15.2 Kombinatorische Abzählformeln

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Axel Weiss
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1 15.2 Kombinatorische Abzählformeln 1. Permutationen In wie vielen verschiedenen Reihenfolgen ann man n verschiedene Dinge anordnen? Wie viele Reihenfolgen gibt es, wenn die Dinge nicht alle verschieden sind, sondern in Klassen mit Mächtigeiten n 1, n 2,..., n zerfallen? 2. Variationen und Kombinationen Auf wie viele verschiedene Weisen ann man aus n verschiedenen Dingen Dinge auswählen, wenn man a. b. c. d. jedes der n Dinge nur einmal auswählen darf und dabei die Reihenfolge berücsichtigt? jedes der n Dinge beliebig häufig auswählen ann und dabei die Reihenfolge berücsichtigt? jedes der n Dinge nur einmal auswählen darf und dabei die Reihenfolge folge nicht berücsichtigt? jedes der n Dinge beliebig häufig auswählen ann und dabei die Reihenfolge nicht berücsichtigt? Institut für Automatisierungstechni Prof. Dr. Ch. Bold Analysis 15.2 Folie 1

2 Permutationen Um n verschiedene Dinge in eine Reihenfolge zu bringen, gibt es n Möglicheiten, das erste Element auszuwählen n - 1 Möglicheiten, das zweite Element auszuwählen n - 2 Möglicheiten, das dritte Element auszuwählen 2 Möglicheiten, das ( n te ( also vorletzte Element auszuwählen 1 Möglicheit, das n - te ( also letzte Element auszuwählen Insgesamt gibt es also n. ( n - 1. ( n = Permutationen von n verschiedenen Dingen. Beispiel Es gibt 3! = 6 Permutationen der Elemente der Menge J ; K ; L, nämlich JKL, JLK, KJL, KLJ, LJK, LKJ. Es gibt 4! = 24 Permutationen der Elemente der Menge i ; j ; ; l, nämlich ijl..., ijl..., i ijl..., i ilj..., i ilj..., i ilj..., jil..., jil..., j jil..., j jli..., j jli..., j jli..., ijl..., ilj..., jil..., jli..., lij..., lji..., lij..., lij..., l lji..., l lji..., l lij..., l lji.... Institut für Automatisierungstechni Prof. Dr. Ch. Bold Analysis 15.2 Folie 2

3 Permutationen Wenn nun die n Dinge nicht alle verschieden sind, sondern in Klassen mit Mächtigeiten n 1, n 2,..., n zerfallen, so gibt es vern 1!. n 2!..... n! schiedene Reihenfolgen dieser n Dinge. Beweis durch Beispiel Wie viele Reihenfolgen von 2 roten, 3 blauen und 4 grünen Kugeln gibt es? Begründung: 9! eine von = 1260 möglichen Reihenfolgen 2!. 3!. 4! Wären auch die Kugeln gleicher Farbe unterscheidbar, so wäre eine von 9! möglichen Reihenfolgen ( s.o. 3! von 9! möglichen Reihenfolgen Diese 3! Reihenfolgen sind aber alle gleich, wenn die Kugeln gleicher Farbe nicht unterscheidbar sind. Die Anzahl 9! ( Kugeln gleicher Farbe unterscheidbar muss man also dividieren durch 2! ( rote Kugeln, 3! ( blaue Kugeln und 4! ( grüne Kugeln. Institut für Automatisierungstechni Prof. Dr. Ch. Bold Analysis 15.2 Folie 3

4 Variationen ( mit Berücsichtigung der Reihenfolge Um aus n verschiedenen Dingen verschiedene Dinge auszuwählen, gibt es n Möglicheiten, das erste Element auszuwählen n - 1 Möglicheiten, das zweite Element auszuwählen n - 2 Möglicheiten, das dritte Element auszuwählen n Möglicheiten, das ( te ( also vorletzte Element auszuwählen n Möglicheiten, das - te ( also letzte Element auszuwählen Insgesamt gibt es also n. ( n - 1. ( n ( n ( n = ( n -! eiten, aus n verschiedenen Dingen verschiedene Dinge auszuwählen. Möglich- Beispiel Es gibt unter Berücsichtigung der Reihenfolge 5! ( 5-2! = 20 Möglicheiten, aus 5 verschiedenen Dingen 2 verschiedene auszuwählen. Institut für Automatisierungstechni Prof. Dr. Ch. Bold Analysis 15.2 Folie 4

5 Variationen ( mit Berücsichtigung der Reihenfolge Um aus n verschiedenen Dingen Dinge auszuwählen, die nicht verschieden sein müssen, hat man bei allen Auswahlen jeweils n Möglicheiten. Insgesamt gibt es also n. n. n..... n. n = n derartige Möglicheiten. Beispiel Es gibt unter Berücsichtigung der Reihenfolge 5 2 = 25 Möglicheiten, aus 5 verschiedenen Dingen 2 auszuwählen, wenn die ausgewählten Dinge nicht verschieden sein müssen. Institut für Automatisierungstechni Prof. Dr. Ch. Bold Analysis 15.2 Folie 5

6 Kombinationen ( ohne Berücsichtigung der Reihenfolge Um aus n verschiedenen Dingen verschiedene Dinge auszuwählen, gibt es bei Berücsichtigung der Reihenfolge Möglicheiten ( siehe Variationen. ( n -! Dabei önnen die ausgewählten Dinge auf! verschiedene Reihenfolgen ausgewählt werden ( siehe Permutationen. Um aus n verschiedenen Dingen verschiedene Dinge auszuwählen, gibt es ohne Berücsichtigung der Reihenfolge also. 1 ( n -!! ( = n Möglicheiten. Beispiel ( Es gibt ohne Berücsichtigung der Reihenfolge = 10 2 Möglicheiten, aus 5 verschiedenen Dingen 2 verschiedene auszuwählen. Institut für Automatisierungstechni Prof. Dr. Ch. Bold Analysis 15.2 Folie 6

7 Kombinationen ( ohne Berücsichtigung der Reihenfolge Will man nun ohne Berücsichtigung der Reihenfolge aus n verschiedenen Dingen Dinge auswählen, die nicht verschieden sein müssen, so ann man jede derartige Möglicheit eineindeutig durch ein ( n Tupel mit Einsen und n - 1 Nullen beschreiben. Dabei bedeutet jede 1 : Nehme von der atuellen Sorte jede 0 : Gehe zur nächsten Sorte Beispiele n = 5, = 4 ( 1 / 0 / 0 / 1 / 0 / 1 / 1 / 0 ( 0 / 0 / 0 / 1 / 0 / 1 / 1 / 1 ( 1 / 0 / 1 / 1 / 0 / 0 / 0 / 1 ( 0 / 0 / 1 / 1 / 1 / 0 / 1 / 0 Institut für Automatisierungstechni Prof. Dr. Ch. Bold Analysis 15.2 Folie 7

8 Kombinationen ( ohne Berücsichtigung der Reihenfolge Will man nun ohne Berücsichtigung der Reihenfolge aus n verschiedenen Dingen Dinge auswählen, die nicht verschieden sein müssen, so ann man jede derartige Möglicheit eineindeutig durch ein ( n Tupel mit Einsen und n - 1 Nullen beschreiben. Die Anzahl dieser ( n Tupel entspricht der Anzahl der verschiedenen Reihen- folgen von n Dingen, die nicht alle verschieden sind, sondern in 2 Klassen mit Mächtigeiten und n - 1 zerfallen. ( n + - 1! ( Ohne Berücsichtigung der Reihenfolge gibt es also = n + - 1!. ( n - 1! Möglicheiten, aus n verschiedenen Dingen Dinge auszuwählen, die nicht verschieden sein müssen. Beispiel ( Es gibt ohne Berücsichtigung der Reihenfolge 8 = 1680 Möglicheiten, aus 4 5 verschiedenen Dingen 4 Dinge auszuwählen, die nicht verschieden sein müssen. Institut für Automatisierungstechni Prof. Dr. Ch. Bold Analysis 15.2 Folie 8

9 Übersicht über ombinatorische Abzählformeln Permutationen ( Reihenfolgen von n Dingen alle verschieden nicht alle verschieden n 1!. n 2!..... n! Anzahl Möglicheiten, Dinge aus n Dingen auszuwählen Variationen ( mit Berücsichtigung der Reihenfolge Kombinationen ( ohne Berücsichtigung der Reihenfolge alle Dinge müssen verschieden sein ( n -! ( n die Dinge müssen nicht verschieden sein n ( n Institut für Automatisierungstechni Prof. Dr. Ch. Bold Analysis 15.2 Folie 9

10 Urnenmodell Wie viele Möglicheiten gibt es, aus einer Urne mit n verschiedenen Kugeln mit oder ohne Berücsichtigung der Reihenfolge mit oder ohne Zurüclegen der Kugeln nach dem Ziehen Kugeln auszuwählen? Variationen ( mit Berücsichtigung der Reihenfolge Kombinationen ( ohne Berücsichtigung der Reihenfolge alle ohne Dinge müssen. verschieden Zurüclegen sein. ( n -! ( n die Dinge mit müssen nicht Zurüclegen verschieden sein n ( n Institut für Automatisierungstechni Prof. Dr. Ch. Bold Analysis 15.2 Folie 10

11 Beispiele 1. Wie viele Wörter lassen sich aus den Buchstaben des Wortes MISSISSIPPI bilden, wenn alle Buchstaben verwendet werden müssen und auch unsinnige Wörter mitgezählt werden? 11! 4!. 4!. 2!. 1! = Wörter n 1!. n 2!..... n! 2. Wie viele Tippmöglicheiten gibt es beim Lottospielen? Ziehen von 6 Kugeln aus 49 ohne Berücsichtigung der Reihenfolge ohne Zurüclegen der Kugeln nach dem Ziehen ( 49 6 = Tippmöglicheiten ( n Institut für Automatisierungstechni Prof. Dr. Ch. Bold Analysis 15.2 Folie 11

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