1, 2, oder 3 Wuerfel: Jeweils Augenzahl addieren. Zufallsvariable addieren bedeutet Verteilungsdichten falten.

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Irmgard Lorentz
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1 WQ FS , 2, oder 3 Wuerfel: Jeweils Augenzahl addieren. Zufallsvariable addieren bedeutet Verteilungsdichten falten. pn_integer Ifn 0 && n 7, 1. 6., 0.0; w1 Table6 pk, k, 1, 7 p2k_integer Sumpj pk j, j, 1, 6; w2 Table36 p2kk, kk, 1, 13 1., 1., 1., 1., 1., 1., 0. 0., 1., 2., 3., 4., 5., 6., 5., 4., 3., 2., 1., 0. p3l_integer Sump2k pl k, k, 1, 12; w3 Table216 p3k, k, 19 0., 0., 1., 3., 6., 10., 15., 21., 25., 27., 27., 25., 21., 15., 10., 6., 3., 1., 0. grau GrayLevel0.5; hell GrayLevel; weiss GrayLevel; b1 BarChartw1, ChartStyle grau, PlotRange All; b2 BarChartw2, ChartStyle hell, PlotRange All; b3 BarChartw3, ChartStyle weiss, PlotRange All, ChartLabels Range19, AxesLabel "Augenzahl", "Anzahl" ; Showb3, b2, b1 Anzahl Augenzahl Analog: The convolution of UnitBox with itself is UnitTriangle ConvolveUnitBoxx, UnitBoxx, x, t UnitTrianglet

2 2 Faltung13WT.nb Plot, t, 1.2, 1.2 TablePlotPDFUniformSumDistributionk, x, x, 0, 4, Filling Axis, Exclusions None, PlotRange 0, 1, PlotLabel k, k, 1, 4 1 2,, 3 4, Gleichverteilung gegen Binomialverteilung 6 x Wuerfel 6 x Muenzwurf Wuerfel habe Punkte von 0 bis 5 w1 Tablepk, k, 1, 6 b6 TableBinomial5, k 2^5, k, 0, , , , , , , 5 32, 5 16, 5 16, 5 32, 1 32

3 Faltung13WT.nb 3 v1 BarChartw1, ChartStyle Opacity0.5, PlotRange All, ChartLabels Range v2 BarChartb6, ChartStyle grau, PlotRange All, ChartLabels Range6 1, AxesLabel "AugenzahlAnzahlKopf", "Anzahl" AugenzahlAnzahlKopf Showv2, v AugenzahlAnzahlKopf

4 4 Faltung13WT.nb mit Mma wirklich wuerfeln w1 TableRandomInteger5 1, k, 1, 1000; w2 TableRandomInteger5 1, k, 1, 1000; w3 TableRandomInteger5 1, k, 1, 1000; Shortw1 3, 1, 5, 3, 4, 5, 3, 4, 1, 5, 1, 5, 4, 4, 3, 970, 4, 3, 2, 1, 5, 4, 5, 4, 6, 4, 2, 4, 4, 4, 6 Histogramw Histogramw1 w

5 Faltung13WT.nb 5 Histogramw1 w2 w Mma kennt alle Verteilungen, hier die Normalverteilung da1 HistogramRandomVariateNormalDistribution0, 1, da2 HistogramRandomVariateNormalDistribution3, 1 2,

6 6 Faltung13WT.nb Showda2, da1, PlotRange All Overlay several probability density function PDF plots for Poisson distributions: PDFPoissonDistributionΛ, k Λ Λ k k k 0 0 True ShowHistogramTableRandomIntegerPoissonDistribution10 i, 1000, i, 5, 1, "PDF", PlotRange All, PlotEvaluateTablePDFPoissonDistribution10 Μ, x, Μ, 5, x, 0, 80, PlotStyle Thick, PlotRange All PDF direkt PDFNormalDistribution0, 1, x my 0, sigma 1 x2 2 2 Π PDFNormalDistribution3, 1 2, x my 3, sigma x2 2 Π

7 Faltung13WT.nb 7 PlotPDFNormalDistribution0, 1, x, x, 5, 5, Filling Axis punkte GraphicsPointSize0.02, TablePointx, NPDFNormalDistribution0, 1, x, x, 1, 3; bi PlotPDFNormalDistribution0, 1, x, PDFNormalDistribution0, 2, x, PDFNormalDistribution0, 3, x, x, 3, 7; Show bi, punkte Die Markierungen sind bei 1 sigma, 2 sigma und 3 sigma entsprechend 23, 95, und 99.5 der Flaeche Noch mal Faltung pn_integer Ifn 0 && n 7, 1. 6., 0.0;

8 8 Faltung13WT.nb DiscretePlotpn, n, 0, DiscreteConvolvepn, pn, n, m 0. m 12 m m 2 m m 3 m m 4 m m 5 m m 6 m True DiscretePlot, m, 0, Faltung fuer stetige Dichten ConvolvePDFNormalDistribution3, 1 2, x, PDFNormalDistribution0, 1, x, x, y 2 5 3y2 2 5 Π Fuer die Normalverteilung gilt: Ihre Faltung mit sich selbt gibt wieder eine Normalverteilung mit my my_1 my_2 und sigma^2 sigma_1^2 sigma_2^2

9 Faltung13WT.nb 9 sigma Sqrt1 4 1 ; PDFNormalDistribution3, Sqrt5 2, x 2 5 3x2 2 5 Π Eine analoge Relation gilt fuer die Binomialverteilung PDFBinomialDistributionn, p, k 1 p kn p k Binomialn, k 0 k n 0 True MeanBinomialDistributionn, p VarianceBinomialDistributionn, p n p n 1 p p DiscretePlot EvaluateTablePDFBinomialDistribution40, p, k, p, 0.1, 0.5, 0.7, k, 40, PlotRange All, PlotMarkers Automatic DiscretePlotCDFBinomialDistribution40,.7, x, x, 10, 40, ExtentSize Right, ExtentMarkers "Filled", "Empty"

10 10 Faltung13WT.nb CDFBinomialDistribution5,.6, x PiecewiseExpand x x x x x 5 1 x 5 1. x 5 0 True RandomVariateBernoulliDistribution0.75, 10 1, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1 Die Wahrscheinlichkeit eines Tores beim Elfmeter In[1]:= Out[1]= RandomVariateBernoulliDistribution, "Gehalten", 1 "Tor" Tor, Tor, Gehalten, Tor, Tor, Tor, Gehalten, Tor, Tor, Tor A packet consisting of a string of n symbols is transmitted over a noisy channel. Each symbol has probability 10 4 of incorrect transmission. Find n such that the probability of incorrect packet transmission is less than 10 3 : Probabilityx 1, x BinomialDistributionn, n Reduce 10 3, n, Reals N n Compute the same limit using a Poisson approximation : Probabilityx 1, x PoissonDistributionn 10 4 n Reduce 10 3, n, Reals N n Faltung von Binomial Dichten PDFBinomialDistributionn, p, k 1 p kn p k Binomialn, k 0 k n 0 True bi1n_integer, k_integer, p_real Ifn 0 && k 0 && k n, 1 p kn p k Binomialn, k, 0.0; DiscreteConvolvebi110,k,0.7,bi120,k,0.7,k,r geht nicht?? Nutze direkte Faltungsformel convbir_ : Sumbi128, k, 0.7 bi122, r k, 0.7, k, 0, 50;

11 Faltung13WT.nb 11 DiscretePlotconvBir, r, 20, Vergleich der beiden Faelle: ist natuerlich kein Beweis DiscretePlotPDFBinomialDistribution50, 0.7, k, k, 20, Wenn x BinomialDistributionn,p und y BinomialDistributionm,p verteilt sind, dann ist eine Zufallsgroesse z xy nach z BinomialDistributionnm,p verteilt ErlangDistribution Die ErlangDistributionk,Λ is the convolution of k ExponentialDistributionΛ PDFs: ConvolvePDFErlangDistributionk, Λ, x, PDFExponentialDistributionΛ, x, x, y y Λ Λ y Λ k k Gammak y 0 0 True PDFErlangDistributionk 1, Λ, y y Λ y k Λ 1k Gamma1k y 0 0 True

12 12 Faltung13WT.nb TablePlotPDFErlangDistributionk, 1, x, x, 0, 8, Filling Axis, Exclusions None, PlotRange 0, 1, PlotLabel k, k, 1, 4 1 2,, 3 4,

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