Stochastische Resonanz

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1 Stochastische Resonanz Hauptseminar: Ausgewählte Kapitel der klassischen Peter Stinner, Fiona Pregizer Statistik, SS 2010

2 Seite 2 Inhalt Einleitung Eiszeit Stochastische Resonanz Was ist das? Herleitung von x Power Spectrum Betrachtung der Aufenthaltszeiten Beispiele bidirektionaler Ringlaser ADC

3 Seite 3 Einleitung Die Eiszeit - Warum kommt sie immer wieder?

4 Seite 4 Ursachen Irdische Ursachen Verschiebung der kontinentalen Platten Gebirgsentstehung Vulkanismus Milanković-Zyklen (Astronomische Ursachen) Veränderung der Exzentrizität der Erdbahn ( a) Veränderung der Neigung der Erdachse zur Umlaufbahn ( a) Präzession der Erdrotationsachse ( a)

5 Seite 5 Inhalt Einleitung Eiszeit Stochastische Resonanz Was ist das? Herleitung von x Power Spectrum Betrachtung der Aufenthaltszeiten Beispiele bidirektionaler Ringlaser ADC

6 Seite 6 Stochastische Resonanz - Was ist das? Annahme: (a) Doppelmuldenpotential (b) durch äußeres periodisches Signal angeregtes Potential Sprünge nur durch Fluktuationen möglich

7 Seite 7 Die Kramers Rate Fluktuationen führen zur Kramers Rate: (Rate, mit der das Teilchen die Mulde verlässt) Winkelgeschwindigkeit im Potentialminimum Winkelgeschwindigkeit auf der Barriere Reibungskoeffizient Höhe der Potentialbarriere Maß / Stärke des Rauschens

8 Seite 8 Inhalt Einleitung Eiszeit Stochastische Resonanz Was ist das? Herleitung von x Power Spectrum Betrachtung der Aufenthaltszeiten Beispiele bidirektionaler Ringlaser ADC

9 Seite 9 Herleitung von x Betrachtung eines ungestörten Systems Zustände: -x m und +x m ändern sich mit Rate W 0 Definiere: n ± (t): Wkt., dass sich das System zum Zeitpunkt t im Zustand + : x(t) = x m - : x(t) = -x m befindet

10 Seite 10 Periodisches Signal kommt hinzu: Die Übergangswahrscheinlichkeitsdichte ist: Änderung der Zustandswahrscheinlichkeit: Mit: gilt:

11 Seite 11 Lösung der inhomogenen DGL 1. Ordnung durch Trennung der Variablen und Variation der Konstanten mit:

12 Seite 12 Vermutung für die Übergangswahrscheinlichkeitsdichte: Taylor-Entwicklung der e-funktion für A 0 x m << D:

13 Seite 13 Bei kleiner Frequenz kann man die bedingte Wahrscheinlichkeit folgendermaßen angeben: mit: und:

14 Seite 14 Zeitabhängige Antwort auf das Signal: nach der Definition des Mittelwertes, bekommt man im asymptotischen Limit: Daraus folgt: und:

15 Seite 15 Bilder zu x

16 Seite 16 Inhalt Einleitung Eiszeit Stochastische Resonanz Was ist das? Herleitung von x Power Spectrum Betrachtung der Aufenthaltszeiten Beispiele bidirektionaler Ringlaser ADC

17 Seite 17 Power Spectrum mit Wahrscheinlichkeit dafür, dass x in + Mulde bei t, wenn x in t_0 bei x_0 gestartet war -> bedingte Wahrscheinlichkeit

18 Seite 18 Power Spectrum Korrelation: Maß für die Ähnlichkeit zweier Funktionen Autokorrelation der Funktion x(t) Führe Limes aus für t_0 mit

19 Seite 19 Power Spectrum Mittelung von t über die Zeit einer Periodendauer (Mittelung kann mit der Berechnung der Fourier-Transformation vertauscht werden) Berechnung der Fourier-Transformierten ergibt das Power Spectrum (einseitig, da nur positive Omega)

20 Seite 20 Power Spectrum Betrachtung unter Variation von A_0 Delta-Peaks treten jeweils an derselben Stelle auf Besonders großer Effekt bei kleiner Frequenz und großer Amplitude Messergebnisse dazu später im Kapitel Anwendungen

21 Seite 21 Inhalt Einleitung Eiszeit Stochastische Resonanz Was ist das? Herleitung von x Power Spectrum Betrachtung der Aufenthaltszeiten Beispiele bidirektionaler Ringlaser ADC

22 Seite 22 Residence time distributions - Aufenthaltszeiten Ansatz mit adiabatischer Restriktion, also Zeit zwischen zwei Hüpfereignissen Ohne periodischen Antrieb: Mit periodischem Potential Peaks treten auf bei:

23 Seite 23 Residence time distributions - Aufenthaltszeiten Peaks treten auf bei:

24 Seite 24 Residence time distributions - Aufenthaltszeiten Fläche unter den Peaks: Fläche unter 1. Peak: direktes Maß der Wahrscheinlichkeit, dass die Systemübergänge durch die Periodizität angetrieben sind Optimale Fläche des ersten Peaks:

25 Seite 25 Residence time distributions - Aufenthaltszeiten Theorie Experiment Vergleich mit einem Experiment (Partikel in einer optischen Falle mit bistabilem Potential)

26 Seite 26 Inhalt Einleitung Eiszeit Stochastische Resonanz Was ist das? Herleitung von x Power Spectrum Betrachtung der Aufenthaltszeiten Beispiele ADC bidirektionaler Ringlaser

27 Seite 27 Anwendungsbeispiel für stochastische Resonanz

28 Seite 28 Analog-Digital-Converter Beispiel eines threshold device Quantisierung: Darstellung einer Größe eines Systems, in dem sie nur diskrete Werte annehmen kann Verlust von Signaldetails durch Quantisierung Ausgangssignal mit V oder V, wenn Eingangssignal Grenze übersteigt

29 Seite 29 Analog-Digital-Converter Quantisierungsfehler mit y als quantisiertes Signal und x als analoges Signal Hinzufügen eines angemessenen äußeren Signals lässt φ sinken Beste Wahl hierfür ist gleichverteiltes Rauschen Es existiert eine optimale Größe der Rauschintensität Hinzufügen eines geringen Rauschens seit 1960ern verbreitet als dithering

30 Seite 30 Der bidirektionale Ringlaser Aufbau:

31 Seite 31 Spektrale Leistungsdichte des Lasers, Output(Frequenz), Signalstärke ist 2kHz und mit einem Kreuz markiert Signal-Rausch-Verhältnis des Lasers, SRV(Rauschstärke)

32 Seite 32 Quellenübersicht S. 3: T20:38:10Z Maksim 598x441 (31557 Bytes) La bildo estas kopiita de wikipedia:en. La originala priskribo estas: Graph of [[carbon dioxide CO2]], [[temperature]], and dust concentration measured from the [[Vostok, Antarctica]] [[ice core]] as reported by Petit et al. Review of Modern Physics, Gammaitoni et al, Vol. 70, 1998 Physics Today, März 1996, Gammaitoni / Bulsara Physical Review A, Vol. 39/Number 9; McNamara und Wiesenfeld