Kapitel 2. Signaldarstellung. Automatisierungstechnik in der Wasserwirtschaft

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1 Kapitel 2 Signaldarstellung Peter-Wolfgang Gräber Automatisierungstechnik in der Wasserwirtschaft

2 2.1 Grundlagen Die System- und Steuerungstheorie stellen das theoretische Gerüst dar, mit dem die Steuerungsund Regelungstechnik sowie die Messwertgewinnung, -übertragung und -verarbeitung, d.h. die Automatisierungstechnik, wissenschaftlich untersucht werden kann. Sie liefern die Grundlage für die Benutzung des Begriffes der Information. Nach Einführung des Informationsbegriffes für hydraulische oder chemische Messwerte eröffnen sich mehrere Methoden der Informatik für die Anwendung in wasserwirtschaftlichen Überwachungs- und Automatisierungssystemen. Im folgenden soll deshalb den Begriffen der Informationsgewinnung und -verarbeitung einschließlich der -übertragung und -speicherung Vorrang gegeben werden. Prozesse lassen sich mittels Signale charakterisieren. Für den Fall wasserwirtschaftlicher Prozesse bedeutet es, dass diese durch ihre Ein- und Ausgangsgrößen (z.b. Wasserstände, Durchflüsse, chemische Konzentrationen, Temperaturen) beschrieben werden können. Eine von einer physikalischen Größe getragene Funktion bezeichnet man als Signal, wenn sie einen Parameter besitzt, der Bildfunktion einer veränderlichen Größe des physikalischtechnischen Raumes ist. Prinzipiell lässt sich ein Signal durch eine vierdimensionale Funktion x = f(x, y, z, t) mathematisch darstellen. Bei der mathematischen Beschreibung von Signalen beachte man die Doppelbedeutung des Formelzeichens x. Es tritt als allgemeine Signalbezeichnung und als Kennzeichen der Ortskoordinate auf. Oft ist es deshalb günstiger, als Signalkennzeichen das Kurzzeichen der physikalischen Größe zu nutzen. Der Parameter des Signals wird Informationsparameter genannt, die physikalische Größe, von der das Signal getragen wird, Signalträger. Beispiele sind in Tabelle 2.1 aufgeführt. In der Nachrichtentechnik werden solche Signale z.b. in Form von Spannungszuständen, Strom und Leistungsänderungen benutzt. Entsprechend obiger Definition kann der Signalund Informationsbegriff auch auf andere technische Systeme, wie hier auf wassertechnische Prozesse, angewendet werden. Als Beispiel dafür können in Analogie zu Strom und Spannung auch der Wasserstand, der Volumenstrom und die Temperatur als Signalträger in Tabelle 2.1: Beispiele der Zuordnung von Informationsparameter und Signalträger Anwendung Informationsparam. Signalträger Elektrizität 220V elektrischer Strom 1A elektrischer Strom Hydraulik 10m Flusswasserstand 1m 3 Wasserstrom Thermik 273K Wärmepotential 1kW Wärmestrom Automatisierungstechnik in der Wasserwirtschaft Peter-Wolfgang Gräber

3 2.1. GRUNDLAGEN Abbildung 2.1: Grundsignalformen Erscheinung treten. Aber auch chemische Stoffkonzentrationen sind als Signal denkbar. Der Wasserstand würde demzufolge als dreidimensionales Signal x = f(x, y, t) darstellbar sein. Für die mathematische Beschreibung technischer Signale haben sich verschiedene Darstellungen bewährt. Große Bedeutung kommt dabei den Grundsignalen zu, da sie die Grundlage aller beliebigen Signalformen sind. Mittels dieser Grundsignale können beliebige Signale generiert werden (Signalsynthese). Ebenso können beliebige Signalformen in diese Grundsignale zerlegt werden (Signalanalyse) Grundsignalformen Die gebräuchlichsten Grundsignalformen (siehe Abbildung 2.1) sind die Gleichgröße, die Sinusfunktion, die Sprungfunktion (Einheitssprung ) und der DIRAC-Impuls. 9

4 KAPITEL 2. SIGNALDARSTELLUNG Der Einheitssprung ist ein auf die Sprunghöhe normiertes Sprungsignal (Sprunghöhe = 1) und wird durch eine 1 dargestellt. Der DIRAC-Impuls wirkt nur zur Zeit t = 0 und hat dort eine unendliche Sprunghöhe. Einheitssprung und DIRAC-Impuls sind mathematisch über die Integration bzw. Differentiation miteinander verbunden Signalsynthese Bei der Signalsynthese (Überlagerung) werden an einer Mischstelle mehrere Eingangssignale x e additiv zu einem Ausgangssignal x a zusammengeführt (siehe Abbildung 2.2). Für die einfachere Darstellung ist in den folgenden Betrachtungen meist nur die Zeit als unabhängige Variable angeführt. Dies soll keine Einschränkung der Allgemeinheit sein. Die Ausführungen gelten genauso auch bei Abhängigkeiten bezüglich der Ortskoordinaten. Die Beschreibung von Signalen kann durch eine grafische Darstellung und durch mathematische Funktionen geschehen. Die Signale werden meist mit einer Anfangszeit t = 0 definiert. Das bedeutet, dass es sich stets um Relativzeiten zu einem Ereignis handelt. Bei der mathematischen Beschreibung wird meist der Originalvorgang im so genannten Zeitbereich von dem transformierten Vorgang im Bildbereich unterschieden. Bekannte Transformationen für Signale sind die FOURIER- und die LAPLACE-Transformation Signalanalyse Die Signalanalyse beliebiger Signalformen kann durch eine Zerlegung in Grundsignalformen erfolgen. Die bekannteste Methode ist dabei die FOURIERreihenzerlegung, bei der periodische Signalabläufe durch Sinusschwingungen verschiedener Frequenzen approximiert werden. Eine praktisch gut handhabbare Methode ist die Approximation durch zeitlich versetzte Sprungsignale. Im nachfolgenden soll die grafische Methode beschrieben werden, da sie gegenüber der mathematischen wesentlich einfacher handhabbar und anschaulicher ist. Der erste Schritt bei der Signalanalyse mittels Sprungsignalen besteht darin, dass die beliebige Zeitfunktion durch eine treppenförmige Signalform approximiert wird (siehe Abbildung 2.3). Der Zeitpunkt der Treppenflanke und die Sprunghöhe sollten so gewählt werden, dass ein kleinster mittlerer Fehler entsteht. Dabei hat sich bewährt, die Integrale der Originalkurve und der Treppenfunktion anzunähern. Das bedeutet, dass gleiche Flächeninhalte durch beide Kurven repräsentiert werden müssen (siehe Fehlerrechnung Abschnitt 6.1 ). 10

5 2.1. GRUNDLAGEN Abbildung 2.2: Beispiel einer Signalsynthese 11

6 KAPITEL 2. SIGNALDARSTELLUNG Abbildung 2.3: Beispiel der Approximation beliebiger Signale durch Sprungsignale 12

7 2.1. GRUNDLAGEN Quantisierung Die Darstellungsformen von Signalen lässt sich nach verschiedenen Gesichtspunkten klassifizieren. In der Technik unterscheidet man dabei zwischen der Einteilung der Signale nach Quantisierung des Informationsparameters und nach der Quantisierung der unabhängigen Variablen. Bei der Einteilung nach der Quantisierung des Informationsparameters erhält man die analogen Signale, deren Informationsparameter in einer metrischen Menge jeden beliebigen Zwischenwert und die diskreten Signale, deren Informationsparameter nur bestimmte (endlich viele) Werte innerhalb gewisser Grenzen annehmen können. Die beiden genannten Einteilungsprinzipien lassen sich auch miteinander kombinieren und man erhält die im Bild 2.4 gezeigten Darstellungsformen. Für die Klasse der Quantisierung der unabhängigen Variablen kann folgende Unterteilung getroffen werden: kontinuierliche Signale, bei denen der Informationsparameter zu jedem beliebigen Wert sowie diskontinuierliche Signale, bei denen der Informationsparameter nur für endlich viele Werte der unabhängigen Variablen eindeutig angegeben werden kann. Als Beispiele für das Auftreten der verschiedenen Signalformen sollen einige Messgeräte und -verfahren angegeben werden (siehe Tabelle 2.2). Es sei noch darauf hingewiesen, dass diese entsprechend der DIN-Vorschriften festgelegten Begriffsverwendungen nicht immer exakt eingehalten werden können. Bedingt wird dies vor allem durch die andersartige Verwendung einiger Begriffe in der fremdsprachigen Literatur. So herrscht keine klare Trennung zwischen den Begriffen diskret und diskontinuierlich. Für Quantisierung der unabhängigen Variablen wird oft das Wort Diskretisierung benutzt. Auch der Begriff digital (digitale Signale) wird oft für diskrete Messwerte benutzt, wenn sie mittels Zifferntableaus angezeigt werden. Digitale Messwerte sind richtigerweise Messwerte, die eine Quantisierung des Informationsparameters erfahren, wobei nur die Quantisierungsstufen 0 und 1 (oder 0 und L ) erlaubt sind. 13

8 KAPITEL 2. SIGNALDARSTELLUNG Abbildung 2.4: Darstellungsformen von Signalen Tabelle 2.2: Messgeräte und -verfahren und deren Signalformen Signalform Elektrotechnik Geohydraulik analog-kontinuierlich X-Y-Schreiber Schreibpegel Plotter analog-diskontinuierlich Punktschreiber Tiefenlot Fallbügelschreiber diskret-kontinuierlich Digitalvoltmeter Widerstandsmesskette (Stufenverschlüsselung) diskret-diskontinuierlich Digitalvoltmeter Brunnenpfeife (Zeitverschlüsselung) 14

9 2.1. GRUNDLAGEN Übungsaufgaben 1. Was verstehen Sie unter diskreten und unter diskontinuierlichen Signalen? Schildern Sie Messtechniken, bei denen diese Signale auftreten. 2. Durch welche mathematische Beziehungen sind das Sprungsignal und der DIRAC- Impuls miteinander verknüpft? 3. Wie würden Sie ein Sprungsignal und einen DIRAC-Impuls technisch realisieren? Wovon ist die Flankensteilheit abhängig? 15