A B A B A B C. Beispiel 1 Wie viele Möglichkeiten gibt es 3 verschiedene Kugeln: A, B und C auf verschiedene Arten auf 3 Plätze anzuordnen?

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1 eispiel 1 Wie viele Möglicheiten gibt es 3 verschiedene Kugeln:, und auf verschiedene rten auf 3 Plätze anzuordnen? Lösung Es gibt also 6 Möglicheiten, 3 verschiedene Kugeln auf 3 verschiedene Plätze anzuordnen. eispiel 2 Wie viele Möglicheiten gibt es 5 verschiedene Kugeln:,,, und E auf verschiedene rten anzuordnen? Lösung 5 Möglicheiten 4 4 Möglicheiten 3 3 Möglicheiten ) Für die Kugel gibt es 5 Möglicheiten diese auf 5 verschiedene Plätze anzuordnen. ) Für die Kugel gibt es 4 Möglicheiten diese auf die 4 übrigen Plätze anzuordnen... ) Für die Kugel E gibt es also nur eine Möglicheit diese auf den einzig übrigen Platz anzuordnen. lso gibt es Möglicheiten diese 5 Kugeln anzuordnen. 1

2 Satz 1 Seien n unterschiedliche Objete gegeben, dann gibt es mögliche Reihenfolgen ( - auch Permutationen genannt - ), diese Objete anzuordnen. abei ist: 1 2 ( n 1 ) n eispiel 3 Wie viele Möglicheiten gibt es 4 Kugeln:,, und von denen 3 identisch sind, auf verschiedene rten auf 4 Plätze anzuordnen? Lösung Es gibt also 4 Möglicheiten diese 4 Kugeln, von denen 3 identisch sind auf 4 verschiedene Plätze anzuordnen. eispiel 4 Wie viele Möglicheiten gibt es 5 Kugeln:,,, und von denen 3 identisch sind auf verschiedene rten auf 5 Plätze anzuordnen? Lösung ) nzahl der verschiedenen nordnungsmöglicheiten, wenn die 5 Kugeln alle unterschiedlich wären, lautet: nzahl der Vertauschungsmöglicheiten für 3 identischen Kugeln lautet: Vertauschungen lso gibt es: Möglicheiten diese 5 Kugeln anzuordnen. ufgabe 1 Wie viele Möglicheiten gibt es 4 Kugeln:,, und von denen 2 identisch sind, auf verschiedene rten anzuordnen? Es gibt: Möglicheiten diese 4 Kugeln anzuordnen. 2

3 ufgabe 2 Wie viele Möglicheiten gibt es 5 Kugeln:,,, und, von denen 3 bzw. 2 identisch sind, auf verschiedene rten anzuordnen? Es gibt: ( 2 3 ) ( 2 ) 10 Möglicheiten diese 5 Kugeln anzuordnen. 3 2 Vertauschungen Vertauschungen Satz 2) Permutation von n Objeten Seien n Objete gegeben, so gibt es folgende nzahl von nordnungsmöglicheiten: ) falls, aus den n Objeten, Objete untereinander identisch sind. ) ( n ) n falls, aus den n Objeten, Objete untereinander identisch und die restlichen ( n ) ebenfalls untereinander identisch sind. ) 1 2 r falls, aus den n Objeten, jeweils 1 ; 2 ;..... ; r der Objete untereinander identisch sind. emerung: r n 3

4 " # ufgabe 3 In einer Urne befinden sich 3 uchstaben ; ; es werden ohne Zurüclegen 2 uchstaben gezogen. a) Geben Sie alle möglichen uswahlmöglicheiten bei erücsichtigung der Reihenfolge der gezogenen uchstaben an. b) Geben Sie alle möglichen uswahlmöglicheiten ohne erücsichtigung der Reihenfolge der gezogenen uchstaben an. eispiel 5 In einer Urne befinden sich 4 unterschiedliche Kugeln. Wir ziehen Ohne Zurüclegen nacheinander 3 Kugeln aus der Urne. a) uf wie viele rten lassen sich 3 Kugeln Ohne Zurüclegen ziehen, wenn die Reihenfolge der Ziehung berücsichtig werden soll? Lösung a) 1-te Ziehung 2-te Ziehung 3-te Ziehung ) ei der 1-ten Ziehung einer Kugel gibt es 4 verschiedene Kugeln zur uswahl. ) ei der 2-ten Ziehung einer Kugel gibt es nur noch 3 verschiedene Kugeln zur uswahl. ) ei der 3-ten Ziehung einer Kugel gibt es nur noch 2 verschiedene Kugeln zur uswahl. lso ann man auf mögliche rten 3 unterschiedliche Kugeln aus einer Urne mit 4 Kugeln ziehen. 4

5 b) uf wie viele rten lassen sich 3 Kugeln Ohne Zurüclegen ziehen, wenn die Reihenfolge der Ziehung eine Rolle spielt (Ohne erücsichtigung der Reihenfolge)? Lösung b) a aus den 24 nordnungen: ( ;... ; ) ; ( ;... ; ) ; ( ;... ; ) ; ( ;... ; ) 3 6 ohne erücsichtigung der Reihenfolge jeweils 3 6 die gleiche nordnung darstellen, so reduziert sich die nzahl der uswahlmöglicheiten, so dass man 3 unterschiedliche Kugeln aus 24 einer Urne mit 4 Kugeln auf 4 möglichen rten ziehen ann. 6 Satz 3) Variationen und Kombinationen Ohne Wiederholung: Gegeben seien n Objete. ann gibt es folgende nzahl von Möglicheiten für die Ziehung (uswahl) von Objete Ohne Zurüclegen (Ohne Wiederholung): ) V ( n ; ) n ( n 1 ) ( n 2 ) ( n + 1 ) falls die uswahl (Ziehung) der Objete Mit erücsichtigung der Reihenfolge erfolgen soll. ) ( n ; ) n ( n 1 ) ( n 2 ) ( n + 1 ) falls die uswahl (Ziehung) der Objete Ohne erücsichtigung der Reihenfolge erfolgen soll. ufgabe 4 Lösen Sie das sp. 5 mit Hilfe der Formeln im Satz 3. In einer Urne befinden sich 4 unterschiedliche Kugeln. Wir ziehen ohne Zurüclegen nacheinander 3 Kugeln aus der Urne. a) uf wie viele rten lassen sich 3 Kugeln ziehen, wenn die Reihenfolge der Ziehung wichtig ist? b) uf wie viele rten lassen sich 3 Kugeln ziehen, wenn die Reihenfolge der Ziehung eine Rolle spielt? a) V (, 3 ) b) (, 3) ( 4 3 ) ( 4 3)

6 # ufgabe 5 In einer Urne befinden sich 3 uchstaben ; ; es werden mit Zurüclegen 2 uchstaben gezogen. a) Geben Sie alle uswahlmöglicheiten bei erücsichtigung der Reihenfolge der gezogenen uchstaben an. b) Geben Sie alle uswahlmöglicheiten ohne erücsichtigung der Reihenfolge der gezogenen uchstaben an. eispiel 6 In einer Urne befinden sich 4 unterschiedliche Kugeln. Wir ziehen Mit Zurüclegen nacheinander 3 Kugeln aus der Urne. a) uf wie viele rten lassen sich 3 Kugeln ziehen, wenn die Reihenfolge der Ziehung berücsichtig werden soll? Lösung a) Urne 1-te Ziehung 2-te Ziehung 3-te Ziehung ) ei der 1-ten Ziehung einer Kugel gibt es 4 verschiedene Kugeln zur uswahl. ) ei der 2-ten Ziehung einer Kugel gibt es wieder 4 verschiedene Kugeln zur uswahl. ) ei der 3-ten Ziehung einer Kugel gibt es wieder 4 verschiedene Kugeln zur uswahl. lso ann man auf ³ 64 mögliche rten 3 unterschiedliche Kugeln aus einer Urne mit 4 Kugeln ziehen. 6

7 b) uf wie viele rten lassen sich 3 Kugeln Mit Zurüclegen ziehen, wenn die Reihenfolge der Ziehung eine Rolle spielt (Ohne erücsichtigung der Reihenfolge)? Lösung b) ieser Fall ist etwas ompliziert. Wir verwenden hierfür ohne egründung die Formel aus dem folgenden Satz. Satz 4) Variationen und Kombinationen Mit Wiederholung: Gegeben seien n Objete. ann gibt es folgende nzahl von Möglicheiten für die Ziehung (uswahl) von Objete Mit Zurüclegen (Mit Wiederholung): ) V ( n ; ) n n n n mal falls die uswahl (Ziehung) der Objete Mit erücsichtigung der Reihenfolge erfolgen soll. ) ( n + 1 ; ) ( n + 1 ) ( n 1 ) falls die uswahl (Ziehung) der Objete Ohne erücsichtigung der Reihenfolge erfolgen soll. ufgabe 6 Lösen Sie das sp. 6b) mit Hilfe der Formel im Satz 4. 7

8 $% " sp.: Ziehen von 2 uchstaben aus einer Urne mit n 3 uchstaben ; ; uswahl von Objeten aus n Objeten: Ohne Zurüclegen ( Wiederholung) Ohne Zurüclegen ( Wiederholung) Mit Reihenfolge Ohne Reihenfolge Variationen Ohne Wiederholung: Kombinationen Ohne Wiederholung: V ( n ; ) ( n ; ) { ; ; ; ; ; } Mit Zurüclegen ( Wiederholung) Mit Reihenfolge Variationen Mit Wiederholung: { ; ; } Mit Zurüclegen ( Wiederholung) Ohne Reihenfolge Kombinationen Mit Wiederholung: ( n ; ) n V { ; ; ; ; ; ; ( n + 1 ; ) ( n + 1 ) ( n 1 ) ; ; } { ; ; ; ; ; } &'(" nordnung von n Objeten, die alle von denen unterschiedlich Objete sind untereinander identisch sind. n uswahl von Objeten Ohne Wiederholung (Zurüclegen) aus n Objeten, mit erücsichtigung der Reihenfolge der Objete ohne erücsichtigung der Reihenfolge der Objete von denen Objete untereinander identisch sind und die restlichen ( n ) Objete auch untereinander identisch sind. ( n ) von denen jeweils 1, 2,... r Objete untereinander identisch sind. 1 uswahl von Objeten Mit Wiederholung (Zurüclegen) aus n Objeten, mit erücsichtigung ohne der Reihenfolge der erücsichtigung der Objete Reihenfolge der Objete ( ) n n + 1 ( n 1 ) : > n n nordnung von Objeten auf n verschiedene Plätze wenn alle Objete unterschiedlich sind wenn alle Objete identisch sind. n 2 r 8