15 Verteilungsfunktionen

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1 15 Verteilungsfunktionen _D := n = Length@datenD; Length@Select@daten, &DDên êê ND In den Kapiteln 13 und 14 haben wir gesehen, dass eine diskrete bw stetige Verteilung durch ihre Verteilungsdichte vollständig bestimmt ist. Eine andere, ebenso effiiente Methode, eine Verteilung anugeben, besteht in der Angabe ihrer Verteilungsfunktion. Eine Unterscheidung in diskrete bw stetige Verteilungen ist dabei nicht notwendig. Außerdem lassen sich mit Verteilungsfunktionen auch gemischte Verteilungen beschreiben Der Begriff Verteilungsfunktion Ohne auf den Beweis näher eingehen u können, erwähnen wir den für Verteilungen entralen Sat Sat: Ist eine Verteilung, also ein W-Maß auf, so gilt für alle Mengen ai, b i DD BŒ D ai, b i D< i=1 i=1 wobei das Infimum über alle möglichen Überdeckungen der Menge B durch abählbar viele Intervalle der Form D a i, b i D u bilden ist. Die Verteilung ist somit durch Angabe der a, bdd von Intervallen der Form D a, bd bereits vollständig bestimmt. Nun lässt sich die a, bdd des Intervalls D a, bd aber a, add durch die Wahrscheinlichkeiten der beiden Intervalle D-, bd und D-, ad ausdrücken. Die Verteilung ist daher bereits durch Angabe der DD von Intervallen der Form D-, D vollständig bestimmt. Wir nehmen diesen Sat um Anlass und definieren Definition: Unter der Verteilungsfunktion (im Englischen Cumulative Distribution Function oder kur CDF genannt) einer Verteilung versteht man die Abbildung : Ø@0, DD Wegen Sat ist die Verteilung durch ihre Verteilungsfunktion vollständig bestimmt. Wir haben nicht vorausgesett, dass die Verteilung diskret bw stetig sein muss. Der Begriff der Verteilungsfunktion macht nämlich auch dann Sinn, wenn die Verteilung weder diskret noch stetig ist. Für praktische Anwendungen ist dies insbesondere dann von Interesse, wenn es sich bei der Verteilung um eine Verteilung mit diskreten und stetigen Anteilen (man spricht dabei von einer gemischten Verteilung) handelt Bemerkung: a) Ist eine diskrete Verteilung mit Träger und Verteilungsdichte, so gilt für @xd xœ xœ x x

2 60 15_Verteilungsfunktionen.nb Die Verteilungsfunktion einer diskreten Verteilung ist damit eine Stufenfunktion mit den Sprungstellen œ und den b) Ist eine stetige Verteilung mit der Verteilungsdichte, so gilt für alle œ DD=Ÿ x+ - xdd=ÿ x Die Verteilungsfunktion einer stetigen Verteilung ist damit eine stetige und stückweise differenierbare Funktion mit der Ableitung. Wir veranschaulichen diese Tatsache graphisch: Die folgende Zeichnung eigt die Verteilungsdichte (oben) sowie die ugehörige Verteilungsfunktion (unten) einer diskreten bw einer stetigen Verteilung. Bei einer diskreten Verteilung entspricht die Summe der roten Balken der oberen Zeichnung dem roten Balken der unteren Zeichnung; bei einer stetigen Verteilung entspricht die rot eingeeichnete Fläche der oberen Zeichnung dem roten Balken der Bemerkung: Ist die Verteilungsfunktion einer Verteilung, so gilt a) ist monoton nicht abnehmend, d.h. für alle x, yœ mit x< b) ist rechtsseitig stetig, d.h. für alle œ gilt c) ist normiert, d.h. lim und lim Beweis: a) Für alle x, yœ mit x< y gilt wegen b) Für alle œ gilt wegen a) und der Stetigkeit von xdd= + 1 x x nø n 1 D-, + n=1 n c) Ebenfalls wegen a) und der Stetigkeit von Wahrscheinlichkeitsmaßen gilt DD= D-, Ø- Ø- nø n=1

3 15_Verteilungsfunktionen.nb 61 DD= D-, D=1 Ø Ø nø n=1 Diese drei Eigenschaften sind charakteristisch in dem Sinn, dass jede Funktion : Ø@0, 1D mit diesen Eigenschaften als Verteilungsfunktion einer Verteilung aufgefasst werden kann. Man nennt diese drei Eigenschaften daher die charakteristischen Eigenschaften einer Verteilungsfunktion. Für das Rechnen mit Verteilungen ist die folgende Bemerkung von Bedeutung (wir verwenden dabei die - D=lim für den linksseitigen Grenwert der Funktion an der Stelle ): Bemerkung: Sei eine Verteilung mit der Verteilungsfunktion. a) Für alle @c - D Die der einelementigen Menge 8c< ist somit gleich der Sprunghöhe der Verteilungsfunktion an der Stelle c. Ist die Verteilungsfunktion der Verteilung stetig, so besiten alle einelementigen Mengen (und damit auch alle Mengen mit abählbar vielen Elementen) die Wahrscheinlichkeit 0. b) Für alle a, bœ mit a<b a, -

4 62 15_Verteilungsfunktionen.nb 15.2 Verteilungsfunktionen in Mathematica Mit dem folgenden Befehl lassen sich die Verteilungsfunktionen von in Mathematica implementierten Verteilungen (numerisch und formelmäßig) auswerten: à D wertet die Verteilungsfunktion der Verteilung distribution an der Stelle (sowohl numerisch als auch formelmäßig) aus. Die Verteilungsfunktionen sowohl von diskreten als auch von stetigen Verteilungen lassen sich mit dem Befehl Plot eichnen. Einige dieser Verteilungsfunktionen verwenden dabei die regularisierte Gamma-Funktion, die regularisierte Beta- Funktion sowie die Gauß'sche Fehlerfunktion (diese Funktionen werden in Mathematica mit den Befehlen GammaRegularied bw BetaRegularied bw Erf aufgerufen) ur geschlossenen Darstellung von Summen und Integralen. Ohne auf ihre Eigenschaften im Detail einugehen, definieren wir: Definition: a) Unter der regularisierten Gamma-Funktion versteht man die Abbildung G r @Ø mit G x, yd= 1 G@aD Ÿ y t a-1 -t t x b) Unter der regularisierten Beta-Funktion versteht man die Abbildung 1 B r :@0, 1Dµ@0, 1DµD mit B y, a, bd= B@a, bd Ÿ y t a-1 H1- tl b-1 t x c) Unter der Gauß'schen Fehlerfunktion versteht man die Abbildung Erf : Ø mit Erf@D= 2 p Ÿ -t 2 t 0 Man verwendet oft die Abkürungen G D=1-G 0, D und B a, bd=b a, bd. Wir wollen nun die Verteilungsfunktionen der wichtigsten in Mathematica implementierten Verteilungen analysieren. Unser Ziel besteht dabei wieder darin, diese Verteilungsfunktionen formelmäßig expliit anugeben und mit Hilfe von Plot und Manipulate auf dynamische Weise graphisch darustellen Beispiel: Man ermittle die Verteilungsfunktion der diskreten n<d mit den Parametern m<nœ und eichne diese Verteilungsfunktion Beispiel: Man ermittle die Verteilungsfunktion der pd mit den Parametern nœ und 0 p 1 und eichne diese Verteilungsfunktion Beispiel: Man ermittle die Verteilungsfunktion der negativen pd mit den Parametern nœ und 0 p 1 und eichne diese Verteilungsfunktion.

5 15_Verteilungsfunktionen.nb Beispiel: Man ermittle die Verteilungsfunktion der mit dem Parameter l>0 und eichne diese Verteilungsfunktion Beispiel: Man ermittle die Verteilungsfunktion der b<d auf dem bd und eichne diese Verteilungsfunktion Beispiel: Man ermittle die Verteilungsfunktion der b<d auf dem bd und eichne diese Verteilungsfunktion Beispiel: Man ermittle die Verteilungsfunktion der mit dem Parameter l> 0 und eichne diese Verteilungsfunktion Beispiel: Man ermittle die Verteilungsfunktion der Gammaverteilung amma@a, ld mit den Parametern a>0 und l>0 und eichne diese Verteilungsfunktion Beispiel: Man ermittle die Verteilungsfunktion der ld mit den Parametern aœ und l>0 und eichne diese Verteilungsfunktion Beispiel: Man ermittle die Verteilungsfunktion der Betaverteilung eta@a, bd mit den Parametern a > 0 und b > 0 und eichne diese Verteilungsfunktion Beispiel: Man ermittle die Verteilungsfunktion der sd mit den Parametern mœ und s>0 und eichne diese Verteilungsfunktion Beispiel: Man ermittle die Verteilungsfunktion der logarithmischen mit den Parametern mœ und s>0 und eichne diese Verteilungsfunktion Beispiel: Man ermittle die Verteilungsfunktion der Chi-Quadrat Verteilung hi@nd mit dem Parameter nœ und eichne diese Verteilungsfunktion Beispiel: Man ermittle die Verteilungsfunktion der Student T mit dem Parameter nœ und eichne diese Verteilungsfunktion.

6 64 15_Verteilungsfunktionen.nb Beispiel: Man ermittle die Verteilungsfunktion der Fisher F nd mit den Parametern m, nœ und eichne diese Verteilungsfunktion Beispiel: Man ermittle die Verteilungsfunktion der bd mit den Parametern a > 0 und b > 0 und eichne diese Verteilungsfunktion Beispiel: Man ermittle die Verteilungsfunktion der Extremwertverteilung xtrem@m, bd mit den Parametern mœ und b>0 und eichne diese Verteilungsfunktion Beispiel: Man ermittle die Verteilungsfunktion der mit dem Parameter s>0 und eichne diese Verteilungsfunktion Verteilungsfunktionen von Zufallsvariablen Bisher haben wir uns nur mit den Verteilungsfunktionen von Verteilungen beschäftigt. In diesem Abschnitt befassen wir uns mit den Verteilungsfunktionen Z von Zufallsvariablen Z Definition: Unter der Verteilungsfunktion Z einer Zufallsvariablen Z versteht man die Verteilungsfunktion der Verteilung Z von Z, also die Abbildung Z : Ø@0, 1D <D Wegen Bemerkung ist die Verteilung Z der Zufallsvariablen Z durch ihre Verteilungsfunktion Z bereits vollständig bestimmt. An Hand von einigen Beispielen werden wir nun eigen, wie sich die Verteilungsfunktion Z einer Zufallsvariablen Z ermitteln lässt, wobei wir uns unächst nochmals mit den bereits in den Abschnitten 13.3 und 14.3 behandelten Zufallsvariablen, deren Verteilungsdichten wir bereits ermittelt haben, befassen werden. Wir werden die auf diese Weise ermittelten Verteilungsfunktionen jeweils Mathematica-gerecht aufbereiten und eichnen Beispiel: Unser Zufallsexperiment besteht im Werfen von wei homogenen Würfeln. Mit der Zufallsvariablen Z wird die dabei auftretenden Augensumme beeichnet. Man analysiere die Verteilungsfunktion Z von Z. Lösung: In Beispiel haben wir die Verteilungsdichte der Zufallsvariablen Z bereits = <D= H-1Lê6 2 für œ82, 3,..., 7< H13-Lë6 2 für œ88, 9,..., 12< 0 sonst und Mathematica-gerecht aufbereitet:

7 15_Verteilungsfunktionen.nb 65 := 0 ê; Or@ < 2, > 12, NumberQ@D && Not@IntegerQ@DDD fd1@_d :=H-1Lí 6 2 ê; 2 7; fd1@_d :=H13-Lí 6 2 ê; 8 12; Wegen Bemerkung FullSimplify@Sum@fd1@iD, 8i, 2, <DD FullSimplifyBSumBHi - 1Lí 6 2, 8i, 2, <FF FullSimplifyBSumBH13 - ilí 6 2, 8i, 8, <FF fd1@id i=2 1 H 1+L 72 1 H 18+L H 7+L 72 besitt diese Zufallsvariable Z damit die Verteilungsfunktion 0 für <k dt i=2 H-1L für 2 <7 72 dt i=2 1 H42+H18- LH-7LL für 7 < für 12 Diese Verteilungsfunktion lässt sich mittels Piecewise mühelos in Mathematica eingeben Fd1@_D := Piecewise@88H-1Lê 72, 2 <7<, 81ê72H42 +H18 - LH-7LL, 7 < 12<, 81, 12<<D und für beliebige Werte von k und n auf dynamische Weise graphisch darstellen: Plot@Fd1@D, 8, -2, 20<, PlotPoints Æ 200, AspectRatio Æ 0.4, PlotStyle Æ Thickness@0.015D, AxesOrigin Æ 8-1, 0<, PlotRange Æ All, AxesLabelÆ8"", ImageSie Æ8200, Beispiel: Durch einen Kanal werden n unabhängige Kodeworte übertragen. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Kodewort richtig empfangen wird, ist 0.9. Mit der Zufallsvariablen Z wird die Anahl der Kodeworten, die richtig empfangen wurden, beeichnet. Man analysiere die Verteilungsdichte Z von Z. Man analysiere die Verteilungsfunktion Z von Z.

8 66 15_Verteilungsfunktionen.nb Lösung: In Beispiel haben wir die Verteilungsdichte œ Z =81, 2,, n< der Zufallsvariablen Z bereits = <D= K n O n- für œ Z und Mathematica-gerecht aufbereitet: 0 sonst fd1@_, n_, p_d := 0 ê; Or@ < 1, > n, NumberQ@D && Not@IntegerQ@DDD fd1@_, n_, p_d := Binomial@n, D p^h1 - pl^hn - L Wegen Bemerkung besitt diese Zufallsvariable Z damit die Verteilungsfunktion 0 für <k dt i=1 pl n dt n i=1k i O p i für 1 <n 1-p 1 für n Diese Verteilungsfunktion lässt sich mittels Piecewise mühelos in Mathematica eingeben Fd1@_, n_, p_d := PiecewiseB::H1-pL n SumBBinomial@n, id p 1-p i, 8i, 1, <F, 1 <n>, 81, n<>f und für beliebige Werte von k und n auf dynamische Weise graphisch darstellen: Manipulate@ListPlot@Table@8, Fd1@, n, pd<, 8, 1, 50<D, PlotStyle Æ PointSie@0.03D, Filling Æ Axis, AspectRatio Æ 0.4, AxesOrigin Æ 8-1, 0<, PlotRange Æ All, AxesLabel ImageSie Æ 8200, 100<D, 8n, 1, 50, 1, Appearance Æ "Labeled"<, 8p, 0, 0.99, Appearance Æ "Labeled"<D n 40 p Nach diesen Beispielen über Verteilungsfunktionen von diskreten Zufallsvariablen befassen wir uns nun mit Beispielen über Verteilungsfunktionen von stetigen Zufallsvariablen Beispiel: Aus dem 1D werden ufällig n Zahlen ausgewählt und ihr Minimum Z beobachtet. Man analysiere die Verteilungsfunktion Z von Z.

9 15_Verteilungsfunktionen.nb 67 Lösung: In Beispiel haben wir die Verteilungsdichte Z dieser Zufallsvariablen Z bereits ermittelt nh1- L n-1 für sonst und Mathematica-gerecht aufbereitet: fs1@_, n_d := Piecewise@88nH1-L n-1, 0 1<<D Wegen Bemerkung und Fs1@_, n_d := Evaluate@Integrate@fs1@, nd, DD; Fs1@, nd H1 L n 0 < 1 0 True (das Integral muss uerst mit Hilfe von Evaluate ausgewertet werden, bevor damit weitere Berechnungen angestellt werden können) gilt damit 0 für <0 Ÿ x=1-h1-l n 0 für 0 <1 1 für 1 Man hätte diese Verteilungsfunktion natürlich auch direkt berechnen können. Für alle 0 <1 gilt > n Punkte liegen rechts von <D=1-H1- L n Diese Verteilungsfunktion lässt sich nun für beliebige Werte von n auf dynamische Weise graphisch darstellen: Manipulate@Plot@Fs1@, nd, 8, -0.1, 1.1<, AspectRatio Æ 0.4, PlotStyle Æ Thickness@0.015D, AxesOrigin Æ8-0.1, 0<, PlotRange Æ All, AxesLabel Æ 8"", ImageSie Æ8200, 100<D, 8n, 1, 10, 1, Appearance Æ "Labeled"<D n Beispiel: Ein Punkt wird ufällig in den ersten Quadrant des Einheitskreises geworfen und seine x- Koordinate Z bestimmt. Man ermittle die Verteilungsfunktion Z von Z.

10 68 15_Verteilungsfunktionen.nb Lösung: In Beispiel haben wir die Verteilungsdichte Z dieser Zufallsvariablen Z bereits ermittelt 1 œ@, + D<D= 1- p 2 für sonst und Mathematica-gerecht aufbereitet: fs2@_d := Piecewise@884 Sqrt@1-2 Dêp, 0 1<<D Wegen Bemerkung und Fs2@_D := Evaluate@Integrate@fs2@D, DD; Fs2@D ArcSin@D 0< 1 π 1 True gilt damit 0 für <0 Ÿ 0 x= 2 p H ArcSin@DL für 0 <1 1 für 1 Diese Verteilungsfunktion lässt sich natürlich mühelos eichnen: Plot@Fs2@D, 8, -0.1, 1.2<, PlotStyle Æ Thickness@0.015D, AspectRatio Æ 0.4, AxesOrigin Æ 8-0.1, 0<, PlotRangeÆAll, AxesLabel Æ8"", Beispiel: Auf der unteren und der linken Seitenkante eines Quadrats der Seitenlänge 1 werden willkürlich wei Punkte P und Q ausgewählt. Man ermittle die Verteilungsfunktion Z ihres Abstandes Z. Lösung: In Beispiel haben wir die Verteilungsdichte dieser Zufallsvariablen Z bereits ermittelt pê2 für 0 <1 pê2-2 ArcTan@ 2-1 D für sonst und Mathematica-gerecht aufgereitet: fs3@_d := Piecewise@88pê2, 0 1<, 8pê 2-2 ArcTan@Sqrt@ 2-1DD, 1 Sqrt@2D<<D Wegen Bemerkung und

11 15_Verteilungsfunktionen.nb 69 := DD; gilt damit 0 0 π 2 0< 1 4 π ArcTanB F 1< 2 1 True 0 für <0 Ÿ x= 2 pê4 0 für 0 <1 Ÿ x= 2 pê4+h ArcTan@ 2-1 DL 0 für 1 < 2 1 für 2 Diese Verteilungsfunktion lässt sich wieder mühelos eichnen: Plot@Fs3@D, 8, -0.2, 1.7<, PlotStyle Æ Thickness@0.015D, AspectRatio Æ 0.4, AxesOrigin Æ 8-0.2, 0<, PlotRangeÆAll, AxesLabel Æ8, Z HL Beispiel: n Punkte werden ufällig in den Einheitskreis geworfen und der Abstand Z vom Mittelpunkt des Einheitskreises um nächst gelegenen dieser n Punkte beobachtet. Man ermittle die Verteilungsfunktion Z von Z. Lösung: In Beispiel haben wir die Verteilungsdichte dieser Zufallsvariablen Z bereits ermittelt 2 n H1-2 L n-1 für sonst und Mathematica-gerecht aufbereitet: fs4@_, n_d := Piecewise@882 n H1-2 L n-1, 0 1<<D Wegen Bemerkung und Fs4@_, n_d := Evaluate@Integrate@fs4@, nd, DD; Fs4@, nd I1 2 M n 0 < 1 0 True gilt damit

12 70 15_Verteilungsfunktionen.nb 0 für <0 Ÿ x=1-h1-2 L n 0 für 0 <1 1 für 1 Man hätte diese Verteilungsfunktion auch wieder direkt berechnen können. Für alle 0 <1 gilt nämlich alle n Punkte liegen nicht im > mit Mittelpunkt80, 0< und Radius >D=1-H1-2 L n Diese Verteilungsfunktion lässt sich wieder für beliebige Werte von n auf dynamische Weise graphisch darstellen: Manipulate@Plot@Fs4@, nd, 8, -0.1, 1.1<, PlotStyle Æ Thickness@0.015D, AspectRatio Æ 0.4, AxesOrigin Æ 8-0.1, 0<, PlotRange Æ All, AxesLabel Æ8"", ImageSie Æ 8200, 100<D, 8n, 1, 20, 1, Appearance Æ "Labeled"<D n Beispiel: Der Punkt P sei auf der Oberfläche der Einheitskugel gleichverteilt. Man ermittle die Verteilungsfunktion des Winkels Q, den der Ortsvektor OP um Punkt P mit der -Achse einschließt. In manchen Fällen kann es sinnvoll sein, die Verteilungsfunktion einer Zufallsvariablen durch Simulation näherungsweise u ermitteln. Man ereugt dau eine genügend große Anahl (vergleiche dau unsere Faustregel) von Realisierungen dieser Zufallsvariablen Z und ermittelt von diesem Datenmaterial daten unter Verwendung des Befehls EmpiricalCDF die empirische Verteilungsfunktion. Für alle œ stellt die empirische Verteilungsfunktion ` Z@D=relative Häufigkeit des IntervallsD-, D im Datenmaterial daten eine gute Näherung für die gesuchte Verteilungsfunktion der Zufallsvariablen Z an der Stelle dar. Man beachte wieder, dass sich die auf diese Weise ermittelte empirische Verteilungsfunktion von Simulationslauf u Simulationslauf geringfügig ändern wird. à EmpiricalCDF@daten, D ordnet jedem œ die relative Häufigkeit des Intervalls D-, D im Datenmaterial daten u.

13 15_Verteilungsfunktionen.nb Beispiel: Aus einer Urne mit s=8 schwaren, r= 6 roten und g=4 grünen Kugeln werden so lange Kugeln geogen und nach jedem Zug wieder urückgelegt, bis erstmals hintereinander wei gleich gefärbte Kugeln geogen werden. Die Zufallsvariable Z gibt an, wieviele Züge dafür notwendig sind. Man ermittle die Verteilungsfunktion Z von Z.

14 72 15_Verteilungsfunktionen.nb Beispiel: Aus dem 1D werden ufällig drei Zahlen ausgewählt. Man ermittle die empirische Verteilungsfunktion ` Z ihrer Summe Z.