DISSIPATION IN DER LICHT-ATOM WECHSELWIRKUNG Realisierung und Anwendung der Laserkühlung von Atomen

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1 400 µm DISSIPATION IN DER LICHT-ATOM WECHSELWIRKUNG Realisierung und Anwendung der Laserkühlung von Atomen Hanspeter Helm 1 Wahlpflichtfach II, Vorlesung WS06/07 m=-1 m=0 m= Oktober helm@uni-freiburg.de

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3 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung Geschichte der mechanischen Lichtkraft Mechanische Kräfte des Lichtes Lichtdruck (Spontankraft) Gradientenkraft (Dipolkraft) Impuls des Photons Optische Melasse Strahlungsdruck ebener Wellen Reibung in optischer Melasse Diffusion in optischer Melasse Magneto-optische Falle 27 5 Kopplung zweier Zustände Zeitunabhängiger Fall Zweiniveausystem im Feld einer Mode Spontane Emission Dressed States Ungekoppelte Atom-Laser Zustände Atom-Laser Kopplung Effekt der spontanen Emission Dipolkraft Hamiltonian bekleideter Zustände Mollow Triplett Mittlere Dipolkraft Dissipative Beiträge Bewegung in einer Stehwelle I

4 II INHALTSVERZEICHNIS 8 Oszillator Modell für Dipolkraft Atomare Polarisierbarkeit Dipolpotential und Streurate Polarisations-Gradienten Zeitskalen Polarisationsgradienten mit lin lin Polarisation Sisyphus Effekt Größenordnung der Reibung Semiklassische Berechnung Orientierungskühlen Gleichgewicht für ruhendes Atom Zustand des bewegten Atoms Kopplung im bewegten System Bewegungsinduzierte Orientierung Lichtdruck bei Orientierung Energiedissipation VSCPT Dunkelzustände Optisches Pumpen im Geschwindigkeitsraum Impuls-Familien Atomare Kopplung durch Bewegung Zerfall auf Grund spontaner Emission Spontaner Transfer zwischen Familien Impulsverteilung im Dunkelzustand Seitenbandkühlen Lamb-Dicke-Effekt Dunkelzustandskühlen Verdampfungskühlung Bose-Einstein Kondensation Atom-Atom Wechselwirkungen Stöße kalter Atome Streulänge und Molekularfeldnäherung Magnetischer Einschluss Verdampfungskühlung

5 INHALTSVERZEICHNIS 1 A Dichtematrix für ein Zweiniveau-System 121 A.1 Liouville-Gleichung A.2 Spontane Emission A.3 Anwendung auf ein Zweiniveausystem A.4 Ergebnisse für den stationären Fall A.5 Spontankraft A.6 Suszeptibilität A.7 Dipolkraft B Bloch Vektor 131 ANHANG 121 C Kohärenz Phänomene 133 C.1 Hanle Effekt C.2 Dunkelzustände C.3 Elektromagnetisch induzierte Transparenz C.4 Brechungsindex-Kontrolle D Clebsch-Gordan Koeffizienten 145 E Drehung der Basis 149 F Diagnostik von Bose-Einstein Kondensaten 153 G Landau-Zener Übergangswahrscheinlichkeit 157 H Partialwellenstreuung 159 I Atom-Interferometrie 163 LITERATURVERZEICHNIS 167

6 2 Einleitung

7 Kapitel 1 Einleitung Wenn wir ein Blatt Papier in die Hand nehmen, dann nähern sich unsere Finger dem Papier auf jeder Seite bis auf atomare Dimensionen. Die Elektronen auf der Oberfläche unserer Finger und die im Papier stoßen sich ab und die dabei entstehende Ladungsverschiebung erzeugt ein elektrisches Feld, das stark genug ist, das Papier zwischen den Fingern einzuquetschen. Damit entsteht der mechanische Halt und die Reibung die notwendig sind um makroskopische Objekte zu bewegen. Ursache dafür sind elektrische Kräfte, die bei Abständen im Bereich atomarer Dimensionen auftreten.[1] Neutrale Objekte werden traditionell mechanisch bewegt. Viel schwieriger ist es neutrale Objekte, die atomar klein sind, also einzelne Atome und Moleküle zu manipulieren. Bei geladenen Teilchen ist das noch relativ leicht, da man mit elektrischen und magnetischen Feldern ihre Bewegung kontrollieren kann. In den letzten 30 Jahren ist es aber möglich geworden, Atome und mikroskopisch kleine, neutrale Teilchen mit Lichtkräften zu führen. Und zwar mit erstaunlicher Genauigkeit und Leichtigkeit. Der Hauptunterschied zur mechanischen Manipulation ist, dass man damit neutrale Teilchen ohne den konventionellen physikalischen Kontakt bewegen kann (trotzdem bleibt uns für den Kontakt nur die elektromagnetische Wechselwirkung). Wesentlich für die Kontrolle der externen Freiheitsgrade neutraler Teilchen sind dabei der Impulsübertrag, der mit der Absorption und Emission von Photonen verbunden ist, und die gezielte Wahl der physikalischen Parameter, sodass in der Licht-Atom- Wechselwirkung dissipative Terme (Reibung) auftreten. Die Geschichte, wie es dazu kam, zeigt das Wechselspiel zwischen Grundlagenforschung auf der einen Seite und der Entwicklung von neuen Technologien, die 3

8 4 Einleitung das Potential für neue Anwendungsbereiche zeigen. Die Grundlagenforschung dabei war ursprünglich angetrieben vom Versuch die Unschärfe bei Meßprozessen, die durch die atomare Bewegung entsteht, zu eliminieren, um genauere spektrale Messungen an atomaren Systemen durchführen zu können. Der Doppler-Effekt ist eine der Grenzen, wenn man atomare Übergänge genau vermessen will. Dabei gilt für die vom Atom gesehene Frequenz, ω A ω A = ω L k v (1.1) wobei ω L die Laborfrequenz des Lasers ist, k der Wellenvektor und v die atomare Geschwindigkeit. 1 Mit Verstimmung δ bezeichnen wir die Differenz zwischen der vom Atom gesehenen Frequenz ω A und der atomaren Resonanz ω 0 δ = ω A ω 0 (1.2) Für eine thermische Geschwindigkeitsverteilung führt der Doppler-Effekt zu einer Gauß-Verteilung des Absorptions- bzw. Emissionsprofils. Für N a-atome bei 300 K ist die Breite der Gauß-Verteilung ω = 2π 1.7 GHz. Im Vergleich dazu ist die natürliche Linienbreite in der Größenordnung ω = 2π 10 MHz. Dopplerfreie Experimente (z.b. Zweiphotonen-Anregung mit gegenläufigen Laserstrahlen) erreichen hohe spektrale Auflösung in dem sie ein Signal liefern das nur von Atomen herrührt, die keine nennenswerte Geschwindigkeitskomponente entlang k haben. Damit kann man im Prinzip Auflösung im Bereich der natürlichen Linienbreite erreichen. Einem solchen Experiment sind letztlich Grenzen durch die Flugzeitverbreiterung gesetzt: Die Dauer der Meßzeit ( t) begrenzt die Energieschärfe ( E) jeder Messung: E t h. Ein Ziel des Laserkühlens war es, ein Atom in einer Falle einzusperren, in eine Ruhelage zu bringen, ungestört von Nachbaratomen, um es lange beobachten zu können. Bilder einzelner atomarer Ionen wurden um 1980 erstmals von Dehmelt und Toschek [2] aufgenommen. Sichtbar wird das Atom dabei über Fluoreszenzphotonen. Bilder von einzelnen Atomen gab es schon vorher z.b. im Feldionenmikroskop oder im Tunnelmikroskop. Bei Dehmelt und Toschek war es anders: ihnen gelang es, ein einzelnes Atom im Vakuum festzuhalten, nahezu in Ruhe, sodass man mit diesem einzelnen Atom über sehr lange Zeiten (viele Tage!) Untersuchungen machen konnte. Laser-Kühlen machte dieses Experiment möglich. Die kinetische Energie des Ions wurde hier auf 10 3 K abgesenkt. 1 Der Ausdruck k v kommt aus der Näherung für die Dopplerverschiebung bei kleinen Geschwindigkeiten: ω = ω 1 β 2 /(1 + βcosθ) (Jackson, Classical Electrodynamics). Dabei ist β = v/c und θ ist der Winkel zwischen k und v.

9 Einleitung 5 Warum sollte man versuchen Atome oder geladene Teilchen mit Lasern abzukühlen? Neugierde, aber es gibt auch viele Anwendungen: Genaue atomare Uhren basieren auf hochauflösender Spektroskopie. Heutige Technologie am Markt erreichen eine Auflösung von 1:10 14, Die Möglichkeit ungestörte Atome frei fallen zu lassen bzw. in einem atomaren Springbrunnen freie Atome am Umkehrpunkt zu beobachten, erlaubt sehr viel längere Beobachtungszeiten, als sie mit konventionellen thermischen Atomstrahlen erreichbar sind. (Beobachtung eines Atoms, das auf einer Oberfläche liegt, ist wegen der Wechselwirkung mit der Unterlage nicht akzeptabel). Man ist dabei die derzeitigen Rb bzw. Cs Frequenzstandards in ihrer Ganggenauigkeit um mehrere Größenordnungen zu verbessern, ein Auflösung im Bereich von 1 : erscheint jetzt als möglich. 2 In naher Zukunft: wird der an der PTP Braunschweig entwickelte Sr-Standard die Zeitbasis bilden. Rückstoßeffekte bei der Photoionisation, beim Ladungstausch sind erstmals direkt vermessbar (mögliche Anwendung in Experimenten zur Bestimmung der Neutrinomasse). Nur mit Licht wird man Antimaterie kontrolliert manipulieren und untersuchen können. Bose-Einstein Kondensation von schwach miteinander wechselwirkenden Teilchen (verdünntes, nahezu ideales Gas) wurde damit erreicht. Stöße zwischen sehr langsamen Atomen finden auf Zeitskalen statt, die länger sind als typische Relaxationszeiten des freien Atoms (ultracold collisions). Kontrollierte Stöße erlauben Kontrolle der Molekülbildung. Atomoptik: Aus Licht aufgebaute Linsen kann man verwenden um sehr langsame Atomstrahlen zu fokussieren und kollimieren. Mit geeigneten Lichtfeldern kann man optische Elemente zur Führung von neutralen Teilchen herstellen: Linsen, Spiegel, Gitter, und Strahlteiler aus Licht. Diese Bauelemente arbeiten nur, wenn man Atome schon vorgekühlt hat, weil sonst die Kräfte zu klein sind. Glas und sichtbares Licht (konventionelle Optik) machen dieselbe Physik wie Licht und Atome. Dabei übernimmt das Lichtfeld die Rolle von Glas und Atome die Rolle des Lichtes. Die Brechung von Atomstrahlen an einer stehenden Lichtwelle gehört heute zum Standard- Repertoire der Atomoptiker. 2 Warum braucht man atomare Uhren: Hochauflösende Radioastronomie wird verbessert durch die Synchronisation der Signale, welche von verschiedenen Radioteleskopen aufgenommen werden. Ebenso die Synchronisation von schnellen Rechnern, die in der Telekommunikation eingesetzt werden. Global Positioning (GPS) lebt von der Genauigkeit der Atomuhren.

10 6 Einleitung Architektur im atomaren Bereich (Nanotechnologie) wird durch kontrollierte Führung einzelner Atome mit maßgeschneiderten Lichtfeldern möglich. Atominterferometer: So wie Photonen mit sich selbst (und nur mit sich selbst) interferieren können, können Atome oder auch Moleküle nur mit sich selbst interferieren. Ansatz ist dabei wie im Falle des Lichtes, dass sich mindestens zwei Komponenten des atomaren Wellenpaketes räumlich unterschiedlich entwickeln und später überlagert werden. Die De-Broglie- Wellenlänge eines gekühlten Atoms (Beispiel Rb bei einer Energie, die der Photonenrückstoßenergie bei der Resonanzlinie, 780 nm entspricht) ist λ db = h p = h Mv R = 780 nm (1.3) Die Rückstoßgeschwindigkeit v R berechnet sich aus h k = Mv R. Mit Interferometrie an frei fallenden Atomen gelang 1999 die bisher genaueste Messung der lokalen Gravitationskraft. 3 Es gibt mehrere Ansätze für Atomgyroskope als verbessertes inertial guiding system. Optische Gitter erlauben die Beobachtung der quantisierten Bewegung von Atomen in einem periodischen externen Potential. Das externe Potential erzeugt man z.b. durch geeignete Lichtfelder (stehende Wellen) über die Lichtverschiebung atomarer Zustandsenergien. Manipulation von mikroskopischen Teilchen, einzelnen Proteinen oder Stücken von DNA mit sogenannten Laserpinzetten ist heute Standardtechnologie in der Biologie. 1.1 Geschichte der mechanischen Lichtkraft 1619 postuliert Kepler: Lichtdruck bewirkt, dass ein Kometenschweif von der Sonne wegzeigt glaubte Crookes den Strahlungsdruck gefunden zu haben, er hatte das Radiometer 4 erfunden. 1873: Maxwell berechnete die Kraft, die elektromagnetische Wellen infolge der Absorption bzw. Reflexion auf Materie ausüben. Diese Kraft liegt 5 Größenordnungen unter dem Effekt im Crookeschen Radiometer. Nach Maxwell ist 3 Warum will man wissen, wie g vom Ort abhängt? z.b. Oil exploration, or just for fun. 4 die Lichtmühle dreht sich entgegengesetzt dem Lichtdruck auf Grund der Erwärmung der Gasatome in der Umgebung der schwarzen nichtreflektierenden Oberfläche.

11 Einleitung 7 die Lichtkraft, die durch den Strahlungsdruck auf eine Fläche A wirkt F = W c (1 + r) = A w (1 + r) (1.4) wobei r das Reflexionsvermögen des Körpers ist. Mit W bezeichnen wir die pro Zeiteinheit auf die Fläche A auftreffende Energiemenge (Leistung, W att), mit c die Lichtgeschwindigkeit. Der Druck wirkt in Richtung der Lichtausbreitung und ist so groß wie die auf die Volumeneinheit bezogene Strahlungsenergie (w ist die Energiedichte des elektromagnetischen Feldes). Das Reflexionsvermögen ist r = 0 für einen schwarzen Körper und r = 1 für einen idealen Spiegel. Im Photonenbild kommt die Kraft (1.4) wie folgt Zustande: Jedes Photon übertragt den Impuls p = h k (1 + r). Die Strahlungsintensität (W/m 2 ) ergibt sich als I = N hω (1.5) A wobei A die Fläche ist, N die Anzahl der Photonen, die pro Sekunde auf die Fläche treffen (Photonenfluss) und hω die Photonenenergie. Die Leistung ist im Photonenbild W = I A = N hω (1.6) Die Strahlungsdruckkraft auf die Fläche A ist gleich dem Impulsübertrag pro Sekunde, also F = N p = N hk (1 + r) (1.7) Wenn wir für N aus (2.21) einsetzen ergibt sich für den Strahlungsdruck (mit k = ω/c ) F = W hω hk (1 + r) = W c (1 + r) (1.8) Sonneneinstrahlung, die senkrecht auf eine 1 m 2 große Oberfläche fällt, übt eine Lichtkraft von 0.4 mg (schwarz) bzw. 0.8 mg (idealer Spiegel) aus. Maxwell sagte vorher, dass concentriertes elektrisches Licht einen größeren Druck als die Sonnenstrahlung hervorrufen wird, sodass man den Druck mit einem dünnen Blättchen, das an einem Faden in Vakuum aufgehängt ist, als mechanischen Effekt beobachten kann Lebedev in Moskau: erste Messungen [3] zur Größe dieser Kraft bestätigten Maxwells Vorhersagen. 5 Mit einer Bogenentladung als Lichtquelle bestrahlte er ein Blättchen auf einer empfindliche Drehwaage mit der Leistung von von 70 mw. Damit sollte sich nach Maxwell ein Strahlungsdruck von N ergeben, Lebedev beobachtete (3 ± 0.2) N. 5 Freiburger Glasbläser C. Kramer liefert einen wesentlichen experimentellen Beitrag, indem er so gute Glasschliffe erzeugt, dass Lebedev das beste Vakuum seiner Zeit erzeugen konnte.

12 8 1905: Poynting (als Präsident der British Physical Society) kommentierte das Experiment von Lebedev etwas abfällig: A very short experience in attempting to measure these light forces is sufficient to make one realize their extreme minuteness - a minuteness which appears to put them beyond consideration in terrestrial affairs. 1909: Debye (in seiner Doktorarbeit zum Thema Strahlungsdruck) suchte einen praktischen Fall für optische Levitation (Strahlungsdruck hält der Gravitationskraft die Waage). Er kam zum Schluß, das sehr kleine Teilchen in Sonnennähe diese Bedingung erfüllen könnten Nachdem Einstein das Konzept des Photons eingeführt hatte, zeigte er, dass die Impulserhaltung ein wichtiger Aspekt des Gleichgewichtes zwischen Strahlung und Materie ist. Ein Photon trägt einen diskreten Wert der Energie hω und des Impulses p = hk Compton und Simon und später Bothe und Geiger führen experimentelle Studien zum Compton-Effekt durch (Rückstoß, den ein einzelnes Elektron im Stoß mit einem Photon erfährt) zeigte Otto Frisch in Hamburg an der Ablenkung eines N a Atomstrahls, dass Atomen durch Photoabsorption Impuls übertragen wird. Um 1970 wurden diese Experimente wesentlich einfacher, da man Laser, und damit viel höhere Photonenströme zur Verfügung hatte. Größere Ablenkungen wurden erreicht, da viele Photonen in kurzer Folge absorbiert werden konnten. Diese Möglichkeit führte bald zu neuen Gedanken: Kann man eine optische Falle bauen, um mit Lichtkraft Atome einzusperren? Erste Ideen dazu publizierten russische Autoren (Gruppe um Lethokov [4]) und in den Bell Laboratories Ashkin [5] Ashkin the forces exerted by a focused beam of laser light are strong enough to push tiny particles around freely in various mediums. Several applications based on this finding are proposed. Seit dieser Zeit haben sich viele Gruppen mit Laserkühlen und Atomfallen beschäftigt. Völlig neue Technologien haben sich eröffnet Nobelpreis an Steven Chu, William D. Phillips und Claude Cohen-Tannoudji for development of methods to cool and trap atoms with laser light 2001 Nobelpreis an Eric A. Cornell, Carl E. Wieman und Wolfgang Ketterle for the achievement of Bose-Einstein condensation in dilute gases of alkali atoms, and for early fundamental studies of the properties of the condensates

13 Kapitel 2 Mechanische Kräfte des Lichtes Den Impulsübertrag eines Photons auf ein Elektron beobachtete Compton 1925 in der Wellenlängenänderung der gestreuten Röntgenstrahlung. Dabei gilt die Impulserhaltung: h k + M v i = h k + M v f (2.1) mit dem Photonenimpuls = L p = h k = hω c (2.2) Die Bilder a) und b) zeigen den Fall, dass k antiparallel zu v i liegt und ein Photon vollständig absorbiert wird (resonante Anregung). Wird das Photon von einem Atom der Masse M absorbiert, dann ist die Rückstoßgeschwindigkeit des Atoms v R = v i v f = h k M. (2.3) Liegt der Photonenimpuls antiparallel zur Schwerteilchenbewegung, dann gilt für die Geschwindigkeitsänderung nach Absorption eines Photons am Beispiel Natrium ( k = 2π/λ wobei λ = 586 nm) v R = 3 cm/s. (2.4) Der Impulsübertrag im sichtbaren Wellenlängenbereich ist also recht klein. Der Impulsübertrag entspricht einer Temperatur (für Na) T = Mv2 R k B 10 6 K. (2.5) 9 >? L D

14 10 Mechanische Kräfte des Lichtes Bei einer natürlichen Lebensdauer τ = 16 ns beträgt die Lorentzbreite (natürliche Linienbreite) ω = 2π 10 M Hz. Im Vergleich dazu ist die Rückstoßverschiebung von der Resonanz bei bei 586 nm: ω i ω f = ω = k v R 2π 50 khz. (2.6) Geschwindigkeitsänderungen, die bei der Wechselwirkung von sichtbarem Licht mit Materie auftreten, sind also sehr klein. Vorschläge den Photonenimpuls zum Kühlen von Atomen auszunutzen wurden ursprünglich 1968 von Lethokov in Moskau [4], und später (1975) von Wineland und Dehmelt in Seattle [6] sowie von Hänsch und Schawlow in Stanford [7] gemacht. Im Jahre 1985 wurden neutrale Atome damit auf etwa 1 mk abgekühlt (mit einer Laseranordnung die optische Melasse genannt wird). Diese Erfindung erlaubte letzendlich das Einsperren von Atomen und führte zu einer Vielzahl von Atomfallen, optische, magnetische und magneto-optische, wie sie heute in großer Verwendung sind. Später gelang es Temperaturen von 100 µk, dann 200 nk zu erreichen, die niedrigsten Temperaturen, die je im Labor realisiert wurden. In einem vereinfachten Ansatz kann man zwei Ursachen für Lichtkräfte identifizieren (bei hoher Intensität und räumlich inhomogener Verteilung der Lichtintensität ist diese Unterscheidung schwierig). 2.1 Lichtdruck (Spontankraft) Einfach zu verstehen: Lichtdruck entsteht aus dem Impuls, der einem Atom übertragen wird, wenn es ein Photon streut. Die mittlere Streukraft wirkt in Richtung der einfallenden Photonen und ist proportional dem Produkt des Impulses eines einzelnen Photons hk, mal der Streurate (wie viele spontane Emissionen finden pro Sekunde statt). Wir definieren die Verstimmung des Lasers relativ zur atomaren Frequenz als ϑ = ω L k v ω 0. (2.7) Wenn der Laser rotverstimmt ist (ϑ < 0), dann werden auf Grund des Doppler- Effektes die auf den Laserstrahl zulaufenden Atome bevorzugt absorbieren und dabei abgebremst. Damit kann eine Kühlung der Atombewegung erfolgen, da die spontane Emission isotrop erfolgt, also im Mittel keine gerichtete Kraft durch die spontane Emission entsteht. Die effektiv vorliegende Kraft (aus einer Folge von Absorption und spontaner Emission) ist zeitlich nicht konstant, sondern sie fluktuiert, weil Richtung und Zeitpunkt der Emission statistisch verteilt sind. Das führt zu einer Diffusion der Atombewegung im Impulsraum. Die spontane

15 Mechanische Kräfte des Lichtes 11 Emission bewirkt also auch eine geringe Aufheizung und begrenzt so die niedrigste erreichbare Temperatur. Die Kraft hängt stark von der Verstimmung ab: Je näher man an der Resonanz liegt, um so häufiger kommt es zur Absorption. Aber: die stimulierte Emission konkurriert mit der spontanen Emission und der Photonenrückstoss bei der stimulierten Emission hebt gerade den Impulsübertrag bei der stimulierten Absorption auf, aber nur wenn beide Prozesse über dieselbe ebene Lichtwelle ablaufen. Wie groß kann die Spontankraft werden? die Laserintensität Für E(t) = E 0 cos (ω L t) ist I = 1 2 ɛ 0cE 2 0 [W att/cm 2 ]. (2.8) Die Intensität kann beliebig gesteigert werden. Ebenfalls beliebig steigern kann man formal die Rabifrequenz in einem Zweiniveausystem (die Rate mit der ein Zustand entvölkert und wieder besetzt werden kann) Ω 1 = d E 0 h (2.9) wobei d das Dipolmoment des optischen Übergangs ist. Die Rate der Emission spontaner Photonen steigt allerdings nur bei kleiner Intensität linear mit der Pumpintensität an. Wenn wir zu stark pumpen, hat der angeregte Zustand gar nicht mehr Zeit um spontan zu emittieren und stimulierte Emission überwiegt. 1 Wenn wir mit Γ scatt die Rate der spontan gestreuten Photonen bezeichen, dann gilt für die spontane Kraft F = h k Γ scatt (2.10) Im Zweiniveausystem gilt für die Spontankraft (siehe Anhang A) F = h k Γ 2 I/I I/I 0 + (2δ/Γ) 2, (2.11) wobei I 0 die sogenannte Sättigungsintensität ist. Die natürliche Zerfallsrate Γ ist mit der natürlichen Lebensdauer des angeregten Zustandes τ = 1/Γ verknüpft. Die Sättigungsintensität ist definiert als die Intensität eines unverstimmten Lasers (δ = 0) für den Fall, dass die Streurate gleich ist einem Viertel der spontanen Rate ist: Γ scatt = Γ/4 (siehe Kapitel ). Die maximale spontane Kraft (I ) ist F max = h k Γ 2 (2.12) In diesem Fall ist die Streurate für spontane Photonen gerade Γ scatt = Γ/2. 1 Diese trägt im Falle einer ebenen Welle nicht zur Spontankraft bei.

16 12 Mechanische Kräfte des Lichtes Wir untersuchen diese Kraft am Beispiel von Natrium Die charakteristischen Größen sind: λ=586 nm, Γ=1/16 ns 1, M =23 amu. Der Betrag des Wellenvektors ist k = 2π λ = 2π = m 1 und die Beschleunigung (Abbremsung) durch das Licht a = F M = hk Γ 2M = = m/s 2 im Vergleich ist die Schwerebeschleunigung g = 9.81 m/s 2 also etwa 10 5 mal kleiner als der maximale spontane Lichtdruck. die Coulombkraft auf ein einfach geladenes Ion F = q E bei einer Feldstärke E = 1 V/cm ergibt als Beschleunigung auf ein Na + -Ion: a = F M = qe M = = m/s 2. Die Streukraft des Lichtes kann viel größer als die Gravitationskraft sein, ist aber doch um vieles kleiner als typische elektrische Kräfte. Wir überlegen uns in welcher Zeit wir ein Atom mit Licht abbremsen können : Die mittlere thermische Geschwindigkeit von Na bei 300 K beträgt v = 8kT πm 500 m/s (2.13) Die Rückstoßgeschwindigkeit, die ein Natrium Atom bei Absorption von einem Photon bei 586 nm erfährt ist: v R = hk M = m/s (2.14) Das heißt wir müssen 500/ Photonen absorbieren um ein thermisches Natrium-Atom vollständig abzubremsen. Wie lange brauchen wir dazu? Nach Gl mindestens 2 mal spontane Emissionszeiten t = Γ 1 ms

17 Mechanische Kräfte des Lichtes 13 Bei diesem Konzept zum Abbremsen eines Atoms treten aber Probleme auf: Wir richten den Laser gegen einen Atomstrahl und kompensieren die Doppler- Verschiebung δ = k v durch eine entsprechende Verstimmung des Lasers von der atomaren Resonanzfrequenz ω 0. Kühlen wir somit den Atomstrahl für einige Zeit ab, dann kommen die Atome außer Resonanz. Zum weiteren Abkühlen muß man den Laser nachstimmen. Das geht entweder aktiv, indem man die Laserfrequenz zeitlich abgestimmt verändert oder indem man die atomare Resonanzfrequenz über den Zeeman-Effekt [8] geeignet verschiebt (Zeeman-slower). Zeitlicher oder räumlicher Chirp sind notwendig, sonst kommt es zum Lochbrennen bei einer Geschwindigkeitskomponente. = J E? > A = I K H? A J= F A H > E= I? E C = I A A I EJO B= J I * " & L A? EJO I Mit dem Konzept der Spontankraft ist auch eine seitliche Ablenkung eines Atomstrahles möglich [9]. Ein Laserstrahl in Resonanz δ = 0 trifft senkrecht auf einen Atomstrahl. Die Beschleunigung des Atomstrahls ist (für k v = 0) a = F M = hkγ 2M I/I I/I 0 Im Lichtfeld einer Zylinderlinse gelang es unter Erreichung der Bedingung Mv 2 θ R = F ( k v = 0) Atomstrahlen mit v = 10 4 cm/s um den Winkel von 30 o, bei einem Krümmungsradius von 62 mm, abzulenken. Wenn Atome diese Bedingung nicht exakt erfüllen, kommen sie außer Resonanz und erfahren im Falle einer Verstimmung δ < 0 eine Reibungskraft welche die Radialgeschwindigkeit dämpft [9]. Die Spontankraft ist im Allgemeinen dissipativ (siehe Kapitel 3). N 4 = J E? > A = A B A? JE C = I A H> A =

18 14 Mechanische Kräfte des Lichtes 2.2 Gradientenkraft (Dipolkraft) Die Dipolkraft ist weniger anschaulich, aber auch für sie gibt es einfache klassische Bilder: Ein Atom ist polarisierbar. Das optische Feld induziert im Atom (in der Materie) ein elektrisches Dipolmoment und das elektrische Feld des Lichtes tritt mit diesem Dipol in Wechselwirkung. In einem homogenen Feld erfährt ein Dipol nur eine Drehung, aber in einem inhomogenen Feld auch eine Kraft. Diese Dipolkraft hat, wie die Spontankraft, starken Resonanzcharakater. Auf Grund des Phasensprungs bei Resonanz ist sie anziehend, wenn die treibende Frequenz unterhalb der Resonanz liegt und abstoßend, wenn sie über der Resonanz liegt. Außerdem ist die Dipolkraft für ruhende Atome nicht dissipativ. 1) Man kann die Dipolkraft in Analogie zu einem getriebenen Oszillator verstehen. Eine gebundene Ladung, die durch ein oszillierendes elektrisches Feld angetrieben wird, ist in Phase mit dem Feld, wenn die Erregerfrequenz unter der Resonanzfrequenz liegt (rotverstimmt, δ 0), und gegenphasig um 180 o, wenn die Erregerfrequenz über der Resonanzfrequenz liegt (blauverstimmt, δ 0). Die Wechselwirkungsenergie zwischen dem induzierten Dipol p = α E (α ist die Polarisierbarkeit) und dem Feld ist U dip = p E = α E 2. Damit ist die Wechselwirkungsenergie negativ unterhalb der Resonanzfrequenz und der Oszillator wird in Richtung höherer Lichtintensität gezogen. Bei Frequenzen oberhalb der Resonanzfrequenz wird er in Richtung kleinerer Lichtintensität beschleunigt. EF H J * 6 Die potentielle Energie des induzierten Dipols in einem fokussierten Laserstrahl bei Rotverstimmung. Die horizontale Koordinate entspricht der radialen Position im Laserfokus, das Minimum der Fokusmitte. Bei großer Verstimmung δ ist das Dipolpotential entlang einer Koordinate r U dip (r) hω2 1(r) 4δ (2.15) (siehe Kapitel 5) wobei δ = ω L ω 0. Die Rabi-Frequenz lässt sich im Sinne der Sättigungsintensität I 0 ausdrücken (also U dip I) 2Ω 2 1(r) Γ 2 = I(r) I 0. (2.16) 2) Die Dipolkraft (auch Gradientenkraft oder stimulierte Kraft) kann man sich vorstellen als Folge von Absorption und nachfolgender stimulierter Emission. Im Unterschied dazu ist der Strahlungsdruck eine Folge der Absorption (und darauf

19 Mechanische Kräfte des Lichtes 15 folgender spontaner Emission oder anderer Energiedissipation). Wichtig ist, dass bei der Dipolkraft Absorption und stimulierte Emission nicht als getrennte Prozesse angesehen werden können. Dieses Bild stammt von Cohen-Tannoudji [10] und wird in Kapitel 7 eingehend diskutiert: Wenn man nicht eine einzelne ebene Welle vor sich hat, dann kann man aus einer Welle absorbieren und in eine andere stimulieren. Die Energie des Feldes ändert sich dabei nicht, weil alle Wellen bei derselben Frequenz liegen. Weil aber die einzelnen ebenen Wellen ungleiche k Vektoren haben, kommt es zu einer Umverteilung der Photonenimpulse und damit zur Änderung des Impulses des Atoms. Solange das Atom ruht, gibt es keine Netto-Absorption von Energie durch das Atom oder das gesamte Lichtfeld. Letztlich ist die Dipolkraft eine Konsequenz der AC-Stark Verschiebung (Lichtverschiebung der atomaren Niveaus, siehe Kapitel 6). 3) Ein gänzlich anderes Bild für die Dipolkraft stammt von Ashkin [5]. Wir stellen uns einen Gauß schen Laserstrahl in Luft vor, der eine Kugel mit einem Brechungsindex n k > 1 beleuchtet (siehe dazu das Bild unten, links). Das Zentrum der Kugel liegt im Intensitätsgradienten eines Laserfeldes. = >. = > = >. > = >. > =. = Wenn wir Reflektion ausser Acht lassen, dann wird insgesamt mehr Licht in Richtung kleinerer Intensität gebrochen. Damit ergibt sich eine Beschleunigung der Kugel ins Zentrum des Laserstrahles (Richtung höherer Intensität). Wenn hingegen der Gauß sche Laserstrahl im Wasser vorliegt und auf eine Luftblase trifft, gilt n k < n H2 O und genau das Umgekehrte ist der Fall, die Luftblase wird aus dem Gebiet hoher Intensität herausbeschleunigt (rechtes Bild). Da sich in der Nähe einer optischen Resonanz der Brechungsindex von einem Wert n<1 nach n>1 ändert, ist diese Bild identisch mit der Aussage des klassischen Oszillators. Dieses Bild zeigt auch, dass die Dipolkraft nicht dissipativ ist. Eine wichtige Anwendung der Dipolkraft stellen die sogenannten Laserpinzetten dar. Mit diesen werden fast makroskopische Objekte (Zellen, Blutkörperchen) manipuliert. Die dabei auftretende Dissipation rührt von der Reibung des bewegten Objektes im Flüssigkeitsbad bzw der Luft her. Beobachtet wird dabei auch eine durch das Laserlicht induzierte Rotation des Objektes. Diese Rotation ist im obigen Bild von Ashkin durch die unterschiedlichen Kräfte auf die dem Laserfokus näheren bzw. weiter entfernt liegenden Teile des Objektes erklärbar.

20 Impuls des Photons Der Strahlungsdruck kann als Effekt der magnetischen Komponente einer elektromagnetischen Welle gedeutet werden [11]. Ein Lichtstrahl entlang der z-richtung wirkt auf eine Ladung q. Das elektrische Feld führt zu einer Oszillationsbewegung der Ladung entlang x mit der Geschwindigkeit v x. Im Magnetfeld der Welle wirkt auf die bewegte Ladung die Lorentz-Kraft F z = q v x B y. (2.17) Diese Kraft wirkt in Richtung der Lichtausbreitung. Wegen B = E /c ist der Mittelwert der Kraft F = q v E. (2.18) c Da qe die elektrische Kraft auf die Ladung q ist (Einheit: [N]) und Kraft mal Geschwindigkeit gleich ist der pro Zeiteinheit verrichteten Arbeit, dw/dt, also der Leistung [Nm/s = J/s = W ], gilt F = dw/dt c. (2.19) Deshalb ist die pro Sekunde aus der Lichtwelle absorbierte Energie gleich c mal der Kraft. Wegen dp/dt = F ist der Impuls, den das Lichtfeld abgibt, gleich der pro Zeiteinheit absorbierten Energie W dividiert durch c. Der Impuls, den eine vollständig absorbierte Lichtwelle der Leistung W [Js 1 ] überträgt, ist p = W c. (2.20) Mit der Definition der Leistung im Photonenbild (N ist die Anzahl der Photonen die pro Sekunde auf die Fläche A treffen, hω ist die Energie eines Photons ) W = I A = N hω (2.21) ergibt sich nach Gl. (2.20) für den Impuls eines Photons p = hω c = h2π λ = hk. (2.22) Nach Gl. (2.17) zeigt der Impuls in die Richtung von k da v x E. Für den Strahlungsdruck P gilt P = F A = w. (2.23) Der Strahlungsdruck auf einen vollständig absorbierenen Körper ist also gleich der Energiedichte w [W s/m 3 = J/m 3 = N/m 2 ] der einfallenden Strahlung.

21 Kapitel 3 Optische Melasse Die Konfiguration gegenläufiger Strahlen hat die Bezeichnung optische Melasse (optischer Sirup, optischer Honig, optical molasses). Die erste Realisierung geht auf Chu, Bjorklund, Ashkin, and Coble [12] zurück. Bei geeigneter Verstimmung der Laser tritt ein Reibungsterm in der Spontankraft auf. Wir untersuchen die auftretende Kraft, Reibung und Diffusion, zuerst an Hand eines klassischen Ratenmodells für das optische Pumpen. Natürliche Linienbreite eine Lorentz-Kurve gegeben Das Absorptionsprofil eines ruhenden Atoms ist durch Γ 2 L(ω) = L(ω 0 ) (3.1) 4(ω ω 0 ) 2 + Γ 2 wobei die Kreisfrequenz ω = 2πν ist und L(ω 0 ) die Amplitude des Profils bei der Zentralfrequenz, ω 0 angibt. Die volle Breite der Lorentz-Kurve bei halber Höhe (FWHM) ist ω = 2π ν = Γ Führt man als Verstimmung die Größe δ = ω ω 0 ein, und normiert das Kurvenmaximum auf Eins, so ergibt sich für die Lorentz-Kurve L(δ) = (2δ/Γ) 2. (3.2) Bestrahlt man eine mit Gasatomen der Dichte N [m 3 ] gefüllte Schicht der Dicke x mit der Strahlungsintensität I(ω), so erfolgt eine Schwächung gemäß I(x) = I(0)e α(ω)x, (3.3) 17

22 18 Optische Melasse wobei der Absorptionskoeffizient α die Dimension [m 1 ] hat. Der Schwächungskoeffizient leitet sich vom Wirkungsquerschnitt für die Absorption ab: σ(ω) = α(ω) N. (3.4) Für ruhende Atome ist die spektrale Verteilung von σ durch eben diese Lorentz- Kurve 1 σ(ω) = σ(ω 0 ) 1 + (2δ/Γ) 2, (3.5) gegeben, wobei für ein Zweiniveausystem näherungsweise gilt 1 σ(ω 0 ) 6πλ 2 = 24π 3 c 2 /ω 2 0. (3.6) Optisches Pumpen Wir betrachten die klassische Änderung der Besetzungsdichte des Zweiniveausystems durch optisches Pumpen. Die Pumprate (Dimension [s 1 ]) bezeichnen wir mit R = Bw(ω) = σ(ω)i(ω)/ hω, wobei B der Einstein B-Koeffizient ist. Die Besetzungsdichte im Grundzustand ist N 1, die Dichte im angeregten Zustand ist N 2. Die Dichte der Atome ist N = N 1 + N 2. Damit ist die zeitliche Änderung der Dichten gleich dn 1 dt = dn 2 dt = RN 1 + RN 2 + ΓN 2. (3.7) Im stationären Fall haben wir dn 1 /dt = 0 0 = RN 1 N 2 (Γ + R). Mit der Beziehung N 1 + N 2 = N wird N 1 = N Γ + R Γ + 2R = N 1 + R/Γ 1 + 2R/Γ (3.8) Die Differenz in der Besetzungsdichte ergibt sich als N 1 N 2 = N 1 + 2R/Γ = N 1 + S. (3.9) 1 Wir verwenden oft als Beispiel den Übergang der Natrium D-Linie ( 2 P 1/2 2 S 1/2 ). Die natürliche Lebensdauer des 2 P 1/2 -Zustandes ist τ = 16ns, das entspricht einer Zerfallsrate von Γ = 1/τ = s 1 und einer Linienbreite ν = Γ/2π = 10MHz. Mit der Wellenlänge des Überganges λ = 584 nm ergibt sich für σ(ω 0 ) = cm 2.

23 Optische Melasse 19 N N 1 N S 2 R S 2 R Folgende Grenzfälle gibt es R = 0 : In diesem Fall ist N 1 = N, alle Atome sind im Grundzustand. R >> Γ : In diesem Fall ist N 1 = N/2. R = Γ/2 : In diesem Fall ist N 2 = N/4 und N 1 = 3N/4. Der Sättigungsparameter S ist definiert als das Verhältnis der Pumprate zur halben spontanen Rate: S(ω) = 2R Γ = 2 I(ω) hω Γ σ(ω) = 2 I(ω) hω Γ σ(ω 1 0) 1 + (2δ/Γ) 2 = I(ω) 1 I (2δ/Γ) 2, (3.10) wobei wir ω ω 0 vorausgesetzt haben. Im letzten Ausdruck auf der rechten Seite verwenden wir die Sättigungsintensität I 0 = hω 0 Γ 2σ(ω 0 ) (3.11) Bei I 0 ist die Pumprate (bei δ = 0) gerade ein Viertel der spontanen Zerfallsrate. 2 Sättigung des Absorptionskoeffizienten Im Falle hoher Intensität verändert die Sättigung auch den Absorptionskoeffizienten, da sich nicht mehr alle Atome im Grundzustand befinden (wir leiten dies auch im Dichtematrix Modell her, siehe Anhang A): N α(ω) = σ(ω)n eff = σ(ω)(n 1 N 2 ) = σ(ω) 1 + S. (3.12) 2 Die Sättigungsintensität ist gleich 1.6 mw/cm 2 für Rubidium und 3? mw/cm 2 für Natrium.

24 20 Optische Melasse Damit wird der Absorptionskoeffizient α(ω) = σ(ω 0 ) 1 + (2δ/Γ) 2 N 1 + S = N σ(ω 0 ) 1 + I/I 0 + (2δ/Γ) 2 = σ eff (δ, I) N, wobei wir für S den Ausdruck aus Gl. (3.10) eingeführt haben. Die spektrale Verteilung des Absorptionskoeffizienten ist wiederum ein Lorentz- Profil, aber mit einer größeren Breite. Unter Berücksichtigung der Sättigung bei hoher Intensität ist die Streurate für spontane Photonen (die effektive Pumprate, die zur spontanen Emission führt) für ein einzelnes Atom (N = 1) Α I I scatt I I I Γ scatt = σ eff hω = σ Γ eff I/I 0 2σ(ω 0 ) = Γ 2 I/I I/I 0 + (2δ/Γ) 2. (3.13) Die Streurate erreicht im Grenzfall hoher Intensität und kleiner Verstimmung den Wert Γ/4. Dieser Ausdruck ergibt sich auch aus der Beschreibungung des Zweiniveausystems über die Dichtematrix (siehe Anhang A). Unter Berücksichtigung der spontanen Emission mit der Rate Γ ergibt sich für die Population im angeregten Zustand ρ ee = Ω 2 1 Γ 2 + 2Ω δ 2 (3.14) und damit für die Rate der Streuung von spontanen Photonen Γ scatt = Γ ρ ee = Γ 2 2Ω 2 1 Γ 2 + 2Ω δ 2 = Γ 2 2Ω 2 1/Γ Ω 2 1/Γ 2 + (2δ/Γ) 2 = Γ 2 I/I 0 (3.15) 1 + I/I 0 + (2δ/Γ) 2

25 Optische Melasse 21 wobei wir die Definition für I/I 0 aus Gl.2.16 verwendet haben. Mit diesem Ausdruck untersuchen wir im Folgenden den Strahlungsdruck, dem Atome in ebenen Lichtwellen (räumlich homogene Intensität) ausgesetzt sind. 3.1 Strahlungsdruck ebener Wellen Die mittlere Kraft, die ein unbewegtes Zweiniveausystem erfährt, das von einer ebenen Welle bestrahlt wird, ergibt sich als Produkt des Impulsübertrags h k, der bei jeder Absorption stattfindet, mal der Streurate spontaner Photonen F = h k Γ scatt = h k Γ 2 I/I I/I 0 + (2δ/Γ) 2. (3.16) Bewegt sich das atomare System mit der Geschwindigkeit v, dann ist die Doppler- Verschiebung durch die Verstimmung δ eff = δ k v = ω L ω 0 k v zu berücksichtigen: F ( v) = h k Γ I/I 0 [ I/I 0 + 2(δ ] 2. (3.17) k v)/γ Für kleine Intensitäten (I I 0 ) ist dieser Ausdruck F ( v) h k Γ 2 I/I 0 [ 1 + 2(δ ] 2. (3.18) k v)/γ 3.2 Reibung in optischer Melasse Im Folgenden betrachten wir zwei gegenläufige Strahlen gleicher Frequenz. Wenn die Intensität in jedem Strahl klein ist, also I/I 0 1, dann ist die totale Kraft auf das Atom gleich der Summe beider Strahlungsdrucke. Wir gehen auch davon aus, dass sich die Intensität im Lichtstrahl nicht räumlich ändert, beziehungsweise dass diese Kraft über die Ausdehnung einer Wellenlänge gemittelt ist. In einer Dimension erhalten wir für die Kraft auf ein Atom aus zwei antiparallelen Laserstrahlen in der Näherung kleiner Intensität, Gl.(3.18): F (v) = hk Γ 2 I/I [2(δ kv)/γ] 2 hk Γ I/I [2(δ + kv)/γ] 2. (3.19) F (v) hängt in der Umgebung von v = 0 ist über einen kleinen Bereich v Γ/k linear von v ab. Die Steigung von F (v) bei v = 0 ist maximal, wenn 2 δ /Γ =

26 22 Optische Melasse 1/ 3. Für δ < 0 (rotverstimmt) ist die Kraft der atomaren Bewegung entgegengesetzt. Die Beispiele zeigen den Fall für 2δ/Γ = 2 und Π 10 MHz 2Π 10 MHz 0.5 2Π 10 MHz k 10 7 m Π 5 MHz k 10 7 m 1 F 0.0 F v m s v m s Für kleine Geschwindigkeiten läßt sich (3.19) über die Reihenentwicklung [2(δ kv)/γ] [2(δ + kv)/γ] 2 = 16kδv/Γ2 [1 + (2δ/Γ) 2 ] 2 + O(v3 ) vereinfachen zu F (v) 4 hk 2 2δ Γ v I/I 0 [ 1 + (2δ/Γ) 2 ] 2 = α v = γ M v (3.20) Der Reibungskoeffizient α = Mγ hat die Dimension [kg s 1 ], wobei M die Atommasse ist. Für δ < 0 ist α > 0 und die Kraft dämpft die atomare Geschwindigkeit mit der Rate γ = α M = v v. (3.21) Die charakteristische Zeit zur Dämpfung der atomaren Geschwindigkeit ist γ 1. Für einen gegebenen Wert von I/I 0 ist diese Zeit ein Minimum für 2δ/Γ = 1/ 3. (3.22) Mit dieser Verstimmung folgt eine externe Zeitskala ( ) ( ) 1 h I0 γ max E R I, (3.23) die uns angibt, nach welcher mittleren Zeit ein Photonenrückstoß erfolgt. Für das Natrium Beispiel ist diese Zeit bei I = I 0 gleich τ scatt = 130 ns.

27 Optische Melasse Diffusion in optischer Melasse Bisher haben wir nur die Kraft im zeitlichen Mittel betrachtet. L O L N In Wirklichkeit haben wir diskrete Überträge von Impuls, wenn das Atom Photonen absorbiert bzw. emittiert. Diskret bedeutet, dass die Kraft um einen Mittelwert herum fluktuiert. Diese Fluktuationen heizen die Atome auf und haben zwei Ursachen: Fluktuationen in der Zahl der pro Zeiteinheit absorbierten Photonen und Fluktuationen in der Richtung der spontan emittierten Photonen. Wir nehmen an, dass die Kraft im Mittel Null ist, aber eben Photonen absorbiert und emittiert werden. Im Bereich kleiner Intensitäten sind diese Prozesse willkürlich, und damit unterliegt das Atom im Impulsraum einem random walk mit der Schrittweite h k. Das mittlere Quadrat des Impulses erhöht sich mit der Zeit, also steigt die mittlere kinetische Energie der Atome. Der Einfachheit halber betrachten wir ein Zweiniveausystem in zwei entgegenlaufenden Wellen kleiner Intensität, entlang x. Spontane Emission sei nur entlang der x-achse erlaubt. Die spontan emittierten Photonen sind in ihrer Richtung unkorreliert, also induzieren diese Prozesse immer einen random walk mit der Schrittgröße hk. Für jeden spontanen Streuprozess erfolgen zwei Impulsschritte, einer in Folge der Absorption aus einer der Wellen und einer in Folge der spontanen Emission. Nach n spontanen Emissionen ist der Mittelwert p 2 x = 2n h 2 k 2 = 2Γ scatt t h 2 k 2 (3.24) wobei t die Zeit angibt, für die eine Streurate Γ scatt herrscht. Der Faktor Zwei stammt von den zwei Rückstoßvorgängen pro Streuprozess. Die zeitliche Änderung des mittleren Impulsquadrates ist d dt p2 x = 2Γ scatt h 2 k 2 (3.25) Die folgenden Bilder zeigen die Monte-Carlo Entwicklung des Wertes von p x und p 2 x, für 10 4 Atome nach 10 3 Absorptionszyklen (Annahme: hk = 1). p x atom number p x atom number

28 / 24 Optische Melasse Der Impuls-Diffusionskoeffizient ist als die Rate des zeitlichen Anstiegs von p 2 x definiert, und dieser hängt von der totalen Streurate aus den zwei Laserstrahlen, jeder mit der Intensität I, ab (I/I 0 sei klein): D spont = d I/I 0 dt p2 x = 2Γ 1 + (2δ/Γ) 2 h2 k 2 (3.26) wobei der Faktor 2 auf der rechten Seite von den beiden Strahlen herkommt. Jetzt setzen wir die Rate des Anstiegs der kinetischen Energie durch Diffusion gleich mit der Rate der Energieabnahme durch die Strahlungsreibung (Gl. 3.20). Die Reibungskraft ist F = αv. Die Kühlrate bestimmen wir aus der Energieabnahme pro Zeiteinheit. Ein Atom läuft pro Sekunde v Zentimeter gegen die Kraft F an. Also ist die Kühlrate gleich F v = α v 2. Im stationären Zustand haben wir: Ėheating = d dt p2 x /2M = Ėcooling = α v 2 (3.27) In diesem eindimensionalen Beispiel haben wir einen einzelnen Freiheitsgrad. Für die Bewegung definieren wir eine Temperatur T 1 2 M v2 = 1 2 k BT (3.28) Für diese Temperatur ergibt sich nach Einsetzen von (3.27), (3.26) und (3.20) k B T = hγ (2δ/Γ)2 2δ/Γ = hγ 4 Diese Temperatur wird bei kleinen Intensitäten minimal für δ = Γ/2, wobei [13] k B T = hγ 2 (1 + O(I/I 0) +...) ( Γ 2δ + δ ) 2Γ (3.29) die Doppler-Kühlungsgrenze ist. # (Diese Gleichung gilt auch für den 3-D-Fall). Die minimale Temperatur ergibt sich für Natrium als 240 µk ( v = 30 cm/s), für Cäsium A JK E / 125 µk (9 cm/s). Wir haben bisher die Strahlungskraft zweier unabhängiger Wellen als additiv angenommen. Für I/I 0 > 1 versagt dieses Modell, da es nicht berücksichtigt, dass aus einer Welle absorbiert und in die andere stimuliert werden kann. JA F A H= JK HA * 6 D #! "

29 Temperatur in optischer Melasse 25 = I I A I B= E C = J I = I I A I > A = I Das Bild zeigt die typische Anordnung einer 3-D Melasse. Nach Abschalten der Melassestrahlen fallen die gekühlten Atome auf Grund der Schwerkraft durch den Probestrahl und werden als Funktion der Zeit über Fluoreszenzstrahlung A JA? J H? A? JE F JE? I F H > A > A = Aus der zeitlichen Verbreiterung der Ankunftszeitverteilung der Melasse-Atome im Probestrahl kann auf ihre Temperatur geschlossen werden. Wenn eine externe Kraft auf das Atom in der Melasse einwirkt, dann kann das Atom eine Driftgeschwindigkeit erreichen, derart, dass die Reibung der externen Kraft das Gleichgewicht hält. v drift = F ext /α (3.30) Wenn die externe Kraft die Schwerkraft ist, F ext = αv = Mg erhalten wir v drift = g/γ. Für die optimalen Bedingungen (3.22) ergibt sich eine durch der Schwerkraft induzierte Drift von 0.4 mm/s für Natrium und 5 mm/s für Cäsium. Für eine Melasse, die etwa 1 cm gross ist, wäre das ein erheblicher Verlustprozess, der die Lebensdauer der Melasse auf Sekunden erniedrigt. Ähnliche Verluste würde man bei nicht präzise ausbalanzierten Laserintensitäten in den gegenläufigen Strahlen erwarten. Beobachtet wird hinbgegen, dass die Melasse relativ resistent gegen solche Abweichungen ist. JA F A H= JK HA # "!! A JK E C 0 Außerdem wurden in der Melasse erheblich niedrigere Temperaturen gefunden, als sie von (3.29) vorhergesagt werden. Die Punkte zeigen die beobachtete minimale Temperatur als Funktion der Laserverstimmung [13]. Die volle Kurve zeigt das in Gl. (3.29) vorhergesagte Ergebnis. Ein weiterer Unterschied zum Doppler-Bild ist, dass die niedrigste erreichbare Temperatur bei viel größeren Werten der Verstimmung erreicht wird als für den Doppler-Fall vorhergesagt wurde und dass die minimale Temperatur von der Stärke des Magnetfeldes und von der Laser Polarisation abhängt [14]. Ursachen dafür sind zusätzliche Kühlmechanismen (z.b. Sisyphus-Effekte, Polarisationsgradientenkühlung, siehe Kapitel 9 bis 11), die für realistische Systeme (mehr als 2 Niveaus!) in gegenläufigen Laserstrahlen auftreten.

30 26 Magneto-optische Falle

31 Kapitel 4 Magneto-optische Falle Die heute gängige Konfiguration für eine magneto-optische Falle (MOT) ist auf Vorschlag von Dalibard entstanden und wurde erstmals 1987 verwirklicht [15]. Das Funktionsprinzip kann am einfachsten im eindimensionalen Fall an einem optischen Übergang von F = 0 (Grundzustand) nach F = 1 (angeregter Zustand) verstanden werden. Entgegengepolte Spulen erzeugen ein Magnetfeld mit B = 0 im Fallenzentrum. Die m F Niveaus im angeregten Zustand F = 1 sind im Fallenzentrum entartet. Der Zeeman- Effekt führt zu einer Aufspaltung. Die Aufspaltung vergößert sich mit dem Abstand vom Fallenzentrum. In Natrium erzeugt ein Magnetfeldgradient von 10 G/cm eine Aufpaltung der magnetischen Unterzustände von 2π 14 MHz/cm. Für einen rot verstimmten Laser der Frequenz ω L wird ein Atom, das sich vom Zentrum wegbewegt, zum Zentrum zurückgetrieben, da der Zeeman-Effekt als Funktion des Ortes zu einer Verstimmung führt, die das Atom in Resonanz mit dem entgegenlaufenden zirkular polarisierten Laserstrahl bringt. Wir analysieren die Falle unter den Bedingungen I/I 0 1, kv Γ, µb/ h Γ, wobei µb/ h die Zeeman Verstimmung des oberen Zustandes ist. 27

32 28 Magneto-optische Falle * 1 4? "!! "! "! " "!! "? Wenn sich das Magnetfeld linear mit dem Abstand vom Zentrum ändert, ist die Frequenzverschiebung durch den Zeeman Effekt ω z = βz. Im Bereich kleiner Intensitäten setzen wir die Kraft auf die Atome gleich der Summe der Kräfte der einzelnen Strahlen: F (v) = F σ + + F σ = hkγ 2 { } I σ +/I [(δ kv βz)/γ] 2 I σ /I [(δ+kv +βz)/γ] 2 (4.1) 1 Β 1, 2, 5 mt cm 1 Β 1, 2, 5 mt cm Π 10 MHz 2Π 10 MHz v 0m s Π 10 MHz 2Π 10 MHz v 2m s F F z mm z mm Im Bild ist diese Kraft als Funktion des Abstandes von der Fallenmitte dargestellt. Die Kraft wird für v = 0 und v = 2 ms 1 in Einheiten 0.5 hkγi/i 0 berechnet. Im Grenzfall kleiner Geschwindigkeiten und kleiner Zeeman-Verschiebung gilt (wir setzen I σ + = I σ = I)

33 Magneto-optische Falle 29 F (v, z) = 8 hkδ Γ I/I 0 ( 1 + (2δ/Γ) 2 ) 2 (kv + βz) = αv + α βz (4.2) k Dieser Ausdruck ist identisch dem der optischen Molasse, nur dass kv durch kv + βz ersetzt wurde. Das inhomogene Magnetfeld führt zu einer ortsabhängigen Kraft mit einem Reibungsterm. Damit spüren die Atome, wo sich das Zentrum der Falle befindet. Gedämpfter harmonischer Oszillator Die Bewegung des Atoms unter dem Einfluss der Kraft (4.2) ist die eines gedämpften harmonischen Oszillators: z + γż + ω 2 trapz = 0 (4.3) wobei γ = α/m, siehe Gl.(3.20) γ = 8 hk2 δ MΓ I/I 0 ( 1 + (2δ/Γ) 2 ) 2 (4.4) und aus der Ortsabhängigkeit in Gleichung (4.2) ω 2 trap = 8 hkβδ MΓ I/I 0 ( 1 + (2δ/Γ) 2 ) 2. (4.5) Der Charakter der Bewegung in der Falle wird durch das Verhältnis γ 2 4ω 2 trap = hk3 2δ I/I 0 [ βmγ 1 + (2δ/Γ) 2 ] 2 (4.6) beschrieben. Wenn dieses Verhältnis grösser Eins ist, dann ist die Bewegung überdämpft. Wenn wir 2δ/Γ = 1 und I/I 0 = 1 setzen, dann wird γ 2 4ω 2 trap = πe R λβ h (4.7) Dieses Verhältnis ist gleich dem Verhältnis der Rückstoß-Energie zur Änderung der Zeeman-Energie über eine optische Wellenlänge. Ein typischer experimenteller Wert für β = 1mT/cm (14 MHz/cm). Das führt zu einem Verhältnis von Gl.(4.7) von 25 für Na und 2.5 für Cs. Mit diesen Parametern ist die Oszillationsfrequenz in der Falle ω 2 trap = βv R. Das entspricht einer Winkelfrequenz von s 1, also etwa 1 khz für Na. In einem Abstand von 0.5 cm vom Zentrum (B = 0) ist bei diesen Parametern die Tiefe der Falle 2 K. Mit der Fallentiefe

34 30 Magneto-optische Falle haben wir hier die statische Tiefe bezeichnet. Da ein Atom, das sich in die Falle hineinbewegt, gleichzeitig Dopplerkühlung erfährt, ist die effektive Tiefe grösser. Experimentell funktioniert die MOT auch gut in 3-D. Die in der MOT erreichbaren Temperaturen liegen höher als im Fall der optischen Molasse. Aus diesem Grund wird häufig zuerst eine MOT geladen und dann nach Ausschalten des Magnetfeldes eine Melassephase verwendet. Grenzen Eine Grenze in der maximal erreichbaren Dichte in der MOT ergibt sich durch Strahlungseinschluß[16]. Licht, das von Atomen im Zentrum gestreut wird, stösst Atome im äußeren Bereich ab (erhöhte Dichte erreicht man durch Verdunkelung des Fallenzentrums (dark spot MOT [17]). Ebenso führen Stösse von angeregten Atomen mit Grundzustandsatomen zu einer Beschleunigung, die nach Photoemission zum Verlassen des Fallenbereiches führen können.? E C.!..! HA F K F A H. Damit ein Fallenbetrieb möglich ist, muss man verhindern, dass durch nichtresonantes Pumpen auf dem F = 2 F = 2 Übergang (dieser ist nur wenige 100 MHz vom Kühllaser verstimmt) der Grundzustand F = 1 besetzt wird. Dazu wird ein Rückpumplaser verwendet, der die Population von F =1 entleert. Anwendungen Die MOT ist die heute weitest verbreitete Atomfalle. Man hat damit Atome eingefangen, die zuerst mit Zeemann-Kühlung abgebremst wurden. Man hat metastabile Atome seltener Isotope eingefangen [18]. Man kann damit direkt die langsamen Atome aus einer Boltzmann Verteilung bei Zimmertemperatur einfangen [19]. Man kann die Dichte so hoch machen, dass Stösse und der Strahlungsdruck durch die Fluoreszenz der Atome [16] begrenzende Faktoren für die erreichbaren Dichten sind. In 2-D hat man eine MOT verwendet um einen atomaren Trichter zu erzeugen. Mit diesem kann man Na Atome auf longitudinale Geschwindigkeiten von nahezu Null anreichern [20], bzw einen Atomstrahl bei 50 m/s longitudinaler Geschwindigkeit [21]. Eine MOT mit einem Dunkelbereich in einem Arm, wurde als Quelle für langsame Atome entwickelt [22]. Vapor-cell MOT Monroe zeigte erstmals, dass man Atome direkt aus der Maxwell-Verteilung bei Zimmertemperatur in das gedämpfte harmonische Potential der MOT einfangen kann.[19] (10 7 Cs-Atome in eine Wolke von 1 mm 3 ) Die erreichbare Dichte ergibt sich aus der Balance: Einfangrate = Verlustrate.