Messtechnik: Messung verrauschter Signale

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1 Ringvorlesung Moderne Physik (LA, Modul 5) Messtechnik: Messung verrauschter Signale Rauschen Methoden zur Verbesserung des Signal-Rausch-Verhältnisses Lock-In-Messtechnik Hans Clemens. Rauschen Rauschen ist ein stochastischer Prozess (Schwankungsprozess), bei dem über den Wert einer zeitabhängigen Größe x(t) für jeden Zeitpunkt t nur Wahrscheinlichkeitsaussagen getroffen werden können. (Viele Einzelvorgänge ohne deterministischen Zusammenhang) Beispiele: Regen, Brown sche Molekularbewegung, Stereoanlage, Turbulenzen, radioaktive Zerfälle nicht: deterministisches Chaos (nichtlineare Systeme, Butterfly-Effekt) dx dt Phasenraum Rauschen x Deterministisches Chaos Ist meist Gauß scher stochastischer Prozess: Die schwankende Größe x(t) folgt der Gauß schen Normalverteilung mit der Wahrscheinlichkeitsdichte x x( t) f( x) = exp, σ π σ mit x( t) = x - Mittelwert, oft x = 0, σ - Standardabweichung (Streuung) σ = x x, oft σ = x

2 d.h. meist Wahrscheinlichkeitsdichte x f( x) = exp σ σ π 68,3% aller x-werte liegen im Intervall ± σ. 95,5% aller x-werte liegen im Intervall ± σ. 99,7% aller x-werte liegen im Intervall ± 3σ. Mathematische Beschreibung der Zufälligkeit von Signalen mittels Autokorrelationsfunktion T Rx( ϑ) lim x( t) x( t+ϑ) dt, x( t)reell T T T Ist ein Maß für die Ähnlichkeit (Korrelation) eines Signals zu zwei um ϑ verschobenen Zeitpunkten. Beispiele: unkorrelierte Prozesse R x (ϑ) = δ(ϑ), (wenn Prozesse beliebig schnell), periodische Prozesse R x max., wenn ϑ einer oder mehreren Perioden (nπ) entspricht. Analog bei zwei stochastischen Prozessen: Kreuzkorrelationsfunktion T Rxy ( ϑ) lim x() t y( t+ϑ) dt, x()und t y()reell t T T T Wird z.b. im Lock-In-Verstärker gebildet! (Siehe Teil 3.) Im Folgenden: Elektrische Signale, da in Messtechnik sehr oft elektrische/elektronische Messverfahren. Widerstandsrauschen (Nyquist- oder Johnson-Rauschen, thermisches Rauschen) Experiment: Gleichspannungsmessung mit rel. gutem Digitalmultimeter Erste Veröffentlichungen zu Widerstandsrauschen: J.B. Johnson, Phys. Rev. 3 (98) 97-09

3 H. Nyquist, Phys. Rev. 3 (98) 0-3 Zunächst: Theoretischer Gedankengang in Anlehnung an die Veröffentlichung von H. Nyquist, da konzeptionell ähnlich zu anderen wichtigen Arbeiten. R I T = const. R II Zwei Widerstände R I =R II =Rmit gleicher Temperatur T, verbunden durch ideal leitende Drähte (R L = 0) der Länge L z L Gemäß T führen Atome/Moleküle innerhalb der Widerstände R ungeordnete Wärmebewegungen aus. Durch Wechselwirkung ( Stöße ) kommt es bei den freien Ladungsträgern (meist: Elektronen) zu statistischen Verschiebungen ihrer Ladungsschwerpunkte. Zwischen Enden eines jeden Widerstands: schnell fluktuierende Spannung U R (t), Rauschspannung Rauschspannung an R I führt im Kreis zum Strom Erzeugt in R II Joule sche Wärmeleistung Wegen. Hauptsatz der Thermodynamik. IR = U I RI R P I R P II =. = P. II I Gleiche Leistung P υii =P υ I muss auch für jedes Frequenzintervall υ gelten. Beide Widerstände senden (im Zeitmittel) Wellen gleicher Amplitude aus. Entlang der ideal leitenden Drähte bilden sich stehende Wellen aus.

4 R I T = const. R II z L L n = ν d.h. in jedem gleich großen Frequenzintervall υ gibt es gleich viele Schwingungsformen v n. für normale Frequenzen (hυ «k B T) gilt: P ν ν ν kt B, P - mittlere Rauschleistung ν Außerdem gilt: ν = R = R 4 P I R U R Nyquist-Beziehung: UR = 4 kbt R ν für hν kbt Beispiel: T = 300 K, R = M Ω, ν = MHz: U 4 4, 0 Ws 0 Ω 0 s 6 6 R 0,3 mv U R R, gilt unabhängig von Art des Widerstands (!) Beide Abbildungen aus: J.B. Johnson, Phys. Rev. 3 (98) 97

5 Aber: P ν ν kann wegen Energiesatz nicht für beliebig große Bandbreiten (Frequenzintervalle) gelten. Die stehenden Wellen müssen wie Photonen im thermodynamischen Gleichgewicht der Bose-Einstein-Statistik genügen: N =, N - mittlere h kbt e ν Besetzungszahl hν kbt Die Funktion ist proportional h kbt e ν zur spektralen Rauschleistung: 6THz (bei T = 300 K). Schrotrauschen Diskrete Natur der Ladung (von Elektronen, Ionen etc.) Auch bei kontinuierlichem Gleichstrom : statistische Schwankungen in der Anzahl der momentan fließenden Ladungen It () = I + I () t 0 N N Meist unkorrelierte Prozesse: Emission in Röhren, Generation/Rekombination in Halbleitern u. Ä. It () = e Nt () τ,mitτ Laufzeit 0 Bei N unabhängigen Einzelprozessen (z.b. radioaktiven Zerfällen) beträgt der Fehler N. In Analogie: Schottky-Beziehung IS = e0 I0 ν für ν π τ Auch hier weißes Rauschen nur unterhalb υ max Beispiel: I0 = pa, ν = MHz: I,6 0 As 0 A 0 s 9 6 S 0,6 pa

6 .3 /f-rauschen Bei niedrigen Frequenzen: Zusätzliche Prozesse, die vielfältige, z.t. sehr komplizierte Ursachen haben. Pν ν S( ν) mittlere spektrale Rauschleistung lg ( S( ν) ) S( ν) ν /f-rauschen, rosa Rauschen /f-rauschen lg( νmax ) Beispiele: - in HL-Dioden, Bipolar- und Feldeffekt-Transistoren: fluktuierende Umladung von Oberflächenzuständen - niederfrequentes Stromrauschen in Widerstandsschichten (z.b. in Kohlewiderständen) - /f-flussrauschen in SQUIDs (Random-Telegraph-Noise) Wegen Energiesatz: S( ν = 0) < lg( ν) Weitere Rauschquellen: - Mikrofonie - Digitalisierungsrauschen. Methoden zur Verbesserung des Signal-Rausch-Verhältnisses Definition: PS P N mittlere Signalleistung S = = SNR - Signal-(zu)-Rausch-Verhältnis mittlere Rauschleistung N (signal to noise ratio) - Rauschabstand lg ( S( ν) ) 6⅔ Hz 50 Hz RF TV D, D WLAN UMTS Radar 00 Hz /f-rauschen lg( νmax ) lg( ν)

7 . Vermeiden von Störungen große Abstände zu Störquellen Einkoppeln von Störsignalen vermeiden (kapazitive, induktive Einkopplung) Twisted Pair (Einstrahlung [auch Abstrahlung] minimieren) BNC-Kabel, Abschirmleitung (low level) erden sternförmig erden (Erdschleifen vermeiden) BNC-Kabel zeigen elektrische/magnetische Abschirmkammern (Faradayscher Käfig - z.b. bei PTB Uhrenraum, Kryostaten für mk-bereich, oft: metallische Gehäuse magnet. Abschirm. - z.b. µ-metall [weichmagnet.] bei HREELS) Mikrofonie-, Schwingungsdämpfung Vermeiden von Kontaktpotenzialen Thermospannungen Wirbelströmen Batterieversorgung bei Netz- und Messgeräten. Minimieren des Rauschens geeignete Messfrequenz wählen (z.b. wegen /f-rauschen) zu kleine Ströme vermeiden (nicht nur wegen Schrotrauschen) Vorverstärker in die Nähe der Signalquelle Niederohmige Signalquellen/Verstärker (wegen Widerstandsrauschen) Trafo-Kopplung (fast rauschfreie Verstärkung um bis zu Faktor 00) geeignete Anpassung der Nachweiselektronik (bezügl. Dynamik, Bandbreite, Drift usw.) tiefe Temperaturen (wenn möglich - z.b. Radioteleskop Effelsberg: Empfänger He-gekühlt FP-Versuch 4.9: Peltier-Kühlung für Photomultiplier) Verringern der Bandbreite (Frequenz-Filter einbauen) Wichtig: Für alle elektronischen Geräte gilt ( SN) ( SN) Eing. Rauschzahl F Ausg.

8 Einfaches Tiefpass-Filter Ue = I R + i ω C Ua = I iωc Ua = iωc = U e R + i ω RC + iωc Wichtig beim Glätten von verrauschten Gleichspannungen Ua v = = U e ω R C + RC =τ Zeitkonstante v = für ω= τ v für ω ωτ τ v für ω τ Einfaches Hochpass-Filter Wichtig beim Unterdrücken von Gleichspannungsanteilen v U a = = Ue ω RC +ωr C Einfaches Bandpass-Filter Ua v = = 9 + U e ( ω RC ) ω R C

9 3. Lock-In-Messtechnik Kreuzkorrelationsfunktion T Rxy ( ϑ) lim x() t y( t+ϑ) dt, x()und t y()reell t T T T Praktische Anwendung: Lock-In-Verstärker, Phasenempfindlicher Gleichrichter Optischer Aufbau mit Lock-In-Verstärker: 3. Grundkomponenten Multiplikator Mischer, Phase Sensitive Detector (PSD) bei analogem Lock-In-Verstärker mit rechteckigem U Ref. : periodisches Umschalten zwischen +U und -U (günstigenfalls) pulsierende Gleichspannung Integrator Tiefpass wirkt als Gleichrichter, aber: Integrationszeit T < bei analogem Lock-In-Verstärker mit RC-Glied: τ = RC - Zeitkonstante, Integrationszeit Grundschema des Lock-In-Verstärkers: Lock-In-Simulation: rechteckiges U Ref. (t), ω Ref. = ω

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11 3. Lock-In-Verstärker mit digitaler Signalverarbeitung Numerische Multiplikation sinusförmiges Referenz-Signal (üblich): nur eine Fourier-Komponente des Mess-Signals: U Ref. = U sin( ω Ref. Ref. t + ϕref. ) U = U ω t + ϕ sin( ) Produkt: U URef. = U U ω ω Ref. t + ϕ ω +ω Ref. t + ϕ +ϕref. { cos ( ) cos ( ) Ref. } für ω =ω Ref. nach Tiefpassfilterung (τ ): U URef. = U U ϕ Ref. cos( )

12 3.3 Verbesserung des Signal-Rausch-Verhältnisses Weißes Rauschen: Fourier-Komponenten aller Frequenzen in U (t) zur Erinnerung Signal hinter PSD: U URef. = U U ω ωref. t ϕ ω +ω Ref. t + ϕ +ϕref. { cos ( ) cos ( ) Ref. } Schwebungsterm kritisch, wenn τ nicht größer als ( ω) - ist. Rauschanteile nahe ω mit genügend großer Integrationszeit unterdrücken Lock-In-Simulation: sinusförmiges U Ref. (t), ω Ref. ω, Variation von τ Signal + 0 V Rauschamplit., ω Ref. = ω, Var. v. τ Mit guten Lock-In-Verstärkern möglich: ( SN) ( SN) Verbesserung des SNR: SNI bis zu 0 Ausg. 5 Eing.

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