was ist die Integralfunktion? Mit Hilfe der Integralfunktion können wir das Integral zwischen 0 und einer anderen Zahl noch viel schneller bestimmen. Eine Integralfunktion kann man wie jede andere Funktion in ein Koordinatensystem eintragen und setzen wir als x-wert die andere Grenze ein, so erhalten wir sofort das Integral Bestimmen der Integralfunktion Genau wie bei der Ableitung gibt es wieder Regeln die uns helfen die Funktion zu bestimmen. Befolgt man diese, so kommt man wieder zur Integralfunktion Potenzregel Beim Integrieren wird die Hochzahl der Variable um eins erhöht. Anschließend wird die Hochzahl davor geschrieben: Summenregel Zwei Summanden werden getrennt voneinander integriert. Wenn zwei Funktionen addiert werden, wird jede allein integriert: Kettenregel Wenn zwei Funktionen verkettet sind geht s auch nach einer bestimmten Regel: Seite 11

12 Produkte und Quotienten Bei Produkten und Quotienten haben wir ein Problem, wir können das Ganze nicht mit einer einheitlichen Regel lösen, man bräuchte dabei partielle Integration und die ist weder Oberstufenthema, noch abiturrelevant. Wir können und müssen Produkte und Quotienten also nicht aufleiten! Sonstige Regeln Es gibt noch ein paar andere Funktionen, die eine eigene Integralfunktion haben: 3. Der Hauptsatz der Integralrechnung Mit diesem Hauptsatz lassen sich alle Integrale bestimmen, die man jemals brauchen wird. Haben wir also ein Integral wie dieses und möchten dessen Lösung bestimmen, so müssen wir zunächst einmal die Integralfunktion bestimmen. Diese Integralfunktion wird dann in eckigen Klammern geschrieben mit der unten und oberen Grenze dahinter geschrieben. Nun müssen wir einmal die obere Grenze in die Funktion einsetzen und das ganze ausrechnen und wir müssen einmal die untere Grenze einsetzen und das Ergebnis bestimmen und dann ziehen wir das der unteren Grenze von dem der oberen Grenze ab Der Hauptsatz der Integralrechnung bei Integralfunktionen Integralfunktionen kann man nicht nur zu einer unteren Grenze von 0 definieren, sondern auch zu einer unteren Grenze von 1 beispielsweise, dies geschieht einfach unter der Anwendung des Hauptsatzes der Integralrechnung. 4. Das Integral zwischen mehreren Funktionen Es ist relativ simpel das Integral zwischen zweier Funktionen zu bestimmen. Haben wir eine Funktion, die während der ganzen betrachteten Zeit über der Funktion läuft, so können wir das Integral einfach mittels folgender Formel bestimmen: Seite 12

13 Problematisch wird das Ganze erst, wenn die hinten stehende Bedingung nicht mehr gilt, denn dann können wir nicht mehr eine einfache einzelne Formel verwenden um das Ergebnis zu erhalten. Wir müssen das Integral in zwei Integrale aufteilen. Getrennt werden beide Integrale an dem Schnittpunkt der beiden Funktionen. Sagen wir also die Funktionen in der Abbildungen seien einmal in blau und einmal in violett müssen wir erst den Schnittpunkt der beiden Funktionen bestimmen. Wie das geht, solltet ihr ja wissen:. So Wir wissen jetzt also, dass der Schnittpunkt bei ist. Vor diesem Schnittpunkt gilt (s. Skizze) und nach dem Schnittpunkt gilt das umgekehrt:. Jetzt haben wir unsere Bedingungen wieder wie wir sie eigentlich wollten, sodass wir jetzt das Integral bestimmen können: Das Einsetzen und ausrechnen überlasse ich euch, nur so viel sei gesagt, das Ergebnis ist 5. Mittelwerte bestimmen Auch bei der Bestimmung von Mittelwerten auf einem bestimmten Intervall hilft das Integral. Durch Umformungen und logisches Herleiten erhält man dann eine Formel für den Mittelwert. Die Herleitung schenke ich euch hier das Ergebnis: Seite 13

14 6. Rotationskörper Wenn man das Integral schon hat, kann man noch die ein oder andere Sache mit diesen Integralen anstellen, ein Beispiel davon sind Rotationskörper. Dabei nimmt man das Integral einer bestimmten Funktion und rotiert die entstehende Fläche um die x-achse, sodass ein neuer Körper entsteht, der dann dreidimensional ist. Und von diesem dreidimensionalen Körper (Rotationskörper) können wir dann den Rauminhalt bestimmen. Und dies geht glücklicherweise wieder über eine einfache Formel, das ist der Vorteil. Um den Rauminhalt zu berechnen, muss man vorher die Funktion quadrieren, bevor das Integral genommen wird, welches dann noch mit der Standartzahl bei Rotationen multipliziert wird, mit. Als allgemeine Formel erhalten wir also: 7. unbegrenzte Flächen Betrachtet man Funktionen wie diese hier und dabei den Flächeninhalt von beispielsweise 20 bis unendlich, so erhält man eine unbegrenzte Fläche, dies bedeutet allerdings nicht, dass man für sie keinen Flächeninhalt bestimmen kann. Dazu probiert man das Integral zunächst einmal ganz normal zu berechnen. Nehmen wir als Funktion mal und setzen wir den Hauptsatz an. Als obere Grenze lassen wir zunächst einmal eine Variable stehen, nämlich : Allerdings wollen wir ja statt eigentlich haben, sodass wir also jetzt einfach laufen (wir nehmen den ) und schauen was dabei rauskommt. Lassen wir laufen, so geht der Bruch zunehmend gegen und fällt also weg. Übrig bleibt Wir können also sagen, dass das Integral von 20 bis Unendlich der Funktion gleich ist. Zur Information: man kann wenn nötig auch als untere Grenze nehmen und gegen laufen lassen. Seite 14

15 III. Kurvendiskussion 1. Definitionsbereich, Definitionslücken Normale Funktionen, also Funktionen wie wir sie bis zur Oberstufe kennengelernt hatten auch schon einen Definitionsbereich allerdings war er damals relativ unerheblich. In einem Definitionsbereich bzw. einer Definitionsmenge sind alle Zahlen beinhaltet, die in die Funktion eingesetzt werden dürfen. So kann in der Funktion bspw. die Zahl nicht eingesetzt ist, da der Ausdruck dann keine definierte Lösung mehr hat: Alle anderen Zahlen dürften allerdings in diese Funktion eingesetzt werden von daher ist der Definitionsbereich dieser Funktionen alle (reellen) Zahlen außer. Für den Teil alle reellen Zahlen gibt es ein mathematisches Symbol ( ). Die Menge R beinhaltet alle uns bekannten Zahlen, auch Dezimalzahlen und Endloszahlen wie. Das Zeichen für außer ist ein einfacher Schrägstrich ( ). Die wird in geschwungenen Klammern geschrieben. Diese Klammern stehen in der Mathematik für eine Liste. Für die Definitionsmenge der Funktion die mit abgekürzt wird: Auch denkbar wäre, dass eine Funktion nur auf einem bestimmten Intervall interessant ist. Wie zum Beispiel die Zuschauerzahlen einer Fernsehsendung die zwischen 17:00Uhr und 18:00Uhr läuft. Hier schreibt man den Zeitpunkt des Beginns durch ein Semikolon getrennt vor den Zeitpunkt des Endes und macht darum Klammern. Eckige Klammern verwendet man, wenn man die jeweiligen Zeitpunkte dazunehmen will, wenn nicht runde Klammern. Gehen wir in unserem Beispiel davon aus, dass um 18:00Uhr die nächste Sendung anfängt wäre folgende Definitionsmenge sinnvoll: Alle wichtigen Zeichen die zu verwenden wären sind hier aufgelistet Zeichen Bedeutung Reelle Zahlen (alle Zahlen die wir ausrechnen können) Nur positive/negative reelle Zahlen Natürliche Zahlen (0, 1, 2, 3, 4, ) Ganze Zahlen (, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ) Rationale Zahlen (alle Zahlen die sich als Bruch darstellen lassen) Außer Liste von bestimmten Zahlen Klammern inklusive Klammern exklusive Seite 15

16 2. Asymptoten 1.1. senkrechte Asymptoten Haben wir Funktionen bei denen bestimmte Werte ausgenommen sind, die also Definitionslücken haben, dann haben sie dort auch senkrechte Asymptoten. Das zu formulieren ist relativ einfach. Haben wir eine Funktion wie hier unten mit dem Graphen wie rechts dann haben wir bei eine senkrechte Asymptote. Man schreibt das dann so auf wie gerade geschehen. Es gibt eine senkrechte Asymptote mit. Eine senkrechte Asymptote ist eine Gerade der sich die Funktion immer annähert, die es allerdings niemals erreicht Waagerechte Asymptote Waagerechte Asymptoten erhalten wir vor allem bei gebrochenrationalen Funktionen. Vereinfacht gesagt bei Funktionen die über und unter dem Bruchstrich ein stehen haben. Bei diesen gebrochenrationalen Funktionen haben sowohl Zählerfunktion (die Funktion über dem Bruchstrich) als auch Nennerfunktion (die Funktion unter dem Bruchstrich) einen bestimmten Grad. Der Grad ist die höchste Potenz der jeweiligen Funktion. Ein Beispiel: Falls jetzt, anders als in diesem Beispiel, der Grad der Zählerfunktion kleiner ist als der Grad der Nennerfunktion dann nähert sich die Funktion der x-achse an. Als waagerechte Asymptote haben wir dann die x-achse, also die Gleichung. Ist der Grad der Zählerfunktion gleich dem Grad der Nennerfunktion so erhalten wir eine waagerechte Asymptote. Haben wir also die Funktion haben wir zweimal den gleichen Grad und damit eine waagerechte Asymptote. Um nun rauszufinden wo diese liegt lässt man laufen. Dabei werden immer alle Teile abgesehen von den höchsten Potenzen zunehmend unerheblich. Aus unserer Funktion wird also folgendes: Durch kürzen erhalten wir am Ende und dort liegt auch unsere waagerechte Asymptote bei. Seite 16

17 Dieser nähert sich der Graph von Asymptote an. Funktionen haben für gewöhnlich nur eine waagerechte 1.3. Verhalten gegen Was beim letzten Punkt noch gefehlt hat ist der Fall dass der Grad der Zählerfunktion größer als der der Nennerfunktion ist. Falls dies der Fall ist verläuft die Funktion für ebenfalls gegen. Sie kann sich dabei bestimmten Geraden oder Kurven (schiefe Asymptoten, Näherungskurven) annähern diese sind allerdings (nach meinem Wissen) nicht abiturrelevant. Wieder zurück zur Entscheidung wohin die Funktion jetzt geht. Wir wissen das der Grad der Zählerfunktion größer ist von daher betrachten wir auch nur diese. Und da bei großen Zahlen die kleineren Potenzen immer unwichtiger werden betrachten wir wieder nur die größte Potenz: Nun haben wir eine verhältnismäßig einfache Funktion mit. Und diese Funktion verhält sich für genau wie die Ausgangsfunktion. Falls man nicht die Vorstellungskraft hat um sofort darauf zu kommen hilft vielleicht diese Tabelle: Faktor positiv Faktor negativ Hochzahl gerade Hochzahl ungerade 3. Symmetrie Zur Symmetrie gibt es zwei einfach zu merkende Sätze. Wenn ist die Funktion y- Achsen-Symmetrisch. Ein Beispiel mit und und Die Funktion ist y-achsen-symmetrisch Die Funktion ist nicht y-achsen-symmetrisch Die Funktion ist nicht y-achsen-symmetrisch Die Funktionen sind punktsymmetrisch zum Ursprung wenn auch noch einmal anzuwenden mit den gleichen Beispielen wie oben. gilt. Dies probieren wir Seite 17

18 Die Funktion ist nicht punktsymmetrisch zum Ursprung aber y-achsen-symmetrisch Die Funktion ist punktsymmetrisch zum Ursprung aber nicht y-achsen-symmetrisch Die Funktion ist nicht punktsymmetrisch zum Ursprung und nicht y-achsen-symmetrisch 4. Nullstellen bestimmen Die Nullstellen eines Graphen lassen sich nicht auf eine universell gültige Weise bestimmen es sind häufig andere Hilfsformeln nötig die immer mehr oder weniger schwierig sind. Was jedoch immer gilt ist dass die Funktion gesetzt werden muss. Danach muss man auch immer die Funktionsgleichung nach auflösen allerdings geschieht dies oft auf eine andere Art und Weise. Die evtl. anwendbaren Verfahren sind hier nach der Einfachheit sortiert angefangen beim einfachsten, aufgehört beim kompliziertesten. Allgemein gilt übrigens, dass eine Funktion maximal so viele Nullstellen haben kann wie hoch ihr Grad ist! 4.1. Einfaches Umformen Es kann Funktionsgleichungen geben, bei denen man durch einfaches Umformen auf die Lösung kommen kann. Eine Funktion bei der dies anwendbar wäre ist zum Beispiel. Hierbei lässt sich diese Funktion auf einfache Weise nach x auflösen: Achtung: Beim Ziehen der Wurzel wie in diesem Fall ist immer zu beachten, dass das als auch negativ sein könnte um die Gleichung zu erfüllen! sowohl positiv Seite 18

19 4.2. Ausklammern Bei allen Funktionen die keine Konstante (d.h. keinen Wert ohne ausklammern. Die auszuklammernde Variable ist dabei meistens wäre die Funktion. haben) lässt sich etwas. Ein Funktionsbeispiel hierfür Nun haben wir zwei Faktoren. Einmal und einmal und es ist logischerweise egal welcher von beiden ist. Von daher können wir die Linearfaktoren als getrennte Funktionen betrachten, deren Nullstellen jeweils den Nullstellen der Ausgangsfunktion entsprechen: Diese Funktion hat also eine Nullstelle bei und eine bei ABC-Formel Die ABC- oder Mitternachtsformel lässt sich generell bei Gleichungen der Form anwenden, also bei quadratischen Gleichungen. Ein Beispiel hierfür könnte unter anderem die Funktion. Allerdings müsste man bei dieser Funktion zunächst ausklammern. Dieses Beispiel soll auch zeigen, dass häufig Kombinationen aus den verschiedenen Methoden nötig sind: Als erste Nullstelle haben wir nun selbstverständlich aus dem Linearfaktor. Aus dem zweiten Linearfaktor können wir nun mithilfe der Mitternachtsformel die weiteren Nullstellen bestimmen. Die Mitternachtsformel lautet, wobei die Zahl vor dem ist, die Zahl vor ist sowie die Konstante ist. Also: Die zweite Nullstelle ist also unter der Wurzel steht.. Eine dritte Nullstelle existiert bei dieser Funktion nicht, da 4.4. Substitution Die Substitution ist das komplizierteste Verfahren zur Nullstellenbestimmung. Dabei werden bestimmte Potenzen von durch eine Variable zunächst ersetzt. Dann wird nach dieser Variable aufgelöst und es wird wieder in die Ausgangsvariable übersetzt. Das ist so ohne Beispiel schwer zu verstehen. Eine Beispielfunktion wäre. Hierbei könnte man setzen, dann hätte man für die Funktion nur noch die man mit der Mitternachtsformel auflösen könnte: was wiederum eine Funktion wäre Seite 19

20 Nun gilt ja wie vorher gesetzt und daher müssen wir die wieder in umformen: Die Gleichung hat also scheinbar vier Nullstellen. Diese befinden sich bei,, und! 5. Extremstellen bestimmen Als Extremstellen versteht man Hoch- oder Tiefpunkte. Ich möchte hier zusätzlich auch die Sattelpunkte besprechen, da es vom verfahren sehr ähnlich ist! Um die Extremstellen zu bestimmen müssen wir die erste Ableitung unserer Ausgangsfunktion gleich setzen. Wir nehmen hier als Beispielfunktion und müssen diese zunächst erst einmal ableiten, dabei erhalten wir bei II.4 erklärt die Nullstellen bestimmen: und von dieser Funktion müssen wir jetzt wie Nun wissen wir zumindest bei welchen -Werten sich die Extremstellen befinden. Wir wissen allerdings immer noch nicht, ob es Hoch-, Tief- oder Sattelpunkte sind. Dazu benötigen wir die hinreichenden Bedingungen, von denen die einfachere sicherlich die über die zweite Ableitung der Funktion ist. Dabei leitet man die Funktion ein weiteres Mal und setzt in die erhaltene Funktion dann die gerade erhaltenen Extremstellen ein. Ist das Ergebnis der Funktion dann größer als haben wir einen Tiefpunkt ist es kleiner als haben wir einen Hochpunkt und falls es gleich ist haben wir an dieser Stelle einen Sattelpunkt. Das bedeutet für unser Beispiel: Seite 20

21 Wir haben also bei dem -Wert einen Hochpunkt und bei den Werten und Tiefpunkte. Sattelpunkte gibt es bei dieser Funktion keine. Um die -Koordinate zu den Werten herauszubekommen müsste man sie wieder in einsetzen: Nun sind alle Extrempunkte bestimmt. 6. Wendestellen Wendestellen sind Stellen an denen die Funktion die maximale bzw. minimale Steigung hat, d.h. auch dass sie an Wendestellen von einer Rechts- bzw. Linkskurve in eine Links- bzw. Rechtskurve wendet daher auch der Name. Die notwendige Bedingung an Wendestellen ist dass die zweite Ableitung gleich sein muss. Als Funktion nehmen wir die aus dem vorherigen Beispiel: Und nun soll gelten : Nun haben wir also bei und Wendestellen. Wenn uns nun noch interessiert ob wir von einer Links- in eine Rechtskurve übergehen oder andersherum müssen wir noch die dritte Ableitung bestimmen und in diese und einsetzen. Wenn der Wert kleiner ist gehen wir von einer Linkskurve in eine Rechtskurve, falls er größer ist von einer Rechtskurve in eine Linkskurve. Seite 21

22 7. Monotonie Als Monotonie bezeichnet man ein bestimmtes Verhalten einer Funktion auf einem gewissen Intervall. Die Funktion kann dabei vier Zustände annehmen. Sie kann Streng monoton steigend sein. Das heißt ihre Ableitung ist immer größer als null: Monoton steigend sein. Das würde bedeuten dass ihre Ableitung im Intervall größer oder gleich null sein muss: Monoton fallend sein. Dabei wäre ihre Ableitung im Intervall immer kleiner oder gleich null: Streng monoton fallend sein, wobei die Ableitung immer kleiner als null wäre: Um herauszufinden welcher dieser Fälle zutrifft müsste man die Ausgangsfunktion ableiten und prüfen, ob zwischen den Intervallgrenzen Nullstellen bestehen. Falls ja und, falls es welche mit Vorzeichenwechsel sind ist keiner der Fälle erfüllt. Falls es welche ohne Vorzeichenwechsel sind ist die Funktion nicht streng. Nun wäre zu prüfen ob die Ableitung im Intervall größer oder kleiner null ist und je nach dem wäre die Funktion monoton steigend oder fallend. Falls es allerdings keine Nullstellen im Intervall gibt ist die Funktion auf dem Intervall streng. Man müsste auch hier wieder über einen Beispielwert prüfen ob steigend oder fallend. Seite 22

23 IV. Wachstum 1. Formen des Wachstums Beim Wachstum werden generell mehrere Formen unterschieden, in denen die betrachteten Bestände wachsen bzw. schrumpfen können. Die Formen unterscheiden sich in ihrem Funktionsterm und in ihrem Graphen (welch Wunder). Beim linearen Wachstum wächst der Bestand, wie der Name schon sagt linear. Es kann solange wachsen wie es denn will und es gibt keine Beschränkung für die Funktion. Beim natürlichen oder exponentiellen Wachstum kann sich der Bestand zwischen zwei Schritten anders ändern, als beim vorherigen Schritt das geht beim linearen Wachstum nicht. Diese Eigenschaft hat auch das beschränkte Wachstum, allerdings hat dieses wie auch der Name schon verrät eine obere oder untere Grenze. 2. Darstellungsformen des Wachstums Bei der Darstellung von Wachstum wird zunächst einmal zwischen zwei Arten unterschieden: 2.1. Rekursive Darstellung Bei der rekursiven Darstellung des Wachstums wird immer davon ausgegangen, dass der Bestand des vorherigen Schrittes bekannt ist. Wenn ein Schüler jeden Tag 0,60 für ein Brötchen ausgibt, dann wäre eine Rekursive Darstellung (oben wörtlich, unten schön mathematisch): Bestand von Heute ist der Bestand von Gestern minus 60ct! Bei der rekursiven Darstellung kann der Bestand nicht zu jedem Zeitpunkt berechnet werden! Nur wenn ich einen Anfangsbestand weiß kann ich in festen Schritten die Bestände berechnen! 2.2. Explizite Darstellung Die explizite Darstellung arbeitet ein wenig anders. Bei ihr kann man den Bestand zu einem bestimmten Zeitpunkt nicht nur über den des vorherigen Schrittes herausfinden, sondern man kann den gewünschten Zeitpunkt einfach in eine Formel einsetzen und erhält ein Ergebnis. Allerdings wird hier wiederum in zwei Formen unterschieden: Diskrete Darstellung Bei der diskreten Darstellung sind nicht alle Zahlen erlaubt einzusetzen, das soll nicht heißen, dass ich sobald ich in einer Funktion wie verbiete die Zahl einzusetzen ich sofort eine diskrete Darstellung habe. Diskret meint hier tatsächlich eine kleinere Menge wie beispielsweise nur natürliche Zahlen. So kann man also in eine Funktion nur einsetzen. So erhält man also keinen wirklichen Graphen mit einer durchgehenden Linie, sondern man kann nur einzelne Punkte einzeichnen. Seite 23

24 Kontinuierliche Darstellung Ist vermutlich allen bekannt. Die kontinuierliche Darstellung ist eine Darstellung, in die ich alle reellen Zahlen einsetzen darf und die zu jedem Zeitpunkt betrachtet werden darf. Alle Funktionen, die wir bei Ableitungen, Integralen und Kurvendiskussion haben sind kontinuierlich dargestellt! 3. Lineares Wachstum Lineares Wachstum verläuft, wie der Name schon vermuten lässt linear. Der Graph einer linearen Funktion ist eine Gerade, hat also eine konstante Steigung. Der y-wert ist proportional zum x-wert beim linearen Wachstum. Schaut man sich die rekursive Darstellung an, so erkennt man, dass pro Zeitschritt die gleiche Meine dazu addiert wird. Die rekursive Darstellung wäre also:. Die Variable ersetzt man durch die Zahl, um die sich der Bestand pro Schritt erhöht. Die explizite Darstellung sieht, formuliert man sie diskret, folgendermaßen aus:. Die Variablen sollte man auch definieren können. ist die Steigung der Funktion. Möchte man sie berechnen, so benötigt man zwei Punkte und, Weil dann gilt für die Steigung. Den Teil bezeichnet man als y-achsen-abschnitt. Er ist der Bestand zum Zeitpunkt. Für setzt man jeweils die Anzahl an Zeitschritten ein, um den Bestand zu erhalten. In der kontinuierlichen Darstellung sieht das ganze ziemlich ähnlich aus, nur wir wählen statt, weil wir ja jetzt alle Werte einsetzen dürfen: 4. Exponentielles Wachstum Beim exponentiellen Wachstum verläuft die Funktion nicht mehr wie eine Gerade, die zu ihr gehörende Funktion nennt sich Hyperbel. Beim exponentiellen Wachstum ist die Änderungsrate proportional zum vorhandenen Bestand und nicht mehr konstant wie beim linearen Wachstum. Ein Beispiel für exponentielles Wachstum wäre Verzinsung. Habe ich einen Bestand und einen Zinssatz, so kann ich den neuen Bestand berechnen, und daraus lässt sich die rekursive Darstellung ableiten: Wobei der Wachstumsfaktor ist, für ihn gilt:. Ihn braucht man auch bei der diskreten Darstellung. Dort wird gerechnet, um Faktoren wie Zinseszins auch mit einzubeziehen. Das ganze Seite 24

25 wird dann noch mit dem Ausgangsbestand multipliziert, sodass man für die diskrete Darstellung erhalten. Kontinuierlich sieht das zunächst einmal genauso aus: eingeführt, dass man lieber mit eine kontinuierliche Darstellung mit :, allerdings hat man -Funktionen rechnet (einfacher beim Ableiten, DGL), sodass sich 4.1. Halbwerts- und Verdopplungszeit Unter Verdopplungszeit versteht man die Zeit, in der sich der Bestand Verdoppelt. Er lässt sich mit folgender Formel einfach berechnen: Als Gegenstück gibt es die Halbwertszeit. Sie ist die Zeit, in der sich der Bestand halbiert (besonders interessant bei radioaktivem Zerfall). Er lässt sich mit der (fast) gleichen Formel berechnen: 5. Beschränktes Wachstum Beim beschränkten Wachstum haben wir wieder eine neue Situation, wir haben hier eine Schranke. Eine Schranke ist ein Wert, dem sich eine Funktion auf Dauer annähert, den es aber nie überschreitet. In der Abbildung ist dies die orangene Gerade mit. Auch hier gibt es eine Proportionalität! Die Änderungsrate ist proportional zum Sättigungsmanko. Das Sättigungsmanko ist dabei die Schranke minus den aktuellen y-wert. Auch hier lässt sich wieder eine rekursive Darstellung formulieren, hierbei muss man den Bestand vom vorherigen Schritt nehmen und dazu das Sättigungsmanko mal den Proportionalitätsfaktor addieren: Ebenso lässt sich wieder eine diskrete Darstellung formulieren. Sie lautet: Seite 25

26 Wichtig hierbei ist das Minus vor dem und die neue Variable. Für gilt. Man kann also über diese Variable den Anfangsbestand bestimmen. Die kontinuierliche Darstellung unterscheidet sich wieder kaum von der diskreten: 6. Wachstumsmodellierungen mit dem GTR Hat man Datentabellen, so kann nach einer Funktion gefragt werden, die die Daten am besten modelliert und dabei hilft einem der GTR. Hier nehmen wir mal die hier rechts stehende Beispieltabelle. Diese Beispieltabelle müssen wir nun zunächst einmal in den GTR eingeben. Dazu drücken wir die [STAT]-Taste und anschließend noch einmal [ENTER] um 1: Edit auszuwählen. x f(x) Damit sind wir im Listen-Editor in den wir nun einfach in der ersten Spalte die -Werte eingeben und in der zweiten die hilft die [DEL]-Taste. -Werte. Will man einen Wert löschen, so Nun müssen wir uns für eine Modellierung entscheiden. Hier wäre das wohl die exponentielle Modellierung. Wir drücken dann [STAT] und gehen einmal nach rechts [->] um ins CALC -Menü zu kommen. Hier können wir jetzt verschiedenste Modellierungen auswählen. Die exponentielle finden wir unter 0: ExpReg, die lineare hätten wir bei 8: LinReg(a+bx) gehabt. Haben wir ExpReg ausgewählt kommen wir in ein neues Menü. Bei Xlist steht die Liste der x-werte, bei Ylist die der y-werte. Die sollten so stimmen wie sie eingetragen sind. Was wir ändern können ist Store RegEQ:. Dort können wir mit [ALPHA]+[TRACE] eine Y-Funktion auswählen, in der die Modellierung gespeichert wird (ziemlich hilfreich das Ganze, eignet sich vor allem um die Modellierung zu bewerten). Dann drücken wir ganz unten auf Calculate und lassen ihn machen. Im kommenden Fenster können wir a und b ablesen und mit Klick auf [TRACE] sehen wir die Modellierung. Gehen wir noch auf [2nd]+[Y=] und drücken einmal auf [ENTER] können wir dort noch einmal kurz den Plot auf On stellen. Drücken wir dann erst auf [TRACE] sehen wir die Listenwerte auch eingezeichnet (die Zoomeinstellung ZoomStat ist dabei ziemlich hilfreich). Seite 26

27 7. Differentialgleichungen Differentialgleichungen scheinen eines der sinnloseren Themen der Oberstufenmathematik zu sein. Sie finden eigentlich eher in der Physik Anwendung. Das was man hier in der Oberstufe macht, macht schon allein deshalb wenig Sinn, weil man nur zwei mögliche Formen hat: exponentielles oder beschränktes Wachstum. In der höheren Mathematik gibt es unendlich viele mögliche Lösungen, was das wesentlich schwerer macht! Was man hier macht ist Differentialgleichungen aufzustellen und aufzulösen. Handelt es sich um exponentielles Wachstum, so schreibt man. Wir erhalten also eine Gleichung in der die eigentliche Funktion und ihre Ableitung gleichzeitig vorhanden sind. Hat man also die normale Funktion muss man sie einfach nur mit multiplizieren und man hat die Ableitung. Dazu helfen Differentialgleichungen. Den gleichen Sinn haben wir bei beschränktem Wachstum, allerdings sieht die Gleichung dann ein wenig anders aus:. Wieder einfach einsetzen und auflösen. Seite 27

28 V. Vektoren 1. Punkte Punkte werden im dreidimensionalen Raum angegeben durch drei Koordinaten. Die -, die - und die -Koordinate. Ein Beispiel wäre. Man geht dann zunächst eine Einheit entlang der -Achse (im Graph die x-achse). Dann geht man drei Einheiten entlang der y-achse). Schlussendlich geht man minus zwei Einheiten entlang der zeichnet bei einem Punkt den Weg mit ein, wie man zu dem Punkt kommt. -Achse (im Graph die -Achse (z-achse). Man 2. Vektoren 2.1. Definition Vektoren sind eine Bewegung in einem dreidimensionalen Koordinatensystem. Auch sie werden angegeben durch drei Werte. Sie werden folgendermaßen geschrieben:. Dies bedeutet, dass wenn man von einem Punkt P ausgeht, man -1 auf der x 1 -Achse geht, +4 auf der x 2 -Achse und dann noch +3 auf der x 3 -Achse man zum Punkt Q kommt. Die Bewegung von P zu Q ist also. Ein Vektor hat eine Richtung, eine Länge und ist bestimmt gerichtet. Durch diese drei Eigenschaften ist er definiert. Will man einen Punkt mit einem Vektor beschreiben so heißt dieser Vektor Ortsvektor. Er beschreibt die Bewegung vom Ursprung zum Punkt P. Aus Gründen der Mathematischen Vollständigkeit gibt es einen Nullvektor: 2.2. Rechenregeln Folgende Rechenregeln gelten bei Vektoren: Will man den Vektor zwischen den Punkten und berechnen so gilt: Will man zwei Vektoren und addieren oder subtrahieren, so gilt: Seite 28

29 Multipliziert man eine Zahl mit einem Vektor so gilt: Dagegen ist mathematisch nicht zulässig! 2.3. Länge eines Vektors und Einheitsvektor Die Länge eines Vektors bestimmen, so nennt man dies den Betrag von : Der Einheitsvektor ist der Vektor, der in die gleiche Richtung zeigt und gleichgerichtet ist, aber die Länge 1 hat. Man berechnet ihn folgendermaßen: 2.4. Parallelität und Orthogonalität Zwei Vektoren und sind zueinander parallel, wenn sie Vielfache voneinander sind. Diese beiden sind Parallel, wenn folgendes gilt: Zwei Vektoren und sind orthogonal, wenn das Skalarprodukt der beiden Vektoren gleich 0 ist. Es muss also folgendes gelten, damit zwei Vektoren orthogonal sind: 3. Geraden 3.1. Definition Eine Gerade ist definiert durch zwei verschiedene Vektoren. Den Vektor entspricht grob übertragen dem y-achsen-abschnitt. Der zweite Vektor als Stützvektor. Er ist der Richtungsvektor, der grob übertragen der Steigung entspricht. Die Gerade wird folgenderweise geschrieben: Seite 29

30 3.2. Punktprobe Wollen wir überprüfen, ob ein Punkt auf der Geraden liegt. So müssen wir für den Vektor den Ortsvektor des Punktes einsetzen. Also muss gelten: Man kann nun auf beiden Seiten den Vektor subtrahieren und anschließend überprüfen, ob das lineare Gleichungssystem lösbar ist. Wenn ja, liegt der Punkt auf der Geraden, wenn nein nicht Geradengleichung aus zwei Punkten erstellen Hat man zwei Punkte P und Q, so ergibt sich für den Stützvektor der Ortsvektor eines Punktes und für den Richtungsvektor der Vektor zwischen P und Q: 3.4. Lage von Geraden Zwei Geraden können entweder gleich sein, parallel sein, windschief sein oder sich schneiden. Die lässt sich nach folgendem Schema überprüfen. Wenn eine Frage mit Ja beantwortet wird, muss man zum darunterliegenden grünen Kasten, ansonsten zum roten. Für alles jetzt noch ein Beispiel zu rechnen, wäre zu aufwendig, schaut euch die im Buch an, die helfen euch dabei eher. 4. Ebenen 4.1. Definition Eine Ebene ist eine unendlich große Fläche innerhalb des dreidimensionalen Raumes. Sie wird definiert durch Einen Stützvektor und zwei Spannvektoren. Alle Punkte im Raum, die sich erreichen Seite 30

31 lassen, indem man vom Ursprung aus einmal den Stützvektor und x-mal die Spannvektoren entlang geht, liegen in dieser Ebene. Eine Gleichung ließe sich folgendermaßen schreiben: 4.2. Ebenengleichung finden Eine Ebenengleichung lässt sich über 4 verschiedene Wege finden: Zwei sich schneidende Geraden Zwei Parallele Geraden Eine Gerade und ein Punkt der nicht auf der Gerade liegt Drei Punkte Zwei sich schneidende Geraden Hierbei nimmt man einfach die beiden Richtungsvektoren der Geraden als die neuen Spannvektoren. Als Stützvektoren nimmt man einen der beiden von den Geraden: Zwei parallele Geraden Bei zwei parallelen Geraden nimmt man nur einen der beiden Richtungsvektoren als Spannvektor, genauso wie man nur einen der beiden Stützvektoren nimmt. Den anderen Spannvektor erhält man folgendermaßen. Man hat die beiden Stützvektoren und, die beide vom Ursprung aus zu zwei verschiedenen Punkten führen, den Punkten und. Der zweite Stützvektor ist dann der Vektor Eine Geraden und ein Punkt Von der Gerade aus nimmt man den Stützvektor und den Richtungsvektor als Spannvektor. Mit dem Stützvektor erhält man wie Gerade den Punkt. Der Punkt der gegeben ist sei, wir hohlen dann den zweiten Spannvektor aus dem Vektor Drei Punkte Aus dem Ortsvektor des Punktes A erhält man den Stützvektor. Der Vektor zwischen den Punkten A und B bringt den ersten Spannvektor, derer zwischen A und C den zweiten. Seite 31

32 4.3. Proben Punktprobe Wie man bei Geraden schon prüfen konnte, ob ein Punkt auf ihr liegt, kann man genauso prüfen, ob ein Punkt in einer bestimmten Ebene liegt. Dazu setzt man die Ebenengleichung wieder gleich dem Ortsvektor des Punktes. Bringt man den Stützvektor dann auf die Seite des Punktes, so kann man das Ganze in eine Matrix umschreiben und auflösen: Hat diese Matrix eine Lösung, so liegt der Punkt in der Ebene, wenn nicht dann nicht Geradenprobe In der Ebene kann logischerweise auch eine Gerade liegen. Um dies zu überprüfen muss man nun halt die Geradengleichung und die Ebenengleichung gleichsetzen. Auch dass, lässt sich wieder umformen und in eine Matrix umschreiben, die man dann auflösen kann: Hier gilt nun dass die Gerade in der Ebene liegt, wenn die Matrix unendlich viele Lösung hat. Bei einer Lösung schneiden sich Ebene und Gerade nur, bei keiner Lösung sind sie parallel (s. Lage von Geraden)Übrigens: eine andere Variante wäre sich zwei Punkte der Gerade auszuwählen und zu prüfen, ob die beiden in der Ebene liegen Verschiedene Gleichungsformen Paramterform Die Parameterform ist die Form, die bis jetzt benutzt wurde. Sie besteht aus einem Stützvektor und einem Normalenvektor Normalenform Die Normalenform besteht nur aus einem Stützvektor und einem Normalenvektor. Dieser Normalenvektor ist der Vektor, der zu den Spannvektoren aus der Parameterform orthogonal ist. Wie er berechnet wird steht unten. Die Form ist hergeleitet über das Skalarprodukt und sieht folgendermaßen aus: Seite 32

33 Koordinatenform Die Koordinatenform sieht folgendermaßen aus, um sie genauer zu erklären, muss man die Umwandlung aus der Normalenform verstehen. Aussehen tut sie folgendermaßen: Umformungen Theoretisch sind alle Umwandlungen denkbar, allerdings ist es doch relativ aufwendig zwischen Koordinaten- und Parameterform umzuwandeln. Daher geht man in diesem Fall meistens doch über die Normalenform. Dennoch sei gesagt das es möglich ist, nur nicht üblich (in unserem Matheunterricht!) Parameterform Normalenform Der Stützvektor kann genau aus der Koordinatenform übernommen werden. Nun muss man nur noch zu den beiden Spannvektoren eine Orthogonale finden. Dies geschieht, indem man das Skalarprodukt ansetzt (als Alternative geht auch das Kreuzprodukt, habe ich im Unterricht allerdings nicht gelernt): Daraus ergeben sich drei Gleichungen, die man in eine Matrix umschreiben kann und dann auflösen kann: Hat man dann den Normalenvektor kann man dies einfach in die Gleichung einsetzen. Fertig! Normalenform Parameterform Auch hier kann man den Stützvektor einfach übernehmen. Anschließend muss man jetzt für eine Normale zwei Orthogonalen finden, die keine Vielfachen voneinander sind. Den ersten denkt man sich mehr oder weniger aus, es muss halt gelten. Ich wähle den Vektor immer so: ich setze einfach als und als und als 0, sodass der Vektor so aussieht:. Den zweiten wähle ich immer so: ich setze einfach als und als und als 0, sodass der Vektor so aussieht:. Die drei Bruchstücke setzt man einfach in die Koordinatenform ein und gut ist. Seite 33

34 Normalenform Koordinatenform Die Parameterform erhält man, indem man die Klammer ausmultipliziert und für den Normalenvektor gilt: Für den Stützvektor gilt:. Und der letzte Vektor Nun gilt: Der Teil wird nun klassisch nach Skalarprodukt ausmultipliziert und ergibt dann. Nur noch einsetzen und Fertig! Koordinatenform Normalenform Den Normalenvektor zu erhalten geht ja problemlos, einfach ablesen und in den Normalenvektor zusammenschreiben. Dort wo steht gilt ja jetzt: aus der Paremterform Nun setzen wir und einfach gleich. Dann gilt nur noch folgendes, was sich sehr leicht auflösen lässt: Nun haben wir auch den Stützvektor mit. Einsetzen und Fertig! 5. Lagebeziehungen 5.1. Ebene Gerade Ebene und Gerade können generell in drei verschiedenen möglichen Lagen zueinander stehen. Sie können sich entweder Schneiden und es entsteht ein Schnittpunkt. Die Gerade kann parallel zur Ebene sein und somit keinen Schnittpunkt zur Ebene haben, oder die Gerade liegt in der Ebene und hat unendlich Schnittpunkte mit ihr. Um zu herauszufinden, wie die beiden liegen gibt es verschiedene Möglichkeiten, je nachdem in welcher Form die Ebene gegeben ist. Seite 34

35 Nehmen wir uns also unsere Gerade in der einzig möglichen Form und dazu ein Beispiel Ebene in Parameterform Die Ebene sieht also folgendermaßen aus: und als Beispiel nehmen wir hier unsere Ebene Nun setzen wir Ebene und Gerade gleich und lösen das Ganze im Endeffekt zu einer Matrix auf, die wir dann lösen können (mit Hilfe des GTR!) Damit ergäbe sich dann für die Matrix: Lösen wir diese Matrix auf erkennen wir in der letzten Zeile (rot markiert) einen logischen Widerspruch. Daher hat die Matrix keine Lösung und damit sind Ebene und Gerade parallel! Ebene in Koordinatenform Gehen wir einmal von der gleichen Gerade aus, dann hat unsere Ebene allerdings jetzt das Format und als Beispiel nehmen wir Unsere Gerade teilen wir nun in drei Faktoren auf. Einen für x 1 einen für x 2 und einen für x 3. Seite 35

36 Da wir für t ein einzelnes Ergebnis erhalten haben wir einen Schnittpunkt von Gerade und Ebene (käme nun ein logischer Wiederspruch statt raus wären die Gerade parallel zur Ebene (bspw.: ) käme eine logische Beziehung ohne t raus wäre die Gerade in der Ebene (bspw.: )) Um den Schnittpunkt zu erhalten müssen wir nun t noch einmal in die Geradengleichung einsetzen: Die Gerade schneidet die Ebene also im Punkt! Ebene in Normalenform Die letzte Möglichkeit für die Ebene wäre, dass sie in Normalenform angegeben wird. Sie wäre also nach dem Schema und unser Beispiel ist Hier setzen wir nun einfach für den Vektor nach t um: unsere Geradengleichung ein und formen das Ganze Wir erhalten also nach allen Umformungen eine wahre Aussage ohne t. Die Gerade liegt in der Ebene! 5.2. Ebene Ebene Zwei Ebenen können ebenfalls drei mögliche Lagebeziehungen zueinander haben. Auch sie können sich entweder schneiden, sodass eine Schnittgerade entsteht, sie können parallel zueinander sein, sodass keine Schnittgerade entsteht oder sie liegen ineinander (sind gleich), sodass sie unendlich viele Schnittgeraden/Schnittpunkte haben! Der Fall, dass die zwei Ebenen gleich sind, wird in unserem Buch allerdings nicht behandelt fragt mich nicht warum. Wie wir wiederum die Lage zweier Ebenen zueinander bestimmen hängt davon ab, in welchen Formen die beiden Ebenen gegeben sind. Eventuell muss man auch von einer in die andere Form umformen das also nicht vergessen! Seite 36

37 Zwei Parametergleichungen Haben wir also zwei Ebenen in der Parameterform. und. Wir nehmen uns auch wieder zwei Beispiele hierzu. Einmal und. Haben wir zwei Parametergleichungen werden die Ebenen einfach wieder schlicht gleichgesetzt. Das Ergebnis formen wir nun soweit um, dass wir eine Matrix erhalten, die wir wiederum auflösen können. Unsere Matrix, die wir erhalten ist diesmal also ein wenig größer. Sie fasst drei Zeilen bei vier Variablen. Daran kann man erkennen, dass man sie wohl nicht auflösen kann, ohne eine Variable eben variabel zu lassen. Daher kommen unendlich viele Lösungen heraus, die alle auf einer Geraden liegen. Unser GTR gibt hierfür als Lösung folgende Matrix aus, die wir wieder als Gleichungen interpretieren können: Wir lösen nun die letzte Gleichung (die mit ) nach auf! Wir nehmen diese Gleichung, da in ihr und vorkommen und wir damit zwei Variablen einer Ebene (der Ebene E) haben: Diese Gleichung setzen wir nun in die Ebenengleichung von E ein: Wir haben nun also eine Schnittgerade der beiden Ebenen! Seite 37

38 Zwei Koordinatengleichungen Haben wir zwei Ebenen als Koordinatengleichungen haben sie die Form und. Und in unserem Beispiel nehmen wir: Diese beiden Gleichungen packen wir nun sofort in eine Matrix, eine mit drei Variablen und zwei Gleichungen: Auch diese Matrix können wir wieder auflösen und es kommt zu folgendem Ergebnis: Schauen wir uns die letzte Zeile an erkennen wir dort den logischen Widerspruch markierten Zeile. Die Matrix hat also keine Lösung und die Ebenen sind daher parallel. in der rot Eine Koordinatengleichung und eine Parametergleichung Haben wir eine Parametergleichung in der Form und eine Koordinatengleichung in der Form können wir auch die gegenseitige Lage untersuchen. Dazu nehmen wir uns auch wieder zwei Beispiele. Für die Parameterform nehmen wir und für die Koordinatenform. Um das Ganze nun zu lösen teilen wir unsere Parameterform in drei Gleichungen auf, die wir dann in der Koordinatenform für, und einsetzen. Diese erhaltene Gleichung formen wir jetzt entweder nach oder nach um. Da wir hier eine logische Aussage inklusive p und q bekommen haben, schneiden sich die Ebenen! Und das setzen wir jetzt für in unsere Parameterform ein: Seite 38

39 Das lösen wir nun noch ein wenig auf und wir erhalten am Ende die Schnittgerade: 6. Abstände Der Abstand ist die kleinste Entfernung zweier Objekte (bei uns: Punkt, Gerade, Ebene) 6.1. Punkt von einer Ebene Über Lotgerade (komplizierter dauert länger) Bestimmen einer Lotgeraden Für diese Gerade (auch Lotgerade) brauchen wir wie immer zwei Vektoren. Einen Stützvektor einen Richtungsvektor der in diesem Fall der Normalenvektor der Ebene sein muss. und Für unser Beispiel nehmen wir einen Punkt und drei Ebenen (für die drei verschiedenen Formen). In Parameterform, in Koordinatenform und in Normalenform. Für unsere Gerade holen wir uns zunächst den Normalenvektor zu den Ebenen. Aus der Normalenform können wir ihn einfach ablesen. Er ist. Bei der Koordinatenform geht es ähnlich einfach. Wir schauen uns die Zahlen vor (das wäre ein ), (1) und (0) an und schreiben diese untereinander in einen Vektor. Es ergibt sich wieder Komplizierter wird es bei der Parameterform. Hier müssen wir einen Vektor finden, der Orthogonal zu beiden Spannvektoren ist. Es gilt also und. Multiplizieren wir das Ganze nach dem Skalarprodukt aus erhalten wir und. Daraus können wir uns eine Matrix basteln: Seite 39

40 Und wenn wir die wiederum auflösen können wir sagen, ebenso wie ist. können wir frei wählen ich wähle 1, dann erhalten wir als Normalenvektor wieder. Unseren Stützvektor erhalten wir indem wir den Ortsvektor des Punktes nehmen, dessen Abstand wir wollen. Aus wird also. Nun, da wir Stütz- und Richtungsvektor haben stellen wir die Gleichung unserer Lotgeraden auf: Bestimmen des Schnittpunktes der Lotgerade mit der Ebene Wie das passiert haben wir ja oben schon erklärt. Wir werden hier nur zu 100% einen Schnittpunkt erhalten. In diesem Fall sag ich euch einfach das Ergebnis. Es ist der Punkt undzwar wieder für alle drei Formen! Bestimmen des Betrags des Verbindungsvektors Hierzu nehmen wir uns unsere Punkte und. Machen uns daraus einen Vektor und bestimmen den Betrag: Der Punkt P hat den Abstand 1 von der Ebene E! Die Hesse sche Normalenform Mit der Hesse schen Normalenform zu arbeiten ist eigentlich recht simpel und daher ist die Methode auch der vorhergenannten zu bevorzugen. Ich hab sie nur noch mal dran gebracht, weil man ja bekanntermaßen nie weiß was dann kommt! Unter der Hesse schen Normalenform versteht man im Prinzip nichts anderes als die Normalenform, mit dem Unterschied, dass wir statt dem normalen Normalenvektor, den Einheitsvektor des Normalenvektores nehmen. Allgemein hat die Hesse sche Normalenform die Gleichung Haben wir also eine Normalengleichung wie diese hier Müssen wir nun den Normalenvektor zum Einheitsvektor machen und dies geschieht über diese allgemeine Formel: Seite 40

41 Damit haben wir als Hesse sche Normalenform Aus den anderen Formen kommt man zur Hesse schen Normalenform nur über Umwandlungen! Abstandsberechnung mittels der Hesse schen Normalnform Ebene in Normalenform Ist die Ebene in der Hesse schen Normalenform und wir haben einen Punkt P, so können wir den Ortsvektor des Punktes einfach in die Ebenengleichung einsetzen, das ganze Auflösen und wir erhalten den Abstand: Der Punkt P hat den Abstand 3 von der Ebene E Ebene in Koordinatenform Auch hierfür gibt es eine einfache Formel, die aus einer Abwandlung der H. Normalenform stammt: Haben wir also eine Ebene in der Koordinatenform so setzen wir beide in diese Gleichung ein! und einen Punkt Ich mach das wieder an einem Beispiel. Diese Skizze ist zwar bunt zeigt aber alle nötigen Einsetzungen auf einen Blick (vermutlich eher etwas für die auswendig Lerner) Der Abstand der Punktes P von der Ebene E beträgt 10 Längeneinheiten! Seite 41

42 6.2. Punkt von einer Gerade Der Abstand eines Punktes P von einer Geraden g lässt sich allgemein über drei verschiedene Varianten zu bestimmen. Einmal über die Extremwertbindung, wobei ich eine Funktion aufstelle die den Abstand der Geraden zu P in Abhängigkeit von t angibt und mir von dieser Funktion das Minimum bestimmen lasse. Dann geht es über die Orthogonalitätsbindung (der Verbindungsvektor von P und g muss orthogonal zum Richtungsvektor von g sein!) oder über eine Hilfsebene. Für die gerade genannten Methoden werde ich das alles anhand eines Beispieles ausprobieren. Nämlich über die Gerade g und den Punkt P: Extremwertbindung Bei der Extremwertbindung nehme ich meinen Punkt und einen variablen Punkt auf der Geraden g, ich nenne ihn. Nun bilde ich einen Vektor zwischen den beiden Punkten, den Vektor : Und von diesem Vektor bestimmen wir jetzt den Betrag Und von diesem gerade erhaltenen Term bestimmen wir jetzt das Minimum! Dazu können wir alles was ab der Wurzel kommt für auf dem GTR eintragen (wir müssen nur alle t durch x ersetzen!). Dann können wir uns das Schaubild zeichnen lassen und das Minimum bestimmen. Der x-wert des Minimums sagt aus bei welchem t (der Geraden) der Punkt der Geraden liegt, der am nächsten an dem Punkt P liegt. Der y-wert des Minimums ist der Abstand. In diesem Fall ergibt sich:. Der Punkt hat also einen Abstand von 5,38! Orthogonalitätsbindung Wie schon bei der Extremwertbindung nehme ich mir meinen Punkte und einen variablen Punkt auf der Geraden g ( ). Nun bilde ich einen Vektor zwischen den beiden Punkten, den Vektor : Von diesem Vektor nehmen wir allerdings nun aber nicht den Betrag, wir sagen er soll orthogonal zum Richtungsvektor der Geraden sein. Damit muss über das Skalarprodukt gelten. Ausgeschrieben erhalten wir dann in unserem Fall: Seite 42

43 Dieses erhaltene t können wir nun in unsere Geradengleichung einsetzen und wir erhalten den Lotfußpunkt. Nun haben wir unsere beiden Punkte und wir können wieder unseren Vektor Betrag bestimmen: bilden und dessen Und von diesem Vektor bestimmen wir nun den Betrag: Der Punkt hat also den Abstand 5,38 Längeneinheiten Hilfsebene Bei der Methode der Hilfsebene nimmt man sich eine Ebene die zum einen zur Gerade g orthogonal sein soll, und in der der Punkt P liegen soll. Eine solche Ebene ist schnell gefunden. Ich kann als Stützvektor einfach den Ortsvektor des Punktes P nehmen und als Normalenvektor nehme ich den Richtungsvektor der Geraden. In unserem Beispiel wäre also eine Ebene: Fertig ist die Ebene! Nun müssen wir den Schnittpunkt unser Geraden g mit der gerade erhaltenen Ebene E berechnen. Damit erhalten wir den Lotfußpunkt. Wie das Ganze funktioniert ist ja oben schon beschrieben ich bleibe hier beim Ergebnis:. Seite 43

44 Nun haben wir wieder zwei Punkte den Lotfußpunkt und den Punkt dessen Abstand wir haben wollen und wir durchlaufen wieder das gleiche Prozedere. Verbindungsvektor bestimmen und Betrag ausrechnen. Dass mach ich nicht nochmal, ist ja eh das gleiche! Ebenso auch das Ergebnis! 6.3. Gerade von einer zu ihr windschiefen/parallelen Gerade Orthogonalitätsbedingung Der Verbindungsvektor zwischen den beiden Geraden muss, wenn der kürzeste Weg gesucht ist zu beiden Geraden (also zu beiden Richtungsvektoren) orthogonal sein. Zunächst nehmen wir aber wieder zwei Geraden als Beispiele: Aus diesen beiden Geradengleichungen machen wir nun zwei Variable Punkte, einen auf der Geraden g in Abhängigkeit von t und einen auf der Geraden h in Abhängigkeit von s: Und zwischen diesen beiden Punkten bilden wir nun einen Vektor. Den Vektor : Und da dieser Vektor nun orthogonal zu den beiden Richtungsvektoren sein soll müssen folgende Bedingungen gelten: und. Daraus folgt: Und aus diesen beiden Bedingungen können wir uns wieder eine Matrix basteln: Beim Auflösen dieser Matrix erhalten wir dann für t und s je einen Wert! Seite 44

45 Diese Werte setzen wir dann in die dazugehörigen Geradengleichungen ein, sodass wir die beiden Lotfußpunkte auf den Geraden erhalten und. Aus diesen beiden Lotfußpunkten machen wir nun wie schon so oft einen Vektor diesem Vektor berechnen wir den Betrag und erhalten schlussendlich den Abstand! und von Die beiden Geraden g und h haben einen Abstand von 0,349 Längeneinheiten Hilfsebene (nur bei windschiefen Geraden!) Bei der Hilfsebene nehme ich mir eine Ebene, in der die Gerade g liegt und die zur Geraden h parallel ist. Dazu nehme ich Stützvektor und Richtungsvektor von der Geraden g, und den zweiten Richtungsvektor nehme ich von der Geraden h. Diese Ebene müssen wir nun in die Hesse sche Normalenform bringen, sodass wir den Abstand zu einem Punkt spielend ausrechnen können. Dazu können wir den Stützvektor übernehmen müssen aber einen Vektor finden, der zu beiden anderen Vektoren orthogonal ist. Damit ergibt sich dann folgende Hesse sche Normalenform: Hier setzen wir nun noch den Ortsvektor eines Punktes der Geraden h ein und wir erhalten den Abstand. Ich nehme einfach den Stützvektor der Geraden: Die Geraden haben einen Abstand von 0,346 Längeneinheiten! Auch bei Geraden kann die Extremwertbindung helfen! Sie ist sogar nötig, wenn man die Geraden zeitlich betrachtet (Bsp.: zwei Geraden repräsentieren 2 Flugzeuge, die zum Zeitpunkt t=0 starten, wann sind sie sich am Nächsten?) Seite 45

46 7. Schnittwinkel Schnittwinkel sind die Winkel, die dabei entstehen, wenn sich zwei Objekte im dreidimensionalen Raum schneiden. Was wir auch noch berechnen können ist der Winkel zwischen zwei Vektoren Winkel zwischen zwei Vektoren. Der Winkel zwischen zwei Vektoren ist immer der kleinste Winkel, der sich zwischen eben diesen Vektoren finden lässt, wenn man sie beide in einem Punkt ansetzen lässt. Er liegt zwischen und und lässt sich mit folgender Formel relativ simpel berechnen: 7.2. Winkel zwischen zwei Geraden Auch wenn sich zwei Geraden schneiden entstehen wieder Winkel, diesmal gleich 4 Stück. Wobei gegenüberliegende Winkel wiederum gleich groß sind. Was wir hier jetzt berechnen ist wieder der kleinste Winkel den wir finden, dazu brauchen wir die Richtungsvektoren der Geraden und. Der Winkel den wir bekommen liegt dann zwischen 0 und 90. Zum berechnen gibt es auch hier wieder eine Formel: 7.3. Winkel zwischen einer Gerade und einer Ebene Auch wenn sich eine Gerade und eine Ebene sich schneiden, so können wir wieder den Winkel bestimmen. Auch er liegt wieder zwischen 0 und 90. Als Vektoren nehmen wir dieses Mal den Richtungsvektor der Gerade und den Normalenvektor der Ebene sinus über eine Formel den Winkel:, und dazwischen berechnen wir jetzt mit dem 7.4. Winkel zwischen zwei Ebenen Hier haben wir wieder das gleiche Prozedere. Schneiden sich zwei Ebenen entsteht ein Winkel zwischen ihnen. Wir haben hierbei wieder den cosinus statt dem sinus und als Winkel nehmen wir die Normalenvektoren der beiden Ebenen und. Der Winkel liegt auch wieder zwischen 0 und 90. Und hier ist die benötigte Formel: Seite 46

47 8. Zeichnen einer Ebene Wenn wir eine Ebene zeichnen müssen werden die Spurpunkte entscheidend! Die Spurpunkte sind die Schnittpunkte einer Ebene mit den Koordinatenachsen. Diese zu bestimmen ist glücklicherweise relativ einfach. Haben wir Eine Ebene in Koordinatenform: Spurpunkte auf der -Achse, so müssen wir nur und gleich null setzen: und wir wollen die Wir erhalten also den Spurpunkt. Ebenso verfahren wir mit den anderen Achsen, wir setzen immer die null, die wir momentan nicht betrachten: Diese drei erhaltenen Spurpunkte tragen wir nun in ein Koordinatensystem ein, und verbinden sie über die Spurgeraden. Die Fläche zwischen den Spurgeraden wird dann schraffiert sie stellt die Ebene dar: Ebenfalls möglich wäre es, dass nur zwei Spurpunkte herauskommen. Dann müssen diese Punkte eingezeichnet werden und zusätzlich zwei Geraden in Richtung der Achsen. Das erkennt man auf der ersten Abbildung der nächsten Seite Die letzte Möglichkeit ist es, dass nur ein Spurpunkt zu finden ist. Falls dies der Fall ist wird dieser eingezeichnet und es werden die Parallelen zu den Achsen gezogen auf denen es keine Spurpunkte gibt. Man sieht dies auch auf der Abbildung hier rechts. hier: hier: Seite 47