Didaktik der Physik Demonstrationsexperimente. Digitalzähler Frequenzzähler als Uhr

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1 Didaktik der Physik Demonstrationsexperimente Handout zum Thema: Digitalzähler Frequenzzähler als Uhr von Florian Gärtner 1. Frequenz- und Zeitmessung Da die Frequenznormale leicht kontrolliert und überwacht werden können, ist die Frequenz eine Größe, die sich sehr genau messen lässt. Zum Eichen von Frequenzmessgeräten kann so der Normalfrequenz- und Zeitzeichensender DCF 77 in Mainflingen (BRD) dienen, der eine frequenzstabile Trägerschwingung von 77,5 khz aussendet. Diese Trägerschwingung ist mit Zeitzeichen amplitudenmoduliert, so dass davon auch der Sekundentakt mit höchster Präzision abgeleitet werden kann. Diese genaue Messbarkeit hat dazu geführt, dass viele Größen, wie z.b. Spannung, Stromstärke, Widerstand, Kapazität, nicht mehr direkt gemessen werden, sondern durch Umformer in entsprechende Wechselspannungen übergeführt werden, deren Frequenz zur ursprünglichen Größe proportional ist. Es gibt noch weitere günstige Eigenschaften von Frequenzsignalen: Günstige Eigenschaften von Frequenzsignalen: 1. Gute Übertragungsmöglichkeit auf langen Leitungen, da kaum Störbeeinflussung auftritt. 2. Problemlose Verstärkung, da keine galvanische Kopplung erforderlich ist, Offset- Einflüsse keine Rolle spielen und die Linearität des Verstärkers von untergeordneter Bedeutung ist. 3. Leicht zu digitalisieren und mit den Methoden der Digitaltechnik zu verarbeiten und anzuzeigen. Man muss zwischen Absolutmessungen und Vergleichsmessungen unterscheiden, da die Frequenz im ersten Fall aus den Daten der Bauelemente der Schaltung ermittelt wird und im zweiten Fall ein Vergleich mit einer bekannten, sehr stabilen Frequenz stattfindet. Nur durch den Frequenzvergleich ist eine hohe Genauigkeit erreichbar. Ein Beispiel für eine Absolutmessung ist die Frequenzmessung mit der Wien-Robinson- Messbrücke, deren Genauigkeit durch Widerstände und Kondensatoren bestimmt ist. 2. Frequenz- und Zeitintervallzähler Wie gesagt benötigen Zählschaltungen zur Frequenz- und Zeitmessung einen sehr genauen Referenzoszillator. Diese Schaltungseinheit wird als Zeitbasis bezeichnet. Da sie im wesentlichen die Genauigkeit der Messung bestimmt, muss sie entsprechen präzise aufgebaut sein. Sie legt eine genau definierte Zeitspanne T 0 fest, während der ein Digitalzähler die Perioden der unbekannten Frequenz f X zählt.

2 f X = N X T 0 (1) Damit lässt sich bei bekannter Zeit T 0 aus dem Zählerstand N X die Frequenz f X ermitteln. Wird als Einheit für die Zeit s, ms oder µs gewählt, dann gibt der Zähler die Frequenz in Hz, khz oder MHz an. Der Frequenzzähler zählt die Anzahl N X der Perioden der unbekannten Frequenz während einer durch die Zeitbasis festgelegten Zeitspanne T 0. Ein Zeitintervall t X lässt sich messen, wenn der Zähler die Zahl N X der Perioden auszählt, die während der Zeit t X von der Zeitbasis abgegeben werden. t X = N X T 0 = N X F 0 (2) Wählt man für als Einheit für T 0 s, ms oder µs, dann gibt N X das Zeitintervall t X entsprechend in s, ms oder µs an. Der Zeitintervallzähler zählt die Anzahl N X der Perioden der Zeitbasisfrequenz während der unbekannten Zeitspanne t X. Das bedeutet, dass ein Frequenzzähler durch einfache Umschaltung auch als Zeitzähler zu verwenden ist. Universalzähler (wie z.b. der HM von HAMEG) lassen n der Regel folgende Messungen zu: 1. Frequenzmessung 2. Frequenzverhältnismessung 3. Periodendauermessung 4. Zeitintervall- und Impulsbreitenmessung

3 3. Frequenzzähler Abbildung 1: Abbildung 1 zeigt das Blockschaltbild eines Frequenzzählers. Über einen Verstärker gelangt das Frequenzsignal an einen Impulsumformer, der aus dem Eingangssignal eine Rechteckspannung bildet. Die einstellbare Schaltschwelle des Impulsumformers ermöglicht die Unterdrückung von Störspannungen. Über einen Torschaltung gelangen Impulse in den BCD-Ergebniszähler. Die Öffnungszeit der Torschaltung wird durch die Zeitbasis festgelegt. Vor dem Öffnen des Tors wird der Zähler jeweils zurückgesetzt. Beim Schließen wird der Zählerstand in den Speicher übernommen und zur Anzeige gebracht. Damit wechselt die Anzeige immer nur, wenn sich nach dem Zählzyklus ein veränderter Zählerstand ergibt. Die Frequenzzählung wiederholt sich periodisch. Messbreichswahl: Nach Gleichung (1) lässt sich die Messbereichsanpassung durch entsprechende Wahl der Zeitbasisfrequenz f0 = 1 T0 vornehmen. Dies ist in Abbildung 1 mit dem Einstellelement Bereichswahl der Zeitbasis möglich. Hier sind drei Frequenzen vorgesehen, die sich durch Frequenzteilung der quarzstabilen Generatorfrequenz ableiten lassen. In der Anzeigeeinheit wird dann je nach Schalterstellung die Einheit MHz, khz und Hz eingeblendet. Darüber hinaus lässt sich mit Hilfe des Dekadenzählers der Zeitbasis die Torzeit in Zehnerschritten

4 verlängern. Dies wird in der Anzeige durch Umschaltung des Dezialpunkts automatisch berücksichtigt. Daraus ergibt sich die Betimmungsgleichung für die Messung: N X f X = = f T 0 N 0 N X (3) V F 0 Messfehler: Der relative Fehler der Frequenzmessung ergibt sich nach Gleichung (3) aus zwei Fehlerquellen: Ungenauigkeiten der Vergleichsfrequenz f 0 und Ziffernfehler von N X. Die Zahl N V fällt aus der Überlegung heraus, da sie vom Dekadenzähler fixiert ist. Nach den Regeln der Fehlerfortpflanzung gilt: f X = ± f 0 + N X f X f 0 N X Der absolute Quantisierungsfehler N X kann maximal ± 1 Digit betragen: Wenn das Tor unmittelbar nach dem Erscheinen des letzten gezählten Eingangsimpulses geschlossen wird, dann ist N X um 1 zu groß. Wenn das Tor unmittelbar vor einem Eingangsimpuls geschlossen wird, dann ist N X um 1 zu klein. Daraus resultiert die Fehlerformel für den relativen Fehler der Frequenzzählung: f X = ± f 0 f X f N (4) X Der relative Fehler der Vergleichsmessung f 0 kann sehr klein gehalten werden, wenn quarzstabile Generatoren verwendet werden. Fehlergrößen von f 0 f 0 < 10-6 sind ohne größere Probleme erreichbar. Der relative Quantisierungsfehler 1 N X geht um so weniger in das Messergebnis ein, je größer die angezeigte Zahl N X ist. Darauf ist bei der Wahl des Messbereichs zu achten. Der relative Fehler der Frequenzzählung ergibt sich aus dem relativen Fehler der Zeitbasisfequenz und dem Quantisierungsfehler 1 N X der Anzeige. Die Messung hoher Frequenzen (N X ist groß) führt zu kleinen Quantisierungsfehlern. Frequenzverhältnismessung: Diese Messung lässt sich nach wenigen Umschaltmaßnahmen mit dem Frequenzzähler aus Abbildung 1 realisieren. Statt der Zeitbasisfrequenz f 0 wird hierbei eine externe Vergleichsfrequenz f V eingespeist. Die Messung erfolgt ansonsten wie die bereits beschriebene Frequenzzählung. Entsprechend Gleichung (3) ergibt sich das Frequenzverhältnis: f X f = N X V N V Da die Stellung des Dekadenvorwählers durch den Dezimalpunkt in der Anzeigeeinheit markiert ist, kann das Frequenzverhältnis direkt als Zahl abgelesen werden. 4. Periodendauer- und Impulsbreitenmesung Periodendauermessung: Der Frequenzzähler aus Abbildung 1 erzeugt mit Hilfe der Zeitbasis eine definierte Torzeit, während der die Perioden der unbekannten Wechselspannung das Tor passieren und den Ergebniszähler ansteuern. Gemessen wird also die Anzahl der Perioden je Zeiteinheit, somit die Frequenz. Um die Periodendauer einer Spannung oder ein beliebiges anderes Zeitintervall

5 zu erfassen, müssen in der Schaltung Abbildung 1 lediglich die Rollen der Zeitbasisspannung und der zu untersuchenden Eingangsspannung vertauscht werden; d.h., die Torzeit wird von der unbekannten Spannung U X mit der Periodendauer T X bestimmt, während der Ergebniszähler die Perioden der Zeitbasisspannung registriert. Um eine zuverlässige Messung der Periodendauer zu ermöglichen, wird nicht nur eine Periode ausgewertet, sondern unter Verwendung des Dekadenvorwahlzählers (N V ) 10, 100, 1000 Perioden. Daraus ergibt sich die Torzeit: t = N V T X In dieser Zeit werden vom Ergebniszähler N X Impulse der Zeitbasisspannung gezählt. Somit entsteht die Beziehung: N V T X = N X T 0 T X = N X N V T 0 (5) Bei der Periodendauerzählung wird die Torzeit von der Periodendauer des zu messenden Eingangssignals bestimmt. Die Periodendauer T 0 der Zeitbasisspannung ist umschaltbar wie beim Frequenzzähler und wird in der Anzeige eingeblendet, z.b. µs-, ms-, s-messbereich. Die Stellung des Dekadenvorwählers ist wieder mit dem Dezimalpunkt der Anzeige gekoppelt. Somit kann T X direkt abgelesen werden. Abbildung 2 zeigt ein vereinfachtes Blockschaltbild, wobei die Funktionsblöcke denen der Schaltung aus Abbildung 1 entsprechen. Abbildung 2:

6 Messfehler: Prinzipiell errechnet sich der Messfehler nach Gleichung (5) aus dem relativen Fehler der Zeitbasis T 0 und dem Quantisierungsfehler 1 (vgl. Gleichung (4)). Es kommt allerdings N X T 0 noch ein Zeitfehler t S hinzu, der sich aus der Ungenauigkeit der Schaltpunkte des Schmitt- Triggers bei der Signalaufbereitung ergibt. Würde man nur eine Periode des Eingangssignals auswerten, so ergäbe sich ein Schaltfehler t S T, der in der Größenordnung von etwa ±0,3% X liegt. Wird die bewertete Periodenzahl mit Hilfe des Dekadenzählers um den Faktor N V t S erhöht, so verringert sich der Fehler auf, somit auf den Wert von etwa ± 0,3%. N V T X N V Die Messgenauigkeit ist bei der Periodenmessung um so größer, je mehr Perioden des Eingangssignals ausgewertet werden. Insgesamt ergibt sich ein relativer Fehler: T X T = ± T 0 X T + 1 t S 0 N + (6) X N V T X Diese Überlegungen zeigen, dass die Messung der Periodendauer weniger genau ist als die Frequenzmessung, da der Schaltfehler des Schmtt-Triggers in die Messung eingeht. Der Zeitbasisfehler ist sehr klein (z.b. T 0 T 0 <10-6 ), der Quantisierungsfehler wirkt sich um so weniger aus, je größer N X der Anzeige ist. Der relative Fehler der Periodendauermessung ergibt sich aus dem relativen Fehler der Zeitbasisfrequenz, dem Quantisierungsfehler und dem Schaltfehler des Impulsformers. Die Messung tiefer Frequenzen (lange Periodendauer) führt zu kleinen Quantisierungsfehlern. Impulsbreitenmessung: Die Torzeit, während der die Impulse der Zeitbasisspannung gezählt werden und so ein Zeitmaß darstellen, wird durch die Vorder- und Rückflanke des Einganssignales markiert. Bei definierter Periodendauer T 0 der Zeitbasisspannung, ergibt sich aus dem Zählerstand N X des Ergebniszählers die Impulsbreite: t X = N X T 0 In gleicher Weise lassen sich beliebige Zeitintervalle messen. Hierbei öffnet ein Start-Impuls das Tor, ein Stopimpuls schließt es wieder. Die dazwischenliegende Zeit wird als Impulszahl N X angezeigt. 5. Versuchsbeispiele unter Verwendung eines Universalzählers 1. Radioaktive Strahlung: Zählung von Zählrohrimpulsen entweder - in am Gerät einstellbaren Messzeiten - in beliebig wählbarer Messzeit mit manuellem Start/Stop 2. Bestimmung der Erregerfrequenzen für stehende Wellen auf einem Gummiseil (oder auf einer Schraubenfeder

7 3. Bestimmung der oberen Hörgrenze: Kontinuierliche Erhöhung bzw. Verminderung der Frequenz zwischen 10 khz und 20 khz am Funktionsgenerator; Messung der Frequenz, bei der die Testperson den Ton gerade nicht mehr bzw. gerade wieder wahrnimmt 4. Tonfrequente elektromagnetische Schwingungen: Abhängigkeit der Frequenz von der Kapazität und von der Windungszahl der Spule 5. Bestimmung der Eigenfrequenzen eines Gummiseils in Abhängigkeit von der Lnge und von der spannenden Kraft. Zählung der durch das schwingende Seil pro Sekunde verursachten Lichtschrankenunterbrechungen. 6. Schwingungsdauer eines Fadenpendels: Messung wahlweise - ohne Lichtschranke manuell unter Verwendung des Zählgerätes als Handstoppuhr - elektronisch über eine Lichtschranke, die beim Nulldurchgang des Pendelfadens unterbrochen wird 7. Zeitmessungen bei Fahrbahnversuchen mit zwei Lichtschranken - Aufnahme eines Weg-Zeit-Diagramms durch Messung der Zeiten, die der Wagen für verschiedene Wege benötigt: Messung der Hellzeiten von 2 in Reihe geschalteten Lichtschranken; Start bei Freigabe der ersten durch die Unterbrecherfahne des Wagens; Stopp bei Verdunkelung der zweiten - Messung der Verdunklungszeit der zweiten Lichtschranke durch die Unterbrecherfahne des Wagens am Ende jeden Weges zur Bestimmung der Endgeschwindigkeit 8. Fallzeit einer Kugel; g-bestimmung Stromkreis für Haltemagnet bei Stellung I des Umschalters geschlossen; Impulseingang des Zählgerätes bei Schalterstellung II und beleuchteter Lichtschranke geschlossen; Öffnen des Magnetstromkreises sowie Start der Zeitmessung beim Umschalten von Stellung I nach II, Stopp bei Unterbrechung der Lichtschranke durch die fallende Kugel.