Übungsaufgaben zur Mikroökonomie IIa

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1 Übungsaufgaben zur Mikroökonomie IIa 1) Produktionsgleichgewicht (a) Erläutern Sie die Bedingungen für eine effiziente Allokation in einer Produktionsökonomie mit zwei Konsumenten, zwei Gütern und zwei Produktionsfaktoren und stellen Sie diese in geeigneten Grafiken dar. (b) Warum ermöglicht eine Marktlösung bei vollkommenem Wettbewerb auf Güter- und Faktormärkten eine effiziente Allokation? (c) Leiten Sie Walras Gesetz für diese Ökonomie her. Welche Konsequenz ergibt sich daraus für die Bestimmung des allgemeinen Gleichgewichts? 2) Effiziente Produktion In einer Ökonomie werden die Güter x und y mit den Technologien 0,25 0,25 = ( x x) = ( x x ) bzw. ( ) x F K,L 2 K L y y y y y = G K,L = 16K + L produziert. Die Gesamtfaktormengen belaufen sich auf K = 10 bzw. L = 40. (a) Welche Skalenerträge liegen jeweils vor? (b) Bestimmen Sie die Kostenfunktion des Sektors x zu den Faktorpreisen pl = 4 und pk = 64. (c) Bestimmen Sie die Transformationskurve der Ökonomie und stellen Sie diese grafisch dar. (d) Berechnen Sie die Grenzrate der Transformation (MRT). Welche ökonomische Bedeutung hat die MRT? 3) Effiziente Produktion und Produktionsgleichgewicht In einer Ökonomie werden zwei Güter x und y mit den Technologien 0,5 0,5 0,5 0,5 = ( x x) = ( x + x ) bzw. y G( K y,ly) Ky Ly x F K,L 2 K L = = + produziert. Die Gesamtfaktormengen belaufen sich auf K = 4 bzw. L = 16. (a) Durch welche Bedingung ist eine effiziente Faktorallokation auf die beiden Sektoren gekennzeichnet? Leiten Sie diese Bedingung aus einem geeigneten Optimierungskalkül ab. (b) Ermitteln Sie mit Ihren Ergebnissen aus a) die Transformationskurve der Ökonomie und stellen Sie diese in einer Grafik dar. (c) Welche Bedeutung hat die Grenzrate der Transformation (MRT)? Bestimmen Sie die MRT im vorliegenden Fall. 0,5 0,5 (d) Ein repräsentativer Haushalt mit der Nutzenfunktion u( x,y) = x y verfüge über die Faktorausstattung und die Produktionstechnologien der Ökonomie. Formulieren und lösen Sie das Nutzenmaximierungsproblem des Konsumenten. Interpretieren Sie insbesondere die Bedingungen erster Ordnung und zeichnen Sie die Lösung in Ihre Grafik ein. Aufgaben zur Mikroökonomie IIa Seite 1

2 4) Konsum und Sparen Angenommen die Ausstattungen (die realen Einkommen) seien e1 = 205 und e2 = 0. Überdies sei der reale Zinssatz gleich 5 %, i.e. r = 0,05. Schließlich sei die intertemporale Nutzenfunktion gleich u( c γ 1 γ 1,c2) = c1 + c2. In der zukünftigen Periode wird nicht gespart. 1 + r (a) Erstellen Sie die intertemporale Budgetrestriktion. (b) Ermitteln Sie den optimalen gegenwärtigen sowie zukünftigen Konsum und die optimalen realen Ersparnisse. (c) Wie sieht der Lagrange-Multiplikator aus? Was besagt der Lagrange-Multiplikator? 5) Konsum, Sparen und Investition Die gegenwärtige Ausstattung (das gegenwärtige reale Einkommen) sei e 1 und die zukünftige Ausstattung (das zukünftige reale Einkommen) sei 0. In der Zukunft wird nicht gespart (investiert). Überdies sei die Produktionsfunktion y2 = i α 1 und die intertemporale Nutzenfunktion γ 1 γ sei u( c 1,c2) = c1 + c2 mit ρ > ρ (a) Ermitteln Sie die Transformationskurve zwischen gegenwärtigem und zukünftigem Konsum sowie deren Anstieg und dessen Veränderung. (b) Ermitteln Sie die Bedingungen erster Ordnung, die den Tangentialpunkt der Transformationskurve und der nutzenmaximalen Indifferenzkurve determinieren. (Eine explizite Berechnung des gegenwärtigen und zukünftigen Konsums bzw. der Investition ist nicht erforderlich.) (c) Erläutern Sie die ökonomische Bedeutung des Lagrange-Multiplikators, der mit der Transformationskurve korrespondiert. (d) Wie muss ein Zinssatz aussehen, der diesem intertemporalen Gleichgewicht entspricht? 6) Diskontierter Gegenwartswert I Bestimmen Sie den diskontierten Gegenwartswert eines ewigen Rentenpapiers mit einer jährlichen Auszahlung von 500 p.a., wenn der Zinssatz bei 10 % liegt. 7) CAPM-Formel (a) Erläutern Sie die CAPM-Formel! (b) Bestimmen Sie den risikoadjustierten Diskontsatz für die Aktie X, wenn die Markrendite 6 % und der risikolose Zinssatz 2 % betragen. Zudem wird beobachtet, dass ein Anstieg des Aktienmarktes um 1 % zu einem Rückgang des Kurses der Aktie X um 0,5 % führt. Aufgaben zur Mikroökonomie IIa Seite 2

3 8) Erschöpfbare Ressourcen Erläutern Sie die Preisbildung erschöpfbarer Ressourcen unter Wettbewerbsbedingungen sowie im Monopolfall. 9) Externalitäten I Ein Raucher ( R ) und ein Nichtraucher ( NR ) befinden sich in einem Raum. Sie verhandeln über den Rauch von 8 Packungen Zigaretten. Beide verfügen über eine Geldaustattung von je 12. Die Präferenzen der beiden über Geld x und Rauch y sind gegeben durch ( ) = bzw. u ( x,y) x ( 8 y) u x,y x y R R R NR NR NR =. (a) Welche Externalität liegt hier vor? (b) Bestimmen Sie die Kontraktkurve und stellen Sie diese grafisch dar. (c) Welches Preisverhältnis stellt sich bei einer Pareto-effizienten Verhandlungslösung ein? (d) Ermitteln Sie die Verhandlungslösung in der Grafik von Teil b), wenn i) der Raucher das Recht hat zu Rauchen ii) der Nichtraucher das Recht hat, dass nicht geraucht wird. Zeichnen Sie für die Situationen i) und ii) jeweils den Kern in Ihre Grafik ein. 10) Externalitäten II Mieter U und Vermieter V wohnen unter einem Dach. Mieter U hört gerne laute Musik, was allerdings den Vermieter V stört. Bei der nächsten Mieterhöhung ist dieses Thema Gegenstand der Verhandlungen. Die Mieterhöhung M beträgt maximal 30. Das Hören von Musik ist aufgrund allgemeiner Bestimmungen maximal 15h am Tag erlaubt. Die Präferenzen von U bzw. V lauten: u( M,L) = 30 M L bzw. ( ) v M,L = M 15 L (a) Welche Form von Externalität liegt hier vor? (b) Bestimmen Sie die Kontraktkurve für die gegebene Situation und stellen Sie diese in einer geeigneten Grafik dar. (c) Welches Preisverhältnis wird sich in einer Pareto-effizienten Verhandlungslösung einstellen? (d) Auf welche Mieterhöhung M und Zeit für das Hören von Musik L einigen sich U und V, wenn laut Mietvertrag i) der Mieter ein Recht auf mindestens 7h Musik hat? ii) der Mieter kein Recht auf Musik hat? Zeichnen Sie Ihre Ergebnisse in die Grafik aus Teil (b) ein. Ist die Verhandlungslösung unabhängig von der Ausgestaltung der Rechte im Mietvertrag? 11) Externalitäten III Ein Fischer und ein Textilunternehmen nutzen gemeinsam einen Fluss zur Produktion der Güter Fisch x und Textilien y. Die Verschmutzung s des Flusses durch das Textilunternehmen beeinflusst die Kostensituation beider Unternehmen. Aufgaben zur Mikroökonomie IIa Seite 3

4 Textilunternehmen: c( y,s) = y s + 0,5s Fischer: k( x,s) = x + s+ 0,5s (a) Bestimmen Sie die für das Textilunternehmen gewinnmaximale sowie die Paretoeffiziente Verschmutzung und stellen Sie beide Verschmutzungsniveaus in einer geeigneten Grafik dar. (b) Welche Ersparnis an Gesamtkosten liefert die effiziente Lösung? Mit welchem Betrag müsste der Fischer das Textilunternehmen bei einer effizienten Lösung entschädigen, wenn dieses das Recht auf unbeschränkte Verschmutzung des Flusswassers hätte? 12) Externalitäten IV Ein Fischer und ein Textilunternehmen nutzen gemeinsam einen Fluss zur Produktion der Güter Fisch x und Textilien y. Die Verschmutzung s des Flusses durch das Textilunternehmen beeinflusst die Kostensituation beider Unternehmen. 2 2 Textilunternehmen: c( y,s) = y s + 0,25s 2 2 Fischer: k( x,s) = x + 2s+ 0,25s (a) Bestimmen Sie das Verschmutzungsniveau, welches das Textilunternehmen bei der Maximierung des eigenen Gewinns wählen würde sowie das Pareto-effiziente Verschmutzungsniveau. Stellen Sie beide Verschmutzungsniveaus in einer geeigneten Grafik dar. (b) Welche Ersparnis an Gesamtkosten ist mit der Pareto-effizienten Lösung gegenüber der individuell optimalen Lösung des Textilunternehmens verbunden? Erläutern Sie diese Ersparnis anhand der Grafik von Teil (a). (c) Angenommen, der Fischer besitzt das Recht auf sauberes Wasser. Mit welchem Betrag müsste das Textilunternehmen den Fischer entschädigen, um eine Pareto-effiziente Verschmutzung zu erreichen? 13) Externalitäten V Bei Emissionen kann der Staat als Regulierer alternativ Grenzwerte oder Verschmutzungsgebühren festsetzen. (a) Nehmen Sie zu den Vorteilen und Nachteilen der beiden Instrumente zum Umweltschutz Stellung! (b) Erläutern Sie, ob und ggf. wie Emissionszertifikate die Vorteile von Grenzwerten und Gebühren kombinieren und somit die effizienteste Methode zur Emissionskontrolle darstellen! 14) Adverse Selektion I Skizzieren Sie die Problematik eines Versicherungsvertrags unter asymmetrischen Informationen über das Verhalten des Versicherungsnehmers. (a) Erläutern Sie einen einfachen anreizkompatiblen Vertrag anhand eines einfachen binomialen Modells, in welchen die Schadenswahrscheinlichkeit von der Sorgfalt des Versicherungsnehmers abhängt. (Unterstellen Sie der Einfachheit halber, dass der Versicherungsnehmer nur zwischen großer bzw. kleiner Sorgfalt entscheiden kann, Aufgaben zur Mikroökonomie IIa Seite 4

5 und die Leistung des Versicherungsgebers nur den Schaden deckt, sodass der Versicherungsnehmer keinen Nutzen aus dem Schadenfall ziehen kann.) (b) Wie müsste sich der Malus verändern, damit der Versicherungsnehmer einen Gewinn aus der Schadenregulierung ziehen kann? 15) Adverse Selektion II Es gebe zwei Klassen von potentiellen Versicherungsnehmern im Markt für Autoversicherungen, Raser mit hohem Risiko und Langsamfahrer mit geringem Risiko eines Fahrzeugschadens. Es ist bekannt, dass 50 % der Fahrer Raser sind. Der Versicherungsfall trete beim Langsamfahrer mit einer Wahrscheinlichkeit von 10 % ein, wohingegen der Raser mit 90 % Wahrscheinlichkeit einen Unfall baut. Die Versicherungssumme belaufe sich im Falle eines Schadens auf Die Nutzenfunktion aller Fahrer sei mit U( x) = x gegeben. Dabei ist x das Vermögen des Fahrers, dass ohne Unfall bei liegt. Bei einem Unfall ohne Versicherung reduziert sich das Vermögen auf Alle Fahrer stehen vor der Wahl, eine Versicherung abzuschließen oder nicht. (a) Bestimmen Sie den Erwartungsnutzen beider Fahrerklassen ohne Abschluss einer Versicherung. Würden die Fahrer bei einer Versicherungsprämie von die Versicherung abschließen? (b) Bei welcher Versicherungssumme wären die Langsamfahrer gerade noch bereit, eine Versicherungspolice zu erwerben? (c) Welche Versicherungsprämie wird das Versicherungsunternehmen verlangen, wenn eine Versicherungspflicht bestünde? Wird der Versicherungsmarkt ohne Versicherungspflicht funktionieren? 16) Adverse Selektion III Es gebe Gebrauchtwagen der Qualitätsklassen 2 bis 10. Die Gebrauchtwagen sind dabei gleich auf die einzelnen Qualitätsklassen verteilt. Die Qualitätsklasse wird durch q symbolisiert. Ein Gebrauchtwageneigentümer ist zu einem Verkauf bereit, wenn der Preis p mindestens q entspricht. Die Nutzenfunktion eines potentiellen Käufers ist dagegen durch U ( p,q) = 2.500q p gegeben. (a) Entstehen bei Informationseffizienz Tauschgewinne? Werden alle Gebrauchtwagen gehandelt? (b) Nehmen Sie an, die Käufer können die Qualitätsklasse nicht beobachten, jedoch kennen sie die Verteilung der einzelnen Qualitätsklassen. Die Gebrauchtwageneigentümer können die Qualitätsklassen ihrer Wagen naturgemäß beobachten. Bei welchem Preis würden alle Gebrauchtwageneigentümer verkaufen? Würde sich bei diesem Preis ein Marktgleichgewicht einstellen? (c) Welche Gleichgewichtspreise sind auf dem Gebrauchtwagenmarkt möglich? Welche Fahrzeugklassen werden auf dem Gebrauchtwagenmarkt definitiv nicht gehandelt werden? 17) Signalling I Für Arbeitgeber soll es nicht möglich sein, Arbeitnehmer bei den Lohnverhandlungen nach ihrer Produktivität zu unterscheiden. Es gebe hochproduktive (25 %, H ) und weniger produktive (75 %, L ) Arbeitnehmer. Grundsätzlich wäre für wenig produktive Arbeitnehmer ein Lohn von angezeigt, wohingegen hochproduktive Arbeitnehmer mit entlohnt werden müssten. Aufgaben zur Mikroökonomie IIa Seite 5

6 Durch Ausbildung können Arbeitnehmer ihre Produktivität signalisieren. Da es hochproduktiven Arbeitnehmern leichter fällt, Ausbildungszeit zu erwerben, als wenig produktiven Arbeitnehmern, sollen folgende Nutzenfunktionen charakteristisch sein, wenn Ausbildung erworben wird. Dabei sei x die Dauer der Ausbildung in Jahren: H U ( x) = x L U x = x ( ) (a) Welcher Lohn ergibt sich ohne Signalaktivitäten? Welche Gruppe von Arbeitnehmern profitiert? Warum ist dieses Poolgleichgewicht instabil? (b) Es soll zu Signalaktivitäten kommen. Bei welchen Ausbildungszeiten kommt es zu einem separierenden Gleichgewicht? Welche Ausbildungszeit ist optimal? L (c) Wie verändert sich Ihre Antwort zu Teilaufgabe b, wenn U ( x) = x gilt. Warum steigt die optimale Ausbildungszeit? 18) Signalling II Gehen Sie davon aus, dass sich Hochschulabsolventen entsprechend ihrer Produktivität in drei Klassen einteilen lassen. Eine höhere beobachtbare oder signalisierte Produktivität führt zu einem höheren Lohn. (a) Beschreiben Sie das Poolgleichgewicht bei Informationsasymmetrie. Warum ist das Poolgleichgewicht instabil? (b) Beschreiben Sie ein geeignetes Signal zur Signalisierung der Produktivität bei Informationsasymmetrie und wie es zu einem Gleichgewicht mit signalabhängigen Entlohnungsprofilen kommen kann. Warum handelt es sich dabei um keine First-best- Lösung? 19) Prinzipal-Agenten-Problematik I (a) Beschreiben Sie einen Anreiz kompatiblen Kontrakt in einem statischen Prinzipal- Agenten-Problem bei vollkommener Information. (b) Wie ändert sich der Kontrakt, wenn die Leistung des Agenten nicht mehr vom Prinzipal beobachtet werden kann? 20) Prinzipal-Agenten-Problematik II Die Gewinne in der Mikrochipindustrie sind sehr zyklisch. Nehmen Sie zu folgenden Entlohnungsschemen für das Top-Management eines Unternehmens dieser Branche vor dem Hintergrund der Prinzipal-Agenten-Problematik Stellung: (a) Pauschalgehalt (b) Gewinn-/Verlustbeteiligung (c) Pauschalgehalt und Bonus in Abhängigkeit des Unternehmenserfolgs 21) Gemeineigentum (a) Erläutern Sie das Problem der Allmende anhand eines Fischgrundes! (b) Wie könnte dieses Problem gelöst werden? Aufgaben zur Mikroökonomie IIa Seite 6

7 22) Öffentliche Güter (a) Erläutern Sie das ökonomische Problem eines optimalen Angebots an öffentlichen Gütern. (b) Erläutern Sie die Bedingung erster Ordnung für das optimale Angebot öffentlicher Güter. (c) Erläutern Sie das Problem des Angebots öffentlicher Güter anhand eines Beispiels. Aufgaben zur Mikroökonomie IIa Seite 7